Комбинаторная реализация циклов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515 16

Гайфуллин Александр Александрович

Комбинаторная реализация циклов

01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2008

003169913

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

Официальные оппоненты.

Ведущая организация

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Бухштабер Виктор Матвеевич доктор физико-математических наук, профессор Долбилин Николай Петрович доктор физико-математических наук, профессор Лексин Владимир Павлович Институт теоретической физики им Л Д Ландау РАН, Московская обл , г Черноголовка, РАН

Защита диссертации состоится 6 июня 2008 г в 16 ч 40 м на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 6 мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А О Иванов

Общая характеристика работы. Актуальность темы.

В конце 1940-х годов Н Стинрод поставил следующую проблему, известную как проблема о реализации циклов, существуют ли для данного класса (сингулярных) гомологий г б Нп(Х: Z) топологического пространства X замкнутое ориентированное многообразие Nn и непрерывное отображение / Nn —> X, такие что /*[./Vn] = Без ограничения общности можно считать, что X — компактный полиэдр Классическая теорема Р Тома1 утверждает, что для каждого натурального числа п существует такое натуральное число к = к{п), что для любого класса гомологий л € Нп(Х, Z), класс kz реализуем в виде образа ориентированного замкнутого гладкого многообразия В той же работе Р Том доказал, что все классы гомологий размерностей < 6 реализуемы и построил первый пример 7-мерного целочисленного класса гомологий, не реализуемого по Стинроду

Задача о реализации циклов тесно связана с задачей о дифференциалах в спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории 50* ( ) ориентированных бордизмов Член Е2 этой спектральной последовательности имеет вид E\t = HS(Xа член Е00 присоединен к градуированной группе SO*(X) ориентированных бордизмов пространства X Класс z 6 Hn(X,Z) = реализуем образом гладкого многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов Первым дифференциалом спектральной последовательности Атья-Хирцебруха, который может быть нетривиален, является дифференциал примером класса гомологий, не принадлежащего его ядру, является 7-мерный класс гомологий из примера Р Тома Используя отсутствие кручения в кольце унитарных кобордизмов, С П Новиков2 доказал, что если целочисленные гомологии пространства X не имеют кручения, то все дифференциалы спектральной последовательности Атья-Хирцебруха тривиальны и, следовательно, все классы гомологий пространства X реализуются по Стинроду В.М Бухштабер3 вычислил порядки дифференциалов в спектральной последовательности Атья-Хирцебруха В результате им были получены важные результаты о числах к(п)

Классический подход к проблеме Стинрода о реализации циклов, при

'Том Р Некоторые свойства «е целом» дифференцируемых многообразий, Расслоенные пространства М ИЛ, 1958, с 291-348

2Новиков С П , Гомотопические свойства юмплек<ов Тома, MaieM сб , т 57 (1')62), №4, с 407-442

'Бухштабер В М , Модули дифференциалов спектральной последователъсти Атья-Хирцебруха I, II, Матеы сб , т 78 (1969), №2, с 307-320, т 83 (1970), Ml, с 61-76

помощи которого были получены указанные выше результаты, заключается в ее сведении к гомотопической задаче при помощи теоремы трансверсальности Тома и последующего исследования этой гомотопической задачи методами алгебраической топологии В диссертации предлагается новый, комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на изучении локальной комбинаторной структуры цикла, представляющего заданный класс гомологий Некоторые идеи этого подхода восходят к работе Д Сулливана4, в которой был предложен подход к проблеме Стинрода, основанный на разрешении особенностей псевдомногообразий

Представляет интерес задача о реализации классов гомологий образами фундаментальных классов специальных многообразий, имеющих обозримое топологическое строение Классическим примером является задача о реализации классов гомологий образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича Отметим, что при такой постановке аналог теоремы Р Тома очевидно не верен существуют целочисленные классы гомологий, для которых никакой кратный им класс гомологий не лежит в образе гомоморфизма Гуревича Мы исследуем задачу о нахождении набора Мп гладких n-мерных многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью всех целочисленных n-мерных классов гомологий любого пространства X

В центре нашего исследования оказалось многообразие Мп изоспек-тральных вещественных симметрических трехдиагональных (n+1) х (п+1) матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трехдиагональных матриц с фиксированным простым спектром Ai > Аг > > A„+i (Матрица А = (а,3) называется трехдшгоналъной, если аг] = 0 при ]г — > 1) В диссертации доказывается, что в качестве класса Мп можно взять набор конечнолистных накрытий над многообразием Мп Многообразие Мп возникает в теории интегрируемых систем при изучении цепочки Тоды (см , например, работу Дж Мозера5) Топологические свойства многообразия Мп были первоначально изучены К Томеи6 Им было построено клеточное разбиение многообразия Мп и, опираясь на результаты М Дэвиса7, доказана его асферичность Напомним, что пространство X

4Sullivan D, Smgulanties т ¡paces, Proc of Liverpool Singularices Symposram II, Lecture notes ш Mathematics, v 209 (1971), p 196-206

5Moser J , Finitely many mass pomts on the hne mder the mfluence of an exponenhal potential — an integrable system, Lecture Notes m Physics, v 38 (1975), Sprmger-Verlag, p 467-497

ETomei С , The topology of the isospectral mantfold of tndiagonal matrices, Duke Math J , v 51 (1984), №4, p 981-990

7Davis M W, Groups generated by reflectwns and asphencal manifolds not covered by Euchdean space, Ann Math (2), v 117 (1983), №2, p 293-324

называется асферичным, если оно имеет гомотопический тип К(тг, 1), то есть если X линейно связно и 7Г,(Х) = 0 при г > 1 Мноюобразие Мп является важным представителем интересного класса гладких многообразий с действием группы ZJ, называемых малыми накрытиями, индуцированными из линейной модели, над простыми многогранниками Этот класс многообразий был введен и исследован М Дэвисом и Т Янушкевичем8

