Т-пространства в ассоциативных алгебрах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Киреева Елена Александровна

Т-пространства в ассоциативных алгебрах

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Красильников Алексей Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Шмелькин Альфред Львович

доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет.

Защита состоится " /7 " 2004 г. в /б-ОО на заседании

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория ассоциативных алгебр с тождествами (Р/-алгебр) является важнейшим разделом современной теории колец. Одним из наиболее значительных событий в теории РЬалгебр в последние десятилетия XX века стало положительное решение А. Р. Кемером [5] знаменитой проблемы Шпехта для алгебр над полями нулевой характеристики. Теория Т-пространств, являясь составной частью теории РЬалгебр, начала активно развиваться сравнительно недавно, около 15 лет назад. Понятие Т-пространства было введено А. В. Гришиным [2],[3] в связи с близкими к проблеме Шпехта вопросами, и явилось обобщением понятия Т-идеала. За последние годы был получен целый ряд результатов, касающихся как самих Т-пространств, так и приложений этой теории к решению других вопросов для алгебр с тождествами, в первую очередь, к проблеме конечной базируемости Т-идеалов.

Пусть К — коммутативно-ассоциативное кольцо с 1, А — свободная ассоциативная Т-алгебра (без единицы или с единицей) счетного ранга со свободными порождающими Х1,Х2, ••• (для обозначения которых мы также иногда будем использовать символы х,у тл г). Элемент V = и(х1,..., хп) € А называется полиномиальным тождеством, или просто тождеством, ассоциативной )К-алгебрв1 О, если у(<71,. .. ,дп) = 0 для любых 9Ь • • •> 9п € б. В этом случае выражение V = 0 также называют тождеством алгебры G. Если {г^ | I £ П} — произвольное, но фиксированное множество тождеств, то класс всех ассоциативных К-алгебр, удовлетворяющих одновременно всем тождествам г* (£ £ П), называется многообразием. Многообразие называется конечнобазируемъш, если оно может быть определено конечным множеством тождеств, и неконечнобазируе-мым в противном случае.

Идеал V свободной алгебры А называется Т-идеалом, если V — вполне характеристический идеал в А, го есть если а(У) С V для любого эндоморфизма а алгебры А. Хорошо известно, что между множеством всех многообразий ассоциативных К-алгебр и множеством всех Т-идеалов алгебры А существует естественное взаимнооднозначное соответствие. Многообразие V ассоциативных К-алгебр является конечнобазируемым тогда и только тогда, когда соответствующий ему Т-идеал V конечнопорожден (как Т-идеал). Если V — многообразие ассоциативных К-алгебр, V — соответствующий этому многообразию Т-идеал в Л, то факторалгебра А/У с порождающими Хх + У,Х2 +V,... называется свободной алгеброй (счетного ранга) многообразия V или относительно свободной-ассоциативной

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I I БИБЛИОТЕКА |

алгеброй. Следуя [2],[3], К-подмодуль U в относительно свободной алгебре А/У назовем Т-пр_остранством, если II — вполне характеристический подмодуль, то есть а({/) С и для любого эндоморфизма а алгебры Л/У. Т-пространство назовем ограниченным, если оно порождено элементами, степень вхождения в которые любого порождающего не превосходит некоторого фиксированного натурального числа N.

В течение нескольких десятилетий оставалась открытой знаменитая проблема Шпехта (первоначально поставленная в [6] в случае, когда К — поле рациональных чисел): верно ли, что каждое многообразие ассоциативных алгебр над полем К конечнобазируемо? Или, эквивалентно: верно ли, что каждый Т-идеал свободной К-алгебры А счетного ранга конечнопорожден как Т-идеал? Естественным обобщением этой проблемы является проблема Мальцева о существовании неконечнобазируемых многообразий ассоциативных колец. Если К — произвольное поле характеристики 0, то проблема Шпехта имеет положительное решение, это было доказано А. Р. Кемером [5] в середине 80-х годов. С другой стороны, недавно А. Я. Белов [1], А. В. Гришин [4] и В. В. Щиголев [7] показали, что над полем простой характеристики р (над полем характеристики 2 в [4]) ответ на вопрос Шпехта отрицательный. Ими были построены примеры Г-идеалов в алгебре А, не являющихся конечнопорожденными. Тем самым было получено и решение проблемы Мальцева.

Оказалось, что между проблемой Шпехта и вопросом о существовании неконечнопорожденных Т-пространств в свободных алгебрах многообразий существует тесная связь. В каждой из работ [1], [4], [7] было построено свое неконечнобазируемое многообразие, отличное от построенных в двух других работах, однако в каждой из этих работ при построении такого неконечнобазируемого многообразия решающую роль играло неконечнопорожденное Т-пространство в некоторой относительно свободной ассоциативной алгебре. Позднее другими авторами были приведены другие примеры неконечнопорожденных Т-идеалов, однако при построении всех этих примеров также использовались неконсчнопорожденные Т-пространства.

А. В. Гришин первым начал систематически изучать Т-пространства, прежде всего с точки зрения их конечной порожденности. Им был построен первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем положительной характеристики. Именно, А. В. Гришин [4] доказал, что Т-пространство, порожденное элементами ... (п 6 К) над произвольным полем характеристики 2, не является копечнопорожденным как

Т-пространство, причем оказалось, что данное утверждение будет верным и по модулю близкого к коммутативности тождества [[x,y],z] = О (здесь = ху — ух), а также, если .оассматривать алгебры без единицы, то и по модулю тождества х4 = 0. Примеры неконечнопорож-денных Т-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В. В. Щиголевым в [8]. В частности, им было доказано, что Т-пространство, порожденное элементами ... x2n-la;2n1 [^în-lj^ïn] (я €Е N) в алгебре с единицей над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2, не является конечнопорож-денным, причем данное утверждение будет верным и по модулю тождества а также, если рассмотреть данное Т-пространство, как Т-пространство в подалгебре без единицы, то и по модулю тождества хр — 0. Также В. В. Щиголевым были построены примеры неконеч-нопорожденного Т-пространства, порожденного мономомами, над бесконечным полем характеристики р > 2, а также неконечнопорожденного Т-пространства, порожденного элементами, зависящими от двух порождающих. Впоследствии В. В. Щиголевым [9] был построек целый ряд примеров неконечнопорожденных Т-пространств над произвольным полем характеристики р > О, в частности, им был предложен способ обобщения ранее полученных результатов со случая бесконечного поля на случай произвольного поля путем рассмотрения Т-пространств с дополнительным условием замкнутости относительно взятия полиоднородных компонент.

