Группы автоморфизмов относительно свободных алгерб Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИ- ГОСУДАРСТВЕННЫ- УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА О-МАТЕМАТИЧЕСКИП ФАКУЛЬТЕТ

НАБИЕВ СМТ ЕАУГАШГИЕВИЧ

группы Аишоргнз*гов относительно свободных алгебр ли

специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

РГВ

1 ь ^йЗ

На правах рукописи УДК 512.554.37

Научный руководитель профессор, доктор физико-математических наук БАХТУРИН В.А.

МОШП 1993

г

С

Работа вшолнена на кафедре высшей алгебры механико математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Бахтурин. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор С.П.Мищенко, - кандидат физико-математических наук А.А.Михалев.

Ведущая организация - Нижегородский университет.

Защита диссертации состоится " ^ " Л^р^С^ 1993г. в 16час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.05 при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 ,ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико -математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан ^¿-¿¿З^гъ 1993г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ, ^ / ^

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуалъность_тама.

Понятие автоморфизма является общим в математике. Оно имеет содержательный смысл для любого множества наделенного некоторой структурой. Для любого типа алгебраических систем - полей, колец, групп, алгебр - биекции соответствующие множеств, сохраняющие основные операции, называются автоморфизмами. Относительно операции композиции множество автоморфизмов образует группу. Поскольку автоморфизмы являются важнейшими характеристиками математических объектов, описание групп автоморфизмов является актуальной задачей.

Одним из направлений изучения групп автоморфизмов алгебраических систем является теория груш автоморфизмов свободных объектов, как то: относительно свободных групп, свободных алгебр Ли, ассоцатишшх, коммутативных алгебр и колец.

Одной из наиболее развитых является теория груш автоморфкзтов относительно свободных груш. Нильсен [30] описал поровдащяе группы автоморфизмов абсолютно свободной группы л доказал, что свободная абелева груша не имеет днеих автоморфизмов, т.е. тахеих которые не индуцируются евтоморфязмаж абсолютно свободной группой.

Аналогичные результаты Сит получены для алгебр Ли - Косом [20], для коммутативной алгебры ранга 2 - ЕНгом [28] (поло характеристики нуль) и Ben дер Кульком [32] (поле произвольна характеристики), для ассоциативной алгебры ранга 2, независимо, -Макар-ЛимзноЕкм [2] и Чэрнккевпчем [22].

Возникает зопрос описания грроздащих группы автоморфизмов

относительно свободных групп, алгебр Ли и других структур. Этот вопрос сильно связан с вопросом существования диких автоморфизмов [4,6,7,8,10,12].

Для свободных нильпотентных (не абелевых) групп конечного ранга больше трех Андреадакисом [7] и Бахмутом [8] было доказано существование диких автоморфизмов. Бахмут , Мочизуки [9] и, независимо от них, В.А.Романьков [3,4] доказали, что свободная метабелева группа конечного ранга больше 4 не имеет диких автоморфизмов. Ранее Бахмутом [133 это было доказано для ранга 2, а для ранга 3 Чеин [19] доказал их существование. Для нильпотентной и метабелевой групп бесконечного ранга диких автоморфизмов не т [15,17].

В последнее время большой интерес представляют исследования в области автоморфизмов относительно свободных алгебр Ли. Здесь было доказано, что дикие автоморфизмы имеются в относительно свободных алгебрах Ли конечного ранга любого не абелевого нильпотентного многообразия [23] - Дренски и Гупта, и многообразия всех метабелевых алгебр Ли [14] - Бахтурш и Набиев.

Цель работы.

Изучение групп автоморфизмов относительно свободных алгебр Ли, индуцируемость их автоморфизмами абсолютно свободной алгебры Ли. Получить полное описание для некоторых алгебр Ли их групп автоморфизмов.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использывались общие методы исследований теории алгебр Ли, а также техника фильтраций теории универсальных

обертывающих алгебр.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории групп и теории алгебр Ли.

Апробэция диссертации.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах "Научно-исследовательский семинар по алгебре" под руководством проф. Кострикина А.И., "Избранные вопросы алгебры" под руководством профессоров Кострикин А.И., Бахтурин 13.А., "Теория груш" под руководством проф. Едалькина А.Л..

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литератур, содержащего 32 наименования. Объем диссертации 59 машинописных страниц.

Содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изучению проблемы существования диких автоморфизмов алгебр Ли. Приведем ряд необходимых понятий и определений.