Проблема Н Стинрода о реализации циклов непрерывными образами многообразий тесно связана с проблемой о реализации циклов в замкнутом гладком многообразии Qm ориентированными подмногообразиями Эта проблема имеет два случая стабильный (при п < Щ) и нестабильный (при п > у) В нестабильном случае вопрос о том, какими именно подмногообразиями может быть реализован заданный класс гомологий многообразия, исследовался в малых размерностях (двумерные классы гомологий в трехмерных и четырехмерных многообразиях) Эта проблема известна как проблема о вычислении минимального рода гладко вложенной поверхности, реализующей двумерный класс гомологий Важные результаты по этой задаче были получены В А Рохлиным9 Классическим результатом также является знаменитая гипотеза Р Тома, доказанная П Кронхаймером и Т Мровкой10, утверждающая, что число является наименьшим

родом гладко вложенной поверхности, представляющей класс гомологий ки, где и — стандартная образующая группы Я2(СР2,2) Наши результаты относятся к стабильному случаю Если п < Щ то любой класс гомологий г £ Hn(Qm,Z), реализуемый по Стинроду, может быть реализован замкнутым ориентированным подмногообразием

Еще одной задачей, решаемой в настоящей диссертации, является задача о канонической (п + 1)-значной динамике Т на множестве п-мерных симплексов n-мерного симшшциально клеточного псевдомногообразия К В 1971 году в работе В М Бухштабера и С П Новикова11 возникла конструкция в теории характеристических классов векторных расслоений, в которой произведением двух элементов некоторого множества являлся набор (с кратностями) из m элементов того же множества Эта конструкция привела к понятию m-значной группы Теория m-значных групп развива-

8Davis М W , Januszkiewicz Т , Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math J , v 62 (1991), №2, p 417-451

9Рохлин В A , Двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий, Фушсц анал и прил, т 5 (1971), №1, с 48-60

10Kronheimer Р, Mrowka Т , The genus of embedded surfaces m the projective plane, Math Res Lett, v 1 (1994), №6, p 797-808

пБухштабер В M , Новиков С П , Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем сб , т 84 (1971), М, с 81-118

лась в работах В М Бухштабера12 и В М Бухштабера и Е Г Риса13'1415 Обзор основных направлений развития теории m-значных групп, а также обзор литературы можно найти в работе В М Бухштабера16 Теория многозначных групп нашла важные приложения в теории m-значных динамических систем с дискретным временем или, короче, m-значных динамик (В М Вухштабер, А П Веселов17), и в примыкающей к ней теории действий m-значных групп на графах (П В. Ягодовский18,19'20) В работе16 была введена каноническая (п + 1)-значная динамика Т на множестве максимальных (по включению) симплексов любого n-мерного симплициального псевдомногообразия, сопоставляющая каждому симплексу набор симплексов, имеющих с ним общую гипергрань В диссертации исследуется вопрос об интегрируемости динамики Т и кратных ей многозначных динамик при помощи многозначных групп

Цель работы.

Целью настоящей работы является развитие комбинаторного подхода к проблеме Стинрода о реализации циклов, получение явной конструкции, которая по сингулярному циклу, представляющему целочисленный класс гомологий, строит многообразие, реализующее с некоторой кратностью этот класс гомологий, доказательство того, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий может быть с некоторой кратностью реализован образом конечнолистного накрытия над многообразием изоспектральных симметрических трехдиагональных вещественных (п + 1) х (n + 1) матриц, доказательство интегрируемости (п + 1)'-значной динамики, кратной ка-

12Вухштабер В М , Фщкц-ионалънш уравпения, ассоциированные с теоремами слом еная для оллип-тических функций, и двузначные алгебраические группы, Успехи математических наук, т 45 (1990), №3, с 185-186

13Бухштабер В М , Рис Е Г, Многозначные группы и п-алгебры Хопфа, Успехи математических наук, т 51 (1996), №4, с 149-150

14Buchstaber VM, Reos EG MuUwalaed дтирн, then nprrwntatioiiH and Hopf algebras, Transformation Groups, v 2 (1997) №4, p 325-349

15Buchstaber V M , Rees E G , Multivalued groups, n-Hopf algebras and n-nng komomorphisms In book Lie Groups and Lie Algebras Netherlands, Kluwcr Aradeimc Publishers, 1998, p 85-107

16Buchstaber V M , The n-valued groups theory and applications, Moscow Math J , v 6 (2006), №1, p 57-84

17Buchstaber V M , Veselov A P, Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups, Int Math Res Not, v 8 (1996), p 381-400

18Ягодовский П В, Представления многозначных групп на графах, Успехи магемагических наук, т 57 (2002), №1, с 181-182

19Ягодовский П В , Бикосетные группы и симметрические графы, Записки науч сем ПОМИ, т 292 (2002), с 161-174

20Ягодовский П В, о-Расширения дискретных многозначных групп, Записки науч сем ПОМИ, т 325 (2005), с 225-242

ионической (п + 1)-зиачной динамике на множестве максимальных симплексов п-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты

1 Получена явная комбинаторная конструкция, которая по каждому целочисленному сингулярному циклу £ топологического пространства X строит ориентированное гладкое замкнутое многообразие Ып и отображение / . Ып —> X, реализующее с некоторой кратностью класс гомологий цикла то есть такое, что /*[ЯП] = для некоторого ненулевого целого числа д Таким образом, получено комбинаторное доказательство теоремы Р Тома о том, что каждый целочисленный класс гомологий с некоторой кратностью реализуется непрерывным образом ориентированного гладкого многообразия

2 Доказано, что каждый п-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом конечнолистного накрытия над многообразием изоспектральных симметрических трехдиагональ-ных вещественных (п + 1) х (п + 1) матриц В частности, каждый целочисленный класс гомологий любого линейно связного топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом ориентированного гладкого асферичного многообразия

3 Дана явная конструкция однопорожденной бикосетной (п+1) '-значной группы, интегрирующей (п + 1)'-значную динамику п'Г, кратную канонической (п + 1)-значной динамике Т на множестве п-мерных симплексов п-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия

Основные методы исследования.

