Полиномиальные модели вещественно-аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Шананина, Екатерина Николаевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517.55
Шананина Екатерина Николаевна
1
Полиномиальные модели вещественно-аналитических многообразий и алгебры их автоморфизмов
Специальность: 01.01.01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2005
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова.
Научный руководитель*.
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук профессор
Валерий Константинович Белоишпка доктор физико-математических наук Александр Васильевич Лобода кандидат физико-математических наук Николай Георгиевич Круоюилин Нижегородский государственный университет
Защита состоится «18»ноября 2005 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, сектор «А», аудитория 16-24
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ.
Автореферат разослан «18» октября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор
П. Лукашенко
^ im Hi
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы
Теорию многих комплексных переменных от теории одного комплексного переменного отличает ряд замечательных фактов, впервые проявляющихся уже в случае двумерного комплексного пространства. Известно, например, что в С1 ограниченная область, топологически эквивалентная единичному кругу, эквивалентна ему также и биголоморфно (теорема Римана). Уже в С2 это не так. Почти любая малая деформация шара приводит к области, биголоморфно не эквивалентной исходному шару. Таким образом задача о биголоморфной эквивалентности или неэквивалентности областей в С" становится нетривиальной уже начиная с С2. При переходе от отображений областей к отображениям их границ биголоморфной неэквивалентности областей соответствует локальная неэквивалентность их границ.
При изучении отображений и вопросов биголоморфной эквивалентности областей помимо возможности перехода от отображений областей к отображениям их границ (гиперповерхностей, то есть многообразий коразмерности 1) имеется также возможность перехода к отображениям так называемых границ Шилова, часто являющихся многообразиями коразмерности более высокой. В частности, уже для бидиска {(z,w) € С2 : \z\2 < 1, \w}2 < 1} границей Шилова является следующее (вещественно-двумерное) собственное подмножество границы (называемое также остовом бидиска): {(z,w) € С2 : \z\ — |«/| = 1}. Таким образом естественно возникают задачи изучения и описания отображений многообразий высокой (больше 1) коразмерности. Подобно тому, как риманову многообразию сопоставляется размерность, вещественным подмногообразиям комплексного пространства сопоставляется их тип'1'. Тип порождающего подмногообразия комплексного пространства — это пара чисел (п, К), где п это комплексная размерность комплексной части касательного пространства, а К это вещественная коразмерность. Например, гиперповерхность в пространстве С"+1 имеет тип (n, 1). Для решения задач об отображениях, автоморфизмах, инвариантах и вопросах классификации ростков была разработана эффективная технология, называемая методом модельной поверхности. Ключевым моментом этой технологии является построение «хорошей» модельной поверхности'2"8'. В С2 такой поверхностью служит трехмерная сфера.
Модельная поверхность, задающаяся системой вещественно квадратич-
Мчирка Е. М., Введение в геометрию CR-многообразий, УМН, 1991, т. 46,№1, с. 81-164. '2'Cheni, S. S. and Moeer, 3. К. Real hypertutface* in complex manifold!, Acta Math. vol. 133 JWS-4 (1974), 219-271.
ЭДВелошалка B.K.,Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные
уамфКгЖК, т.57, JM, СЛ-44. РОС. НАЦИЬНАл Ы1 . БИБЛИОТЕКА
модели, автоморфизмы и проблемы, классификации, Успехи
ных уравнений, называется квадрикой. Такие поверхности были достаточно подробно изучены в 90-х годах 20-го века. Квадрика обладает рядом свойств, делающих ее удобной для изучения биголоморфных отображений поверхностей!4! М 1«1
1. Каждому порождающему ростку вещественно-аналитического подмногообразия соответствует некоторая касательная квадрика.
2. Группа голоморфных автоморфизмов квадрики конечномерна тогда и только тогда, когда квадрика невырождена.
3. Квадрика однородна, то есть группа ее автоморфизмов действует на ней транзитивно.
4. Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной квадрики состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает 2.
5. Группа ее биголоморфных автоморфизмов есть подгруппа группы би-рациональных преобразований объемлющего пространства. Существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от пи К.
6. Квадрика обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы биголоморфных автоморфизмов произвольной поверхности ма^-жорируется размерностью группы биголоморфных автоморфизмов ее касательной квадрики.
7. Если квадрики биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны.
8. Квадрика обладает естественной структурой группы Ли.
Оболочка голоморфности Q невырожденной квадрики Q всегда полномерна. Для гиперквадрики (коразмерность 1) оболочка голоморфности составляет либо все пространство С "+1, либо, в случае положительно определенной гиперквадрики
я
Im w = ]Г \zj\2, j=i
^'Туианов А. Е., Конечномерность группы CR-аатаморфизмов стандартного CR-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зиееля, ВЫ. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 52,Л*3,с. 651669.
'"Бежжшпса В. К., О голоморфных преобразованиях квадрики, Матеи. Сборник 182/2 (1991).
I^V. Ezov, G. Schmalz, Holomorphic automorphum» of quadria, Math. Z. 1994. V. 216. №3- P. 453-470.
биголоморфно эквивалентной (2п 4- 1)-мерной сфере в С n+i, область
п
Imw >Y^\zi\2' j=i
биголоморфно эквивалентную шару.
Существует тесная связь между биголоморфными автоморфизмами невырожденных квадрик и их оболочек голоморфности. В частности, между автоморфизмами положительно определенной квадрики Q и ее оболочки голоморфности Q существует взаимно-однозначное соответствие.
Из свойств 1 — 8 видно, что, во-первых, многие характеристики ростка тесно связаны с характеристиками его касательной квадрики, и, во-вторых, квадрика достаточно хорошо поддается исследованию. Поэтому, если квадрика, соответствующая многообразию, невырождена, сильно упрощается ис-' следование его свойств. Но условие невырожденности квадрики наклады-
вает ограничение на коразмерность ростка: К < п2. Возникает задача построения аналогичной модели в случае большей коразмерности, называемой > «сверхвысокой».
Минимальный случай «сверхвысокой» коразмерности - многообразия типа (1,2) рассмотрен^ Белошапкой. Была построена модель - кубика типа (1,2). Позже им жеИ были построены модели степеней 3 и 4, задающиеся в некоторых координатах уравнениями степени 3 при п2 < К < п2 + п2(п +1) ' и степени 4 при п2 4- п2{п +1) < К < п2 4- п2(п +1) + п2(п + 1)(7п + 11)/12. Степени 3 и 4 для этих размерностей возникают естественным образом. Это в точности длина алгебры Леви-Танаки'Ч вполне невырожденного ростка. , При дальнейшем росте коразмерности оказывается необходимо перей-
ти к построению моделей более высоких степеней. При этом возникает ряд трудностей, например, неприменимость теоремы об экспоненциальном пред-ставлении'10!.
Цель работы
Целью работы является построение касательных модельных поверхностей для многообразий «сверхвысокой» коразмерности, а также оценка размерностей алгебр и групп их автоморфизмов.
МВелашапка В. К., СЯ—многообразия типа (1,2) шс многообразия 'сверхвысокой"коразмерности, Russian Journ. of Mathematical Phisira, Vol. 5, JM, P. 399-404.
("Велошапка В. К., Полиномиальные модели вещественных многообразий, Изв. РАН, Сер. ывтем., 2001, т. 65, JM, с.3-20.
["'Туманов А. Б., Геометрия CR--многообразий, Итоги науки я «танки. Совр. проблемы матем. Фун-даы. напр. Т. 9, М.: ВИНИТИ, 1986- С. 225-245.
''"'Пал&ыодов В. П.,Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М.: Наука, 1967.
Методы исследования
В диссертации используется аппарат теории дифференциальных уравнений с частными производными, алгебр и групп Ли, методы дифференциальной геометрии, такие как работа с векторными полями на многообразиях, а также аналитические методы вычисления степенных рядов.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:
1. Для вполне невырожденных многообразий типа (1,/Г), 3 < К < 7, построены модельные поверхности, вполне аналогичные касательной квадрике (теорема 1.19.); проведена классификация модельных поверхностей этих типов с точностью до биголоморфной эквивалентности (предложение 1.18); также найдены алгебры и группы их автоморфизмов (теорема 1.12).
