Проблема комбинаторного вычисления рациональных классов Понтрягина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

10-7 767

ий институт им. В. А. Стеклова

Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 515.16

Гайфуллин Александр Александрович

Проблема комбинаторного вычисления рациональных классов

Понтрягина

Специальность: 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических паук, профессор Виктор Матвеевич Бухштабер.

Официальные оппоненты:

члеп-корреспондент РАН, доктор физико-математических паук,

профессор Сергей Владимирович Матвеев;

доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Миронович Натанзон;

доктор физико-математических паук,

профессор Аскольд Георгиевич Хованский.

Ведущая организация:

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.

Защита диссертации состоится 23 декабря 2010 г. в 14» па заседании диссертационного совета Д 002.022.03 при Учреждении Российской академии наук Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП, ул. Губкина, дом 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.03 при МИ РАН им. В. А. Стеклова доктор физико-математических наук,

Н. П. Долбилин

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА _2010

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Теория характеристических классов первоначально возникла из задачи об особенностях векторных полей на гладких многообразиях. Задача об изучении особенностей векторного ноля на многообразии восходит к работам Пуанкаре по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Первым замечательным результатом теории характеристических классов стала теорема X. Хопфа1, который показал, что классический инвариант многообразий — эйлерова характеристика — выражается как сумма индексов особых точек касательного векторного поля с изолированными особыми точками. Е. Штифель2 изучил циклы особенностей наборов из к касательных векторных полей V\, . . . ,Vk общего положения; под циклом особенностей он понимал подмножество, на котором векторные поля i>i,. .., Vk линейно зависимы. Такие циклы особенностей являются циклами с коэффициентами в Z2. В дальнейшем их изучение было продолжено X. Уитпи3,4; в настоящее время они носят название классов Штифсля -Унтiш. Наконец, в 1940х годах Л. С. Понтрягин5'6,7 поставил и полностью решил гораздо более общую задачу о циклах особенностей наборов векторных полей v\,..., г>ь рассмотрев циклы особенностей, определяемые несколькими условиями вида rank(i>i,..., vij) ^ inj. Наряду с циклами Е. Штифеля, Л. С. Поптрягип получил таким образом новые, целочисленные характеристические циклы; двойственные целочисленные классы когомологий называются в настоящее время классами Поитрягииа.

Другой, дифференциально геометрический, подход к определению характеристических классов многообразий также принадлежит Л. С. Понтря-гину8'9: оп показал, что определённые свёртки степеней тензора кривизны Римаиа римаиова многообразия являются замкнутыми дифференциальны-

'НорГ H., Über die algebraische Anzahl von Fixpunkten, Math. Zoitschr., v. 29 (1929), p. 494-524.

-Stiefel E., Richlungsfelder und Fernpai-allelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Comment. Math. Helv., v. 8 (1936), p. 305-353.

■'Whitney H., On the Theory of Sphere Bundles, Proc. Nat. Acad. Sei. USA, v. 26 (1940), №2, p. 148-153.

4Whitney H., Lectures in Topology, University of Michigan Press, Ann Arbor, Midi., 1941, p. 101-141.

5Понтрягин Л. С., Характеристические циклы многообразий, ДАН СССР, т. 35, №2 (1942), с. 35-39.

"Понтрягин Л. С., Характеристические циклы дифференцируемых многообразий, Матем. сб., т. 21(63), №2 (1947), с. 233-284.

7Понтрягии Л. е., Векторные поля па многообразиях, Матем. сб., т. 24(66), №2 (1949), с. 129-162.

"Понтрягин Л. С., Некоторые топологические инварианты римановых многообразий, ДАН СССР, т. 43, №3 (1944), с. 95-98.

9Понтрягин Л. С., Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых многообразий, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 13 (1949), №2, с. 125-162.

ми формами, классы которых в группах когомологий де Рама не зависят от выбора римановой структуры. В отличие от первого подхода, такой дифференциально геометрический подход даёт только вещественные классы Понтрягииа, лежащие в группах Н4г(М; К). В действительности, эти классы являются рациональными, то есть лежат в образах естественных гомоморфизмов Я4'(М; (ф) —» Н4г(М; К); тем не менее, они несут гораздо меньше информации, чем целочисленные классы Понтрягина р{ Е Н4г(М\Х), определяемые через особенности векторных полей.

Важнейшим шагом в развитии теории характеристических классов стало открытие В. А. Рохлиным10 связи между числом Понтрягина и сигнатурой ориентированного замкнутого гладкого 4-мсрного многообразия:

Обобщением этой формулы для многообразий размерности 4к является знаменитая формула Хирцебруха11

Здесь Lk Є Q[pi,p2, • • • ,Рк] — однородные полиномы степеней 4к (где degp, = 4г) такие, что

где (Ti есть г-ый элементарный симметрический полипом от переменных^.

Опираясь на формулу Хирцебруха, В. А. Рохлин и А. С. Шварц12 и, независимо, Р. Том13 доказали в конце 1950х годов, что рациональные классы Понтрягина инвариантны относительно кусочно линейных гомеоморфизмов и определены для всех кусочно линейных многообразий. Намного более сильным результатом является знаменитая теорема С. П. Новикова14 о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина. С другой стороны, Дж. Мил пор и М. Кервер построили пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются комбинаторными инвариантами.

10Рохлим В. А., Внутренние гомологии, ДАН СССР, т. 89 (1953), №5, с. 789-792.

"Хирцебрух Ф., Топологические методы а алгебраической геометрии, М.: Мир, 1973.

,2Рохлин D. А., Шварц А. С., О комбинаторной инвариантности классов Понтрягина, ДАН СССР, т. 114 (1957), №3, с. 490-493.

l3Thom R., Leв classea chamctéristiques de Pontrjagin Jes variétés triangulées, Symposium Internacional de Topología Algebraica. México: La Universidad Nacional Autunoma de México y la Unesco, 1958, p. 54-07.

"Новикои С. П., О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы), Из». АН СССР, сер. матем., т. 30 (1966), №1, с. 71-96.

sign(M4) = ^(pi(M4),[M4]).

sign(М4*) = (Ljt{pi(M4fc),p2(M4k),... ,pk(M4k)), [M4fc]).

(1)

Подход Рохлина-Шварца-Тома к определению рациональных классов Понтрягина кусочно линейных многообразий является весьма неявным. В рамках этого подхода вначале определяются классы /¿(М), в случае гладких многообразий совпадающие с полиномами Хирцебруха Lk от рациональных классов Поптрягипа, а потом, используя то, что коэффициент при pk в полиноме Lk ненулевой, по ним восстанавливаются классырк(М). При этом класс 1к(М) характеризуется (при dim M > 8к + 1) тем свойством, что его значения па фундаментальных классах всех 4/с-мерных подмногообразий N С M с тривиальными нормальными расслоениями, равны сигнатурам этих подмногообразий. Поэтому для того, чтобы вычислить класс /¿(M), необходимо реализовать элементы некоторого базиса группы Hik(M\Q) подмногообразиями с тривиальными нормальными расслоениями. Существование таких подмногообразий следует из теоремы Р. Тома15, однако эта теорема не даёт явной комбинаторной конструкции таких подм ногообраз и й.

Таким образом, возникает задача о прямом комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина. Отметим, что для классов Штифеля-Уитни аналогичная задача имеет очень простой ответ: в 1940 году X. Уитни3 доказал гипотезу Е. Штифеля2, утверждающую, что для любого m-мерного комбинаторного многообразия К сумма по модулю 2 всех (т — п)-мерных симплексов первого барицентрического подразделения К' триангуляции К является циклом, представляющим класс гомоло-гий, двойственный по Пуанкаре классу Штифоля Уитпи wn(K).

Впервые задача о прямом комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина возникла в работах А. М. Габриэлова, И. М. Гельфанда и М. В. Лосика16,17. Подход, развитый в этих работах и последующих работах Р. МакФерсона18, А. М. Габриэлова19 и И. М. Гельфанда и Р. МакФср-сона20, но сути представляет из себя попытку сымитировать для триангулированных многообразий один из первоначальных подходов J1. С. Понт-

15Том Р., Некоторые свойства *в целом» дифференцируемых мна/ооб;ниин. Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 291-348.

1вГабриэлов А. М., Гельфанд И. M■. Лосик М. В., Комбинаторное вычисление характеристических классов, Функц. анализ и прил., т. 9 (1975), №2, с. 12-28, №3, с. 5-2G.

|7Габриэлоп A.M., Гольфа! |д И.М., Лосик М.В. Локальная кимбипаторнил формула для первого класса Понтрягина, Функц. анализ к прил., т. 10 (1976), №1, с. 14-17.

18MacPherson R., The combinatorial formula of Gabrielov, Gelfand and Losik for the first Pontrjagin class, Séminaire Bourbaki No. 497, Lecture Notes in Math., v. 677, Heidelburg: Springer, 1977.

19Габриэлов A.M., Комбинаторные формулы для классов Понтрягина и GL-инвариантные цепи, Функц. анализ н прил., т. 12 (1978), №2, с. 1 7.

s0Gelfand I. M., MacPherson R. D., A combinatorial formula for the Pontrjagin classes, Bull. Amer. Math. Soc., v. 26 (1992), №2, p. 304-309.

рягина к построению классов Понтрягина гладких многообразий. Главным недостатком такого подхода является неполный отказ от использования гладкой структуры на многообразии. В действительности, исходным объектом в формуле Габриэлова-Гельфанда-Лосика является не просто комбинаторное многообразие К, а комбинаторное многообразие К с заданным сглаживанием. Основным средством, при помощи которого производится перевод информации о сглаживании на комбинаторный язык, являются так называемые пространства конфигураций. Пространством конфигураций Et (п — 1)-мерной комбинаторной сферы L называется пространство всех линейных на симплексах вложений cone(L) «—у R", профакторизован-ное по естественному действию группы GL(n, R). Сглаживание комбинаторного многообразия К сопоставляет каждой точке каждого симплексам триангуляции К точку пространства конфигураций Енпки линка симплекса а. Таким образом, сглаживание комбинаторного многообразия задаёт набор согласованных отображений \а\ —» Ецпкст, пронумерованных симплексами сг триангуляции К. Именно комбинаторное многообразие с таким набором отображений выступает в качестве исходных комбинаторных данных для формулы Габриэлова-Гельфанда-Лосика.

При помощи специальных процедур усреднения по различным выборам локальных сглаживаний A.M. Габриэлов, И.М. Гельфанд и М.В. Лосик17 всё-таки сумели получить формулу для первого рационального класса Понтрягина, зависящую только от комбинаторного строения триангуляции. Однако, во-первых, эта формула очень сложна, так как требует усреднения по различным точкам в пространствах Ej, для трёхмерных комбинаторных сфер L, а во-вторых, полученные формулы применимы только для тех триаигуляций К, для которых все пространства конфигураций линков симплексов непусты, то есть для так называемых брауэровских триангуляции. Для многообразий размерности больше 3 это условие является весьма ограничительным, то есть класс брауэровских триангуляций является довольно узким подклассом н классе всех комбинаторных многообразий.

Трудности в обобщении формулы Габриэлова-Гельфанда-Лосика для старших классов Понтрягина связаны как раз с использованием пространств конфигураций. Дело в том, что строение пространств Е^, довольно хорошо изучено при dim L < 2: известно, что Е^ стягиваемо, если dimL = 1, линейно связно и односвязно, если dimL = 2,--но при dimL ^ 3 о строении пространств Еl практически ничего не известно. И. М. Гельфанд и Р. МакФерсоп20 вместо пространств конфигураций использовали более комбинаторные объекты - так называемые ориентиро-

ванные матроиды. Это позволило им получить формулы для всех рациональных классов Понтрягина, однако в качестве исходных данных этих формул по-прежнему выступают триангулированные многообразия с заданным сглаживанием, а не просто комбинаторные многообразия. Таким образом, ни одна из формул, полученных в перечисленных выше работах, не позволяет вычислять рациональные классы Понтрягина произвольного комбинаторного многообразия без каких бы то ни было дополнительных структур.

Другой, аналитический, подход к комбинаторному вычислению классов Понтрягина триангулированных многообразий, предложенный Дж. Нигером21, основан на конструкции 77-инварианта (4к — 1)-мерного риманова многообразия, принадлежащей М. Атья, В. Патоди и И. Зингеру22. Дж. Нигер наделяет триангулированное многообразие локально плоской метрикой, ограничение которой на каждый симплекс совпадает со стандартной евклидовой метрикой на правильном симплексе с ребром 1, и рассматривает операторы Лапласа в пространствах L2 -интегрируемых дифференциальных форм на линках симплексов триангуляции. Явные формулы для L-полиномов Хирцебруха от вещественных классов Понтрягина многообразия пишутся в терминах спектров этих операторов Лапласа. Формулы Нигера применимы для любого комбинаторного многообразия; циклы, получаемые при помощи этих формул, зависят только от комбинаторного строения триангуляции. Тем не менее эти формулы стоит рассматривать скорее как важные тождества, связывающие объекты, имеющие топологическую и аналитическую природу, чем как формулы для комбинаторного вычисления классов Понтрягина, ввиду того, что для спектров операторов Лапласа также нет явного выражения в комбинаторных терминах. Отметим также, что неизвестно, являются ли коэффициенты циклов, получаемых при помощи формул Нигера, рациональными. Еще один подход к задаче комбинаторного вычисления классов Понтрягина, развивающий идеи М. Громова, предложил А. С. Мищенко23: он построил локальную комбинаторную формулу Хирцебруха, что позволило ему дать локальное определение рациональных классов Понтрягина кусочно линейного многообразия. К сожалению, получить на этом пути явную формулу, вычисляющую ха-

2,Cheeger J., Spectral geometry oj singular Riemannian spaces, J. Differential Geoin., v. 18 (1983), №4, p. 575-657.

22Atiyah M.F., Patodi V. K., Singer I. M., Spectml asymmetry and riemannian geometry, Bull. London Math. Soc., v. 5 (1973), №2, p. 223 234.

2яМищснко A.C., Локальная комбинаторная формула Хирцебруха, Труды МИАН, т. 244 (1999), с. 249-263.

рактеристический цикл по триангуляции многообразия, пока не удалось.

В диссертации последовательно развивается теория универсальных локальных формул для полиномов от рациональных классов Понтрягима, то есть формул вида

где через {L) обозначен класс изоморфизма ориентированной комбинаторной сферы L и / — функция на множестве классов изоморфизма ориентированных (4/с — 1)-мерпых комбинаторных сфер, меняющая знак при обращении ориентации комбинаторной сферы. Универсальность формулы (2) заключается в том, что функция / не зависит от комбинаторного многообразия К и цепь Д{К) является искомым циклом для любого комбинаторного многообразия К. Изначально мотивацией для такого подхода послужили следующие три результата.

1. Локальная формула Габриэлова-Гельфанда-Лосика17 для первого класса Понтрягина: в частном случае брауэровских триангуляции, удовлетворяющих некоторому специальному условию, она даёт цикл коразмерности 4, в котором коэффициент при каждом симплексе зависит только от класса изоморфизма его липка.

2. Аналитические формулы Нигера21 для L-полиномов Хирцебруха от вещественных классов Понтрягина имеют вид (2).

3. Результат Н. Левитта и К. Рурка24: для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует функция, сопоставляющая каждому ориентированному комбинаторному многообразию К сим-плициальный цикл, в котором коэффициент при каждом симплексе полностью определяется комбинаторным строением звезды этого симплекса. Отметим, что эта теорема является только теоремой существования, не дающей никакой явной формулы.

Другой классической задачей, рассматриваемой в диссертации, является проблема реализации циклов, поставленная Н. Стипродом в конце 1940-х годов: существуют ли для данного класса гомологий z S Нп(Х\ Z) топологического пространства^ замкнутое ориентированное многообразие Nn и непрерывное отображение / : Nn —> X, такие что = 2? Классиче-

ским является следующий результат Р. Тома15: для каждого натурального числа п существует такое натуральное число к = к(п), что для любого

21 Levitt. N., Rourke С., The existence of combinatorial formulae for characteristic classes, Тгапя. Amcr.

Math. Soc., v. 239 (1978), p. 391-397.

(2)

n-мерного целочисленного класса гомюлогийг S Нп(Х\Ъ), класс кг реализуем в виде образа ориентированного замкнутого гладкого многообразия, кроме того Р. Том доказал, что все классы гомологий размерностей ^ 6 реализуемы и построил первый пример 7-мерного целочисленного класса гомологий, не реализуемого по Стинроду. Согласно классической теореме Милнора-Новикова, кольцо комплексных кобордизмов не имеет кручения. Опираясь на этот факт, С. П. Новиков20 доказал, что, если целочисленные гомологии пространства X не имеют кручения, все классы гомологий пространства X реализуются по Стинроду. Задача о реализации циклов тесно связана с задачей о дифференциалах спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории SO»(-) ориентированных бордизмов. Член Е2 этой спектральной последовательности имеет вид = HS(X;Q¡°), а член Е°° присоединён к градуированной группе SO,(X) ориентированных бордизмов пространства X. Класс г £ Нп(Х\ 2) = Е2 0 реализуем образом гладкого многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов. Порядки дифференциалов спектральной последовательности Атья-Хирцебруха были вычислены В. М. Бухштабером26. В результате им были получены лучшие из известных к настоящему времени оценки чисел к,(п).

Классический подход к проблеме Стинрода о реализации циклов, при помощи которого были получены указанные выше результаты, заключается в её сведении к гомотопической задаче при помощи теоремы трансверсальности Тома и последующего исследования этой гомотопической задачи методами алгебраической топологии. В диссертации мы предлагаем новый, комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на явном комбинаторном построении многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный класс гомологий. Некоторые идеи нашего подхода восходят к работе Д. Сулливана27, в которой был предложен подход к проблеме Стинрода, основанный на разрешении особенностей псевдомногообразий.

Отметим, что С. Буонкристиано и Д. Хэкон28, развивая идеи Сулливана, получили для теоремы Тома о том, что всякий класс гомологий с коэффициентами в 2,2 может быть реализован образом гладкого многообразия, геометрическое доказательство, не использующее результатов алгебраической

2БНовиков С. П., Гомотопические свойства комплексов Тома, Матем. сб., т 57 (1962), №4, с. 407-442.

2вБухштабер В. М., Модули дифференциалов спектральной последователъсти Ашъя-Хирцебруха I, II, Матсм. сб., т. 78 (1969), №2, с. 307-320; т. 83 (1970), №1, с. 61-76.

