Разложения и автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

¡5 0

Богопольский Олег Владимирович

РАЗЛОЖЕНИЯ И АВТОМОРФИЗМЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП ПОВЕРХНОСТЕЙ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в лаборатории теории групп Института математики СО РАН.

Научный консультант:

кандидат физ.-мат. наук, доцент В. А. Чуркин

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Р. И. Григорчук, доктор физ.-мат. наук, профессор А. Д. Медных, доктор физ.-мат. наук, профессор А. Ю. Ольшанский.

Ведущая организация: Омский государственный университет

Защита состоится 16 ноября 2000 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д.002.23.01 по защите диссертаций при Институте математики СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан " " октября 2000 г.

Ученый секретарь

специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Группа называется разложимой, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [38, 6]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса - Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без инверсий ребер и без общей неподвижной точки на некотором дереве [38].

Исследование разложений групп и связанных с ними действий групп на К-деревьях - одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше попять строение их подгрупп [38], а в случае гиперболических групп - изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [7], а также работы [8, 32, 35, 37]).

Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта - вап Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о ЛБЛ-разложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Папа-соглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.

В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить

1) всякое ли ее разложение геометричпо?

2) как связаны произвольные разложения с геометрическими?

Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подповерхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричны (это дает ответ на вопрос 10.69, сформулированный X. Цишангом в [1]), однако все разложения почти геометричны в некотором точном смысле

[53]. Кроме того, эти группы, за исключением фундаментальной группы бутылки Клейна, обладают свойством реберной жесткости: при фиксированных реберных подгруппах имеется конечное число вариантов для вершинных подгрупп в разложениях группы.

Представлять разложения и подгруппы в виде геометрических объектов помогает теорема Скотта [34], утверждающая, что любая конечно порожденная подгруппа Н фундаментальной группы 7Г1 {Т,х), где Т -компактная поверхность, реализуется несжимаемой подповерхностью б некотором конечнолистном накрытии поверхности Т.

На алгебраическом языке это означает, что Н выделяется к а" вершинная подгруппа в некотором разложении подходящей подгруппы конечного индекса в 7й (Т, х).

Такой подход позволил нам решить проблему автоморфной сопряженности двух конечно порожденных подгрупп группы тг 1 (Т\ х) [51]. Ранее проблема автоморфной сопряженности была решена Уайтхедом для элементов свободной группы [41], Герстеном для конечно порожденных подгрупп свободной группы [21] и Левиттом и Фогтманн для элементов группы (Т, я) [27].

Скотт отмечает, что толчком к его исследованию [34] явилась работа М. Холла [24], в которой доказано, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы Р конечного ранга выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы F. Фактически, Скотг доказывает обобщение теоремы Холла на геометрическом языке.

Группа О называется холловой (в честь М. Холла [24]), если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы С. Мы доказываем, что конечно порожденная группа холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в подходящей подгруппе конечного индекса [45]1. Это свойство алгоритмически распознаваемо в классе групп, заданных конечными графами конечных групп. Используемая техника - накрытия комплексов.

Исследование автоморфизмов свободных групп - одно из важных и интересных направлений в комбинаторной теории групп, в котором геометрические идеи и методы находят яркое воплощение.

'Ранее в работе [11] была предпринята попытка охарактеризоватьхолловы группы в частном случае, однако основная теорема и гипотеза этой работы оказались неверными (см. [45]).

Пусть Fn - свободная группа ранга п и Axit(F„) - группа ее автоморфизмов. Важнейшей характеристикой автоморфизма а 6 Aut(,Fn) является группа его неподвижных точек: Fix(a) = {ж € Fn | с*(ш) = ж}.

Используя технику трейн-треков Бествина и Хэндель [9] доказали, что rfc(Fix(a)) ^ п. Детальный анализ этой техники позволил Коллинзу и Тёрнеру [14] классифицировать автоморфизмы а с условием rfc(Fix(a)) = га. Однако получить полную классификацию автоморфизмов Fn по рангам групп их неподвижных точек и классификацию этих групп с точностью до сопряженности в Aut(-F„) пока не удается. Мы показываем возможность получения такой классификации для геометрических автоморфизмов.

Автоморфизм а группы Fn называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом некоторой компактной поверхности Т с краем при отождествлении групп F„ и тт\ (Т, . Неподвижные точки автоморфизма реализуются минимальными замкнутыми кривыми в Т. Несжимаемые подповерхности в Т, связанные с этими кривыми, соответствуют группам неподвижных точек автоморфизма.

При п — 2 любой автоморфизм геометричен. Это позволило нам получить классификацию автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификацию групп неподвижных точек автоморфизмов и классификацию стабилизаторов элементов из F-z [54]. В качестве следствия мы получаем алгоритм, решающий проблему сопряженности в группе Aut(i<2), а также алгоритм для нахождения базиса подгруппы Fix(a) для а £ Aut(i<2).

Одним из перспективных направлений геометрической теории групп является исследование свойств групп, инвариантных относительно ква-зиизометрий, а также описание классов квазиизометричных групп (см. книги М. Громова [22, 23]). Мы исследуем частный случай квазиизо-метрий - билипшицевы отображения (они обобщают понятие изоморфизма) .

Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно фиксированного порождающего множества. Метрические пространства (X\,d\) и (X?, (I2) называются б'ллип-ишцево эквивалентными, если существуют биекция <р : Х\ —> X? и константа ¡3 > 0 такие, что jd\{x,y) ^ d2(<p(x), <р(у)) ^ ftd\ {x, у) для всех х,у € Xi.

Мы доказываем, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны [48, 50]. Это дает ответ на один вопрос М. Громова [22, стр. 23] в классе гиперболических групп. Ра-

нее П. Папасоглу [31] доказал аналогичное утверждение для свободных групп. Позднее и независимо В. Некрашевич [2] доказал, что ква-зиизометричные гиперболические группы билипшицево эквивалентны. Отметим, что идеи нашего доказательства (в частности лемма о пара-сочетаниях из комбинаторики и идея превращения инъективного отображения в биективное), могут быть применены для доказательства еще более общего факта: неаменабельные конечно порожденные группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они билипшицево эквивалентны [42]. В [48, 50] мы даем также положительный ответ па другой вопрос М. Громова из [22, стр. 23] (см. определение 5.1.2):

Будут ли произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве И",п ^ 2, билипшицево эквивалентны?

