Локальный метод и многообразия топологических алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Академия наук Белорусской ССР /■ ^

ИНСТИТУТ МТЕМАТИКИ

л/1

г

На правах рукописи

ПРОТАСОВ Игорь Владимирович

УДК 512.546

ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД И Ш0Г00БРАЗШ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ АЛГЕБР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание■учёной степени доктора физико-математических наук

¡¿Жи.а С^ЩЧ Л Х 9 7-

Минск - 1990

Работа выполнена на кафедре математических основ кибернетики Киевского государственного университета им.Т.Г.Шевченко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент АН МССР АРНАУТОВ Владимир Иванович

доктор физико-математических наук,профессор АРХАНГЕЛЬСКИЙ Александр Владимирович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН БССР ШЕМЕТКОВ Леонид Александрович

З-здущее учреждение - Институт математики и механики Уральского отделения Ail СССР

Защита состоится "_" _19_г. в_часов

на заседании специализированного совета Д 006.19.01 при Институте математики АН БССР по адресу: 220604, Минск, ул.Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться.в библиотеке Института математик: АН БССР

Автореферат разослан "_" __ 19_г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Янчевский

Актуальность темы. Теория двойственности Л.С.Понтрягина и тз-оркя локально евклидовых групп, возникшая при решении пятой проблемы Д.Гильберта, позволили развить з теории топологических групп направление, называемое алгебраическим. Благодаря введению разумных аналогов понятий и конструкций дискретных групп с их дальнейшим изучением появились такие разделы как силовская теория (А.Г.Курош, В.П.Платонов), свободные топологические группы (А.А.Марков, М.И.Гра-ев), обобщенные нильпотентные топологические группы (В.М.Глушков, В.П.Платонов), группы с условиями минимальности и максимальности для замкнутых подгрупп (В.М.Глушков, В.С.Чарин), группы конечного специального ранга, РС- и слойно компактные группы (В.С.Чарин, В.И.Ушаков, В.М.Полецких), решеточная теория (Ю.Н.Мухин),

Одной из центральных в этом направлении была, поставленная в 1965г., проблема В.П.Платонова о непростоте в топологическом смысле локально компактной локально нильпотентной группы, отличной от циклической простого порядка. Как известно, в дискретном случае ее ре-шениь вытекает из общей локальной теоремы А.И.Мальцева. Таким образом, проблема В.П.Платонова, а также некоторые другие задачи теории топологических групп, указывали на необходимость развития локального метода в топологической алгебре.

По существу решающую роль в доказательстве локальных теорем для топологических групп сыграла некоторая топологизацкя пространства всех замкнутых подгрупп группы 0- . Идея топологи-зации пространства <£((*) , вообще говоря, не нова. Еще в 1932 г. А.Н.Колмогоров ввел для описания непрерывных проективных геометрий некоторую топологию на множестве всех подпространств конечномерного векторного пространства над локально компактным телом. В работах К.Малера по геометрии чисел введена сходимость на множестве решеток, т.е. дискретных подгрупп ранга п> из . Полученный К.Малером критерий компактности подмножества решеток был положен

в основу метода нахождения критических решеток и критических определителей звездных тел. К.Иаботи распространил сходимость К.Малера на случай замкнутых подгрупп локально -компактной группы. При изучении решеточных изоморфизмов локально компактной абелевой группы М.И.Граеву понадобилась топология на множестве дискретных свободных циклических подгрупп. Таким образом, топологизированное пространство оССб) несет весьма существенную информацию о самой группе 0- , а поэтому представляется достаточно естественной задача систематического изучения взаимосвязей между строением & и л

