Минимальные модели сулливана и гладкие дифференцированные формы многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

на правах рукописи МИЛЛИОНЩИКОВ Дмитрий Владимирович

УДК 515.14:515.164

МИНИМАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СУЛЛИВАНА И ГЛАДКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МНОГООБРАЗИЯ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - академик РАН С. П. Новиков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук В. М. Бухштабер

кандидат физико-математических наук, доцент Е. С. Голод

Ведущая организация - Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится 1994

года в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного Совета № Д.053.05.05 при Московском государственном университете по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан

1994 года.

Ученый секретарь Специализированного совета № Д.053.05.05, доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теш. Теория рационального гомотопического типа сформировалась в самостоятельную область алгебраической топологии благодаря основополагающим работам Сулливана и Квиллена [II, [ 2 ]. Теория Сулливана, которой посвящена настоящая работа, представляется более простой и геометрически наглядной. Как известно, этот подход заключается в сопоставлении симшшшальному комплексу ( многообразию Мп ) некоторой свободной дифференциальной алгебры над полек рациональных чисел, называемой минимальной моделью Сулливана , которая однозначно ( с точностью до изоморфизма ) определяет рациональный гоиотопичегашй 5ггп снмшшциалпьного комплекса ( многообразия ип). Мнпемзльнвя модель строится индуктивно по алгебре рациональных полиномиальных дифференциальных форм, форм, определенных на .каждом симплексе комплекса . (. триангуляция многообразия ) таким, образом, что коэффициенты являются рациональными полиномами координат, с соответствующими условиями иг "склейки" на пересечениях телексов. Алгебра когокологий таких форм взокор$на рациональным ютомологиям сшшпщиального комплекса ( многообразия ). Отметим, что с точки зрения классической алгебраической тополопш алгебра таких форм дает репение проблемы

[ I ] Sullivan D. Infinitesimal computations in topology // IHES. Putol. Hath. 1977, V.47,.P. 269-331. [ 2 ] Quillen. Rational HomQtopy Theory // Ann. or Hath.. 90 (1969), P- £05-295 . ' -

коммутативных рациональных цепей для симплициальных комплексов.

Предложенная Сулливаном конструкция сразу ке привлекла внимание многих, исследователей.. Активно . .изучались вопросы, связаннее как с внутренними проблемами этой теории так и с многочисленными приложениями : Делинь, Морган, Гриффите, Сулливан ( [ •3 ] ) доказали формальность кэлеровых многообразий: рациональный гомотопический тип этих многообразий полностью определяется кольцом их когомологий; Сулливан, Вигю-Пурье ([ 4 ]) вычислили минимальную модель пространства свободных петель одаосвязного топологического пространства х, что позволило км усилить теорему Громола-Майера о замкнутых геодезических ; Оказывается, что у многообразий ■ есть лишь "два типа роста размерностей рациональных гомотопических групп: полиномиальный и экспоненциальный ( рационально .эллиптические и рационально гиперболические многообразия ), в £53 используя это, Гроув и .Гальперин получили ряд результатов об инвариантных, относительно некоторой изекогрии, геодезических на римановом многообразии.

Многочисленные исследования, посвященные, если . так кошта сказать, собственным проблемам. теории Сулливана, ее связям с

[ 3 ] Гриффите Ф., Делинь П., Морган Дх., Сулливан Д. Вещественная гомотопическая теория кэлеровых многообразий // УШ. 1984. Т. 39, ВЫП. 5., С. 97-106.