Отметим, что в случае поля положительной характеристики до недавнего времени почти не имелось результатов в положительном направлении. Исключением можно считать результат А. В. Гришина о конечной порожденности Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов над бесконечным полем. С другой стороны, недавно В. В. Щиголев доказал, что если основное кольцо К есть поле характеристики нуль, то в свободной ассоциативной К-алгебре все Т-пространства конечнопорождсны. В то же время, упомянутыми выше авторами были исследованы некоторые экстремальные свойства Т-пространств над полями положительной характеристики и кольцами, связанные с конечной порожденностью.

Заметим, что помимо свободных алгебр счетного ранга можно рассматривать и свободные алгебры конечного и несчетного рангов. В случае конечного ранга (так называемый локальный случай) ситуация для Т-пространств и Т-идеалов существенно различается. В. В. Щиголевым [8] были построены примеры неконечнопорожденных Т-пространств в

2-порожжденной алгебре. С другой стороны, все Т-идеалы в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга конечпопорожждеиы, этот результат был доказан А. Р. Кемером для случая бесконечного поля и позднее распространен А. Я. Беловым на случай произвольного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца с 1.

Многообразие V ассоциативных алгебр называется шпехтовым, если все его подмногообразия конечнобазируемы (включая и само многообразие V). Минимальные неконечнобазируемые многообразия — это неконеч-нобазируемые многообразия, все собственные подмногообразия которых конечнобазируемы. Такие минимальные многообразия называются также почти конечнобазируемыми, почти шпехтовыми ИЛИ предельными. Отметим, что предельные многообразия в некотором смысле представляют собой границу между шпехтовыми и нешпехтовыми многообразиями. Соответственно, Т-идеал / в свободной ассоциативной алгебре А называется почти конечнопорожденным или предельным, если / является максимальным неконечнопорожденным Т-идеалом. С помощью леммы Цорна легко доказать, что если в свободной алгебре существуют неко-нечнопорожденные Т-идеалы, то существуют и максимальные неконеч-нопорожденные, то есть предельные, Т-идеалы. Ни одного конкретного примера такого Т-идеала (и многообразия), однако, неизвестно. Отметим, что вопрос о примерах предельных многообразий возникает для различных универсальных алгебр. Вопрос о построении примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полем К простой характеристики на данный момент представляется актуальной и (по-видимому) очень трудной проблемой. Интересен также вопрос о количестве таких многообразий.

Т-пространство U в относительно свободной ассоциативной алгебре A/V называется почти конечнопорожденным или предельным, если П является максимальным неконечнопорожденным Т-пространством, то есть если оно не является конечнопорожденным, но всякое Т-пространство в А/У, содержащее П как собственное подмножество, конечнопорожде-по. Предельные Т-пространства, таким образом, представляют собой границу между конечнопорожденными и неконечнопорожденными Т-прост-ранствами. Как следует из леммы Цорна, если в относительно свободной алгебре существуют неконечнопорожденные Т-пространства, то существуют и максимальные неконечнопорожденные, то есть предельные, Т-пространства. Нахождение примеров предельных Т-пространств, представляет интерес как для самой теории Т-пространств, так и с точки

зрения проблемы построения примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики.

Цель работы. Задача диссертации заключается в изучении свойств многообразий ассоциативных алгебр, связанных с конечной порожденно-стью Т-пространств в свободных алгебрах этих многообразий, и построении примеров предельных Т-пространств.

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории ассоциативных алгебр, а также метод вполне предупорядо-ченных множеств.

Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана конечная базируемость Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов над произвольным нетеровым кольцом.

2. Доказана конечная базируемость ограниченных Т-пространств в свободных алгебрах, удовлетворяющих тождеству [zj, хг]-. • .•[xzn-i, — 0> а также конечная базируемость Т-пространств в нильалгебрах с тем же тождеством над произвольным нетеровым кольцом.

3. Доказана минимальность многообразия ассоциативных алгебр, заданного тождествами [[я,у],.г] = 0 и х4 = 0, если р = 2, и [[ж, у], z] = 0 и

хр = 0, если р > 2, где р — характеристика основного поля, с точки зрения наличия неконечнопорожденных Т-пространств в свободной алгебре. (Этот результат получен совместно с А. Н. Красильниковым).

4. Получены примеры предельных Т-пространств в относительно свободных алгебрах, а также в свободной ассоциативной алгебре над произвольным полем положительной характеристики.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории многобразий ассоциативных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации-докладывались на IV международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященной 180-летию П. Л. Чебышева и llO-летию И. М. Виноградова (Тула, 2001 г.); международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С. Н. Черникова (Екатеринбург, 2002 г.); международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург,

2002 г.); V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.); 10-й международной конференции "Группы и групповые кольца"(Устрон, Польша, 2003 г.); международной конференции "Алгебры, модули и кольца"(Лиссабон, Португалия, 2003 г.), а также на научных семинарах по теории колец и модулей (руководители — проф. А .В. Михалев, проф. В. Н. Латышев, проф. В. А. Артамонов), по теории групп (руководитель — проф. А. Л. Шмель-кин) кафедры высшей алгебры МГУ, и на научном семинаре кафедры алгебры МПГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 69 страницах. Список литературы содержит 52 наименования.

Содержание работы.

Введение. Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации, а также формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1. В первой главе изучаются Т-пространства в алгебрах коммутативных многочленов над нетеровыми кольцами. А. В. Гришин [4] доказал, что в алгебре коммутативных многочленов над бесконечным полем все Т-прострапства коиечнопорождены. Автором диссертации этот результат был распространен на случай произвольного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца с 1.

