Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей

Полякова, Юлия Модестовна

Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Полякова, Юлия Модестовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей»

Автореферат диссертации на тему "Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей"

На правах рукописи УДК 514.7

Полякова Юлия Модестовна

ФАКТОРИЗАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ И АВТОМОРФИЗМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность

01.01.06 -математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгербы механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Исковских

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Кошевой Г. А.

Кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Бондал Ведущая организация - Владимирский государственный

университет

Защита диссертации состоится « 3 » шонеЯ, _ 2005 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « 3 » игггвб 2005 года

Ученый секретарь диссертационного

Совета Д.501.001.84

Доктор физико-математических наук,

Профессор ,л\ I В.Н. Чубариков

№&G

¿/^svrg

Актуальность темы.

Одной из основных проблем в бирацональной геометрии являеся задача факторизация бирацональных отображений алгебраических многообразий, то есть разложение этих отображений на элементарные. Еще в конце 19 века М.Нетером была доказана теорема о разложении бирацио-нальных автоморфизмов проективной плоскости на квадратичные преобразования. С тех пор в этой науке произошел существенный прогресс. В настоящее время наиболее перспективным в решении задачи факторизации бирацональых отображний принято считать подход, основанный на их разложении на элементарные отображения, называемые линками. При этом под линками подразумеваются бирациональные отображения 7, такие что 7 и 7-1 стягивают не более одного неприводимого дивизора.

В случае решения задачи факторизации, естественным образом возникает задача поиска полной системы соотношений между линками, поскольку имея решения этих задач мы получаем полное описание классов бирациональной эквивалентности и отображений между элементами каждого класса.

Для расслоений Мори размерности два и три с терминальными Q-факториальными особенностями, а также двумерных лог-терминальных пар, являющихся расслоениями Мори в [I]1 и [2]2 доказана теорема о существовании разложения бирациональных отображений на элементарные линки над полем комплексных чисел. Построение алгоритма указанного разложения сводится к исследованию структуры рассматриваемых многообразий. Случай раслоений Мори размерности два полностью изучен, то есть, построен алгоритм разложения и найдена полная система соотношений между линками.

Задача факторизацизации отображений рациональных поверхностей решалась также и над незамкнутыми полями. Так в [З]3, [4]4 и [5]5 над

1 Alessio Corti. Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov. //Journal of algebraic geometry. 1995. N5.

2K.Matsuki. Introduction to Mori's program. // Springer. 2002, Springer ferlak, New

3Исковских В.А. Образующие в двумерной группе Кремоны над незамкнутым полем. // Труды МИАН 1991. т. 200, с. 157-170.

4Исковских В.А. Образующие и соотношения в группах бирациональных автоморфизмов двух классов рациональных поверхностей. // Тр. Мат. Инст. им. Стеклова АН СССР. 1984. т.165, с. 67-78.

5Исковских В.А., Кабдыкаиров Ф.К., Трегуб С.Л. Соотношения в двумерной груп-

York.

1 ; ' ^ il ч. \jhwi

совершенным полем к была решена задача об описании группы бира-циональных автоморфизмов неособых, рациональных расслоений Мори размерности два, а в [6]® был построен алгоритм разложения бирацио-нальных отображений между такими поверхностями на элементарные линки и найдена полная система соотношений. Отметим, что решение задачи о разложении на линки и поиске полной системы соотношений ранее не было получено ни для одного из конкретных полей. Для поля К это сделано в первой части диссертации.

Основным методом решения задачи факторизации для расслоений Мори является метод максимальных особенностей, опирающийся на неравенство Нетера-Фано.

Одним из применений проблемы факторизации бирациональных отображений может служить задача описания группы бирегулярных автоморфизмов неособой (или с допустимыми особенностями) комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактификаций. Отметим, что в данном случае приходится иметь дело с поверхностями, не являющимися расслоениями Мори и имеющими большой ранг группы Пикара, в следствии чего, применение метода максимальных особенностей мало осмысленно и нужно придумывать другие способы решения задачи.

Решению задачи описанию бирегулярных автоморфизмов в неособом случае была посвящена серия работ Гизатуллина и Данилова [7]7, [8]8, [9]9, [10]10, [II]11. Их подход состоял в следующем. Пусть V — неособая квазипроективная поверхность, АМ(и) — группа ее бирегулярных автоморфизмов, р : I/ V — ее пополнение, такое, что поверхность V неосо-

пе Кремоны над совершенным полем. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1993. т. 57, N3. с. 3-69.

'Псковских И.А. Факторизация бирацокальных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори. // Успехи мат. наук. 1996. том 51, вып 4, с. 3-72.

7Гизатуллин М.Х.. Квазиоднородные аффинные поверхности. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 1047-1071.

"Гизатуллин М.Х.. Инварианты неполных поверхностей, получаемые при помощи пополнений. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 485-497.

'Гизатуллин М.Х.. Афинные поверхности, квазиоднородные относительно алгебраической группы. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 738-753.

10Гизатуллин М.Х.. Об афинных поверхностях, пополняемых неособой рациональной кривой. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 34(1970), с 778-802.

11 Гизатуллин М.Х., Данилов В.И.. Автоморфизмы афинных поверхностей I. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 39(1975), с 523-565.

ба, проективна и кривая С — У\р(и) имеет простые нормальные пересечения. Тогда любому бирегулярному автоморфизму д € АЫ(и), заданному вместе с компактификациями р: I/ V, // : 17 <-> V взаимооднозначно соответствует бирациональное отображение 7 = р' о д о р~1 : V — > V'. В случае д = Ну, отображение 7 называется отображением пополнений. Очевидно, что точки неопределенности этого отображения, как и обратного к нему лежат в С. Бирациональные отображения с такими свойствами будем называть отображениями пар (V,С), компактифицирующих поверхность [7. Категория пар получается из категории пополнений функтором забвения пополнения р. Ввиду того, того, что минимальные пары имеют большие группы бирегулярных автоморфизмов естественно рассматривать отображения между минимальными парами.

Таким образом, задача об описании группы бирегулярных автоморфизмов и посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компакти-фихаций сводится, грубо говоря, к задаче о разложении бирацональных отображений между минимальными парами, компактифицирующими II на элементарные (отметим, что из-за того что авторы работали с неособыми парами их элементарные отображения не являются элементарными линками в описанном выше смысле).