Удивительно, что для евклидовых пространств размерности п 2 аналогичный вопрос решается отрицательно [12].

Цель работы. Развитие геометрических методов исследования разложений групп в свободные конструкции. Доказательство того, что произвольные разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей являются почти геометрическими. Применение накрытий комплексов для характеризации конечно порожденных групп со свойством М. Холла. Применение обобщения этого свойства для решения проблемы автоморфной сопряженности конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей. Исследование геометрических автоморфизмов свободных групп и групп их неподвижных точек. Решение двух задач М. Громова о билипшицевой эквивалентности групп и сетей в гиперболических пространствах.

Общая методика исследований. В работе используются комплексы и накрывающие отображения, реализация конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей несжимаемыми подповерхностями в конечнолистных накрытиях этих поверхностей, реализация автоморфизмов фундаментальных групп замкнутых поверхностей гомеоморфизмами этих поверхностей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Здесь впервые:

- описаны конечно порожденные холловы группы;

- доказано, что произвольные разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей являются почти геометрическими;

- доказано, что фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, обладает реберной жесткостью;

- решена проблема автоморфной сопряженности конечно порожденных подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей;

- получена классификация автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификация групп неподвижных точек таких автоморфизмов с точностью до сопряженности в Л11(/'V;), и классификация стабилизаторов элементов из Г\ с точностью до изоморфизма;

- доказано, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны;

- доказано, что произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве Н",?1 ^ 2, билипшицево эквивалентны.

Теоретгьческая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретическое значение. Вошедшие в нее результаты и разработанные методы могут быть использованы в комбинаторной и геометрической теории групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместных семинарах ИМ СО РАН и НГУ "Топологические методы в теории групп", "Теория групп", "Алгебра и логика", на семинарах в университетах Бохума, Дортмунда, Билефельда, Франкфурта, на международных конференциях по комбинаторной и геометрической теории групп (Крит, 1996; Саутгемптон, 1997; Ворвик, 1999; Хайфа, 2000 - секционные доклады). Сделан пленарный доклад "Группы со свойством М. Холла" па Международной алгебраической конференции памяти М. И. Каргаполова (Красноярск, 1993), два секционных доклада на "Мальцевских чтениях" (Новосибирск, 1998), секционный доклад на международной конференции но логике, посвященной 60-летию 10. Л. Ершова (Новосибирск, 2000) и пленарный доклад "Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции" на международной конференции по теории групп, посвященной 60-летию со дня рождения Ю. И. Мерзлякова (Новосибирск, 2000).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [43 - 55] и в тезисах докладов [56 - 63].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы (88 наименований). Объем диссертации - 142 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена исследованию холловых групп.

Напомним, что группа б называется холловой, если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы б. Известно, что свободные группы конечных рангов холловы [24], свободные произведения и подгруппы холловых групп - холловы [13]. Естественно возник вопрос о характеризации холловых групп [11].

Группа называется достижимой, если она может быть представлена в виде фундаментальной группы конечного графа групп, в котором группы всех вершин имеют не более одного конца, а группы ребер конечны.

Легко доказать, что всякая конечно порожденная достижимая хол-лова группа может быть представлена в виде фундаментальной группы конечного графа конечных групп, то есть является почти свободной [11].

Заметим, что конечно порожденная недостижимая группа содержит бесконечную локально конечную подгруппу [18], и поэтому не может быть холловой.

Отсюда следует, что всякая конечно порожденная холлова группа почти свободна. Обратное, вообще говоря, неверно. В [11] была предпринята попытка охарактеризовать почти свободные холловы группы в частном случае свободного произведения с объединением конечных групп. Однако основная теорема и гипотеза работы [11] неверны.

Основные результаты данной главы следующие.

Теорема 1.10.1. Конечно порожденная группа С холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы (?.

Теорема 1.11.1. Существует алгоритм, позволяющий выяснять по конечному графу конечных групп (С,Г), холлова группа тг1(С,Г,ио) или нет.

В работе [46] мы приводим также алгоритм, позволяющий по конечному графу конечных групп (С, Г) и конечно порожденной подгруппе Я из С = 7Г1 (С, Г, г?о) выяснить, выделяется ли Я свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы £?.

Глава 2 посвящена проблеме автоморфной сопряженности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей.

В 1936 году Уайтхед [41] нашел алгоритм, решающий следующую проблему в случае, когда (7 - свободная группа конечного ранга:

Пусть {ах,...,а„} и {¿ц,..., 6П} - конечные наборы элементов группы С. Существует ли автоморфизм группы (7, переводящий а,- в 6,-для каждого г? Если существует, то найти хотя бы один такой автоморфизм.

Герстен решил аналогичную проблему для конечных наборов конечно порожденных подгрупп свободных групп [21]. Коллинз и Цишанг распространили метод Уайтхеда на свободные произведения конечного числа неразложимых групп при условии, что данная проблема разрешима для каждой из них [15, 16].

Заметим, что любая свободная группа конечного ранга изоморфна фундаментальной группе подходящей компактной связной поверхности с непустой границей и наоборот. Левитт и Фогтманн решили данную проблему для фундаментальных групп компактных поверхностей без границы [27].

В данной главе мы получаем аналог результата Герстена.

Теорема 2,5.2. Пусть £ - компактная связная поверхность с базисной точкой х. Пусть Н\ и Н2 - две конечно порожденные подгруппы группы ^(Е.а:), заданные конечными множествами порождающих. Существует алгоритм, позволяющий выяснить, есть ли автоморфизм а £ Аи1 (л"1(£,х)) такой, что сч(Н{) = #2. Алгоритм позволяет найти хотя бы один такой автоморфизм а, если он существует.

Уточним, что группа (Е, х) считается заданной каноническим представлением {</1,..., П*)> совпадающим с представлением

з

(«1, • ■ • «1,- • • ><д> «1 • ' и*]),

>=1

если 5 ориентируема, и с представлением

(«1, • ■ ■ , «т, «1, • ■ м ^| • • • ■ • •

если Е не ориентируема. Мы говорим, что ее подгруппа Н задана конечным множеством порождающих, если задано конечное множество слов в алфавите {з,ь<?Г1>' " > Яп, <7,71} > образы которых в группе 7Г1(Е,а;) порождают Н.