2. Построены модельные поверхности степени пять (теорема 2.15); получены оценки на степень и размерность алгебры и группы автоморфизмов модельной поверхности степени 5.
Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет теоретический характер. Результаты могут быть использованы специалистами по дифференциальной геометрии и многомерному комплексному анализу.
Апробация работы
Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством акад. А.Г. Витушкина с 1999 по 2004 г.
Публикации
Основные результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на пункты, заключения и списка цитированной литературы. Общий объем текста - 120 страниц. Список литературы содержит 51 наименование.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении проведен обзор работ, близких к теме диссертации, вводятся основные понятия и кратко излагаются основные результаты работы.
Глава 1 посвящена изучению многообразий типа (1, К) при 3 < К < 7. Заметим, что модель типа (1,1) — это давно и хорошо изученная гиперквадрика в С2, биголоморфно эквивалентная единичной сфере. Многообразия типа (1,2) были рассмотрены Белошапкой!11'. Таким образом, изучение многообразий типа (1, К) в данной работе начинаиется с типа (1,3).
В п. 1.1 для СЯ-многообразий типов (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) и (1,7) строятся модельные поверхности. Их уравнения имеют степень 3 для типа (1,3), 4 для типов (1,4), (1,5), (1,6) и 5 для типа (1,7). Модельная поверхность типа (1,3) задается уравнениями
Уг = № т
Ш = 2\г\2Ъвг, у3 — 2|г|21т г ^
Модельная поверхность типа (1,4) задается уравнениями одного из следующих двух видов: поверхность общего подтипа и
»1 = 1*1»
у2 = 2И2Ке г, у3 - 2|^|21т г (2)
у4 = гЛе*3* + А|г|4
и поверхность симметричного подтипа
У2 — 2]г\2Ве г, Ш = 2\г\Чтг (3)
Модельная поверхность типа (1,5) задается уравнениями одного из двух видов: поверхность общего подтипа
Ш = 1-И2
уг = 2\г\2Пе г, уз = 2|г|21т 2 (4)
у4 = "Ш^г + А4И4, уь - 21тг3г + А5|.г|4
'"'Велошапка В. К., СR-многообразия типа (1,2) так многообразия "сверхвысокой"коразмерности, Russian Journ. of Mathematical РЫйса, Vol. S, m, P. 399-404.
и поверхность несимметричного подтипа
У1 = М2
У1 = 2|г|211е г, уз = 2\г\Чт г 2/4 = 2Ие у5 = |г|4
Модельная поверхность типа (1,6) задается уравнениями
01 = И2
у2 = 2\2\2Пег, ^ = 2\г\Чтг Ун = 2Ле г3*, у5 - 21т г3^, у« = И4
(6)
Модельная поверхность типа (1,7) задается уравнениями
у2 = 2\г\2Яег, ¡/з = 2|г|21т г 2/4 = 2Ке уъ = 21т у6 = |г|4
1/7 = 2Ле (аг*г + /Зг322 + 7x1^5)
(7)
где а, /3 и 7 не обращаются в нуль одновременно.
В п. 1.2 для них явно описаны алгебры инфинитезимальных автоморфизмов и группы голоморфных автоморфизмов (теоремы 1.12,1.13).
Алгебра Ли аШ; <5 инфинитезимальных автоморфизмов модельной поверхности <5 — это подалгебра алгебры полиномиальных векторных полей, чьи степени ограничены некоторой константой, зависящей только от К.
Назначая веса следующим естественным образом:
сделаем а1й <2 градуированной алгеброй Ли.
Эта алгебра будет обладать следующим, непосредственно проверяемым свойством: если некоторое поле содержится в аг^ ф, то и каждая его градуированная компонента тоже содержится в этой алгебре. Таким образом, можно представить агй ф как сумму градуированных компонент
где £> = 3 при К = 3, Б = 4 при 4 < К < 6, £> = 5 при К = 7 (то есть И -это максимальный вес, появляющийся в уравнениях модели).
Итак, об алгебрах инфинитезимальных автоморфизмов моделей доказаны следующие результаты.
и-1, м=2,
М = [гиз] = 3, [ги4] = М = М = 4,
М = 5, [~] = -К),
а^ <2 = + ... + г + до,
Теорема 1.12
• Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной модели типа (1,3) имеет вещественную размерность 7. При этом в алгебре присутствуют следующие градуированные компоненты:
aut <2=3-3 + 9-2 + g-i + 9о-
• Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной модели типа (1,4), общего имеет размерность 7; модели типа (1,4), симметричного — размерность 8. При этом
aut ф = +... -f 9-i + до-
■ • Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной моде-
ли типа (1,5), несимметричного имеет размерность 8; модели типа (1,5), общего с |A4I + |As| ф О — также размерность 8; модели типа i (1,5), общего с Л4 = Л5 = 0 — размерность 9. При этом
aut <3 = 5-4 + .» + 5-1 + 9о-
• Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной моде' ли типа (1,6) имеет размерность 10. При этом
aut Q —9- 4 + — + 5-1 + 50-
• Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной модели типа (1,7) имеет размерность 10. При этом
aut <3 = 5-5 + ••• + 5-1 + 5о-
Алгебра инфинитезимальных автоморфизмов модели Q состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает двух при К — 3, трех при К — 4,5,6, четырех при К — 7.
Подалгебре 50 соответствует подгруппа LAutQ линейных автоморфизмов Q, сохраняющих начало координат на месте. Эта подгруппа, в любом случае, содержит «вещественные растяжения» то есть преобразования вида
2еtz, Wj еtMwj, j = 1,...,к, teR.
Подалгебра 50, в свою очередь, всегда содержит соответствующий инфини-тезимальный автоморфизм вида (z,2w\,...,[wk\wk)-
Подгруппу автоморфизмов из Aut Q, сохраняющих начало координат на месте, по традиции будем обозначать Aut0 Q, Легко видеть, что в нашем случае Auto Q — LAut Q.
Подалгебре aut_ Q = g-5 4-... 4- соответствует подгруппа Aut_ Q, состоящая из «сдвигов по z», то есть полиномиально-треугольных преобразований, а также «сдвигов» по w, (для моделей типа (1,7) «сдвиг» по w-¡, также может быть назван полиномиально-треугольным преобразованием, так как помимо изменения Wi сопровождается полиномиальным преобразованием гит). Алгебра aut_ Q есть алгебра Леви-Танаки модельной поверхности Q.
Группа автоморфизмов модели типа (1,3) порождается следующими преобразованиями: полиномиально-треугольные преобразования («сдвиги» по
ги z + a а € С Wi (-> wi + 2iaz 4- г|а|2 v>2 1-HÜ2 4- 2i(az2 4- (а2 4- 2\a\2)z 4- a2ü) 4- 2w{Rr a w3t-^W3 + 2(áz2 + (а2 4- 2\a\2)z + a2a) 4- 2wilm а сдвиги по Xi, а:2, X3:
w3Wj 4- Cj, Ci € R, j — 1,... 3 «вещественные растяжения»:
z 1—► tz t € R W\ 1-+ t2w 1 W2 I-+ W3 t?U>3
и «повороты» по z:
z H-+ ze**, ф€ R Wi 1-+ Wi U>2 I-» W2 CO8 ф — №3 SÍI1 <JÍ>
гуз sin + гиз eos ф
Группа автоморфизмов модели типа (1,4) порождается следующими преобразованиями: полиномиально-треугольные преобразования («сдвиги» по г):
z*-* z + a а€ С W\ + 2iaz 4- г|а|2 гог + 2i(az2 4- (а2 + 2\a\2)z 4- o2o) -(- 2wiRe а гу3 од + 2(аг2 + (а2 4- 2|а|2)г 4- а2а) -I- 2u?ilm а W4 1—> W4 4- 2i(az3 4- (3|а|2 4- 2Xa)z2 + (Зо2о + a8 4- 2\aa?)z 4- а3й+ +А|а|4) 4- 4A|a2|u?i 4- (3 4- 2A)w2Re а -1- (3 4- 2А)юз1ш а
СДВИГИ ПО Х\у Х2, Х4".
