О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БАДЕЕВ Александр Валерьевич

О ШПЕХТОВОСТИ РАЗРЕШИМЫХ МНОГООБРАЗИЙ КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор С.В.Пчелинцев

Москва, 1999

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................3

ГЛАВА I. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ Л^пА^Л КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3...................................................................................................13

§1.1. Шпехтовость многообразия А^пАзЛ^..................................14

§1.2. Бесконечнобазируемое многообразие коммутативных альтернативных алгебр............................................................................................21

ГЛАВА II. МНОГООБРАЗИЕ N^2 КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ НИЛЬ-АЛГЕБР ИНДЕКСА 3 НАД ПОЛЕМ

ХАРАКТЕРИСТИКИ 3............................„....!........................................29

§2.1. Вспомогательные алгебры.........................................................31

§2.2. Многообразия центрально-метабелевых алгебр.....................34

§2.3. Многообразие N$N2....................................................................46

ГЛАВА III. БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВ КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3 И КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУ-

ФАНГ......................................................................................60

§3.1. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных

альтернативных алгебр.................................................................................61

§3.2. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных

луп Муфанг....................................................................................................76

ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................79

ВВЕДЕНИЕ

Одним из аспектов изучения тождеств неассоциативных алгебр, в частности, алгебр близких к ассоциативным, является конечнобазируе-мость многообразий. Если каждая алгебра из многообразия М обладает конечным базисом тождеств, то такое многообразие называется шпехто-вым (по имени немецкого математика). Сама проблема, является ли данное многообразие шпехтовым, известна как проблема Шпехта. Шпехт [40] сформулировал свой вариант проблемы, ставший ныне классическим, в 1950 году для ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. На пути решения классического варианта проблемы Шпехта значительные результаты были получены во многих конкретных многообразиях и классах ассоциативных алгебр. Так, В.Н.Латышев [14-16], а также Г.К.Генов [5], А.П.Попов [20] показали локальную шпехтовость нематричных многообразий над полем нулевой характеристики. Исследовались тождества матричных многообразий. См., например, [3, 4, 13, 17, 26] .

Классический вариант проблемы Шпехта получил окончательное решение А.Р.Кемером [10] в восьмидесятые годы. Оказывается, что конечным базисом тождеств обладает любое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Им же [11] положительно решен локальный случай для бесконечного поля простой характеристики.

В глобальном случае для поля простой характеристики проблема оставалась нерешенной. Но недавно автору стало известно, что А.В.Гришиным, А.Я.Беловым и В.В.Щиголевым независимо получены некоторые результаты по этой проблеме.

В первое время проблема Шпехта рассматривалась исключительно

как проблема теории ассоциативных алгебр. В середине 60-ых годов некоторые математики начали распространять эту проблему на многообразия неассоциативных алгебр и в первую очередь на многообразия алгебр, близких к ассоциативным.

Исследования вопросов конечной базируемости в многообразиях алгебр, близких к ассоциативным, показали, что в некоторых многообразиях существуют нешпехтовы подмногообразия. А коль скоро это установлено, возникает потребность в нахождении различных условий для выделения в многообразии как шпехтовых подмногообразий, так и не-шпехтовых подмногообразий. Далее, следует отметить, что в силу специфики неассоциативных многообразий, тождества там всегда играли особую роль, а общая задача описания тождеств, в частности, вопросов конечной базируемости, занимает в теории неассоциативных многообразий одно из центральных мест. Таким образом изучение структуры многообразий алгебр с точки зрения проблемы Шпехта совершенно естественно, более того, как показывают результаты, весьма плодотворно.

Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена изучению вопросов конечной базируемости и установлению некоторых свойств шпехтовых многообразий разрешимых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Одним из первых, кого заинтересовали вопросы конечной базируемости многообразий алгебр, близких к ассоциативным, был А.И. Мальцев. В 1966 году на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в городе Батуми им [12] были сформулированы вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли.

Одним из наиболее значительных результатов в этой области является доказательство А.В.Ильтяковым [38] шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли.