Локальная теорема А.И.дЧальцева для алгебраических систем формулируется на языке исчисления предикатов. Простейшими аксиоматизируемыми на этом языке классами являются многообразия, т.е. классы алгебр, которые задаются тождествами. Многообразия весьма совершенны в том отношении, что согласно теореме Г.Биркгофа, представляют собой в точности классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений. Если обратиться к топологическим алгебрам, то легко заметить, что 1лас-сические тождества не улавливают особенностей их топологического строения. Поэтому при построении теории многообразий топологических алгебр естественно возникает необходимость в подходящем обобщении понятия тождества. Первую попытку построить такую теорию предпринял У.Тейлор. Однако выразительные возможности предельных тождеств У.Тейлора оказались ограниченными: любые неодноэлементные топологические пространства неразличимы по У.Тейлору. К необходимости в адекватном понятии тождества приводит и стремление объединить такие разрозненные свободные конструкции как Стоун-Чеховская компактпфикация, свободная проконечная группа, свободная топологическая группа А.А.Маркова и др.

Цель работа - развить локальный метод для топологических алгебр и применить его к решению ряда известных проблем теории топологических груш, всесторонне изучить строение топологиэнро-ванного пространства о^Сй-) замкнутых подгрупп топологической группы б- , ввести подходящее понятие тождества топологических ач-гебр и построить соответствующую теорию многообразий.

Методика исследования. Использовались методы, конструкции и результаты из топологии, теории групп и алгебраических систем, комбинаторики.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Разработан локальный метод для топологических алгебраических систем, обобщающий локальный метод А.И.Мальцева. В качестве одного из следствий доказана неяростота в топологическом смысле локально нильпотентной группы, отличной от циклической простого порядка. Предложена общая схема топологизации пространства с£(Сг) замкнутых подгрупп топологической группы 0- . Изучено строение пространства <£(£) , снабженного топологией Вьеториса, в связи со строением топологической группы б- .На основе алгебры фильтров введено понятие тождества топологических алгебр, доказан аналог теоремы Г.Биркгофа, дана классификация и характериэеция многообразий по виду тождеств, изучен ряд конкретных многообразий топологических пространств и топологических групп.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в исследовании строения топологических групп и пространств их замкнутых подгрупп, а также многообразий топологических алгебр различной сигнатуры.

Аппробация работы. Результаты диссертации излагались в докладах и сообщениях автора на 15 - 18 Всесоюзных алгебраических конференциях, 6-9 Всесоюзных симпозиумах по теории групп, науино-

исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, Минском городском семинаре "Алгебра и топология", общемосковском топологическом семинаре, семинаре "Алгебра и логика" в Институте математики СО АН СССР, алгебраическом семинаре в Институте математики с ВЦ АН МССР, семинарах по топологической алгебре в Московском и Киевском университетах, семинаре по теории групп в Институте математики АН УССР.

Публикации. Содержащиеся в диссертации результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце реферата, а также с ряде тезисов конференций и симпозиумов, содержание которых покрывается этими публикациями.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, указателя обозначений и определений, списка цитируемой литературы. Объем работа - 210 страниц машинописного текста.

Краткое содержание диссертации. Первая глава "Локальный метод в топологической алгебре" начинается с определения топологической алгебраической системы как топологического пространства, на котором определен некоторый набор непрерывных операций и замкнутых предикатов. Для изучения привлекается язык исчисления предикатов, обсуждаются возможности аксиоматизации и формулируется основная iajza.ua главы - найти признаки локальности, предложения исчисления предикатов относительно заданного класса топологических алгебра-, ических систем.

Второй параграф технический - на множестве ^-(Х) всех замкнутых подмножеств топологического пространства X вводится 5 -сходимость. По определению направленность { } ; й е замкнутых подмножеств из X 5-сходится к замкнутому подмножеству . р , если

I) для любого элемента £ £ Р и лвбой его окрестности % найдется такой индекс р с Л , что А ТА ^^ для всех

2) для любого элемента % / найдутся такие окрестность 1/ и индекс у , что Р^ Л 1Г = ф для всех Ы > %

Б -сходимость однозначно определяет - Б -топологию на пространстве Ях) . Доказывается компактность пространства У(Х) для любого топологического пространства X , приводятся достаточные признаки сходимости в Б -топологии, изучается взаимосвязь между топологическими свойствами пространств X и 3*(Х) .