В работе используются методы комбинаторной геометрии, алгебраической топологии, теории графов и теории действий групп на многообразиях

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебраической топологии, топологии

многообразий, теории гомологий Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и научных конференциях

1 Семинар «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством академика РАН С. П Новикова и чл -корр РАН В М Бухш-табера, Механико-математический факультет МГУ им. М В Ломоносова,

2 Семинар «Алгебраическая топология и ее приложения» им. М.М.Постникова под руководством чл -корр РАН В М Бухштабера, профессоров, д ф -м н А В Чернавского, И А. Дынникова и доцентов, к ф.-м н Л А Алания, Т Е Панова, механико-математический факультет МГУ им М В Ломоносова,

3 Семинар «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» под руководством д ф -м н СМ Натанзона, к ф -м н О В Шварцмана и д ф -м н О К Шейнмана, Независимый Московский Университет

4 Международная конференция «International Conference on Топе Topology», г Осака, Япония, 29 мая - 3 июня 2006 года

5 Научная конференция «Ломоносовские чтения», г Москва, 16 апреля -25 апреля 2008 года

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3]

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения и четырех глав Библиография включает 44 наименования

Краткое содержание работы.

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы и формулируются основные результаты

Содержание главы 1.

Эта глава посвящена изложению конструкции Пеццана-Ферри построения n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия по однородному графу степени п + 1 и ее обобщению на случай псевдомногообразий, склеенных из произвольных простых многогранников Первая часть главы носит вводный характер В ней содержатся необходимые нам в дальнейшем определения, в частности, определения комплексов, псевдомногообразий и комбинаторных многообразий, склеенных из простых многогранников

Вторая часть главы посвящена изложению следующей конструкции Пусть Рп есть n-мерный простой выпуклый многогранник с т гипергранями, .F — множество его гиперграней Однороднъш графом степени т называется граф, все вершины которого имеют степень m Мы считаем, что граф может содержать кратные ребра, но не содержит петель Раскраска ребер графа называется правильной, если никакие два ребра, имеющие общую вершину не окрашены в один цвет Пусть Г — однородный граф степени т на множестве вершин V с ребрами, раскрашенными правильным образом в цвета из множества Т Для каждой гиперграни F 6 Т обозначим через ФF инволюцию без неподвижных точек на множестве V, сопоставляющую каждой вершине вершину, соединенную с ней ребром цвета F Положим

Mn{Pn,r) = (VxPn)/~.

где отношение эквивалентности ~ порождено отождествлениями (v,x) = (Ф^(и),а;), если х £ F Тогда М"(Р", Г)—псевдомногообразие, склеенное из простых многогранников В случае, когда Рп — симплекс, описанная конструкция принадлежит М Пеццана21 и М. Ферри22 Имеет место следующее предложение, которое будет необходимо нам в дальнейшем.

Предложение 1. Предположим, что

1 инволюции Ф^ и Фр2 коммутируют для любых двух гиперграней Fi и многогранника Рп с непустым пересечением,

21Pezzana М , Diaqrammi di Heegaard е tnangolaxtow tonfratfa, Boil Un Mat ítal, Ser 4,v 12 (1975), Suppl al №3, p 98-105

22Fern M , Una rappresentazione delle n-vanetá topologiche tnangolabili mediante grafi (n + 1 )-colorati Boll Un Mat Ital Ser 5, v 13-B (1976), №1, p 250-260

2 отображение Ф^ о Фр2 о о Фрк не имеет неподвижных точек для любых попарно различных ¿иперграней Fi, F2, с непустым пе-

ресечением

Тогда линк каждой вершины псевдомногообразия Мп(Рп, Г) изоморфен границе n-мерного октаэдра В частности, псевдомногообразие Мп(Рп, Г) является кусочно линейным многообразием

Содержание главы 2.

Эта глава посвящена накрытиям над многообразием Мп изоспектральных симметрических трехдиагональных вещественных (п + 1) х (тг + 1) матриц Матрица А — (а,}) называется трехдиагональной, если а13 = 0 при \г — з\ > 1 Фиксируем простой спектр Av > А2 > > An+i и рассмотрим множество всех симметрических трехдиагональных вещественных {п + 1) х (п + 1) матриц с данным спектром Это множество есть ориентируемое замкнутое гладкое тг-мерное многообразие Мп, с точностью до диффеоморфизма не зависящее от выбранного спектра

В первых двух разделах главы 2 содержатся необходимые сведения о группах Кокстера и их пермутаэдрах Традиционно пермутаэдром называется пермутаздр группы перестановок, то есть группы Кокстера типа Ап Пермутаэдр П" есть выпуклая оболочка (п + 1)' точек, полученных всевозможными перестановками координат точки (1,2, ,n + 1) Обозначим через S множество непустых собственных подмножеств множества {1.2,. ,п + 1} Гиперграни пермутаэдра Пп находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами ш 6 S Гипергрань, соответствующую подмножеству w, мы обозначаем через Гиперграни FWl и FW2 пересекаются тогда и только тогда, когда одно из множеств cjj и содержится во втором

К Томеи6 построил клеточное разбиение многообразия Мп, гг-мерными клетками которого являются 2п пермутаэдров П" Это разбиение является специальным случаем конструкции малых накрытий, индуцированных из линейной модели, принадлежащей М Дэвису и Т Янушкевичу8 Для пермутаэдра эта конструкция имеет вид

М" = (Z5 х IF)/

где отношение эквивалентности ~ порождено отождествлениями (д, х) = (г|ы|<7, х), если х е Fu Здесь Ъч — циклическая группа порядка 2 и Г\,Г2, , гп — образующие группы ZJ Мы используем для груп-

пы Z2 мультипликативную форму записи и отождествляем ее с множеством {—1,1} Используя описанное выше клеточное разбнрние, К Томеи доказал асферичность многообразия Мп

Рассмотрим псевдомногообразие МП(ПП, Г), где Г —однородный граф степени 2п+1 — 2 с правильной раскраской ребер в 2п+1 — 2 цвета, соответствующих гиперграням пермутаэдра П" Инволюцию V V мы будем обозначать просто через Фы Следующее предложение является основным результатом главы 2 Оно дает полную характеризацию графов Г, таких что МП(П", Г) — накрытие над многообразием Мп

Предложение 2. Псевдомногообразие Мп(Рп,Г) является накрытием над многообразием Мп тогда и только тогда, когда инволюции Фш, задающие граф Г, удовлетворяют следующим свойствам

1 инволюции Фа,1 и ФШ2 коммутируют, если ш\ С и>2,

2 имеется отображение р . V —> Щ, такое что р (Ф„Дг>)) = г\ш\р(у) для всех V 6 V и всех и £ Я

В частности, при выполнении этих условий псевдомногообразие М"(Рп, Г) имеет естественную структуру гладкого многообразия Любое накрытие над многообразием Мп эквивалентно накрытию вида Мп(Рп, Г) —> Мп

Содержание главы 3.