"Sullivan D., Singularities in spaces, Proc. of Liverpool Singularities Symposium II, Lecture notes in Mathematics, v. 209 (1971), p. 196-206.

2eBuoncristiano S., Hacon D., An elementary geometric proof of two theorems of Thom, Topology, v. 20, p. 97-99.

топологии; тем не менее, их доказательство использует гладкую теорему трансверсальности и не даёт явной комбинаторной конструкции реализующего многообразия.

Представляет интерес задача о реализации классов гомологий образами специальных многообразий, имеющих сравнительно простое топологическое строение. Классическим примером является задача о реализации классов гомологий образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича. Отметим, что при такой постановке аналог теоремы Тома очевидно пе верен: существуют целочисленные классы гомологий, для которых никакой кратный им класс гомологий не лежит в образе гомоморфизма Гуревича. В настоящей работе мы решаем задачу о нахождении набора Мп гладких n-мерных многообразий, достаточного для реализации с некоторыми кратпостями всех целочисленных n-мерных классов гомологий всех пространств X. Эта задача тесно связана с отношением доминирования ориентированных замкнутых многообразий. Пусть Л/ и N — ориентированные замкнутые многообразия одной размерности. Говорят, что многообразие М доминирует многообразие N и пишут М ^ N, если существует отображением —> N ненулевой степени; говорят, что многообразием виртуально доминирует многообразие N, если некоторое конечнолистнос накрытие над М доминирует N. Частичное упорядочение доминирования па множестве гомотопических классов ориентированных многообразий восходит к работам Дж. Милнора и У. Тёрстопа29 и М. Громова30. Очевидно, что гомотопический класс n-мерной, сферы является наименьшим элементом в множестве гомотопических классов n-мерпых ориентированных многообразий относительно рассматриваемого частичного упорядочения. С другой стороны, из того, что М ^ N следует, что числа Бетти многообразия М не меньше соответствующих чисел Бетти многообразия N и группа ж\(М) отображается на подгруппу конечного индекса в (N), т.е. многообразие М устроено «не проще», чем многообразие N. Отсюда следует, что в множестве гомотопических классов п-мерпых ориентированных многообразий не может быть наибольшего элемента. В 1989 году Дж. Карлсон и Д. Толедо31 поставили задачу о нахождении максимального класса многообразий относительно отношения доминирования, то есть такого класса n-мерных ориентированных многообразий, что любое ?г-мерное ориентиро-

"Milnor J.W., Thurston W. P., Characteristic numbers of 3-manifolds, Enseign. Math., v. 23 (1977), p. 249-254.

30Gromov M., Volume and bounded cohomology, Publ. Math. I.H.E.S., v. 50 (1982), p. 5-99.

31 Carlson J. A., Toledo D., Harmonic mapping of Kahler manifolds to locally symmetric spaces, Publ. Math. I.H.E.S., v. 69 (1989), p. 173-201.

ванное многообразие доминируется каким-нибудь многообразием из рассматриваемого класса. Естественно, хочется найти по возможности более узкий такой класс. В силу теоремы Тома эта задача полностью эквивалентна сформулированной выше задаче о нахождении класса Мп. Д. Котщик и К. JTëx32 высказали интересную гипотезу о том, что в качестве искомого максимального класса можно взять класс всех гиперболических многообразий, то есть многообразий, на которых существует риманова метрика постоянной отрицательной кривизны.

В случае п = 2 отношение доминирования легко полностью описывается. Случай п = 3 довольно хорошо исследован (см. обзор С. Вонга33); в частности, Р. Брукс34 доказал, что всякое ориентированное 3-мерное многообразие доминируется гиперболическим. Случай п ^ 4 исследован довольно плохо. В основном вопрос о наличии доминирования M ^ N исследовался в двух случаях: когда N высокосвязно и когда N имеет риманову метрику неположительной кривизны (или кусочно евклидову метрику неположительной полиэдральной кривизны в смысле САТ(О)-прострапств). При этом если в первом случае основные методы исследования были алгебро-топологическими, то во втором решающую роль играли геометрические методы, основанные, в частности, на теориях симилициального объёма и гармонических отображений. Для многообразий неположительной кривизны практически все результаты были негативными: доказывалось, что при определённых условиях па M vi N многообразие M не может доминировать многообразие N. Наиболее интересным результатом в этом направлении является результат Д. Котщика и К. Jlëx32, которые для большого класса многообразий (включающего в себя, в частности, все римановы многообразия строго отрицательной кривизны) доказали невозможность их доминирования никаким произведением двух многообразий положительных размерностей.

До сих пор по сути единственным результатом по задаче об отыскании максимального класса многообразий в смысле отношения доминирования при п ^ 4 являлась конструкция гиперболизации М. Дэвиса и Т. Янушкевича35. Эта конструкция позволяет для каждого полиэдра Р строить асферический полиэдр Р и непрерывное отображение Р —ï Р, индуцирующее

32Kotschick D., Löh С., Fundamental classes not representable by products, J. London Math. Soc., v. 79 (2009), p. 545-561.

•"Wang S., Non-zero degree maps between 3-manifolds, Proc. of the ICM Bcijin 2002, vol. II, p. 457468, Higher Education Press, Beijin, 2002.

34Brooks R., On branched coverings of 3-manifolds which fiber over the circle, J. Rcine Angcw. Math., v. 362 (1985), p. 87-101.

35Davis M. W., Januszkiowicz T., Hyperbolization ofpolyhedra, J. Diff. Geom., v. 34 (1991), № 2, p. 347-388.

эпиморфизм в гомологиях; при этом, если исходный полиэдр Р является многообразием, полиэдр Р оказывается многообразием той же размерности. Напомним, что пространство X называется асферическим, если оно имеет тип К{7г, 1), то есть если X линейно связно и щ{Х) = 0 при г > 1. Из конструкции Дэвиса-Янушкевича сразу следует, что в качестве максимального класса многообразий в смысле отношения доминирования можно взять класс всех асферических многообразий. Однако этот класс слишком обширен и естественно представляет интерес задача о его уменьшении.

Ещё одной задачей, рассматриваемой в диссертации, является задача о построении комбинаторного многообразия с заданным набором линков вершин. Каждой триангуляции многообразия можно сопоставлять различные характеризующие ее комбинаторные данные. Простейшим примером таких данных является /-вектор (/о, /1,. ■ •, /н), где через /, обозначено количество г-мерпых симплексов в триангуляции. В более сложных случаях комбинаторные данные тем или иным образом описывают взаимное расположение симплексов. Некоторые функции от комбинаторных данных дают инварианты многообразия, не зависящие от триангуляции. Например, эйлерова характеристика многообразия выражается через его /-вектор. Мы будем сопоставлять каждому ориентированному комбинаторному многообразию неупорядоченный набор классов изоморфизма линков его вершин. Интерес к таким комбинаторным данным обусловлен в том числе тем, что числа Понтрягина многообразия могут быть вычислены по набору классов изоморфизма линков его вершин. Таким образом, нашим объектом изучения является преобразование С, сопоставляющее каждому ориентированному комбинаторному многообразию К неупорядоченный набор классов изоморфизма ориентированных комбинаторных сфер линков вершин многообразия К. Изучая преобразование С, естественно поставить задачу о его обращении:

Для каких наборов У\, Уг,..., Ук ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер существует ориентированное п-мерное комбинаторное многообразие, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором У{, У2, • ■ • > Ук ?

Этот вопрос является типичным примером часто встречающейся в топологии проблемы характеризации наборов локальных данных, которые могут быть реализованы как локальные инварианты некоторого глобального объекта. Классические примеры задач такого типа —задача характеризации возможных наборов локальных весов действия группы Хр с изолированными неподвижными точками на замкнутом стабильно комплексном

многообразии (см., например, работу В. М. Бухштабера и С. П. Новикове?6) и задача о соотношениях между классами кобордизмов циклов, реализующих классы Понтрягина стабильно комплексного многообразия, решенная В. М. Бухштабером и А. П. Веселовым37.

Цель работы.

Целью настоящей работы является построение теории универсальных локальных формул для полиномов от рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий и кусочно линейных блочных расслоений; нахождение явной локальной комбинаторной формулы для первого рационального класса Понтрягина; развитие комбинаторного подхода к проблеме Стинрода о реализации циклов.

Научная новизна.

Основными результатами диссертации являются следующие:

1. Построена теория универсальных локальных формул для рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий, то есть формул вида

МК) = £ /«link«x))<r,

а€К, dim п=т—4к

где / — функция на множестве классов изоморфизма ориентированных (4к — 1)-мерпмх комбинаторных сфер, не зависящая от многообразия К. Построено и изучено дифференциальное кольцо Т* ориентированных комбинаторных сфер и двойственный ему коцеппой комплекс T*(Q) = Hom(7¡,Q). Доказано, что функции /, задающие универсальные локальные формулы для полиномов от рациональных классов Понтрягина, суть в точности коциклы комплекса T*(Q); при этом функция /, задающая универсальную локальную формулу для любого однородного полинома, существует и единственна с точностью до прибавления кограницы комплекса 7~*(Q).

2. Доказано, что для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует такая универсальная локальная формула /, что задача о вычислении значения f({L)) по данной комбинаторной сфере L является алгоритмически разрешимой.

зиБухштабер В. М., Новикоп С. П., Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб., т. 84 (1971), №1, с. 81-118.

17 BurJisl aber V. М., Vcsclov А. P., On a remarkable functional equation in the theory of geneinlized Dunkl operators and transformations of elliptic genera, Math. Z., v. 223 (1996), p. 595-G07.

3. Решена задача о нахождении явной локальной комбинаторной формулы для первого рационального класса Понтрягина комбинаторных многообразий.

4. Получена нижняя оценка на рост знаменателей локальной формулы/ для первого рационального класса Понтрягина: доказано, что для любой универсальной локальной формулы / для первого класса Понтрягина и любого I > 12 наименьшее общее кратное знаменателей значений f((L)), где L пробегает множество всех ориентированных комбинаторных сфер с не более, чем I вершинами, делится на наименьшее общее кратное чисел 2,3,...,/ — 3. Доказано, что ни для какого кратного первого класса Понтрягина не существует целочисленной универсальной локальной формулы.

5. Показано, что рациональные классы Понтрягина блочного расслоения £ над компактным полиэдром Р могут быть комбинаторно вычислены в терминах триангуляции К тотального пространства £(£) и отображения g : Р —> гомотопного нулевому сечению, трапссимплициального к триангуляции К и такого, что замыкания всех компонент связности прообразов открытых симплексов триангуляции К при отображении g являются кусочно линейными шарами.

6. Для компактного полиэдра Р введена абелева полугруппа Т>{Р) классов конкордантности разбиения полиэдра Р на простые клетки. Дана конструкция, сопоставляющая каждому классу стабильной эквивалентности блочных расслоений над полиэдром Р, класс конкордантности разбиений полиэдра Р на простые клетки. Показано, что эта конструкция индуцирует естественный гомоморфизм X : 1(Р) —>• "D(P), где 1{Р) - группа классов стабильной эквивалентности блочных расслоений над Р. Доказано, что отображения pi : 1(Р) —> HAt(P,Q), задаваемые рациональными классами Понтрягина блочных расслоений, раскладываются в композицию гомоморфизма X и естественных отображений Т>(Р) —> Я4'(Р; Q), которые естественно называть рациональными классами Понтрягина разбиений на простые клетки.

7. Найдены явные конструкции, позволяющие по набору ориентированных (п—1)-мерных комбинаторных сфер У1, Уг, ■ ■ •, Ук такому, что вершины несвязного объединения Yi U ... U Yk разбиваются па пары с липками вершин в каждой паре изоморфными друг другу с обращением ориентации, строить ориентированное кубически клеточное комбинаторное многообразие Q, набор линков вершин которого совпадает с точностью до сохраня-

ющего ориентацию изоморфизма с набором

V' V' V' V' V' V' Г1,.^., ■ > г2,' • • • — ;

9 9 9

и ориентированное симнлициальное комбинаторное многообразие К, набор линков вершин которого совпадает с точностью до сохраняющего ориентацию изоморфизма с набором

Уь • — I Уу^Ь» • у ■ Y2, • • • ,Yk, ■ ■ ■. Yk, Z\,Zi,..., Zi, —Z\, —Z2,..., —Z;,

9 9 ч

для некоторого натурального числа д и некоторых ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер Z\, Z^ . ■., Z\. Здесь — Z{ — комбинаторная сфера Zi с обращённой ориентацией и У*' — первое барицентрическое подразделение комбинаторной сферы У;.

8. Получены явные описания всех универсальных локальных формул для /^полиномов Хирцебруха от рациональных классов Понтрягина.

9. Решена задача о прямом комбинаторном построении ориентированного гладкого многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный класс целочисленных гомологий топологического пространства.

10. Решена задача о нахождении класса Мп ориентированных п-мерных гладких замкнутых многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью любого n-мерпого целочисленного класса гомологий любого топологического пространства. Доказано, что в качестве такого класса Л4п можно взять класс всех копечполистпых накрытий над многообразием Мп изоспсктральных симметрических трёхдиагональных вещественных (п+ 1) ж (п+ 1)-матриц. В частности, доказано, что любое ориентированное замкнутое n-мерное многообразие виртуально доминируется многообразием Мп.

Основные методы исследования.

В работе используются методы алгебраической, геометрической и комбинаторной топологии, комбинаторной геометрии и теории графов. Большое значение имеет использование результатов У. Пахпера38 о бизвёздпых преобразованиях комбинаторных многообразий, а также результата К. То mow10

3ePachner U., Konstniktionsmetlioden und das kombinatorische Homöomorphieproblem für TYiangidationen kompakter semilinearer Mannigfaltigkeiten, Abb. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 57 (1987), p. 09-86.

3flTomei C., The topology of the isospectral manifold of tridiagonal matrices, Duke Math. J., v. 51 (1984), №4, p. 981-996.

о клеточном разбиении многообразия изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных матриц.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для алгебраической топологии, топологии многообразий, теории гомологий, кусочно линейной топологии. Результаты диссертации могут быть полезны для специалистов из Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, Санкт-Петербургского государственного университета, Новосибирского государственного университета, Челябинского государственного университета, Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова, Независимого московского университета.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах «Геометрия, топология и математическая физика» (руководители С.П.Новиков и В.М.Бухштабер, отдел геометрии и топологии МИ РАН и кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ), «Алгебраическая топология и сё приложения» им. М.М. Постникова (бюро семинара: В.М. Бухштабер, A.B. Чернавский, И. А. Дыиников, Л.А.Алания, Д.В. Миллионщиков, Т.Е.Панов, кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ), «Дискретная геометрия и геометрия чисел» (руководители Н.П.Долбилин и Н.Г. Мощевитин, кафедра теории чисел Механико-математического факультета МГУ), «Геометрический семинар им. А.Д.Александрова» (руководитель Ю.Д. Бураго, ПОМИ РАН), «Московско-Петербургский семинар по маломерной математике» (руководитель С.В.Дужин, ПОМИ РАН), «Семинар Сектора 4.1» (руководитель М.А. Цфасман, ИППИ РАН), «Глобус» (бюро семинара: А.А.Белавин, В.А.Васильев, Ю.С. Ильяшенко, А.Б.Сосинский, М.А. Цфасман, О.В. Шварцман, НМУ), «Римаповы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» (руководители С.М. Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шейнман, НМУ), на заседаниях Московского математического общества (президент В.И.Арнольд), а также на следующих международных научных конференциях:

1. «Geometry, Topology and Combinatorics», г. Стокгольм, Швеция, 2-6 июля 2004 года.

2. «Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств», посвящённая 100-летию со дня рождения J1. В. Келдыш, г. Москва, 24-26 августа 2004 года.

3. «International Conference on Toric Topology», г. Осака, Япония, 29 мая -3 июня 2006 года.

4. «Новиковский день», посвящённая 70-летию С. П. Новикова, г. Москва, 3 июня 2008 года.

5. «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённая 100-летию со дня рождения JL С. Понтрягина, г. Москва, 17-22 июня 2008 года.

6. «New Horizons in Toric Topology», г. Манчестер, Великобритания, 7 11 июля 2008 года.

7. «Seventieth Meeting of the Transpcnnine Topology Triangle and Toric Topology», г. Манчестер, Великобритания, 2-3 ноября 2009 года.

8. «International Conference on Topology and its Applications», г. Нафпак-тос, Греция, 26- 30 июня 2010 года.

9. «Геометрия и топология, алгебра и теория чисел, приложения», посвященная 120-летию со дня рождения Б. Н. Делоне, г. Москва, 16-20 августа 2010 года.

За отдельные результаты работы автору была присвоена первая премия конкурса им. А. Мёбиуса (2005 г.); на основе отдельных результатов работы были разработаны исследовательские проекты, поддержанные грантом Президента РФ МК-4220.2009.1 и премией фонда «Династия» (2009 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-10].

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 341 страницах и состоит из введения, пяти глав и трёх приложений. Библиография включает 132 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации излагается история рассматриваемых проблем, формулируются основные результаты, приводится краткое содержание ра-

боты и список основных соглашений и обозначений.

Содержание главы 1

Первая глава диссертации посвящена развитию теории универсальных локальных формул для полиномов от классов Понтрягина.

В разделе 1.1 мы строим и изучаем дифференциальное кольцо ориентированных комбинаторных сфер. Для каждого п ^ 1 обозначим через Тп абелеву группу, порожденную классами изоморфизма (Ь) ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер и соотношениями {—Ь) = —(Ь), где —Ь — комбинаторная сфера Ь с обращенной ориентацией; полагаем, % = X. Прямая сумма

оо

"Г* = 07;

п=0

является суперкоммутативным ассоциативным дифференциальным градуированным кольцом (с понижающим ориентацию дифференциалом) относительно умножения

(Ь1)(Ь2) = (Ь1*Ь2), где Ь\ * ¿2 джойн комбинаторных сфер Ь\ и ¿2, и дифференциала

д{ь) = ¿2 <Ипк'у>>

где У(Ь) — множество вершин комбинаторной сферы Ь и линки вершин наделяются ориентациями, индуцированными ориентацией Ь.

Каждому ориентированному комбинаторному многообразию К мы можем поставить в соответствие элемент группы Т„ — формальную сумму классов изоморфизма линков вершин комбинаторного многообразия К. Мы доказываем, что это соответствие продолжается до аддитивного гомоморфизма д, : Г2®рь —> Нп(Т*), который является мультипликативным с точностью до элементов порядка 2. Здесь и далее - кольцо кобордиз-мов ориентированных кусочно линейных многообразий.

