Коммутативно-алгебраический подход к исследованию полиномиальных тождеств и Т-пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Показатель роста многообразия алгебр

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В современной алгебре весьма важную роль играет понятие многообразия тех или иных алгебраических объектов (групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, алгебр, близких к ассоциативным и т.д.). Теория многообразий позволяет посмотреть на многие на первый взгляд различные и непохожие задачи с единой концептуальной позиции. У истоков теории стояли такие выдающиеся математики, как А.И. Мальцев, Г. Биркгоф, Б. Нейман, Н. Джекобсон, И. Капланский, Ш. Ами-цур, Дж. Левицкий, А.И. Ширшов и др. (см. [52, 53, 110, 112, 101, 103, 86, 84]).

С первых же исследований по этой тематике с неизбежностью возникает вопрос: Можно ли данное многообразие задать конечной системой тождеств (проблема конечной базируемости)? Другой вопрос, который бывает связан с первым, можно поставить так: Какой конкретно системой тождеств задается многообразие, порожденное данным набором своих объектов (может быть, одним объектом)? Если на эти два вопроса ответить не удается, то в многообразиях алгебр (ассоциативных, близких к ассоциативным, лиевских) имеет смысл ставить по крайней мере следующий вопрос: Какова асимптотика некоторых размерностных функций, связанных с тождествами данного многообразия?

Задачи такого типа мы будем называть комбинаторными вопросами теории многообразий (теории Р/-алгебр). К настоящему времени накопилась довольно большая информация, связанная с решением этих задач в различных многообразиях (как положительного характера, так и контрпримеры) .

Не ставя целью сделать сколько-нибудь полный обзор, рассмотрим коротко лишь некоторые направления исследований.

Работа В. Шпехта [124] положила начало исследованиям по следующему вопросу (проблеме Шпехта): Будет ли конечно базируемо любое многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики?

Другая, по-видимому, еще более трудная задача (связанная, на самом деле, с предыдущей): Что из себя представляет базис тождеств данной конечномерной алгебры (например, алгебры п х п-матриц)?

Эти вопросы интенсивно изучались (не только в нулевой характеристике) в разные годы в основном представителями российской и болгарской школ. Целый ряд хорошо известных и ставших уже классическими результатов был в свое время получен В.Н. Латышевым, Ю.П. Размысловым, А.Р. Кемером, И.В. Львовым, Ю.Н. Мальцевым, E.H. Кузьминым, Г.К. Гено-вым, А.П. Поповым, П.Н. Сидеровым и др. (см. [39—45, 29—33, 55, 14—18, 76—79, 71, 81]). Большую научную и организационную роль в привлечении внимания молодых математиков к трудным и интересным проблемам теории многообразий сыграла педагогическая деятельность А.И. Кострикина, В.Н. Латышева, A.B. Михалева, А.Л. Шмелькина и других преподавателей кафедры алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова. Трудно переоценить роль новосибирской школы.

Окончательное (положительное) решение проблема Шпехта получила в работе А.Р. Кемера [32]. Вслед за этим появились аналоги теоремы Кемера сначала для йордановых алгебр (А.Я. Вайс, Е.И. Зельманов [11]), а затем для лиевских и альтернативных алгебр (A.B. Ильтяков [26, 27]).

В случае многообразия ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики проблема Шпехта эквивалентна так называемой локальной проблеме Шпехта: Всякий ли Т-идеал, порожденный системой многочленов от конечного множества переменных, конечно базируем? Весьма нетривиальное доказательство этого факта следует из результатов А.Р. Кемера и теории многообразий ¿^-градуированных алгебр, построенной им в работе [31], которая является, по сути дела, ключевой в решении проблемы Шпехта. Именно этим замечательным фактом пользуется автор, выводя из своих результатов положительное решение проблемы Шпехта (по модулю редукции к локальному случаю).

Наиболее сильным, на наш взгляд, результатом по описанию базиса тождеств конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики (а именно, алгебры 2 х 2-матриц) является работа Ю.П. Размыслова [74]. Для матриц более высокого порядка проблема нахождения базиса тождеств (конечного, по теореме Кемера) остается открытой и, как представляется, весьма трудной.

Конечная базируемость многообразия, порожденного конечной (ассоциативной, альтернативной, йордановой) алгеброй была доказана в работах И.В. Львова, Ю.А. Медведева, Р. Крузе (см. [44, 45, 48, 106]). В алгебрах Ли аналогичный факт был доказан Ю.А. Бахтуриным и А.Ю. Ольшанским [5]. 5

Вопрос о конечной базируемости различных многообразий алгебр Ли и некоторые близкие к нему вопросы подвергались весьма активному изучению с начала 70-х годов и до недавнего времени в работах М. Воон-Ли, Р. Брайнта и М. Воон-Ли, B.C. Дренски, Ю.А. Бахтурина и А.Ю. Ольшанского, И.Б. Воличенко, С.П. Мищенко, М.В. Зайцева, Ю.П. Размыслова, В.В. Стовбы, A.B. Ильтякова, А.Н. Красильникова и других математиков (см. [127, 128, 96, 22, 5, 12, 13, 24, 62, 78, 82, 26, 36]).

Примеры алгебр Ли, не имеющих конечного базиса тождеств были приведены сначала М. Воон-Ли [128] (характеристика 2), а затем В. Дренски [22] (характеристика р > 0).

Другие примеры отрицательного решения проблемы конечной базируемости были даны: в группах А.Ю. Ольшанским, С.И. Адяном, М. Воон-Ли [1, 63, 127]; в конечных (неассоциативных) кольцах C.B. Полиным [70]; в многообразиях колец, близких к ассоциативным, имеется целая серия примеров В.П. Белкина, Ю.А. Медведева, И.М. Исаева, C.B. Пчелинцева, A.B. Бадеева и др. (см. [8, 60, 28, 3, 73]).

Некоторым аналогам проблемы Шпехта для алгебр над полем характеристики р > 0, исследованию их тождеств, посвящены работы А.Р. Кемера [33] и автора [144, 149]. Здесь имеются как положительные результаты (например, локальная шпехтовость), так и контрпримеры. Есть надежда, что в ближайшее время появится ряд исследований новых авторов.

Конечной базируемости систем обобщенных многочленов и, вообще, изучению обобщенных тождеств посвящены работы Д. Литтлвуда, Ш. Амицура, В. Мартиндейла, A.B. Михалева, В.К. Харченко, К.И. Бейдара, А.Е. Пентус [109, 88, 92, 83, 65—67] и ряда других авторов. Это направление вызывает неизменно большой интерес.

С проблемой конечной базируемости многообразия тесно связана проблема представимости относительно свободной алгебры этого многообразия. Имеется довольно широкий круг работ, в которых с той или иной точки зрения изучаются вопросы представимости алгебр в многообразиях (см. [2, 33, 37, 49, 51, 56, 58, 59, 61, 91, 108, 117, 125]).

Асимптотике в многообразиях и ее связям со свойствами тождеств этих многообразий посвящена обширная литература, свидетельствующая об актуальности такого рода исследований (см. [29, 90, 97, 100, 126, 113, 118, 132—136].)

Одним из относительно новых (появившихся у автора лет 10—15 назад) понятий является понятие Т-пространства (некоторое обобщение Т-идеала). Развитие теории Т-пространств привело к далеко идущим обоб6 щениям положительных результатов о конечной базируемости [140, 146]. С другой стороны, применение Т-пространств позволяет строить контрпримеры к известным гипотезам. До недавнего времени оставался открытым вопрос (проблема Мальцева [34]): Всякое ли ассоциативное кольцо имеет конечный базис тождеств?