wj\-*wj + сС2 € К, ] — 1,... 4 «вещественные растяжения»:
2 € К
гУ1 н-» 12/ш\ ■ш2 •-» Аи}*}, Юз н-» з
и (только в случае симметричного типа) «повороты» по х\
2»-»гё*, ф€Я 11)1 >->
щ ь^совф — ■щтаф •щ Ш2 81П Ф + ■ШзСОвфт^ I—► КЛ*
Группа автоморфизмов модели типа (1,5) порождается следующими преобразованиями: полиномиально-треугольные преобразования («сдвиги» по г):
г г + а а € С и>1 (-»• 4- 2тх 4- г|а|2 ■шг "-+ + 2г(аг2 + (й2 4- 2|а|2)г 4- о2а) 4- 2щИе а ги3 гу3 4- 2(аг2 4- (а2 4- 2|о|2)г 4- а2а) 4- 2и>х1т о к-» ы4 4- 2г(аг3 4- (3|а|2 4- 2А4о)гг 4- (За2а 4- о3 4- 2\<Я?)г 4- а3а4-4-А4|а|4) 4- 4А4|о2|и;1 4- ЗгУгГйе а 4- Зи>з1т а 4- 4-2А4(вд211е о 4- и>з1т о) гг5 <->■ Щ 4- 2(аг3 4- (3|а|2 4- 2А6а)гг 4- (За2а 4- а3 4- 2Л5аа2)г 4- а3а4-4-А5|о|4) 4- 4Л5|а2|гу1 4- ЗгУгЬп а - ЗгизЯе а 4- 2А5(гг2Пе а 4- гУз1т о)
в случае обычного типа и
г*-* г + а а € С ■ш\ ь-> 4- 2шг 4- г|а|2 ги21->и/2 + 2г(й22 4- (а2 4- 2|а|2)г 4- а2а) 4- 2гухЕе а гиз !-► гиз4- 2(аг2 4- (а2 4- 2\а\2)г 4- а2а) 4- 2гуг1т а ги4 4- 21(32® 4- 3|а|2г2 4- (За2о 4- а?)г 4- а354--ЬЗюгИе о 4- 3«^1т а 1-> 4- о.г2 4- 2ад?г 4- |а|4) 4- 4-4|а2|«;1 4- 2и^11е а 4- 2адз1т а
в случае несимметричного типа; сдвиги по Х2, хз, Х4, х5: Ы} >-+№¿+4, сг € К, 7 = 1,.. .5 9
и «вещественные растяжения»:
z<r+tz t € R
tt>i t-> ^lUj W% I-* «Va, WZ t3W3
U>4 b-> Í4U>4, W5 t->
В случае обычного типа; Л4 = Л5 = 0 есть также и «повороты» по z:
z 1-» ге1ф, ф£ R
Wi >-* Wi
W2 •-+ tüjcos ф — гУз sin ф щ *-* иъвтф + Мгсавф W2 >-* W2 eos 2ф — и?з sin 2ф wз i—» W2 sin 2ф + wz eos 2ф
Группа автоморфизмов модели типа (1,6) порождается следующими преобразованиями: полиномиально-треугольные преобразования («сдвиги» по z):
z>~* z + a а € С wi>—ni]i + 2iáz + ¿|a|2 W2 »-» W2 4- 2i(a^ 4- (a2 4- 2¡a|2)z + a2a) 4- 2w^Re a W3 1—> 4- 2(az2 4 (a2 + 2|a¡2)z + a2o) + 2wilm a w4mu)4 + 21(0^ 4- 3¡a\2z2 + (3a2a + a3)z + a3a)+
+3w2Re a + Задз1т a ws^w5 + 2(az3 4- 3|a|V + (3a2S 4 S3)z 4- a3a)~ —3tü2lm a 4- ЗгизГ1е a W6 4- az2 -f 2aa2z 4- |o|4) + -t-4|a2jtüi 4- 2w2Re a + 2гоз1т a
СДВИГИ ПО XI, X2> #3, 3?4j X¡, Xg'.
Wj Wj + Cj, С2 e R, j = 1,... 6 «вещественные растяжения»:
2 i-» ÍZ í € R
Wl I-+ ¿2Wx W2 •-» t3«^, W3 ^ í3«^ W4 t*Wi, Wb f-» ^Ws, W& I-+ t*u>6
и «повороты» по z:
z zeф € R
W\ »-» Wi
W2 Ь-> W2 COS ф — Wz 8Ín Ф, Wz W2 SÍI1 ф + W3 СОЙ <j> W4 н-> W4 eos 2ф — sin 2ф, Wb •-» Wi sin 2ф + W5 eos 2ф we i-* Wa
Наконец, группа автоморфизмов невырожденной модельной поверхности типа (1,7) порождается следующими преобразованиями: полиномиально-треугольные преобразования («сдвиги» по z):
z z + a а€ С tüx 1-* ivi + 2iaz 4- í|o|2 w2 w2 + 2i(az2 + (a2 4- 2|a|2)z + a2a) -I- 2wiRe a w3 »-» w3 + 2(az2 4- (o2 + 2|a|2)z 4- a2S) 4- 2tuilm a w4^w4 + 2i{as? 4- 3|a|2z2 4- (3a2á + a3)z + a3a)+
+ЗгУгНе a 4- Задз1т a w5i->wñ+ 2(az3 4- 3|a|V + (3a2a + a3)z + a3a)4-—3w2lm a + ЗшзЫе a w6 w6 -I- az2 + 2aa2z + ¡a|4) 4- 4-4|a2|t«i 4- 2w2Re a + 2u;3Im a щ t->w7 + 2i(aaz4 + (4a|o|2 4- ¡3ü2)t? + (6aa2a + /За3 4- 30áá2)z2+ +(4aa?a 4- áa4)z 4- ao4a 4- /?a3a2_4- 2Re (4aa3 4- 6¡3a2a + -ya^w^ 4-Re (6aa2 + 6/3|a|2 4- 3/3a2 4- 2¿7|a|2 4- 2ifa2)w2--Im (6aa2 4- 6/3|a|2 4- 3/?a2 4- 2¿7¡a|2 4- 2¿7a2)w34-4-Re (4aa 4- 2/3a — ¿70)11)4 — Im (4aa 4- 2/?a — ¿70)^5+ 4-Re (6/3a 4- 2i^/a)wb + 2Re 07(11^)2 4- 2г(7а2 4- 2^\a\2)wxz - 2i-yawiz2
«сдвиги» по X\:
Wi t-+ wi 4- ci ci € R
W2 H-» Hl2, Wz^Wz W4 W4, WJ5 I-» W5, We Щ
W7 tüt 4- CiRe 7W2 + Cilm 7W3
СДВИГИ ПО 3:4, 2^6) ж7:
Wj t-nvj 4- Cj-, C2 e R, j = 2,... 7 «вещественные растяжения»:
г tz t e R í2u;i
IÜ2 •-+ í3«^, tüj H-» í3^
ÍÜ4 l-+ Í4IÜ4, №5 l-+ Í4K?5, tí»6 í4lf6
IÜ7 t-> í5ÍW5
Можно видеть, что результаты получились во всех случаях сходные.
• Группа всегда содержит «сдвиги» по г и всем х3 (/ = 1,... К), обеспечивающие однородность поверхности.
• Также группа автоморфизмов всегда содержит «вещественные растяжения».
• В четырех случаях (К = 3; К = 4, симметричный тип; К = 5, обычный тип с А4 = А5 = 0; К = 6) возникает дополнительная симметрия. В группе появляется поворот в плоскости г, сопровождаемый таким же поворотом в «плоскостях» (гог, Юз) и (и>4,Щ)'
Преобразования перечисленных видов порождают всю группу автоморфизмов модели.