Теорема 1. Ядро и коядро гомоморфизма д, : —> Н,{Т,) являются группами кручения. Таким образом, гомоморфизм

ПрЬ ® а Н,(Т.) ® К2 является изоморфизмом градуированных колец.

Эта теорема доказывается в главе 4 диссертации. Хорошо известно, что естественный гомоморфизм кольца кобордизмов ориентированных гладких многообразий в кольцо индуцирует изоморфизм колец

fifL ® Q = ® Q = Q [[CP2], [CP4], [CP6],...] .

Кроме того, в разделе 1.1 исследуется оператор барицентрического подразделения /3 : Т» —>■ Т,, {L) >—> (£/), где И — барицентрическое подразделение комбинаторной сферы L.

Предложение 2. По модулю элементов порядка 2 оператор ¡3 является гомоморфизмом дифференциальных градуированных колец, цепно гомо-топиъш тоэ/сдествеипому.

В разделе 1.2 изучается коцепной комплекс 7~*(Q) = Hom(7Z,Q) с дифференциалом

(6f)((L)) = (-1)" £ /((Hnk,;)), (3)

veV(L)

Пусть / G T"(Q) и К -- тп-мерпое комбинаторное многообразие. Определим (ш - п)-мерпую симплициальпую цепь ft(K) по формуле

МЮ= £ /((Нпксх))<т. (4)

а€К, dim гт=т—п

(Если многообразие К пеориептируемо, эту цепь нужно понимать как ко-ориентированную.)

Определение 3. Функция / 6 T"(Q) называется (универсальной) локальной формулой для однородного полипома F £ Q[pi,p2, • • •] степени 71, если для любого ориентированного комбинаторного многообразия К цепь f$(K) является циклом, класс гомологий которого двойствен по Пуанкаре классу F{Pi(K),P2(K),...).

Из теоремы 1 следует, что имеется изоморфизм

<Г:Я'(Т*((2))-+<(2[Р1,Р2,...], (5)

сопряжённый изоморфизму д» ® Q-

Теорема 4. Следующие условия на функцию f G T"(Q) эквивалентны:

1) цепь f${K) является циклом для любого комбинаторного многообразия К;

2) f — коцикл комплекса Т*(Q), то есть 5f = 0;

3) f является универсальной локальной формулой для некоторого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина.

При этом если / — коцикл комплекса Т*(Q), представляющий класс когомологий гр, и 6*(гр) = F, то f — универсальная локальная формула для полипома F от рациональных классов Понтрягина. Таким образом, универсальная локальная формула для каждого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует и единственна с точностью до прибавления кограницы комплекса Т* (Q).

Часть теоремы 4, утверждающая, что для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует универсальная локальная формула, является усилением теоремы Левитта-Рурка24.

В разделе 1.3 мы доказываем, что для любого однородного полинома F от рациональных классов Понтрягина степени 4к существует универсальная локальная формула / G Tik(Q) такая, что задача о вычислении значения /((L)) по заданной комбинаторной сфере L является алгоритмически разрешимой.

Аналоги теоремы 1 имеют место для симплициальпых гомологических многообразий, для многообразий с коническими особенностями. В разделе 1.4 формулируется наиболее общий аналог теоремы 1. Пусть С — класс ориентированных псевдомногообразий, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Нульмерные псевдомпогообразия, принадлежащие классу С, суть в точности все нульмерные сферы; все псевдомпогообразия положительной размерности, лежащие в классе С, связны и нормальны.

2) Если псевдомногообразис У принадлежит классу С, то любое псевдомногообразие, кусочно линейно гомеоморфное псевдомногообразию У с сохранением или с обращением ориентации, также принадлежит классу С.

3) Если n-мерное псевдомногообразие У принадлежит классу С и а — симплекс псевдомпогообразия У, такой что dim о < п. то псевдомногообразие link сг принадлежит классу С.

4) Если псевдомногообразие У принадлежит классу С, то неприведённая надстройка ЕУ также принадлежит классу С.

Используя вместо комбинаторных сфер псевдомногообразия из класса С, мы можем определить аналог Т^ цепного комплекса 7Z; цепной комплекс Т? является кольцом, если класс С дополнительно удовлетворяет следующему условию

5) Если псевдомногообразия Y\ и Уг принадлежат классу С, то их джойн У] * Уг тоже принадлежит классу С.

Многообразием с особенностями из класса С называется псевдомногообразие, линки всех вершин которого принадлежат классу С. В разделе 1.4 для произвольного класса С, удовлетворяющего условиям 1)-4) вводится градуированная группа кобордизмов ориентированных многообразий с особенностями из класса С, которая является кольцом, если класс С удовлетворяет условию 5). Доказательство следующего аналога теоремы 1 также откладывается до главы 4.

Теорема 5. Пусть С — класс псевдомногообразий, удовлетворяющий условиям 1)~4)- Тогда имеется изоморфизм градуированных групп

д, ® <2 : ® <2 -4 Я,(Т?) ® «2.

Если класс С дополнительно удовлетворяет условию 5), изоморфизм д* ® <0! является изоморфизмом колец.

Рассматривая изоморфизм (5), естественно поставить вопрос о том, как описать каким-либо явным комбинаторным способом умножение, возникающее в когомологиях комплекса Т*(<0>). В разделе 1.5 комбинаторно определена операция умножения коциклов комплекса Т*(ИЗ), которая индуцирует искомое умножение в когомологиях. К сожалению, эта операция умножения не является ни билинейной, ни ассоциативной, ни коммутативной, не удовлетворяет тождеству Лейбница и, по-видимому, не имеет естественного продолжения на весь комплекс 7~*(<0>). Явное построение даже такого не очень хорошего умножения коциклов комплекса Т*(<0>) сразу даст нам возможность по известным локальным формулам для двух полиномов от рациональных классов Понтрягина построить явно локальную формулу для произведения этих полиномов.

Когда мы хотим по локальным формулам для двух полиномов от классов Понтрягина построить локальную формулу для их произведения, нам удобнее работать с коциклами, представляющими полиномы от классов Понтрягина, а не с циклами, представляющими двойственные классы го-мологий. Впервые локальные формулы для коциклов, представляющих характеристические классы, рассматривались Н. Левиттом и К. Рурком24. При этом они рассматривали симплициальные коциклы в первом барицентрическом подразделении данного комбинаторного многообразия. Нам удобнее работать не с барицентрическим подразделением, а с каноническим кубическим подразделением комбинаторного многообразия. В разделе 1.5 определяется коцеппой комплекс УУ*(<0>), являющийся аналогом комплекса Т*(<ф) в рассматриваемой ситуации. В комплексе УУ'(0>) вводится ассоци-

ативное умножение, удовлетворяющее формуле Лейбница. Основным результатом этого раздела является изоморфизм //*(Т*(0>)) = Н*(у\?*( дающий возможность использовать умножение в комплексе УУ*(0) для построения искомого умножения коциклов комплекса 7~*(0>).

Содержание главы 2

Эта глава посвящена построению явной комбинаторной формулы для первого рационального класса Понтрягипа. Наш подход заключается в том, чтобы искать цикл, представляющий класс гомологий, двойственный первому классу Понтрягина данного комбинаторного многообразия К, в виде универсальной локальной формулы (4). Здесь п = 4. значит, / рацио-нальнозначная функция на множестве классов изоморфизма ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер. Чтобы описать явно такую функцию /, нам необходимо научиться каким-либо образом «перемещаться» по множеству классов изоморфизма ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер. Для этой цели мы используем так называемые бизвёздные преобразования комбинаторных многообразий. Согласно теореме У. Пахиера38, любые два кусочно линейно гомеоморфных комбинаторных многообразия переводятся друг в друга последовательностью бизвёздных преобразований и изоморфизмов. В частности, любая 3-мерпая комбинаторная сфера переводится в границу 4-мерного симплекса последовательностью бизвёздных преобразований и изоморфизмов. Таким образом, для того, чтобы задать функцию на множестве классов изоморфизма ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер, нам достаточно описать, как её значение изменяется при бизвёздных преобразованиях. Оказывается, что из уравнения <5/ = 0, которому удовлетворяют локальные формулы для первого класса Понтрягина, следует, что приращение значения /((Ь)) при бизвёзд-пом преобразовании /3 является суммой локальных вкладов Л((/3„)), зависящих только от бизвёздных преобразований/?,,, индуцированных преобразованием Р в линках вершин сферы Ь. При этом функция Л, является коциклом, представляющим некоторый конкретный класс одномерных кого-мологий со графа Гг, вершинами которого являются классы изоморфизма ориентированных 2-мерных комбинаторных сфер, а ребрами бизвёздные преобразования; мы явно вычисляем класс когомологий Со. В результате мы получаем явную локальную комбинаторную формулу для первого класса Понтрягина, которая может быть применена к любому комбинаторному многообразию без каких бы то ни было дополнительных структур.

Глава 2 организована следующим образом.

В разделе 2.1 приводится необходимая информация о бизвёздных преобразованиях, для каждого п строится граф Гп, вершинами которого являются классы изоморфизма ориентированных п-мерных комбинаторных сфер, а рёбрами — бизвёздные преобразования. Рассматриваются абелевы группы эквивариантных клеточных коцепей С3,п = Гп_1; 2), где группа Ъч действует па графе Гп_1 обращением ориентации комбинаторных сфер и О. - группа (2, наделённая структурой 22-модуля такой, что образующая группы 22 действует умножением на —1. На биградуированпой группе С*'* вводится структура биградуированного коцепного комплекса с двумя коммутирующими дифференциалами: повышающим первую градуировку дифференциалом й эквивариантных клеточных коцепных комплексов графов Г„ и повышающим вторую градуировку дифференциалом 6, индуцированным операцией взятия формальной суммы линков комбинаторной сферы. При этом первый столбец С0'* введённого бикомплекса канонически изоморфен коцепному комплексу Т*(0>). Кроме того, строится цепная гомотопия в между ценными отображениями й и 0 коцепного комплекса (С0'*, в коцепной комплекс (С1'*, 6). Оказывается, что гомоморфизм

5 : Т4(«2) = С0'4 С1,3 = Г2; О)

отображает подгруппу кег <5 С 7~4(<0>), состоящую из универсальных локальных формул для классов, кратных первому классу Поптрягипа, изоморфно на подгруппу группы Г2; (2), состоящую из всех коциклов, классы гомологий которых лежат в ядре N гомоморфизма

«5* : НЦГ2; 2) -> НЦГ3; 2),

индуцированного дифференциалом при этом обратный к й изоморфизм совпадает с отображением /1~16. Таким образом, явное описание универсальных локальных формул для классов, кратных первому классу Понт-рягина сводится к явному вычислению группы N.

В разделах 2.2 и 2.3 изучаются циклы в графе Г2. В разделе 2.2 строятся несколько семейств циклов в графе Г2, которые удобно называть элементарными циклами, и доказывается, что любой цикл в графе Г2 представляется в виде линейной комбинации элементарных. В разделе 2.3 приводится эффективный алгоритм для нахождения представления данного цикла в графе Г2 в виде линейной комбинации элементарных. Явное описание группы N даётся в разделе 2.5: группа N является одномерным векторным пространством над полем ИЗ, порождённым классом когомологий

со € #22(1 2; Q), Для которого явно указываются его значения па всех элементарных циклах.

В окончательном виде явная комбинаторная формула для первого класса Понтрягина приведена в разделе 2.4. Несмотря на то, что ключевую роль в развитом подходе играет локальность формулы, оказывается, что окончательная формула может быть упрощена, если отказаться от требования локальности. Процесс вычисления по этой упрощённой формуле симпли-циального цикла Z, представляющего класс гомологий, двойственный по Пуанкаре первому рациональному классу Понтрягина?п-мерного комбинаторного многообразия К, имеет следующий вид.

1. Для каждого симплекса <т £ К коразмерности 3 или 4 найдем последовательность бизвездпых преобразований

link а = ь[а) ъ 4° - • ■ ■ - 4w+i -5ACOdim" ■ (б)

2. Для каждого симплекса а £ К коразмерности 4 выберем какую-нибудь коориентацию, т.е. ориентацию его линка; снабдим все симплексы т € К коразмерности 3, содержащие <т, такими коориентациями, чтобы коэффициент инцидентности симплексов ант был равен +1; положим

К")

&-££{№*).}- Е ЕК'Ь

_7=1 v T€K,TD<J,j=l

codim т=3

где в первом слагаемом внутренняя сумма берётся по всем вершинам v, «вовлечённым» в бизвёздное преобразование и через обозна-

чено индуцированное бизвёздное преобразование линка вершины v. Тогда Ст — цикл в графе Гг.

3. Представив цикл а виде суммы элементарных циклов, вычислим значение Тр = Со(Сст)- Тогда искомый цикл задается по формуле

z= Y1 г°а-

п£К, codim (Т=4

Отметим, что из результатов главы 2 следует лишь, что выписанная явная формула даёт первый класс Понтрягина с точностью до умножения на некоторую универсальную (то есть не зависящую от многообразия К) константу. Чтобы доказать, что эта константа в действительности равна 1, необходимо произвести вычисления по полученной формуле для некоторого конкретного многообразия с известным ненулевым классом Понтрягина. Такие вычисления для CP2 вынесены в приложение В.

В отличие от старших целочисленных классов Понтрягина, первый целочисленный класс Понтрягина комбинаторно инвариантен. Поэтому имеет смысл задача о его вычислении в комбинаторных терминах. К настоящему времени эта задача не решена: все известные комбинаторные формулы для первого класса Понтрягина дают только рациональные циклы. В разделе 2.6 показано, что решение этой задачи ие может быть найдено в виде универсальной локальной формулы (4), так как знаменатели значений любой локальной формулы / £ 7~4(Q) для первого класса Понтрягина неограничены. Доказана следующая оценка: пусть / € 7~4(Q) — локальная формула для первого класса Понтрягина; тогда для любого I ^ 12 наименьшее общее кратное знаменателей значений /({£,)), где L пробегает множество всех ориентированных 3-мерпых комбинаторных сфер с не более, чем I вершинами, делится па наименьшее общее кратное чисел 2,3,..., I — 3.

Содержание главы 3

Глава 3 посвящена распространению полученных в первых двух главах результатов о комбинаторных формулах для классов Понтрягина многообразий на задачу о комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина блочных расслоений. Мы показываем, что рациональные классы Понтрягина g-мерпого блочного расслоения £ над клеточным разбиением Z компактного полиэдра Р могут быть комбинаторно вычислены в терминах пары (К,д), где К — кусочно линейная триангуляция тотального пространства Е(£), являющаяся измельчением разбиения па блоки, д : Р Е(£) — кусочно линейное отображение такое, что

1) образ каждой клетки ^ разбиения Z при отображении д содержится в блоке ^ над ней;

2) отображение д трапссимплициальио триангуляции К;

3) для каждого симплекса т триангуляции К замыкание каждой компоненты связности прообраза д~х{т) есть кусочно линейный шар размерности dirnr — q; здесь т - относительная внутренность симплекса т.

При выполнении указанных условий замыкания множеств д~1 (т) образуют клеточное разбиение полиэдра Р, которое мы будем обозначать через дК. При этом каждая клетка Q разбиения д К имеет структуру кусочно линейного многообразия с углами, все грани которого являются кусочно линейными шарами. Такие многообразия с углами мы будем называть квазипростыми клеткамщ квазипростая клетка называется простой клеткой, если пересечение любого числа её граней либо пусто, ли-

бо снова является сё гранью. Простые и квазипростые клетки являются естественными обобщениями простых выпуклых многогранников. Действительно. каждой триангуляции сферы, которая может быть реализована в виде границы выпуклого симплициалыгого многогранника, можно сопоставить двойственный простой многогранник. Аналогичным образом, произвольная n-мерная простая клетка двойствена некоторой кусочно линейной триангуляции (п — 1)-мериой сферы, а произвольная п-мерная квазипростая клетка —симплициально клеточному разбиению (п—1)-мерпой сферы, то есть разбиению на симплексы, в котором два симплекса могут иметь несколько общих граней. Для каждой квазипростой клетки Q мы будем обозначать двойственное ей симплициально клеточное разбиение сферы через Lq. Основной результат главы 3 заключается в том, что рациональные классы Поитрягина блочного расслоения £ могу т быть восстановлены по комбинаторному строению разбиения дК полиэдра Р на квазипростые клетки.

В градуированном кольце Q[pi,p2, ■••] имеется канонический автоморфизм w, переводящий каждую образующую pk в такой полином рь, что

Рк + Pk-iPi + Рк-2Р2 + ■ ■ ■ + Рк = о

для всех к. Мы будем обозначать обра.) полинома F при автоморфизме w через F.

Теорема 6. Пусть F € Q[pj,i>2, • • •] — однородный полипом степени 4к и f £ T4k(Q) — универсальная локальная формула для полинома F. Рассмотрим 4к-мерную клеточную коцепь К) £ C4k{gK\ Q), значение которой на каждой 4к-мерной клетке Q разбиения д К равно /((L'q)). Тогда f^(g К) — коцикл, представляющий класс когомологий F(Pi(£)'P2(Q, ■ ■ •)• Если разбиение д К является разбиением на простые клетки, вместо f^ig^'K) mooicho взять коцепь fi(g]K), в которую каждая клетка Q входит с коэффициентом /((Lq)).

Разделы 3.1 и 3.2 содержат определения кусочно линейных многообразий с углами, простых и квазипростых клеток, разбиений на многообразия с углами, простые и квазипростыс клетки. Раздел 3.3 содержит необходимые сведения о блочных расслоениях. В разделе 3.4 формулируется основной результат главы 3 — теорема 6.