Ключевым в первой главе является понятие 5 -устойчивости формулы исчисления предикатов, которое вводится в третьем параграфе. Замкнутые л.-арные отнояения на носителе А топологической алгебраической системы ОС естественно считать элементами пространства У^(А^), поэт ому можно говорить об 8 -сходимости налравленностей замкнутых отношений. Условкнся также считать, что направленность замкнутых подсистем из (К

Б -сходится к подсистеме ОС' , если направленность {А^} носителей этих подсистем Б -сходится к носителю А подсистемы

ОЙ . Пусть формула Ч> ( Х^..., гIV) • гДе

- предметные переменные, - предикатные переменные,

выполняется в на последовательности , К ^ .

Предположим, что направленности элементов {(¿^},..., схо-

дятся к элементам &1>...,а,1% соответственно, а направленности )[ И замкнутых отношений 8-сходятся соответственно к замкнутым отношениям Кщ . Нетрудно проверить, что

А , > К ^ - замкнутые отношения на А .

Формула V называется 6 -устойчивой в С'С на направленности [ } , если

т, 1 . Если

формула ¥ 5 -устойчива на любой ё-сходящейся направленности подсистем из ОС , то ^ называется 5 -устойчивой в !К . Короче говоря, формула называется б -устойчивой, если ее истинность сохраняется при предельном переходе. Получены дос-

таточные синтаксические признаки 5 -устойчивости формул в различных топологических алгебраических-системах (теоремы ЗЛО, З.П, 3.12).

В четвертом параграфе доказана общая локальная теорема для топологических алгебраических систем. Семейство [ (К^ , и € J\ подсистем из 01 называется б -покрытием, если для любого конечного набора . ^л, открытых множеств из Л най-

дется такой индекс о( £ J , что А^П Л^Л

Стандартное понятие локального покрытия - частный случай Э -покрытия. Доказано (теорема 4.2), что если Б-устойчивое в предложение истинно на всех подсистемах из некоторого Б -покрытия ОС , то f истинно и на Й . Используя результаты предыдущего параграфа, из этой теоремы извлекаем, в частности, локальную теорему А.И.Мальцева для квазиуниверсальных классов дискретных алгебраических систем.

Приложения локальной теоремы к топологическим группам рассматриваются в последнем пятом параграфе первой главы. По аналогии с дискретным случаем вводятся классы Куроша-Черникова обобщенных нильпотентных и обобщенных разрепимых топологических груш

К/У, Щ, , 2 , 2 , N . Аксиоматизация этих классов осуществляется путем перехода к пространствам замкнутых подгрупп и этим существенно отличается от мальцевской.

Теорема (5.2). Если локально компактная группа до- . пускает 5-покрытие замкнутыми КЬ1~, /?Г~ либо 2 - подгруппами, то она является соответственно , Я1~ либо 2 -группой.

Отсюда следует, что локально компактная локально н,ильпатент-ная группа имеет достаточно богатую систему замкнутых нормальных делителей - ответ на вопрос В.П.Платонова. Коммутант такой группы содержится в подгруппе Фраттини - обобщение теоремы Маклейна и

ответ на вопрос Ю.Н.Мухина. Условия минимальности для замкнутых подгрупп и замкнутых нормальных делителей локально компактной локально нильпотентной группы равносильны — ответ на вопрос В.С.Чарина.

Вторая глава диссертационной работы "Пространства подгрупп топологических групп" посвящена, в основном, изучен:зо взаимосвязей между строением топологической группы Сг и топологическими свойствами пространства всех ее замкнутых подгрупп, снабженного топологией Вьетсриса. По определен™ - это слабейшая топология на ^(0-) , для которой любое множество подгрупп из лГбг). содержащихся в открытом (замкнутом) множестве из £ , открыто (замкнуто) в оС((г). Открытую прэдбазу топологии Вьеториса образуют множества

где % , V пробегают все открытые множества из ¿г . Предпочтение, которое из всевозможных топологий на оССбг) отдается топологии Вьеториса, основано на том, что, как выяснилось, эта топология наиболее точно отражает особенности тополого-алгебраи-ческого строения группы. Подгруппами во второй главе называются лишь замкнутые подгруппы.