Глава 3 посвящена исследованию разложений фундаментальных групп замкнутых поверхностей. Опишем сначала коротко результаты данной главы.

Пусть Т - произвольная замкнутая поверхность с базисной точкой х и 7Г1 (Т, х) - ее фундаментальная группа. Можно построить нетривиальные разложения группы тг\(Т,х) в фундаментальные группы графов групп, используя несжимаемые подповерхности в Т. Такие разложения называются гсометрическилш (точные определения даны ниже). В § 3.2 строятся негеометрические разложения групп тг\(Т,х). Теоремы 3.3.6, 3.4.1 и 3.5.7 дают критерии геометричности разложений групп 7Гх(Т, а:).

Основным результатом данной главы является теорема 3.5.8, утверждающая, что любое разложение группы (Т,х) в фундаментальную группу конечного графа групп с конечно порожденными реберными группами является понтпи -геометрическим. Это означает, что существует подгруппа Н конечного индекса в т>1 (Т, х), зависящая от данного разложения, индуцированное разложение которой геометрично в соответствующем ей накрытии.

В § 3.6 вводится новое понятие - реберная жесткость. Неформально говоря, группа (7 обладает реберной жесткостью, если для любого конечного набора ее конечно порожденных подгрупп С?ъ ..., С„ существует только конечное число способов представления (? в виде фундаментальной группы графа групп с реберными подгруппами ..., Сп без учета значений проходных букв. Теорема 3.6.1 утверждает, что фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, обладает реберной жесткостью.

Приведем теперь точные определения и формулировки основных результатов главы 3.

Пусть Е - связная поверхность с базисной точкой х. Компактная подповерхность 5 поверхности называется несжимаемой, если ни одна компонента замыкания £ \ Б не является 2-диском с границей, содержащейся в дБ. Если 5 несжимаема и £ € £>, то естественный гомоморфизм 7Г1 (5, аз) —>• я"! (1], х) инъективен. Поэтому мы отождествляем группу 7Г].(5, х) с ее образом в 7^(5], х). Пусть Н - подгруппа группы г). Мы говорим, что Н реализуется несжимаемой нодповерхно-стью Е, если х £ тг(5) и Н — 7^(5, х).

Определение 3.1.1. Пусть Е - поверхность с базисной точкой х и пусть <Ti (S, х) = G*1 *g, G'2 - разложение ее фундаментальной группы в свободное произведение с объединением. Мы говорим, что это разложение геометрично, если в £ существуют несжимаемые подпо-верхности Si, S'jjSs такие, что S = S\ U S2, Si П = S3, х £ mí(S3) и G, = 7Г1 (Si > аг)i » = 1,2,3.

Далее мы обобщим это определение на случай разложения группы 7Ti(S, аг) в фундаментальную группу произвольного конечного графа групп.

В [1] X. Цишанг сформулировал следующую проблему.

Проблема 10.69. Пусть Тд - замкнутая ориентируемая поверхность poda g ^ 2 с базисной тонкой х. Верно ли, что любое разложение TTi(Tg,x) = G1 *gs G2 геометрично при условии, что Gi ф G3 ф G2 и подгруппа (?з конечно порождена?

Известно, что любое такое разложение геометрично, если G3 - циклическая группа (см. [26] и [4]). В этом случае разложение определяется простой замкнутой кривой в Тд, разделяющей Тд. С точностью до гомеоморфизмов в Тд имеется только конечное число таких кривых. Поэтому имеется только конечное число разложений группы ni (Тд, х) в свободное произведение с объединением по бесконечной циклической группе Z с точностью до автоморфизмов группы i7i(Tg,x).

В общем случае ответ на этот вопрос отрицателен. В § 3.2 приводится некоторый метод построения негеометрических разложений и доказывается, что для каждого д ~¡> 2 существует бесконечно много негеометрических и не автоморфно эквивалентных разложений вида 7Г] (Та, х) = F-> F->g-i, где Fn - свободная группа ранга п.

В следующем определении используется понятие графа групп и его фундаментальной группы из [38] (см. также § 1.2). Для любого графа X и ребра е G X1 начало е обозначим через а:(с), конец - через и>(е). Класс петель, гомотопных петле I на поверхности Т, обозначим через [/].

Определение 3.1.2. Пусть Т - компактная поверхность с выделенной точкой х. Пусть (G, X) - конечный граф групп с вершинными группами Gv (v £ Xo), реберными группами Ge (е Q X1) и вложениями а? : Ge —)■ Ga(e). Скажем, что (G,-X") геометрически реализован в Т, если выполнены следующие условия.

(1) Каждой вершине и Е Х° поставлена в соответствие несжимаемая подповерхность Su с выделенной точкой и* и ее фундаментальная группа 7r1(S*u, отождествлена с группой Gu.

(2) Каждому ребру е € Xх с началом « поставлена в соответствие несжимаемая подповерхность Sc в Su, содержащая ы*. При этом группа 7Ti(Se, и») отождествлена с группой Ge так, что каноническое вложение 7Ti(£>e,u*) —> 7Ti(S'u, u„) совпадает с вложением ае : Ge —f Gu.

(3) Для каждого ребра е £ X1 с началом и и кондом w зафиксирован путь е* из и* в го* такой, что -Ki(Se,ur) — {[e^ej1] | [/] g w»)}. При этом (ё), = (е*)-1-

Для произвольной вершины и £ и элемента д £ Gu обозначим через д некоторую петлю в Su с началом в и*, гомотопический класс которой отождествлен с д. Зафиксируем некоторую вершину v € Х°. Тогда можно задать гомоморфизм в : tti(G, X, v) —Hi (Т, v* ) следующим правилом: элементу goeigi ■ ■ ■ спдп группы tti(6, X, v) поставим в соответствие гомотопический класс петли go{ei)*9i ■ ■ ■ {еп)*9п-

Пусть (G,X) - граф групп, v £ Х° и tp : 7Ti(G,X,v) -)■ ni{T,x) -гомоморфизм. Мы скажем, что р геометричен, если существует такая геометрическая реализация графа групп (G, Л'), для которой х — и» и построенный выше гомоморфизм 0 совпадает с (р. Мы говорим также, что разложение 7ri (G, X, i>) геометрически реализуется в Т (относительно <р).

