Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.7

Попов Петр Сергеевич

Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических

многообразий.

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и тополонии Механико - математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А. С. Мищенко доктор физико-математических наук, профессор Е. В. Троицкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

П. М. Ахметьев кандидат физико-математических наук, доцент Ф. Ю. Попеленский

Ведущая организация: Математический институт

имени В. А. Стеклова РАН

Захцита диссертации состоится 9 декабря 2005 года в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП - 2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико - математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ) Автореферат разослан 9 ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

2006 ^

М25

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. С каждой эрмитовой формой над комплексным векторным пространством можно связать число, которое равняется разности размерностей положительного и отрицательного подпространств формы. Это число называется сигнатурой формы и не зависит от способа приведения формы к диагональному виду.

В топологии квадратичные формы естественно возникают при изучении групп когомологий многообразия. Взяв два элемента когомологий средней размерности ориентированного, замкнутого многообразия, мы можем рассмотреть их произведение и проинтегрировать его по фундаментальному циклу. В случае, если размерность многообразия делится на 4, квадратичная форма будет обладать свойством эрмитовой симметрии, и для нее возможно » определить сигнатуру.

Такая сигнатура естественно ведет себя по отношению несвязной суммы многообразий (сигнатура суммы равна сумме сигнатур) и по отношению о к декартовому произведению (сигнатура произведения равна произведению

сигнатур). Кроме того, сигнатура является инвариантом ориентированных бордизмов. Подобного рода свойства делают сигнатуру незаменимой при изучении многообразий и для их классификации. ^ Формула Хирцебруха 1 дает способ для вычисления сигнатуры многооб-

разия X в терминах L— рода Хирцебруха. Фундаментальным по важности является результат Тома, который гласит, что рациональные классы Понт-рягина и L— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных под* многообразий. Такого рода взаимосвязь позволила С.П. Новикову 2 решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтряги-на. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор.

Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы в С" алгебре.

На пути построения сигнатурного инварианта в эрмитовой К— теории встает существенное препятствие: группы когомологий для произвольного кольца коэффициентов и произвольного представления фундаментальной

Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry Springer-Verlag, Berlin (1966)

2С.П. Новиков, Гомотопическая инвариантность рациональных классов Понтрягина, Докл. Акад. Наук СССР т. 163, N. 2 (1965)

1 I БИБЛИОТЕКА

группы не обязаны быть проективными модулями. Эта сложность была преодолена А. С. Мищенко в серии работ 3. Построенный Мищенко инвариант оказался полезным в изучении высших сигнатур. Мищенко определил сигнатуру з{дпр(Х) многообразия X для фредгольмова, не обязательно конечномерного представления р фундаментальной группы 7г многообразия. Используя это определение, Мищенко доказал гипотезу Новикова в важных частных случаях. Фредгольмовы операторы, используемые Мищенко, представляет собой хороший пример "бесконечномерного"объекта с "конечномерным" инвариантом — индексом, принадлежащим К— теории.

В настоящей работе рассмотрен другой пример бесконечномерной ситуации, в которой определена корректная конечномерная сигнатура.

Цель работы. Построение категории не обязательно конечнопорожден-ных С*— модулей и их отображений, для которых определена сигнатура как элемент эрмитовой К— теории. Прямое построение сигнатуры топологического многообразия с использованием бесконечнопорожденных модулей цепей и коцепей.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и заключаются в следующем:

1) Для самосопряженных биекций Н фЛ — модулей построен сигнатурный инвариант со значениями в эрмитовой К- теории.

2) Для топологического многообразия и универсального представления фундаментальной группы в групповой С* — алгебре построена сигнатура как элемент эрмитовой эрмитовой К- теории групповой С* алгебры

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть полезны специалистам в области анализа, алгебраической топологии.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

1) Семинаре "Топология и анализ"под руководством проф. А. С. Мищенко.