Пусть г - некоторое коммутативное кольцо с 1. Класс алгебр Ли V над кольцом г называется лногообразиел, если существует некоторая совокупность тоздеств (рЮ), такая, что алгебра в лежит

в V тогда и только тогда, когда в G выполняются все товдества данной совокупности. Для любого непустого множества X алгебра Ли L(X,V) называется относительно свободной алгеброй многообразия V со свободных порождающих множествоа X, если для любого отображения Ф из X в алгебру GíV существует единственный гомоморфизм <p:b<X,V)->G, продолжающий отображение ср.

Если V - некоторое подмножество в L(X), где Ь(Х) свободная алгебра многообразия всех алгебр Ли, G произвольная алгебра Ли, то V(G) есть наименьший идеал алгебры G, содержащий все элементы <p(v), гле ф - произвольный гомоморфизм из Ъ(Х) в G, a vgV. Идеал V(G) называется вербальных идеалох, отвечающим множеству неассоциативных многочленов V.

Известно, что любой вербальный идеал является характирестиче-ским, т.е. для произвольного автоморфизма a: a(V(G))=V(G). Поэтому для относительно свободной алгебры Ли L=L(X,V) и ее вербального идеала U естественный эпиморфизм e:Ir->L/U индуцирует гомоморфизм e:Autlr->Autb/U. Если aeAutb, то e(a)(l+U)=a(l)+U, leí.

Далее, назовем автоморфизм aeAut(I>(X,V)/U) Ь(Х,У)-ручкьи, если он поднимается до автоморфизма алгебры I(X,V); не ручной автоморфизм - L(X,V)-3uiau. Будем говорить, что подмногообразие U многообразия V является Ч-автолорфно ручныл, если любая свободная алгебра Ли L(X,U) не имеет Ь(Х,У)-дш<их автоморфизмов

Обозначим через t(V) множество всех V-автоморфно ручных многообразий. Основным результатом первой главы является описание множества t(V) для некоторых многообразий V.

Пусть £ - многообразие, состоящее из одной нулевой' алгебры Ли, А - многообразие абелевых алгебр2 Ли, Д - многообразие метабелевых алгебр Ли, 2 [А ,Е] - многообразие центрально-метабелевых алгебр Ли, определяющими тождествами которых являются х=0, tíx,y],[u,v]]=0, [[[x,y]tu,v]],z]=0

соответственно. Многообразие N называется нилыютентным ступени с, если для его алгебр справедливо тождество [х1,...,хо+11=0, а

соотношение [х1.....хо1=0 тождеством не является.

Получены результаты ■ ТЕ0РЕМА_1:

1. 1;(А2)={Е,А,А2>.

2. 1:([А2,Е])={Е,А,7=Д2}.

3. Если 5=[..ЛАг,и. ],...,И ], где ТТ 1=1,...,ш это либо Е, либо

1 Ш д.

А, то г(3)={Е,А,И=Аг}.

4. ЦП) совпадает с множеством всех подмногообразий многообразия N.

5. А2, Но, АгП11о, Б ( то же, что и в 3) не лежат в 1(0), где О многообразие всех алгебр Ли.

Во второй главе дается структурное описание групп автоморфизмов и полугрупп эндоморфизмов алгебр Ли с абелевым идеалом. При этом используется вложимость таких алгебр в сплетение алгебр Ли.

Пусть V - многообразие алгебр Ли над коммутативным коьцом г с 1, Ае7, В произвольная алгебра Ли. Алгебра Ли Л над г называется 7-стиетенивл алгебр А и-в, если выполняется следущие условия:

1. И=а]£(А,В)

2. К=1(1Т?А идеал порожденный в Т? алгеброй А, тогда КеУ.

3. если ср:А->С, ф:В->С - гомоморфизмы из А и В в алгебру Ли С такие, что а) С=а18(ср(А),ф(В)) б) 5=1с1с(ф(А))е7, то существует единственный гомоморфизм х:1"->с такой, что Х|д=Ф> Х^Ц'-

У-сплетэнпе алгебр А и В "обозначается символом Антг^В. Дл>. А-сплетения применяется символ тгг, а не игд.

Пусть I абсолютно свободная алгебра Ли над кольцом г со свободным порождающим множеством Х={х1}±е1, Н - ее идеал такой,

что алгебра L/R - свободный г-модуль, А- свободная абелева алгебра Ли со свободным пороадвщим множеством {ai)iei, xi=x±+R2, x1=x±+R. Тогда отображение х1->х1+а±, iel продолжается до изоморфного вложения о: L/R2->W=AwrL/R. Вложение а индуцирует изоморфное вложение о группы автоморфизмов AutL/R2 в группу AutW, а точнее в его подгруппу AutW.

Для формулировки результатов главы 2, обозначим через М(1,К), где I - множество индексов, К - кольцо, матрицы строки и столбцы которых индексированы множеством I, с коэффицентами из К, причем в каждой строке имеется лишь конечное число ненулевых элементов.