Вопрос о сохранении тополого-алгебраических свойств подгрупп при предельном переходе в пространстве Х(Сг) изучается в первом параграфе. Результаты этого параграфа естественно рассматривать как развитие локального метода для свойств, невыразимых формальным:' средствами исчисления предикатов. С точки зрения дальнейших приложений наиболее важна теорема 1.6 о замкнутости в пространстве слокально компактной группы ¿г подпространства всех ее индуктивно компактных подгрупп. Напомним, что топологическая группа называется индуктивно компактной, если любой

конечный набор ее элементов содержится в компактной подгруппе. Если локально компактная группа связна, то в- пространстве замкнуто подпространство компактных подгрупп. Аналогичные утверждения для пространства <£(£<■) , снабженного топологией Шаботи, неверны.

Во втором параграфе получен следующий критерий компактности подпространств в о(Сбг) .

Теорема (2.5). Пусть £ - локально компактная группа. Подпространство «Р из £($■) компактно в том и только том случае, если

1) замкнуто;

2) (Р удовлетворяет условию минимальности для некомпактных подгрупп;

3) любое замкнутое подпространство 3* 5 ¡р содержит лишь коночное число максимальных в \Г некомпактных подгрупп;

4) если замкнутое подпространство - не содержит некомпактных подгрупп, то У ( Р ■' Р ^ ¡р'} кошактно в &

Из этой теоремы следует, что счетная компактность подпространств из Х(Сг)' равносильна компактности, а если компакт из

<&((г) состоит из некомпактных подгрупп, то он разрежен по Кантору, следовательно, весьма беден. Тем не менее, оказалось (теорема 2.15), что топология пространства'^("(г) в случае локально компактной группы £г счетного веса реставрируется по компактам. Как показано на примерах, счетность веса нельзя ослабить ни до первой аксиомы счетности, ни до С-компактности группы £

Подчиняя пространство Х(Сг) различным топологическим ограничениям, можно, как показано в третьем параграфе, получать важную, а иногда и исчерпывающую информацию о строении топологической: группы О- .В качестве таких топологических условий фигурируют компактность, С-компактность, линдслефовость, локальная

компактность, дискретность. Эти же условия накладываются не на все пространство <£(00 , а на некоторые его подпространства, например, подпространство монотетичных подгрупп, абеле-вых подгрупп, К(О-) нормальных делителей, 4у((г) компактных подгрупп, п, (£((г) некомпактных подгрупп. Поскольку топология пространства <£(0-) недискретна, вообще говоря, даже в случае дискретной группы £ , на этом пути получаются новые результаты и о дискретных группах. Отправным пунктом в этом направлении стала следующая теорема, доказанная автором еще в кандидатской диссертации.

Пространство с£((г) локально компактной группы 0- компактно тогда и только тогда, когда £г принадлежит одному из следующих классов групп:

1) компактные группы;

2) С 0о*...* Ср£> *К , где - различные

' простые числа, - дискретная квазициклическая р -группа,

К - конечная группа и порядок К не делится на р1г—>рп, »

3) где Мр - аддитивная группа поля р -одических чисел, К - конечная группа и порядок К не делится на р

Все характеризационные теоремы третьего параграфа относятся к случаю локально компактных групп. Класс, всех топологических групп с компактным (дискретным, 6"- компактным и т.д.) пространством подгрупп весьма труднообоэрим, поскольку содержит все топологические группы с конечным пространством подгрупп. Неизвестно и, вероятно, невозможно даже описание топологических групп £ , для которых |°((<г)| = 2 . Как следует из теоремы З.П, компактность пространства <£(&) контролируется подпространством монотетичных подгрупп. Это утверждение служит предпосылкой к изучению топологических с компактным пространством Х((г) при условии, что группа О" достаточно богата монотетичными подгруппами.