Теорема 1. Пусть К — произвольное нетерово коммутативно-ассоциативное кольцо с 1, А ~ алгебра (коммутативных) многочленов над К. Тогда все Г-пространства в А консчнопорождены.

В первом параграфе доказываются вспомогательные утверждения, связанные с применением техники вполне предупорядоченных множеств. Во втором, третьем и четвертом параграфах доказано утверждение теоремы 1 для случаев основного кольца характеристики р, где р — простое, характеристики те, где п — натуральное, и в общем случае, соответственно.

Глава 2. Во второй главе изучаются Т-пространства в относительно свободных алгебрах над нетеровыми кольцами. В первом параграфе рассмотрено многообразие V(n) ассоциативных алгебр с единицей или без единицы, заданное тождеством

В свободных алгебрах многообразия V(n) изучаются ограниченные Т-про-странства. Рассмотрение данного случая является важным, так как с одной стороны, в свободных алгебрах многообразия, задаваемого довольно близким тождеством над полем положительной характери-

стики р, как показали А. В. Гришин [4] (для р = 2), и В. В. Щиголев [8], содержатся неконечнопорожденные Т-пространства, причем как ограниченные, так и не являющиеся таковыми (В. В. Щиголев), и с другой стороны, В. В. Щиголевым были построены примеры неконечнопорожден-ных Т-пространств, не являющихся ограниченными, в свободной алгебре многообразия У(п) уже для п — 2. А. В. Гришин поставил вопрос: не будут ли конечнопорождены ограниченные Т-пространства в свободной алгебре многообразия V(n) над полем? Автору удалось получить утвердительный ответ на этот вопрос для алгебр над произвольным нетеровым коммутативно-ассоциативным кольцом с 1.

Теорема 2. Пусть К — произвольное нетерово коммутативное и ассоциативное кольцо с 1, п — произвольное, но фиксированное натуральное число. Тогда в свободных алгебрах многообразия V(n) все ограниченные Т-пространства конечнопорождены.

Во втором параграфе рассматривается многообразие V = \{п, И) ассоциативных алгебр без единицы, заданное тождествами где N — некоторое натуральное число. Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть К — произвольное нетерово коммутативное и ассоциативное кольцо с 1, п и N — произвольные, но фиксированные натуральные числа. Тогда в свободных алгебрах многообразия V все Т-прост-ранства конечнопорождены.

Глава 3. В третьей главе изучаются экстремальные многообразия ассоциативных алгебр с точки зрения наличия неконечнопорожденных Т-про-странств в свободных алгебрах этих многообразий. Рассматривается многообразие ассоциативных алгебр без единицы "Ур над произвольным полем Р простой характеристики р, заданное тождествами [[х, у], г] = 0 и х4 = 0, если р = 2, и тождествами = 0 и хр = 0, если р > 2.

Известно, что свободная алгебра счетного ранга многообразия \р содержит неконечнопорожденные Т-пространства (А. В. Гришин [4] для р = 2 и В. В. Щиголев ([8],[9]) для простого р > 2). Основным результатом данной главы является следующая теорема, полученная автором диссертации совместно с А. Н. Красильниковым.

Теорема 4. Пусть F — произвольное поле простой характеристики р.

Многообразие Ур является минимальным многообразием ассоциативных Б-алгебр, свободная алгебра счетного ранга которого содержит неконеч-нопорожденные Г-пространства.

Глава 4. В четвертой главе получены примеры предельных Т-про-странств в свободных алгебрах над полями положительной характеристики р. Рассматриваются многочлены (¿к = ■•■хк Vе € если

р = 2, и многочлены Д,,.....= х^хр^и х2]-...-х^х^Ч^к-ьх2*](к 6

К, с^ 6 {0,р— 1} для всех t = 1,..., 2/г), если р > 2. Рассматривается многообразие Vр, определенное в главе 3. Пусть А/Ур — свободная алгебра многообразия Ур счетного ранга. Обозначим символом 5 Т-пространство в А/\р, порожденное элементами (¡к + (к ^ 1), если р = 2, и элементами На1г„^аи + Ур (к ^ 1), если р > 2. Известно, что S не является конечнопорожденным как Т-пространство (А. В. Гришин [4] для р — 2 и В. В. Щиголев ([8],[9]) для простого р > 2). Основным результатом данной главы является следующая теорема.

Теорема 7. 5 — предельное Т-пространство в алгебре А/Ур.

Обозначим символом 5 Т-пространство в свободной ассоциативной алгебре А счетного ранга без единицы, порожденное элементами (¿к (к ^ 1)1 [[хь х2], х3], Х1[[х2, х3], Х4}, если р = 2, и элементами Д^, ,.,а24 (А: ^ 1),Х?,Х1Х£, [[Х1,Х2],ХЗ],Х1[[Х2,ХЗ],Х4], если р > 2.

Теорема 9. 5 — предельное Т-пространство в алгебре А.

Автор приносит искреннюю благодарность А. Н. Красильникову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также А. В. Гришину за интерес к работе, постановку одной из задач и полезные обсуждения полученных результатов.

Цитированная литература.

[1] Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. прикл. ма-тем. 1999. Т. 5. С. 47-66.

[2] Гришин А. В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, N 5. С. 899-927.

[3] Гришин А. В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств. // Фундам. прикл. матем. 1995. Т. 1. N 3. С. 669-700.

[4] Гришин А. В. Примеры не конечной базируемости Т-пространств и Т-идеалов в характеристике 2 // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 101-118.

[5] Кемер А. Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр // Алгебра и Логика, 1987. Т. 26. С. 597-641.

[6] Specht W. Gesetze in Ringen. // Math. Z., 1950. V. 52. P. 557-589.

[7] Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фун-дам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 307-312.

[8] Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Г-пространств // Матем. сб. 2000. Т. 191. С. 143-160.

[9] Щиголев В. В. Бесконечно базируемые Т-пространства и Т-идеалы. Дис. канд. физ.-мат. наук. // М.: МГУ, 2002.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Киреева Е. А. Т-подмодули в алгебрах многочленов // Депонировано в ВИНИТИ 19.07.2000, N 1994-вОО, 35 стр. (2,2 п.л.)