Замечание 3.1.3. Пусть Т - замкнутая поверхность с базисной точкой х и <р : G\ * (?2 —> я-1 (Г, х) - геометрический изоморфизм. Тогда g3

разложение 7ri(T, ж) = * геометрично в смысле опре-

деления 3.1.1. Это следует из теоремы 3.3.6 ввиду того, что <p(G$) реализуется несжимаемой иодпоиерхностью в Т.

Замечание 3.1.4■ Пусть Н ^ n\(G,X,v). По теории Басса - Серра существует индуцированное представление II в виде II = iri(H, У, ги). Если изоморфизм tp : tti (G, X, v) —> згi(T, а;) геометричен и р : (Т, х) —»• (Г, х) - накрытие, соответствующее подгруппе <р(Н), то изоморфизм Р*1 ° <р\н '■ Я! (Н, У, id) —> 7Ti(Т,х) тоже геометричен. Если {S'u }, {<Se} и {е*} - набор подповерхностей и путей , в Т, соответствующий реализации графа групп (G, X), то компоненты связности прообразов р~1{3ц ), р~1 {Se) и р-1(е») составляют набор подповерхностей и путей в Т, соответствующих реализации графа групп (Н, У).

Теорема 3.5.8. Пусть Т - замкнутая поверхность, (&,Х) - конечный граф групп с конечно порожденными реберными группами, ¡р : тп(С,Х,«) -> 7Г\(X1, х) - изоморфизм. Тогда существует такая подгруппа Н конечного индекса п в группе 7Г1(С, X, v), что для ее индуцированного разложения тгх (И, У, и>) и соответствующего ей накрытия р : (Т, х) —>■ (Т, х) изоморфизм р71 о <р\н ■ тг^Н, У, IV) —> лч (Т, х) геоме-тричен.

В § 3.5 уточняется, что индекс п оценивается рекурсивной функцией от суммы длин у?-образов порождающих реберных подгрупп группы 7Г1 (С, X, и) относительно фиксированной системы порождающих группы п\(Т, х) .

Определим понятие реберной жесткости групп. Расширенным графом групп назовем четверку (С, X, я, Г), где (С, X) - граф групп, х £ Х°, Г - максимальное поддерево в X. Положим тг!(С, X, х, Г) = 7Г1(<й, X, х). Для произвольной вершины V £ Х° обозначим через ри путь без возвращений в Г из 1 в V. Подгруппы руС„р~1 = {Ру[/Рй^ 19 € Сщ} назовем вершинными подгруппами, подгруппы ра(е.)Сге.{Се)р~^еу где е £ X1 - реберными подгруппами группы тг\(&, Х,х, Г).

Скажем, что группа С? обладает реберной жесткостью относительно конечного набора ее подгрупп ..., Оп, если существует только конечное число вариантов для наборов вершинных подгрупп при отождествлении б с фундаментальной группой расширенного графа групп с реберными подгруппами С?1 ,...,(?„ •

Скажем, что группа С обладает реберной жесткостью, если О обладает реберной жесткостью относительно любого конечного набора ее конечно порожденных подгрупп.

Теорема 3.6.1. Фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, обладает реберной жесткостью.

Очевидно, свободная группа ранга п ^ 2 не обладает свойством реберной жесткости относительно единичной подгруппы.

Фундаментальная группа бутылки Клейна С = (а,Ь \1>~1а1> — а"*1) не обладает реберной жесткостью относительно подгруппы (б2), так как для любого целого к имеется разложение О — (Ъа2к) (Ьа2к+1).

В конце § 3.6 приводятся более экзотичные примеры групп С без реберной жесткости (см. [55]). В этих примерах С = А *с В{ (г = 1,2,...), где подгруппы А и С фиксированны, В,- 3? В^ при г ф

Глава 4 посвящена классификации автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек. Предистория вопроса и методика исследования были освещены выше, поэтому мы сформулируем здесь только основные результаты.

Пусть Р'1 - свободная группа с базисом {а, 6}. Определим некоторые автоморфизмы Р-у-

Мы используем следующее правило композиции автоморфизмов: если <р,ф € Aut(F2) и ж € то <рф(х) = tj>(<p(x)). Для х € jP2 обозначим через St (г) стабилизатор элемента х в группе Ли! (А). Для автоморфизма а такого, что ап - внутренний автоморфизм и п 2 минимально, и для элемента положим

Если Я - свободная группа, то через гк(Н) обозначим ее ранг. Для произвольного подмножества X группы обозначим через {X) подгруппу, порожденную X. Обозначим [ж, у] — х~1у~1ху, ху — у~1ху. Для д £ ^ обозначим через д автоморфизм, индуцированный сопряжением д: д(х) — д~1 хд, х Е Через Гнп^г) обозначим группу всех внутренних автоморфизмов группы ■ Для т 6 и> ф I пусть \[и> обозначает слово и, такое, что ик = и> и к максимально. Положим л/Т = 1.

Пусть — : Аи1(^2) СтЬз (¿2) гомоморфизм, индуцированный абели-зацией Г2. Известно, что группа внутренних автоморфизмов 1пп(/'2) является ядром этого гомоморфизма и, что

где Оп - диэдральная группа порядка 2п.

Следующие две леммы известны и объясняют роль введенных автоморфизмов.

Лемма 4.1.1. 1) Любой нетривиальный периодический автоморфизм из Аи<,(^2) имеет порядок 2, 3 или 4. Имеется ровно четыре класса сопряоюенности автоморфизмов порядка 2, один порядка 3

w(a,u) = ииа .. .и'

GL2{Z)^D4 * DGS (fr.fri) _*_ {p,cr!>,

(4.1)

и один порядка 4. Автоморфизмы п\, <т-_,, сгу, <г^а, т и сг являются их представителями.