Далее, легко показать шпехтовость произвольного неассоциативного нильпотентного многообразия алгебр над полем. В 1968 году Воон - Ли [41] показал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Ли над любым полем, а затем им [42] был построен пример нешпехтова многообразия алгебр Ли над произвольным полем характеристики 2, удовлетворяющего тождеству (х\х2 • Х3Х4) Х5 = 0. Позднее B.C. Дренски [7] показал нешпехтовость многообразия разрешимых индекса 3 алгебр Ли над произвольным полем характеристики р > 0. Вопрос о шпехтово-сти многообразий разрешимых алгебр Ли над полем характеристики нуль до сих пор остается открытым и в настоящее время является одним из основных в этой области.

В многообразии алгебр Ли понятия нильпотентности и разрешимости довольно далеки друг от друга, в то время как в многообразии правоаль-тернативных алгебр они, в некотором смысле, близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. В связи с этим следует отметить результат В.П. Белкина [1] о том, что многообразие разрешимых индекса 2 правоальтернативных алгебр над произвольным полем не является шпехтовым.

В многообразиях альтернативных и йордановых алгебр понятие нильпотентности и разрешимости еще ближе друг к другу, например, в конечнопорожденном случае эти понятия просто совпадают. Далее, многообразие альтернативных алгебр одно из самых близких к многообразию ассоциативных алгебр. Эта близость проясняется теоремой Артина, утверждающей, что во всякой альтернативной алгебре подалгебры, порожденные двумя элементами, ассоциативны. В связи с этим интересен следующий вопрос: не будут ли многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр шпехтовы? Этот вопрос был сформулирован A.M. Слинько в "Днестровской тетради" [6]. Проблема получила положительное решение в случае поля характеристики не равной 2,3.

Для разрешимых индекса 2 алгебр это следует из результатов работы Ю.А. Медведева [18] . Кроме того, им [19] указано многообразие разрешимых (более точно, центрально-метабелевых, т. е. удовлетворяющих тождеству (х\х2 ■ х3х4) х$ = 0 ) альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющее конечного базиса тождеств. С.В.Пчелинцевым [25] построен соответствующий пример многообразия центрально-метабелевых (некоммутативных) альтернативных алгебр над полем характеристики 3.

Как показывают результаты работ [9, 23, 24, 31, 32] характеристика поля 3 в случае альтернативных алгебр играет особую роль:

а) свободное альтернативное кольцо содержит ненулевые элементы, аддитивный порядок которых равен 3 [23, 24];

б) над полем характеристики 3 существуют исключительные первичные алгебры [9, 23, 31];

в) недавно И.П. Шестаков [32] получил описание простых альтернативных супералгебр: в характеристике 3 возникли очень интересные супералгебры, среди которых имеются и бесконечномерные.

Кроме того, заметим, что в силу тождества

[ху> А + [уг, *] + [гх, у] = 3(х, у, г) справедливого во всякой альтернативной алгебре [8], неассоциативные коммутативные альтернативные алгебры существуют только над полем характеристики 3.

Первая глава посвящена доказательству шпехтовости некоторых разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и построению бесконечнобазируемого многообразия.

Хорошо известно, что в любой конечномерной разрешимой алгебре Ли Ь над полем характеристики 0 подалгебра Ь2 нильпотентна. В

1984 г. C.B. Пчелинцев [22] доказал, что аналогичный результат справедлив для произвольных (не обязательно конечномерных) альтернативных алгебр характеристики ^2,3. Как показано позднее И.П. Шестаковым [30], ограничение на характеристику можно снять. Кроме того, им получена явная оценка индекса нильпотентности. Аналог теоремы Пчелинцева был доказан также и для йордановых алгебр [39].

Пусть Nk и А - соответственно, многообразия альтернативных алгебр класса нильпотентности не выше к и алгебр с нулевым умножением. В своей работе C.B. Пчелинцев доказал, что всякая разрешимая альтернативная алгебра А над полем характеристики не равной 2,3 принадлежит многообразию NkAnN3Nm, т.е.

{A2f = (Amf = 0

для некоторых к, m , зависящих только от индекса разрешимости алгебры А.