В п. 1.3 показано, что выполняются все основные свойства, требуемые от модельных поверхностей. Доказана следующая теорема: Теорема 1.19. Построенная модель типа (\,К) (3 < К < 7) является хорошей модельной поверхностью, а именно:
1. каждому порождающему ростку С Я—многообразия типа (1 ,К), 3 < К < 7 соответствует некоторая касательная модельная поверхность;
2. если росток невырожден, то группа его голоморфных автоморфизмов конечномерна;
3. модельная поверхность однородна, то есть группа ее автоморфизмов действует на ней транзитивно;
4- алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной модельной поверхности состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает £ в случае К = 3, 3 в случае К - 4,5,6, 4 в случае К = 7;
5. группа ее автоморфизмов есть подгруппа группы полиномиально-треугольных преобразований объемлющего пространства, степени не выше двух в случае К = 3, трех в случае К = 4,5,6, четырех в случае К = 1;
6. модельная поверхность обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы произвольной поверхности мажорируется размерностью группы ее касательной модельной поверхности;
7. если модельные поверхности биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны;
8. модельная поверхность обладает естественной структурой группы Ли.
Также проведена классификация модельных поверхностей этих типов с точностью до биголоморфного отображения:
Предложение 1.18 При К = 3 существует единственная невырожденная модельная поверхность заданная уравнениями вида (1)).
При К = 4 имеется единственная модельная поверхность симметричного типа, не эквивалентная никакой модельной поверхности обычного типа.
Для модельных поверхностей общего типа эквивалентность определяется вещественным параметром А. То есть, модельные поверхности, заданные в виде (2), с уравнениями для у\
У4, = 211е г? г + Х\г\4
и
3/4 = 2Ие + А|г|4
биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда А = А.
При К = 5 имеется единственная невырожденная модельная поверхность несимметричного типа, заданная уравнениями вида (5), не эквивалентная никакой модельной поверхности обычного типа.
Модельные поверхности общего типа, заданные в виде (4), с уравнениями для г/4, щ
г/4 = 211е2г3г + А4И4, уь = 21т ¿г + А5|г|4
и
2/4 = 2Ие г35 + А4И4, уь = 21т + А5|г|4
эквивалентны тогда и только тогда, когда А4 = А4 и А5 = А5.
При К — 6 существует единственная невырожденная модельная поверхность
При К = 7 модельные поверхности, заданные уравнениями в виде (7), с уравнениями для г/у
2/7 = 211е + (Зггг2 +
и
2/7 = 2Не (агН + Дг3^2 + чх^г)
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует такое комплексное число А Ф О, что А4Аа = а, А3А2/3 = ¡3, А3А27 = 7.
Как уже было отмечено выше, в уравнении модельной поверхности типа (1,7) впервые появляется зависимость у от х. При этом все основные свойства модельной поверхности сохраняются. Если рассматривать поверхности с большей размерностью комплексной касательной, при переходе к моделям степени пять в уравнениях появляется зависимость от переменных х. При этом явное вычисление автоморфизмов такой модели уже достаточно сложно, а ряд методов, примененных ранее для оценки размерности группы автоморфизмов модельных поверхностей меньших степеней (например, теорема об экспоненциальном представлении), перестает работать как раз из-за появления х в уравнениях.
Глава 2 целиком посвящена изучению модельных поверхностей степени пять с произвольной размерностью комплексной касательной. Рассматриваются СИ—многообразия типа (п, к2 + + + к), где к^ - размерность пространства вещественных однородных многочленов степени ] от г, г, чье разложение по бистепеням не содержит компонент (.7,0) и (О,]), к < къ + к2к3. (Значения к2 = п2, к3 = п2(п +1), £4 = п2(п + 1)(7п +11)/12, кь — ?г2(п+1)(п+2)(Зп+5).) Таким образом, модельные поверхности степени пять оказываются удобным инструментом в изучении многообразий типа (п, К) при
к2 + к3 + к4 + 1<К <к2 + к3 + к1 + к5 + к2къ
В п. 2.1 строятся модели степени 5. Невырожденность поверхности (см. Определение 2.1) определим так. Пусть в пространстве <С»+*»+*»+*«+* с координатами г € С", из3 — + 1у3 € С*', ] = 1... 4, №5 = х5 + гу5 € С* задан порождающий росток вещественно-аналитического С Я—многообразия типа (п, К), где К = к2 + кз + к^ + к. Пусть в окрестности нуля он определяется уравнениями
у = Р(г,Е,а:).
Сделаем некоторые полиномиальные преобразования, подробно описанные в п. 2.1. Уравнения поверхности примут такой вид:
у2 = ^1(гг)+0(3) Уз = 2ВеР21(г2г) 4-0(4) уА = 2Ле Г31(г3г) + Г22(г2г2) + 0(5) 2/5 = 2Яе + Р32(г3г2) + Р212(х2гЧ)) + 0(6)
Пусть координатные компоненты формы = 2Ие (Рц(г*г) + Рз2(г3г2) + Р212(х2г2г)) линейно независимы. Тогда назовем поверхность невырожденной. Эти условия оказывается возможно переформулировать в инвариан-
тных терминах. Нужно потребовать принадлежности к минимально возможному при данной коразмерности (конечному) типу по Блуму-Грэхму!12', то есть к типу (Ii, 12,..., 1к), где lj = 2 при j = l,...,fc2; lj — 3 при j = k2 + 1,..., k2 + lj = 4 при j — kz + ks +1,..., k2 + k3 + ki, lj — 5 при j = k2 + h + kA + 1,..., fc2 + fc3 + + к = К.
В п. 2.2 доказывается конечномерность алгебры инфинитезимальных автоморфизмов модели и полиномиальность касательных голоморфных векторных полей, выводятся оценки на степень полей и размерность алгебры. В общем случае оценки размерности получаются такие:
dim mtQ < 2n(n2 + 1)2* + 2n2 + n2(n + 1 ) + K
dim autoQ < 2n(n2 + 1)2* -2n + 2ra2 + n2(n + 1)
Естественно, что эти же оценки верны не только для модельной поверхности, но и для произвольного вполне невырожденного ростка соответствующего типа.
В п. 2.3 проверяются бирациональность автоморфизмов, экстремальное свойство модели, линейная эквивалентность биголоморфно эквивалентных моделей, а также свойство однородности. Таким образом, доказывается следующая основная
Теорема 2.15 Невыроокденная модельная поверхность пятой степени типа (п, К) (здесь К = к2 + кз + к4 + к, ак <к5 + к2кз) является ^хорошей* модельной поверхностью, а именно:
1. всякому вполне невырожденному порождающему ростку соответствует невырожденная касательная модельная поверхность пятой степени;
2. группа автоморфизмов невырожденной модели конечномерна;
3. модельная поверхность пятой степени однородна, то есть группа ее автоморфизмов действует транзитивно;
4■ алгебра инфинитезимальных автоморфизмов вполне невырожденной модельной поверхности состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает к -I- 5;
5. группа ее автоморфизмов есть подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства ограниченной степени. (Существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К.)
Bloom and I. Graham, On type conditions for generic real submanifolds of СInvent Math. 40 (1977), 217-243.
6. модельная поверхность обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы голоморфных автоморфизмов произвольной поверхности мажорируется размерностью группы голоморфных автоморфизмов ее касательной модельной поверхности;
7. если модельные поверхности биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны;
8. модельная поверхность обладает естественной структурой группы Ли.
В заключении дается краткий обзор ситуации в теории модельных поверхностей в контексте работ автора, В.К. Белошапки, Д. Зайцева'13', опубликованных в последние годы. Белошапка'14' показал, что метод модельных поверхностей применим для С Я—многообразий произвольного типа (п,К). Было дано определение вполне невырожденного ростка, полностью совпадающее для рассмотренных размерностей с определениями, данными автором в главах 1 и 2. Определение полной невырожденности дается путем выполнения некоторого алгоритма преобразований (приведения ростка к стандартному виду). Однако получающиеся в результате условия на росток оказываются тесно связаны с другими известными характеристиками ростка. А именно, были установлены следующие связи.