Оставшаяся часть главы 3 посвящена систематическому изучению разбиений компактных полиэдров на многообразия с углами, простые и квазипростые клетки. Основным объектом изучения является множество клас-

сов конкордантности таких разбиений. Два разбиения полиэдра Р на многообразия с углами (соответственно, простые или квазипростые клетки) называются конкордантными, если существует разбиение полиэдра Р х [0,1] на многообразия с углами (соответственно, простые или квазипростые клетки), ограничения которого на основания цилиндра Р х [0,1] совпадают с двумя данными разбиениями. В разделе 3.5 мы показываем, что получающееся множество Т>(Р) классов конкордантности не зависит от того, рассматриваем ли мы разбиения полиэдра на многообразия с углами, на простые клетки или на квазипростые клетки; элементы множества Т>(Р) мы называем Т>-структурами на полиэдре Р. В разделах 3.6 и 3.7 в множестве Т>(Р) вводится операция сложения, превращающая его в абелеву полугруппу с нулём, и доказывается, что полугруппа Т>{Р) является гомотопическим инвариантом полиэдра Р. а сопоставление Р Т>(Р) является контравариантным функтором из категории компактных полиэдров и гомотопических классов их отображений в категорию абелевых полугрупп с нулём. В разделе 3.8 доказывается, что в случае, когда триангуляция К такова, что каждый блок расслоения £ триангулирован как конус над триангуляцией своей границы, существует отображение д : Р удовлетворяющее сформулированным выше условиям 1-3; также доказывается относительный вариант этого утверждения. Эти результаты позволяют нам в разделе 3.9 сопоставить каждому блочному расслоению £ класс конкордантности разбиения д К. Доказывается, что этот класс конкордантности не зависит от выбора пары (А, д) и определяет естественный гомоморфизм X : 1{Р) —> Т>(Р), где 1(Р) — группа классов стабильной эквивалентности блочных расслоений над полиэдром Р. В разделе 3.10 доказывается основной результат о Р-структурах на компактных полидрах, который и является основной мотивацией для их изучения: оказывается, что можно определить рациональные классы Понтрягина ©-структур, то есть естественные отображения рь : Т>(Р) —> Н4к(Р; <[}) такие, что в композиции с естественным гомоморфизмом X они дают рациональные классы Понтрягина блочных расслоений. Конструкция классов ПонтрягинаР-структур подсказывается формулировкой теоремы 6: /с-ый рациональный класс Понтрягина класса конкордантности разбиения У полиэдра Р на простые клетки по определению есть класс гомологий коцикла /"(У), значение которого на каждой клетке С} равно /((¿д)), где / — локальная формула для полинома р^; класс когомологий коцикла /®(У) не зависит от выбора локальной формулы / и не меняется при замене разбиения У на конкор-дантное. В разделе 3.11 строится классифицирующее пространство Е та-

кое, что Т)(Р) = [Р, 2] для любого полиэдра Р; доказывается, что имеет место изоморфизм

= ЯЧП<®) = <№ъР2, ■ • •];

с помощью этого изоморфизма доказывается несколько естественных свойств рациональных классов Понтрягина 2?-структур, в частности, аналог формулы Уитни. В конце раздела 3.11 на основе полученных результатов о ©-структурах доказывается теорема 6. Кроме того, в разделе 3.11 доказана двусвязность пространства 2, откуда сразу следует тривиальность полугрупп Т>{Р) для всех двумерных полиэдров Р: в разделе 3.12 сформулировано несколько открытых вопросов.

Содержание главы 4

Эта глава посвящена задаче об обращении преобразования £, сопоставляющего каждому ориентированному комбинаторному многообразию неупорядоченный набор линков его вершин. Ввиду наличия групповой структуры в множестве Тп наряду с преобразованием £ удобно рассматривать преобразование Ст, сопоставляющее ориентированному п-мерному комбинаторному многообразию сумму липков его вершин в группе 77,. Задача об обращении преобразования Ст эквивалентна следующему вопросу:

Для каких наборов У\, Уг- • • ■ ,'Ук ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер существует ориентированное 71-мерное комбинаторное многообразие, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором

Уь У2,..., У*, 2г ■ ■., Z^,-Z\,-Z■2...., -Z^

для некоторого набора Z2, ■ ■ ■, Zl ориентированных (п —1)-мерных комбинаторных сфер?

Помимо интереса, который вопросы об обращении преобразований С и £т представляют сами по себе, их важность для нас вызвана тем, что они являются ключевыми для доказательства теоремы 1. В главе 4 получен следующий частичный положительный результат но задаче об обращении преобразований С и Ст-

Теорема 7. Пусть У\, Уг,..., Ук — набор ориентированных (п-1)-мерных комбинаторных сфер такой, что элементявляется циклом цепного комплекса Т, ■ Тогда существуют ориентированное п-мерное кубиче-

ски клеточное комбинаторное многообразие набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором

V' V' V' V' V' V'

Л'1'' ' Г1' /21 • • ■• 1 • • • ■ ■■ , Гк

9 9 Ч

и п-мерное симплициалъное комбинаторное многообразиеК, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором

Ух, ..., У1, К2,..., У~2, •.., Ук,..., Ук, Z■^,Z2,..., Z^, —Z\, ..., -Z^ я ч ч

для некоторого натурального числа д и некоторых ориентированных (п — \)-мерных комбинаторных сфер Zх, Z2,...,

Основными результатами главы являются явные конструкции комбинаторных многообразий и К, удовлетворяющих требованиям этой теоремы; мы также доказываем аналог теоремы 7 для произвольного класса псевдомногообразий С, удовлетворяющего условиям из раздела 1.4. Из того, что с) = 0-. следует, что вершины сфер У; могут быть разбиты на пары

так, что липки вершин в каждой паре изоморфны друг другу с обращением ориентации. Требования, предъявляемые к комплексу <3 в теореме 7, могут быть усилены: он может быть построен так, чтобы изоморфизмы линков его вершин со сферами У/ были определённым образом согласованы с наперёд заданным разбиением вершин сфер У; на пары с линками, изоморфными с обращением ориентации.

В разделах 4.2 и 4.3 излагается конструкция построения псевдомногообразия, склеенного из простых многогранников, по однородному графу. Пусть Р" —простой выпуклый многогранник сто гипергранями, множество его гиперграней. Пусть Г однородный граф степени т на множестве вершин V с рёбрами, раскрашенными в цвета из множестваТ правильным образом, то есть так, что никакие два ребра, имеющие общую вершину, не окрашены в один цвет. Для каждой гиперграни Р 6 Т обозначим через Ф/- инволюцию без неподвижных точек на множестве V, сопоставляющую каждой вершине вершину, соединённую с ней ребром цвета Р. Положим

М"(Р", Г) = (V х Рп)/

где отношение эквивалентности ~ порождено отождествлениями (у,х) = (Фр(и),х), если х £ Р. Тогда М"(Р", Г) — псевдомногообразие, склеенное из простых многогранников. В случае, когда Р" — симплекс,

описанная конструкция принадлежит М.Пеццана40 и М.Ферри41. В разделе 4.4 мы останавливаемся подробнее на случае, когда Р" — куб [0,1]". Оказывается, что, если граф Г удовлетворяет некоторым специальным условиям, кубически клеточное разбиение Q(r) = М"(Г, [0,1]") является каноническим подразделением некоторого кубически клеточного псевдомногообразия Q(r). {Каноническое подразделение кубически клеточного комплекса получается, если каждый его n-мерпый куб разбить стандартным образом па 271 кубов с вдвое меньшим ребром.)

В разделе 4.5 даётся конструкция кубически клеточного комбинаторного многообразия Q. Она основана на прямом построении однородного графа Г степени 2п такого, что Q = Q(r) — искомое кубически клеточное комбинаторное многообразие. Раздел 4.G содержит конструкцию симплициального комбинаторного многообразия К: оно является несвязным объединением двух экземпляров барицентрического подразделения Q' и нескольких комбинаторных сфер. Также в разделе 4.6 доказывается теорема 5, частным случаем которой является теорема 1.

В разделе 4.7 мы используем конструкцию комбинаторного многообразия Q для гтолучения явного описания всех универсальных локальных формул для L-нолиномов Хирцебруха от классов Понтрягина. Напомним, что полиномы Li определяются по формуле (1).

Теорема 8. Пусть / 6 T4'(Q) - универсальная локальная формула для полинома Хирцебруха L¡. Тогда для любого набора Y\, Y¿,.. •, Yk ориентированных (4/ — \)-мерных комбинаторных сфер такого, что ~~ цикл цепного комплекса Тт, функция f удовлетворяет уравнению

/«vi»+fm) + • • ■+пт = (7)

я

где Q и q — соответственно ориентированное кубически клеточное комбинаторное многообразие и натуральное число из теоремы 7. Обратно, всякая функция / G T4Í(Q), удовлетворяющая системе уравнений (7), является универсальной локальной формулой для полинома Li.

Вместе с результатами раздела 1.5 эта теорема даёт явные, хотя, конечно же, очень неэффективные, локальные комбинаторные формулы для всех однородных полиномов от рациональных классов Понтрягина.

40Pezzajia М., Diagrammi di Heegaard е triangolazione contratta, Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 4., v. 12 (1975), Suppl. aJ №3, p. 98-105.

^Fcrri M., Una mppresentazione delle n-varieth topologiche triangolabili mediante grafi (n + \)-colorati Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 5, v. 13-B (1976), -VO, p. 250-260.

Содержание главы 5

Эта глава посвящена явному построению многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный целочисленный класс гомологий. Раздел 5.1 посвящен формулировкам основных результатов. Любой класс гомологий г произвольного топологического пространства X может быть реализован в виде непрерывного образа некоторого ориентированного псевдомногообразия 2. В разделах 5.2, 5.3 мы для любого ориентированного псевдомногообразия склеенного из простых клеток, строим явно его разрешение особенностей с некоторой кратностью <7, то есть ориентированное кусочно линейное многообразие N и отображение : ./V —> 2 такие, что вне остова коразмерности 2 псевдомногообразия Z отображение д является д-листпым накрытием, уважающим ориентацию. При этом N — кубически клеточное многообразие, получающееся при помощи конструкции из раздела 4.5, применённой к набору комбинаторных сфер, двойственных простым клеткам максимальной размерности псевдомпогообразия

В разделе 5.4 исследуется вопрос о классе бордизмов, представляемом в группе ЭРЬДАТ) ориентированных кусочно линейных бордизмов пространства X сквозным отображением

<р : N 4 2 -»■ X.

В действительности, более правильным вопросом является вопрос о вычислении класса ^ е ЗРЬ,(Х) ® <0>. Содержательный ответ получается в двух случаях. Если 2 — симплициальиое псевдомногообразие, то все рациональные классы Понтрягипа многообразия N равны нулю и элемент ^ является образом класса 2 при гомоморфизме

(сЬзгьГ1

Н,(Х-,г) Ht(X■,í}SPL®Q) --эрцро®®.

Пусть теперь X = К — ориентированное симплициальиое комбинаторное многообразие и2- клеточный цикл в двойственном разбиении К*, то есть при отображении 2 —» К каждая клетка разбиения 2 отображается изоморфно на некоторую клетку разбиения К*. Тогда отображение ¡р* переводит рациональные классы Понтрягина многообразия К в рациональные классы Понтрягина многообразия N и элемент ^ является образом класса г при гомоморфизме

Я,(Х; Ж) $ Н*{Х; Ж) А Н'(Х; ^рь ® О) ^

^ 8РЬ*(Х) ® <0 ЭРЬ.рО ® (О.

Здесь т] — гомоморфизмы, индуцированные изоморфизмом = Z, И и ■Сэрь — операторы двойственности Пуанкаре в когомологиях и кобордизмах соответственно, и сЬдрь — характеры Чженя-Дольда в теориях ори-

ентированных кусочно линейных бордизмов и кобордизмов соответственно.

В оставшейся части главы 5 исследуется задача о нахождении класса Мп ориентированных замкнутых многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью любого п-мерного класса гомологий любого топологического пространства. В центре нашей конструкции находится многообразие Мп изоспектральных вещественных симметрических трёх-диагональных (п + 1) х (п + 1)-матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром А1 > Аг > ... > Ап+1. (Матрица А = (а;.,) называется трёхдиаго-нальной, если ау = 0 при |г — ¡\ > 1.)

Теорема 9. Пусть X — произвольное топологическое пространство и г 6 Нп^Х\Ъ); тогда существуют конечнолистное накрытие Мп над многообразием Мп и непрерывное огпображение ¡р : Мп —> X такие, что (,оФ[М"] = дг для некоторого положительного целого числа д.

Следствие 10. Любое замкнутое ориентированное п-мерное многообразие доминируется некоторым консчнолистным накрытием над многообразием, М"; таким образом, любое замкнутое ориентированное п-мерное многообразие виртуально домицируется многообразием Мп.

Теорема 9 получается практически сразу из нашей явной конструкции разрешения особенностей псевдомногообразия, склеенного из простых клеток: дело в том, что в случае, когда исходное пссвдомногообразие 2 является симплициальным, наша конструкция автоматически даст многообразие, являющееся консчнолистным накрытием над многообразием Мп. Разделы 5.5 5.7 содержат необходимую информацию о многообразии М" и его конечнолистных накрытиях. В разделах 5.8-5.10 конструкция разрешения особенностей симплициального псевдомпогообразия 2 переизлагается на другом языке, более удобном для доказательства того, что построенное многообразие является консчнолистным накрытием над многообразием М". Переизложеиие па другом языке заключается по сути в том, что мы вместо кубически клеточного разбиения N строим двойственное ему клеточное разбиение, которое является разбиением на специальные простые многогранники — так называемые пермутоэдры. Пермутоэдр Пп есть выпуклая оболочка (я -I-1)! точек пространства Кп+1, полученных из точки (1,2,..., п + 1) при помощи всевозможных перестановок её координат;

это n-мерный простой многогранник с 2n+1 —2 гипергранями. Искомое разбиение на пермутоэдры имеет вид Мп(П", Г) для подходящего однородного графа Г степени 2n+1 — 2. Разбиение многообразия Мп на 2П пермутоэдров было построено К. Томеи39. Из нашей конструкции следует, что построенное разбиение М"(ПП,Г) является накрытием над разбиением Томеи многообразия Мп.

Содержание приложений

Приложение А содержит необходимые сведения о простых многогранниках, клеточных комплексах, склеенных из простых многогранников, в частности, о симплициальных, кубических, симплициально клеточных и кубически клеточных комплексах, а также об операциях над такими комплексами.

Приложение В посвящено вычислениям при помощи явной комбинаторной формулы для первого класса Понтрягина, построенной в главе 2. Мы приводим явные расчёты для двух простейших случаев: 9-вершинной триангуляции CP2, построенной В. Кюнелем и Т. Банхофом42, и 15-вершинной триангуляции CP2, построенной автором [9].

Приложение С посвящено применению некоторых идей, возникших в задаче о построении комбинаторных многообразий с заданными наборами линков вершин, рассматриваемой в главе 4, в задаче об интегрируемости т-зпачпых динамик при помощи т-значных групп. Результаты этого приложения получены автором совместно с В. М. Бухштабером [4|.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту В.М. Бухштаберу за постоянное внимание и многочисленные полезные советы. Автор благодарен Л.А.Алания, И.В.Баскакову, Н.П. Долби л и ну, И. А. Дынникову, Н.Ю. Ероховцу, М.Э. Казаряну, В.П.Лексину, С.А.Мелихову, A.C. Мищенко, С.П.Новикову, Т.Е.Панову, A.B. Пенскому, А.Б.Сосинскому, Г.И. Шарыгину, О.В.Шварцману за полезные обсуждения. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

"Kiihnel W., Banchoff Т. F., The 9-vertei complex prvjective plane, Math. Intell., v. 5 (1983), №3, 11-22.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Гайфуллин А. А., О локальных формулах для комбинаторных классов Понтрягипа многообразий, УМН, т. 59 (2004), №2, с. 189 190.

[2] Гайфуллин А. А., Локальные формулы для комбинаторных классов Понтрягипа, Известия РАН, сер. матем., т. 68 (2004), №5, с. 13-66.

[3] Гайфуллин A.A., Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции, УМН, т. 64 (2005), №4, с. 37-66.

[4] Бухштабер В. М., Гайфуллин A.A., Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий. УМН, т. 61 (2006), №3, с. 171-172.

[5] Гайфуллин A.A., Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, УМН, т. 62 (2007), №6, с. 167-168.

[6] Гайфуллин A.A., Реализация циклов асферичными многообразиями, УМН, т. 63 (2008), №3, с. 173 174.

[7| Гайфуллин A.A., Многообразие изоспектральных симметрических трехдиагональных матриц и реализация циклов асферичными многообразиями, Тр. МИАН, т. 263 (2008), с. 44-63.

|8| Гайфуллии A.A., Построение комбинаторных многообразий с заданными наборами липкое вершин, Известия РАН, сер. матем., т. 72 (2008), №5, с. 3-62.

[9] Гайфуллин A.A., Минимальная триангуляция комплексной проективной плоскости, допускающая шахматную раскраску четырехмерных симплексов, Тр. МИАН, т. 266 (2009), с. 33-53.

[10] Гайфуллин A.A., Пространства конфигураций, бизвёздные преобразования и комбинаторные формулы для первого класса Понтрягипа, Тр. МИАН, т. 268 (2010), с. 76 93.

•¿SO

2010015681

Введение

1 Универсальные локальные формулы для характеристических классов триангулированных многообразий

1.1 Дифференциальное градуированное кольцо ориентированных комбинаторных сфер.

1.2 Универсальные локальные формулы.

1.3 Существование алгоритмов для вычисления локальных формул

1.4 Кобордизмы многообразий с особенностями.

1.5 Локальные формулы для коциклов.

2 Явная формула для первого класса Понтрягина

2.1 Бизвездные преобразования, графы Гп и бикомплекс С*'*

2.2 Циклы в графе Г2.

2.3 Алгоритм нахождения представления цикла в графе Г2 в виде линейной комбинации элементарных циклов

2.4 Формула.

2.5 Строение группы N.

2.6 Знаменатели коэффициентов универсальных локальных формул

3 Формулы для классов Понтрягина расслоений в терминах триангуляций их тотальных пространств

3.1 Простые клетки и многообразия с углами.

3.2 Разбиения на простые клетки и многообразия с углами

3.3 Необходимые сведения о блочных расслоениях.

3.4 Формулы для классов Понтрягина блочных расслоений

3.5 Совпадение понятий T)sc~, ^qsc~ и ^Дмс-структур.

3.6 Операции над Р-структурами.

3.7 Доказательство предложения 3.6.1.

3.8 Построение отображения базы, транссимплициального к триангуляции тотального пространства блочного расслоения

3.9 Гомоморфизм ЛГ : I(P) V(P)

3.10 Рациональные классы Понтрягина разбиений на простые клетки.

3.11 Классифицирующее пространство Z.

3.12 Некоторые открытые вопросы

4 Задача о построении триангулированного многообразия с заданным набором линков вершин

4.1 Постановки задач и основные результаты.