2) Международной конференции "Топология, анализ и смежные вопросы" (2001 г.)

3

А С Мищенко, Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий 1. Рациональные инварианты Известия АН СССР, Сер.матем т. 34, N. 3 1970, с. 501-514.

А.С Мищенко, Перестройки комплексов Пуанкаре Матем. сб. т. 85, N. 3 1971, сс. 366372.

3) 25 конференции молодых ученых МГУ (2003 г.)

4) Международной конференции "С*- алгебры и эллиптичность", Бедле-во, Польша (2004 г.)

5) Международной конференции "Топология, анализ и приложения в математической физике", Москва, МГУ (2005 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список [1]-[3] которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава не разделена на параграфы, вторая содержит два параграфа и третья - два параграфа. Текст диссертации изложен на 67 страницах. Список литературы содержит 10 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации, и кратко формулируются результаты диссертации.

Глава 1.

В первой главе определяются С* алгебры, дается определение дуального модуля и дуального отображения. С помощью разностной конструкции определяются К— теория и эрмитова К— теория С*— алгебры.

Глава 2.

Во второй главе в первом параграфе определены модули Ли Я.

Пусть А— унитальная С*— алгебра.

Рассмотрим последовательность отображений кп : Ап Ап+1, являющихся вложением на первые п базисных векторов (базис переходит в базис). Свяжем с данной последовательностью прямой предел спектра

/1 = Ит(А")Лп). (1)

Это множество снабдим естественной структурой топологического С* — модуля.

Рассмотрим последовательность модулей дуальных модулей. Свяжем с построенной последовательностью обратный предел спектра

Я = 1ш1(УГ+1, К), К : Ап+1 Ап. (2)

Снабдим это множествно естественной структурой топологического С*— модуля.

Доказано (Замечание 2), что построенные модули являются взаимно дуальными как банаховы С* — модули, дана характеризация (Замечание 3) линейных отображений а € Нотп(Н,Н).

Доказано (Теорема 1), что если модуль £ не является подмодулем Л конечного типа, то дуальный модуль £* не является конечно- или счетнопорож-денным над алгеброй А.

Во втором параграфе доказано следующее утверждение (Теорема 2):

Пусть отображение

a:H®j-^{H<&jУ=h®J (3)

является линейной непрерывной самосопряженной биекцией. В данных обозначениях модуль j изоморфен модулю Л, а модуль 7 изоморфен модулю Я. Однако, мы не фиксируем этот изоморфизм.

Тогда для отображения а существуют взаимно дуальные расщепления '

Н®] = Нх®ф®зи (4) ;

I

{Н(ВзУ = Щ®Г®Ц (5) '

в которых матричная запись оператора а имеет вид:

( 0 0 0 )

<*={ О О! ? (6) ,

[Р ? 1 \

Назовем сигнатурой отображения а класс самосопряженной биекции ах между проективными модулями конечного типа в эрмитовой К— теории.

Доказано (Теорема 3), что класс элемента а\ не зависит от произвола в построениях. Кроме того, построенная сигнатура обладает естественным свойством аддитивности и не зависимости от прибавления гиперболического слагаемого.

Глава 3.

В первом параграфе третьей главы дано (определение 1) топологического многообразия.

Приведена конструкция дифференциального комплекса сингулярных цепей ,(Х, С*(я-)) многообразия X с коэффициентами в локальной системе, порожденной естественным представлением фундаментальной группы многообразия в ее групповой С* — алгебре.

Для сингулярных цепей доказано свойство расщепления (Лемма 1) и с его помощью доказана аксиома вырезания (Теорема 4).

Излагаемый материал является классическим, однако в литературе нет полного изложения теории в нужном виде.