[2] Kireeva E. A. Fully invariant submodules in polynomial algebras. Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О. Ю. Шмидтом в 1930 году. Тезисы докладов. М.: МГУ. 13-16 ноября 2000 г. С. 79. (0,06 п.л.)

[3] Киреева Е. А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в некоторых относительно свободных ассоциативных алгебрах // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). М.: Прометей. 2000. С. 269-276. (0,5 п.л.)

[4] Киреева Е. А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в некоторых относительно свободных ассоциативных алгебрах. IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Тезисы докладов. Тула, ТГПУ. 10-15 сентября 2001 г. С. 69. (0,06 п.л.)

[5] Киреева Е. А. О конечной порожденности вполне инвариантных подмодулей в алгебрах многочленов // Чебышевский сборник. Труды IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Изд-во гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2001. Т. 2(2001). С. 54-60. (0,4 п.л.)

[6] Киреева Е. А., Красилышков А. Н. О минимальных многообразиях, свободные алгебры которых содержат неконечнопорожденные Г-прост-

ранства. Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А. Н. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина. Институт математики и механики УрО РАН. Тезисы докладов. Екатеринбург. 17-21 декабря 2001 г. С. 98-101. (0,2 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

[7] Киреева Е. А., Красильников А. Н. О некоторых экстремальных многообразиях ассоциативных алгебр. // Труды международного семинара "Алгебра и линейная оптимизация", посвященного 90-летию со дня рождения С. Н. Черникова. Екатеринбург. УрО РАН. 3-5 июня 2002 г. С. 135-140. (0,3 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

[8] Киреева Е. А., Красильников А. Н. О некоторых экстремальных многообразиях ассоциативных алгебр. Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 17-23 сентября 2002 г. С. 40-42. (0,1 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

[9] Kireeva E.A., Krasilnikov A. N. Some extremal varieties of associative algebras. The 10th International Conference "Groups and Group Rings". Ustron, Poland. June 10-14, 2003. P. 36-38. (0,1 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

[10] Kireeva E.A., Krasilnikov A. N. Some extremal varieties of associative algebras. International Conference on Algebras, Modules and Rings. Lisbon, Portugal, 14-18 July, 2003. P. 44-45. (0,1 п.л., соискателем выполнено 50% работы)

[11] Киреева Е. А., Красильников А. Н. Экстремальные многообразия ассоциативных алгебр // Депонировано в ВИНИТИ 25.02.2004, N 319-В2004, 18 стр. (1,1 п.л., соискателем выполнено 70% работы)

[12] Киреева Е. А. Предельные Г-пространства // Депонировано в ВИНИТИ 25.02.2004, N 320-В2004, 22 стр. (1,4 п.л.)

Подл, к печ. 31.03.2004 Объем 0.75 п.л. Заказ №107 Тир. 100

Типография МПГУ

»2- 66 3 3

Введение

Глава 1. Т-пространства в алгебрах многочленов

1.1 Вполне предупорядоченные множества

1.2 Случай простой характеристики

1.3 Случай характеристики п

1.4 Общий случай

Глава 2. Конечнопорожденные Т-пространства

2.1 Ограниченные Т-пространства

2.2 Т-пространства в нильалгебрах

Глава 3. Экстремальные многообразия

3.1 Основные теоремы

3.2 Доказательство предложения 3.

Глава 4. Предельные Т-пространства

4.1 Основные утверждения

4.2 Случай поля характеристики

4.3 Случай поля характеристики р >

Теория ассоциативных алгебр с тождествами (Pi-алгебр) является важнейшим разделом современной теории колец. Одним из наиболее значительных событий в теории PI-алгебр в последние десятилетия XX века стало положительное решение А. Р. Кемером [24} знаменитой проблемы Шпехта для алгебр над полями нулевой характеристики. Теория Т-пространств, являясь составной частью теории PI-алгебр, начала активно развиваться сравнительно недавно, около 15 лет назад. Понятие Т-про-странства было введено А. В. Гришиным [12]-[14] в связи с близкими к проблеме Шпехта вопросами, и явилось обобщением понятия Т-идеала. За последние годы был получен целый ряд результатов, касающихся как самих Т-пространств, так и приложений этой теории к решению других вопросов для алгебр с тождествами, в первую очередь, к проблеме конечной базируемости Т-идеалов.

Пусть К — коммутативно-ассоциативное кольцо с 1, А — свободная ассоциативная i^-алгебра (без единицы или с единицей) счетного ранга со свободными порождающими х\, Х2,. (для обозначения которых мы также иногда будем использовать символы х,у и z). Элемент v = v(xi,., хп) G А называется полиномиальным тождеством, или просто тождеством, ассоциативной /^-алгебры G, если v(gi,. .,gn) = 0 для любых gi,., gn G G. В этом случае выражение v = 0 также называют тождеством алгебры G. Например, всякая коммутативная алгебра удовлетворяет тождеству [:х, у] = О (здесь [х,у] — ху — ух), всякая нильалгебра ограниченного индекса удовлетворяет тождеству хп = 0 для некоторого п € N, алгебра Грассмана удовлетворяет тождеству [[я, у], г] = 0. Если {vt | t € П} — произвольное, но фиксированное множество тождеств, то класс всех ассоциативных К-алгебр, удовлетворяющих одновременно всем тождествам Vt (t £ П), называется многообразием. Многообразие называется конеч-нобазируемым, если оно может быть определено конечным множеством тождеств, и неконечнобазируемым в противном случае.