4.2 Конструкция Пеццана-Ферри.

4.3 Построение по графам псевдомногообразий, склеенных из простых многогранников

4.4 Переход к большим кубам.

4.5 Конструкция псевдомногообразия

4.6 Конструкция псевдомногообразия К.

4.7 Локальные формулы для Ь-классов Хирцебруха.

5 Комбинаторный подход к проблеме Стинрода о реализации циклов

5.1 Реализация циклов и разрешение особенностей.

5.2 Разрешение особенностей псевдомногообразия.

5.3 Доказательство предложения 5.2.1.

5.4 Класс бордизмов реализующего многообразия.

5.5 Малые накрытия.

5.6 Многообразие изоспектральных трёхдиагональных матриц

5.7 Накрытия над многообразиями Мп(Рп).

5.8 Построение многообразия Мп.

5.9 Отображение пермутоэдра на симплекс.

5.10 Построение отображения / : Мп Zn.

А Комплексы из простых многогранников

В Вычисления при помощи явной комбинаторной формулы для первого класса Понтрягина

С Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий

О теме диссертации

Теория характеристических классов первоначально возникла из задачи об особенностях векторных полей на гладких многообразиях. Задача об изучении особенностей векторного поля на многообразии восходит к работам Пуанкаре по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Первым замечательным результатом теории характеристических классов стала теорема X. Хопфа [91], который показал, что классический инвариант многообразий — эйлерова характеристика — выражается как сумма индексов особых точек касательного векторного поля с изолированными особыми точками. Е. Штифель [123] изучил циклы особенностей наборов из к касательных векторных полей VI,. ,Ук общего положения; под циклом особенностей он понимал подмножество, на котором векторные поля г>1,., Ук линейно зависимы. Такие циклы особенностей являются циклами с коэффициентами в В дальнейшем их изучение было продолжено в ряде работ X. Уитни (см., например, [130], [131]); в настоящее время они носят название классов Штифеля-Уитни. Наконец, в 1940х годах Л. С. Понтрягин в ряде работ [37], [39], [40] поставил и полностью решил гораздо более общую задачу о циклах особенностей наборов векторных полей Ух,., Ук, рассмотрев циклы особенностей, определяемые несколькими условиями вида гапк(г>1,., у^) ^ т^. Наряду с циклами Е. Штифе-ля, Л. С. Понтрягин получил таким образом новые, целочисленные характеристические циклы; двойственные целочисленные классы когомологий называются в настоящее время классами Понтрягина.

Другой, дифференциально геометрический, подход к определению характеристических классов многообразий также принадлежит Л. С. Понт-рягину: в работах [38], [41] он показал, что определённые свёртки степеней тензора кривизны Римана риманова многообразия являются замкнутыми дифференциальными формами, классы которых в группах когомологий де Рама не зависят от выбора римановой структуры. (На самом деле Л. С. Понтрягин рассматривал только те римановы метрики, которые индуцируются на многообразии при некотором его вложении в евклидово пространством и доказывал независимость классов когомологий от выбора метрики только для таких метрик; полностью их независимость от выбора метрики была установлена позже.) В отличие от первого подхода, такой дифференциально геометрический подход даёт только вещественные классы Понтрягина, лежащие в группах Н4г(М;Ш). В действительности эти классы являются рациональными, то есть лежат в образах естественных гомоморфизмов НАг(М\0) —> Н4г(М]Ш)-, тем не менее, они несут гораздо меньше информации, чем целочисленные классы Понтрягина Рг Е НАъ(М\Ъ), определяемые через особенности векторных полей.

Важнейшим шагом в развитии теории характеристических классов стало открытие В. А. Рохлиным связи между числом Понтрягина и сигнатурой ориентированного замкнутого гладкого 4-мерного многообразия: в оо оо

1 + = работе [42] им была доказана формула sign(M4) = [М4]).

Обобщением этой формулы для многообразий размерности 4к является знаменитая формула Хирцебруха (см. [46]), выражающая сигнатуру ориентированного замкнутого гладкого 4£;-мерного многообразия через его числа Понтрягина sign (M4fc) = (Lk (Pl (M4fc), p2 (M4k) ,.,pfc (M4k)), [MAk]), где lk £ Q[Pi,P2j • • • ,pk] — однородные полиномы степеней 4к (степень переменной pi равна 4г), определяемые по формуле

Vh где Oi есть г-ый элементарный симметрический полином от переменных tj.

Опираясь на формулу Хирцебруха, В. А. Рохлин и А. С. Шварц [43] и, независимо, Р. Том [127] доказали в конце 1950х годов, что рациональные классы Понтрягина инвариантны относительно кусочно линейных гомеоморфизмов (являются комбинаторными инвариантами) и определены для всех кусочно линейных многообразий (хорошее изложение этого доказательства имеется в книге [32]). Наряду с формулой Хирцебруха, ключевую роль в конструкции Рохлина-Шварца-Тома играет теорема Р. Тома [126] о том, что при т > 2n + 1 любой n-мерный класс гомологий га-мерного гладкого или кусочно линейного многообразия Мт реализуется с некоторой кратностью подмногообразием Nn С Мт с тривиальным нормальным расслоением, являющаяся следствием результатов Ж.-П. Серра [121] о ко-гомотопических группах. Намного более сильным результатом является знаменитая теорема С. П. Новикова [35], [36] о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина. С другой стороны, Дж. Милнор и М. Кервер (см. [105]) построили пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются комбинаторными инвариантами.

Подход Рохлина-Шварца-Тома к определению рациональных классов Понтрягина кусочно линейных многообразий является весьма неявным. В рамках этого подхода вначале определяются классы 1к(М), в случае гладких многообразий совпадающие с полиномами Хирцебруха Lk от рациональных классов Понтрягина, а потом, используя то, что коэффициент при рк в полиноме Lk ненулевой, по ним восстанавливаются классы pk(M). При этом класс h(M) характеризуется (при dimM > 8А; + 1) тем свойством, что его значения на фундаментальных классах всех 4&-мерных подмногообразий N с М с тривиальными нормальными расслоениями, равны сигнатурам этих подмногообразий. Поэтому для того, чтобы вычислить класс lk(M), необходимо реализовать элементы некоторого базиса группы iT^MjQ) подмногообразиями с тривиальными нормальными расслоениями. Теорема Тома не даёт явной комбинаторной конструкции таких подмногообразий.

Таким образом, возникает задача о прямом комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина. Отметим, что для классов Штифеля-Уитни аналогичная задача имеет очень простой ответ: в 1940 году X. Уитни [130] доказал гипотезу Е. Штифеля [123], утверждающую, что для любого m-мерного комбинаторного многообразия К сумма по модулю 2 всех (т — п)-мерных симплексов первого барицентрического подразделения К' триангуляции К является циклом, представляющим класс гомологий, двойственный по Пуанкаре классу Штифеля-Уитни wn(K). Доказательство этого факта основано на прямом построении набора векторных полей, имеющего особенности с индексами ±1 в барицентрах симплексов триангуляции К' требуемой размерности. Аккуратное доказательство может быть найдено в статье [88]. Другое, аналитическое доказательство того же факта было получено в 1970 году Дж. Нигером [68]. В 1976 году Р. Гольдштейн и Е. Турнер [84] нашли явные комбинаторные формулы для классов Штифеля-Уитни комбинаторного многообразия с упорядоченными вершинами, дающие симплициальные циклы в исходной триангуляции, а не в её барицентрическом подразделении.

Впервые задача о прямом комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина возникла в знаменитой работе A.M. Габриэлова, И. М. Гельфанда и М.В. Лосика [13]. Подход, развитый в этой работе и последующих работах A.M. Габриэлова, И. М. Гельфанда и М.В. Лосика [14], Р. МакФерсона [100], А. М. Габриэлова [12] и И. М. Гельфанда и Р. МакФерсона [83], по сути представляет из себя попытку сымитировать для триангулированных многообразий один из первоначальных подходов Л. С. Понтрягина к построению классов Понтрягина гладких многообразий. Например, в первой работе [13] рассматривалась гладкая триангуляция К гладкого многообразия М и на каждом её симплексе максимальной размерности вводилась плоская связность. В результате на симплексах меньших размерностей возникало по несколько связностей — ограничений выбранных связностей на симплексах максимальной размерности — и в терминах этих связностей А. М. Габриэлову, И. М. Гельфанду и М. В. Ло-сику удалось получить формулу для первого рационального класса Понтрягина многообразия М. Основным недостатком такого подхода является неполный отказ от использования гладкой структуры на многообразии. В действительности, исходным объектом в формуле Габриэлова-Гельфанда-Лосика является не просто комбинаторное многообразие К, а комбинаторное многообразие К с заданным сглаживанием. Основным средством, при помощи которого производится перевод информации о сглаживании на комбинаторный язык, являются так называемые пространства конфигураций. Пространством конфигураций Ех, (п — 1)-мерной комбинаторной сферы L A.M. Габриэлов, И. М. Гельфанд и М.В. Лосик назвали пространство всех линейных на симплексах вложений cone(L) Мп, профак-торизованное по естественному действию группы GL(n, К). Сглаживание комбинаторного многообразия К сопоставляет каждой точке каждого симплекса <т триангуляции К точку пространства конфигураций Eimka линка симплекса ст. Таким образом, сглаживание комбинаторного многообразия с задаёт набор согласованных отображений |сг| —> Ецпко-, пронумерованных симплексами а триангуляции К. Именно комбинаторное многообразие с таким набором отображений выступает в качестве исходных комбинаторных данных для формулы Габриэлова-Гельфанда-Лосика.

В работах [14] и [100] при помощи специальных процедур усреднения по различным выборам локальных сглаживаний получены формулы для первого рационального класса Понтрягина, зависящие только от комбинаторного строения триангуляции. Однако, во-первых, эти формулы очень сложны, так как требуют усреднения по различным точкам в пространствах для трёхмерных комбинаторных сфер L, а эти пространства могут быть устроены очень сложно, а во-вторых, полученные формулы применимы только для тех триангуляций К, для которых все пространства конфигураций линков симплексов непусты, то есть для так называемых брауэровских триангуляций. Для многообразий размерности больше 3 это условие является весьма ограничительным, то есть класс брауэровских триангуляций является довольно узким подклассом в классе всех комбинаторных многообразий.

Отметим, что исходная формула Габриэлова-Гельфанда-Лосика (без усреднения) также очень сложна для конкретных вычислений. Единственный пример, для которого удалось произвести явный расчёт при помощи этой формулы — 9-вершиниая триангуляций комплексной проективной плоскости СР2, построенная В. Кюнелем и Т. Банхофом [96]. Этот расчёт был проведён Л. Милиным [103] в 1994 году.

Трудности в обобщении формулы Габриэлова-Гельфанда-Лосика для старших классов Понтрягина заключается как раз в использовании пространств конфигураций. Дело в том, что строение пространств Ех довольно хорошо изучено при сИт Ь ^ 2: известно, что Ех, стягиваемо, если сИт£ = 1 (очевидно), линейно связно [66] и односвязно [90], если сИт Ь — 2,— но при сПт£ ^ 3 о строении пространств Ех, практически ничего не известно. В работе [83] вместо пространств конфигураций использовали более комбинаторные объекты — так называемые ориентированные матроиды (введение в теорию ориентированных матроидов см. в книге [54]). Это позволило И. М. Гельфанду и Р. МакФерсону получить формулы для всех рациональных классов Понтрягина, однако в качестве исходных данных этих формул по-прежнему выступают триангулированные многообразия с заданным сглаживанием, а не просто комбинаторные многообразия. Таким образом, ни одна из формул, полученных в работах [13], [14], [100], [12] и [83], не позволяет вычислять рациональные классы Понтрягина произвольного комбинаторного многообразия без каких бы то ни было дополнительных структур.

Другой, аналитический, подход к комбинаторному вычислению классов Понтрягина триангулированных многообразий предложил Дж. Чигер [70]. Он основан на конструкции 77-ииварианта (4/с—1)-мерного риманова многообразия, принадлежащий М. Атья, В. Патоди и И. Зингеру [52]. Дж. Чигер наделяет триангулированное многообразие локально плоской метрикой, ограничение которой на каждый симплекс совпадает со стандартной евклидовой метрикой на правильном симплексе с ребром 1 и рассматривает операторы Лапласа в пространствах Ь2 -интегрируемых дифференциальных форм на линках симплексов триангуляции. Явные формулы для ¿-полиномов Хирцебруха от вещественных классов Понтрягина многообразия пишутся в терминах спектров этих операторов Лапласа. Формулы Чигера применимы для любого комбинаторного многообразия и даже для гораздо более общего класса так называемых псевдомногообразий с пре-небреоюимой границей (см. [69], [70]); при этом циклы, получаемые при помощи этих формул, зависят только от комбинаторного строения триангуляции. Тем не менее эти формулы стоит рассматривать скорее как важные тождества, связывающие объекты, имеющие топологическую и аналитическую природу, чем как формулы для комбинаторного вычисления классов Понтрягина, ввиду того, что для спектров операторов Лапласа также нет явного выражения в комбинаторных терминах. Отметим также, что неизвестно, являются ли коэффициенты циклов, получаемых при помощи формул Чигера, рациональными. Еще один подход к задаче комбинаторного вычисления классов Понтрягина, развивающий идеи М. Громова, принадлежит А. С. Мищенко. В работе [33] он построил локальную комбинаторную формулу Хирцебруха, что позволило ему дать локальное определение рациональных классов Понтрягина кусочно линейного многообразия. К сожалению, получить на этом пути явную формулу, вычисляющую характеристический цикл по триангуляции многообразия, пока никому не удалось. Сравнению различных формул для классов Понтрягина триангулированных многообразий посвящен обзор автора [17].

Для нас будет важен следующий результат, принадлежащий Н. Левит-ту и К. Рурку [98]: для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует функция, сопоставляющая каждому ориентированному комбинаторному многообразию К симплициальный цикл, в котором коэффициент при каждом симплексе полностью определяется комбинаторным строением звезды этого симплекса. Отметим, что эта теорема является только теоремой существования, не дающей никакой явной формулы. Доказательство Н. Левитта и К. Рурка основано на построении комбинаторной модели для классифицирующего пространства ВРЪт так называемых блочных расслоений (см. [115], [108], [92]).

В серии работ [15]-[17], [21], [23] автором была развита теория универсальных локальных формул для полиномов от рациональных классов Понтрягина. В её основе лежит подход к комбинаторному вычислению рациональных классов Понтрягина, состоящий в том, что мы ищем симплициальный цикл, представляющий класс гомологий, двойственный интересующему нас однородному полиному Р степени Ак от рациональных классов Понтрягина комбинаторного многообразия К, в виде универсальной локальной формулы

МК)= /((link сг))сг, (0.1) а€К, dim a=m—Ak где через (L) обозначен класс изоморфизма ориентированной комбинаторной сферы L и / — функция на множестве классов изоморфизма ориентированных (4к — 1)-мерных комбинаторных сфер, меняющая знак при обращении ориентации комбинаторной сферы. Универсальность формулы (0.1) заключается в том, что функция / не зависит от комбинаторного многообразия К и цепь f$(K) является искомым циклом для любого комбинаторного многообразия К.

Изначально мотивацией для такого подхода послужили следующие три результата.

1. Локальная формула Габриэлова-Гельфанда-Лосика [14] для первого рационального класса Понтрягина: в частном случае брауэровских триангуляций, удовлетворяющих некоторому специальному условию, она даёт цикл коразмерности 4, в котором коэффициент при каждом симплексе зависит только от класса изоморфизма его линка.

2. Сформулированная выше теорема Левитта-Рурка [98].

3. Аналитические формулы Чигера для L-полиномов Хирцебруха от вещественных классов Понтрягина имеют вид (0.1).

В формуле Габриэлова-Гельфанда-Лосика локальность достигается при помощи специального усреднения по различным локальным сглаживаниям; формула Чигера основана на изучении L2 -операторов Лапласов на линках симплексов с локально плоскими метриками — она получается локальной автоматически, так как изоморфные линки изометричны. Мы же ставим локальность во главу угла, то есть сначала изучаем циклы, задаваемые универсальными локальными формулами вида (0.1), а потом уже выясняем, что все такие циклы представляют классы гомологий, двойственные по Пуанкаре полиномам от рациональных классов Понтрягина.

Отметим, что теорема Левитта-Рурка слабее, чем результат о существовании универсальной формулы вида (0.1). Дело в том, что звезда симплекса несёт в себе немного больше информации, чем его линк, а именно, она несёт в себе информацию о размерности многообразия К. Таким образом, теорема Левитта-Рурка по сути означает, что для каждого т существует своя функция / = /ш такая, что формула (0.1) задаёт цикл, двойственный, первому рациональному классу Понтрягина, но функции /т для разных т могут быть никак между собой не связаны.

Для того, чтобы изучать функции на множестве классов изоморфизма ориентированных комбинаторных сфер, удобно ввести на множестве таких функций какую-нибудь алгебраическую структуру. Мы определяем дифференциальное градуированное кольцо ориентированных комбинаторных сфер % следующим образом: группа Тп есть абелева группа, порождённая классами изоморфизма (Ь) ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер и соотношениями {—Ь) = ~{Ь), где —Ь — комбинаторная сфера Ь с обращённой ориентацией; умножение в кольце Т* индуцируется джойном комбинаторных сфер; дифференциал определяется по формуле д(Ь) = (Ипк г;), ьеУ(Ь) где У(Ь) — множество вершин комбинаторной сферы Ь. Непосредственно проверяется, что д2 — 0. Элементы двойственного коцепного комплекса = Нот(%,0) суть в точности рациональнозначные функции на множестве классов изоморфизма ориентированных комбинаторных сфер, меняющие знак при обращении ориентации сфер; дифференциал комплекса 7~*(0) мы будем обозначать через 8.

Основные наши результаты об универсальных локальных формулах формулируются следующим образом:

• Цепь ^(К) является циклом для любого комбинаторного многообразия К тогда и только тогда, когда функция / € является коциклом комплекса Т*(СИ); цепь /д (К) является границей для любого комбинаторного многообразия К тогда и только тогда, когда функция' / € Тп((0>) является кограницей комплекса Т*(<0О

• Предположим, что цепь /л(-КГ) является циклом для любого комбинаторного многообразия К\ тогда она является универсальной локальной формулой для некоторого однородного полинома ^ € 0![РъР2, • • •]) то есть для любого комбинаторного многообразия К цикл представляет класс гомологий, двойственный по Пуанкаре полиному Р от рациональных классов многообразия К.