Свойство ориентированности многообразия сформулировано в следующем виде (Определение 2):

Скажем, что замкнутое п— мерное многообразие X является ориентированным, если существует элемент [X] € Нп(Х, И) такой, что его ограничение на Нп(Х, Х—х, И) является образующей группы гомологий Нп(Х, Х—х, Я) = II для любой точки х £ X. Элемент [X], обладающий данным свойством, называется фундаментальным классом многообразия, а представляющую его цепь — фундаментальным циклом.

Основной результат данного параграфа - следующее утверждение (Теорема 5):

Пусть X - замкнутое ориентированное п— мерное многообразие. Тогда операция пересечения с фундаментальным циклом индуцирует изоморфизм в гомологиях

В[х] : Н\Х,С*(ж)) С»), Бт(а) = [Х\Па (7)

для всех г.

Для открытых подмножеств многообразия определяются сингулярные ко-гомологии с компактными носителем.

Доказательство теоремы использует два факта - согласованность двойственности Пуанкаре для открытых подмножеств с операцией перехода к пределу и согласованность двойственности Пуанкаре с точной последовательностью Майера-Виеториса.

Индуктивно утверждение теоремы доказывается последовательно для конечного объединения выпуклых подмножеств координатной окрестности, для произвольных открытых подмножеств координатной окрестности, для конечных объекдинений таких подмножеств и, наконец, для самого многообразия.

В литературе доказательство в нужной нам форме (локальная система коэффициентов для сингулярных цепей) не приводилось.

В следующем, втором параграфе дано определение категории сингулярных комплексов Пуанкаре:

Рассмотрим комплекс Л—модулей С, = {С,, Si,i — 0,.., оо}, свободных над алгеброй А и дуальный к нему комплекс С* = {С, <5*}, где С™ = Нотд(С„ А) = С,*,8х — 8*. Мощность базиса в свободных модулях С, для нас непринципиальна. Заметим, что комплекс С, бесконечен вправо, поскольку мы хотим имитировать комплекс сингулярных цепей. В этом комплексе для любого топологического пространства модули с произвольным неотрицательным индексом г нетривиальны.

Скажем, что задан сингулярный комплекс Пуанкаре размерности п, если задан набор гомоморфизмов Д : С"-' -> С; :

О Со £ Сг

"Г Т А) I Д

^ С" £ с-1 ^...

...V С„_х $=- Сп V1 С„+1Р0Л?±2

ТД-1 ТАг Т (8)

С1 С0 0,

обладающий следующими свойствами:

1) Образ каждого гомоморфизма Д лежит в конечномерном координатном подмодуле модуля С<.

2) Выполнены соотношения (супер-)коммутативности

¿<Д = (-1)'А_к5п-+1 (9)

и самосопряженности

д = (10)

3) Индуцированные отображения модулей гомологий Д : Н{С*) —Н(С,) являются изоморфизмами.

Также дано определение пары сингулярных комплексов Пуанкаре:

В0 Вх

П П

0 4- Со С\

Т Т А>

Тс«« ^ с"1 'Г с»1

В„ Д,+1 Вп+2 вп+3

п п п п

Сп 'П1 Сп+1 V2 Сп+2(Х)^3 Сп+г(Х)5& (Н) т Д IД+1 I

с1 С7° •<- о,

Здесь В. - свободный подкомплекс С», выделяющийся прямым слагаемым. Градуировка оператора двойственности Пуанкаре Д равна п +1 и выполнены следующие соотношения:

1) Образ каждого гомоморфизма Д лежит в конечномерном координатном подмодуле модуля С,.

2) Выполнены соотношения (супер-)коммутативности по модулю подкомплекса В

5, Д = (-^'Д-кГ-^тойВ, (12)

и самосопряженности

в. = (13)

3) Индуцированные отображения гомологий Д : Н(С') —> Я(С„/В,) являются изоморфизмами.

По заданной сингулярной паре комплексов Пуанкаре {„, В,, 8,О} степени п + 1 строится (Конструкция 5) сингулярный комплекс Пуанкаре {В., 8, Е} степени п, который назовем границей пары.

