О строении ассоциативных и лиевых алгебр, заданных определяющими соотношениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

С^-т»

о

=> ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ' " ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Демисенов Берик Нуртазнноахга

О СТРОЕНИИ АССОЦИАТИВНЫХ И ЛИЕВЫХ АЛГЕБР, ЗАДАННЫХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ С ООТНОШЕНИЯМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ОМСК — 1995

Работа выполнена на кафедре алгебре Омского Государственно! Университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор Г.П.КУКИН

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук, профессор Л.А.БОКУТЬ;

— кандидат физико-математических наук, доцент О.В.ГАТЕЛЮК

Ведущая организация — Новосибирский Государственный

Университет.

Зашита состоится ¿1' 1995 г. в час. ¿/¿/ъяя.

на заседании Диссертацйоного Совета К 064.36.02. при Омске

Государственном Университете по адресу: 644077, Омск, проспе!

Мира 55°.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского Гос дарственного Университета.

Автореферат разослан •2.7- НС&&Р& 1995 г-

Ученый секретарь специализированного совета, д. ф.-м. н. ~ ' В.А.РОМАНЬКО

Классическая теория алгебр Ли была построена в конце прошлого и первой трети нашего века. Основным объектом этой теории являются конечномерные алгебры Ли над полями характеристики нуль (в первую очередь над полями комплексных и вещественных чисел). Состояние данной теории на 60-70-е годы изложены в книгах [ 1 ], [ 2 ], ставших уже классическими. Не останавливаясь на обзоре этих вопросов, отметим, что выдающийся вклад в развитие классической теории алгебр Ли и связанной с нею теории групп Ли внесли А.И.Мальцев, Л.С.Понтрягин, И.Д.Адо, Ф.Р.Гантмахер, В.В.Морозов и другие. С конца 30-х годов нашего века развивается теория бесконечномерных алгебр Ли, прежде всего — алгебр Л», близких к свободным (то есть свободных и приведенно свободных алгебр Ли, свободных произведений алгебр Ли, конечно - определенных алгебр Ли). Первые крупные результаты в этом направлении принадлежат Биркгофу и Витту (теорема о представлении алгебр Ли в ассоциативных алгебрах) и Магнусу (изучение связи свободных групп и свободных алгебр Ли). Эти результаты отражены в книгах [ 1 ], [ 3 ].

В цикле работ А.И.Ширшова [ 4 ] - [ 7 ] получены глубокие результаты о свободных алгебрах Ли, свободных произведениях алгебр Ли и начато изучение алгоритмических проблем теории алгебр Ли. Методы этих работ оказали большое влияние на теорию алгебр Ли, близких к свободным. В частности, они в полной мере используются в настоящей диссертации. Одним из основных методов исследования в теории алгебр Ли является метод композиции, который впервые был применен А.И.Ширшовым [ 4 ] для вложения произвольной счетномерной алгебры Ли в двупорожденную. В развитом виде этот метод описан в работе А.И.Ширшова [ 5 ], где решена проблема равенства для алгебр Ли с одним определяющим соотношением и доказана теорема о свободе. Тот же метод позволил построить базу свободного произведения алгебр Ли [ б ].

Большой вклад в развитие техники метода композиции внес

Л.А.Бокуть. В частности, ему принадлежит определение множества соотношений, замкнутого относительно композиции. Развивая метод, Л.А.Бокуть построил теорию марковских свойств для алгебр Ли [ 8 ], показал вложимость алгебры Ли с рекурсивным базисом в простую алгебру Ли [ 9 ] и дал первый пример [ 10 ] конечноопределенной лиевой алгебры с неразрешимой проблемой равенства (это решало проблему, поставленную А.И.Ширшовым).

В дальнейшем Г.П.Куккн, также пользуясь методом композиции, исследовал алгоритмические и структурные проблемы в многообразиях алгебр Ли [ 11 ], [ 12 ], [ 13 ], [ 14 ], [ 15 ], [ 16 ]. Наиболее тонкие методы в этой области предложили О.Г.Харлампович и М.Г.Сапир [ 17].

Хорошо известны аналоги в теориях алгебр Ли, р - алгебр Ли, групп. Например, подалгебра свободной лиевой алгебры свободна, р - подалгебра свободной р - подалгебры Ли — свободная р - алгебра Ли, а подгруппа свободной группы — это свободная группа по теореме Нильсена - Шрейера. В многообразии групп доказана теорема Хигмана [ 18 ] "

(Теорема Хигмана о вложении)

Конечно порожденная группа С может быть вложена в некоторую конечно представленную группу в том и только в том случае, когда б рекурсивно представлена.