Эта глава посвящена явному построению многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный п-мерный целочисленный класс гомологии Полученное многообразие будет иметь вид М"(П",Г) для некоторого графа Г, удовлетворяющего условиям 1 и 2 из предложения 2 Поэтому оно будет накрытием над многообразием Мп и, в частности будет несвязным объединением асферичных многообразий Таким образом, мы получаем следующие теоремы

Теорема 3. Для любого класса гомологий 2 е Нп(Х,Х) любого топологического пространства X существуют конечнолистное накрытие Мп над многообразием Мп и непрерывное отображение / • Мп —> X, такие что /,[М"] = дг для некоторого ненулевого целого числа д

Теорема 4. Пусть X ~ линейно связное пространство Для любого класса гомологий г 6 Нп(Х, Z) существуют ориентированное асферичное гладкое многообразие Мп и непрерывное отображение / Мп —» X, такие что /*[МП] = дг для некоторого ненулевого целого числа д

Каждый целочисленный класс гомологий может быть представлен образом ориентированного симплициальнох о нсевдомногообразия Таким образом, задача о реализации произвольного класса гомологий сводится к задаче о реализации фундаментального класса произвольного ориентированного симплициального псевдомногообразия Zn При этом, перейдя к барицентрическому подразделению, можно считать, что вершины псевдомногообразия Zn раскрашены в цвета 1,2, , п + 1 правильным образом, то есть так, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашены в различные цвета Обозначим через ц(а) множество цветов вершин симплекса er Для n-мерного симплекса а обозначим через Ьш(а) барицентр грани т С а, такой что /х(т) = и Обозначим через U множество п-мерных симплексов комплекса Zn Из наличия правильной раскраски вершин следует, что множество U может быть разбито на две части U+ U U-, так что симплексы, имеющие общую гипергрань, лежат в разных частях Для любого w € S обозначим через Ты множество инволюций Л • U —> U, таких что Л(U±) = U^ и /л (сг П Л(сг)) э ш для любого симплекса а е U Множества Vu непусты Определим гомоморфизм г) • Z" —» Z2 на образующих по формуле r](rt) = —1 Определим множество V и инволюции Фш V —> V по формулам

V= W+ jj-^l) j ukxDV ?7_1(-1) С CA x JJ V1 x ZI

\ 7 €S J у 7 es J 7 eS

Ф„ (<r,(A7)7€5,^) = (Х)^.7!^) .

где Л7 = о Д7 о Ль,, если j С ш, и Л7 = Л^, если 7 </£ ш Пусть Г — однородный граф степени 2n+1 - 2 на множестве вершин У, задаваемый инволюциями Фш Тогда Мп = Мп(Рп, Г) — искомое многообразие

Пусть К — триангуляция многообразия Мп, являющаяся барицентрическим подразделением построенного разбиения на пермутадцры Определим отображение / Мп —» Zn на вершинах триангуляции К по формуле

(П")]) = ЬЫ1(а), . £ Шк £ [п+ 1],

где Ьиъ Wl(nn) —центр симметрии грани Fm П FW2 П П FUk пермута-эдра Пп, и продолжим / по линейности на каждый симплекс триангуляции К Отображение / корректно определено и /»[Mn] = q[Zn], где

? = 2n"1ILe5l^l

Содержание главы 4.

В этой главе изучается вопрос об интегрировании канонических многозначных динамик на множествах максимальных симплексов симплициаль-но клеточных псевдомногообразий при помощи многозначных групп

Для произвольного множества X через (Х)т мы обозначим его т-ую симметрическую степень Говорят, что на множестве X задана структура т-значной группы, если заданы т-значная операция умножения

ц ХхХ-*{Х)т, ф,у)=^х*у.

единица е Е. X и операция взятия обратного элемента ту X —► X, удовлетворяющие естественным обобщениям аксиом группы Для любых группы С и ее конечной подгруппы Я из т элементов на множестве двойных смежных классов Н\С/Н существует структура бикосетной т-значной группы с умножением {НН\Н) * (Я/12 Я) = \Hh\hh2H, Н е Я]

Действием т-значной группы X на множестве V называется отображение X у.У (V)т, (х, у) >-> х V, такое что для любых хь Х2 е X, V е V наборы (11*12) ^ и XI (х2 у) из т2 элементов совпадают и е-ь = [и, , и]

Отображение Т V —> (V)т называется т-значной динамикой на множестве V Для каждого натурального числа к динамика Т задает естественным образом кратную ей кт-значную динамику на том же множестве V Говорят, что т-значная динамика Т интегрируема при помощи однопорожденной т-значной группы X с образующей а, если существует действие группы X на множестве V, такое что Т(у) = а V для любого V е V

Для каждого п-мерного симшгациально клеточного псевдомногообразия К определена каноническая (п + 1)-значная динамика Т на множестве V ею п-мерных симплексов, которая каждому симплексу т сопоставляет набор всех п-мерных симплексов, не совпадающих с г и имеющих с т общую (п — 1)-мерную грань Симплекс, имеющий с г несколько общих (п — Замерных граней, входит в набор Т(т) с соответствующей кратностью Обозначим через К' барицентрическое подразделение комплекса К и через V' множество п-мерных симплексов комплекса К'

Теорема 5. Для любого симплициалъно клеточного псевдомногообразия К динамика п^Т интегрируема при помощи некоторой однопорожденной бикосетной (п + 1У-значной группы X — Я\С?/Я При этом в качестве группы С может быть выбрана некоторая подгруппа группы перестановок Еу множества V', а подгруппа Я изоморфна группе £п+1

Многозначная группа X строится следующим образом Рассмотрим однородный граф Г' степени п + 1 с ребрами, раскрашенными правильным образом вп+1 цвет, соответствующий симплициально клеточному псевдомногообразию К' в смысле конструкции Пеццана-Ферри Граф Г' задается инволюциями Ф{ V'—► V, г = 1,2, ,п + 1 Пусть С? С Еу'— подгруппа, порожденная инволюциями Ф'^ Ф^, , Ф'п+1, и Я С б — подгруппа, порожденная инволюциями Ф^, Ф2, .., Ф^ Тогда Я = Еп+! и X = Н\С/Н — искомая однопорожденная (п+1)'-значная группа с образующей НФп+\Н Действие группы С на множестве V индуцирует каноническое действие (п + 1)'-значной группы X на множестве V = V'/Н, интегрирующее динамику п'Т

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановки задач и постоянное внимание Автор благодарен профессорам, д ф -м н И А Дынникову, С М Натанзону, А Б Сосинскому и доцентам, к ф -м н Л А Алания, Т Е Панову, А В Пенскому, О В Шварцману за полезные обсуждения Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического МГУ за поддержку и внимание

Список публикаций по теме диссертации.