Для сингулярного комплекса Пуанкаре с = {С,, <5„, Д } построим сингулярный комплекс Пуанкаре с "обращенной ориентацией"—с = {С,,6„ —О,}, умножив оператор двойственности на минус единицу.

Для сингулярных комплексов Пуанкаре с = {С„ б„ Д} и с! — {С^, 8[, Д} одной и той же размерности построим третий комплекс с и с* = {С, ф СЦ, 8, © 8',, Д ф Д}, который назовем прямой суммой.

Назовем сингулярные комплексы Пуанкаре с и с* размерности п бордант-ными, если существует сингулярная пара Пуанкаре размерности п +1 такая, что ее граница (в смысле конструкции 5) равна с и —с*.

Доказано (Теорема 6), что отношение бордантности на категории сингулярных комплексов Пуанкаре является отношением эквивалентности.

Доказано (Теорема 7), что комплекс бордантен себе и что гомотопически эквивалентные комплексы Пуанкаре бордантны.

Для комплексов Пуанкаре приведены две процедуры перестройки (Вес-конечномерная перестройка, параграф 3.2.1 и Конечномерная перестройка, параграф 3.2.2). Перестройка состоит в замене комплекса на бордантный ему.

Доказано (Теорема 9), что любой сингулярный комплекс Пуанкаре размерности 4к бордантен такому сингулярному комплексу Пуанкаре размерности 4к, у которого двойственность Пуанкаре ненулевая только в члене размерности 2к. Такой комплекс корректно (т.е независимо от способа приведения) определяет элемент эрмитовой К—теории.

Автор приносит огромную благодарность своим научным руководителям профессору Е. В. Троицкому за внимание к работе, профессору А. С. Мищенко за постановку задачи и ценные обсуждения.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

П.С. Попов, Сигнатура бесконечномерных отображений, Труды 25 конференции молодых ученых МГУ (2003), Москва, МГУ сс 52-54.

П.С. Попов, Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий, Тезисы международной конференции "Топология, анализ и приложения в математической физике". (2005), Москва, сс 15-16.

A.S. Mishchenko, P.S. Popov, On Construction of Signature of Quadratic Forms on Infinite-Dimensional Abstract Spaces Georgian Math. J 9 Vol. 9, No. 4 (2002), pp. 775-785.

Теорема 1. принадлежит П. С. Попову, Теорема 2 принадлежит А. С. Мишенко.

!

í

I

1

i

í »

Г

í

í ?

f I

!

СЬООбв

р- 1195

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 0?. ({. ОЬ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж/^эю. Заказ 35"

Введение

1 С*- алгебры.

2 Сигнатура абстрактных С*—модулей.

2.1 Категория модулей и отображений.

2.2 Определение сигнатуры.

3 Сигнатура топологических многообразий. ф 3.1 Двойственность Пуанкаре в когомологиях с коэффициентами.

3.1.1 Топологические многообразия и гомологии с коэффициентам

3.1.2 Гомологии с компактным носителем

3.1.3 Доказательство основной теоремы.

3.2 Категория сингулярных комплексов Пуанкаре.

3.2.1 Бесконечномерная перестройка.

3.2.2 Конечномерная перестройка.

3.2.3 Определение сигнатуры.

Известно, что с каждой эрмитовой формой над комплексным векторным пространством можно связать число, которое равняется разности размерностей положительного и отрицательного подпространств формы в каком-то разложении исходного пространства. Это число называется сигнатурой формы и не зависит от способа приведения формы к диагональному виду.

В топологии квадратичные формы естественно возникают при изучении групп когомологий многообразия. Взяв два элемента когомоло-гий средней размерности ориентированного, замкнутого многообразия, мы можем рассмотреть их произведение и проинтегрировать его по фундаментальному циклу. В случае, если размерность многообразия делится на 4, полученная квадратичная форма будет обладать свойством эрмитовой симметрии, и для нее возможно определить сигнатуру.