Ввиду того, что решение задачи в других случаях не представляло интереса, авторы рассматривали поверхности, пополяемые зигзагом (это означает, что кривая С является зигзагом, то есть цепью). Было установлено, что любая (за одним исключением) поверхность V, пополняемая зигзагом, имеет минимальное пополнение называемое стандартным. Доказана теорема о том, что граф стандартных пополнений Ду, построенный по элементарным отображениям, является деревом. Эта теорема равносильна доказательству существования разложения отображений между стандартными парами на элементарные отображения, а также доказательству отсутствия соотношений между этими отображениями. Заметим, что доказательство связности графа стандартных пополнений (соответствующее теореме о разложении на элементарные) весьма трудоемко. Условием д(р) = до р определяется действие группы АЫ(и) на этом графе и, ввиду того что граф является деревом, согласно классическому результату Серра [12]12, группа АЫ(и) изоморфна фундаментальной группе графа групп, построенного по факторграфу графа Ду по действию АЫ{и). Отметим, что этот факторграф изоморфен графу

12Серр Ж.П., Деревья, амальгамы и сб. "Математика", 18:1, (1974), 3-51.

стандартных пар, то есть, получается из Ац, забвением отображений компактификаций.

Таким образом, Гизатуллиным и Даниловым получено описание группы бирегулярных автоморфизмов неособой комплексной квазипроективной поверхности, пополняемой зигзагом, посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее неособых компактификаций. Для нас представляло интерес применить лог-теорию Мори к решению данной задачи, упростить громоздкие доказательства этих авторов и получить конкретный алгоритм (а не теорему существования) разложения на настоящие линки. Этому посвящена вторая часть диссертации.

При этом мы не строили описание групп бирегулярных автоморфизмов, поскольку при наличии алгоритма факторизации эта задача решается стандартным образом. Основное отличие нашего подхода от подхода Гизатуллина и Данилова состоит в использовании лог-теории Мори и рассмотрении особых (а именно лог-терминальных) компактификаций, а также особых поверхностей и. Это значительно упрощает решение задачи, поскольку доказательство алгоритма разложения на элементарные при рассмотрении особых компактификаций становится тривиальным. Кроме того, по ходу исследования удается получить новые результаты, представляющие отдельный интерес. Возможно, что в случае большей размерности применение подобного подхода при решении сходных задач также будет иметь смысл.

Цель работы

Целью первой части диссертации является классификация относительно минимальных рациональных поверхностей над полем вещественных чисел, описание элементарных линков между этими поверхностями и поиск полной системы соотношений между линками.

Целью второй части является пострение на основе лог-теории Мори адекватного математического аппарата для упрощения громоздкого решения задачи об описании групп бирегулярных автоморфизмов комплексных квазипроективных поверхностей посредством групп бирегулярных автоморфизмов их компактификаций, полученного Гизатуллиным и Даниловым, и нахождение простого алгоритма решения данной задачи.

Методы исследования

В работе используются методы бирационалыюй геометрии (в частности, метод максимальных особенностей и лог-теория Мори), а также методы теории категорий (правило Ope, категории частных, полнота подкатео-рий и.т.д.).

Научная новизна

В первой части диссертации получены следующие результаты:

Р • Произведена классификация относительно минимальных, неособых,

рациональных поверхностей над полем вещественных чисел.

t • Построен алгоритм разложения бирациональных отображений та-

ких поверхностей на элементарные линки.

• Найдена полная система соотношений между линками. Во второй части получены следующие основные результаты:

• Исследованы свойства, определенных в разделе "содержание рабо-

1 ты", категорий р-лог-терминальных пар Rp (выполненность прави-

ла Ope, полнота одной категории в другой, единственность минимальных разрешений особенностей и т.д.). Произведена классифи-

' кация особенностей объектов этих категорий и стягиваемых в этих

категориях экстремальных лучей.

• Для пар (V, С), являющихся объектами категории Rp введено понятие "инвариантной кривой" , отвечающей за морфизмы категорий частных. Произведена классификация таких кривых и найден конструктивный способ их нахождения.

• Исходя из этой классификации, построен алгоритм разложения широкого класса морфизмов категорий частных на элементарные линки и найдена полная система соотношений между последними. Благодаря чему, (как показано в серии работ Гизатулина и Данилова) может быть произведено описание связных компонент единицы групп бирегулярных автоморфизмов квазипроективных поверхностей над полем комплексных чисел.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в задачах алгебраической геометрии над полем вещественных чисел, а также в развитии категорного подхода к теории Мори над полем компексных чисел и в исследовании групп бирегулярных автоморфизмов комплексных квазипроективных многообразий.

Апробация работы

Работы автора неоднократно докладывились на семинарах: МГУ им Ломоносова под руководством профессора В.А.Исковских в 1995,1999 и 2005 годах, МИ РАН им. Стеклова под руководством А.И.Бондала в 2000 и 2005 годах, ЦЭМИ РАН под руководством В.И.Данилова в 2005 году, а также на семинаре по алгебре в Университете штата Индиана в 2002 году.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4], список которых приводится в конце реферата.

Структура диссертации

Диссертации состоит из введения и двух частей, посвященных изложению результатов упомянутых выше основных работ, а каждая из частей разбита на главы. Текст диссертации изложен на 95 страницах, список литаратуры содержит 29 наименований.

Содержание работы

Во введении содержится исторический обзор и краткое изложение содержания и основных результатов автора.

Первая часть посвящена решению задачи факторизации бирациональ-ных отображений неособых относительно минимальных поверхностей над полем вещественных чисел. Ввиду громоздкости результатов, мы не будем приводить формулировок основных теорем, и просто изложим краткое содержание.

Согласно полученной в [13]13 классификации неособых, проективных, рациональных, относительно минимальных поверхностей над произвольным совершенным полем к, любая поверхность Р рассматривав-емого класса с морфизмом тг : Р —> в, в зависимости от размерности 5, является либо поверхностью дель Пеццо (то есть (—кр) - обилен) с гкРкР — 1, либо расслоении на коники над неособой проективной кривой й рода нуль; для каждого из этих двух типов имеется подробная классификация.

Используя упомянутую выше классификацию, известные факты из геометрии над незамкнутым полем и исследуя действие группы Галуа СУ = (?а/(С/К) на группе Пикара поверхности Р, мы получаем описание всех вещественных поверхностей рассматриваемого класса.