ТЕОРЕМА II: 1. Пусть L=L(X) абсолютно свободная алгебра Ли над комлуташвкым кольцом f со свободно порождающим множеством Х=Сх1>1€1 u R такой ее идеал, то алгебра L/R является свободным f-лодулел. Тогда полугруппа Endl/R2 изоморфна полугруппе пар (Р.а), PeM(I,U(L/R)),aeEntlL/R, причел а(В)=РВ,аЭе В=(х1)1е1 -вектор - столбец порождающих алгебра L/R, с операцией умножения (Р,а)(Р',а')=(а(Р')Р,аа'

Используя предедущие обозначения, введем подполугруппу IEndpL/R2 полугруппы EndL/R2 как множество эндоморфизмов а тождественных по модулю R/R8, т.е. таких, что a(l)+R=l+R для любого 1 из L/R2. Особое значение имеет подгруппа IAutRL/R2 с IEndjjL/R2, состоящее из автоморфизмов алгебры L/R2. Зачастую описание группы AutL/R2 сводится к описании подгруппы IAutRL/R2, группы AutL/R и их канонического расширения (в ряде случаях это расширение расщепляется; см., например, теоремы VI и VII ниже).

ТЕОРЕМА III: 1. Пусть L, R то же чта и в теореме I. Тогда подполугруппа IEncyyR2 эндоморфизмов тождественных по модулю

идеала R/R2 изолорфна полугруппе матриц вида E+QA, где произвольная латрица, фиксированная латрииц. Эндолорфизл

соответствующий латрицв E+QA является аВтолорфизлол тогда и только тогда, когда E+QA обратилая матрица в M(I,U(L/R)). v

Применяя данные описания для групп автоморфизмов метабелевых алгебр Ли, получим теорему, представляющую особый интерес в теории групп автоморфизмов алгебр Ли:

ТЕОРЕМА IV: Пусть г - целостное кольцо, Несвободная летабелева алгебра Ли ранга п иод г. Тогда нетривиальный внутренние автолорфизлы exp(ad М2) не поднимается до автолорфизлов абсолютно свободной алгебры.

Во второй главе имеются результаты аналогичные приведенным об эндоморфизмах и автоморфизмах алгебр Ли вида L/S, где S=J*(R/R2), причем J - двусторонний идеал обертывающей U(I/R), * обозначает естественное действие алгебры U(L/R) на R/R2.

Аналогичные описания справедливы и для алтебр Ли дифференцирований алгебр Ли с абелевым идеалом , что позволяет доказать следущий результат.

ТЕОРЕМА 7: Алгебра Ли дифференцирований свободной летабелевой алгебры Ли конечного ранга бесконечно порождена.

В третьей главе получены полные описания некоторых алгебр Ли ранга 2. При этом используется методы разработанные во второй главе.

ТЕОРЕМА 71: Пусть М свободная алгебра Ли многообразия AN

1С

ранга 2 над целоспшл колщртийныл колъцол г. Тогда грутта автолорфизлов AutM изоморфна поиупрялолу произведению группы GL (2,г) на аддетивную группу М°+1.

ТЕОРЕМА VII; Пусть М свободная алгебра Ли жногообразия

[ANo,E] ранга 2 над полел г характеристики не 2. Тогда группа AutM

изоморфна полупрялолу произведению группы GL(2,г) на декартовое

произведение аддетивной группы М°+1/(М°+1)2 на декартов квадрат

аддетидной группы (Ы°+1)2.

Пусть ,х£ свободные порождают^ алгебры Ли М. Тогда авто** ** .. Р

лорфизл соответствующий элеленту (т.пц.т,), где вмн-fr г, meM0+1, т1 .п^еСМ0"1"1 )г, действует, на свободных порождающих следущил образол:

XjOx^Im.XjM^Im, [m.x^l 3+т±, 1=1,2.7

СПИСОК РА60Т АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Y.Bahturln , S.Nablyev. Automorphisms and Derivations of Abellan Extensions of Some Lie Algebras. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 62 (1992), 43-57.

2. Набиев С.Ж.. Об автоморфизмах некоторых 2-поровденных алгебр Ли с абелевым идеалом. Вестник МГУ, 1993, 2, 49-54.