В четвертом параграфе дана характеристика (теорема 4.13) топологических групп с компактным пространством подгрупп в классе 0 -мерных групп, т.е. групп с базой окрестностей единицы, состоящей из подгрупп. Тем самым показана возможность преодоления в определенной степени препятствия локальной компактности. В этом же параграф® в ответ на вопрос А.В.Архангельского указан компакт, который нельзя реализовать как пространство подгрупп.

Помимо топологической на множестве имеется алгебраичес-

кая структура решетки с операциями V и л , где А V В наименьшая замкнутая подгруппа, содержащая А и В , А Л В -пересечение подгрупп А и В . Поэтому естественно возникает задача изучения согласованности этих структур. Назовем топологическую группу (г V-группой ( А -группой), если в решетке

непрерывна операция V (Л) .

Теорема (5.12). Нульмерная локально компактная группа Сс является V -группой тогда и только тогда, когда любая некомпактная подгруппа из открыта.

Теорема (5.16). Компактная группа является А -группой тогда и только'тогда, когда = КХ Р , где К - про-конечная группа с конечными силовскими р-подгруппами, Р абе-лева и равна тихоновскому произведению своих силовских р-подгрупп, топологически изоморфных аддитивной группе 2р кольца целых р -адических чисел, централизатор любой силовской р -подгруппы из (г имеет конечный индекс и <5(К)лЯ(Р) = ф (^СЮ -множество простых чисел р , для которых группа Н содержит нетривиальный топологический р-элемент).

Теорема (5.19). Локально компактная группа б- является V «-группой и А-группой тогда и только тогда, когда

1) любая некомпактная подгруппа из ¿г открыта;

2) любая компактная подгруппа из 6г суть А -группа;

3) централизатор любого топологического р-элемента из открыт.

Второй круг вопросов,'рассматривающихся в пятом параграфе, связан с пространством £ всех непустых замкнутых подмно-

жеств топологической группы (г , снабженным топологией Вьетори-са. Пространство (¡г - полугруппа относительно операции

(/4,8) —*■ А6 . Как заметили С.П.Панасюк и В.М.Полецких, полугруппа топологична тогда и только тогда, когда группа £г равномерно нормальна, т.е. для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств А , 8 из 0- найдется такая окрестность единицы % , что А А ** $ . Ими же доказано, что если недискретная равномерно нормальная группа локально компактна либо метризуема, то & компактна, и поставлен вопрос о компактности любой недискретной равномерно нормальной группы. По теореме 5.6 топологическая группа £г равномерно нормальна в том и только том случае, если группа нормальна и любая непрерывная вещественная функция на От равномерно непрерывна. На основе этой характериэации и результатов В.Комфорта и К.Росса получен отрицательный ответ на поставленный Еопрос.

Взаимосвязь между пространствами От и Х(<г) устанавли-' вается в пятом параграфе с помощью оператора порождения, который всякому элементу X б ежр (? сопоставляет наименьшую замкнутую подгруппу, содержащую X . Если оператор р непрерывен, то топологические свойства пространства вхр £г , сохраняющиеся при непрерывных отображениях, наследуются пространством !£($■) . Это обстоятельство полезно при изучении кардинальных инвариантов пространства о. Показано, что если группа 0- локально компактна, то оператор р непрерывен тогда и только тогда, когда группа (г нульмерна и любая некомпактная подгруппа из (г открыта. Получештакже критерии непрерывности оператора р на под- 13 -

пространстве непустых компактных подмножеств и подпростран-

стве одноэлементных подмножеств из £

Число Суслина, как один из основных кардинальных инвариантов топологических пространств, изучается применительно к пространству о£(Сг) в шестом параграфе. Доказано (теорема 6.2), что если

Сг -бесконечная локально компактная группа, то С ((г) * с(х«Я)

„ с(£) „ _ Г>

И . Эти оценки точны. Если, сверх того, группа 1г индуктивно компактна, то с (<£(&)) ~ ¿(От) по теореме 6.6. Из последнего утверждения и результатов третьего и четвертого параграфов отой главы вытекает, что с ((г) 6 Ь0 , если группа С- локально компактна либо 0 -мерна, а пространство компактно. Более общий вопрос А.В.Архангельского и автора о счетности числа Суслина пространства ХССг) при условии, что -компакт, остается открытым.