Такая сигнатура естественно ведет себя по отношению несвязной суммы многообразий (сигнатура суммы равна сумме сигнатур) и по отношению к декартовому произведению (сигнатура произведения равна произведению сигнатур). Кроме того, сигнатура является инвариантом ориентированных бордизмов, то есть сигнатура многообразия, являющегося краем, равна нулю. Подобного рода свойства делают сигнатуру незаменимой при изучении многообразий и для их классификации.

Формула Хирцебруха [3] дает способ для вычисления сигнатуры многообразия А" в терминах L— рода Хирцебруха: sign(X) =< L(A"), [Ar] > .

Фундаментальным по важности является результат Тома, использующий формулу Хирцебруха. Результат гласит, что рациональные классы Понтрягина и L— род Хирцебруха определяются сигнатурами специальных подмногообразий (то есть 4п-мерных подмногообразий с тривиальным ненормальным расслоением). Такого рода взаимосвязь позволила С.П. Новикову [9] решить проблему топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина, сведя задачу к анализу сигнатур специальных подмногообразий. В работах Новикова возникла проблема гомотопической инвариантности высших сигнатур. Предполагается, что для любого класса а когомологий классифицирующего пространства В„ фундаментальной группы ж выражение

Ь(Х)ф*а,[Х]> является гомотопическим инвариантом, здесь ф : X —> Вп является классифицирующим отображением многообразия.

Эта проблема по праву считается одной из важнейших проблем современной математики и в полной мере не решена до сих пор. Вернемся к ней позже, а сейчас о возможных обобщениях сигнатурных инвариантов многообразий.

Естественное желание состоит в построении сигнатурных инвариантов для неодносвязных многообразий с нетривиальной системой коэффициентов, заданной представлением фундаментальной группы. Если мы возьмем в качестве кольца коэффициентов комплексные числа и рассмотрим какое-то представление фундаментальной группы в комплексных числах, то по-прежнему на когомологиях средней размерности будет существовать невырожденная эрмитова форма. Однако, мы не получим никакой дополнительной информации о многообразии, так как сигнатура полученной формы будет совпадать с сигнатурой исходного многообразия.

Для получения новых инвариантов необходимо использовать системы коэффициентов, порожденные представлением фундаментальной группы многообразия в каком-то инволютивном кольце с единицей. В качестве инварианта должен служить свободный (или всего лишь проективный) модуль с заданной на нем эрмитовой формой (или, иначе, биективное линейное отображение из исходного модуля в модуль антилинейных функционалов на нем). Разумно рассматривать такие модули с точностью до прибавления гиперболического прямого слагаемого, то есть как элементы эрмитовой К— теории.

На пути построения сигнатурного инварианта в эрмитовой К— теории встает существенное препятствие: группы когомологий для произвольного кольца коэффициентов и произвольного представления фундаментальной группы не обязаны быть проективными модулями. Эта сложность была преодолена А. С. Мищенко в серии работ [4],[5]. А. С. Мищенко рассматривал комбинаторное многообразие. Группы симпли-циальных цепей и коцепей многообразия свободны и конечнопорожде-ны, двойственность Пуанкаре, которая реализуется оператором пересечения коцепей с фундаментальным циклом многообразия, действует из градуированного модуля симплициальных коцепей в симплициаль-ные цепи, индуцируя изоморфизм в гомологиях. Полученный комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре, его квадраты коммутируют с точностью до знака, а при надлежащем выборе фундаментального цикла комплекс является самосопряженным. С помощью алгебраической хирургии - последовательных перестроек комплекса, Мищенко удалось получить комплекс длины единица, то есть модуль с заданной на нем невырожденной эрмитовой формой.