Идеал V свободной алгебры А называется Т-идеалом, если V — вполне характеристический идеал в А, то есть если a(V) С V для любого эндоморфизма а алгебры А. Хорошо известно, что между множеством всех многообразий ассоциативных К-алгебр и множеством всех Т-идеалов алгебры А существует естественное взаимнооднозначное соответствие. Именно, если V — многообразие ассоциативных if-алгебр, то соответствующий ему Т-идеал V алгебры А — это множество всех тождеств, удовлетворяющихся в каждой алгебре из V. С другой стороны, если V — Т-идеал в А, то соответствующее ему многообразие V — это многообразие, определяемое системой тождеств {v | v € V}. Многообразие V ассоциативных К-алгебр является конечнобазируемым тогда и только тогда, когда соответствующий ему Т-идеал V конечнопорожден (как Т-идеал), то есть существует конечное множество элементов v\,., и* € V таких, что любой элемент v £V представляется в виде и = X^f-i ai9№i{vi)hii где ац,., a* G К; 9u---,9k,hi,.,hk G A; (pi,.,<pk — эндоморфизмы алгебры А. Если V — многообразие ассоциативных /Г-алгебр, V — соответствующий этому многообразию Т-идеал в А, то факторалгебра A/V с порождающими X\+V,X2+V,. называется свободной алгеброй (счетного ранга) многообразия V или относительно свободной ассоциативной алгеброй. Основные определения, факты и библиографию, относящуюся к полиномиальным тождествам и многообразиям ассоциативных алгебр, можно найти в [4], [8], 121], [45].

Следуя [12]-[14], /^-подмодуль U в относительно свободной алгебре A/V назовем Т-прострапством, если U — вполне характеристический подмодуль, то есть a(U) С U для любого эндоморфизма а алгебры A/V. Примерами Т-пространств, не являющихся Т-идеалами, могут служить линейная оболочка коммутаторов [/, д] (/, д G А) свободной алгебры А или множество всех центральных многочленов алгебры матриц порядка 2 и выше. Т-пространство U алгебры A/V называется конечнопорожденным, если существует конечный набор элементов щ,., щ G U таких, что любой элемент и б U представляется в виде и = гДе аъ • • •»ak € К; <pi,., ip^ — эндоморфизмы алгебры A/V.

В течение нескольких десятилетий оставалась открытой знаменитая проблема Шпех-та (первоначально поставленная в [47] в случае, когда К — поле рациональных чисел): верно ли, что каждое многообразие ассоциативных алгебр над полем К конечноба-зируемо? Или, эквивалентно: верно ли, что каждый Т-идеал свободной if-алгебры А счетного ранга конечнопорожден как Т-идеал? Естественным обобщением этой проблемы является проблема Мальцева (см. [38]) о существовании неконечнобазируемых многообразий ассоциативных колец. Если К — произвольное поле характеристики О, то проблема Шпехта имеет положительное решение, это было доказано в середине 80-х годов А. Р. Кемером в замечательных работах [23] и [24]. С другой стороны, недавно А. Я. Белов [5], А. В. Гришин [12] и В. В. Щиголев [48] показали, что над полем простой характеристики р (над полем характеристики 2 в [12]) ответ на вопрос Шпехта отрицательный (см. также [6], [13], [16], [50]). Ими были построены примеры Т-идеалов в алгебре А, не являющихся конечнопорожденными. Тем самым было получено и решение проблемы Мальцева.

Оказалось, что между проблемой Шпехта и вопросом о существовании неконечно-порожденных Т-пространств в свободных алгебрах многообразий существует тесная связь. В каждой из работ [5], [12], [48] было построено свое неконечнобазируемое многообразие, отличное от построенных в двух других работах, однако в каждой из этих работ при построении такого неконечнобазируемого многообразия решающую роль играло неконечнопорожденное Т-пространство в некоторой относительно свободной ассоциативной алгебре. Позднее другими авторами были приведены другие примеры неконечнопорожденных Т-идеалов, однако при построении всех этих примеров также использовались неконечнопорожденные Т-пространства (см. [20], [2], [3]).

А. В. Гришин первым начал систематически изучать Т-пространства, прежде всего с точки зрения их конечной порожденности (см. [12] - [15]). Им был построен первый пример неконечнопорожденного Т-пространства над полем положительной характеристики. Именно, А. В. Гришин [15] доказал, что Т-пространство, порожденное элементами х1.х^(п € N) над произвольным полем характеристики 2, не является конечнопорожденным как Т-пространство, причем оказалось, что данное утверждение будет верным и по модулю близкого к коммутативности тождества [[гг, у], z] = 0, а также, если рассматривать алгебры без единицы, то и по модулю тождества х4 = 0. Примеры неконечнопорожденных Т-пространств над бесконечными полями характеристики р > 2 были получены В. В. Щиголевым в [49]. В частности, им было доказано, что Т-пространство, порожденное элементами х{~1х^~1[х1,х2]. •^2^-irr2r»1[a;2n-x>^2n] (п € N) в алгебре с единицей над произвольным бесконечным полем характеристики р > 2, не является конечнопорожденным, причем данное утверждение будет верным и по модулю тождества [[х, y],z\ = 0, а также, если рассмотреть данное Т-пространство, как Т-пространство в подалгебре без единицы, то и по модулю тождества хр = 0. Также В. В. Щиголевым были построены примеры неконечно-порожденного Т-пространства, порожденного мономомами, над бесконечным полем характеристики р > 2, а также неконечнопорожденного Т-пространства, порожденного элементами, зависящими от двух порождающих. Впоследствии В. В. Щиголевым

52] был построен целый ряд примеров неконечнопорождеиных Т-пространств над произвольным полем характеристики р > 0, в частности, им был предложен способ обобщения ранее полученных результатов со случая бесконечного поля на случай произвольного поля путем рассмотрения Т-простраиств с дополнительным условием замкнутости относительно взятия полиоднородных компонент.