2) Любой нетривиальный периодический элемент из СЬ;>(2£) имеет порядок 2, 3, 4 или 6. Существует ровно три класса сопряженности элементов порядка 2 и по одному порядка 3, 4 и 6. Элементы д~1, <72, т, сг и р являются их представителями.

Первое утверждение содержится в [29], второе следует из разложения (4.1).

Заметим, что р - автоморфизм порядка 6 но модулю внутренних автоморфизмов: р6 = ЬаЬ~1а~1.

Следующая лемма доказана в [14].

Лемма 4.1.2.Пусть а е АнЦ.Р'о). Тогда гк(¥'1х(а)) = 2 в г?,ом и только том случае, когда а сопряжен с /3е, 2 £ 2. При £ ^ О имеем

Основным результатом главы 4 является следующая теорема, в которой классифицированы автоморфизмы по рангам группам их неподвижных точек, а также сами неподвижные точки.

Теорема 4.3.7. Пусть а 6 АиЦ^УУпп^)- Если а фиксирует нетривиальное слово из Рч, то после подходящего сопряжения выполняется одно из двух: а 6 (/?,7) "Л11 а совпадает, по модулю внутренних автоморфизмов, с одним из следующих:

р,т,а, а 1,о-2,<тз,0\(31<т2-

Если а € (/?, 7) и а не сопряо/ссн в АиЦ/'г) со степенью /?, то Р1х(а) = ([а,Ь]}; Р1х(/?') = (а,[а,й]) при I ф 0. Кроме того, выполняются следующие утверждения.

1. Р1х(/>ы) = (\/ю(р,и~1)аЬа~1Ь~1) ф{1}.

2. Если ip — t,cr,(ti или а2, moY\x(ipû) — {yj w(ip,u~1)). Более того, w(<p,u~1) = 1 tt (pu сопряжено с <р -О- существует х 6 F2 такое, что

Fiх(^) = (а, [а, 6]).

(x~1)v>x для <р = а и сгi

(,x~ï)'px или (x~1)vbx для <р = т,

или (x~1)v>ax, или (x~1)tpbx для <р = о-т.

>>

Fix(<r3u) = {1}

, если и = (х~1)"ах, , если и= (х~1)азах,

(у/г1)(сгз, и-1)} ф {1} , если иф {х~х)°ъа5х, где х £ = 0,1.

В первом случае <тзи сопряжено с аз, во втором - с сгза, в третьем <Хзй не сопряжено ни с сг3, ни с аза.

4. Пусть ¡31и фиксирует нетривиальное слово из Е2 и%ф 0. Тогда ¡3(и сопряжено с ¡31а' или с для некоторого гзд — ак'1Ь~1ак^Ь...

Ь~1ак:ггЬ, где и>о не собственная степень, Аг,- ф О, г = 1,.. . ,2г и в € Ъ. Сопрягающий элемент можно выбрать в 1пп(р2). Более того,

Fíx^wq') — (wo) для s ф О.

5. Пусть /?'<Г2« фиксирует нетривиальное слово из F-¿ и пусть

и>о не собственная степень. Сопрягающий элелгент можно выбрать о 1пп(^Г2)- Более того,

Кх^стгг^Ч^) = <ш0).

С помощью этой теоремы выводятся следующие три теоремы.

Теорема 4.3.8. Все возможные типы, с точностью до изоморфизма, стабилизаторов нетривиальных элементов из в группе АмЦ!^) перечислены в следующем списке: Z, % х Е, (х,у\х~гух = у~г), (х,у\х2 = [х,у2] ~ I), (х,у\хух = уху).

Теорема 4.3.11. Существует эффективный алгоритм, который для данного автоморфизма а £ Аи(;(/Л) находит некоторый базис его группы неподвижных точек Рхх(а).

Теорема 4.3.12. Проблема сопряженности в группе АиЦ/'г) эффективно разрешима.

Глава 5 посвящена исследованию отношения билипшицевой эквивалентности в классе гиперболических пространств.

Определение 5.1.1. Метрические пространства (Xi, di) и (X-j, d->) называются билипшицево эквивалентными, если существуют биекция <р : Х\ —> X-z и константа ¡3 > О такие, что ^d\(x, у) ^ d2(<p(x), <р(у)) ^ Pdi(x, у) для всех х, у £ Xj.

Определение 5.1.2. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Подмножество Y С X называется разделенной сетью в X, если существуют константы £ > 0 и \i > 0 такие, что выполняются следующие условия:

1) Чх е X Зу G У : d{x, у) ^ е,

2) Vybt/2 € У : ух Ф у2 => d(yl,y2) ^ ц.

Мы рассматриваем подмножества метрических пространств как метрические пространства с индуцированной метрикой.

Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно произвольного порождающего множества, а ее подгруппы конечного индекса - как разделенные сети. Для конечно порожденных групп мы используем всегда конечные порождающие множества. Свойство конечно порожденных групп быть билипшицево эквивалентными не зависит от выбора в них конечных порождающих множеств.

В [22, стр. 23] М. Громов поставил следующие вопросы:

1) При каких условиях две подгруппы конечного индекса в конечно порожденной группе билипшицево эквивалентны?

2) Будут ли произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве И", п ^ 2, билипшицево эквивалентны?

В данной главе дается ответ на первый вопрос в классе гиперболических групп и положительный ответ на второй вопрос.

Теорема 5.1.3. Любые две разделенные сети Ti и Г2 в гиперболическом пространстве Ы" размерности п ^ 2 с канонической метрикой d билипшицево эквивалентны. Более того, существуют константа с > 0 и биекция <р : Ti —> Г2 такие, что d(x, ^(ж)) ^ с для всех х £ Tj.

Теорема 5.1.4. Подгруппы конечного индекса в бесконечной гиперболической группе билипшицево эквивалентны.

Следствие. Бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны.

Литература

Коуровская тетрадь. Нерешенные проблемы в теории групп. 14-е иЗД. Новосибирск, 1999.

некрашевич в. в. Квазиизометричныс гиперболические группы билипшицево эквивалентны // Долой. Акад. Наук Украины. 1998. N 1. С. 32-35.

Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

Цишанг X. О разложениях дискретных групп изометрий плоскости // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36. С. 173-192.

Цишанг X., Фогт Е., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.