В диссертации на него дается отрицательный ответ. Приводится пример ниль-кольца индекса 32, не1 имеющего конечного базиса тождеств, что дает в некотором смысле максимальный контрпример к аналогу теоремы Нагаты-Хигмана для колец.

Поясним теперь, что имеется в виду под термином "коммутативно-алгебраический подход" по отношению к перечисленным выше вопросам.

При рассмотрении алгебры общих матриц от конечного числа порождающих над полем (которое всегда будет предполагаться бесконечным) обращает на себя внимание тот факт, что эта алгебра порождает нете-ров модуль над коммутативной конечнопорожденной алгеброй следов, а при локализации по некоторому ненулевому центральному многочлену она становится нетеровым модулем над конечнопорожденной алгеброй центральных многочленов, локализованной по этому центральному многочлену. Это является следствием теоремы Ширшова о высоте, теоремы Артина-Прочези об алгебрах Адзумая и тождеств типа Гамильтона-Кэли. Подход к решению ряда комбинаторных задач Р1-теории, основанный на этом наблюдении естественно, как нам представляется, называть коммутативно-алгебраическим. Он оказывается весьма продуктивным при исследовании таких важных для Р1-теории вопросов, как конечная базируемость и представимость. Одним из решающих обстоятельств является то, что с помощью центрального многочлена Размыслова и некоторых комбинаторных конструкций удается применить аппарат коммутативной алгебры: нете-ровость, лемму Артина-Риса и т.д. (см. [10, 116]).

Второе наблюдение, которое можно было бы назвать коммутативно-алгебраическим (или, точнее, алгебро-геометрическим) подходом состоит в том, что всякое многообразие алгебр над бесконечным полем аппроксимируется конечномерными алгебрами, которые могут быть заданы своими наборами структурных констант, являющимися точками п3-мерного аффинного пространства (где п — размерность алгебры). Ясно, что точки, соответствующие алгебрам, на которых выполнена некоторая система тождеств, образуют аффинное алгебраическое многообразие (точнее, множество его точек в основном поле). Подобные идеи можно найти, например, в [102, 111]. 7

Третье наблюдение (оно используется, например, в [130]) состоит в том, что любой многочлен от d переменных из свободной алгебры некоторого многообразия для любой конечномерной алгебры А из этого многообразия задает регулярное (в смысле алгебраической геометрии) отображение аффинных пространств Ad А.

Не предполагая делать полного обзора всех работ, в которых те или иные "коммутативно-алгебраические" соображения использовались для решения вопросов PI-теории, отметим особо доказательство А. Брауном в [94, 95] теоремы о нильпотентности первичного радикала конечнопоро-жденной PI-алгебры над нетеровым коммутативным кольцом. Далеко не полный список можно продолжить работами Ю.П. Размыслова [75, 77], В.Т. Маркова [57], К.И. Бейдара [7], А.Р. Кемера [33], К. Прочези [114, 115, 117], Ш. Амицура [87, 89, 91], Е. Форманека [99].

Весьма мощным аппаратом для решения комбинаторных вопросов PI-теории традиционно является теория представлений симметрической группы (по крайней мере в нулевой характеристике), а также теория частично упорядоченных множеств (см., например, [77, 23, 38, 40, 35]). Однако в диссертации техника такого рода почти не используется.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Настоящая работа в основном посвящена использованию первого из приведенных выше наблюдений (и некоторых близких к нему) для решения следующих задач.

1. Исследование асимптотических свойств свободных конечнопорожден-ных алгебр некоторых многообразий. В первой главе для весьма широкого класса многообразий вычисляются асимптотические характеристики, тесно связанные с размерностью Гельфанда-Кириллова этих алгебр. Здесь же рассматриваются некоторые приложения к PI-теории.

2. Доказательство конечной базируемости Т-пространств обобщенных многочленов над полем нулевой характеристики (при некоторых дополнительных условиях на Т-пространство). Напомним, что Т-пространством в алгебре обобщенных многочленов (аналогично, в свободной алгебре над полем) называется такое ее линейное подпространство, которое устойчиво относительно подстановок вместо переменных любых элементов этой алгебры, в частности, идеал, являющийся одновременно и Т-пространством является Т-идеалом. Этой задаче посвящена вторая глава.

3. Доказательство конечной базируемости Т-пространств в свободной ассоциативной алгебре, содержащих Т-идеал, который содержит некоторый стандартный многочлен (или, что эквивалентно, многочлен Капелли), над полем нулевой характеристики. Этот вопрос рассматривается в тре8 тьей главе. Из основного результата этой главы следует, с учетом сделанного выше замечания, положительное решение проблемы Шпехта, данное ранее А.Р. Кемером в [32].

4. Исследование вопроса о представимости относительных алгебр обобщенных многочленов и относительно свободных алгебр, удовлетворяющих некоторому стандартному тождеству (главы 2 и 3).

5. Исследование вопроса о конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов над полем простой характеристики. Построение контрпримеров в случае поля характеристики 2 (глава 4). Отрицательное решение аналога проблемы Шпехта в характеристике р > 0 (ср. с [33]), а также проблемы Мальцева для ассоциативных колец.

6. Изучение ситуации в коммутативном случае.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории колец и модулей, комбинаторные и асимптотические методы, а также целый комплекс методов, которые мы называем коммутативно-алгебраическими. Кроме того, в работе последовательно внедряется концепция Т-пространства (новая в такого рода исследованиях) развиваются связанные с ней методы квазимногочленов, символических степеней, главных частей и т.д. Новые подходы позволяют применять методы коммутативной алгебры к решению ряда весьма трудных комбинаторных вопросов Р/-теории.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты следующие.

1. Вычисление показателя роста широкого класса многообразий алгебр. Установление связей со строением многообразий (теоремы 1—3, предложения 2, 3, 5 из главы I).

2. Доказательство конечной базируемости систем обобщенных многочленов, удовлетворяющих некоторым условиям, и представимости некоторых относительных алгебр обобщенных многочленов (теоремы 2 и 5 из главы 2).

3. Доказательство конечной базируемости широкого класса Т-пространств, из которой следует положительное решение локальной проблемы Шпехта и новый подход к общей проблеме Шпехта, решенной ранее А.Р. Кемером с использованием других методов (глава 3, теоремы 1 и 1').

4. Построение Т-пространств, не имеющих конечного базиса и нешпех-товых многообразий ассоциативных алгебр над полем характеристики 2. Отрицательное решение проблемы Мальцева о конечной базируемости тождеств ассоциативных колец (теоремы 1 и 2 из главы 4). В настоящее 9 время известны и другие результаты на эту тему (см. [9, 85]).

5. Доказательство аналога основного результата главы 3 в коммутативном случае для произвольного бесконечного поля (теорема 3 из главы 4).

Результаты, связанные с проблемой Шпехта и с проблемой Мальцева, автор считает центральными результатами диссертации.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее концепции, методы и результаты могут найти применение в научно-исследовательской работе алгебраистов МГУ, НГУ, МПГУ, УлГУ, Уральского университета и многих других алгебраических центров. Они уже используются другими авторами в своих исследованиях. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов университетов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались с 1980 по 1999 г.г. на Всесоюзных и Международных алгебраических конференциях и симпозиумах:

IV Всесоюзн. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Кишинев. 1980 г.