Отметим, что в случае поля положительной характеристики до недавнего времени почти не имелось результатов в положительном направлении. Исключением можно считать результат А. В. Гришина [15] о конечной порожденное™ Т-пространств в алгебрах коммутативных многочленов (то есть в свободных алгебрах многообразия асооциативных алгебр, задаваемого тождеством [х,у] = 0) над бесконечным полем. С другой стороны, недавно В. В. Щиголев [51], используя технику и обобщая результаты А. В. Гришина [14] и А. Р. Кемера ([23], [24]), доказал, что если основное кольцо К есть поле характеристики нуль, то в свободной ассоциативной /^-алгебре все Т-пространства конечнопорождены. В то же время, упомянутыми выше авторами были исследованы некоторые экстремальные свойства Т-пространств над полями положительной характеристики и кольцами, связанные с конечной порожденностью. Если К — поле характеристики р = 2, то, как показали А. В. Гришин и С. В, Урбаха-нов [18], Т-пространство, порожденное произведениями квадратов, и не являющееся конечнопорожденным по модулю тождеств [[х, г/],г] = 0 и i4 = 0, оказывается ко-нечнопорожденным, если рассмотреть данное Т-пространство по модулю тождеств [[я,у],г] = 0 и [xi,x<^ •. • [ж2п-ъ#2г>] = 0 (n е N). Кроме того, ими было показано, что указанное выше Т-пространство обладает также интересным экстремальным свойством, связанным с коразмерностями подпространства 2-слов. В. В. Щиголевым [52] были построены примеры неконечнопорождеиных Т-пространств над полями ха-рактеристки р > 2, обладающие аналогичным свойством. Также В. В. Щиголевым [49] были построены примеры неконечнопорождеиных Т-пространств над Z, образы которых при эпиморфизме, индуцированном естественным эпиморфизмом Z —Z„, оказываются конечнопорожденными для любого п G N.

Заметим, что помимо свободных алгебр счетного ранга можно рассматривать и свободные алгебры конечного и несчетного рангов. В случае конечного ранга (так называемый локальный случай) ситуация для Т-пространств и Т-идеалов существенно различается. В. В. Щиголевым [49] были построены примеры неконечнопорождеиных Т-пространств в 2-порожденной алгебре. С другой стороны, все Т-идеалы в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга конечнопорождены, этот результат был доказан А. Р. Кемером [25] для случая бесконечного поля и позднее распространен А. Я. Беловым ]7] на случай произвольного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца с 1.

Многообразие V ассоциативных алгебр называется шпехтповым, если все его подмногообразия конечнобазируемы (включая и само многообразие V). Минимальные неконечнобазируемые многообразия — это неконечнобазируемые многообразия, все собственные подмногообразия которых конечнобазируемы. Такие минимальные многообразия называются также почти конечнобазируемыми, почти шпехтовыми или предельными. Отметим, что предельные многообразия в некотором смысле представляют собой границу между шпехтовыми и нешпехтовыми многообразиями. Соответственно, Т-идеал I в свободной ассоциативной алгебре А называется почти конечнопорожденным или предельным, если I является максимальным неконечнопорож-денным Т-идеалом, то есть если он сам не является конечнопорожденным, но всякий Т-идеал, содержащий I как собственное подмножество, конечнопорожден. С помощью леммы Цорна легко доказать, что если в свободной алгебре существуют неконечно-порожденные Т-идеалы, то существуют и максимальные неконечнопорожденные, то есть предельные, Т-идеалы. Поэтому из отрицательного решения проблемы Шпехта над полем К простой характеристики вытекает, что указанные предельные Т-идеалы (и предельные многообразия ассоциативных К-алгебр) существуют в свободной ассоциативной алгебре над любым полем простой характеристики. Ни одного конкретного примера такого Т-идеала (и многообразия), однако, неизвестно. Отметим, что вопрос о примерах предельных многообразий возникает для различных универсальных алгебр. Так, известны примеры предельных многообразий полугрупп (см. [11J), алгебр Ли (И. Б. Воличенко, [10]), альтернативных алгебр (С. В. Пчелинцев, [44]) и бигрупп (Ч. К. Гупта и А. Н. Красилышков, [19]). Интересной представляется ситуация с предельными многообразиями групп. Ситуации в группах и в ассоциативных алгебрах похожи, в частности, тем, что в обоих случаях решение вопроса конечной базируе-мости вызывало в свое время существенные затруднения. Предельные многообразия групп были описаны в 1970 году А. Ю. Ольшанским [43] и С. И. Адяном [1]. В 1971 году М. Ф. Ньюмен [42] доказал, что существует бесконечно много предельных многообразий групп. После этого вопрос о построении примеров таких многообразий был поставлен А. Ю. Ольшанским (см. [38]) и с тех пор остается одним из самых актуальных открытых вопросов в теории многообразий групп. Вопрос о построении примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полем К простой характеристики был поставлен А. Н. Красильниковым в совместной с автором диссертации работе [32], и на данный момент представляется актуальной и (по-видимому) очень трудной проблемой. Интересен также вопрос о количестве таких многообразий.

Определим понятие предельного Т-пространства по аналогии с предельным Т-идеаг лом. Именно, назовем Т-пространство U в относительно свободной ассоциативной алгебре A/V почти коненнопорожденным или предельным, если U является максимальным неконечнопорожденным Т-пространством, то есть если оно не является конечнопорожденным, но всякое Т-пространство в A/V, содержащее U как собственное подмножество, конечнопорождено. Предельные Т-пространства, таким образом, представляют собой границу между конечнопорожденными и неконечнопорожденны-ми Т-пространствами. Как следует из леммы Цорна, если в относительно свободной алгебре существуют неконечнопорожденные Т-пространства, то существуют и максимальные неконечнопорожденные, то есть предельные, Т-пространства. Нахождение примеров предельных Т-пространств, таким образом, представляет интерес как для самой теории Т-пространств, так и с точки зрения проблемы построения примеров предельных многообразий ассоциативных алгебр над полями положительной характеристики.

Перейдем теперь к рассмотрению основных результатов диссертации. В первой главе исследуются Т-пространства в алгебрах коммутативных многочленов над нетеро-выми кольцами. А. В. Гришин [15] доказал, что в алгебре коммутативных многочленов над бесконечным полем все Т-пространства конечнопорождены (как Т-пространства). Автором диссертации этот результат был распространен на случай произвольного нетерова коммутативно-ассоциативного кольца с 1. В первом параграфе доказываются вспомогательные утверждения, связанные с применением техники вполне предупо-рядоченных множеств. Во втором, третьем и четвертом параграфах доказано утверждение теоремы для случаев основного кольца характеристики р, где р — простое, характеристики п, где п — натуральное, и в общем случае, соответственно. Заметим, что данное доказательство может быть почти дословно перенесено на случай свободной алгебры многообразия ассоциативных алгебр, задаваемого тождеством ху = —ух, над произвольным нетеровым кольцом.