Bass Н. Some remarks on group actions on trees // Commun. in algebra. 1976. V. 4, N 12. P. 1091-1126.

bestvina M. M-frees in topology, geometry, and group theory. Preprint. 1997.

Bestvina M., Feighn M. Stable actions of groups on real trees // Invent. Math. 1995. V. 121. P. 287-321.

Bestvina M., Handel M. Train tracks and automorphisms of free groups 11 Annals of Math. 1992. V. 135, N 2. P. 1-53.

Bridson M,, Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature, Boston-Heidelberg: Springer, 1999.

Brunner A. M, Burns R. G. Groups in which every finitely generated subgroup is almost free factor // Canad. J. Math. 1979. V. 31, N 6. P. 1329-1338.

Burago D., kleiner B. Separated nets in Euclidean space and Jaco-bians of bi-Lipschitz maps // Geom. Funct. Anal. 1998. V. 8. P. 273282.

Burns R. G. On finitely generated subgroups of free products //J. Austral. Math. Soc. 1971. V. 12. P. 358-364.

[14] Collins D. J., Turner E. C. All automorphisms of free groups with maximal rank fixed point subgroups // Math. Proc. Camb. Soc. 1996. V. 119, N 4. P. 615-630.

[15] Collins D. J., Zieschang H. Rescuing the Whitehead method for free products, I: Peak reduction // Math. Z. 1984. V. 185, N 4. P. 487-504.

[16] Collins D. J., Zieschang H. Rescuing the Whitehead method for free products, II: The algorithm // Math. Z. 1984. V. 186, N 3. P. 335-361.

[17] Dunwoody M. J. The accessibility of finitely presented groups // Invent. math. 1985. V. 81. P. 449-457.

[18] Dunwoody M. J. Folding sequences. In: The Epstein birthday schrift. Geometry and topology monographs. International Press, 1998. V. 1. P. 139-158.

[19] Dunwoody M. J., Sageev M. E. JSJ-decompositions for finitely presented groups over slender subgroups // Invent, math. 1999. \ . 135. P. 25-44.

[20] Dunwoody M. J., Swenson E. L. The algebraic torus theorem // Invent, math. 2000. V. 140. P. 605-637.

[21] Gersten S. M. On Whitehead's algorithm // Bulletin of the AMS. 1984. V. 1, N 2. P. 281-284.

[22] Gromov M. Geometric Group Theory, V. 2: Asymptotic invariants of infinite groups. Lecture Note Series, 182, 1993.

[23] Gromov M. Metric structures for riemannian and non-riemannian spaces. Progress in Math. V. 152. Boston - Basel -Berlin: Birkhauser, 1999.

[24] Hall M. Coset representations in free groups // TAMS. 1949. V. 67. P. 421-432.

[25] IIass J., Scott P. Shortening curves on surfaces // Topology. 1994. V. 33, N 1. P. 25-43.

[26] Hendriks H., Shastri A. A splitting theorem for surfaces, amalgamation. // Math. Centre Tracts Amsterdam. 1979. V. 115. P. 117-121.

[27] Levitt G., Vogtmann K. A Whitehead algorithm for surface groups: Preprint. 1997.

[28] Lyndon R. C. Quadratic equations in free products with amalgamation H Houston J. Math. 1978. V. 4. P. 91-103.

[29] Meskin S. Periodic automorphisms of the two-generator free grt.up // Proc. Conf. Canberra, 1973. Berlin: Springer, 1974. P. 494-498 (Lecture Notes in Math. V. 372, 1974).

[30] Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen // Acta Math. 1927. V. 50. P. 189-358.

[31] Papasoglu P. Homogeneous trees are bilipschits equivalent // Geome-triae Dedicata. 1995. V. 54. P. 301-306.

[32] Paulin F. Sur les automorphismes extérieurs des groupes hyperboliques // Ann. scient. Éc. Norm. Sup. 1997. T. 30. P. 147-167.

[33] RlPS E., Sela Z. Cyclic splitting of finitely presented groups and the canonical JSJ decomposition j/ Annals of Math. 1997. V. 146, N 1. P. 53-109.

[34] Scott P. Subgroups of surface groups are almost geometric // J. London Math. Soc. 1978. V. 17, N 3. P. 555-565.

[35] SELA Z. The Nielsen - Thurston classification and autornorphi, ms of a free group I // Duke Math. J. 1996. V. 84, N 2. P. 379-397.

[36] Sela Z. Acylindrical accessibility for groups // Invent. Math. 1997. V. 129. P. 527-565.

[37] Sela Z. Endomorphisms of hyperbolic groups I: the Hopf property // Topology. 1999. V. 38, N 2. P. 301-321.

[38] Serre J.-P. Trees. New York: Springer, 1980.

[39] St allings J. R. Group theory and three dimensional manifolds // Yale Math, monographs. N 4. New Heaven: Yale Univ. Press, 1971.

[40] Turner E. C. Finding indivisible Nielsen paths for a train track map // Proc. of a workshop held at Heriot - Watt Univ., Edinburg, 1993. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. P. 300-313 (Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. V. 204).

[41] Whitehead J. H. C. On equivalent sets of elements in free groups // Ann. of Math. 1936. V. 37. P. 782-800.

[42] Whyte K. Amenability, bi-Lipshitz equivalence, and the von Neumann conjecture // Duke Math. J. 1999. V. 99, N 1. P. 93-112.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[43] вогопольский о. в. О древесной разлоэюимости групп автоморфизмов свободных групп // Алгебра и логика. 1987. Т. 26, JV« 2. С. 131-149.

[44] Богопольский О. В. К проблеме сопряженности автоморфизмов свободных групп // Алгебра и логика. 1989. Т. 28, № 1. С. 1828.

[45] Богопольский О. В. Конечно порожденные группы со свойством М. Холла И Алгебра и логика. 1992. Т. 31, № 3. С. 227-275.

[46] Богопольский О. В. Почти свободные группы и свойство Холла И Алгебра и логика. 1994. Т. 33, № 1. С. 3-24.

[47] bogopobskl О. V. Generalized ends о/ hyperbolic groups, Bericht Nr. 207, August 1996, Fakultät für Mathematik der Ruhr-Universität Bochum, 13 pp.