XVI Всесозн. алгебр, конф. Ленинград. 1981 г.

V Всесоюзн. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск. 1982 г.

XVII Всесозн. алгебр, конф. Минск. 1983 г.

XVIII Всесозн. алгебр, конф. Кишинев. 1985 г.

XIX Всесозн. алгебр, конф. Львов. 1987 г.

Междунар. конф. по алгебре. Новосибирск. 1989 г.

IV Всесоюзн. школе по теории многообразий алгебр, систем. Магнитогорск. 1990 г.

Междунар. конф. по алгебре. Барнаул. 1991 г.

III Междунар. конф. по алгебре. Красноярск. 1993 г.

Междунар. конф. по алгебре и анализу. Казань. 1994 г.

Междунар алгебр, конф. Москва. 1998 г.

Междунар. алгебр, семинаре. Москва. 1999 г.

Междунар. конф. по матем. логике. Новосибирск. 1999 г.

Результаты докладывались также на алгебраических семинарах в МГУ, НГУ, МПГУ, УлГУ и др.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации по главам. Отметим сразу, что главы связаны в основном общими предметом и методологией исследований. При этом каждая глава снабжена своей нумерацией утверждений и формул.

10

Некоторые определения и обозначения, если это представляется целесообразным, повторяются (правда, несколько в разных контекстах). В значительной степени главы могут читаться независимо.

Первая глава целиком посвящена, как уже отмечалось, асимптотическим вопросам в свободных конечнопорожденных алгебрах некоторых многообразий алгебр (не обязательно ассоциативных). В §1 этой главы даются необходимые предварительные определения и обозначения, а также краткий обзор работ так или иначе связанных с асимптотическими вопросами. Основным объектом исследования является так называемый показатель роста многообразия алгебр гс(с?), который определяется как число, удовлетворяющее для всех достаточно больших натуральных чисел п соотношению

7щГс(с/) < <1ш1^)С(п) < ъпТс{Л) где 71,72 — некоторые положительные числа, а ^с(гг) — подпространство в свободной с1 + с — порожденной алгебре ^ = к < ., ., хл+с > данного многообразия, порожденное одночленами, имеющими по переменным жх,.,^ полную степень < п, а по х<1+1,. ,Х(1+с степень < 1. При с = 0 число тц((Г) (если оно существует) фактически совпадает с размерностью Гельфанда-Кириллова алгебры к < хъ . >.

Исследованию функции лз(с?) для некоторых многообразий посвящена работа автора [133]. Однако позже стало ясно, что для расширения области применения развитой техники удобнее работать с числами тс(с1) для всех достаточно больших с и <1. Эта точка зрения появляется в работе автора [136], являющейся по существу продолжением [133]. Во всех случаях, когда удавалось доказать их существование и вычислить их явно, оказывалось, что эти числа при всех достаточно больших с и с? не зависят от с и линейно зависят от (1 и можно говорить о показателе роста многообразия, как о некоторой линейной функции от переменной й. При этом, естественно, два показателя роста считаются одинаковыми, если они совпадают для всех с и ¿2, начиная с некоторых.

Центральным результатом этой главы является теорема 1, дающая явную формулу для показателя роста многообразия, порожденного конечномерной алгеброй, удовлетворяющей некоторым достаточно общим условиям (заведомо выполненным в ассоциативном случае). Он является суммой выражений вида — 1) +1, являющихся степенями трансцендентности центров ¿-порожденных алгебр общих матриц над полем к, связанных определенным образом с данной конечномерной алгеброй. Эта теорема до

11 называется в §2.

Теорема 2, доказанная в §3, показывает, что показатель роста ведет себя аддитивно относительно так называемого нилъ-произведенил, которое определяется следующим образом. Нилъ-произведением А и Б называется алгебра А о В (ее явная конструкция дана в [133]), удовлетворяющая следующим условиям

1) А и В — подалгебры алгебры А о В, причем АВ = В А = (0);

2) в алгебре А о В имеется такой элемент что для любых ах, «2 £ А, £ В имеют место равенства а^Ь 1 = ах(^1), ах(а2^ = (а^г)*, (¿61)62 = ¿(6162),

11(02*61) = (о1а2)^1} («2*61)62 = ^¿(6162);

3) если (*) — идеал алгебры А о В, порожденный элементом то вг = гА = (¿)2 = (ы + Аг + ¿б + аш)2 = (о);

4) А* = А, Ш £ Б, А*Б = А ®к В, как ¿-модули;

5)АоБ = АфБ©^®А£ф£Б© А*Б = А © Б © (*), как ¿-модули.

Отсюда выводится, в частности, что если, МГ1,., МГз — Т-идеалы тождеств полных матричных алгебр кп,., кГз, то показатель роста многообразия, задаваемого Т-идеалом МГ1. МГз, является суммой показателей роста многообразий, задаваемых Т-идеалами Мп .

В §4, §5 вводятся понятия так называемого относительного показателя роста и рассматриваются некоторые приложения асимптотической техники к исследованию структуры многообразий, свойств тождеств, строения конечномерной алгебры, порождающей многообразие с определенными асимптотическими свойствами, а также некоторые другие приложения.

Коммутативной алгеброй, к которой с помощью тех или иных комбинаторных соображений удается сводить изучаемые в главе 1 вопросы, является центр алгебры общих матриц (центральные многочлены).

В главах, начиная со второй, речь идет только об ассоциативных алгебрах, хотя многие конструкции и понятия могут быть перенесены и на неассоциативный случай (см. [141]).

Вторая и третья главы посвящены по сути дела следующему вопросу, связанному с обобщенными (гл. 2) и с обычными (гл. 3) многочленами. Пусть .Р — свободная счетнопорожденная ассоциативная алгебра (или ее обобщенный аналог) и 5 — подмножество алгебры Р. Существует ли конечное подмножество множества 5, из которого с помощью подстановок и

12 линейных действий в алгебре Р можно получить все элементы множества 5 ? Ясно, что весьма частным случаем этого вопроса является проблема конечной базируемости Г-идеалов (проблема Шпехта). В такой общей постановке (как показано в работе) ответ отрицательный. Однако имеет место и ряд положительных результатов, относящихся к Т-пространствам, из которых вытекает положительное решение локальной проблемы Шпехта (см., также [140]).

Интерес к Г-пространствам на наш взгляд оправдан еще и тем, что многие весьма важные подпространства в алгебре Р являются Т-пространствами, но не являются Т-идеалами. Например, это относится к подпространству центральных на некоторой алгебре многочленов (включая, разумеется, и тождества этой алгебры).

Вторая глава посвящена в основном проблеме конечной базируемости в алгебре обобщенных многочленов Р*, т.е. в свободном произведении алгебры г х г-матриц кг над полем к нулевой характеристики и свободной ассоциативной счетнопорожденной к-алгебры Р = к < х\,., х«,. > , т.е. Р* = кг Р . Алгебра Р* является универсальным объектом в теории так называемых г-замкнутых многообразий (т.е. многообразий, порожденных некоторой своей алгеброй, содержащей унитарно алгебру кг), а ее Г-идеалы являются идеалами обобщенных тождеств соответствующей кг-алгебры. В §§1, 2 этой главы содержатся предварительные определения, конструкции и результаты.