• Универсальная локальная формула / е Т4А:((® для однородного полинома Р Е 0>[р1, Р2, • • •] степени 4к существует и единствена с точностью до прибавления кограницы комплекса

• Для каждого однородного полинома Р Е 0>\Р1,Р2, ■ ■ ■] степени 4к существует универсальная локальная формула / такая, что задача вычисления значения f({L)) по данной ориентированной — Замерной комбинаторной сфере Ь алгоритмически разрешима.

При доказательстве этих результатов важную роль играет вычисление гомологий кольца 71, тензорно умноженного на (Ц), и групп когомологий комплекса Т*((9). Результат этого вычисления таков: имеет место мультипликативный изоморфизм

Я*(%) <8> = ь <8><0 = ®<0> = <0>[ [СР2], [СР4],.], (0.2) где и — кольца кобордизмов ориентированных кусочно линейных и гладких многообразий соответственно, и сопряжённый ему аддитивиый изоморфизм

Одним из центральных результатов диссертации является явное описание всех универсальных локальных комбинаторных формул / € ТА(0) для первого рационального класса Понтрягина. Чтобы описать явно функцию / на множестве классов изоморфизма ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер, нам необходимо научиться каким-либо образом «перемещаться» по этому множеству классов изоморфизма. Для этой цели мы используем так называемые бизвёздные преобразования — элементарные преобразования комбинаторных многообразий специального вида. Согласно теореме, доказанной в 1987 году У. Пахнером [111] (см. также [112] и [99]), два комбинаторных многообразия соединяются последовательностью бизвёздных преобразований и изоморфизмов тогда и только тогда, когда они кусочно линейно гомеоморфны. В частности, любая 3-мерная комбинаторная сфера переводится в границу 4-мерного симплекса посредством конечной последовательности бизвёздных преобразований и изоморфизмов. Таким образом, для того, чтобы задать функцию на множестве классов изоморфизма ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер, нам достаточно описать, как её значение изменяется при бизвёздном преобразовании комбинаторной сферы. Оказывается, что из уравнения б/ = О, которому удовлетворяют локальные формулы для первого класса Понтря-гина, следует, что приращение значения /((Ь)) при бизвёздном преобразовании ¡3 является суммой локальных вкладов Ь((/Зу)), зависящих только от бизвёздных преобразований /Зу, индуцированных преобразованием ¡3 в линках вершин сферы Ь. При этом функция к является коциклом, представляющим некоторый конкретный класс одномерных когомологий Со графа Г2, вершинами которого являются классы изоморфизма ориентированных 2-мерных комбинаторных сфер, а рёбрами — бизвёздные преобразования; мы явно вычисляем класс когомологий СоВ результате мы получаем явную локальную комбинаторную формулу для первого класса Понтрягина, которая может быть применена к любому комбинаторному многообразию без каких бы то ни было дополнительных структур. Процесс вычисления при помощи этой формулы содержит два сложных с вычислительной точки зрения шага. Первый из иих связан с нахождением для данной 3-мерной комбинаторной сферы последовательности бизвёздных преобразований, переводящих её в границу 4-мерного симплекса. Отметим, что из теоремы С. П. Новикова [11] об алгоритмической нераспознаваемости п-мерной сферы при п ^ 5 следует, что при п ^ 5 длина кратчайшей цепочки бизвёздных преобразований, соединяющей п-мерную комбинаторную сферу с т вершинами с границей (п + 1)мерного симплекса, не ограничена сверху никакой вычислимой функцией от т. Задача распознавания 3-мерной сферы алгоритмически разрешима (см. [31]), поэтому длина кратчайшей цепочки бизвёздных преобразований, соединяющей 3-мерную комбинаторную сферу с т вершинами с границей 4-мерного симплекса, ограничена сверху некоторой вычислимой функцией от т; однако не известно никакой явной оценки такого вида. Тем не менее, имеются эмпирические алгоритмы, позволяющие находить интересующие нас цепочки бизвёздных преобразований для комбинаторных сфер с не очень большим числом вершин (см. [55]).

Второй шаг, сложный с вычислительной точки зрения, связан с задачей канонического выбора коцикла к, представляющего класс когомологий соВ отличие от первого сложного шага, этот не носит принципиальный характер, а связан с нашим желанием получить ответ в виде универсальной локальной формулы. Мы показываем, что эту сложность можно обойти, если отказаться от требования локальности.

В отличие от старших целочисленных классов Понтрягина, первый целочисленный класс Понтрягина комбинаторно инвариантен. Поэтому имеет смысл задача о его вычислении в комбинаторных терминах. К настоящему времени эта задача не решена: все известные комбинаторные формулы для первого класса Понтрягина дают только рациональные (или даже вещественные) циклы. Мы показываем, что в рамках теории универсальных локальных формул эта задача не может быть решена: знаменатели значений любой универсальной локальной формулы / Е Т4(0) для первого класса Понтрягина неограничены. Мы доказываем следующую оценку: пусть / е Т4(О) —локальная формула для первого класса Понтрягина; тогда для любого I ^ 12 наименьшее общее кратное знаменателей значений f((L)), где L пробегает множество всех ориентированных 3-мерных комбинаторных сфер с не более, чем I вершинами, делится на наименьшее общее кратное чисел 2, 3,.,/ — 3. Результаты Н. Левитта и К. Рурка [98] показывают, что, по-видимому, может быть найдена комбинаторная формула для первого целочисленного класса Понтрягина, которая является локальной для комбинаторных многообразий с упорядоченными вершинами; тем не менее, нахождение такой явной формулы пока остаётся нерешённой задачей.

До сих пор мы всё время обсуждали рациональные классы Понтрягина многообразий. Перейдём теперь к рассмотрению классов Понтрягина расслоений. Хорошо известно, что исходные определения классов Понтрягина гладких многообразий, данные Л. С. Понтрягиным, легко переносятся на случай векторных расслоений. В кусочно линейном случае имеется несколько неэквивалентных друг другу теорий расслоений. Наиболее важными из них являются теория кусочно линейных дисковых расслоений, теория микрорасслоений Милнора [105], теория блочных расслоений, введённых независмимо К. Рурком и Б. Сандерсоном [115], [117]— [119], К. Морле [108], [109] и М. Като [92] (термин «блочное расслоение» принадлежит К. Рурку и Б. Сандерсону). Блочное расслоение размерности q над клеточным разбиением полиэдра Р на клетки сг{ есть полиэдр £?(£) Э Р, состоящий из блоков А над клетками ai таких, что dim ¡3i = dim Oi + q и (/%, <Ji) — незаузлеипая пара шаров для любого г. (Это не строгое определение; строгое определение будет дано в тексте диссертации.) По-видимому, с точки зрения изучения нормальных расслоений кусочно линейных подмногообразий и кусочно линейной теории трансверсальности наиболее правильными аналогами векторных расслоений являются именно блочные расслоения. Это связано с тем, что всякое локально плоское кусочно линейное подмногообразие кусочно линейного многообразия имеет единственное с точности до эквивалентности нормальное блочное расслоение, что неверно для дисковых расслоений и микрорасслоений (см. [89], [116]), а также с наличием для блочных расслоений как абсолютной, так и относительной теорем трансверсальности (см. [118]). Определение рациональных классов Поитрягипа кусочно линейных многообразий сразу переносится на блочные расслоения. Действительно, если £ — блочное расслоение над кусочно линейным многообразием М, то сумма Уитни блочного расслоения £ и касательного блочного расслоения к М эквивалентна ограничению на Е(£) касательного блочного расслоения к Е(£). Поэтому рациональные классы Понтрягина блочного расслоения £ легко выражаются при помощи формулы Уитни через рациональные классы Понтрягина кусочно линейных многообразий М и Е(£). Случай расслоений над произвольным компактным полиэдром легко сводится к случаю расслоений над кусочно линейным многообразием, так как любой компактный полиэдр вкладывается в качестве деформационного ретракта в кусочно линейное многообразие.

Естественным образом возникает вопрос, насколько теория универсальных локальных формул распространяется на задачу о прямом комбинаторном вычислении рациональных классов Понтрягина блочных расслоений. Оказывается, все наши результаты о формулах для классов Понтрягина многообразий могут быть перенесены на случай блочных расслоений в следующем смысле: каждая функция / £ 7~4fc(Q), являющаяся коциклом комплекса T*(Q), задаёт формулу, выражающую полином от рациональных классов Понтрягина ^-мерного блочного расслоения £ над полиэдром Р в терминах пары (К,д), где

• К — кусочно линейная триангуляция тотального пространства являющаяся измельчением разбиения на блоки;

• д : Р —» Е{£) — кусочно линейное отображение такое, что

1. образ каждой клетки сг^ разбиения полиэдра Р при отображении д содержится в блоке ^ над ней;

2. отображение д транссимплициалъно триангуляции К;

3. для каждого симплекса г триангуляции К замыкание каждой компоненты связности прообраза десть кусочно линейный шар размерности dim г — q; здесь т — относительная внутренность симплекса т.

Понятие отображения, транссимплициального триангуляции, было введено в 1967 году М. Армстронгом и Е. Зиманом [51]; строгое определение будет дано в тексте диссертации. Понятие транссимплициальности очень близко к понятию трансверсальности, однако говорить о трансверсальности в нашем случае не очень корректно, так как тотальное пространство Е(£) не обязано быть многообразием.

Из условия 1, накладываемого на отображение д, следует, что д гомотопно тождественному вложению Р с Е(£). Отметим, что условия 2 и 3, накладываемые на отображение д, осмысленны и в том случае, когда отображение д совпадает с тождественным вложением Р с Е{£)\ в этом случае они становятся условиями на триангуляцию К и примерно соответствуют нашим интуитивным представлениям о том, как должна пересекать подполиэдр Р достаточно общая и достаточно мелкая триангуляция полиэдра Е{£). Можно было бы именно так и формулировать эти условия, но на самом деле приводить отображение Р —> Е(£) в «достаточно общее положение» по отношению к заданной триангуляции гораздо проще, чем приводить триангуляцию в «достаточно общее положение» по отношению к подполиэдру Р.

Пусть (К, д) — пара, удовлетворяющая сформулированным выше условиям и / е Т4к(0) — универсальная локальная формула для полинома .Р € 0.\р1,р2,.}. Рассмотрим разбиение У полиэдра Р на клетки, являющиеся замыканиями компонент связности множеств Можно показать, что для каждой 4£;-мерной клетки ф разбиения У частично упорядоченное множество её граней (включая саму её, но не включая 0) изоморфно с обращением отношения порядка частично упорядоченному множеству симплексов (включая 0) некоторого кусочно линейного сим-плициально клеточного разбиения (4к — 1)-мерной сферы; мы обозначим это симплициально клеточное разбиение через (Симплициально клеточное разбиение отличается от симплициального тем, что два его симплекса могут иметь несколько общих граней.) Тогда барицентрическое подразделение Ь'ц является комбинаторной сферой. Рассмотрим клеточную коцепь /(1)00 £ С4к(У',0:), значение которой на каждой 4&-мерной клетке ф разбиения У равно /((1/д)). Наш основной результат заключается в том, что коцепь /И(У) является коциклом, представляющим полином -^(р!• • • где образ полинома ^ при каноническом автоморфизме ъи кольца <0)[рьр2> • • •] = Н*(ВО]0), задаваемом отображением гомотопического обращения ^-пространства ВО. Автоморфизм и) характеризуется тем, что он переводит образующие р{ в такие однородные полиномы рг, что

Рг + Р1-1Р1 + т-2Р2 + • • ■ + Р1 = о для всех к.

Описанная конструкция позволяет определить рациональные классы Понтрягина для довольно неожиданных объектов — разбиений компактных полиэдров на простые клетки. Простой клеткой мы называем кусочно линейный шар с клеточным разбиением границы, двойственным некоторой её кусочно линейной триангуляции. Два разбиения компактного полиэдра Р на простые клетки называются конкордантнымщ если существует разбиение полиэдра Р х [0,1] на простые клетки, ограничения которого на основания Р х 0 и Р х 1 совпадают с двумя данными разбиениями. Класс конкордантности разбиений полиэдра Р на простые клетки мы называем V-структурой на полиэдре Р. Мы показываем, что на множестве всех Р-структур на компактном полидре Р имеется естественная операция сложения, превращающее это множество в абелеву полугруппу с нулём, которую мы будем обозначать через Т>{Р). Каждое непрерывное отображение Н : Р\ Р2 индуцирует гомоморфизм полугрупп Н* : Х>(Рг) ^(^О? причём гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы; таким образом, Т>(-) — контравариантный функтор из категории компактных полиэдров и гомотопических классов их непрерывных отображений в категорию абелевых полугрупп с нулём. Конструкция, сопоставляющая каждому блочному расслоению £ описанное выше разбиение У, определяет корректно опеределённое естественное преобразование функторов /(•) —у Т>(-), где 1(Р) — группа классов стабильной эквивалентности блочных расслоений. (Имеется небольшая техническая сложность, связанная с тем, что описанное выше разбиение У является несколько более общим объектом, чем разбиение на простые клетки, но мы не будем сейчас на ней останавливаться.) Таким образом, для каждого полиэдра Р имеется последовательность естественных гомоморфизмов где КО(Р) — группа стабильной эквивалентности векторных расслоений над Р. Комбинаторная инвариантность рациональных классов Понтря-гина означает, что отображения р{ : КО{Р) —У НЛг(Рш,0) пропускаются сквозь группу 1{Р). Рассматривая определённые выше коцепи мы определяем рациональные классы Понтрягина Х>-структур и показываем, что в действительности отображения р^ : КО(Р) Н4г(Р] О); пропускаются сквозь полугруппу Т>(Р). Интересно, что по крайней мере первый класс Штифеля-Уитни не пропускается через полугруппу Т>(Р). Таким образом, Х)-структура, построенная по блочному расслоению, с одной стороны, не позволяет восстановить класс стабильной эквивалентности этого блочного расслоения (так как не позволяет восстановить даже его первый класс Штифеля-Уитни), а с другой стороны, позволяет восстановить достаточно много информации о блочном расслоении, а именно, все его рациональные классы Понтрягина. К сожалению, автору неизвестно, является ли полугруппа Т)(Р) группой для прлоизвольного компактного полиэдра Р; кроме того, практически ни для каких полиэдров эту полугруппу не удалось вычислить.

Ещё одной задачей, рассматриваемой в диссертации, является задача о построении комбинаторного многообразия с заданным набором линков вершин. Каждой триангуляции многообразия можно сопоставлять различные характеризующие ее комбинаторные данные. Простейшим примером таких данных является /-вектор (/о, Д,., где через /г обозначено количество г-мерных симплексов в триангуляции. В более сложных случаях комбинаторные данные тем или иным образом описывают взаимное расположение симплексов. Некоторые функции от комбинаторных данных дают инварианты многообразия, не зависящие от триангуляции. Например, эйлерова характеристика многообразия выражается через его /-вектор. Мы будем сопоставлять каждому ориентированному комбинаторному многообразию неупорядоченный набор классов изоморфизма линков его вершин. Интерес к таким комбинаторным данным обусловлен в том числе тем, что числа Понтрягина многообразия могут быть вычислены по набору классов изоморфизма линков его вершин. Таким образом, нашим объектом изучения является преобразование С, сопоставляющее каждому ориентированному комбинаторному многообразию К неупорядоченный набор классов изоморфизма ориентированных комбинаторных сфер — линков вершин многообразия К. Изучая преобразование С, естественно поставить задачу о его обращении:

Для каких наборов У^ ., У^ ориентированных (п — 1) -мерных комбинаторных сфер существует ориентированное п-мерное комбинаторное многообразие, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором 12,., ?

Этот вопрос является типичным примером часто встречающейся в топологии проблемы характеризации наборов локальных данных, которые могут быть реализованы как локальные инварианты некоторого глобального объекта. Классический пример задачи такого типа — задача характеризации возможных наборов локальных весов действия группы Ър с изолированными неподвижными точками на замкнутом стабильно комплексном многообразии (см., например, [7]). Другим примером такой задачи является задача о соотношениях между классами кобордизмов циклов, реализующих классы Понтрягина стабильно комплексного многообразия, решенная В. М. Бухштабером и А. П. Веселовым [61].

Ввиду наличия групповой структуры в множестве Тп нам будет удобнее работать не с преобразование £, а с преобразованием £7-, сопоставляющим каждому ориентированному тг-мерному комбинаторному многообразию сумму линков его вершин в группе Тп- Задача об обращении преобразования £7- эквивалентна следующему вопросу:

Для каких наборов Ух, У2,., Уи ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер существует ориентированное п-мерное комбинаторное многообразие, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором

Уъ • • • , Ук, ■ • • , —Z2 • • • , —Zl для некоторого набора Zl, Z2,., Z^ ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер?

Несложно показать, что для того, чтобы элемент г) = (У1) + . + (Ук) лежал в образе преобразования £7- необходимо, чтобы он был циклом дифференциала д \Тп -Л Тп-ъ т0 есть, чтобы вершины несвязного объединения □ У2 и . и У к могли быть разбиты на пары так, что линки вершин в каждой паре изоморфны с обращением ориентации.

Основным нашим результатом по задаче об обращении преобразования Ст является явная конструкция, показывающая, что если г} = (Ух) +. + (У/;) — цикл дифференциала д, то для некоторого натурального д элемент 6777 лежит в образе преобразования £7-, то есть существует п-мерное комбинаторное многообразие К, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором

Уь • у > У2' ■ ш ' ' • • • • у ' ^ -^Ь • • • • • • , — я я я

0.3) для некоторого натурального числа д и некоторых ориентированных (п — 1)-МерНЫХ комбинаторных сфер Zl: Z2^. ■ ■ , Zl.

Аналог этого утверждения для кубически клеточных комбинаторных многообразий формулируется следующим образом: при тех же предположениях относительно ориентированных комбинаторных сфер Ух,., У^ существует ориентированное п-мерное кубически клеточное комбинаторное многообразие С^, набор линков вершин которого совпадает с точностью до изоморфизма с набором М я я я для некоторого натурального числа д. Здесь У( — барицентрическое подразделение комбинаторной сферы

Помимо интереса, который эти результаты представляют сами по себе, их важность для нас вызвана тем, что они являются ключевыми для доказательства мультипликативного изоморфизма (0.2), из которого следуют существование и единственность с точностью до кограниц универсальных формул для полиномов от классов Понтрягина.