Далее изучаются бирациональные К - отображения между относительно минимальными рациональными вещественными поверхностями, разклассифицированными выше. Посредством метода максимальных особенностей доказывается теорема о разложении бирациональных К -отображений между рассматриваемыми поверхностями на элементарные бирациональные К - отображения, называемые линками. Для получения такого разложения вводится понятие степени бирационального отбораже-ния, определяются элементарные линки, доказывается теорема о существовании линков, понижающих степень отображения, а также об обрыве разложения. Изложение ведется в терминах работы [14]14, где вводится предельная группа циклов Z*(F) — + а также пенистое про-

странство элементы Z0(F) и Е(Р) мы подразумеваем замкнутыми

относительно действия группы Галуа.

13Исковских В.А. Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольным полем. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1979. т. 43. с.19-43.

14Манин Ю.И. Кубические формы. // М. Наука. 1972.

В завершении, используя методы работ [4]4 и [5]5, находится полная система соотношений между элементарными линками, определенными выше. Где под под соотношениями подразумеваются такие цепочки лин-ков а„...а 1, что их композиция имеет смысл и бирациональное R - отооб-

ражение a„...ai: F---> F' является R - изоморфизмом, сохраняющим

структуру поверхности F, как относительно минимальной поверхности.

Вторая часть диссертации посвящена построению на базе двумерной лог-теории Мори математического аппарата, значительно упрощающего предложенный ранее Гизатуллиным и Даниловым в [7]7 — [II]11 подход к описанию группы бирегулярных автоморфизмов произвольной неособой комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактифшсаций. .

параметра к определенному значению. Категории Rp рассматриваются как подкатегории в категории пар R, объектами которой являются пары (V, С), такие что V - проективная поверхность с Q-факториальными особенностями, С - приведенная кривая на V, а морфизмами — бира-циональные морфизмы : V —► V, такие что С" = <р.(С) и <р стягивает компоненты кривой С. Объектами категорий Rp являются (V, С) G Ob R, такие, что пара (V,pC) лог-терминальна, а морфизмами — последова- ^

тельности стягиваний Ку + рС-экстремальных лучей дивизориального типа, где Kv - канононический дивизор на V. Мы также используем категорию неособых пар RN — полную подкатегорией в R, множество t

объектов которой состоит из пар (У, С), таких, что V — неособа, а С — кривая с простыми нормальными пересечениями (Это именно та категория, с которой работали Гизатуллин и Данилов). Если X — полная подкатегория в R, и в X выполнено левое правило Ope (таковы при р < 1 и RN), то морфизмам категории частных X категории X, при фиксации пополнений соответствуют бирегулярные автоморфизмы квазипроективных поверхностей V\C.

Основанием для применения категорного подхода к лог-теории Мори послужили некорректности, найденные автором в некоторых работах (см. например [15]15), состоящие в неучете таких понятий, как выполнение правила Ope и полнота в категории R. Категорный подход к

lsN.Takahashi. Decomposition of Automorphisms of Affine Plane. (Preprint) (1995).

лог-теории Мори интересен и сам по себе, поскольку приводит к новым результатам и делает теорию более прозрачной. Мотивировкой рассмотрения семейства категорий, зависящих от параметра, служит недопустимость категории Я\ в указанном выше смысле - она не является полной подкатегорией в Л и в ней не выполнено правило Оре. Ввиду того, что хороший алгоритм факторизации связан с рассмотрением Я\, это приводит к необходимости введения предельных категорий и искусственному определению подобия категории частных для Я\.

В начале исследуются общие свойства категорий Яр. Установлена выполненность левого правила Оре в категории X, где X — одна из категорий Я, Яр при р < 1 или предельная категория. В категория Яг это правило не выполнено. Отсюда следует, что хорошо определена категория частных X категории X. Доказано, что любой объект категории X имеет единственное минимальное разрешение особенностей с точностью до изоморфизма, а также, что любой морфизм категории частных X по модулю изоморфизмов имеет единственное минимальное разрешение, то есть минимальное частичное разрешение, как бирацональное отображение. Установлено, что категории X и X являются полными подкатегориями в Я и Я соответственно.

Далее изучаются более тонкие свойства категорий Яр. Производится классификация особенностей объектов этих категорий и элементарных морфизмов, соответствующих стягиваемым в данных категориях экстремальным лучам. Получены следующие результаты: Теорема.

1) Категория ЯР1 является полной подкатегорией в категории Яр2 при | < Р1 < Р2 < 1 и обе они являются полными подкатегориями в категории Я\_. Категория Яр_ ~ Яр является полной подкатегорией в категории Яр+ при | < р < 1, где Яр_ и Яр+ — соответственно левые и правые предельные категории. Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.

2) Категория ЯР1 является полной подкатегорией в категории Яр2 при О < рг < р\ < | и обе они являются полными подкатегориями Я\_. Категория Др+ ~ Яр является полной подкатегорией в категории Яр_ при 0 < р < Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.

3) ОЬДх_ =ОЬЯх.

Далеее, ввиду единственности изоморфизмов минимальных разрешений особенностей, определяется функтор разрешения особенностей

ЛГх'- X RN и индуцируемый им функтор категорий частных Мх'- X —> RN, где X — одна из категорий Rp, при р < 1 или предельная категория.

Теорема. При | < р < 1 любой минимальный объект категории RN имеет единственную с точностью до изоморфизма минимизацию в категории Rp, то есть, морфизм на минимальный в Rp объект.

Заметим, что при р < | минимизация может быть не единственна. Поэтому можно определить функтор минимизации Мщ, : RNM —>• Rff, где RNM и Kjf — полные подкатегории в RN и Rp, множества объектов которых являются множествами минимальных объектов соответствующих категорий. Функтор минимизации является квазиобратным к ограничению функтора разрешения особенностей на соответствующие подкатегории. Отметим, что не для любого минимального объекта категории Rp его разрешение особенностей будет минимальным объектом категории RN. Нами доказана следующая очень важная теорема о замкнутости:

Теорема. Пусть (V,C), (У, С") 6 ОЬ при | < р < 1 и их разрешения особенностей минимальны в RN, пусть далее 7: (V, С) —> (V, С"), 7 6 Мог Д^ и ip : (W, Cw) (V, С),<р': (W, Cw) (V', С') — минимально е разрешение 7, тогда для любого <р" : (W, Cw) —»• (V", С"), такого что <р € Мог Др, (V",C") £ ОЪ Rp, разрешение особенностей пары {V",C") также будет минимальным объектом категории RN.