В §Здоказывается ряд технических лемм и некоторый результат (теорема 1), предваряющий основной результат (теорема 2 из §4), который можно сформулировать следующим образом. •

Любое Т-пространство в алгебре Р*, содержащее некоторую степень идеала М* обобщенных тождеств алгебры кг, порождено конечным набором своих элементов.

На самом деле, в §4 формулируется и доказывается несколько более тонкий результат, позволяющий проследить фактически механизм конечной порожденности.

В §5 доказывается аналогичный теореме 2 результат для обычных многочленов (теорема 3), который можно сформулировать следующим образом.

Для любого Т-пространства V алгебры Р, содержащего некоторую степень идеала Мг тождеств алгебры кг, найдется такое конечное его подмножество {д\,. ,дт}, что для любого многочлена f{xl,. , £</) из V найдется такой центральный на алгебре кг многочлен ср, что

13 х\<р,., Х(1<р) принадлежит Т-пространству, порожденному многочленами дъ., дт.

При этом также как и в случае теоремы 2 здесь приводится несколько упрощенная формулировка, не требующая серии предварительных определений, но вполне отражающая существо дела. Правда, в такой формулировке этот результат является частным случаем доказанной в главе 3 теоремы.

Здесь же отмечается, что в случае г = 1 теорема 3 дает уточнение теоремы Латышева-Генова [40, 14] о шпехтовости нематричных многообразий со стандартным тождеством: конечно базируемы не только Т-идеалы, но и Т-пространства в соответствующих относительно свободных алгебрах.

В §6 вводится понятие жесткого многообразия. Этим термином обозначается многообразие ассоциативных алгебр сложности г > 1 (сложность — наибольшее натуральное число, для которого алгебра кг лежит в обладающее следующим свойством: если J — Т-идеал алгебры не обращающийся в нуль на алгебре кг, а ., хл) — такой многочлен из алгебры Т1, что все многочлены из множества /(</,.,/) тождественно равны нулю на алгебрах из многообразия то /(#!,.,а^) = 0 — тождество многообразия Многообразие, состоящее из ниль-алгебр, по определению считается жестким.

Согласно предложению 2 из §1 жестким является, например, любое г-замкнутое многообразие сложности г.

В теореме 4 из этого параграфа доказывается, что всякое многообразие со стандартным тождеством может быть представлено в виде произведения своей жесткой компоненты (наибольшего жесткого подмногообразия) и некоторого, каноническим образом определяемого, подмногообразия меньшей сложности (которое в свою очередь может быть разложено аналогичным образом и т.д.).

В §7 доказывается представимость алгебры Т*(с?)//, где Р*(й) = кг*к < ХЪ '' ■ >5 а I — Т-идеал алгебры Т1*^), содержащий идеал Р*{д) П М*п для некоторого п. Отсюда, в частности, следует представимость любого г-замкнутого многообразия, на котором при некотором натуральном числе п обращается в нуль Т-идеал М" . Она доказывается с помощью погружения алгебры Р*(сГ)/1 в некоторую конечно порожденную алгебру над коммутативной нетеровой /г-алгеброй и применением результатов К.И.Бейдара И

Коммутативными алгебрами, используемыми во второй главе, являются алгебра центральных многочленов в алгебре общих матриц и ал

14 гебра центральных обобщенных многочленов в алгебре Е*(с1)/М*, порожденная образами центральных обобщенных линейных многочленов вида = где еар — матричные единицы алгебры кг (см. также работу Д. Литтлвуда [109]).

Из основных понятий этой и следующей глав выделим понятия алгебры квазимногочленов и алгебры обобщенных квазимногочленов над Р и над Р* соответственно, которые являются свободными произведениями над полем к: = Р^к <в\,. Д-,. • • >? Я* — Р* *кк < в\,., . • • >, где Р = Р/Мг, Р* = г*, к < #1,., 0,-,. > — свободная ассоциативная алгебра от переменных 0г-. Алгебры Р и Р* вкладываются в алгебры <5 и (5* посредством отождествления Х{ и + 0г-, где аГг- — образ переменной Х{ в алгебре общих матриц. На алгебрах Я и Я* вводится понятие "подстановки вместо переменной", согласованное с аналогичным понятием в алгебрах Р иР. Применяя на квазимногочленах и обобщенных квазимногочленах операцию возведения в символическую степень (см. §2), удается нетеровость возникающих при соответствующей конструкции модулей над коммутативными нетеровыми кольцами использовать для доказательства конечной базируемости Г-пространств.

Техника обобщенных квазимногочленов применяется и в доказательстве представимости алгебры Р*(с?)//. Отметим также, что идея квазимногочленов неявно присутствует уже в работах [133, 136] и может быть использована в неассоциативном случае.

Третья глава содержит всего одну теорему, которая является на наш взгляд центральной во всей диссертации. Эта теорема гласит, что в случае поля нулевой характеристики всякое Т-пространство в алгебре Р; содержащее некоторую степень идеала М™, конечно базируемо. Следствием этой теоремы (с учетом замечания, сделанного выше, о весьма нетривиальной редукции к локальному случаю) является конечная базируемость Т-идеалов, впервые доказанная А.Р. Кемером в [32]. Эта глава является основной еще и с концептуальной точки зрения. В ней последовательно разрабатывается понятие абстрактного Т-пространства, т.е. унитарного правого модуля над полугрупповой алгеброй кТ, где Т — полугруппа эндоморфизмов (подстановок) свободной счетнопорожденной ассоциативной алгебры Р. Здесь в качестве Т-пространств рассматриваются не только подпространства определенного выше типа в алгебре Р, но и другие объекты: алгебры квазимногочленов, связанные с ними конструкции и т.п.

Само понятие алгебры квазимногочленов в этой главе существенно расширено. Если в главе 2 рассматривались квазимногочлены над алгеброй

15 общих матриц или над алгеброй матриц с коэффициентами из коммутативной алгебры многочленов над полем к, то в главе 3 в качестве Р берется прямая сумма конечного числа относительно свободных алгебр, которые не всегда оказываются алгебрами общих матриц. Далее, рассматриваются алгебры квазимногочленов над некоторой алгеброй, содержащей Р (добавлены следы общих матриц) и имеющей структуру Т-пространства. В главе 3 важную роль играет техника работы с конструкциями, связанными с такими квазимногочленами. Здесь, также как и в предыдущей главе, выделяются элементы Х{, являющиеся фактически образующими некоторой относительно свободной алгебры, и алгебра ^ вкладывается в алгебру квазимногочленов посредством отождествления элементов Х{ и Х{ + в г. На алгебре квазимногочленов, как и в предыдущей главе, вводится действие полугруппы Т, согласованное с ее действием на Т1 , на Р и на следах. При этом основным объектом исследования является Т-пространство ©п/вп+1, где 6 — идеал алгебры квазимногочленов, порожденный элементами (он замкнут относительно действия полугруппы Т, т.е. является "Т-идеалом"). Роль Т-пространства 0П/0П+1 обусловлена тем, что в том случае, когда Р — алгебра общих матриц, имеется естественное вложение в него Т-пространства М"/М"+1 в качестве Т-подпространства.