[ 4 ] Sullivan D., Tigue-Poirrier M. The homology theory of closed, geodesic problem// Diri. Geon., 11 v.4 (1976), 633-644 . [ 5 J K.Grove,Halperin S., Contributions oi rational homotopy theory to global ргоЫепз in geometry, IHES. Publ. Math. 1982, V-56, P..379-385. •

подходом Квиллена, позволяют сегодня смотреть на разные эти подходы как на единую теорию рационального гомотопического типа. Остановимся на такой задаче аналитической теории, гомотопий,. как "проблема гомотопических периодов" : для односвязного многообразия ы с конечными числами Бетти задать конечный V р сдисок интегралов дифференциальных форм на и, задающих базис линейного пространства ( % ( м ) )*. Примером, послужившим для постановки такой задачи, является конечно ке форлум Уайтхеда для :швариавта Хопфа Л ? ) гладкого отображения (■ : й3 —> Бг:

1Лм)л", где

53

ш = 1 , <3^ = ? ( ш )

Решения этой проблемы могут быть предложены, кгк в рачнах-теории Сулливана, так и при помощи итерированных интегралов Чена. Формулы Сулливана, все ке , представляются более естественными обобщениями формулы Уайтхеда, праЕда в подынтегральных выражениях стоят не обычные гладкие форггы, а формы весьма специального вида' - рсщюналъные полшолиальнеэ форш. Такие формулы молено написать и при помощи гладких форм, по тогда придется , вообще говоря, отказаться от свойства целочисленности значений наших гомотопических интегралов.

С.П.Ноееков, заметив неэффективность конструкции в рациональном случае, предложи строить рациональную минимальную модель непосредственно по алгебре гладких форм многообразия, используя в качестве рациональней структура лпиь целочисленный Оазис циклов многообразия [ 6 ], [ 7 ]. Процесс ( * ) такого

построения неоднозначен и может встречать, вообще говоря , препятствия. Поэтому возникли ( с 6 ] ) такие естественные задачи, которые и составили.цель работы.

Цель работа состоит в исследовании процесса построения моделей рационального гомотопического типа . по алгебре гладких форм многообразия; в каком случае он не встречает препятствий; описать с точностью до деформации морфизмы вложений минимальных моделей в алгебру гладких форм; доказать рациональность значений гомотопических интегралов типа формулы Уайтхеда для инварианта Хонфа, вычисленных при помощи таких влокений.

Методы исследований. В диссертации использувтся метода гомотопической топологии, теории спектральных последовательностей и гомологической алгебры.

Научная новизна . Все основные результаты диссертации являются новыми, и опубликованы в работах автора. Работа носит теоретический характер и может найти применение в алгебраической топологии,' тэЬрии 'гладких многообразий и" некоторых' вопросах "геометрии в целом Основные результаты диссертации следующие : I. Доказано существование ( п + к )-ступенного влокенпя минимальной модели рационального гомотопического типа многообразия м". в алгебру вещественных гладких дифференциальных форм А*( # * к11 ) .

[ 6 ] Новиков С.П. Аналитическая теория гомотошй. Жесткость' гомотопических интегралов // ДАН СССР. 1985. Т. 283, я 5 С.1088-1091.

[ 7 ] Новиков С.П. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы // УМН. 1984. Т. 39, вып. 5. С. 97-106.

2. Алгебра л0 реализована как свободная подалгебра в Л*{ мп х кю ). Доказана рациональность гомотопических периодов

такой реализации. .

3. Построена спектральная последовательность для вычисления "пространства модулей"' классов гомотопин вложений минимальной модели вещественного гомотопического типа, в А'( а° * к" ).

■{. Для фзрмадьшх многообразий установлено взаимнооднозначное соответствие мохду классами гомотопен влокений и А,, в А* ( Мп х к® ), найдено достаточное условие продолжаемости эффэктинного процесса реализации ^ в алгебре А* ( Ип * кга )

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической топологии под руководством Ц.М.Постникова в Московском государственном университете, на конференции " Александровские чтения" ( г.Москва. 1990 г.), на международной конференции по топологии ( г.Москва, КОТ, 1990 г.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ I ], [ 2 ], приведенных в конце автореферата. Все работы Енполнены без соавторов.

Структура дзссертециз. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, а тагаке из списка цитированной литературы. Формулы, теоремы и прочее нумеруются в каждой главе отдельно, при ссылках на утверждения к формулы датах глав впереди добавляется соответствующий • номер главы. Общий объем диссертации 59 страниц. Библиография содержит 32 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуждается актуальность' темы работы, дается обзор результатов, связанных с данным исследованием и приведен обзор содержания диссертации.