Для пар {V, С), являющихся объектами категории X, где X — одна из категорий RN, Rp или предельная категория, по аналогии с [8]® определяется эффективная кривая Fx(V,C) С С, как кривая, состоящая из всех неприводимых компонент Fi кривой С, для которых существуют мофизмы <Р : (W,Cw) ->• (V,C), <р> : (W, Cw) (У\С'), такие, что <pt стягивает Рсов(Р>)- Эта кривая, в случае выполнения в X левого правила Ope, инвариантна относительно морфизмов категории частных. Если (V,C), (V',C') € ObwX, где через ОЪм X обозначается множество минимальных объектов категории Х,(р : (W,Cw) —> (V,C), $ : (W,Cw) —» (V',C') и не существует морфизмов р, тр, ~ф' 6 МогХ, таких, что <р = V ° Pi <р' — Ф' 0 Р> то точки неопределенности лежат в Fx(V,C), а точки неопределенности <р'~1 лежат в Fx{V',C'). Очевидно, при F = 0, Aut(U) = Aut(V,C). Поскольку точки неопределенностей отображений пар лежат в данных кривых, то для решения задачи факторизации достаточно ограничится рассмотрением случая, когда С — F.

Произведена классификация таких кривых и получен конструктивный способ их нахождения (последнее не было сделано в [8]8 для кате-

гории Л^), в частности, доказано, что любая связная компонента кривой ^(У, С) при (У, С) € ОЬм X содержит неприводимую компоненту с неотрицательным индексом самопересечения. Доказана инвариантность /<х(У, С) относительно функтора разрешения особенностей, при X Ф (в Й1 и при р < | эти утверждения не верны), поэтому классификация Рх(У,С) в данном случае сводится к их классификации в полученной в [8]8 (там установлено, что кривая Р1 может быть либо колесом, либо объединением непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, либо зигзагом, то есть, цепью).

Отметим, что классификация кривых .Рх(У, С) произведена нами без использования доказательства их инвариантности относительно функтора разрешения особенностей, которое само опирается на эту классификацию. Для доказательства инвариантности ^(У, С) относительно данного функтора особенностей оказывается необходимым ввести некоторое множество "элементарных" морфизмов категории Ямм, практически совпадающие с определенными в [II]11. Эти морфизмы также используются для приведения пары к стандартному виду, (наше определение стандартности несколько шире, чем у Гизатуллина и Данилова). Классификация кривых -Рд^У, С).

Пусть (У, С) € ОЪмЯ1_ и (У, С) € ОЪм Л". Тогда любая связная компонента Р = (У, С) неприводима, неособа и либо .Р — объединение непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, не проходящих через особенности У, либо Р состоит из одной компоненты, проходящей не более чем через две особые точки поверхности У типа А„. Последний случай в точности соответствует нашим стандартным парам.

Перейдем теперь к построению категории Л^, как полной подкатегории в категории Лх_, и алгоритма разложения морфизмов категории Л^ на элементарные. Для этого нам понадобится следующяя конструкция: Пусть Я — дерево и Я' — подграф в Я, тогда Я' мы будем называть внешним, если Я \ Я' — дерево. Определим замыкание подграфа Я" в Я — б"°, как минимальное поддерево в Я, содержащее 0". Аналогичным образом определяется замыкание подграфа в объединении деревьев.

Теорема. Пусть £(£>) — граф, ассоциированный с кривой £>. Тогда, если (У, С) 6 ОЬ Лх_, ^ С Я С в С С, (в, С-в) = 0, где £(<?) — дерево, кривая Я стягиваема в категории Лх_ и Я(Р) — внешний подграф в 5(С), тогда кривая Р стягиваема в категории Л^

Эта теорема имеет важные следствия., а именно:

1) Пусть (V, С) € ОЬмДх и кривая (У, С) непуста, тогда

2) Можно определить полную подкатегорию К^ в категории , объектами которой являются пары (У, С) такие, что РдДУ, С) ф 0.

3) Пусть 7 € Мог ЛЦ, <р: {УГ, Суг) ->■ (У, С), ф (ТУ, С"") (У, С') — минимальное разрешение 7, ^ = РЯ1_ (У, С), Р - (У, С") и 0{Р) — объединение конечного числа деревьев, тогда:_

^ = ¿V (Ж, о = = (^(Л +

Очевидно что, если (У, С) и (У, С") 6 ОЬД^, то граф кривой Fи' является объединением цепей Р™, первой вершине каждой из которых соответствует собственный прообраз соответствующей связной компо-неты кривой а последней — компоненты кривой .Р'.

Исходя из этого, мы немедленно получаем разложение морфизма 7 на элементарные морфизмы 7/, где 1<г<п, l<j<mt-l, п — число связных компонент кривой Ркг, а — количество вершин ¿-той компоненты. Граф кривой Р^ на минимальном разрешении морфизмы у1 представляет из себя п — 1 изолированную вершину и две вершины, соединенные отрезком, являющиеся образами ] ъ 3 + 1-ой вершин г-той связной компоненты кривой Ри'. Между мофизмами, соответствующими одной связной компоненте, отсутствуют соотношения. Морфизмы относящиеся к разным компонентам коммутируют.

Если минмальные разрешения особенностей пар (У, С) и (У, С") являются минимальными объектами категории то из теоремы о замкнутости следует, что таковыми же будут и все промежуточные объекты разложения. Применив функтор разрешения особенностей к данному разложению, мы получим, что построенным нами элементарным мор-физмам соответствуют элементарные морфизмы категории упомянутые выше.

Вернемся к вопросу об описанию группы бирегулярных автоморфизмов. В случае, когда Р — колесо, алгоритм разложения на элементарные не получен и, вряд ли он мог бы оказатся полезен для описания группы АиЬ(и), хотя легко доказать, что связная компонента единицы этой группы совпадает со связной компонентой единицы группы бирегулярных автоморфизмов любой ее компактификации. Случай объединения непересекающихся кривых не рассматривается, поскольку алгоритм разложения там элементарен. В случае пополнения зигзагом, имея алгоритм

факторизации, мы можем воспользоваться конструкцией Гизатуллина и Данилова.

Автор выражает благодарность Василию Алексеевичу Псковских за постановку задач и полезные советы.

Публикации автора по теме диссертации.

1) Полякова Ю.М. Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел. // Фундаментальная и прикладная математика 1997, том 3, N 2, с 519-547.

2) Полякова Ю.М. Категории Рл и двумерных ¿-лог-терминальных пар. // Успехи математических наук 1999, том 54, вып 4, с 179-180.