Важную роль в доказательстве конечной базируемости Т-пространств как во 2-й так и в 3-й главах играет уже упоминавшаяся выше так называемая символическая степень. Эта операция является основным инструментом, при помощи которого все сводится к нетеровым модулям над коммутативными кольцами (центральных многочленов, обобщенных центральных многочленов или следов от общих матриц). Для многочленов из свободной алгебры Т1 это, действие вводится следующим образом. Пусть /(#1,. ,£(/) — однородный многочлен степени > п из алгебры Р. Обозначим через Sf(xl,., х^ г/1,. • •, уп) многочлен, являющийся (г/1,., уп)~ полилинейной частью многочлена хг{1 + г/1 + • • • + Уп), • • ■, ж<*(1 + г/1 + . + уп)) все г/г входят в Sf в первой степени). Пусть /и,.,/^ — произвольные многочлены из алгебры Положим

Ни К) и назовем многочлен /ль-А0 символической степенью многочлена / с показателем (/¿1,., кп).

16

Символическая степень обладает рядом очевидных свойств, наиболее важным из которых является то, что она не выводит за пределы Т-пространства.

В более общей ситуации для квазимногочленов определение аналогично приведенному.

Другим важным техническим понятием является понятие ширины квазимногочлена, позволяющее более эффективно использовать символическую степень при доказательстве основного результата как во второй, так и в третьей главе.

По сути дела, в основных результатах 2-й и 3-й глав доказывается, что все элементы рассматриваемого Т-пространства могут быть получены из некоторого его конечного подмножества с помощью линейных действий, возведения в символическую степень и некоторых подстановок конкретного вида.

Основные результаты второй и третьей главы близки по формулировке, их связывают и некоторые общие идеи и методы доказательства. Однако формально они не следуют друг из друга ни в каком известном смысле (как это могло бы показаться).

В §1 третьей главы даются основные определения, приводится серия Т-пространств так или иначе участвующих в доказательстве теоремы, а также приводится ряд дополнительных фактов и конструкций, полезных, как представляется, при исследовании введенных Т-пространств. Доказательство ряда довольно сложных вспомогательных результатов содержится в §§2, 3. Изложение основного результата в главе 3 несколько отличается от [146]. Решающую роль в построении более компактного и прозрачного, чем в [146] доказательства основного результата главы 3 играет использование, наряду с указанной выше техникой, центрального многочлена Размы-слова. При этом весьма существенно используется такой коммутативно-алгебраический факт, как лемма Артина-Риса. Ее впервые в своих исследованиях по конечной базируемости применил А.Я. Белов под названием "проективная конечная базируемость". В конце §3 обсуждается ряд следствий из теоремы и ее доказательства.

По аналогии с §7 предыдущей главы из основного результата главы 3 можно вывести представимость любой относительно свободной алгебры ¥¡1, где Г-идеал I содержит некоторую степень Т-идеала Мг. Отметим еще, что многие понятия и результаты глав 2 и 3 по мнению автора могут быть обобщены на случай произвольного бесконечного поля. Однако этот вопрос в работе не рассматривается.

17

В последней главе 4 рассматриваются многообразия ассоциативных алгебр над полем простой характеристики, а также многообразия ассоциативных колец. Центральная ее часть — построение контрпримеров.

Как уже отмечалось выше, с конца 60-х годов и до недавнего времени в группах, алгебрах Ли и некоторых кольцах, близких к ассоциативным, были построены примеры объектов, не имеющих конечного базиса тождеств. С другой стороны, для ассоциативного случая (а также для некоторых других) был получен ряд положительных результатов весьма общего характера. Для конечных колец — теорема Львова-Крузе [47, 106] (см. также [41]), для алгебр над полем характеристики 0 — теорема Кемера [32], для Т-пространств (некоторое обобщение Т-идеалов) над полем нулевой характеристики, а также в частных случаях над полем характеристики р > 0, — результаты автора [146, 149]. Па некотором этапе у ряда специалистов в Р1-теории стало складываться впечатление, что в ассоциативном случае любая алгебра над достаточно "хорошим" кольцом (например, над полем или над кольцом целых чисел) имеет конечный базис тождеств. Однако это не так.

Прежде, чем формулировать основной результат приведем следующее

Определение. Пусть к — ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей, Р = к < х 1,. . > — свободная счетнопорожденная ассоциативная А;-алгебра. Назовем Т-модулем алгебры ^ всякий ее ^-подмодуль V, замкнутый относительно подстановок вместо переменных Х{ произвольных элементов из алгебры Р, в частности, если к — поле, то У — Т-пространство, если к = ^ — кольцо целых чисел, то V — Т-группа. Если Т-модуль V является в то же время и идеалом, то он называется Т-идеалом.

Цель §§1, 2 из четвертой главы — показать, что в свободной ^-алгебре ^ < ., Х{,. > существуют бесконечные возрастающие цепочки Тидеалов. Кроме того, будет показано, что в относительно свободной алт гебре Z < ., ж;,. > 1([х\, [ж2,#з]]) существуют бесконечные возрастающие цепочки Г-подгрупп. Даны явные конструкции. Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть к — поле характеристики 2, Р = к < Х\,., Х{,. > — свободная счетнопорожденная ассоциативная к-алгебра, — Т-идеал алгебры Р, порожденный многочленом [х\, [х%, #з]]. Тогда система состоящая из многочленов /п = х\. х\ , п Е N, порождает в относительно свободной алгебре Р/О, не конечно базируемое Т-пространство 5Т.

Следующее утверждение является некоторым техническим следствием

18 правда, нетривиальным) теоремы 1 (оно доказано в §2 четвертой главы).

Теорема 2. Пусть к — поле характеристики 2. Тогда Т-идеал, порожденный в свободной алгебре k < х\,., ., yi, у2, z2 > множеством многочленов

44444444

90 = У1^2У2У^гг2у2,

442 2 44442 244

9п — Уlz\x\ • • • Хпг2У2У121хп+1 • • • х2пх2У21 где п £ N, не является конечно порожденным. Следствия.

1. Пусть А — коммутативное кольцо, имеющее сюръективный гомоморфизм на Z2-aлгeбpy с единицей (например, А = Z ). Тогда указанные в теоремах 1 и 2 многочлены порождают в алгебре А < #1,., Xi,., ух, У2-, z\,Z2 > не конечнопорожденный Т-идеал ( Т-модулъ, Т-группу).

2. Многообразие ассоциативных колец не шпехтово. Более того, многообразие ассоциативных нилъ-колец индекса 32 не шпехтово.

В доказательстве теоремы 1 используется следующая вспомогательная коммутативная алгебра А = k[onj | г, j € N}}, где коммутирующие между собой элементы ац , удовлетворяют следующим соотношениям: ац = cují,о?- = 1, (1 + 1 + a¡i) = 0, (1 + o¿ij){ 1 + аы) = (1 + aik)( 1 + ац)<где i ' j , k , Z — попарно различные индексы.

Рассмотрим теперь свободную счетнопорожденную алгебру Ф = А < Х\,. . >, содержащую ¿-подалгебру F, в ней идеал /, порожденный элементами вида XíXj + aijXjXi и фактор-алгебру = Ф¡I.

Несложные вычисления в алгебре Ф2 показывают, что в ней выполнено тождество [х\, = 0. Другими словами, алгебра Ф2 и по конструкции и по своим свойствам является некоторым аналогом алгебры Грассмана. Алгебра Ф2 играет ключевую роль в доказательстве теоремы 1. В конце §2 дается небольшой комментарий к ситуации в характеристике р > 2, а также обсуждается ряд открытых вопросов, связанных с полученными результатами.