Затем У.У. Умирбаевым [28] была показана шпехтовость этого многообразия, что является аналогом результатов Брайнта, Воон-Ли

[34], Г.В. Шейной [29] для алгебр Ли. Отсюда следует шпехтовость многообразий разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики не равной 2,3. Доказательство шпехтовости в указанных работах основано на применении метода вполне частично упорядоченных множеств. Этот метод восходит к Г.Хигману [37] и впервые для решения проблемы конечной базируемости тождеств был употреблен Д.Коэном

[35], доказавшим шпехтовость многообразия^2 в случае групп.

В первом параграфе главы I доказана следующая Теорема 1. Многообразие NkAr^N3Nm коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 шпехтово.

В частности, при k=3, т=2 шпехтовым является многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождеством

[(вд)(ХзХ4Ж*5Хб)=0.

Доказательство шпехтовости проводится методом вполне частично упорядоченных множеств.

Во втором параграфе решается отрицательно проблема A.M. Слинько для разрешимого (коммутативного) многообразия. Более подробно, в многообразии коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 с тождествами

х3 = 0, [[(вдХад)] Оз*б)] х7=0. указана бесконечная неприводимая система тождеств степени 4 по переменной х :

(рСХJ X2и ' ... JC^fjj^' jCJCjffj^i ... Хбп-}Х '

Этот результат сформулирован в теореме 2 .

Для доказательства этой теоремы сначала строится вспомогательная супералгебра, грассманова оболочка которой есть коммутативная альтернативная алгебра. Затем непосредственно в доказательстве теоремы показывается, что приведенная в условии система тождеств нетривиальна в грассмановой оболочке и не имеет следствий высших степеней.

C.B. Пчелинцев в [21] ввел понятие топологического ранга шпехто-ва многообразия, которое является естественным обобщением понятия конечномерности. Напомним необходимые определения.

Пусть V - конечнобазируемое многообразие, VczW. Размерностью

dimw У многообразия V относительно W называется наименьшее число л, обладающее свойством: существует конечная система тождеств

/ь ...,/,, выделяющая Vm W., т.е. (fx____,fs)T+ TiW) = TiV), такая,

что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в Wn

п = max{deg/i, . . . , deg/5}-

Но Л размерностью dim F многообразия V понимается размерность V относительно многообразия всех алгебр.

Пусть M - шпехтово многообразие, т.е. всякое его подмногообразие конечнобазируемо; р(М) - множество всех подмногообразий много-

образия М. Пусть О с р(М); множество О называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества С2 ограничены в совокупности.

Для любого IV т р(М) введем множества

ип(ГГ)={У^ цг\ дшц,у >п}, ип{Щ = и„(1¥)и{1У}.

Считая систему множеств I = {II„ (IV) | р{М), п е N } базой окрестностей, р (М) наделяется некоторой топологией; П является топологическим подпространством пространства р{М). Поскольку М шпех-тово, любая убывающая цепочка многообразий М\ з М2 и>. . . з Мп =>. . . из О. стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества П является изолированной точкой в пространстве О.. Обозначая через О! множество предельных точек пространства имеем О'с О. Топологическим рангом гг(С1) пространства £2 называется число г

такое, что ~1] ф 0 и = 0. Топологическим рангом гг(М) многообразия М называется топологический ранг пространства р(М), т.е.

Легко видеть, что если многообразие М нильпотентно индекса п, то &\тМ < п и г((М)=1; если же однородное многообразие М не является нильпотентным, то множество р(М) бесконечномерно. В работе [21] С.В.Пчелинцевым был найден топологический ранг многообразий Ак2 , (-1,1)2, Ма1с2, .ТогсЬ, т.е метабелевых ( другое название разрешимых индекса 2) альтернативных, (-1,1) - , мальцевских, йордановых алгебр над полем характеристики ф 2, 3:

гг(А112) = гг((-1,1)2) = 2, гг(Ма1с2) = 3, фогс12) = К0.

В работе [36] В.Дренски и Т.Рашковой доказывается конечность топологического ранга собственных подмногообразий многообразия Логё2.

Вторая глава посвящена нахождению топологического ранга некоторых разрешимых многообразий.