Первая глава является вводной и содержит, все необходимые определения и понятия, использованные в данной работе. Глава состоит.из 3-х параграфов.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и- посвядена, можно так сказать, теореме существования: исследуется возможность построения рациональной модели Сулливана, используя алгебру гладких вещественных, форм многообразия , а также свойства гомотопических интегралов для такой реализации.

В § 2.1 изучается эффективный процесс построения ( * ) рациональной минимальной модели гладкого ' многообразия, предлокенный С.П.Новиковым [ 6 ]. Напомним, что для построения рацийнальной ысдоли: ' (Нп •). необходимо рассматривать некоторую гладкую триангуляцию Ип и определенную относительно нэе алгебру А*! мп, © ), элементы которой заданы неявно и выглядят крайне

СХл

слота по сравнению с Л* ( Мп ). В работе С.Я.Новикова [ 1 ] приведен эффективный процесс ( * ) построения ' мишс.-.альной модели рационального гомотопического типа ^(Н11) и морфкзма Ф© • " Л*( нп ). Строго говоря, до алгебре Л*{ кп )

строится некоторая, рациональная минимальная алгебра ( причем процесс { * ) ' может встречать препятствия ) и морфизм $ : ^ л*( мп ) такой, что интегралы форм из образа ф*нк(-*0) с нк( мп,к ) будут рациональными на решетке циклов нк( нп, 2 ),. V к , а также ф*Нк( ) ® к = Бк( Ып, к ) - образ ф*Нк( ) порождает все пространство НК( К12, к ) ^

- 6 -

Предположим, что процесс ( * ) не встретил препятствий, и мы построили некоторуи минимальную алгебру над о ( вместе с морфязмом- $ .), для которой, согласно конструкции . ( * ), л0 ® к = ^ ( здесь обозначает минимальную модель вещественного типа). Будет ли при этом существовать морфизм р: -» Л*рт( ып,® ), ¡шдуцирущий изоморфизм когомологий ? Т.е. бубеа ли рациональная алгебра ма ябдяяъся действительно ¿зжижльной ¿оделью ■рационального шипа по определению ( от морфазма р нам нукно лишь его существование ) ? Вопрос этот ванный*-- т.к. из ла ® к = л » к не следует, вообще говоря, изоморфизма ' Лзг' '"^«г рациональные модели. Таим образом, т пришга к такт задачам :

1. ¿'отел ли :ш построить процессол ( " ) алгебру -*0 ?

2. Ес/и ге удалось посяршяь, будеа. ли. она ¿шшхалъноИ лоделью рационального типа ?

Ззмечапце. В' работе расслстпривостся только односвязные многообразия и"алгебры'.

Рассмотрят Л"РЬ( и11, о ) + Л*„т( и", к) - естественное вложение рациональных форм в алгебру вещественных куссчкогладких форм Уитни и морфизм Л*рх(Ип,®), задащий минимальную

модель рационального гомотопического типа.

Теореца 2.1. Су^аг.вует деформация о (голопоття) лорфизла

р = х Р- -Лд + Л*Р11(иП' к) палия, мяо 1т ор с А*( ип ).

Замечание. Корфязм ор может быть получен при помощи '( * ), но явной процедуры для произвольного многообразия, вообще говоря, предъявить невозможно.