В §3 доказано, что если в идеале / содержится коммутатор, а основное поле бесконечно, то имеет место аналог основного результата из главы 3, т.е. всякое Т-пространство в алгебре F/I конечно базируемо. Доказательство этого факта основано на использовании некоторых результатов из теории частично упорядоченных множеств (см. [35]).

Автор благодарит всех, кто в разные годы знакомился с приведенными в работе результатами, за весьма полезные обсуждения и замечания.

1. Адян С.И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств. Изв. АН СССР, Серия матем. 1970. Т. 34. № 4. С. 715-734.

2. Ананьин А.З. Локально финитно аппроксимируемые и локально пред-ставимые многообразия. Алгебра и логика. 1977. Т. 16. № 1. С. 3-33.

3. Бадеев A.B. Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3 и коммутативных луп Муффанг. Сиб. мат. журнал (в печати).

4. Бахтурин Ю.А. Тождества от двух переменных в алгебре Ли sl (2,к). Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1979. В. 5. С. 205-208.

5. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли. Матем. сб. 1975. Т. 96. № 4. С. 543-569.

6. Бейдар К.И. О строении Т-идеала обобщенных тождеств полупервичного кольца со строгим тождеством. XIV Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы сообщений. Ч. 2. Новосибирск. 1977. С. 8-9.

7. Бейдар К.И. К теоремам А.И. Мальцева о матричных представлениях алгебр. УМН. 1986. Т. 41. № 5. С. 161-162.

8. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр. Алгебра и логика. 1976. Т. 15. № 5. С. 491-508.

9. Белов А.Я. О нешпехтовых многообразиях. Фундамент, и прикл. матем. 1999. 5. № 1. С. 47-66.

10. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. Мир. М. 1971.

11. Вайс А.Я., Зельманов Е.И. Теорема Кемера для конечно порожденных йордановых алгебр. Изв. ВУЗов, матем. 1989. № 6. С. 63-72.

12. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Ч. I. Весщ АН БССР. 1980. № 1. С. 23-30.

13. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами. Ч. П. Весщ АН БССР. 1980. № 2. С. 22-29.

14. Генов Г.К. Шпехтовость некоторых многообразий ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Докл. Болг. Акад. Наук. 1976. Т. 29. № 7. С. 939-941.

15. Генов Г.К. Некоторые шпехтовы многообразия ассоциативных алгебр. Плиска. Бълг. мат. студ. 1981. Т. 2. С. 30-40.

16. Генов Г.К. Базис тождеств алгебры матриц третьего порядка над конечным полем. Алгебра и логика. 1981. Т. 20. № 4. С. 365-388.

17. Генов Г.К., Сидеров П. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем I. Серд. Бълг. мат. списание. 1982. Т. 8. С. 313-353.135

18. Генов Г.К., Сидеров П. Базис тождеств алгебры матриц четвертого порядка над конечным полем II. Серд. Бълг. мат. списание. 1982. Т. 8. С. 353-366.

19. Голубчик М.З., Михалев A.B. О многообразиях алгебр с полугрупповым тождеством. Вестн. МГУ. 1982. Т. 1. № 2. С. 8-11.

20. Джекобсон Н. Теория колец. М. ИЛ. 1947.

21. Джекобсон Н. Строение колец. ИЛ. М. 1961.

22. Дренски B.C. О тождествах и алгебрах Ли. Алгебра и логика. 1974, 13. № 3. С. 265-290.

23. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр. Матем. сб. 115. 1981. С. 98-115.

24. Зайцев М.В. Стандартное тождество в специальных многообразиях алгебр Ли. Вестн. Моск. универ. Сер. 1. Матем. Механ. 1993. № 1. С. 56-59.

25. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М. Наука. 1978.

26. Ильтяков A.B. Шпехтовость многообразий PI-представлений конеч-нопорожденных алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Институт математики СО АН СССР. Препринт № 10. Новосибирск. 1991.

27. Ильтяков A.B. Конечность базиса тождеств конечнопорожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики 0. Сиб. мат. журнал. Т. 32. 1991. № 6. С. 61-76.

28. Исаев И.М. Конечные правоальтернативные алгебры с бесконечными базисами тождеств. 1985. XVIII Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы сообщений. Ч. I.

29. Кемер А.Р. Шпехтовость Т-идеалов со степенным ростом коразмерности. Сиб. матем. ж. 19. № 1. 1978. С. 54-69.

30. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно порожденной PI-алгебры. Докл. АН СССР. 1980, 255. № 4. С. 793-797.

31. Кемер А.Р. Многообразия и 22-градуированные алгебры. Изв. АН СССР. сер. матем. 48. № 5. 1984. С. 1042-1059.

32. Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр. Алгебра и логика. 1987. № 5. С. 597-641.

33. Кемер А.Р. Тождества конечно порожденных алгебр над бесконечным полем. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. № 4. С. 726-753.34. Коуровская тетрадь. 1967.

34. Красилышков А.Н. О тождествах триангулируемых матричных представлений групп. Труды Москов. Матем. Общ. 1989. Т. 52. С. 229-245.

35. Красильников А.Н. О тождествах алгебр Ли с нильпотентным коммутантом над полем конечной характеристики. Матем. заметки. 1992. Т. 51. В. 3. С. 47-52.136

36. Кублановский С.И. Локально финитно аппроксимируемые и локально представимые многообразия ассоциативных колец и алгебр. Рук. деп. в ВИНИТИ. 1.12.82, № 1643-82 Деп.

37. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М. Наука. 1969.

38. Латышев В.Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Р1-алгебр. Успехи матем. наук. 27. № 4. 1972. С. 213-214.

39. Латышев В.Н. Частично упорядоченные множества и нематричные тождества ассоциативных алгебр. Алгебра и логика. 1976. Т. 15. № 1. С. 53-70.

40. Латышев В.Н. Конечная базируемость тождеств некоторых колец. Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. № 4. С. 259-260.

41. Латышев В.Н. О сложности нематричных многообразий ассоциативных алгебр I, II. Алгебра и логика. 1977. Т. 16. № 2. С. 149-183, 184-199.

42. Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр. Матем. заметки. 1980. Т. 27. № 1. С. 147-156.

43. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец I. Алгебра и логика. 1973. Т. 12. № 3. С. 269-297.

44. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец П. Алгебра и логика. 1973. Т. 12. № 6. С. 667-689.

45. Львов И.В. Локально слабо нетеровы многообразия алгебр над не-теровыми кольцами. В кн. 3-й Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тарту. 1976. С. 67.

46. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств. Сиб. матем. ж. 1978. Т. 19. № 1. С. 91-99.

47. Львов И.В. О многообразиях, порожденных конечными альтернативными кольцами. Алгебра и логика. 1978. Т. 17. № 3. С. 286-286.

48. Львов И.В. О представимости нильпотентных алгебр матрицами. СМЖ. 1980. Т. 21. С. 158-161.

49. Львов И.В. Теорема Брауна о радикале конечно порожденной Р1-ал-гебры. СО АН СССР. Инст. матем. 1984. Препринт № 63.

50. Мальцев А.И. О представлении бесконечномерных алгебр. Матем. сборник 13. 1943. №2-3. С. 263-285.

51. Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными соотношениями. Мат. Сб. н.с. 1950. Т. 26. Вып 1. С. 19-33.

52. Мальцев А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. В. кн. Международный конгресс по математике. Москва. 1966. С. 217-231.137

53. Мальцев Ю.Н., Парфенов В.А. Пример неассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тождеств. Сиб. матем. ж. 1977. Т. 18. № 6. С. 1420-1421.