Как и в главе 2, полная невырожденность многообразия в точности соответствует принадлежности его к определенному (минимально возможному при данных СЯ-размерности п и коразмерности К) конечному типу по Блуму-Грахму.
А также:
• Вполне невырожденный росток является ростком конечного типа по КонуМ.
• Вполне невырожденный росток является ¿¿-стабильным'16!.
• Вполне невырожденный росток минимален в смысле Туманова'17'.
'"'Zaiteev, D., Germs о] local automorphisms of real-analytic CR structures and analytic dependence on k-jets, Math. Ree. Lett. 4 (1997), 1-20.
'"'Белошапка В. К., Универсально* модель вещественного подмногообразия, Мат. Заметки, т.75, в.4, ■прель 2004, с.507-522.
'"'КоЪп J.J., Boundary behavior of Ъ on weakly psevdoconvex manifolds of dimension two J.Mf.Geom.6 (1972), 563-542.
1"1Белошапка B.K., Функции, плюригармоничсские на многообразии, Известия АН СССР, сер.мат., 1978, т.12, »3, С.439-447.
'^Туманов А. Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообрааия и собственные голоморфные отображения областей Зиееля, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 62,JM,c. 651659.
)
• В терминах работ Баоуенди, Эбенфельта, Хуанга и Ротшильд!18!!1®) вполне невырожденный росток является 1-невырожденньгм.
Автор выражает глубокую благодарность В. К. Белошапке за научное руководство и неоценимую помощь в работе над диссертацией.
СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
{1] Шананина Е. Н., Модели СЛ-многообразий типа (1, К) при 3 < К < 7 о их автоморфизмы, Мат. Заметки, 2000, т.67, вып.З, с.452-459.
[2] Шананина Б. Н., Модельные поверхности степени 5 для СП-многообразий "сверхвысокой "коразмерности, Вестник Российского университета
^ дружбы народов, Сер. матем., 2002, №9(1), С.144-154.
[3] Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени 5 и алгебры их автоморфизмов, Мат. Заметки, т.75, в.5, май 2004, с.757-772.
4 [4] Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени пять, Тезисы докла-
дов на конференции "Современные методы теории краевых задач, Понтря-гинские чтения - XV", Воронеж, 3-9 мая 2004 г., с.239-240. [5] Шананина Е. Н., Модельные поверхности типа (1,7), Тезисы докладов на конференции "Современные методы теории функций и смежные пробле-' мы, Материалы Воронежской зимней математической школы", Воронеж, 27
января - 2 февраля 2005 г., с.249-250.
4
еЧМ&ВаоиепЛ, Х.Ншт& Ь.Р.ЯоЙмсЫИ, ЯсдшЬтИу о/ СИ тарр*пр ЬеЫеея ш!дЛЫс Ь&етфса, bnent.Matb.X25 (1996), 1М6.
1")М. 8. ВаоиепЛ, Р. ЕЪепЛеН, аЫ Ь. Р. НМЬкЬШ, СИ ювютогрЫти о} геЫ апвИНе та/фи» т евтр1ех врлге, Сотш. Апа1. Скат, в (1998), №2,291-316.
»18848
РНБ Русский фонд
2006-4 21603
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /СО> Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0
Тираж!00эю. Заказ ?$
Введение
0.1 Краткий исторический обзор
0.2 Основные понятия.
0.3 Структура работы.
1 Многообразия СД-размерности
1.1 Преобразование уравнений.
1.1.1 Преобразование 3-струи. Стандартный вид поверхности типа (1,3).
1.1.2 Преобразование 4-струи. Стандартный вид поверхностей типов (1,4), (1,5), (1,6).
1.1.3 Преобразование 5-струи. Стандартный вид поверхности типа (1,7).
1.2 Алгебры и группы автоморфизмов.
1.2.1 Тип (1,3)
1.2.2 Тип (1,4).
1.2.3 Тип (1,5).
1.2.4 Тип (1,6).
1.2.5 Тип (1,7).
1.3 Основные результаты для моделей типа (1,К): «модельные» свойства и классификация.
2 Модели степени пять
2.1 Построение модели.
2.2 Оценки для алгебры инфинитезимальных автоморфизмов
2.2.1 Основные соотношения.
2.2.2 Первые следствия
2.2.3 Решение для /0 = А(х)
2.2.4 Оценки на степень инфинитезимальных автоморфизмов и размерность их алгебры
2.3 Модельная поверхность степени пять как хорошая модель
0.1 Краткий исторический обзор
Теорию многих комплексных переменных от теории одного комплексного переменного отличает ряд замечательных фактов, впервые проявляющихся уже в случае двумерного комплексного пространства. Известно, например, что в С1 область, топологически эквивалентная единичному кругу, эквивалентна ему также и биголоморфно (теорема Римана).
Уже в С2 это не так. Почти любая малая деформация шара приводит к области, биголоморфно не эквивалентной исходному шару. При переходе от отображений областей к отображениям их границ биголоморфной неэквивалентности областей соответствует локальная неэквивалентность их границ.
В С1 два вещественно-аналитических подмногоообразия коразмерности 1 (то есть одномерные кривые) локально биголоморфно эквивалентны. В С2 их аналогом будут (трехмерные) гиперповерхности. Почти всегда они локально не эквивалентны. Это было известно еще А. Пуанкаре; см. также [36]. Это новое свойство ростка подмногообразия, возникающее с ростом размерности, называют его аналитической жесткостью.
Появляющееся при переходе к С2 свойство жесткости тесно связано с падением размерности группы биголоморфных автоморфизмов ростка. При переходе от С1 к С2 размерность группы автоморфизмов резко падает. Для одномерной кривой в С1 эта размерность бесконечна. В то же время для ростков трехмерных вещественно-аналитических подмногообразий в С2 ситуация следующая.
• Для вещественной гиперплоскости размерность группы автоморфизмов бесконечна.
• Для ростков, не эквивалентных гиперплоскости, эта размерность не превосходит восьми. Восемь — максимум, достигаемый в случае стандартной трехмерной сферы.
• Для ростков, не эквивалентных сфере, размерность не превосходит трех. Размерность три достигается для гиперповерхностей, однородных в общей точке. Такие гиперповерхности были описаны Э. Картаном [37].
• Гиперповерхность общего положения вообще не имеет автоморфизмов, даже локальных.
Гиперплоскость и гиперсфера, таким образом, представляют собой решения двух экстремальных задач. Гиперплоскость оказывается поверхностью с самой богатой группой, причем размерность этой группы бесконечна. Если же нас интересуют только конечномерные группы, то максимум размерности дает гиперсфера.
Естественно предположить, что эти поверхности будут играть важную роль в изучении отображений, автоморфизмов, инвариантов и вопросах классификации ростков вещественных подмногообразий. И это действительно так. Для решения этого круга задач была разработана эффективная технология, называемая методом модельной поверхности. Ключевым моментом этой технологии является построение "хорошей" модельной поверхности ([38], [12]). Для гиперповерхностей в С2 это наша трехмерная сфера.
При изучении отображений областей, а также вопросов их биголо-морфной эквивалентности помимо возможности перехода от отображений областей к отображениям их границ (гиперповерхностей, то есть многообразий коразмерности 1) имеется также возможность перехода к отображениям так называемых границ Шилова, часто являющихся многообразиями коразмерности более высокой.
Определение 0.1 Границей Шилова ограниченной области D называется такое замкнутое подмножество границы S С 3D, что
1. для любой функции f, голоморфной в области D и непрерывной в ее замыкании D, max \f(z)\ = max zeD zeS
2. любое замкнутое множество S, обладающее свойством 1), содержит S.