4

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахтурин Ю.А. "Тождества в алгебрах Ли" М.: Наука 1985

2. Макар-Лиманов Л.Г. "Об автоморфизмах некоторых алгебр" Диссертация, Тезисы, Москва (1970)

3. Романьков В.А. "Группы матриц Еычетов" "Вопросы взаимосвязи абстрактной и прикладной алгебры" ВЦ СО АН СССР. Новосибирск (1985), 35-52

4. Романьков В.А. "Группы автоморфизмов свободных метабелевых груш" "Вопросы взаимосвязи абстрактной и прикладной алгебры" ВЦ СО АН СССР. Новосибирск (1985), 53-80

5. Шмелькин А.Л. "Сплетение алгебр Ли и их применения в теории груш " Тр.Мое.Мат.общ. 29(1973),247-260

6. Andreadakls S. "Generators of AutG, G Iree nilpotent groups" Arch.Math. 42 (1984), 296-300

7. Andreadakls S. "On automorphisms oi iree nilpotent groups" Proc. London Math. Soc. (3), 15 (1965), 239-268

8. Bachmuth S. "Induced automorphisms of free groups and Iree metabellan groups" Trans. Amer. Math. Soc. 122 (1966), 1-17

9. Bachmuth S. and Mochlzukl H.Y. "Aut(F)->Aut(F/F") Is surjec-tlve lor Iree group F of ranker Trans. Amer. Math. Soc. 292 (1985), 81-101 par

10. Bachmuth S. and Mochlzukl H.Y. "The nonrinlte generation oi Aut(G), G Iree metabellan of rank 3" Trans. Amer. Math. Soc. 270 (1982), 693-700

11. Bachmuth S. "Automorphisms of Iree metabellan groups" Trans.

Amer. Math. Soc. 118 (1965), 93-104

12. Bachmuth S. and Mochizuki H.Y. "The nonflnite generation of AutG, G - Tree metabelian group rank 3" Trans. Amer. Math. Soc. 270, 1982, 643-699

13. Bachmuth S. and Mochizuki H.Y. "IA-Automorphlsm ol Tree metabelian groups of rank 3" J.Algebra 55, 1978, 106-115

14. Bahturln Y.A. and Nablyev S.J. " Automorphlslms and derivations of Abellan Extensions of Some Lie Algebras" Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 62, 1992, 43-57

15. Bryant R.M., Masedoncka 0. "Automorphisms of relatlvly free nilpotent groups of Infinit rank" J.Algebra (1989), v121, N2 , 388398

16. Bryant R.M. Gupta C.K., Levin P. Mochizuki H.Y. "Non-tame automorphisms of free nilpotent groups" Comm. Algebra 18, 36193631, 1990

17. Bryant R.M., Groves J.R.J. "Automorphisms of free metabelian groups of Infinit rank" препринт

18. Bryant R.M., Groves J.R.J. "Algebraic groups of automorphisms of nllpotent groups and Lie algebras" J.Lond. Math. Soc., Ser. 2, 1986, v33, N3, p 453-466

19. Cheln 0. "LA automorphisms of free and free metabelian groups" Coma. Pure Appl.Math. bf 42 (1968), 259-279

20. Cohn P.M. "Subalgebras of free assoclativ algebras" Proc. London Math. Soc. (3), 14 (1964), 618-632

21. Cohn P.M. "On the embedding of ring In skew fields" Proc.Lond. Math.Soc. (3), 11, 1967, 511-530

22. Czerniaklewicz A.J. "Automorphisms of a free assosiative algebra of rank 2" I, II, Trans.Amer.Math.Soc. 160 (1971 ), 393-401; 171 (1972), 309-315

23. Drensky V., Gupta C.K. "Automorphisms of free nilpotent Lie Algebra" Canadian J.Hath. (1990), v42, N2, 259-279

24. Drensky V. "Wild automorphisms of nilpotent-by-abelian groups" Manuscripts Math. 1992, v74, N2 p 133-141

25. Drensky V. "Automorphisms of relatlvly free algebras" Comm. Algebra, 18, 4323-4351, 1990

26. Gupta C.K., Bryant R.M. "Automorphism groups of free nilpotent group" Arch. Math. 1989, v52, N4, p 313-320

27. Gupta C.K., Levin P. "Automorphisms of nllpotent-by-abellan groups" Bull. Austr. Math. Soc., 1989, V40,N2, p 207-213

28. Jung H.W.E. "Uber ganze birationale Transformationen der Ebene" J. reine und angew Math. 184 (1942), 161-174

29. Llchtman A.I "PI-Subrlng3 and Algebraic Elements In Envoloplng Algebras ^d Their Fields of Fractions" J.Algebra 121 ,N1,1989

30. Nielsen J. "Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen" Math. Ann. 91 (1924), 169-209.

31. Stohr E. "On automorphisms of free centre-by-metabellan groups" Arch. Hath. 48, 1987, 376-380

32. W.Van der Kulk "On polynomial rlng3 in two variables" Nieuw Archlef voor Wiskunde (3) 1 (1953), 33-41