[48] Bogopolski О. V. Infinite commensurable hyperbolic groups are bi-Lipschitz equimlent, Bericht Nr. 206, August 1996, Fakultät für Mathematik der Ruhr-Universität Bochum, 13 pp.

[49] Богопольский О. В. Классификация действий конечных групп на ориентируемой поверхности рода 4 // Вопросы алгебры и логики. Труды Института математики СО РАН. 1996. Т. 30. С. 48-69.

[50] Богопольский О. В. Бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 3. С. 155-163.

[51] Богопольский О. В. Проблема автоморфной сопряо/сенности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей. Новосибирск, 1999. 24 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 58).

[52] Богопольский О. В. Классификация автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек. Новосибирск, 1999. 15 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 59).

[53] богопольский о. в. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции. Новосибирск, 2000. 27 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики; № 72).

[54] Bogopolski О. V. Classification of automorphisms of the free group of rank 2 by ranks of fixed-point subgroups //J. Group Theory. 2000. V. 3, N 3. P. 339-351.

[55] Bogopolski О. V., Weidmann R. On the uniqueness of factors of amalgamated products. Preprint. 2000. 8 pp.

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[56] Богопольский О. В. О древесной разложимости групп автоморфизмов свободных групп // В кн.: IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов. Москва, 1984. С. 12.

[57] Богопольский О. В. Подгруппы неподвиж>тх элементов авто-морфизлш и проблема сопряженности в группе Aut(F2) //В кн.: 19 Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений, ч. 2. Львов, 1987. С. 33-34.

[58] Богопольский О. В. Почти свободные группы и свойство М. Холла //В кн.: Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова. Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 45.

[59] Богопольский О. В. Конечные подгруппы групп классов отображений ориентируемой поверхности рода 4 // В кн.: Третья международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова. Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 44.

[60] богопольский о. в. Бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны //В кн.: Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фадеева. Тезисы сообщений. Санкт-Петербург, 1997. С. 168.

[61] Богопольский О. В. Проблема автоморфной сопряженности для подгрупп фундаментальных групп поверхностей // В кн.: Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". Тезисы докладов. Омск, 1998. С. 37-38.

[62] Богопольский О. В. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции // В кн.: IV Международная конференция по теории групп, посвященная 60-летию со дня рождения Ю. И. Мерзлякова. Тезисы докладов. Новосибирск, 2000. С. 24-29.

[63] Bogopolski О. Classification of automorphisms of the free group of rank £ by ranks of fixed-point subgroups // International conference on geometric and combinatorial group theory. Abstracts. Haifa, Israel,

2000. P. 15-17.

БОГОПОЛЬСКИЙ Олег Владимирович

Разложения и автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 03.10.2000. Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,3. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ №66.

■У

Лицензия ПЛД №57-43 от 22 апреля 1998 г. Отпечатано на полиграфическом участке ИМ СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия.

Введение

Глава 1. Конечно порожденные группы со свойством

М. Холла

§ 1.1. Условие А"

§ 1.2. Граф групп и его фундаментальная группа

§ 1.3. Нормализаторы подгрупп фундаментальных групп графов групп

§ 1.4. Некоторые соглашения

§ 1.5. Комплекс А"(С,Г)

§ 1.6. Окрестности комплекса К(&, Г) и их накрытия

§ 1.7. .¿/-компоненты

§ 1.8. Лемма о вложении

§ 1.9. Теорема о свободных подгруппах почти свободных групп

§ 1.10. Характеризадия конечно порожденных холловых групп

§ 1.11. Алгоритм, выясняющий холловость конечно порожденных почти свободных групп

§ 1.12. Контрпример к гипотезе Бруннера и Бернса

Глава 2. Проблема автоморфной сопряженности подгрупп фундаментальных групп компактных поверхностей

§ 2.1. Некоторые классические теоремы о гомеоморфизмах поверхностей и автоморфизмах их фундаментальных групп

§ 2.2. Минимальные представители замкнутых кривых на поверхностях

§ 2.3. Эффективное построение ядер накрытий, соответствующих конечно порожденным подгруппам

§ 2.4. Реализация конечно порожденных подгрупп несжимаемыми подповерхностями

§ 2.5. Доказательство основной теоремы

Глава 3. Разложения фундаментальных групп замкнутых поверхностей в свободные конструкции

§3.1. Определения геометрических разложений

§ 3.2. Построение негеометрических разложений группы

7Г1(Тд,х) в свободное произведение с объединением

§ 3.3. Критерий геометричности свободного произведения с объединением

§ 3.4. Критерий геометричности ЬШМ-расширения

§ 3.5. Почти геометричность представлений группы ^(Т, х) в виде фундаментальной группы конечного графа групп

§ 3.6. Реберная жесткость

Глава 4. Классификация автоморфизмов свободной группы ранга, 2 по рангам групп неподвижных точек

§ 4.1. Основные определения, обозначения и леммы

§ 4.2. Геометрическая интерпретация равенства а(ги) = гп

§4.3. Доказательства теорем

Глава 5. Гиперболические группы, сети и билипшицева эквивалентность

§ 5.1. Основные определения и теоремы

§ 5.2. Тупики в группах

§ 5.3. Лемма о почти продолжениях геодезических

§ 5.4. Конструкции

§5.5. Разделенные сети в гиперболическом пространстве ШР.

1. Обзор проблем и результатов

Группа называется разложимой, если она представляется в виде фундаментальной группы нетривиального редуцированного графа групп [58, 12]. Такое представление называется разложением группы. Согласно теории Басса - Серра, группа разложима тогда и только тогда, когда она действует без общей неподвижной точки на некотором дереве [58].

Исследование разложений групп и связанных с ними действий групп на Е-деревьях - одна из важных задач комбинаторной теории групп. Разложения групп позволяют лучше понять строение их подгрупп [58], а в случае гиперболических групп - изучить динамику и классифицировать их автоморфизмы, а также выяснить строение групп автоморфизмов этих групп (см. обзор Бествины [13], а также работы [15, 52, 55, 57]).

Истоки многих идей и методов исследования разложений групп находятся в топологии. Отметим здесь теорему Зейферта - ван Кампена, теорию Столлингса концов групп, теоремы об алгебраическом торе и о 18Л-разложении групп (Рипс, Села, Данвуди, Сагеев, Свенсон, Па-пасоглу и Фудживара). Далее мы говорим только о тех разложениях, в которых реберные группы конечно порождены.