§ 2.3 ' посвящен, з общем-то, формальному вопросу о существовании влокония в алгебру Л*{ Мп х Ет ) . Морфизм ор

ез § 2.3 Судет лишь вложением для ® лг'с .ли - элементов

1 = 2. ®

степени выше п просто нет в алгебре Л* ( мп ). В [ 6 ] было предложено строить вложение всей модели в алгебру Л* ( к15 х к™ ). здесь стоит уточнить определения к рассмотреть : а) прямой спектр многообразий -

| х кк, ы11 х и11 ип х к1, к < 1, кд <г ш | ,

где Кп х —» кп к- к1, к < 1 - стандартное вложение :

в) индуцированный а) обратный спектр алгебр :

| Л*(МП х Кк}, (ф*: л*(Кп х в?1) — Л*(ЕП х Кк),~ к 2 1 | „

Определение 2.4. Алгеброй . Л'( б" * к® ) назовем предел обратного спектра алгебр в) :

Л*( мп х кш ) = йъ Л*.( ып х кк )

~Обозначим'через (ф*: Л* ( мп х к® )' _ л*('кп * к1") -стандартный предел проекций при к ->■ <*> .

Теорема 2.2. Сущствует влохекие ф : —> А*( Ип х ) лшижиькой лодели рационального голотопического типа, лногообразия мп в алгебру Л* ( К11 х к™ ) покое , что •

: -4А'(г*г ) будет влохекивл для ® л1.

1=2

Замечание. Тем самым, по определеншо, морфизм является ( и + к )-ащгшюаи влояениел минимальной лодели .ж^.

§ 2.4 посвящен проблеме гомотопических периодов. Построенные в § 2.3 морфизмы геометрической реализации позволяют написать формулы для гомотопических интегралов, доказана

Георела 2.3. Значения голатшческах интегралов для ларфизт реализации ф : ■ —» Л* < йп х к00 ) яЗляшся рациаиалъшли числам..

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются вопросы, связанные с описанием гомотопических классов вложений и л^ в алгебру Л*( мп х к" ). Известно, что

([ 3 ]) существует взаимнооднозначное соответствие между классами гомотопии [^д, , Л*(НП х к™)] и {л^, ] - множеством гомотопических классов автоморфизмов модели л^ , причем последнее имеет естественную структуру группы б.

Замечаняа. Мы рассматриваем только автоморфизмы ( вложения ) коголологически. нгподвихные на залшугтх образуящх : /й = й?, а = а + сй^ а ( если * а - замкнутая образующая ).

В § 3.1 рассматривается г-градуироваяная супералгебра дифференцирований шеимзльпо! алгебры :

со

Х>(л)=.я1Э {Л) ( ц <= 2 )

" • -от 4 ■

а ( л ) = ■{ дифференцирования т степени д : ъл-1 с л^*4 Суперкоммутатор вводится по формуле:

С . \ ] = - М)аЬт:г-т1, Л5а( А ), гг е Л>ъ( л )

Кроме этого, в л ) вводится структура дифференциальной градуированной алгебры - дифференциал 2 степени + 1 :

2 = [а, ] : ва( л. ) — ( л )

В а ( л ) рассмотрим убыватуа фидьтродда Р :

я ( л ) = ( л ) э (л ) э ...з Р1^ ( л ) => ...

Ч Ч А Р

гдз -л ) = | дифференцирования степени д, трив. на л(1> |

Утверждение. Фильтрация Р согласована с дифференциалом 2:

Замечание. Фильтрация Р, вообще говоря, естественным • образом не согласована с суперкоммутатором .

Перейдем к подкомплексу л>( л ) с д>( л ), £( л ) ),

л ) = л>ч( л ), ч * о, ®0( ж ) образовано дифференцированиями, которые отображают замкнутые образующие « а в точные элементы из л.

Фильтрация ? комплекса .»( л ) порождает фильтрацию подкомплекса я( л ) :

л ) = рР»( л ) г> л ),

§ 3.2 рассматривая взаимнооднозначное соответствие мекду классами гомотошш Л* (м^хк00)] и [л^, л^]получаем как

следствие из цепочки летм [ I ]:

Теореиу 3.1. Группа С классов голстопии адтожрфизлов ' лодели. преЗешЗи&х б виде : б = его £/5, гЭе 5 - алгебра Ли дифференцирований х степени о лодели л^-таких, что хй - йх, хх^ а = а Г если а - всшщрпая образующая ) для некоторого дифференцирования I степени -1, профаторизовоннш по идеалу Б дифференцирований вида т = + где ± -дифференцирование лодели ' лк степени -1.