В частности, уже для бидиска z, w) G С2 : \z\2'<l, Н2<1} границей Шилова является следующее (вещественно-двумерное) собственное подмножество границы (называемое также остовом бидиска): z,w) G С2 : \z\ = 1, \w\ = 1}.
В то же время для шара в С2 граница Шилова совпадает с его топологической границей. Легко видеть, что границы Шилова шара и бидиска не эквивалентны топологически. Этот факт может послужить одной из илллюстраций биголоморфной неэквивалентности шара и бидиска в С2.
Таким образом естественно возникают задачи изучения и описания отображений многообразий высокой (больше 1) коразмерности.
Если перейти от С2 к гиперповерхности в пространстве произвольной размерности, то полным аналогом сферы являются некоторые специальные гиперповерхности второго порядка (их несколько, в положительно определенном случае это гиперсфера) [49], [38]. Как было показано Бе-лошапкой в работе [7] 1991-го года, прямым обобщением сферы для многообразий коразмерности более высокой, чем единица, являются невырожденные квадрики - специальные поверхности, определяемые уравнениями второго порядка. При условии положительной определенности
I № эти поверхности фигурировали ранее в теории однородных областей, как остовы областей Зигеля второго рода (см. [16], [22], [45], [46]). Квадрикам и изучению вещественных многообразий с опорой на эту модель посвящено множество работ, созданных в основном в 90-х годах 20-го века. Можно назвать, например, работы А. В. Абросимова ([1]), Е. Г. Анисовой ([2], [3]), А. Ф. Арбатского ([4]), В. К. Белошапки ([7], [8]), В. Ежова и Г. Шмальца ([39] - [43]), Н. Ф. Палинчак ([19], [20], [21]), А. Е. Туманова ([24], [25]), А .Сухова ([47], [48]), С. Н. Шевченко ([30], [31]).
Пусть М — вещественно-аналитическая поверхность в Сп+К. В окрестности некоторой точки £ £ Qn+K поверхность задается системой уравнений 0, з = 1,. .К, где — вещественнозначные вещественно-аналитические в окрестности £ функции. Если вектора gradF-7 (j = 1 линейно независимы как вектора в Сп+К, (то есть многообразие является порождающим) то в некоторых кординатах уравнения М записываются в виде y = F(z,z,x), j = !,. К, где 2 = (zi,.,zn), w = (w\,. ,zk), wj = xj + iyj, F — веществен-нозначное вещественно-аналитическое отображение окрестности нуля в Сп х R^ b R*, причем F|0 - 0, dF\0 = 0.
Выделим у функции F компоненту степени 2 по z и нулевой степени по z и х. Заменой w ь-> w + 62(2:, z), где C2(z,z) — некоторая квадратичная форма от z, добьемся того, чтобы эта компонента (а также комплексно сопряженная ей компонента степени 2 по z и нулевой степени по -z и х) обратилась в нуль. Выделим теперь компоненту степени 1 по z, 1 по i и нулевой степени по х. Обозначим эту компоненту < z, z >= (< z\z >1,. < z,z >к). Введем градуировку, задавая веса переменных так: [z] = [z] = 1, [ги] = [я]. = 2. Уравнения М примут теперь вид yj=<z,z>j +0( 3), j = l,.K, где через 0(3) обозначены члены веса 3 и выше.
Теперь поверхность Q, задаваемую уравнениями yj=<z,z>J, j = l,.K, назовем квадрикой, касательной к М.
Квадрика называется невырожденной(см. [7]), если выполняются следующие два условия:
Г. координатные компоненты < z, z . ,< z, z >к формы <.z, z > линейно независимы;
2. если < С, z >= 0 для всех z, то £.= О (условие отсутствия ядра).
Квадрика обладает рядом полезных свойств (см., например, [7]), делающих ее удобной для изучения биголоморфных отображений поверхностей:
1. каждому порождающему ростку вещественно-аналитического подмногообразия соответствует некоторая касательная квадрика.
2. группа голоморфных автоморфизмов квадрики конечномерна тогда и только тогда, когда квадрика невырождена.
3. квадрика однородна, то есть группа ее автоморфизмов действует на ней транзитивно.
4. алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной квадрики состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает 2.
5. группа биголоморфных автоморфизмов невырожденной квадрики есть подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства. Существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К. А именно, степень не превышает 4(п + К) где К — коразмерность, а п — размерность комплексной части касательного пространства.
6. квадрика обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы биголоморфных автоморфизмов произвольной поверхности мажорируется размерностью группы биголоморфных автоморфизмов ее касательной квадрики.
Если касательная квадрика невырождена, это свойство обеспечивает конечномерность группы биголоморфных автоморфизмов поверхности. Если же квадрика вырождена, свойство остается верным, хотя и становится бесполезным в изучении автоморфизмов исходной поверхности, так как группа автоморфизмов вырожденной квадрики бесконечномерна.
7. если квадрики биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны.
8. квадрика обладает естественной структурой группы Ли.
Заметим также, что оболочка голоморфности Q невырожденной квадрики Q всегда полномерна. Например, для гиперквадрики (коразмерность 1) оболочка голоморфности составляет либо все пространство С n+1, либо, в случае положительно определенной (см. [7]) гиперквадрики п биголоморфно эквивалентной (2п + 1)-мерной сфере в С n+1, область п з=1 биголоморфно эквивалентную шару.
Кроме того, между биголоморфными автоморфизмами невырожденных квадрик и их оболочек голоморфности существует тесная связь.
Из вышесказанного видно, что, во-первых, многие характеристики ростка тесно связаны с характеристиками его касательной квадрики, и, во-вторых, квадрика достаточно хорошо поддается исследованию. Поэтому, если квадрика, соответствующая многообразию, невырождена, исследование его свойств сильно упрощается. Но условие невырожденности квадрики накладывает ограничение на коразмерность ростка: К < п2. Хотелось бы иметь модель, аналогичную квадрике, и в случае большей коразмерности.
В работе [10] Белошапкой были построены такие модели степеней 3 и 4, задающиеся в некоторых координатах уравнениями вида
Im w = F(z, z) где F — вектор-многочлен степени 3 при п2 < К < п2 + п2(п ■+ 1) и степени 4 при п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2(п + 1) + п2(п■+ 1)(7п + 11)/12. Заметим, что степени 3 и 4 возникают для данных размерностей естественным образом. С поверхностью связывается следующий объект, называемой алгеброй Леви-Танаки данной поверхности (см., например, [23]). Это градуированная алгебра Ли, которая строится индуктивно:
D1 = ТСМ, Dj+l = [D\ Dl] + Dj.
Понятно, что всегда D*'С При этом также понятно, что начиная с какого-то j рост размерности прекращается: = DJ+1, так как всегда DJ С TM, а ТМ конечномерно. Длиной алгебры Леви-Танаки называется такое наибольшее j, при котором DJ1 DK
Как показано Белошапкой в [9] и [10], три в случае п2 < К < п2 + п2(п + 1) и четыре в случае п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2{п + 1) + п2(п + 1)(7п+11)/12 есть в точности длина алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного (в терминологии [13]) ростка.
Для этих моделей были найдены оценки на степени полиномов, задающих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов, а также на степени бирациональных автоморфизмов, составляющих группу.
В алгебре инфинитезимальных автоморфизмов модельных поверхностей можно ввести естественную градуировку. Тогда оценки на степени полиномов, задающих поля из алгебры, получаются из оценок на вес полей, входящих в алгебру.