[1] Бухштабер В М , Гайфуллин А А , Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий, Успехи математических наук, т 61 (2006), №3, с 171-172

[2] Гайфуллин А А , Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т 62 (2007), №6, с 167-168

[3] Гайфуллин А А, Реализация циклов асферичными многообразиями, Успехи математических наук, т 63 (2008), №3, с 173-174

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (СО экз Заказ № /¡5

Введение

1 Построение псевдомногообразий по графам

1.1 Клеточные комплексы, склееные из многогранников.

1.2 Псевдомногообразия и комбинаторные многообразия

1.3 Построение симплициально клеточных псевдомногообразий по графам.

1.4 Построение по графам псевдомногообразий, склеенных из простых многогранников

2 Многообразие изоспектральных симметрических трёхдиа-гональных матриц и его накрытия

2.1 Необходимые сведения о группах Кокстера.

2.2 Пермутаэдры.

2.3 Малые накрытия.

2.4 Сглаживание многообразия Мп(Рп).

2.5 Малые накрытия над пермутаэдрами и многообразие изоспектральных трёхдиагональных матриц.

2.6 Накрытия над многообразиями Мп(Рп).

3 Реализация циклов асферичными многообразиями

3.1 Проблема реализации циклов.

3.2 Необходимые условия достаточности набора многообразий

3.3 Реализация циклов образами псевдомногообразий.

3.4 Построение многообразия Мп.

3.5 Отображение пермутаэдра на симплекс.

3.6 Построение отображения / : Мп —» Zn.

3.7 Реализация кубического цикла.

4 Многозначные динамики на псевдомногообразиях

4.1 m-значные группы и т-значные динамики.

4.2 Каноническая динамика на множестве максимальных симплексов псевдомногообразия

4.3 Интегрирование канонических динамик на множествах вершин однородных графов.

О теме диссертации

В конце 1940-х годов Н. Стинрод (см. [33]) поставил следующую проблему, известную как проблема о реализации циклов: существуют ли для данного класса (сингулярных) гомологий z Е Нп(Х]Ъ) замкнутое ориентированное многообразие Nn и непрерывное отображение / : Nn —> X, такие что MNn] — z? Здесь X — произвольное топологическое пространство. Однако без ограничения общности можно считать, что X — компактный полиэдр. Классическим результатом является следующая теорема Р. Тома.

Теорема (Р. Том [19]). Для каждого натурального числа п существует такое натуральное число к — к(п), что для любого n-мерного целочисленного класса гомологий z £ Нп{Х\ Z), класс kz реализуем в виде образа ориентированного замкнутого гладкого многообразия.

В той же работе Р. Том доказал, что все классы гомологий размерностей ^ 6 реализуемы и построил первый пример 7-мерного целочисленного класса гомологий, не реализуемого по Стинроду. Таким классом является класс гомологий z Е Н-[{К{Ъ3,2);Z), такой что {St%St\L, pz(z)) ф 0, где рз — операция приведения по модулю 3 и ь G H2(K(Z 3, 2); Z3)—канонический класс. Такой класс z существует, так как pStfStli Ф 0, где р : #7(A'(Z3, 2); Z3) HS(K(Z3,2); Z3) - гомоморфизм Бокштейна.

Задача о реализации циклов тесно связана с задачей о дифференциалах в гомологической спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории S0*(-) ориентированных бордизмов. Член Е2 этой спектральной последовательности имеет вид Egt = Hs(X]Qf°), а член Е°° присоединён к градуированной группе SO*(X) ориентированных бордизмов пространства X. Класс z £ Нп(Х\Ъ) = Е%0 реализуем образом гладкого многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов. Аналогично, класс z может быть реализован образом стабильно комплексного многообразия тогда, и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории £/*(•) унитарных бордизмов. Согласно классической теореме Милнора-Новикова [39], [15], кольцо комплексных кобордизмов не имеет кручения. Опираясь на этот факт, С. П. Новиков [15] заметил, что, если целочисленные гомологии пространства X не имеют кручения, то все дифференциалы спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории £/*(•) тривиальны и, следовательно, все классы гомологий пространства X реализуются по Стиироду.

Каждый компактный полиэдр X можно вложить в ориентированное замкнутое гладкое многообразие, так чтобы вложение индуцировало изоморфизмы гомотопических групп и групп гомологий вплоть до любой наперёд заданной размерности. Таким образом, задачу о реализации циклов достаточно исследовать в случае, когда X = Qm — ориентированное замкнутое гладкое многообразие. В этом случае двойственность Пуанкаре устанавливает изоморфизм между гомологической и когомологической спектральными последовательностями Атья-Хирцебруха для теорий ориентированных бордизмов и ориентированных кобордизмов соответственно. Первым нетривиальным дифференциалом в гомологической спектральной последовательности Атья-Хирцебруха является дифференциал о : Hn{Qm; = ffn(Qm; Z) -> Hn^(Qm- Z) = Hn^(Qm

Двойственный ему дифференциал в когомологической спектральной последовательности имеет вид

Дифференциалы 0 тривиальны при п ^ 6. Дифференциал может быть нетривиален: примером класса гомологий, не принадлежащего его ядру, является класс z из примера Р. Тома.

Порядки дифференциалов в спектральной последовательности Атья-Хирцебруха были вычислены В. М. Бухштабером [2]. В результате им были получены важные результаты о числах к(п).