Вторую главу завершает седьмой параграф, в котором излагается общая схема топологизации пространства ¿С((г) произвольной топологической группы б- . Полученный по этой схеме класс - топологий включает как все известные (Вьеториса, Шаботи, Вурбаки), так и многочисленные новые топологии на пространстве оС(б-) . Дается кон- ' структивное описание топологических групп с компактными и дискретными в (2,0) -топологиях пространствами . Полученная информация собрана в двух таблицах в конце седьмого параграфа.

Третья глава "Многообразия топологических алгебр" начинается с определения в первом параграфе понятия тождества топологической

алгебры. Пусть £2=1/ _ сигнатура, т.е. множество симво-

ла . .

лов операций соответствующих арностей, X -алфавит, - мно-

жество всех термов сигнатуры

в алфавите X , ЯРСХ) _ множество всех фильтров на ФСХ) . Произвольное отображение О алфавита X в топологическую ^-алгебру А естественно продолжается до отображения

, которое обозначается тем

же символом & . Для фиксированного элемента е 'PCX) семейство подмножеств 0(4") = { •' 2 _ эт0 базис фильтра на А

Если базис фильтра 0(f) сходится в А для любого отображения то, по определению, f - тождество топологической 5?-алгебры А . Заметим, что обычное алгебраическое тождество - частный случай этого определения. Изучается устойчивость тождеств относительно основных тополого-алгебраических операций, а также вопрос о выводимости тождеств.

Свободные топологические алгебры появляются во втором параграфе. Определим вначале структуру алгебры сигнатуры на множестве . Пусть . Семейство множеств { ■ £?e>f7>-..> ^ 6 fn- \ является базисом некоторого однозначного фильтра У на

QCX) . Положим, М>-> - г . Пусть Ъ й ®(к) , № •• г в у}.

Если & пробегает все подмножества St?CX), то система множеств %^ задает базу некоторой топологии на *Р(Х), причем сигнатурные операции непрерывны в этой топологии, т.е. Ф(Х) - топологическая -1- -алгебра. Можно сказать, что

Ф(Х) - это топологический аналог алгебры -слов.

Рассмотрим произвольный класс регулярных ®-алгебр

и положим

. Определим на подалгебре К(Х) отношение эквивалентности 6" ■, полагая f gy У тогда и только тогда, когда X /= V А У , где ЧМ Н1 ~ £ Ъл У

Ъл с V, ^ v] .По лемме 2.2 в*-правильная конгруэнтность на , поэтому существует фактор-алгебра f^ - К(Ю/(У

Топологическая £?-алгебра ' F^ содержит канонический образ

и диаграмма,

где А - произвольная алгебра из класса (К , - произвольное отображение X А , замыкается непрерывным гомоморфизмом^. Кроме того, по лемме 2.3 свободная алгебра F^. топологически изоморфна замкнутой подалгебре тихоновского произведения алгебр из класса

Многообразия топологических -алгебр определяются в

третьем параграфе следующим образом. Сопоставим каждому бесконечному кардиналу о^ множество мощности о{ и выделим в

некоторое подмножество . Многообразие Ш(2), задан-

ное классом тождеств Z. ~ I/Z . представляет собой класс топологических btr-алгебр, удовлетворяющих всем тождествам из Z. Для многообразий топологических алгебр получен аналог теоремы Г.Биркгофа.

Теорема (3.2).'Наименьшее многообразие ЦГа/t. ¡К , содержащее класс ЗС , получается применением к классу ¡К операторов тихоновского произведения, замкнутых подалгебр и непрерывных гомоморфных образов.