3) Полякова Ю.М. Дальнейшие свойства категорий Р,| и // Успехи математических наук 1999, том 54, вып 5, с 171-172.

4) Полякова Ю.М. Категории лог-терминальных пар и автоморфизмы поверхностей. //ВИНИТИ РАН. 2005. N 596-В2005, 60 с.

Р 164 0 7

РНБ Русский фонд

2006^4 74396

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 2.7. О ¿/.17 Ь Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. / О

Тираж 100 экз. Заказ ¿Я

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001 г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Полякова, Юлия Модестовна

1 ВВЕДЕНИЕ.

2 Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел

2.1 Относительно минимальные рациональные поверхности над R.

2.2 Разложение бирациональных отображений между минимальными рациональными R-поверхностями на элементарные линки.

2.3 Соотношения между элементарными линками.

3 Категории лог-терминальных пар и автоморфизмы поверхностей.

3.1 Категории частных. Жесткость. Й>0-Упорядоченные категории.

3.2 2>о-Упорядоченные категории Qp р-лог-терминальных пар.

3.3 Подкатегории Rp# в категориях Qp# и их свойства. Неособые подкатегории.

3.4 1-Морфизмы в категориях Qp и Rp и особенности объектов этих категорий.

3.5 Функторы разрешения особенностей и минимизации. Теорема о замкнутости.

3.6 Определение кривых Fx(V, С), их классификация и инвариантность относительно функтора разрешения особенностей.

3.7 Категории Щ* и Разложение морфизмов на элементарные.

Введение диссертация по математике, на тему "Факторизация отображений и автоморфизмы поверхностей"

Одной из основных в бирацональной геометрии являеся проблема факторизация бирацональных отображений алгебраических многообразий, то есть разложение этих отображений на элементарные. Еще в конце 19 века М.Нетером была доказана теорема о разложении бирациональных автоморфизмов проективной плоскости на квадратичные преобразования. С тех пор в этой науке произошел существенный прогресс. В настоящее время наиболее перспективным в решении задачи факторизации бирацо-нальых отображний принято считать подход, основанный на их разложении на элементарные отображения, называемые линками. При этом под линками подразумеваются бирациональные отображения 7, такие что 7 и 7-1 стягивают не более одного неприводимого дивизора.

При решении задачи факторизации, естественным образом возникает задача поиска полной системы соотношений между линками, поскольку имея решения этих задач мы получаем полное описание классов бира-циональной эквивалентности и отображений между элементами каждого класса.

Для расслоений Мори размерности два и три с терминальными Q-факториальными особенностями, а также двумерных лог-терминальных пар, являющихся расслоениями Мори в [16] и [29] доказана теорема о существовании разложения бирациональных отображений на элементарные линки над полем комплексных чисел. Построение алгоритма указанного разложения сводится к исследованию структуры рассматриваемых многообразий. Случай раслоений Мори размерности два полностью изучен, то есть, в этом случае построен алгоритм разложения и найдена полная система соотношений между линками.

Задача факторизацизации отображений рациональных поверхностей решалась также и над незамкнутыми полями. Так в [7], [10] и [12] над совершенным полем к была решена задача об описании группы бирациональных автоморфизмов неособых, рациональных расслоений Мори размерности два, а в [13] был построен алгоритм разложения бирациональных отображений между такими поверхностями на элементарные линки и найдена полная система соотношений. Отметим, что решение задачи о разложении на линки и поиске полной системы соотношений ранее не было получено ни для одного из конкретных полей. Для поля R это сделано во второй части диссертации.

Текст диссертации написан на основании следующих двух работ автора: "Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел" и "Категории лог-терминальных пар и автоморфизы поверхностей". Первая из работ опубликована в журнале " Фундаментальная и прикладная математика" [1], а вторая депонирована в ВИНИТИ. По результатам второй из работ опубликованы две заметки в журнале "Успехи математических наук": "Категории Ра и Sd двумерных d-лог-терминальных пар" [2] и "Дальнейшие свойства категорий Рд и SJ' [3]. В соответствии с написанным выше, текст диссертации разбит на введение (первая часть) и еще две части, посвященные изложению результатов упомянутых выше основных работ, а каждая из частей разбита на главы.

Приступим теперь к краткому изложению содержания диссертации. Начнем со второй части. Напомним некоторые используемые понятия и определения.

Многообразие X над полем к называется рациональным, если многообразие X ® к бирационально эквивалентно проективному пространству над к, где к - произвольное поле, к - его алгебраическое замыкание, а п = dimX. Всюду далее /^-многообразием мы будем называть алгебраическое многообразие над к, а ^-отображением будет называться отображение между ^-многообразиями, определенное над к.

Неособая проективная рациональньная ^-поверхность F, рассматриваемыми вместе с к - морфизмом п : F —> S на неособое проективное к -многообразие S, dimS < 2 называется относительно минимальной (или двумерным расслоением Мори), если антиканонический дивизор (—kF) -7г-обилен и p{F/S) = 1.

Согласно полученной в [9] классификации неособых, проективных, рациональных, относительно минимальных поверхностей над произвольным совершенным полем к, любая поверхность F рассматриваемого класса с морфизмом 7г: F —> S, в зависимости от размерности S, является либо поверхностью дель Пеццо (то есть (—кр) - обилен) с rkPicF = 1, либо расслоеним на коники над неособой проективной кривой S рода нуль; для каждого из этих двух типов имеется подробная классификация (см. 2.1.2).

Используя упомянутую выше классификацию, известные факты из геометрии над незамкнутым полем (см. 2.1.3) и исследуя действие группы Галуа G = Gal(C/R) на группе Пикара поверхности F, мы получаем описание всех вещественных поверхностей рассматриваемого класса.

Изучаются бирациональные R - отображения между относительно минимальными рациональными вещественными поверхностями, расклассифицированными выше. Посредством метода максимальных особенностей доказывается теорема о разложении бирациональных R - отображений между рассматриваемыми поверхностями на элементарные бирациональные R - отображения, называемые линками. Для получения такого разложения вводится понятие степени бирационального отбораже-ния, определяются элементарные линки, доказывается теорема о существовании линков, понижающих степень отображения, а также об обрыве разложения. Изложение ведется в терминах работы [15], где вводится предельная группа циклов Z*(F) = PicF+ Z°(F), а также пенистое пространство E(F), элементы Z°(F) и E(F) мы подразумеваем замкнутыми относительно действия группы Галуа.