Классический подход к проблеме Стинрода о реализации циклов, при помощи которого были получены все указанные выше результаты, заключается в её сведении к гомотопической задаче при помощи теоремы трансверсальности Тома и последующего исследования этой гомотопической задачи методами алгебраической топологии. В настоящей работе мы предлагаем новый, комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на изучении локальной комбинаторной структуры цикла, представляющего заданный класс гомологий. sti

Qm; Z3) Д Н m-n+5(Qm-Z).

Хорошо известно, что всякий целочисленный класс сингулярных гомо-логий может быть реализован непрерывным образом ориентированного симплициального псевдомногообразия. Поэтому задача о реализации по Стинроду произвольных целочисленных классов гомологий сводится к задаче о реализации фундаментальных классов ориентированных симпли-циальных псевдомногообразий. Для каждого ориентированного симплициального псевдомногообразия Zn мы даём явную комбинаторную конструкцию гладкого многообразия Nn и отображения / : Nn —» Zn, таких что /*[iVn] = q\Zn] для некоторого ненулевого целого числа q.

Некоторые идеи нашего подхода восходят к работе Д. Сулливана [42], в которой был предложен подход к проблеме Стинрода, основанный на разрешении особенностей псевдомногообразий. Пусть Zn — псевдомногообразие, ЕС Zn — подмножество, такое что Zn \ Е — гладкое ориентированное многообразие. Разрешение особенностей псевдомногообразия Zn в смысле Д. Сулливана — это отображение / : Nn —> Zn, где iV" —гладкое ориентированное многообразие, такое что ограничение является диффеоморфизмом. Первым примером псевдомногообразия, не допускающего разрешения особенностей, является 7-мерный цикл, представляющий построенный Р. Томом [19] 7-мерный целочисленный класс гомологий, не реализуемый по Стинроду. В работе [42] Д. Сулливан построил серию геометрических препятствий к существованию разрешения особенностей псевдомногообразия. Эти препятствия дают геометрическую интерпретацию дифференциалов в спектральной последовательности Атья-Хирцебруха. Отметим, что исследование задачи о разрешение особенностей Д. Сулливан проводил с помощью теории кобордизмов, то есть по сути всё равно с помощью сведения к гомотопической задаче и исследования её методами алгебраической топологии. Наш подход заключается в том, чтобы построить отображение / : Nn —> Zn исходя из локальной комбинаторной структуры псевдомногообразия Zn. При этом нам на самом деле не нужно стремиться к тому, чтобы отображение / было разрешением особенностей в смысле Д. Сулливана, а достаточно лишь выполнения гомологического условия f*[Nn] = q[Zn] для некоторого ненулевого целого числа q.

Представляет интерес задача о реализации классов гомологии образами фундаментальных классов специальных многообразий, имеющих сравнительно простое топологическое строение. Классическим примером является задача о реализации классов гомологий образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича. Отметим, что при такой постановке аналог теоремы Р. Тома очевидно не верен: существуют целочисленные классы гомологий, для которых никакой кратный им класс гомологий не лежит в образе гомоморфизма Гуревича. В настоящей работе мы решаем задачу о нахождении набора Л4п гладких п-мерных многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью всех целочисленных n-мерных классов гомологий любого пространства X.

В центре нашей конструкции находится многообразие Мп изоспек-тральных вещественных симметрических трёхдиагональных (тИ-1) х (гг+1) матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром Ai > А2 > . > An+i. (Матрица А = (а^) называется трёхдиагоналъной, если ац = 0 при i — j\ > 1.) Многообразие Mn возникает в теории интегрируемых систем при изучении цепочки Тоды (см. [40], [13]). Топологические свойства многообразия Мп были первоначально изучены К. Томеи [43]. Им было построено клеточное разбиение многообразия Мп и, опираясь на результаты М. Дэвиса [30], доказана его асферичность. Напомним, что пространство X называется асферичным, если оно имеет тип К(тг, 1), то есть если X линейно связно и 7Ti(X) — 0 при i > 1. К.Томеи также доказал, что класс диффеоморфизма многообразия Мп не зависит от чисел Ai, Л2,., An+i.

В настоящей работе мы доказываем, что в качестве набора Мп многообразий, достаточных для реализации всех n-мерных классов гомологий, можно взять набор всевозможных конечнолистных накрытий над многообразием Мп. Для любого класса гомологий z € Нп{Х\Ж) мы строим явно накрытие Мп над многообразием Мп и непрерывное отображение / : Мп —» X, такие что f±[Mn} = qz для некоторого ненулевого целого числа q. Если пространство X линейно связно, полученное многообразие Мп связно. Многообразие Мп асферично. Значит, все его связные накрытия также асферичны. Таким образом, мы получаем, что любой целочисленный класс гомологий любого линейно связного топологического пространства X может быть реализован образом ориентированного гладкого асферичного многообразия.

Проблема Н. Стинрода о реализации циклов непрерывными образами многообразий тесно связана с проблемой о реализации циклов в замкнутом гладком многообразии Qm ориентированными подмногообразиями (см. [19]). Эта проблема имеет два случая: стабильный (при п < у) и нестабильный (при n ^ тг). В нестабильном случае вопрос о том, какими именно подмногообразиями может быть реализован заданный класс гомологий многообразия, исследовался в малых размерностях (двумерные классы гомологий в трёхмерных и четырёхмерных многообразиях). Эта проблема известна как проблема о вычислении минимального рода гладко вложенной поверхности, реализующей двумерный класс гомологий. Важные результаты по этой задаче были получены В.А.Рохлиным [16]. Классическим результатом также является знаменитая гипотеза Р. Тома, доказанная П. Кронхаймером и Т. Мровкой [38], утверждающая, что число является наименьшим родом гладко вложенной поверхности, представляющей класс гомологий ки, где и — стандартная образующая группы #2(CP2;Z).

Наши результаты относятся к стабильному случаю. Если п < у, то любой класс гомологий z £ Hn(Qm; Z), реализуемый но Стинроду, может быть реализован замкнутым ориентированным подмногообразием. Таким образом, из упомянутых выше результатов следует, что при п < у любой класс гомологий z £ Hn(Qm; Z) с некоторой кратностью может быть реализован асферичным гладким подмногообразием, диффеоморфным ко-нечнолистному накрытию над многообразием Мп.