Построенный Мищенко инвариант оказался полезным в изучении высших сигнатур. Мищенко определил [6],[7] сигнатуру sign (X) многообразия X для фредгольмова, не обязательно конечномерного представления р фундаментальной группы ж многообразия. Им была доказана обобщенная формула Хирцебруха sign{X) =< L{X)6*ch[X] >, р где - некоторое расслоение над классифицирующим пространством. Эта формула описывает все гомотопически инвариантые высшие сигнатуры. Мищенко удалось для некоторых групп реализовать все классы когомологий классифицирующего пространства как ch£p. Таким образом Мищенко доказал таким образом гипотезу Новикова в важных частных случаях. Фредгольмовы операторы, используемые Мищенко, представляет собой хороший пример "бесконечномерного" объекта с "конечномерным" инвариантом — индексом, принадлежащим К— теории.

В настоящей работе рассмотрен другой пример бесконечномерной ситуации, в которой определена корректная конечномерная сигнатура [8],[10].

Обычным является рассмотрение модулей над алгеброй, которые являются аналогом гильбертова пространства над комплексными числами. То есть модулей с внутренним А— значным скалярным произведением, удовлетворяющим обычным условиям линейности, эрмитовой симметрии и неотрицательной определенности. Однако же, исследуемые в данной работе модули не несут никакой гильбертовой структуры. Рассмотрим прямой предел h последовательности конечномерных свободных А— модулей растущей размерности и отображений, которые порождаются отображением базиса в базис.

Иными словами, h — это свободный модуль над алгеброй со счетным числом образующих. Снабдим этот модуль топологией прямого предела и рассмотрим модуль Я линейных непрерывных функционалов на нем. Модуль Я несет естественную структуру обратного предела свободных модулей и естественную топологию обратного предела. Доказано, что модули h и Я являются взаимно дуальными.

Сигнатура определяется для самосопряженного непрерывного линейного биективного отображения а : Я е j (Я е зУ = h е J, где модуль Я изоморфен J, a h изоморфен j. Однако, изоморфизм не фиксирован, и для обозначения изоморфных модулей выбраны разные символы.

Для отображения а оказывается возможно корректно определить сигнатуру как элемент эрмитовой К— теории. Ключевым соображением, которое позволяет определить такую сигнатуру, является тот факт, что любое непрерывное линейное отображение из модуля Я в модуль h является отображением в конечномерную часть. Это соображение позволяет построить такое разложение пространства Н ® j в прямую сумму, что матрица оператора а имеет почти гиперболический вид

0 0/3' О а' * , Р* * * где оператор а' действует из конечнопорожденного проективного модуля в дуальный. Определим сигнатуру исходного оператора как сигнатуру а'. Доказано, что произвол в конструкции не влияет на класс элемента в эрмитовой К— теории.

Если многообразие триангулировано, то конструкция Мищенко позволяет построить сигнатуру многообразия. Однако, для топологического многообразия возможность триангуляции неизвестна. Все известные конструкции: гомологии Чеха, сингулярные гомологии, точечные гомологии Александера-Спеньера, применимые в топологическом случае, приводят к появлению бесконечнопорожденных групп цепей и коцепей. Здесь для прямого определения сигнатуры топологического многообразия в терминах исходных групп цепей и коцепей мы вынуждены работать с бесконечномерными модулями. Результат существования сигнатурного инварианта в бесконечномерном случае дает надежду на возможность построения сигнатуры топологического многообразия с системой коэффициентов, порожденной представлением фундаментальной группы.

Как известно, группы гомологий ориентированного, замкнутого топологического многообразия с тривиальной системой коэффициентов в комплексных числах являются конечнопорожденными (см. [1]). В топологическом случае, как и в триангулируемом, возможно рассмотреть билинейную форму на когомологиях средней размерности и определить целое число, ее сигнатуру.

Однако, для нетривиальной системы коэффициентов в топологическом случае существование сигнатуры было неизвестным по уже указанной причине — группы гомологий и когомологий не являются, вообще говоря, проективными модулями. Определение сигнатуры в этом случае весьма желательно, так как оно позволяет написать обощенную формулу Хирцебруха в топологическом случае.