В завершении, используя методы работ [10], [11] и [12], находится полная система соотношений между элементарными линками, определенными выше, где под соотношениями подразумеваются такие цепочки линков an.ai, что их композиция имеет смысл и бирациональное R - отображение ап.аi: F---> F' является R - изоморфизмом, сохраняющим структуру поверхности F, как относительно минимальной поверхности.

Приступим теперь к изложению третьей части. Основным ее результатом является построение на базе двумерной лог-теории Мори математического аппарата, значительно упрощающего предложенный ранее Гизатуллиным и Даниловым в [20]—[26] подход к описанию группы бире-гулярных автоморфизмов произвольной неособой комплексной квазипроективной поверхности посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компактификаций.

Этот подход состоит в следующем. Пусть U — неособая квазипроективная поверхность, Aut(U) — группа ее бирегулярных автоморфизмов, р : U <—V — ее пополнение, такое, что поверхность V неособа, проектив-на и кривая С = V\p(U) имеет простые нормальные пересечения. Тогда любому бирегулярному автоморфизму д € Aut(U), заданному вместе с компактификациями р : U V, р': U V' взаимооднозначно соответствует бирациональное отображение 7 = р' о д о p1 : V —> V'. В случае д = idu, отображение 7 называется отображением пополнений. Очевидно, что точки неопределенности этого отображения, как и обратного к нему лежат в С. Бирациональные отображения с такими свойствами будем называть отображениями пар (V, С), компактифицирующих поверхность U. Категория пар получается из категории пополнений функтором забвения пополнения р. Ввиду того, того, что минимальные пары имеют большие группы бирегулярных автоморфизмов естественно рассматривать отображения между минимальными парами.

Таким образом, задача об описании группы бирегулярных автоморфизмов U посредством групп бирегулярных автоморфизмов ее компакти-фикаций сводится, грубо говоря, к задаче о разложении бирацональных отображений между минимальными парами, компактифицирующими U на элементарные. Уточним некоторые детали.

Внутри С определяется инвариантная относительно отображений пар кривая F, состоящая из неприводимых (очевидно рациональных) компонент, для каждой из которых существует отображение, переводящее ее в точку. Очевидно, при F = О, Aut{U) — Aut(V,C). Поскольку точки неопределенностей отображений пар лежат в данных кривых, то для решения поставленной задачи достаточно ограничится рассмотрением случая, когда С = F. Производится классификация таких кривых, в результате которой устанавливается, что кривая F может быть либо колесом, либо объединением непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, либо зигзагом, то есть, цепью (см. [22]). В случае, когда F — колесо, авторами не получен алгоритм разложения отображений компактификаций на элементарные и, вряд ли он мог бы оказатся полезен для описания группы Aut(U), хотя легко доказать, что связная компонента единицы этой группы совпадает со связной компонентой единицы группы бирегулярных автоморфизмов любой ее компактификации (это следует из 3.6.7). Случай объединения непересекающихся кривых не рассматривался, поскольку алгоритм разложения там элементарен. Зато подробно изучен случай пополнения зигзагом.

Устанавливается, что любая (за одним исключением) поверхность U, пополняемая зигзагом, имеет минимальное пополнение называемое стандартным. Доказана теорема о том, что граф стандартных пополнений Дц-, построенный по элементарным отображениям, является деревом. Эта теорема равносильна доказательству существования отбра-жений между стандартными парами на элементарные и доказательству отсутствия соотношений между этими отображениями. Заметим, что доказательство связности графа стандартных пополнений (соответствующее теореме о разложении на элементарные) весьма трудоемко. Условием д(р) = д°р определяется действие группы Aut{U) на этом графе и, ввиду того что граф является деревом, согласно классическому результату Серра [30], группа Aut(U) изоморфна фундаментальной группе графа групп, построенного по факторграфу графа Ац по действию Aut{U). Отметим, что этот факторграф изоморфен графу стандартных пар, то есть, получается из Ду, забвением отображений компактификаций.

Для нас представляло интерес применить лог-теорию Мори к решению данной задачи, упростить громоздкие доказательства этих авторов и получить конкретный алгоритм (а не теорему существования) разложения на настоящие линки.

В логике рассуждений мы в значительной мере придерживаемся описанной выше конструкции, а именно определяем аналогичную инвариантную кривую и строим разложение отображений на элементарные. При этом мы не строим описание групп бирегулярных автоморфизмов, поскольку при наличии алгоритма факторизации эта задача решается стандартным образом. Основное отличие нашего подхода от подхода Гизатуллина и Данилова состоит в использовании лог-теории Мори и рассмотрении особых (а именно лог-терминальных) компактификаций, а также особых поверхностей U. Заметим, что применение лог-теории Мори значительно упрощает решение задачи, поскольку доказательство алгоритма разложения на элементарные при рассмотрении особых компактификаций становится тривиальным. По ходу исследования нам удается получить новые результаты, представляющие отдельный интерес. Возможно, что в большей размерности использование этой теории при решении сходных задач будет также иметь смысл.

Наш подход основан на рассмотрении связанного с лог-теорией Мори и зависящего от рационального параметра р, где 0 < р < 1, семейства категорий пар Rp, а также предельных категорий при стремлении этого параметра к определенному значению. Категории Rp рассматриваются как подкатегории в категории пар R, объектами которой являются пары (V,C), такие что V - проективная поверхность с Q-факториальными особенностями, С - приведенная кривая на V, а морфизмами — бира-циональные морфизмы ip : V —> V, такие что С' = <р*(С) и (р стягивает компоненты кривой С. Объектами категорий Rp являются (V, С) 6 Ob R, такие, что пара (V,pC) лог-терминальна, а морфизмами — последовательности стягиваний Ку + рС-экстремальных лучей дивизориального типа, где Ку - канононический дивизор на V. Мы также используем категорию неособых пар RN — полную подкатегорией в R, множество объектов которой состоит из пар (V,C), таких, что V — неособа, а С — кривая с простыми нормальными пересечениями (Это именно та категория, с которой работали Гизатуллин и Данилов). Если X — полная подкатегория в R, и в X выполнено левое правило Оре (таковы Rp, при р < 1 и Rn), то морфизмам категории частных X категории X, при фиксации пополнений соответствуют бирегулярные автоморфизмы квазипроективных поверхностей V \ С.