Многообразие Мп изоспектральных симметрических трёхдиагональ-иых матриц является важным представителем интересного класса гладких многообразий с действием группы Z??, называемых малыми накрытиями над многогранниками, индуцированными из линейной модели. Этот класс многообразий был введён и исследован М. Дэвисом и Т. Янушкевичем в работе [32]. Ранее важные примеры малых накрытий были исследованы в работах [43], [36], [31]. Использование этих результатов играет большую роль в наших конструкциях.

Важным инструментом, систематически использующимся в настоящей работе, является конструкция, которая сопоставляет n-мерное симплици-альное псевдомногообразие каждому однородному графу с вершинами степени п+1 и рёбрами раскрашенными правильным образом в п+1 цвет. Эта конструкция принадлежит М. Пеццана [41] в размерности 3 и М. Ферри [34] в произвольной размерности (см. также [35]). Эта конструкция даёт удобный язык для кодирования псевдомногообразий на языке графов. Практически все конструкции настоящей работы описаны на этом языке. Мы даём необходимые нам обобщения конструкции Пеццана-Ферри на случай псевдомногообразий, склеенных из произвольных простых многогранников.

Ещё одной задачей, исследуемой в настоящей диссертации, является задача об изучении канонической (п + 1)-значной динамики Т на множестве n-мерных симплексов n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия К.

В 1971 году в работе В. М. Бухштабера и С. П. Новикова [6] возникла конструкция в теории характеристических классов векторных расслоений, в которой произведением двух элементов некоторого множества являлся набор (с кратностями) из m элементов того же множества. Эта конструкция привела к понятию m-значной группы. Изначально казалось, что условие ассоциативности для m-значных групп является очень сильным и запас примеров m-значных групп невелик. Однако позже было найдено большое количество примеров различной природы. Теория m-значных групп развивалась в работах В. М. Бухштабера [4] и В. М. Бухштабера и у

Е. Г. Риса [8], [27], [28]. Обзор основных направлений развития теории т-значных групп, а также обзор литературы можно найти в работе [26].

С момента возникновения теории многозначных групп одними из основных её приложений являются её приложения в теории m-значных динамических систем с дискретным временем или, короче, m-значных динамик [29], и в примыкающей к ней теории действий m-значных групп на графах [23], [24], [25]. Важным примером многозначной динамики является введённая В. М. Бухштабером [26] каноническая (п + 1)-динамика Т на множестве максимальных (по включению) симплексов n-мерного симпли-циально клеточного псевдомногообразия, сопоставляющая каждому симплексу набор симплексов, имеющих с ним общую гипергрань. (Симпли-циально клеточным комплексом называется комплекс, склеенный из симплексов вдоль изоморфизмов их граней так, что разрешается склеивать два симплекса по нескольким общим граням, но запрещается приклеивать одну грань симплекса к другой грани того же симплекса; точное определение см. в разделе 1.1.) Класс канонических динамик на множествах максимальных симплексов симплициально клеточных псевдомногообразий достаточно широк. В частности, каждая m-значная динамика, задаваемая однородным графом степени т, может быть реализована в таком виде.

Хорошо известно, что каждая обратимая однозначная динамика задаётся действием бесконечной циклической группы Z. При этом обратимая динамика на конечном множестве всегда задаётся действием некоторой конечной циклической группы Zj. Естественный вопрос, поставленный В. М. Бухштабером в работе [26], заключается в том, может ли т-значная динамика быть проинтегрирована при помощи некоторой однопорождённой m-значной группы. Аналогично, естественно выяснить, может ли m-значная динамика на конечном множестве быть проинтегрирована при помощи конечной однопорождённой m-значной группы. Мы исследуем эти вопросы для канонических динамик на множествах максимальных симплексов симплициально клеточных псевдомногообразий. Наш подход основан на применении к рассматриваемой задаче хорошо разработанных методов изучения комбинаторики симплициальных комплексов. Основным инструментом является конструкция Пеццана-Ферри, применённая к барицентрическому подразделению исходного псевдомногообразия.

Опираясь на методы, разработанные при исследовании интегрируемости канонических многозначных динамик на множествах максимальных симплексов псевдомногообразий, П. В. Ягодовским и автором [12] был доказан следующий достаточный признак интегрируемости m-значной динамики: всякая m-значная динамика Т интегрируема при помощи некоторой однопорождённой m-значной группы, если число прообразов (с учётом кратностей) каждой точки при этой динамике равно т. При этом интегрирующая группа конечна, если множество, на котором задана динамика, конечно. Этот результат не вошёл в настоящую диссертацию.

Краткий перечень результатов

Основными результатами настоящей работы являются следующие.

1. Даётся новый подход к проблеме реализации циклов, основанный на изучении локальной комбинаторной структуры симплициального псевдомногообразия, реализующего цикл. Получена явная конструкция, которая по каждому целочисленному сингулярному циклу £ топологического пространства X строит ориентированное гладкое замкнутое многообразие Nn и отображение / : Nn X, реализующее с некоторой кратностью класс гомологий цикла то есть такое, что f*[Nn] = для некоторого ненулевого целого числа q. Таким образом, получено комбинаторное доказательство теоремы Р. Тома о том, что каждый целочисленный класс гомологий с некоторой кратностью реализуется непрерывным образом ориентированного гладкого многообразия, не использующее теорем трансверсальности и аппарата алгебраической топологии.

2. Доказано, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом конечнолистного накрытия над многообразием изоспектральных симметрических трёхдиагональ-ных вещественных (n + 1) х (n + 1) матриц. В частности, доказано, что каждый целочисленный класс гомологий любого линейно связного топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован непрерывным образом ориентированного гладкого асферичного многообразия. Доказано, что каждый n-мерный целочисленный класс гомологий связного замкнутого гладкого многообразия Qm, такого что т > 2п, может быть реализован асферичным гладким подмногообразием, диффеоморфным конечнолистному накрытию над многообразием изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) х (n + 1) матриц.

3. Изучена каноническая [п 4- 1)-значная динамика Т на множестве n-мерных симплексов n-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия. Дана явная конструкция однопорождённой бикосетной (п + 1)!-значной группы, интегрирующей (п + 1)!-значную динамику п\Т, кратную динамике Т. Для каждого неотрицательного целого числа п построена универсальная однопорождёниая бикосетная (n + 1)!-значная группа Xn+i, такая что каноническая (п + 1)-значная динамика на множестве максимальных симплексов любого п-мерного симплициально клеточного псевдомногообразия может быть проинтегрирована с кратностью п! при помощи (п + 1)!-значной группы Хп+1.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5], [10], [11]. Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, а главы — на разделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах раздела, а рисунки и уравнения — в пределах главы.