Рассмотрим модельные поверхности степени три, называемые в [10] невырожденными кубиками. Введем следующее обозначение: F21 (z,z) будет обозначать некоторую полилинейную форму от 2:, z, степени два по z и один по z. Пусть 2 G Cn, W2 £ С"2, £ Ск. Пусть уравнения кубики в С п+п2+к даны в стандартном виде
Im W2 =< z,z >
Im W3 = 2Re F2i(z,z) Введем естественную градуировку, полагая и = 1, [|] = -1,
Тогда остальные веса задаются так: w2}= 2, [«73]=3, ^dw2 ^
Тогда алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики aut Q (см. Определение 0.2 в п. 0.2) становится градуированной алгеброй Ли со следующим, непосредственно проверяемым свойством: если некоторое поле содержится в aut Q, то и каждая его градуированная компонента тоже содержится в этой алгебре. Можно написать, что aut Q = + . + д-1+-д0- + gi + - + 9d, где D — некоторое натуральное число, об оценках на которое поговорим ниже. Алгебра любой невырожденной кубики содержит поля весов -3, -2, -1 и 0.
Подалгебра autQ = <7з+<72+<7-1 есть алгебра Леви-Танаки кубики. Полям из autQ соответствуют так называемые "сдвиги" по поверхности. Если за координаты на кубике принять z, х2 = Reu>2, х% = Reu^, то полям из соответствуют сдвиги по х%, а полям из д-2 — сдвиги по х2. Полям из д-1 соответствуют квадратично-треугольные преобразования объемлющего пространства, осуществляющие "сдвиг." по г.
Подгруппа линейных автоморфизмов кубики, соответствующая подалгебре до, всегда содержит "вещественные растяжения" (преобразования вида z и-► tz, w2 ► t2w2, Wz t3W3, где t G R).
На «положительную» же компоненту алгебры aut+Q = gi■+ ••• + 9d (соответствующую нелинейным автоморфизмам, сохраняющим на месте начало координат) существуют только оценки. Первоначально была дана оценка D < 6; впоследствии ее удалось улучшить до 4. Тем не менее, до сих пор неизвестно примера кубики с нетривиальной положительной компонентой.
В дипломной работе Р. Гаммеля [15] (2004 г.) было показано, что если в алгебре отсутствует первая весовая компонента ^i, то нет и компонент больших весов. Таким образом, если бы удалось доказать отсутствие первой весовой компоненты, то все автоморфизмы кубики оказались бы комбинациями линейных преобразований, соответствующих полям из <7о, и "сдвигов". Размерность группы автоморфизмов кубики варьировалась бы тогда от 2n + n2 + к +1 (такую размерность дают в совокупности уже упомянутые "сдвиги" и "растяжения") до 2п-\-Зп2+к (такая размерность получается, если линейные автоморфизмы кубики содержат все преобразования I-+ Az с любой А Е GL(n, С)). Несмотря на то, что во всех известных примерах дела обстоят именно так, вопрос о существованиии первой весовой компоненты в алгебре по-прежнему остается открытым.
Для моделей степени четыре также были получены оценки на веса полей, составляющих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов. Алгебра модели четвертой степени состоит из следующих градуированных компонент: aut Q= д-з.+ . + g-i + д0 + д\
Можно заметить, что пример модели четвертой степени с ненулевой компонентой веса 1 также неизвестен.
Однако модели степеней три и четыре по-прежнему не исчерпывают всех коразмерностей. На коразмерность снова возникают ограничения, связанные с длиной алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка. Кубика является хорошей моделью при п2 < К < п2 + п2(п + 1). Модель четвертой степени применима при п2 + п2(п 4- 1) < К < п2 + п2(п + 1) + п2(тг + 1)(7 п + 11)/12.
В [10] были предложены и модели более высоких степеней, правда, без выполнения свойства 1, т.е. универсальности. Как показано в работе автора [27], уже начиная с коразмерности 7 при одномерной комплексной касательной (минимальная ситуация, в которой не хватает четвертой степени, и появляется степень 5) не удается, в общем случае, построить модель, задающуюся уравнениями вида
Im w = F(z, z).
Однако, если разрешить правой части зависеть от Re го, задача по-прежнему разрешима. Мы снова можем построить модельную поверхность с требуемыми свойствами. Наличие Re w в уравнениях модели несколько меняет доказательство конечномерности алгебры инфинитези-мальных автоморфизмов, т.к., например, становится невозможным применение теоремы об экспоненциальном представлении [18], однако все свойства, аналогичные названным свойствам 1—8 невырожденной квадрики, продолжают выполняться.
Тема построения модельных поверхностей степени пять получила дальнейшее развитие в работах автора [28] и [29]. В [28] ситуация поверхностей коразмерности 7 с одномерной комплексной касательной была обобщена на случай произвольной размерности комплексной касательной. При этом в уравнениях модели появлялся только один полином степени пять.
В работе [29] построение модельных поверхностей степени (а точнее, веса) пять было закончено, то есть продолжено вплоть до возникновения нового естественного ограничения на коразмерность.
0.2 Основные понятия
Введем, вкратце, основные понятия, которыми будем оперировать в последующих пунктах.
Рассмотрим гладкое подмногообразие М в iV-мерном комплексном пространстве. В каждой точке £ € М рассмотрим касательное пространство Т^М. В нем можно выделить комплексную часть Т^МС. Если оператор умножения на г в объемлющем пространстве обозначить как J, Т^М определяется так:
Tf М := ТсМ П J(T^M)
Комплексная размерность Т^М называется СR-размерносгпъю М в точке £ и обозначается С R dim^M. В общем случае эта функция на М лишь полунепрерывна сверху. Если она постоянна, то есть CR dim^М = п на М, то число п называется CR-размерностъю М и обозначается СД dim М.
Дальше всюду будем считать Сй-размерность поверхности постоянной. Вложенное в С^ подмногообразие постоянной СЛ-размерности будем называть СR-многообразием.
C-R-многообразие, имеющее СЛ-размерность п и вещественную коразмерность к называется многообразием типа (п,к).
Пусть М есть гладкое СЯ-многообразие типа (п, к), вложенное Если dim М — п — N, то С-линейная оболочка касательного пространства к М в его произвольной точке £ имеет комплексную размерность N, то есть совпадает со всем Слг. Такое М называется порождающим. Если подмногообразие типа (N — к, к) в
СЛГ задано набором гладких вещественных функций
Fi(zu.,zN,zhzN) — О
Fk(z 1, . . . , 2ДГ, 21, zm) = о, то это условие эквивалентно комплексной линейной независимости градиентов grad Fi, . .gradFk.
В дальнейшем нас будут интересовать только локальные свойства многообразия, поэтому целесообразно перейти к росткам. Рассмотрим росток вложенного в С^ многообразия М в точке
Определение 0.2 Через aut обозначим алгебру Ли ростков вещественных векторных полей вида д д X = 2Re(fi(zh .,zN)— + . + !n{zu
J i* V ±7 7 i* / О ozi ozm со следующими свойствами:
1. все функции -fj(zi,zn) определены и голоморфны в окрестности точки £ б М;
2. сужение векторного поля на М^ касательно к .
Эта алгебра называется алгеброй инфинитезимальных автоморфизмов ростка.
Можно рассмотреть соответствующую aut^M локальную группу AutM Это образ autM^ под действием экспоненциального отображения. AutМ^ действует на М$ отображениями, биголоморфными в точке
Будем дальше называть aut М^ и AutM^ алгеброй и группой ростка соответственно.
Помимо группы и алгебры ростка, Aut и aut нас будут интересовать также подалгебра auto М; С aut инфинитезимальных автоморфизмов поверхности, обращающихся в нуль в точке £ Е М, и соответствующая ей подгруппа AutС AutM^ автоморфизмов, сохраняющих на месте точку £.€i М.
0.3 Структура работы
1. А. В. Абросимов Описание локально биголоморфных автоморфизмов стандартных квадрик коразмерности два, Матем. сборник, 1993, Т. 184, №10, С. 3-52.
2. Е. Г. Анисова Нуль-квадрики коразмерности 4 в пространстве С7, Матем. заметки, 1997, Т.62, №5, С. 657-665.
3. Е. Г. Анисова Квадрики коразмерности 4 в С7 и их автоморфизмы, Матем. заметки, 1996, Т.59, №2, С. 164-173.
4. А. Ф. Арбатский О структуре нелинейных автоморфизмов (3,3)-квадрик, Матем. заметки, 1997, Т.62, №5, С. 657-665.