54. Мальцев Ю.Н., Кузьмин Е.Н. Базис тождеств алгебры матриц M2(GF(рп)). Алгебра и логика. 1978. Т. 17. № 1. С. 28-32.

55. Мальцев Ю.Н. О представимости конечных колец матрицами над коммутативным кольцом. Матем. сборник. 1985, 128(170). № 3. С. 383-402.

56. Марков В.Т. О размерности некоммутативных аффинных алгебр. Изв. АН СССР. Серия матем. 1973. Т. 37. № 2. С. 284-288.

57. Марков В.Т. О представимости матрицами конечно порожденных PI алгебр. Вестник МГУ: Матем., мех. 1989. № 2. С. 17-20.

58. Марков В.Т. О матричных алгебрах с двумя образующими и о вложении PI алгебр. УМН. 1992. Т. 47. Вып. 4. С. 199-200.

59. Медведев Ю.А. Пример многообразия разрешимых альтернативных алгебр над полем характеристики 2, не имеющего конечного базиса тождеств. Алгебра и логика. 1980. Т. 19. № 3. С. 300-313.

60. Мекей А. О представимости кольца эндоморфизмов конечной абе-левой группы матрицами над коммутативным кольцом. Науч. Отчет. Инф. Цен. МНР. 1991. № 02-910004. С. 3-15.

61. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли. Успехи мат. наук. 1990. Т. 45. Вып. 6(276). С. 25^5.

62. Ольшанский А.Ю. К проблеме конечного базиса тождеств в группах. Изв. АН СССР Серия матем. 1970. Т. 34. № 2. С. 376-384.

63. Ольшанский А.Ю. О некоторых бесконечных системах тождеств. Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1978, 13. С. 139-145.

64. Пентус А.Е. Идеал обобщенных тождеств кольца матриц над конечным полем с инволюцией. Успехи мат. наук. 1992. Т. 47. № 2. С. 187-188.

65. Пентус А.Е. Строение Т-идеала обобщенных тождеств примитивных алгебр с инволюцией над полем. Успехи мат. наук. 1992. Т. 47. № 6. С. 227-228.

66. Пентус А.Е. Т-идеал обобщенных тождеств некоторого класса примитивных алгебр с инволюцией. Фунд. и прикл. мат. 1995. Т. 1. № 1. С. 255-262.

67. Поликарпов C.B., Шестаков И.П. Неассоциативные афинные алгебры. Алгебра и логика. 1990. Т. 29. № 6. С. 709-723.

68. Поликарпов C.B. Свободные аффинные алгебры Алберта. Сиб. матем. ж. 1991, 32. № 6. С. .

69. Полин C.B. О тождествах конечных алгебр. Сиб. матем. ж. 1976, 17. № 6. С. 1356-1366.138

70. Попов А.П. О Шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр. Плиска. Бълг. мат. студ. 1981. Т. 2. С. 41-53.

71. Пчелинцев C.B. Теорема о высоте для альтернативных алгебр. Ма-тем. сб. 124. № 4. 1984. С. 557-567.

72. Пчелинцев C.B. Структура слабых тождест на грассмановых оболочках центрально-метабелевых альтернативных супералгебр суперранга 1 над полем характеристики 3. Фунд. и прикл. мат. (в печати).

73. Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств полной матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль. Алгебра и логика. 1973. Т. 12. № 1. С. 83-113.

74. Размыслов Ю.П. Об одной проблеме Капланского. Изв. АН СССР. Серия матем. 1973. Т. 37. № 3. С. 483-501.

75. Размыслов Ю.П. Радикал Джекобсона в PI-алгебрах. Алгебра и логика. 1974. Т. 13. № 3. С. 1337-1360.

76. Размыслов Ю.П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль. Изв. АН СССР. Серия матем. 1974. Т. 38. № 4. С. 723-756.

77. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр. Алгебра и логика. 1974. Т. 13. № 6. С. 685-693.

78. Размыслов Ю.П. Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли. Изв. АН СССР. Серия матем. 1981. Т. 45. № 1. С. 143-166.

79. Рябухин Ю.М., Захарова E.H. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных колец. В. кн. Исследование по алгебре и топологии. Кишинев. 1983. С. 122-130.

80. Сидеров П.Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц над произвольным полем. Плиска. Бълг. мат. студ. 1981. № 1. С. 143-153.

81. Стовба В.В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр. Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. № 2. С. 54-58.

82. Харченко В.К. Обобщенные тождества с автоморфизмами. Алгебра и логика. 1975. Т. 14. № 2. С. 215-237.

83. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями. Мат. сбор. 1957. Т. 43. С. 277-283.

84. Щиголев В.В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов. Фундамент. и прикл. матем. 1999. 5. № 1. С. 307-312.

85. Amitsur S.A., Levitzky J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. P. 449-463.

86. Amitsur S.A. A generalization of Hilbert's Nullstellensats. Proc. Amer.139Math. Soc. 1957. V. 8. № 4. P. 649-656.

87. Amitsur S.A. Generalized polynomial identities and pivotal monomials. Trans. Amer. Soc. 1965. V. 114. № 1. P. 210-226.

88. Amitsur S.A., Procesi C. Jacobson rings and Hilbert algebras with polinomial identities, Ann. mat. Рига ed applic., 71. 1966. P. 67-72.

89. Amitsur S.A. The sequence of codimensions of Pi-algebras, Isr. J. Math. 47. № 1. 1984. P. 1-22.

90. Amitsur S.A., Small L. M. Finite dimensional representation of PI algebras. J. Algebra. 1990. V. 133. P. 244-248.

91. Beidar K.I., Martindale W.S., Mikhalev A.V. Rings with Generalized Polinomial Identities. New York. Marsel Dekker. 1995.

92. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras. Proc. Cambr. Phil. Soc. 1935. V. 31. P. 433—454.

93. Brown A. The nilpotency of radical in a finitely generated Pi-ring (preprint).

94. Brown A. The radical in a finitely generated Pi-algebra. Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 7. № 2. P. 385-386.

95. Bryant R.M., Vaughan-Lee M.R. Soluble varieties of Lie algebras. Quart. J. Math. 1972. V. 23. № 89. P. 107-112.

96. Giambruno A., Zaicev M. Exponential Codimension Growth of P.I. Algebras: an Exact Estimate. Preprint N. 62. Marzo-Aprile. 1998. Univ. Palermo.

97. Drensky V.S. Codimensions of T-ideals and Hilbert series of relatively free algebras. Докл. БАН. 1981, 34. № 9. С. 1201-1204.

98. Formanek E. Central polynomials for matrix rings. J. Algebra. 1972. V. 23. № 1. P. 129-132.

99. Formanek E., Halpin P. W.-CW. LI. The Poincare series of the ring jf 2x2 generic matrices. Abctracts of paper, presented to AMS. 1. 1980. P. 775-A7.

100. Jacobson N. Structur theory for algebraic algebras of bounded degree. Ann. of Math. 1945. V. 46. P. 695-707.

101. Gabriel P. Finite Representation Type is Open (Lecture Notes in Math. № 488, Springer-Verlag, 1975).

102. Kaplansky I. Rings with polynomial identity. Bull. Amer. Math. Soc. 1948. V. 54. № 6. P. 575-580.

103. Kemer A.R. The standard identity in characteristic p. A Conjecture of I.B. Volichenko. Israel J. Math. 81. 1993. P. 343-356.