В частности, класс топологических алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно перечисленных операторов. Проведена классификация многообразий по формальному виду тождеств, которыми они задаются, и дана операторная характеризация отих многообразий в теоремах 3.4 - 3.7. В частности, на языке тождеств описаны J -многообразия, т.е. многообразия, замкнутые по произвольным подалгебрам. Исследован также вопрос о возможности задания многообразия множеством, а не классом тождеств.

В четвертом параграфе рассматриваются многообразья пустой сигнатуры, т.е. многообразия топологических пространств. Из теоремы 3.2 единым способом извлекаются классические теоремы П.С.Александрова и некоторые другие результаты общей топологии.

Многообразия топологических групп изучаются в последних двух - 16 -

параграфах третьей главы. В пятом параграфе доказано, что минимальные J -многообразия исчерпывается классами предкошактных абелевых групп простой экспоненты р (теорема 5.3). Описание минимальных многообразий неизвестно. Построена континуальная серия

■/ -многообразий, которые, в отличие от дискретного случая, не содержат минимальных J -многообразий. В теоремах 5.8 к 5.10 полностью охарактеризованы цепные и артиновы -многообразия предкошактных абелевых групп.

В шестом параграфе доказана теорема 6.4 о строении . J -многообразия, порожденного произвольным классом дискретных групп. Изучение таких многообразий сводится к описанию классов дискретных групп, замкнутых по подгруппам, фактор-группам и конечным декартовым произведениям. В качестве следствия получено описание

J-многообразий, порожденных конкретными дискретными группами. Так, например, топологическая группа £ принадлежит J -многообразию, порожденному дискретной группой целых чисел 2 , тогда и только тогда, когда 5 абелева и в любой окрестности единицы найдется такая замкнутая .подгруппа N , что группа т алгебраически конечно порождена. Вопрос о строении многообразий, порожденных дискретными группами, оказался более тонким и связан с аксиоматикой теории множеств. Как выяснилось (теорема 6.14), совпадение многообразия и J-многообразия, порожденных группой 2 , равносильно гипотезе об отсутствии измеримых кардиналов.

Работы автора по тема диссертации

1. Протасов И.В. Локальные теоремы для топологических групп. //Изв. АН СССР, сер.мат. - I979.-T.43, К.-С. 1430-1440.

2. Протасов И.В. Локальный метод и теорема компактности для топологических алгебраических систем//Сиб.мат.ж.-1982.-Т 23,Ш,-С. 136-143.

3. Протасов И.В. Топологические группы с компактной решеткой замкнутых подгрупп//Сиб.мат.ж.-1979.Т.20,К»2.С.378-385.

4. Протасов И.В. 0-мерные группы с компактным пространством под-групп//Мат.заметки. -I985.-T.37, М.-С.483-490.

5. Протасов И.В. Топологические свойства решетки подгрупп//Укр.мат. ж. -1980.-Т.32, №3. С.355-360.

6. Протасов И.В. Топологические группы с СТ-компактным пространством подгрупп//Укр.мат.ж,- 1985.-Т.37, №1. -С.93-98.

7. Протасов И.В. Компакты в пространстве подгрупп топологической группы//Укр.мат.ж.-1986.-Т.38,№.- С.600-605.

8. Протасов И.В. 0 числе Суслина пространства подгрупп локально . компактной группы/Дкр.мат.ж.-1988. - Т.40, 1,;5.- С.654-658.

9. Протасов И.В. 0 решетке подгрупп проконечной группы//Докл. АН УССР. сер.А. -1978, М1.-С .975-978.

10. Протасов И.В. 0 топологиях в решетке подгрупп//Докл, АН УССР, сер.А.-1981,№2. - С.29-32.

11. Протасов И.В. Пределы компактных подгрупп.топологической группы //Докл. АН УССР, сер. Л.-1986,М0.-С.64-66.

12. Протасов И.В. Многообразия топологических алгебр//Сиб.мат.ж.-1984.-Т.25,№5.-С.125-134.

13. Протасов И.В. Минимальные многообразия топологических групп// Докл.АН УССР, сер.А.-1988,Ш.-СЛ4-16.