5. Beloshapka V.K., CR-Varieties of the Type (1,2) as Varieties of " Super-High" Codimension, Russian Journ. of Mathematical Phisics, 1998, Vol. 5, №2, P. 399-404.
6. Белошапка В. К., Конечномерность группы автоморфизмов вещественно аналитической поверхности, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 52, N 2, с. 437-442.
7. Белошапка В. К., О голоморфных преобразованиях квадрики, Матем. Сборник 182/2 (1991).
8. Белошапка В. К., Инварианты СR—многообразий, связанные с касательной квадрикой, Мат. Заметки, 1996, 59, вып.1, с. 42-52.
9. Белошапка В. К., Кубическая модель вещественного многообразия, Мат. Заметки, 2001, т. 70, вып.4, с. 503-519.
10. Белошапка В. К., Полиномиальные модели вещественных многообразий, Изв. РАН, Сер. матем., 2001, т. 65, №4, с.3-20.
11. Белошапка В.К.,Квазипериодическая система полиномиальных моделей СR-многообразий, Труды Мат.ин-та им.Стеклова РАН, т.235, 2001, С.7-35.
12. Белошапка В.К.,Вещественные подмногообразия комплексного пространства их полиномиальные модели, автоморфизмы и проблемы классификации, Успехи мат.наук, 2002, т.57, №1, С.3-44.
13. Белошапка В. К.,Универсальная модель вещественного подмногообразия, Мат. Заметки, т.75, в.4, апрель 2004, с.507-522.
14. Белошапка В.КФункции, плюригармонические на многообразии, Известия АН СССР, сер.мат., 1978, т. 12 , №3, С.439-447.
15. Р. В. Гаммель, Об алгебре инфинитезимальных автоморфизмов кубики, МГУ, механико-математический факультет, 2004, дипломная работа.
16. Г. С. Гиндикин, И. И. Пятецкий-Шапиро, Э. Б. Винберг, Классификация и каноническая реализация ограниченых однородных областей, Труды ММО. 1963. Т. 12. С. 404-437.
17. В.Ежов, Г.Шмальц, Автоморфизмы и голоморфные отображения стандартных С R-многообразий и области Зигеля, Прогресс в науке и технологии. Сер. Совр. матем.и ее прил. (Комплексный анализ и теория представлений. Т. 1). М. ВИНИТИ.
18. Паламодов В. П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М.: Наука, 1967.
19. Н. Ф. Палинчак О квадриках высокой коразмерности, Матем. заметки, 1994, Т.55, №5, С. 110-115.
20. Н. Ф. Палинчак Вещественные квадрики коразмерности три в С6 и их нелинейные автоморфизмы, Изв. РАН, Сер. матем., 1995, Т.59, №3, С. 159-179.
21. Н. Ф. Палинчак О с-жестких квадриках, Деп. в ВИНИТИ РАН, 10.04.95, №973-В95.
22. И. И. Пятецкий-Шапиро, Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, М.: Физматгиз, 1961
23. Туманов А. Е., Геометрия СR—многообразий, Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. Фундам. напр. Т. 9, М.: ВИНИТИ, 1986. С. 225-245.
24. Туманов А. Е., Конечномерность группы CR-автоморфизмов стандартного CR-многообразия и собственные голоморфные отображения областей Зигеля, Изв. АН СССР, Сер. мат., 1988, т. 52,№3,с. 651-659.
25. Туманов А.Е., Продолжение CR-функций с многообразий конечного типа в клин, Мат.сборник, т. 136, 1988, 129-140.
26. Чирка Е. М., Введение в геометрию СR—многообразий, УМН, 1991, т. 46,№1, с. 81-164.
27. Шананина Е. Н., Модели CR-многообразий типа (1 \К) при 3 < К <7 и их автоморфизмы, Мат. Заметки, 2000, т.67, вып.3, с.452-459.
28. Шананина Е. Н., Модельные поверхности степени 5 для СR—многообразий "сверхвысокой "коразмерности, Вестник Российского университета дружбы народов, Сер. матем., 2002, Nfi9(l), С.144-154.
29. Шананина Е. Н., Полиномиальные модели степени 5 и алгебры их автоморфизмов, Мат. Заметки, т.75, в.5, май 2004, с.757-772.
30. С. Н. Шевченко Описание инфинитезимальных автоморфизмов квадрик коразмерности два и их классификация, Матем. заметки, 1994, Т.55, №5, С. 142-153.
31. С. Н. Шевченко Квадрики коразмерности два и их автоморфизмы, Изв. РАН, Сер. матем., 1994, Т.58, №4, С. 149-172.
32. М. S. Baouendi, P. Ebenfelt, and L. P. Rothschild, CR authomorphisms of real analitic manifolds in complex spase, Comm. Anal. Geom. 6 (1998), №2, 291-315.
33. M.S.Baouendi, P.Ebenfelt, L.P.Rothschild, Real Submanifolds in Complex Space and Their Mappings, Princeton University Press, Princeton Math. Ser. 47. Princeton, NJ, 1999.
34. M.S.Baouendi, X.Huang, L.P.Rothschild, Regularity of CR mappings between algebraic hyper surf aces, Invent.Math. 125 (1996), 13-36.
35. T. Bloom and I. Graham, On type conditions for generic real submanifolds of Cn, Invent. Math. 40 (1977), 217-243.
36. Burns D., Shnider S., Wells R.O., Deformation of strictly pseudo-convex domains, Invent. math., 1978, v.46, №3, P. 199-217.
37. Cartan E. Sur la geometrie pseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann.Math.Pura Appl., (4) 11 (1932), P.17-90 (Oeuvres II, 2,1231-1304).
38. Chern, S. S. and Moser, J. K. Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. vol. 133 №3-4 (1974), 219-271.
39. V. Ezov, G. Schmalz, Inftnitesimale Starrheit hermitescher Quadriken in allgemeiner Lage, Math. Nachr. 1999. V. 204. №1. P. 41-60.
40. V. Ezov, G. Schmalz, Automorphisms of nondegenerate CR-quadrics and Siegel domains. Explicit description, Preprint, Max-Plank-Institute fur Matematic, 1994
41. V. Ezov, G. Schmalz, Holomorphic automorphisms of quadrics, Math. Z. 1994. V. 216. №3. P. 453-470.
42. V. Ezov, G. Schmalz, Poincare automorphsms for nondegenerate CRquadrics, Math. Ann. 1994. V. 298. №1. P. 79-87.
43. V. Ezov, G. Schmalz, A matrix Poincare formula for holomorphic automorphsms of quadrics of higher codimension. Real; associative quadrics, J. Geom. Ann. 1997. V. 8. №1. P. 27-41.
44. Kohn J.J., Boundary behavior of д on weakly pseudoconvex manifolds of dimension two J.Diff.Geom.6 (1972), 553-542.
45. I. Naruki, Holomorphic extention problem for standard real submanifolds of second kind, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1970. V. 6. №. P. 113-187
46. I. Satake, Algebraic Structures of Symmetric Domains, Tokyo / Princeton: Ivanami Shoten / Princeton Univ. Press, 1980 (Kano Memorial Lectures. V. 4.)
47. A. Sukhov, Segre varieties and Lie symmetries, Publ. Inst. Rech. Math. Av., Lille. V. 50, 1999
48. A. Sukhov, On CR-mappings of real quadric manifolds, Michigan Math. J. 1999. V. 41. P. 143-150
49. N.Tanaka, On the pseudo-conformal geometry of hypersurfaces of the space of n complex variables. J. Math. Soc. Japan, 1962, V. 14, P. 397-429.
50. N.Tanaka, On differential systems, graded Lie algebras and pseudo-groups. J. Math. Kyoto Univ, 1970, V. 10, №1, P. 1-82.
51. Zaitsev, D., Germs of local automorphisms of real-analytic CR structures and analytic dependence on k-jets, Math. Res. Lett. 4 (1997), 1-20.