В работе такая сигнатура построена. Для ее построения пришлось, во-первых, модифицировать конструкции Спеньера [] для сингулярных гомологий. Рассматривается комплекс сингулярных цепей и коцепей с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре.

Доказано, что двойственность Пуанкаре, реализованная оператором пересечения со специально выбранным представителем фундаментального класса, индуцирует изоморфизм когомологий и гомологий. Кроме того, сингулярный алгебраический комплекс Пуанкаре обладает обычными свойствами самосопряженности и (анти)коммутативности квадратов.

Полученный комплекс бесконечен вправо и влево, группы сингулярных цепей свободны, но имеют континуальную размерность. Размерность дуальных групп коцепей превосходит континуум. Однако известно, что образ гомоморфизма двойственности Пуанкаре является конечномерным. Это позволяет, используя хирургию, аналогичную хирургии Митденко в конечномерном случае, редуцировать комплекс до комплекса с единственным нетривиальным отображением двойственности. Для такого комплекса определяется сигнатура как элемент эрмитовой К— теории групповой С*— алгебры.

Работа состоит из трех частей. В первой, вводной главе, дан обзор С*— алгебр, гильбертовых модулей над ними, эрмитовой К— теории (теории квадратичных форм) и обычной К— теории (теории проективных модулей). Кратко описана связь этих двух теорий.

Во второй части определяется сигнатура абстрактных самосопряженных отображений в специальной бесконечномерной категории, которая была кратко описана выше.

В третьей, заключительной части, определяются сингулярные цепи и коцепи с коэффициентами, порожденными представлением фундаментальной группы в собственной групповой алгебре. Исследуются свойства гомоморфизма двойственности Пуанкаре, определяются сингулярные алгебраические комплексы Пуанкаре. Для таких комплексов построена сигнатура.

Автор выражает благодарность проф. А. С. Мищенко за постановку задачи и ценные обсуждения и проф. Е. В. Троицкому.

1. Edwin Н. Spanier, Algebraic Topology New York, (1966).

2. M. Gromov, Positive curvature, macroscopic dimension, spectral gaps and higher signatures, Functional Anal, on the Eve of the 21st Century, v. II. Progress in Math., Basel-Boston: Birkhauser, Vol. 132, (1995).

3. F. Hirzebruch, Topological Methods in Algebraic Geometry Springer-Verlag, Berlin (1966).

4. A.C. Мищенко, Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий 1. Рациональные инварианты Известия АН СССР, Сер.матем т. 34, N. 3 1970, с. 501-514.

5. А.С. Мищенко, Перестройки комплексов Пуанкаре Матем. сб. т. 85, N. 3 1971, сс. 366-372.

6. А.С. Мищенко, Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры Изв. АН СССР, сер. матем. т. 38, N. 1 1974

7. А.С. Мищенко, Формула Хирцебруха: 45 лет истории и современное состояние Алгебра и анализ т. 12, N. 4 (2000), сс. 16-35.

8. A.S. Mishchenko, P.S. Popov, On Construction of Signature of Quadratic Forms on Infinite-Dimensional Abstract Spaces Georgian Math. J 9 Vol. 9, No. 4 (2002), pp. 775-785.

9. С.П. Новиков, Гомотопическая инвариантность рациональных классов Понтрягина, Докл. Акад. Наук СССР т. 163, N. 2 (1965), сс. 298-300.

10. П.С. Попов, Сигнатура бесконечномерных отображений, Труды 25 конференции молодых ученых МГУ (2003), сс 52-54.

11. П.С. Попов, Алгебраическая конструкция сигнатуры топологических многообразий, Тезисы международной конференции "Топология, анализ и приложения в математической физике", посвященной памяти профессора Ю. П. Соловьева. (2005), сс 15-16.