Положим, В - многообразие ЛУУг коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем Ф характеристики 3 , т.е. многообразие коммутативных альтернативных алгебр с тождествами

х3=0,

[Свд)(ХзХ4)](>5Хб)=0. В главе II диссертации построен базис пространства полилинейных многочленов свободной алгебры ДХ>) и найден топологический ранг г((Вп) многообразий

Д = /) п Уаг((ху - 21)х\. . . хп).

Доказана следующая

Теорема 4. Топологический ранг г^рп)=п +2.

Отсюда следует бесконечность топологического ранга многообразия Д.

Структура главы II такова. В параграфе 2.1 строятся вспомогательные примеры алгебр порождающих различные подмногообразия Д. В параграфе 2.2 построен базис свободной алгебры центрально-метабелевого многообразия, т.е. многообразия заданного соотношением [(х1х2)(х3х4)]х5 = 0, и описана решетка его подмногообразий (теорема 3). В параграфе 2.3 построен базис полилинейной части свободной алгебры многообразия Д (лемма 5) и найден топологический ранг многообразий Д„ (теорема 4).

Целью третьей главы диссертации является построение бесконечного базиса тождеств в многообразии коммутативных луп Муфанг (КЛМ). Напомним основные определения из теории КЛМ, которые можно найти, например, в [2, 33].

Лупа, в которой выполняется тождество х2 • уг = ху ■ хг , называется коммутативной лупой Муфанг. Ассоциатор [хх, х2, элементов х\, х2, Хз

КЛМ определяется равенством

Х\Х2 ■ Хз = Х\[Х\ , Х2 , Хз] ■ Х2Хз .

Индуктивно определяется ассоциатор

[X] ,х2, ...,х2„+1] = [[х} , Х2 , ■ ■., X2п- Л, *2п , %2п+1] •

В работе Н.И.Санду [27] указывается бесконечная независимая система тождеств в многообразии КЛМ. Эта система имеет следующий вид

[[|>1 ,У2,Уз,У4,У5 ], [г\ , ¿2 , 23], [г4 , , г6], ..., , , г12к ]],

[\У\ , У2 , Уз ,У4,У5 ], [¿12к+1 , %12к+2 , ],..., [г24к-2 , *24к-1 , г24к ]],

[У1 ,У2,Уз,У4,Уз]] = 1.

Пример бесконечной независимой системы тождеств, построенный в настоящей диссертации, выглядит несколько проще, чем пример Н.И.Санду. Кроме того, метод построения заключается в том, что основные вычисления проводятся в коммутативной альтернативной алгебре, а окончательный результат переносится затем на КЛМ.

В первом параграфе главы III снова строится вспомогательная супералгебра над полем характеристики 3, несколько более сложная, чем в первой главе. Грассманова оболочка С{А) этих супералгебр является коммутативной альтернативной алгеброй над полем характеристики 3 со следующими тождествами (теорема 5)

X3 = О, [(Х\Х2 ■ ХзХ4){Х$Х6)]Х1 = О,

(.хх]... х2п ■ ху1 ... у2п) • Х2\ ... г2п.]Х = 0.

Затем строится бесконечная система тождеств, нетривиальная в грассмановой оболочке и не имеющая нетривиальных следствий в этой оболочке.

Во втором параграфе главы III строится бесконечная неприводимая система тождеств КЛМ. Переход от коммутативной альтернативной алгебры к КЛМ осуществляется следующим образом. Легко показать, что множество обратимых элементов коммутативной альтернативной ал-

гебры с единицей образует КЛМ относительно операции умножения. Тогда вспомогательная КЛМ может быть представлена как множество обратимых элементов алгебры G(A)# , где G(Af получена из G(A) внешним присоединением единицы.

Результаты сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 6. Пусть М - многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тож:дествами

хъ = О, [{Х\Х2 ■ ХзХ4)(Х5Х6)]Х7 = 0.

Система одночленов

JlSn+3 " (ХХ1 ■■■ хбп-2 ' ХУ1 ■■■ Убп-2 ) ' XZj ... Z6n + 3X неприводима в многообразии М.

л

Теорема 7. В многообразии КЛМ с тождеством x = 1 следующая система тождеств

hl8n+3 := , ...,Хбп+2], [х,У! , �