104. Kemer A.R. Multilinear identities of the algebra over a field of characteristic p. International Journal of Algebra and Computation Vol. 5.140No. 2. 1995. P. 189-197.

105. Kruse R.L. Identities satisfied by a finite ring. J. of algebra. 1973. V. 26. P. 298-318.

106. Levitzky J. Theorem of polynormial identities. Proc. Amer. Math. Soc. 1950. V. 1. № 3. P. 334-341.

107. Lewin J. A matrix representations for associative algebras. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 188. № 2. P. 293-317.

108. Littlewood D.E. Identical relation, satisfaied in an algebra. Proc. London Math. Soc. 1931. V. 32. № 2. P. 312-320.

109. Malcev A.I. Untesuchungen aus dem Gebiete der mathemischen Logic. Matem. sb. 1936. V. 1. (41). P. 323-336.

110. Mazzola G. Les composantes irreductibles du schema des algebres de dimension 5. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 286 (27 fevrier 1978). P. 389-390.

111. Neumann B.H. Identical relations in groups. Math. Ann. 1937. V. 114. P. 506-525.

112. Piontkovsky D.I. On the growth of draded algebras with a small numbers of defining relations. Uspekhi Mat. nauk. 48. 1993. 3. P. 199-200 (Russian); Russian Math. Surveys. 48. 1993. 3. P. 211-212 (English).

113. Procesi C. A noncommutative Hilbert Nullstellensatz. Rend. Math. Appl. Ser. 5. 1965. V. 25. № 1-2. P. 17-21.

114. Procesi C. Non-commutative affine rings, Atti Accad. Naz. Lincei, Mem. cl. sci. fis., mat. e natur., Ser. I, t. 8, № 6. 1967. P. 239-255.

115. Procesi C. Rings with polynomial identities. New York. Dekker. 1973.

116. Procesi C. Finite dimentional representations of algebras. Israel J. Math. 1974. V. 19. № 1-2. P. 169-182.

117. Regev A. The polynomial identities of matrices in characteristic zero. Communs Algebra. 8. 1980. P. 1417-1467.

118. Rowen L.H. Polinomial identities in Ring Theory. New York. Acad. Press. 1980.

119. Rowen L.H. Ring Theory I. Acad. Press. 1988.

120. Small L.W. Localization in Pl-rings, J. Algebra, 19 №2. 1971. P. 181-183.

121. Schafer R.D. The Wedderturn principal theorem for alternative algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 55. 1949. P. 604-614.

122. Schelter W. Non commutative Pi-rings are catenary. J. Algebra. 1978. V. 51. № 1. P. 12-18.

123. Spesht W. Gezetze in Ringen. Math. Z. 1950. V. 52. P. 557-589.

124. Sychowicz A. On the embedding of finite ring into matrices. Acta. Math. Hung. 1985. № 3-4. P. 269-272.

125. Ufnarovsky V.A. Combinatorial and asymptotical methods in algebra.141Sovr. probl. mat., Fund. napr. 57. 1990. P. 5-177 (Russian).

126. Vaughan-Lie M.R. Uncountably many varieties of groups. Bull. London. Math. Soc. 1970. V. 2. P 280-286.

127. Vaughan-Lie M.R. Varieties of Lie algebras. Quart. J. Math. 1970, 21. P. 297-308.

128. Warfield R.B. The Gelfand-Kirillov dimension of a tensor product. Math. Z. 185. 1984. P. 441^47.

129. Гришин A.B. О некоторых свойствах тождеств в алгебрах. IV Все-союзн. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Кишинев. 1980. С. 30.

130. Гришин. A.B. О делителях нуля в некоторых свободных алгебрах. XVI Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы. Ч. 1. Ленинград. 1981. С. 44.

131. Гришин A.B. Асимптотические свойства свободных конечно порожденных алгебр из Var (кг) и относительная конечная базируемость систем тождеств на кг .V Всесоюзн. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Новосибирск. 1982. С. 41-43.

132. Гришин A.B. Асимптотические свойства свободных конечно порожденных алгебр некоторых многообразий. Алгебра и логика. 1983. Т. 22. № 6. С. 608-625.

133. Гришин A.B. Об асимптотике в свободных конечно порожденных алгебрах некоторых многообразий. Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы сообщений. 4.1. Минск. 1983. С. 61-62.

134. Гришин A.B. О показателе роста представимого многообразия алгебр. XVin Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы сообщений. Ч. 1. Кишинев. 1985. С. 145.

135. Гришин A.B. Показатель роста многообразия алгебр и его приложения. Алгебра и логика. 1987. Т. 28. № 5. С. 536-557.

136. Гришин A.B. О представимости одного класса свободных алгебр. XIX Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы сообщений. Ч. 1. Львов. 1987. С. 75.

137. Гришин A.B. О конечной базируемое™ и представимости в многообразиях алгебр. Междунар. конф. по алгебре. Тезисы докл. по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск. 1989. С. 40.

138. Гришин A.B. О конечной базируемости Т-пространств свободной ассоциативной алгебры. IV Всесоюзн. школа по теории многообраз. алгебр. систем. Тезисы сообщений. Магнитогорск. 1990. С. 12-13.

139. Гришин A.B. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов. Изв. АН. СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. № 5. С. 899-927.

140. Гришин A.B. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов, близких к ассоциативным. Междунар. конф. по алгебре. Сбор142ник тезисов. Барнаул. 1991. С. 37.

141. Гришин А.В. О конечной базируемое™ абстрактных Т-пространств. III Междунар. конф. по алгебре. Красноярск. 1993. С. 99-100.

142. Grishin A.V. On finite basedness of abstract T-spaces. Proc. of Third International Algebraic Conf. Walter de Gruyter & Co., Berlin-New York. Krasnojarsk. 1993 (in English). P. 81-92.

143. Grishin A.V. On the finite basis property of T-spaces over a field of finite characteristic. Proc. of the Moscow-Tainan alg. workshop. 1994. P. 225-227.

144. Гришин A.B. Бесконечно базируемое Т-пространство над полем характеристики 2. Тезисы докл. междунар. конф. по алгебре и анализу. Казань. 1994. С. 29.

145. Гришин А.В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств. Фундамент, и прикл. матем. 1995. №3. С. 669-700.

146. Гришин А.В. О конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов над полем характеристики р > 0. Тезисы докл. междунар. алгебр, конф. Москва. 1998. С. 165-166.

147. Гришин А.В. О непшехтовости многообразия ассоциативных колец. Междунар. алгебр, семинар. Тезисы докл. Москва. 1999. С. 19.

148. Гришин А.В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2. Фундамент, и прикл. матем. 1999. 5. № 1. С. 101-118.

149. Гришин А.В. Об одной проблеме А.И. Мальцева. Междунар. конф. по матем. логике. Тезисы докл. Новосибирск. 1999. С. 95.

150. Гришин А.В. Многообразие ассоциативных колец не шпехтово. УМН. 1999. Т. 54. № 5. С. 193-194.

151. Гришин А.В. О матричной оболочке ассоциативной Р1-алгебры. Междунар. семинар, посвящ. памяти проф. JI.A. Скорнякова. Тезисы докл. Волгоград. 1999. С. 26-27.

152. Гришин А.В. Конечная базируемость Т-пространств в алгебре общих матриц. VI симп. по теории колец, алгебр и модулей. Тезисы сообщений. Львов. 1990. С. 23-24.