Во второй главе изучаются Т-пространства в относительно свободных алгебрах над нетеровыми кольцами. В первом параграфе рассмотрено многообразие V(n) ассоциативных алгебр с единицей или без единицы, заданное тождеством хих2] • [гг3> Х4] •. • [х2п-1,х2п] = о. (1)

В свободных алгебрах многообразия V(n) изучаются Т-пространства, порожденные элементами, степень вхождения в которые любого порождающего не превосходит некоторого фиксированного натурального числа N. А. В. Гришин предложил называть такие Т-пространства ограниченными. Рассмотрение данного случая является важным, так как с одной стороны, в свободных алгебрах многообразия, задаваемого довольно близким тождеством [[ж, у], z] = 0, над полем положительной характеристики р, как показали А. В. Гришин [15] (для р — 2), и В. В. Щиголев [49], содержатся неконечнопорожденные Т-пространства, причем как ограниченные, так и не являющиеся таковыми (В. В. Щиголев), и с другой стороны, В. В. Щиголевым были построены примеры неконечнопорожденных Т-пространств, не являющихся ограниченными, в свободной алгебре многообразия V(n) уже для п = 2. А. В. Гришин поставил вопрос: не будут ли конечнопорождены ограниченные Т-пространства в свободной алгебре многообразия V(n) над полем? Автору удалось получить утвердительный ответ на этот вопрос для алгебр над произвольным нетеровым коммутативно-ассоциативным кольцом с 1. Именно, доказано, что для произвольного нетерова коммутативного и ассоциативного кольца К с 1, и произвольного фиксированного натурального числа п, все ограниченные Т-пространства в свободной алгебре многообразия V(n), конечнопорождены (как Т-пространства).

Во втором параграфе рассматривается многообразие V(n,iV) ассоциативных алгебр без единицы, заданное тождествами (1) и xN — 0, где N — некоторое натуральное число. Доказано, что если К — произвольное нетерово коммутативное и ассоциативное кольцо с 1, п и N — произвольные, но фиксированные натуральные числа, то в свободных алгебрах многообразия V(n, N) все Т-пространства конечнопорождены. Отметим, что первоначально автором диссертации было получен результат второго параграфа. После этого А. В. Гришин поставил упомянутый выше вопрос о конечной порожденное™ ограниченных Т-пространств. Модифицировав доказательство, автор получила утверждение теоремы из первого параграфа. Оказалось, что в этом случае полученный ранее результат является следствием более сильного нового утверждения.

В третьей главе изучаются экстремальные многообразия ассоциативных алгебр с точки зрения наличия неконечнопорожденных Т-пространств в свободных алгебрах этих многообразий. Результаты этой главы получены автором диссертации совместно с А. Н. Красильниковым. Рассматривается многообразие Vp ассоциативных алгебр без единицы над произвольным полем К простой характеристики р, заданное тождествами [[x,?/],z] = 0 и х4 = 0, если р = 2, и тождествами [[х, y],z] — 0 и хр = 0, если р > 2. Известно, что свободная алгебра счетного ранга многообразия Vp содержит неконечнопорожденные Т-пространства (А. В. Гришин [15] для р — 2 и В. В. Щиголев ([49],[52]) для простого р > 2). Отметим, что для р > 2 многообразие Vp порождается бесконечномерной алгеброй Грассмана над полем К (Чирипов П. Ж., Сидеров П. Н. [46]). Доказано, что над произвольным полем К простой характеристики р, многообразие Vp является минимальным многообразием ассоциативных ЛТ-алгебр, свободная алгебра счетного ранга которого содержит неконечнопорожденные Т-пространства. Именно, доказано, что всякое собственное подмногообразие многообразия Vp удовлетворяет тождеству (1) для подходящего п € N. Тогда, как следствие этого факта и теоремы из главы 2, получаем, что в свободных алгебрах любого собственного подмногообразия многообразия Vp все Т-пространства конечнопорождены.

В четвертой главе получены примеры предельных Т-пространств в свободных алгебрах над произвольным полем положительной характеристики р. Рассматриваются многочлены Qk = х\х\ --.xl (к G N), если р = 2, и многочлены Rau.,a2k =

1 агз2, •—• x2Afe[^г*-1, ^2/fc] G {0,р—1} для всех t = 1,. ,2к), если р> 2. Рассматривается многообразие Vp, определенное в главе 3 и свободная алгебра A/Vp многообразия Vp счетного ранга. Рассматривается Т-пространство S в A/Vp, порожденное элементами Qjt + ^г {к ^ 1), если р — 2, и элементами Rai,.,a2k + Vp(k> 1), если р > 2. А. В. Гришин [15] для р — 2 и В. В. Щиголев ([49],[52]) для простого р > 2 доказали, что S не является конечнопорожденным как Т-пространство. Автором диссертации было доказано, что S является предельным Т-пространством в алгебре A/Vp.

Как следствия этого факта, получены примеры предельных Т-пространств в свободной алгебре счетного ранга многообразия Up ассоциативных алгебр без единицы над полем К, задаваемого тождеством [[яг, у], z] = 0, а также в свободной ассоциативной алгебре без единицы счетного ранга. Именно, Т-пространство S в A/Up, порожденное элементами Qk+U2(k ^ \),x\x\-\-U2, еслир = 2, и элементами RQl.a2k+Up(k ^

1 ),x%+Up, XiX^+Up, если р > 2, является предельным Т-пространством в алгебре A/Up. (Иначе говоря, предельным в алгебре A/Up будет Т-пространство, порожденное теми же элементами, что и в предыдущем случае, плюс Т-идеал, порожденный элементом х4 + Up, если р = 2, и элементом хр + Up, если р > 2). Аналогично, добавляя в свободной алгебре к имеющемуся множеству порождающих Т-идеал, порожденный элементом [[x,y],z], получаем, что Т-пространство S в свободной ассоциативной алгебре А, порожденное элементами Qk (к ^ 1), я^Л^ь^],^]» х![[х2,хз],х4], если р = 2, и элементами Rai,.,a2k (к ^ 1)> ^ xi^ [[хих2],хз], х\[[х2,хз],х4\, если р > 2, является предельным Т-пространством в свободной ассоциативной алгебре А. Отметим, что примеры неконечнопорожденных Т-пространств, построенные В. В. Щиголевым для алгебр A/Up и А над полями характеристики р > 0, попадают в построенные автором предельные Т-пространства. В связи с этим возникает вопрос: а не будет ли предельное Т-пространство единственным для каждой из алгебр?

Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах [26]-[37]. Результаты главы 3 получены автором совместно с А. Н. Красильниковым, остальные результаты получены автором самостоятельно. Результаты диссертации докладывались на IV международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященной 180-летию П. JI. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова (Тула, 2001 г.); международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация", посвященном 90-летию со дня рождения С. Н. Черникова (Екатеринбург, 2002 г.); международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002 г.); V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.); 10-й международной конференции "Группы и групповые кольца"(Устрон, Польша, 2003 г.); международной конференции "Алгебры, модули и кольца"(Лиссабон, Португалия, 2003 г.), а также на научных семинарах по теории колец и модулей (руководители — проф. А. В. Михалев, проф. В. Н. Латышев, проф. В. А. Артамонов), по теории групп (руководитель — проф. А. Л. Шмелькин) кафедры высшей алгебры МГУ, и на научном семинаре кафедры алгебры МПГУ.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность А. Н. Красильникову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также А. В. Гришину за интерес к работе, постановку одной из задач и полезные обсуждения полученных результатов.

1. Адян С. И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств. // ДАН СССР, 1970. Т. 190. С. 499-501.

2. Аладова Е. В., Красильников А. Н. Полиномиальные тождества в нильалгебрах // Депонировано в ВИНИТИ 9.02.2004, N 207-В2004, 23 стр.

3. Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. 10. Тождества. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 18. С. 117-240.

4. Белов А. Я. О нешпехтовых многообразиях // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 47-66.

5. Белов А. Я. Контрпримеры к проблеме Шпехта // Матем. сб. 191(2000), N 3. С. 13-24.

6. Белов А. Я. Алгебры с полиномиальными тождествами: представления и комбинаторные методы. Дис. док. физ.-мат. наук. // М.: МГУ, 2002.

7. Бокуть J1. А., Львов И. В., Харченко В. К. Некоммутативные кольца. В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 18. С. 5-116.

8. Bryant R. М., Newman M.F. Some finitely based varieties of groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1974. V. 28. P. 237-252.10J Воличенко И. Б. О многообразиях центрально-метабелевых алгебр Ли // Ин-т математики АН БССР, 1980. Препринт, N 16(96), 26 стр.

9. Волков М. В., Шеврин Л. Н. Тождества полугрупп. // Изв. вузов. Мат., 1985. N И. С. 3-47.

10. Гришин А. В. О конечной базируемости систем обобщенных многочленов. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, N 5. С. 899-927.

11. Grishin А. V. On the finite basis property of T-spaces over a field of finite characteristic // Proc. of the Moscow Taiwan alg. workshop. 1994. P. 225-227.

12. Гришин А. В. О конечной базируемости абстрактных Т-пространств. // Фундам. прикл. матем. 1995. Т. 1. N 3. С. 669-700.

13. Киреева Е. А., Красильников А. Н. О некоторых экстремальных многообразиях ассоциативных алгебр. Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти 3. И. Боревича. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 17-23 сентября 2002 г. С. 40-41.

14. Kireeva Е.А., Krasilnikov А. N. Some extremal varieties of associative algebras. The 10th International Conference "Groups and Group Rings". Ustron, Poland. June 10-14, 2003. P. 36-38.

15. Kireeva E.A., Krasilnikov A. N. Some extremal varieties of associative algebras. International Conference on Algebras, Modules and Rings. Lisbon, Portugal, 14-18 July, 2003. P. 44-45.

16. Киреева E. А., Красильников A. H. Экстремальные многообразия ассоциативных алгебр // Депонировано в ВИНИТИ 25.02.2004, N 319-В2004, 18 стр.

17. Киреева Е. А. Предельные Т-пространства // Депонировано в ВИНИТИ 25.02.2004, N 320-В2004, 22 стр.

18. Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп. Выпуск 14. Ин-т матем СО РАН. Новосибирск, 1999.

19. Красильников А. Н. О тождествах триангулируемых матричных представлений групп // Труды Моск. мат. о-ва. 1989. Т. 52. С. 229-245.

20. Красильников А. Н. Тождества групп с нильпотентным коммутантом. Дис. док. физ.-мат. наук. // М.: МГУ, 1995.

21. Латышев В. Н. О выборе базы в одном Т-идеале // Сибирский математический журнал, 4, N 5(1963). С. 1122-1126.

22. Newman М. F. Just non-finitely-based varieties of groups // Bull. Austral. Math. Soc, 1971. V. 4. P. 343-348.

23. Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т.34, N 2. С. 378-384.

24. Пчелинцев С. В. Об одном почти шпехтовом многообразии центрально-метабелевых альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Мат. сборник. 2000. Т.191, N 6. С. 127-144.

25. Rowen L. Н. Ring theory. Boston: Academic Press, Inc., 1991.

26. Чирипов П. Ж., Сидеров П. Н. О базисах тождеств некоторых многообразий ассоциативных алгебр. // Плиска, 1981, Т.2, С. 103-115.

27. Specht W. Gesetze in Ringen. // Math. Z., 1950. V. 52. P. 557-589.

28. Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов // Фундам. прикл. матем. 1999. Т. 5. С. 307-312.

29. Щиголев В. В. Примеры бесконечно базируемых Т-пространств // Матем. сб. 2000. Т. 191. С. 143-160.

30. Shchigolev V.V. Construction of non-finitely based T-ideals // Communications in Algebra, 29 (2001), n. 9. P. 3935-3942.

31. Щиголев В. В. Конечная базируемость Т-пространств над полями нулевой характеристики // Известия РАН. Сер. матем. 65 (2001), N 5. С. 191-224.

32. Щиголев В. В. Бесконечно базируемые Т-пространства и Т-идеалы. Дис. канд. физ.-мат. наук. // М.: МГУ, 2002.