Наши результаты по задаче о построении триангулированных многообразий с заданными наборами линков вершин находят своё приложение к классической проблеме о реализации циклов, поставленной Н. Стинродом в конце 1940х годов (см. [78]): существуют ли для данного класса (сингулярных) гомологий г Е Нп(Х; Ж) топологического пространства X замкнутое ориентированное многообразие И71 и непрерывное отображение / : И71 —> X, такие что /*[АГ'г] = г? Классическим результатом является следующая теорема Р. Тома.

Теорема (Р.Том [126]). Для каждого натурального числа п существует такое натуральное число к — к(п), что для любого п-мерного целочисленного класса гомологий г е Нп{Х\Щ, класс кг реализуем в виде образа ориентированного замкнутого гладкого многообразия.

В той же работе Р. Том доказал, что все классы гомологий размерностей ^ б реализуемы и построил первый пример 7-мерного целочисленного класса гомологий, не реализуемого по Стинроду. Согласно классической теореме Милнора-Новикова, кольцо комплексных кобордизмов не имеет кручения. Опираясь па этот факт, С. П. Новиков [34] доказал, что, если целочисленные гомологии пространства X не имеют кручения, все классы гомологий пространства X реализуются по Стинроду. Задача о реализации циклов тесно связана с задачей о дифференциалах спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории 80*(-) ориентированных бордизмов. Член Е2 этой спектральной последовательности имеет вид Е2г = а член Е°° присоединён к градуированной группе 80*(Х) ориентированных бордизмов пространства X. Класс г Е Нп(Х;Ж) — реализуем образом гладкого многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов. Аналогично, класс г может быть реализован образом стабильно комплексного многообразия тогда и только тогда, когда он является циклом всех дифференциалов спектральной последовательности Атья-Хирцебруха в теории Ц*(-) унитарных бордизмов. Порядки дифференциалов спектральной последовательности Атья-Хирцебруха были вычислены В. М. Бухштабером [2]. В результате им были получены важные результаты о числах к(п).

Классический подход к проблеме Стинрода о реализации циклов, при помощи которого были получены указанные выше результаты, заключается в её сведении к гомотопической задаче при помощи теоремы трансверсальности Тома и последующего исследования этой гомотопической задачи методами алгебраической топологии. В настоящей работе мы предлагаем новый, комбинаторный подход к проблеме Стинрода, основанный на изучении локальной комбинаторной структуры цикла, представляющего заданный класс гомологий.

Хорошо известно, что всякий целочисленный класс сингулярных гомологий может быть реализован непрерывным образом ориентированного симплициального псевдомногообразия. Поэтому задача о реализации по Стинроду произвольных целочисленных классов гомологий сводится к задаче о реализации фундаментальных классов ориентированных симпли-циальных псевдомногообразий. Для каждого ориентированного симплициального псевдомногообразия Zn мы даём явную комбинаторную конструкцию гладкого многообразия -/Vй и отображения д : —> таких что <?* [А/71] = (/[-£"] для некоторого ненулевого целого числа д.

Некоторые идеи нашего подхода восходят к работе Д. Сулливана [125], в которой был предложен подход к проблеме Стинрода, основанный на разрешении особенностей псевдомногообразий. Пусть Zn — псевдомногообразие, Е С Zn — подмножество, такое что Zn \ Е — гладкое ориентированное многообразие. Разрешение особенностей псевдомногообразия Zn в смысле Сулливана — это отображение / : Л^ —Zn, где Ып — гладкое ориентированное многообразие, такое что ограничение является диффеоморфизмом. В работе [125] Д. Сулливан построил серию геометрических препятствий к существованию разрешения особенностей псевдомногообразия. Эти препятствия дают геометрическую интерпретацию дифференциалов спектральной последовательности Атья— Хирцебруха. Отметим, что исследование задачи о разрешение особенностей Д. Сулливан проводил с помощью теории кобордизмов, то есть по' сути всё равно с помощью сведения к гомотопической задаче и исследования её методами алгебраической топологии. Наш подход заключается втом, чтобы построить отображение д : Ип —» Zn исходя из локальной комбинаторной структуры псевдомногообразия Zn. При этом нам на самом деле не нужно стремиться к тому, чтобы отображение д было разрешением особенностей в смысле Сулливана, а достаточно лишь выполнения условия <7*[-^"п] = для некоторого ненулевого целого числа д.

Наряду с задачей о реализации целочисленных классов гомологий Н. Стинрод ставил и задачу о реализации классов гомологий с коэффициентами в Р- Том [126] доказал, что всякий класс гомологий с коэффициентами в Z2 реализуется образом замкнутого гладкого многообразия.

В 1981 году С. Буонкристиано и Д. Хэкон [64], развивая идеи Сулливана, получили геометрическое доказательство этой теоремы Тома, не использующее результатов алгебраической топологии; тем не менее, их доказательство использует гладкую теорему трансверсальности (причём не один раз, как исходное доказательство Тома, а многократно внутри некоторого итеративного процесса) и не даёт явной комбинаторной конструкции реализующего многообразия. Вопрос о нахождении такой комбинаторной конструкции для реализации циклов по модулю 2 остаётся открытым.

Представляет интерес задача о реализации классов гомологий образами специальных многообразий, имеющих сравнительно простое топологическое строение. Классическим примером является задача о реализации классов гомологий образами сфер, то есть задача об описании образа гомоморфизма Гуревича. Отметим, что при такой постановке аналог теоремы Р. Тома очевидно не верен: существуют целочисленные классы гомологий, для которых никакой кратный им класс гомологий не лежит в образе гомоморфизма Гуревича. В настоящей работе мы решаем задачу о нахождении набора Мп гладких п-мерных многообразий, достаточного для реализации с некоторыми кратностями всех целочисленных п-мерных классов гомологий всех пространств X. Эта задача тесно связана с отношением доминирования ориентированных замкнутых многообразий. Пусть М и N — ориентированные замкнутые многообразия одной размерности. Говорят, что многообразие М доминирует многообразие N и пишут М ^ N^ если существует отображение М —> N ненулевой степени; говорят, что многообразие М виртуально доминирует многообразие И, если некоторое конечнолистное накрытие над М доминирует N. Частичное упорядочение доминирования на множестве гомотопических классов ориентированных многообразий восходит к работам Дж. Милнора и У. Тёрстона [107] и М. Громова [86]. Очевидно, что гомотопический класс п-мерной сферы является наименьшим элементом в множестве гомотопических классов п-мерных ориентированных многообразий относительно рассматриваемого частичного упорядочения. С другой стороны, из того, что М ^ N следует, что числа Бетти многообразия М не меньше соответствующих чисел Бетти многообразия N и группа тгг (М) отображается на подгруппу конечного индекса в 7Г1 (./V), то есть многообразие М устроено «не проще», чем многообразие N. Отсюда следует, что в множестве гомотопических классов п-мериых ориентированных многообразий не может быть наибольшего элемента. В 1989 году Дж. Карлсон и Д. Толедо [67] поставили задачу о нахождении максимального класса многообразий относительно отношения доминирования, то есть такого класса п-мерных ориентированных многообразий, что любое п-мерное ориентированное многообразие доминирует-ся каким-нибудь многообразием из рассматриваемого класса. Естественно, хочется найти по возможности более узкий такой класс. В силу теоремы Тома эта задача полностью эквивалентна сформулированной выше задаче о нахождении класса Л4п. Д. Котщик и К. Лёх [95] высказали интересную гипотезу о том, что в качестве искомого максимального класса можно взять класс всех гиперболических многообразий, то есть многообразий, на которых существует риманова метрика постоянной отрицательной кривизны.

В случае п — 2 отношение доминирования легко полностью описывается. Случай п = 3 довольно хорошо исследован (см. обзор [129]); в частности, доказано [56], что всякое ориентированное 3-мерное многообразие доминируется гиперболическим. Случай п ^ 4 исследован довольно плохо. В основном вопрос о наличии доминирования М ^ N исследовался в двух случаях: когда N высокосвязно [76], [77] и когда N имеет риманову метрику неположительной кривизны (или кусочно евклидову метрику неположительной полиэдральной кривизны в смысле САТ(О)-пространств) [86], [120], [95]. При этом если в первом случае основные методы исследования были алгебротопологическими, то во втором решающую роль играли геометрические методы, основанные, в частности, на теориях симплициалыюго объёма и гармонических отображений. Для многообразий неположительной кривизны практически все результаты были негативными: доказывалось, что при определённых условиях на М и N многообразие М не может доминировать многообразие N. Наиболее интересным результатом в этом направлении является результат Д. Котщика и К. Лёх [95], которые для большого класса многообразий (включающего в себя, в частности, все римановы многообразия строго отрицательной кривизны) доказали невозможность их доминирования никаким произведением двух многообразий положительных размерностей.

До сих пор по сути единственным результатом по задаче об отыскании максимального класса многообразий в смысле отношения доминирования при п ^ 4 являлась конструкция гиперболизации М. Дэвиса и Т. Янушкевича [75]. Эта конструкция позволяет для каждого полиэдра Р строить асферический полиэдр Р и непрерывное отображение Р —¥ Р, индуцирующее эпиморфизм в гомологиях; при этом, если исходный полиэдр Р является многообразием, полиэдр Р оказывается многообразием той же размерности. (Пространство называется асферическим, если оно имеет тип К(7Г, 1) для некоторой группы 7г.) Из конструкции Дэвиса-Янушкевича сразу следует, что в качестве максимального класса многообразий в смысле отношения доминирования можно взять класс всех асферических многообразий. Однако этот класс слишком обширен и естественно представляет интерес задача о его уменьшении.

В центре нашей конструкции находится многообразие Мп изоспек-тральиых вещественных симметрических трёхдиагональных (п+1) х (п+1) матриц, то есть многообразие вещественных симметрических трёхдиагональных матриц с фиксированным простым спектром Ах > А2 > . > Ап+1. (Матрица А = (а^) называется трёхдиагоналъной, если а^ = 0 при \г — j\ > 1.) Многообразие Мп возникает в теории интегрируемых систем при изучении цепочки Тоды (см. [110], [26]). Топологические свойства многообразия Мп были первоначально изучены К.Томеи [128]. Им было построено клеточное разбиение многообразия Мп и, опираясь на результаты М.Дэвиса [71], доказана его асферичность. К.Томеи также доказал, что класс диффеоморфизма многообразия Мп не зависит от чисел Ах, А2,., Ап+1.

В настоящей работе мы доказываем, что в качестве максимального класса п-мерных многообразий в смысле отношения доминирования или, что то же самое, в качестве набора Л4п многообразий, достаточных для реализации всех п-мерных классов гомологий, можно взять набор всевозможных конечнолистных накрытий над многообразием Мп. Для любого класса гомологий г £ Нп{Х\ Щ мы выбираем реализующее его сингулярное ориентированное псевдомногообразие К : —X, после чего строим явно накрытие Мп над многообразием Мп и отображение д : Мп —> X, такие что д*[Мп] = и, значит, (Н о д)*[Мп] = дз для некоторого ненулевого целого числа д.

Отметим одно очень существенное отличие нашей конструкции от конструкции гиперболизации Дэвиса-Янушкевича. В конструкции Дэвиса-Янушкевича асферический полиэдр Р является многообразием только в том случае, когда исходный полиэдр Р являлся многообразием. Наша конструкция даёт асферическое многообразие Мп для любого исходного псевдомногообразия Zn. Мы склеиваем многообразие Мп из специальных простых многогранников — пермутоэдров и именно борьба за то, чтобы получившийся комплекс был многообразием, является наиболее сложным местом нашей конструкции.

Многообразие Мп изоспектральных симметрических трёхдиагональ-ных матриц является важным представителем интересного класса гладких многообразий с действием группы Ъ^, называемых малыми накрытиями. Этот класс многообразий был введён и исследован М. Дэвисом и Т.Янушкевичем в работе [74]. Ранее важные примеры малых накрытий были исследованы в работах [128], [81], [72]. Использование этих результатов играет большую роль в наших конструкциях.

Краткий перечень результатов

Основными результатами настоящей работы являются следующие.

1. Построена теория универсальных локальных формул для рациональных классов Понтрягина комбинаторных многообразий, то есть формул вида

МЮ= Е /((linker)) сг, а€К, dim а=тп—4k где / — функция на множестве классов изоморфизма ориентированных (4А; — 1)-мерных комбинаторных сфер, не зависящая от многообразия К. Построено и изучено дифференциальное кольцо % ориентированных комбинаторных сфер и двойственный ему коцепной комплекс T*(Q) = Hom(7^,Q). Доказано, что функции /, задающие универсальные локальные формулы для полиномов от рациональных классов Понтрягина, суть в точности коциклы комплекса 7~*(Q); при этом функция /, задающая универсальную локальную формулу для любого однородного полинома, существует и единственна с точностью до прибавления кограницы комплекса T*(Q).

2. Доказано, что для любого однородного полинома от рациональных классов Понтрягина существует такая универсальная локальная формула /, что задача о вычислении значения /((L)) по данной комбинаторной сфере L является алгоритмически разрешимой.

3. Решена задача о нахождении явной локальной комбинаторной формулы для первого рационального класса Понтрягина комбинаторных многообразий.

4. Получена нижняя оценка на рост знаменателей локальной формулы / для первого рационального класса Понтрягина: доказано, что для любой универсальной локальной формулы / для первого класса Понтрягина и любого I ^ 12 наименьшее общее кратное знаменателей значений /((L)), где L пробегает множество всех ориентированных комбинаторных сфер с не более, чем I вершинами, делится на наименьшее общее кратное чисел

2,3,.,/ — 3. Доказано, что ни для какого кратного первого класса Понт-рягина не существует целочисленной универсальной локальной формулы.

5. Показано, что рациональные классы Понтрягина блочного расслоения £ над компактным полиэдром Р могут быть комбинаторно вычислены в терминах триангуляции К тотального пространства Е{£) и отображения д : Р —»• гомотопного нулевому сечению, транссимплициально-го к триангуляции К и такого, что замыкания всех компонент связности прообразов открытых симплексов триангуляции К при отображении д являются кусочно линейными шарами.

6. Для компактного полиэдра Р введена абелева полугруппа Т>(Р) классов конкордантности разбиения полиэдра Р на простые клетки. Дана конструкция, сопоставляющая каждому классу стабильной эквивалентности блочных расслоений над полиэдром Р, класс конкордантности разбиений полиэдра Р на простые клетки. Показано, что эта конструкция индуцирует естественный гомоморфизм X : 1(Р) —> Т*(Р), где /(Р) — группа классов стабильной эквивалентности блочных расслоений над Р. Доказано, что отображения рг : /(Р) —> НАг(Р]0), задаваемые рациональными классами Понтрягина блочных расслоений, раскладываются в композицию гомоморфизма X и естественных отображений Т>(Р) —> Н4г(Р;<0>), которые естественно называть рациональными классами Понтрягина разбиений на простые клетки.

7. Найдены явные конструкции, позволяющие по набору ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер Ух, У*?,., У& такому, что вершины несвязного объединения Ух и . и У^ разбиваются на пары с линками вершин в каждой паре изоморфными друг другу с обращением ориентации, строить ориентированное кубически клеточное комбинаторное многообразие С^, набор л инков вершин которого совпадает с точностью до сохраняющего ориентацию изоморфизма с набором и ориентированное симплициальное комбинаторное многообразие К, набор линков вершин которого совпадает с точностью до сохраняющего ориентацию изоморфизма с набором для некоторого натурального числа q и некоторых ориентированных (п — 1)-мерных комбинаторных сфер Zi, Zi,., Z[. Здесь — Zi — комбинаторная сфера Zi с обращённой ориентацией и Y( — первое барицентрическое подразделение комбинаторной сферы Y{.

8. Получены явные описания всех универсальных локальных формул для Z-полиномов Хирцебруха от рациональных классов Понтрягина.

9. Решена задача о прямом комбинаторном построении ориентированного гладкого многообразия, реализующего с некоторой кратностью заданный класс целочисленных гомологий топологического пространства.

10. Решена задача о нахождении класса ЛЛп ориентированных п-мерных гладких замкнутых многообразий, достаточного для реализации с некоторой кратностью любого n-мерного целочисленного класса гомологий любого топологического пространства. Доказано, что в качестве такого класса Мп можно взять класс всех конечнолистпых накрытий над многообразием Мп изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных (n + 1) х (п + 1)-матриц. В частности, доказано, что любое ориенv' v' V v'

1 > • " ' ) 1 1 > 1 2 ) ■ ■ • > 1 9. J • • ' 5 5

• 1 тированное замкнутое п-мерное многообразие виртуально доминируется многообразием Мп.

Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, а главы —на разделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах раздела, а рисунки и уравнения — в пределах главы.

В конце введения мы приводим основные соглашения, которые используются в работе, и список наиболее часто встречающихся обозначений.

1. Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, главы 4-6. М.: Мир, 1972.

2. Бухштабер В.М., Модули дифференциалов спектральной последо-вательсти Атъл-Хирцебруха I, //, Матем. сб., т. 78 (1969), №2, с. 307-320; т. 83 (1970), №1, с. 61-76.

3. Бухштабер В. М., Характеристические классы в кобордизмах и топологические приложения теорий однозначных и двузначных формальных групп, Итоги науки и техн. ВИНИТИ, Соврем, пробл. мат., т. 10 (1978), с. 5-178.

4. Бухштабер В. М., Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, Успехи математических наук, т. 45 (1990), №3, с. 185-186.

5. Бухштабер В.М., Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды МИАН, т. 263 (2008), с. 18-43.

6. Бухштабер В. М., Гайфуллин А. А., Представления т-значных групп на триангуляциях многообразий, Успехи математических наук, т. 61 (2006), №3, с. 171-172.

7. Бухштабер В. М., Новиков С. П., Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб., т. 84 (1971), №1, с. 81-118.

8. Бухштабер В. М., Панов Т.Е., Торические действия в топологии и комбинаторике. М.: МЦНМО, 2004.

9. Бухштабер В.М., Рис Е. Г., Многозначные группы и п-алгебры Хопфа, Успехи математических наук, т. 51 (1996), №4, с. 149-150.

10. Винберг Э.Б., Дискретные линейные группы, порождённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем., т. 35 (1971), №5, с. 1072-1112.