В конце введения мы приводим соглашения, которые используются в работе и список наиболее часто встречающихся обозначений.

1. Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, главы 4-6. М.: Мир, 1972.

2. Бухштабер В.М., Модули дифференциалов спектральной последова-тельсти Атья-Хирцебруха I, II, Матем. сб., т. 78 (1969), №2, с. 307320; т. 83 (1970), №1, с. 61-76.

3. Бухштабер В. М., Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп, Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Соврем, пробл. мат., т. 10 (1978), с. 5-178.

4. Бухштабер В. М., Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, Успехи математических наук, т. 45 (1990), №3, с. 185-186.

5. Бухштабер В. М., Гайфуллин А. А., Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий, Успехи математических наук, т. 61 (2006), №, с. 171-172.

6. Бухштабер В.М., Новиков С. П., Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб., т. 84 (1971), №1, с. 81-118.

7. Бухштабер В. М., Панов Т.Е., Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

8. Бухштабер В. М., Рис Е. Г., Многозначные группы и п-алгебры Хопфа, Успехи математических наук, т. 51 (1996), №4, с. 149-150.

9. Винберг Э.Б., Дискретные линейные группы, порождённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем., т. 35 (1971), №5, с. 1072-1112.

10. Гайфуллин А. А., Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №6, с. 167-168.

11. Гайфуллин А. А., Реализация циклов асферичными многообразиями, Успехи математических наук, т. 63 (2008), №3, с. \5J-\5%.

12. Гайфуллин А. А., Ягодовский П. В., Об интегрируемости т-значных динамик при помощи однопорождённых т-значных групп, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №1, с. 201-202.

13. Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский J1. П., под ред. Новикова С. П., Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

14. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология. M.-JL: ГОНТИ, 1938; Ижевск: НИЦ РХД, 2001.

15. Новиков С. П., Гомотопические свойства комплексов Тома, Матем. сб., т. 57 (1962), №4, с. 407-442.

16. Рохлин В. А., Двумерные подмногообразия четырёхмерных многообразий,, Функц. анал. и прил., т. 5 (1971), №1, с. 48-60.

17. Рохлин В. А., Фукс Д. В., Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.: Наука, 1977.

18. Рурк К., Сандерсон В., Введение в кусочно линейную топологию. М.: Мир, 1974.

19. Том Р., Некоторые свойства «в целом» дифференцируемых многообразий, Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 291-348.

20. Хилтон П.Дж., Уайли С., Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. М.: Мир, 1966.

21. Ягодовский П. В., Деформация многозначных групп, Успехи математических наук, т. 52 (1997), №3, с. 179-180.

22. Ягодовский П. В., Линейная деформация дискретных групп и конструкции многозначных групп, Известия РАН, сер. матем., т. 64 (2000), №5, с. 197-224.

23. Ягодовский П. В., Представления многозначных групп на графах, Успехи математических наук, т. 57 (2002), №1, с. 181-182.

24. Ягодовский П. В., Бикосетные группы и симметрические графы, Записки науч. сем. ПОМИ, т. 292 (2002), с. 161-174.

25. Ягодовский П. В., а-Расширения дискретных многозначных групп, Записки науч. сем. ПОМИ, т. 325 (2005), с. 225-242.

26. Buchstaber V. M., The n-valued groups: theory and applications, Moscow Math. J., v. 6 (2006), №1, p. 57-84.

27. Buchstaber V. M., Rees E.G., Multivalued groups, their representations and Hopf algebras, Transformation Groups, v. 2 (1997), №4, p. 325-349.

28. Buchstaber V. M., Rees E. G., Multivalued groups, n-Hopf algebras and Tiring homomorphisms. In book: Lie Groups and Lie Algebras. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1998, p. 85-107.

29. Buchstaber V. M., Veselov A. P., Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups, Int. Math. Res. Not., v. 8 (1996), p. 381-400.

30. Davis M. W., Groups generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space, Ann. Math. (2), v. 117 (1983), №2, p. 293-324.

31. Davis M. W. Some aspherical manifolds, Duke Math. J., v. 55 (1987), №1, p. 105-139.

32. Davis M.W., Januszkiewicz Т., Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., v. 62 (1991), №2, p. 417-451.

33. Eilenberg S., Problems in topology, Ann. Math. (2), v. 50 (1949), p. 246260.

34. Ferri M., Una rappresentazione delle n-varieta topologiche triangolabili mediante grafi (n + 1 )-colorati Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 5, v. 13-B (1976), m, p. 250-260.

35. Ferri M., Gagliardi С., Grasselli L., A graph-theoretical representation of PL-manifolds — A survey on crystallizations, Aequationes Math., v. 31 (1986), №2-3, p. 121-141.

36. Fried D., The cohomology of an isospectral flow, Proc. Amer. Math. Soc., v. 98 (1986), p. 363-368.

37. Goresky M., MacPherson R., Intersection homology theory, Topology, v. 19 (1980), №2, p. 135-162.

38. Kronheimer P., Mrowka Т., The genus of embedded surfaces in the projective plane, Math. Res. Lett., v. 1 (1994), №6, p. 797-808.

39. Milnor J., On the cobordism ring and a complex analogue. I, Amer. Math. J., v. 82 (1960), №3, p. 505-521.

40. Moser J., Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential — an integrable system, Lecture Notes in Physics, v. 38 (1975), Springer-Verlag, p. 467-497.

41. Pezzana M., Diagrammi di Heegaard e triangolazione contratta, Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 4., v. 12 (1975), Suppl. al №3, p. 98-105.

42. Sullivan D., Singularities in spaces, Proc. of Liverpool Singularities Symposium II, Lecture notes in Mathematics, v. 209 (1971), p. 196-206.

43. Tomei C., The topology of the isospectral manifold of tridiagonal matrices, Duke Math. J., v. 51 (1984), №4, p. 981-996.

44. Ziegler G. M., Lectures on polytopes, Graduate Texts in Math., v. 152, Springer-Verlag, 1995.