Основанием для применения категорного подхода к лог-теории Мори послужили некорректности, найденные автором в некоторых работах (см. например [28]), состоящие в неучете таких понятий, как выполнение правила Оре и полнота в категории R. Категорный подход к лог-теории Мори интересен и сам по себе, поскольку приводит к новым результатам и делает теорию более прозрачной. Мотивировкой рассмотрения семейства категорий, зависящих от параметра, служит недопустимость категории Ri в указанном выше смысле - она не является полной подкатегорией в R и в ней не выполнено правило Оре. Ввиду того, что хороший алгоритм факторизации связан с рассмотрением Ri, это приводит к необходимости введения предельных категорий и искусственному определению подобия категории частных для R\.

В начале исследуются общие свойства категорий Rp. Установлена выполненность левого правила Оре в категории X, где X — одна из категорий R, Rp при р < 1 или предельная категория. В категория Ri это правило не выполнено. Отсюда следует, что хорошо определена категория частных X категории X. Доказано, что любой объект категории X имеет единственное минимальное разрешение особенностей с точностью до изоморфизма, а также, что любой морфизм категории частных X по модулю изоморфизмов имеет единственное минимальное разрешение, то есть минимальное частичное разрешение, как бирацональное отображение. Установлено, что категории X и X являются полными подкатегориями в R и R соответственно.

Далее изучаются более тонкие свойства категорий Rp. Производится классификация особенностей объектов этих категорий и элементарных морфизмов, соответствующих стягиваемым в данных категориях экстремальным лучам. Получены следующие результаты:

1) Категория RPl является полной подкатегорией в категории RV2 при | < pi < р2 < 1 и обе они являются полными подкатегориями в категории Ri. Категория Rp Rp является полной подкатегорией в категории Rp+ при | < р < 1, где Rp и Rp+ — соответственно левые и правые предельные категории. Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.

2) Категория RPl является полной подкатегорией в категории Лр2 при О < Р2 < Pi < | и обе они являются полными подкатегориями Ri. Категория Rp+ ^ Rp является полной подкатегорией в категории Rp при 0 < р < Аналогичные утверждения выполнены для категорий частных.

3) Obi?i = ОЬДх.

Далеее, ввиду единственности изоморфизмов минимальных разрешений особенностей, определяется функтор разрешения особенностей Afx'- X —» RN и индуцируемый им функтор категорий частных J\fx'- X —> RN, где X — одна из категорий Rp, при р < 1 или предельная категория. Доказывается, что при | < р < 1 любой минимальный объект категории RN имеет единственную с точностью до изоморфизма минимизацию в категории Rp, то есть, морфизм на минимальный в Rp объект. Заметим, что при р < | минимизация может быть не единственна. Поэтому можно определить функтор минимизации Mrp: RNM —> R^f, где RNM и Щ? — полные подкатегории в RN и Rp, множества объектов которых являются множествами минимальных объектов соответствующих категорий. Функтор минимизации является квазиобратным к ограничению функтора разрешения особенностей на соответствующие подкатегории. Отметим, что не для любого минимального объекта категории Rp его разрешение особенностей будет минимальным объектом категории RN. Нами доказана следующая очень важная теорема о замкнутости: Пусть (V,C), (V, С) € Ob Щ? при | < р < 1 и их разрешения особенностей минимальны в RN, пусть далее 7: (V,C) —> (V, С'), 7 g МогЩ1 и <р : (W,Cw) (V,C), у?' : (W,Cw) (V',C') — минимальное разрешение 7, тогда для любого <р" : (W, Cw) —> (V", С"), такого что ip € Мог Rp, (V",C") Е Ob Щ?, разрешение особенностей пары (V",C") также будет минимальным объектом категории RN.

Для пар (V,C), являющихся объектами категории X, где X — одна из категорий RN, Rp или предельная категория, по аналогии с [22] определяется эффективная кривая Fx(V,C) С С, как кривая, состоящая из всех неприводимых компонент Fi кривой С, для которых существуют мофизмы <р : (W,Cw) -> (V,C), <р{ : {W,Cw) -> (V^C4), такие, что ipi стягивает <Pcob(Fi)- Эта кривая, в случае выполнения в X левого правила Оре, инвариантна относительно морфизмов категории частных. Если (V,C),(V',C') е ObM X, где через ОЪм X обозначается множество минимальных объектов категории X, tp : (W, Cw) —у (V, С), <р' : (W, Cw) —> (V, С") и не существует морфизмов р, ф, ф' € МогХ, таких, что ip = ф о р, у?' = ф' о р, то точки неопределенности у?-1 лежат в Fx(V, С), а точки неопределенности <р'-1 лежат в Fx(V', С').

Произведена классификация таких кривых и получен конструктивный способ их нахождения (последнее не было сделано в [22] для категории RN), в частности, доказано, что любая связная компонента кривой Fx(V, С) при (V, С) € ОЪм X содержит неприводимую компоненту с неотрицательным индексом самопересечения. Доказана инвариантность Fx{V,C) относительно функтора разрешения особенностей, при X ф R\ (в Ri и Rp при р < | эти утверждения не верны), поэтому классификация Fx{V,C) в данном случае сводится к их классификации в полученной в [22]. Отметим, что классификация кривых Fx(V,C) произведена нами без использования доказательства их инвариантности относительно функтора разрешения особенностей, которое само опирается на эту классификацию. Для доказательства инвариантности Fx{V,C) относительно данного функтора особенностей оказывается необходимым ввести некоторое множество "элементарных" морфизмов категории RNM, практически совпадающие с определенными в [26]. Эти морфизмы также используются для приведения пары к стандартному виду, (наше определение стандартности несколько шире, чем у Гизатуллина и Данилова).

Опишем классификацию кривых Fj^V, С). Пусть (V, С) G ObM Ri и N'r1 (V, С) G ObM RN. Тогда любая связная компонента F = Fr^V, С) неприводима, неособа и либо F — объединение непересекающихся кривых с нулевым индексом самопересечения, не проходящих через особенности V, либо F состоит из одной компоненты, проходящей не более чем через две особые точки поверхности V типа Ап. Последний случай в точности соответствует нашим стандартным парам.

Перейдем теперь к построению категории Rкак полной подкатегории в категории R\, и алгоритма разложения морфизмов категории R^ на элементарные. Для этого нам понадобится следующяя конструкция: Пусть Q — дерево и Q' — подграф в Q, тогда Q' мы будем называть внешним, если Я\Я' — дерево. Определим замыкание подграфа Q" в Q — Q"s, как минимальное поддерево в Q, содержащее Q". Аналогичным образом определяется замыкание подграфа в объединении деревьев.