11. Володин И. А., Кузнецов В.Е., Фоменко А. Т., О проблеме алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы, Успехи матем. наук, т. 29 (1974), №5, с. 71-168.

12. Габриэлов А. М., Комбинаторные формулы для классов Понтрягина и GL-инвариантные цепи, Функц. анализ и прил., т. 12 (1978), №2, с. 1-7.

13. Габриэлов A.M., Гельфанд И. М., Лосик М.В., Комбинаторное вычисление характеристических классов, Функц. анализ и прил., т. 9 (1975), №2, с. 12-28, №3, с. 5-26.

14. Габриэлов A.M., Гельфанд И.М., Лосик М.В. Локальная комбинаторная формула для первого класса Понтрягина, Функц. анализ и прил., т. 10 (1976), №1, с. 14-17.

15. Гайфуллин A.A., О локальных формулах для комбинаторных классов Понтрягина многообразий, Успехи математических наук, т. 59 (2004), №2, с. 189-190.

16. Гайфуллин A.A., Локальные формулы для комбинаторных классов Понтрягина, Известия РАН, сер. матем., т. 68 (2004), №5, с. 13-66.

17. Гайфуллин A.A., Вычисление характеристических классов многообразия по его триангуляции, Успехи матем. наук, т. 64 (2005), №4, с. 37-66.

18. Гайфуллин A.A., Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №6, с. 167-168.

19. Гайфуллин A.A., Реализация циклов асферичными многообразиями, Успехи математических наук, т. 63 (2008), №3, с. 173-174.

20. Гайфуллин A.A., Многообразие из о спектральных симметрических трехдиагональных матриц и реализация циклов асферичными многообразиями,, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 263 (2008), с. 44-63.

21. Гайфуллин А. А., Построение комбинаторных многообразий с заданными наборами линков вершин, Известия РАН, сер. матем., т. 72 (2008), №5, с. 3-62.

22. Гайфуллин A.A., Минимальная триангуляция комплексной проективной плоскости, допускающая шахматную раскраску четырехмерных симплексов, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 266 (2009), с. 33-53.

23. Гайфуллин A.A., Пространства конфигураций, бизвёздные преобразования и комбинаторные формулы для первого класса Понтрягина, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 268 (2010), с. 76-93.

24. Гайфуллин А. А., Ягодовский П. В., Об интегрируемости т-значных динамик при помощи однопорождённых т-зиачных групп, Успехи математических наук, т. 62 (2007), №1, с. 201-202.

25. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 3: Теория гомологии, М.: Эдиториал УРСС, 2001.

26. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С. П., Питаевский Л.П., под ред. Новикова С. П., Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

27. Зейфсрт Г., Трельфалль В., Топология. М.-Л.: ГОНТИ, 1938; Ижевск: НИЦ РХД, 2001.

28. Казарян М.Э., Характеристические классы лагранэюевых и лежан-дровых особенностей, Успехи мат. наук, т. 50 (1995), №4, с. 45-70.

29. Казарян М.Э., Характеристическая спектральная последовательность классов особенностей, Дополнение к кн.: Васильев В. А., Лагранжевы и лежандровы характеристические классы, М.: МЦ-НМО, 2000.

30. Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, М.: Мир, 1969.

31. Матвеев C.B., Алгоритмическая топология и классификация трёхмерных многообразий, М.: МЦНМО, 2007.

32. Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, М.: Мир, 1979.

33. Мищенко А. С., Локальная комбинаторная формула Хирцебруха, Труды МИАН, т. 244 (1999), с. 249-263.

34. Новиков С. П., Гомотопические свойства комплексов Тома, Матем. сб., т. 57 (1962), Ж, с. 407-442.

35. Новиков С. П., Топологическая инвариантность рациональных классов Понтрягина, ДАН СССР, т. 163 (1965), №2, с. 298-301.

36. Новиков С. П., О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы), Изв. АН СССР, сер. матем., т. 30 (1966), №1, с. 71-96.

37. Понтрягин JI. С., Характеристические циклы многообразий, ДАН СССР, т. 35, Ш (1942), с. 35-39.

38. Понтрягин JI.C., Некоторые топологические инварианты римано-вых многообразий, ДАН СССР, т. 43, №3 (1944), с. 95-98.

39. Понтрягин JI.C., Характеристические циклы дифференцируемых многообразий, Матем. сб., т. 21(63), №2 (1947), с. 233-284.

40. Понтрягин JI. С., Векторные поля на многообразиях, Матем. сб., т. 24(66), № (1949), с. 129-162.

41. Понтрягин Л. С., Некоторые топологические инварианты замкнутых римановых многообразий, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 13 (1949), №2, с. 125-162.

42. Рохлин В. А., Внутренние гомологии, ДАН СССР, т. 89 (1953), №5, с. 789-792.

43. Рохлин В. А., Шварц А. С., О комбинаторной инвариантности классов Понтрягина, ДАН СССР, т. 114 (1957), №3, с. 490-493.

44. Рурк К., Сандерсон В., Введение в кусочно линейную топологию. М.: Мир, 1974.

45. Сулливан Д., Геометрическая топология, Новокузнецк: ИО НФМИ, 1999.

46. Хирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, М.: Мир, 1973.

47. Ягодовский П. В., Викосетные группы и симметрические графы, Записки науч. сем. ПОМИ, т. 292 (2002), с. 161-174.

48. Adams J.F., A variant of Е.Н. Brown's representability theorem, Topology, v. 10 (1971), p. 185-198.

49. Alexander J.W., The combinatorial theory of complexes, Ann. Math., v. 31 (1930), p. 292-320.

50. Armstrong M.A., Transversality for polyhedra, Ann. of Math., v. 86 (1967), p. 172-191.

51. Armstrong M.A., Zeeman E. C., Transversality for piecewise-linear manifolds, Topology, v. 8 (1967), p. 433-466.

52. Atiyah M.F., Patodi V. K., Singer I. M., Spectral asymmetry and riemannian geometry, Bull. London Math. Soc., v. 5 (1973), №2, p. 229-234.

53. Baas N.A. On bordism theory of manifolds with singularities, Math. Scand., v. 33 (1973), №2, p. 279-302.

54. Bjorner A., Las Vergnas M., Sturmfels B., White N., Ziegler G., Oriented matroids, Encyclopedia Math. Appl., Cambridge Univ. Press, 1992.

55. Bjorner A., Lutz F., Simplicial manifolds, bistellar flips and IQ-vertex triangulation of the Poincare homology S-sphere, Experiment. Math., v. 9 (2000), №2, p. 275-289.

56. Brooks R., On branched coverings of 3-manifolds which fiber over the circle, J. Reine Angew. Math., v. 362 (1985), p. 87-101.

57. Brown E.H., Jr., Cohomology theories, Ann. Math., v. 75 (1962), №3, p. 467-484.

58. Buchstaber V. M., The n-valued groups: theory and applications, Moscow Math. J., v. 6 (2006), №1, p. 57-84.

59. Buchstaber V. M., Rees E.G., Multivalued groups, their representations and Hopf algebras, Transformation Groups, v. 2 (1997), №4, p. 325-349.

60. Buchstaber V. M., Rees E.G., Multivalued groups, n-Hopf algebras and n-ring homomorphisms. In book: Lie Groups and Lie Algebras. Netherlands, Kluwer Academic Publishers, 1998, p. 85-107.

61. Buchstaber V. M., Veselov A. P., On a remarkable functional equation in the theory of generalized Dunkl operators and transformations of elliptic genera, Math. Z. 1996. V. 223. P. 595-607.

62. Buchstaber V. M., Veselov A. P., Jntegrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups, Int. Math. Res. Not., v. 8 (1996), p. 381-400.

63. Buoncristiano S., Dedo M., On resolving singularities and relating bordisms to homology, Annali délia Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4e série, v. 7 (1980), №4, p. 605-624.

64. Buoncristiano S., Hacon D., An elementary geometric proof of two theorems of Thorn, Topology, v. 20 (1981), p. 97-99.

65. Buoncristiano S., Rourke C.P., Sanderson B. J., A Geometric Approach to Homology Theory, London Math. Soc. Lect. Note Ser., v. 18, Cambridge Univ. Press, 1976.

66. Cairnes S.S., Isotopic deformations of geodesic complexes on the 2-sphere and on the plane, Ann. Math., v. 45 (1944), №2, p. 207-217.

67. Carlson J. A., Toledo D., Harmonic mapping of Kdhler manifolds to locally symmetric spaces, Publ. Math. I.H.E.S., v. 69 (1989), p. 173-201.

68. Cheeger J., A combinatorial formula for Stiefel-Whitney classes, Topology of Manifolds. Markham, 1970, p. 470-471.

69. Cheeger J., On the Hodge theory of riemannian pseudomanifolds, Proc. Sympos. Pure Math., v. 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, p. 91-145.

70. Cheeger J., Spectral geometry of singular Riemannian spaces, J. Differential Geom., v. 18 (1983), №4, p. 575-657.

71. Davis M.W., Groups generated by reflections and aspherical manifolds not covered by Euclidean space, Ann. Math. (2), v. 117 (1983), №2, p. 293-324.

72. Davis M.W. Some aspherical manifolds, Duke Math. J., v. 55 (1987), №, p. 105-139.

73. Davis M. W., Nonpositive Curvature and Reflection Groups, in Handbook of Geometric Topology, edited by R. J. Daverman and R. B. Sher, Elsevier Science B.V., 2002, p. 373-422.

74. Davis M. W., Januszkiewicz T., Convex poly topes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., v. 62 (1991), №2, p. 417-451.

75. Davis M.W., Januszkiewicz T., Hyperbolization of polyhedra, J. Diff. Geom., v. 34 (1991), №2, p. 347-388.

76. Duan H., Wang S., The degrees of maps between manifolds, Math. Z., v. 244 (2003), p. 67-89.

77. Duan H., Wang S., Non-zero degree maps between 2n-manifolds, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.), v. 20 (2004), p. 1-14.

78. Eilenberg S., Problems in topology, Ann. Math. (2), v. 50 (1949), p. 246260.

79. Ferri M., Una rappresentazione delle n-varieta topologiche triangolabili mediante graft (n +1)-colorati Boll. Un. Mat. Ital., Ser. 5, v. 13-B (1976), №1, p. 250-260.

80. Ferri M., Gagliardi C., Grasselli L., A graph-theoretical representation of PL-manifolds — A survey on crystallizations, Aequationes Math., v. 31 (1986), №2-3, p. 121-141.

81. Fried D., The cohomology of an isospectral flow, Proc. Amer. Math. Soc., v. 98 (1986), p. 363-368.

82. Furuta M., Homology cobordism group of homology 3-spheres, Invent. Math., v. 100 (1990), p. 339-355.

83. Gelfand I. M., MacPherson R. D., A combinatorial formula for the Pontrjagin classes, Bull. Amer. Math. Soc. 1992. V. 26. № 2. P. 304309.

84. Goldstein R. Z., Turner E. C., A formula for Stiefel-Whitney homologyclasses, Proc. Amer. Math. Soc., v. 58 (1976), p. 339-342.i

85. Goresky M., MacPherson R., Intersection homology theory, Topology, v. 19 (1980), №2, p. 135-162.

86. Gromov M., Volume and bounded cohomology, Publ. Math. I.H.E.S., v. 56 (1982), p. 5-99.

87. Grünbaum B., Sreedharan V.P., An enumeration of simplicial polytopes with 8 vertices, J. Combin. Theory., Ser. A., v. 2 (1967), p. 437465

88. Halperin S., Toledo D., Stiefel-Whitney homology classes, Ann. Math., v. 86 (1972), №3, p. 511-525.

89. Hirsch M.W., On tubular neighbourhoods of manifolds I and II, Proc. Cam. Phil. Soc., v. 62 (1966), 177 and 183.

90. Ho C.-W., On certain homotopy properties of some spaces of linear and piecewise linear homeomorphisms, Trans. Amer. Math. Soc., v. 181 (1973), p. 213-243.

91. Hopf H., Uber die algebraische Anzahl von Fixpunkten, Math. Zeitschr., v. 29 (1929), p. 494-524.

92. Kato M., Combinatorial Prebundles, Part I, Osaka J. Math., v. 4 (1967), p. 289-303.

93. Kato M., Topological resolution of singularities, Topology, v. 12 (1973), №4, p. 355-372.

94. Kazarian M.E., The Chern-Euler Number of Circle Bundle via Singularity Theory, Math. Scand., v. 82 (1998), p. 207-236.

95. Kotschick D., Löh C., Fundamental classes not representable by products, J. London Math. Soc., v. 79 (2009), p. 545-561.

96. Kühnel W., Banchoff T. F., The 9-vertex complex projective plane, Math. Intell., v. 5 (1983), №3, p. 11-22.

97. Kiihncl W., Lassmann G., The unique 3-neighborly 4-manifold with few vertices, J. Combin. Theory., Ser. A., v. 35 (1983), №2, p. 173-184.

98. Levitt N., Rourke C., The existence of combinatorial formulae for characteristic classes, Trans. Amer. Math. Soc., v. 239 (1978), p. 391-397.

99. Lickorish W. B.R., Simplicial moves on complexes and manifolds, Geometry and Topology Monographs, v. 2 (1999), Proceedings of the Kirbyfest, p. 299-320.

100. MacPherson R., The combinatorial formula of Gabrielov; Gelfand and Losik for the first Pontrjagin class, Séminaire Bourbaki No. 497. Lecture Notes in Math. V. 677. Heidelburg: Springer, 1977.

101. Martin N., On the difference between homology and piecewise-linear bundles, J. London Math. Soc., v. 6 (1973), №2, p. 197-204.

102. Maunder C. R. F., On the Pontrjagin classes of homology manifolds, Topology, v. 10 (1971), №2, p. 111-118.

103. Milin L., A combinatorial computation of the first Pontryagin class of the complex projective plane, Geom. Dedicata, v. 49 (1994), p. 253-291.

104. Milnor J., On the cobordism ring and a complex analogue. /, Amer. Math. J., v. 82 (1960), №3, p. 505-521.

105. Milnor J., Topological manifolds and smooth manifolds, Proc. Internat. Congr. Mathematicians (Stockholm, 1962), 1963, pp. 132-138, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm.

106. Milnor J., Microbundles, part /, Topology, v. 3 (1964), suppl. no. 1, p. 53-80.

107. Milnor J.W., Thurston W. P., Characteristic numbers of 3-manifolds, Enseign. Math., v. 23 (1977), p. 249-254.

108. Morlet C-, Les voisinages tubulaires des variétés semiLlinéaires, C. R. Acad. Sei. Paris Sér. A-B, v. 262 (1966), p. A740-A743.

109. Morlet C., Les méthodes de la topologie différentielle dans l'étude des variétés semi-linéaires, Ann. Sei. École Norm. Sup. (4), v. 1 (1968), p. 313-394.

110. Moser J., Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential — an integrable system, Lecture Notes in Physics, v. 38 (1975), Springer-Verlag, p. 467-497.

111. Pachner U., Konstruktionsmethoden und das kombinatorische Homö-omorphieproblem für Triangulationen kompakter semilinearer Mannigfaltigkeiten, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, v. 57 (1987), p. 69-86.

112. Pachner U., P.L. homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, European J. Combin., v. 12 (1991), №2, p. 129-145.

113. Pezzana M., Diagrammi di Heegaard e triangolazione contratta, Boll. Un. Mat. Ital, Ser. 4., v. 12 (1975), Suppl. al №3, p. 98-105.

114. Ranicki A., Sullivan D., A semi-local combinatorial formula for the signature of a 4k-manifold, J. Differential Geom., v. 11 (1976), №1, p. 23-29.

115. Rourke С. P., Sanderson В. J., Block bundles, Bull. Amer. Math. Soc., v. 72 (1966), p. 1036-1039.

116. Rourke C. P., Sanderson D. J., An Embedding Without a Normal Microbundle, Inventiones Math., v. 3 (1967), p. 293-299.

117. Rourke C.P., Sanderson D.J., Block bundles: /, Ann. of Math., v. 87 (1968), p. 1-28.

118. Rourke C.P., Sanderson D. J., Block bundles: II. Transversality, Ann. of Math., v. 87 (1968), p. 255-277.

119. Rourke C. P., Sanderson D.J., Block bundles: III. Homotopy Theory, Ann. of Math., v. 87 (1968).

120. Sampson J.H., Application of harmonic maps to Kähler geometry, Contemp. Math., v. 49 (1986), p. 125-133.

121. Serre J.-P., Groupes d'homotopie et classes des groupes abeliens, Ann. Math., v. 58 (1953), p. 258-294. Русский перевод: Cepp Ж.-П., Группы гомотопий и классы абелевых групп, Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 124-162.

122. Steinitz Е., Rademacher H., Vorlesungen über die Theorie der Polyeder, Berlin: Springer-Verlag, 1934; Reprint: Springer-Verlag, 1976.

123. Stiefel E., Richtungsfelder und Fernparallelismus in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, Comment. Math. Helv., v. 8 (1936), p. 305-353.

124. Sullivan D., On the Hauptvermutung for manifolds, Bull. Amer. Math. Soc., v. 73 (1967), №4, p. 598-600.

125. Sullivan D., Singularities in spaces, Proc. of Liverpool Singularities Symposium II, Lecture notes in Mathematics, v. 209 (1971), p. 196-206.

126. Thom R., Quelques propriétés globales des varietés différentiables, Comm. Math. Helv., v. 28 (1954), p. 17-86. Русский перевод: Том Р., Некоторые свойства «в целом» дифференцируемых многообразий, Расслоенные пространства. М.: ИЛ, 1958, с. 291-348.

127. Thom R., Les classes charactéristiques de Pontrjagin des varietés triangulées, Symposium Internacional de Topología Algebraica. Mexico: La Universidad Nacional Autonoma de Mexico y la Unesco, 1958, p. 54-67.

128. Tomei C., The topology of the isospectral manifold of tridiagonal matrices, Duke Math. J., v. 51 (1984), №4, p. 981-996.

129. Wang S., Non-zero degree maps between S-manifolds, Proc. of the ICM Beijin 2002, vol. II, p. 457-468, Higher Education Press, Beijin, 2002.

130. Whitney H., On the Theory of Sphere Bundles, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 26(1940), №2, p. 148-153.

131. Whitney H., Lectures in Topology, University of Michigan Press, Ann Arbor, Mich., 1941, p. 101-141.

132. Ziegler G. M., Lectures on polytopes, Graduate Texts in Math., v. 152, Springer-Verlag, 1995.