Теореаа 3.2. Пусть лЕ - форлалъкая алгебра. Тогда существует взаижиоодпознояяое соответствие между клсюсаш. голсжлши вложений [лф,'л*(мп * к00; ] и , л*(мп х кш;].

В § 3.3 удается построить такую спектральную последовательность, которая "вычисляет" алгебру Q/B , вот ее и стоит принять-за "пространство .модулей ЬлохетлГ в алгебру

Л* ( кп х кж ). Оказывается, что найденное в [ 6 ] -предпространство "модулей" К соответствует первому члену 4 этой спектральной последовательности :

Теореуз 3.3. Фильтрация поОкохплекса з> ( л ), инауцировалная ' F, nopoxóasш спетралънуа последовательность;

/ ,EP.q ¿p.q . j¡p,q —► Ер+г>1 1

\ г ' г 'г ""г /

со следуюциш свойствами :

( а ) = ferdp-q / lKdp_:r,q+r^ ;

г+1 г г

( Ъ ) = % { Л ) в Л12р+Ч, р + q к о ;

( с ) Ep'q = ТС ( vH Е2р+Ч( Л ), ptq^O ,

= ( КегГр)* в 5Р( i ), Г5 - гомоморфизм Гуревича;

( d ) е^ присоединен к я* ( а>( -« )) оггмоатвльно

убыбосяцей фильтрации

FpН*( д( л ) ) = te £ н*( л )) — н*( л ))]

( s ) пусгг.ъ -«р - минимальная модель вещественного кила многообразия din un n < m , тогда = E , фильтрация

.F является конечной, н3^ £( jí )) = & e5,4 ( конечная сумма,

p+q=i n

шок ¡сак * O, .илаь при o ¿ 2p + q < n, p a 2 ). Алгебра

Q = H°( 2>1 Л )) = ® Ep,tJ как векторное поосшранство. . р+ч=о. n '

Следствие 3.1. Пусть к - форшлькое жогоойразие. Процесс ( у ) построения лодеш ла, задаваема! злелегтол а из

преЗаро-зпракстба людулей К = ®р = <?р ( КЕгГр)* ® нр(

встречает препятствие тогда и только тогда, когда а нельзя предсшавить в биде а - а' +'а", где а' лешя 6 прообразе

П ® Еегд?' ~р, а а ' - элелекп рациональной решети:

Г

®р ( КегГрГ ® Нр( > С фр ( КегГр)* ® Нр( ^ ),. Следствие 3.2. Пусть к - формальное шогоойразие. Процесс ( * ) построения ¿одели продолжается при лхЮол выборе а ( х а - кезалтутя образующая ) тогда и только тогда, когда 6р.-р ^ 0_ ( при. любол значении г, а р = 2,...,ги.

Припер I. Пусть ы - 4-х-мерное замкнутое компактное односвязное многообразие, тогда процесс ( * ) не встречает препятствий, существует единственный класс- гомотоши геометрической реализации в алгебре Л* ( м11 х кю ).

Автор выражает•благодарность своему научному руководителю . академику РАН С.П.Новикову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работа Выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований й 94-01-01444. .

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО Ш ДКССЕР1А1Ш [ I 3 [¿шшюшцшсов Д.В. Влокевия минимальной модели ¿.-гомотопического типа в алгебру гладких форм Л*( м ). // УМН. 1988. Т. 43, вып. 2. С. 147-148.

[ 2 ] Миллионщиков Д.В. Некоторые спектральные последовательности в-аналитической теории гомотопий. // Матем. заметка. 1990. Т. 47, $ 5. С.52-61.

Подписано к печати ¡4 ^ У 199 У г. Отпечатано на ротапринте в Формат бумаги 30x42/4 Производственном комбинате Объем -Л Jii.it. Литературного .фонда Зак. Тир. 100