Пусть Q{D) — граф, ассоциированный с кривой D. Тогда доказано, что если (V,C) е OhRi, F С Я С G С С, (G,C - G) = 0, где Q(G) — дерево, кривая Н стягиваема в категории R\ и G{F) — внешний подграф в G(G), тогда кривая F стягиваема в категории R\. Это утверждение имеет очень важные следствия, а именно:

1) Пусть (V,C) € ОЪм Ri и кривая FRi(V,C) непуста, тогда FRl(V,C) = FRl(V,C).

2) Можно определить полную подкатегорию R™ в категории объектами которой являются пары (V, С) такие, что FRl (V, С) ф 0.

3) Пусть 7 е Мог <р: (W,Gw) (V,C), ср': (W,Cw) {V',C') — минимальное разрешение у, F = FRl (V, С), F' = FRl (V, С') и Q{F) — объединение конечного числа деревьев, тогда:

Fw = FRl (W, Cw) = <p~HF) = (p£(F) + <p'c^(F'))c.

Очевидно что, если (V,C) и (V, С') € Ob R™, to граф кривой Fw является объединением цепей F™, первой вершине каждой из которых соответствует собственный праобраз соответствующей связной компо-неты кривой F, а последней — компоненты кривой F'.

Исходя из этого, мы немедленно получаем разложение морфизма у на элементарные морфизмы т/, где 1 < i < п, 1 < j < т, — 1, п — число связных компонент кривой Fw, a wii — количество вершин г-той компоненты. Граф кривой Fw' на минимальном разрешении морфизмы 7j представляет из себя п — 1 изолированную вершину и две вершины, соединенные отрезком, являющиеся образами j и j + 1-ой вершин г-той связной компоненты кривой Fw. Между мофизмами, соответствующими одной связной компоненте, отсутствуют соотношения. Морфизмы относящиеся к разным компонентам коммутируют.

Если минмальные разрешения особенностей пар (V, С) и (V, С') являются минимальными объектами категории RN, то из теоремы о замкнутости следует, что таковыми же будут и все промежуточные объекты разложения. Применив функтор разрешения особенностей к данному разложению, мы получим, что построенным нами элементарным мор-физмам соответствуют элементарные морфизмы категории RNM, упомянутые выше.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Василию Алексеевичу Псковских за постановку задач и полезные советы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Полякова, Юлия Модестовна, Москва

1. Полякова Ю.М. Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей над полем вещественных чисел. // Фундаментальная и прикладная математика 1997, том 3, N 2, с 519-547.

2. Полякова Ю.М. Категории Pj и Sj двумерных d-лог-терминальных пар. // Успехи математических наук 1999, том 54, вып 4, с 179-180.

3. Полякова Ю.М. Дальнейшие свойства категорий Р^ и Sj. j j Успехи математических наук 1999, том 54, вып 5, с 171-172.

4. Полякова Ю.М. Категории лог-терминальных пар и автоморфизмы поверхностей. //ВИНИТИ РАН. 2005. N 596-В2005, 60 с.

5. Псковских В.А. Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и положительным квадратом канонического класса. // Ма-тем. сб. 1970. т.83 (125), N1. с. 90-119.

6. Псковских В.А. Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых. // Матем. сб. 1967. т.74 (116), с. 608-638.

7. Псковских В.А. Образующие в двумерной группе Кремоны над незамкнутым полем. // Труды МИАН 1991. т. 200, с. 157-170.

8. Исковских В.А. Бирациональные формы рациональных поверхностей. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1965. т. 29. N6.

9. Исковских В.А. Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольным полем. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1979. т. 43. с.19-43.

10. Исковских В.А. Образующие и соотношения в группах бирациональ-ных автоморфизмов двух классов рациональных поверхностей. // Тр. Мат. Инст. им. Стеклова АН СССР. 1984. т.165, с. 67-78.

11. Исковских В.А. Бирациональные свойства поверхности степени 4 в Р£. // Матем. сб. 1972. т.88 (130), N1(5). с. 31-37.

12. Исковских В.А., Кабдыкаиров Ф.К., Трегуб C.JI. Соотношения в двумерной группе Кремоны над совершенным полем. // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1993. т. 57, N3. с. 3-69.

13. Исковских И.А. Факторизация бирацональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори. // Успехи мат. наук. 1996. том 51, вып. 4, с. 3-72.

14. Манин Ю.И. Рациональные поверхности над совершенными полями. II. // Матем. сб. 1967. т.72 (114), N2. с. 161-192.

15. Манин Ю.И. Кубические формы. // М. Наука. 1972.

16. Alessio Corti. Factoring birational maps of threefolds after Sarkisov. //Journal of algebraic geometry. 1995. N5.

17. S.Mori. Flip Theorem and the exsistence of minimal models for 3-folds. // J. Amer. Math. Soc. 1(1988), 117-253.

18. Ж.-П.Серр. Когомологии Галуа. // M. Мир.1968.

19. R.Silhol. Real algebraic surfaces. // Lect.Notes of Math. 1989. v.1392.

20. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры, том 1. М. Наука.1988.

21. Гизатуллин М.Х. Квазиоднородные аффинные поверхности. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 1047-1071.

22. Гизатуллин М.Х. Инварианты неполных поверхностей, получаемые при помощи пополнений. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 485-497.

23. Гизатуллин М.Х. Афинные поверхности, квазиоднородные относительно алгебраической группы. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 35(1971), с 738-753.

24. Гизатуллин М.Х. Об афинных поверхностях, пополняемых неособой рациональной кривой. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 34(1970), с 778-802.

25. Гизатуллин М.Х., Данилов В.И. Автоморфизмы афинных поверхностей I. // Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 39(1975), с 523565.

26. Гизатуллин М.Х., Данилов В.И. Автоморфизмы афинных поверхностей II. j/ Изв. А.Н. СССР. Сер. математика, том 41(1977), с 54-103.

27. Y.Kavamata, K.Matsuda, K.Matsuki. Introduction to minimal model problem. Adv. Stud. Pure Math., Alg. Geom., Sendai, T.Oda ed. 10(1985), 283-360.

28. N.Takahashi. Decomposition of Automorphisms of Affine Plane. (Preprint) (1995).

29. K.Matsuki. Introduction to Mori's program. // Springer. 2002, Springer ferlak, New York.

30. Cepp Ж.П., Деревья, амальгамы и SL2, сб. "Математика", 18:1, (1974), 3-51.