В тех случаях, когда группа имеет ярко выраженное геометрическое происхождение, естественно спросить

1) всякое ли ее разложение геометрично?

2) как связаны произвольные разложения с геометрическими?

Мы отвечаем на эти вопросы для фундаментальных групп замкнутых (то есть компактных и без края) поверхностей, понимая под геометрическим разложением такое, которое индуцируется разбиением поверхности на подповерхности. Формальные определения приводятся ниже. Оказывается, не все разложения таких групп геометричны это дает ответ на вопрос 10.69, сформулированный X. Цишангом в [3]), однако все разложения почти геометричны в некотором точном смысле [78]. Кроме того, эти группы, за исключением фундаментальной группы бутылки Клейна, обладают свойством реберной жесткости: при фиксированных реберных подгруппах имеется конечное число вариантов для вершинных подгрупп в разложениях группы.

Представлять разложения и подгруппы в виде геометрических объектов помогает теорема Скотта [54], утверждающая, что любая конечно порожденная подгруппа Н фундаментальной группы х), где Т - компактная поверхность, реализуется несжимаемой подповерхно-стью в некотором конечнолистном накрытии поверхности Т.

На алгебраическом языке это означает, что Н выделяется как вершинная подгруппа в некотором разложении подходящей подгруппы конечного индекса в 7Г\ (Т,х).

Такой подход позволил нам решить проблему автоморфной сопряженности двух конечно порожденных подгрупп группы щ (Т, ж) [76]. Ранее проблема автоморфной сопряженности была решена Уайтхедом для элементов свободной группы [65], Герстеном для конечно порожденных подгрупп свободной группы [34] и Левиттом и Фогтманн для элементов группы щ (Т, х) [45].

Скотт отмечает, что толчком к его исследованию [54] явилась работа М. Холла [39], в которой доказано, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы ^ конечного ранга выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы Е. Фактически, Скотт доказывает обобщение теоремы Холла на геометрическом языке.

Группа С называется холловой (в честь М. Холла [39]), если всякая ее конечно порожденная подгруппа выделяется свободным множителем в некоторой подгруппе конечного индекса группы С. Мы доказываем, что конечно порожденная группа холлова тогда и только тогда, когда она почти свободна и всякая ее конечная подгруппа выделяется свободным множителем в подходящей подгруппе конечного индекса [70]. Это свойство алгоритмически распознаваемо в классе групп, заданных конечными графами конечных групп. Используемая техника - накрытия комплексов.

Исследование автоморфизмов свободных групп - одно из важных и интересных направлений в комбинаторной теории групп, в котором геометрические идеи и методы находят яркое воплощение.

Пусть Гп - свободная группа ранга п и Аи^^) - группа ее автоморфизмов. Важнейшей характеристикой автоморфизма а Е Аи1;(.Рп) является группа его неподвижных точек: Г1х(а) = Рп \ а(х) = х}. Используя технику трейн-треков Бествина и Хэндель [2] доказали, что гк(Г1х(а)) ^ п. Детальный анализ этой техники позволил Коллинзу и Тёрнеру [3] классифицировать автоморфизмы а с условием гк(¥[х(а)) = п. Однако получить полную классификацию автоморфизмов Еп по рангам групп их неподвижных точек и классификацию этих групп с точностью до сопряженности в Аи^-Р^) пока не удается. Мы показываем возможность получения такой классификации для геометрических автоморфизмов.

Автоморфизм а группы Рп называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом некоторой компактной поверхности Т с краем при отождествлении групп и ^(Т1, х). Неподвижные точки автоморфизма реализуются минимальными замкнутыми кривыми в Т. Несжимаемые подповерхности в Т, связанные с этими кривыми, соответствуют группам неподвижных точек автоморфизма.

При п = 2 любой автоморфизм геометричен. Это позволило нам получить классификацию автоморфизмов свободной группы ранга 2 по рангам групп неподвижных точек, классификацию групп неподвижных точек автоморфизмов и классификацию стабилизаторов элементов из 1^2 [79]. В качестве следствия мы получаем алгоритм, решающий проблему сопряженности в группе Аи^^), а также алгоритм для нахождения базиса подгруппы Г1х(а;) для а Е Аи^Рг).

Одним из перспективных направлений геометрической теории групп является исследование свойств групп, инвариантных относительно ква-зиизометрий, а также описание классов квазиизометричных групп (см. книги М. Громова [37, 38]). Мы исследуем частный случай квазиизо-метрий - билипшицевы отображения (они обобщают понятие изоморфизма).

Группу можно рассматривать как метрическое пространство со словарной метрикой относительно фиксированного порождающего множества. Метрические пространства и (Хг,^) называются би-липшицево эквивалентными, если существуют биекция ср : Х\ —> Х2 и константа (3 > 0 такие, что ^с1\(х,у) ^ ¿2((р(х),(р(у)) ^ (Зй\{х^у) для всех ж, у Е Х\.

Мы доказываем, что бесконечные соизмеримые гиперболические группы билипшицево эквивалентны [73, 75]. Это дает ответ на один вопрос М. Громова [37, стр. 23] в классе гиперболических групп. Ранее П. Папасоглу [51] доказал аналогичное утверждение для свободных групп. Позднее и независимо В. Некрашевич [7] доказал, что квази-изометричные гиперболические группы билипшицево эквивалентны. Отметим, что идеи нашего доказательства (в частности лемма о пара-сочетаниях из комбинаторики и идея превращения инъективного отображения в биективное), могут быть применены для доказательства еще более общего факта: неаменабельные конечно порожденные группы квазиизометричны тогда и только тогда, когда они билипшицево эквивалентны [66]. Наше доказательство применимо также для положительного решения другого вопроса М. Громова из [37, стр. 23] (см. определение 5.1.2):

Будут ли произвольные разделенные сети в гиперболическом пространстве ШР,п ^ 2, билипшицево эквивалентны?

Удивительно, что для евклидовых пространств размерности п ^ 2 аналогичный вопрос решается отрицательно [20].

2. Формулировки основных определений и теорем