Аналогичная теорема для ассоциативных алгебр известна благодаря В.Я.Беляеву [ 19 ], в теории алгебр Ли — благодаря Г.П.Кукину [ 20 ]. В этой связи представляется интересным не опубликованный пример В.И.Епанчинцева; он показывает, что многообразие всех р - алгебр Ли, не является хигмановым. Вместе с тем, квазимногообразие р - алгебр Ли, не содержащих ненулевых конечномерных р - подалгебр, является хигмановым. (Аналогичный результат: квазимногообразие групп без кручения является хигмановым.)

В работе Г.П.Кукина и В.И.Епанчинцева [ 21 ] была доказана метатеорема — достаточный признак хигмановости ква-

зимногообразия алгебр. Их подход позволил доказать неразрешимость проблемы равенства во многих известных многообразиях алгебр, однако наиболее интересной областью, открытой этой работой, явилось изучение хигмановых многобразий алгебр. Наиболее полно это сделал О.В.Гателкж в серии статей [ 22 ], [ 23 ], [ 24 ], [ 25 ], а также в совместной с Г.П.Кукиньгм [26].

Большой вклад в комбинаторную теорию алгебр (в том числе алгебр Лп) внес У.У .Умирбаев. Он решил положительно проблему, поставленную Г.П.Кукиным, о финитной аппроксимируемости свободной лиевой алгебры относительно вхождения в произвольные конечнопорожденные подалгебры. (Ранее это было доказано [ 14 ] для алгебр над полем характеристики р > 0). В этой работе. У.У.Умирбаевым [ 27 ] используется переход от лиевой алгебры к ее универсальной обертывающей ассоциативной алгебре и исследование ее правых идеалов. Далее он систематически использовал обертывающие алгебры для алгебр из разных многообразий. Это позволило У.У.Умирбаеву дать критерий шрейеровости многообразий алгебр и найти новые такие многообразия [ 28 ]. Показано, что проблема вхождения в конечнопорожденные подалгебры свободных ассоциативных алгебр неразрешима [ 29 ]. В одно время с С.А.Агалаковым У .У .Умирбаев показал, что проблема вхождения в произвольные конечнопорожденные подалгебры свободного произведения алгебр Ли может быть неразрешимой, даже если она разрешима в компонентах произведения. (Эта задача была поставлена в "Днестровской тетради" [ 31 ] Г.П.Кукиным.) Затем было показано [ 30 ], что проблема вхождения в конечнопорожденные подалгебры неразрешима в свободной разрешимой (ступени п ^ 3) алгебре Ли ранга г 2. Кроме того, техника работы с алгебрами Ли была применена У.У.У мирбаевым для исследования теоретико - групповых задач.

Настоящая диссертация посвящена доказательству струк-

турных теорем теории лиевых и ассоциативных алгебр. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Решена проблема Кервера - Лауденбаха для алгебр Ли;

2) Дано описание декартовой подалгебры свободного ассоциативного произведения;

3) Доказано, что алгебра Ли с одним определяющим соотношением разлагается в прямую сумму векторных пространств двух своих свободных подалгебр;

4) Доказано, что всякая подалгебра лиевой алгебры с одним определяющим соотношением также имеет разложение в прямую сумму двух своих свободных подалгебр.

Основные результаты диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Они докладывались на заседаниях алгебраического семинара ОмГУ, Международной конференции "Группы в анализе и геометрии" (Омск, август 1995).

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора [ 38 ], [ 39 ], [ 40 ], [ 41 ].

Диссертация содержит 68 страниц, состоит из введения, вводного параграфа и трех глав. Библиография содержит 41 наименование. Перейдем к изложению содержания диссертации.

Вводный параграф содержит необходимые определения и результаты.

В первой главе метод композиции, получивший развитие в работах А.И.Ширшова и Л.А.Бокутя для свободных алгебр Ли, переносится на свободные произведения алгебр Ли. В частности, найден необходимый признак того, что элемент у € А * В свободного произведения алгебр Ли принадлежит главному идеалу /=<§>, порожденному элементом д (лемма 3.1).

Развитая намн техника позволила доказать теорему, основную в этой главе.

ТЕОРЕМА 3.1 (Гипотеза Кервера - Лауденбаха для алгебр Лп). Пусть А — нетривиальная алгебра Ли, < £ >

— одномерная алгебра Ли. Рассмотрим свободное лиево произведение А* < £ >. Тогда для любого элемента ш(£) €

ли

А * < £ > фактор - алгебра А* < £ > / < ги(£) > — к етри-

Л и ИИ

виальна (< ги(£) > — идеал, порожденный элементом го(£)).

Ранее в теории групп (см. [ 32 ] стр.78) была поставлена проблема Кервера - Лауденбаха: может лп фактор - группа С* < £ > /М быть единичной, если С* < £ > — это свободное произведение нетривиальной группы С на бесконечную циклическую, порожденную элементом t, а N — ее нормальный делитель, порожденный одним элементом.

Отрицательный ответ в классе групп без кручения получен А.А.Клячко [ 33 ]. Наша теорема показывает, что теория (обычных) алгебр Ли подчас ближе к теории групп без кручения, в то время как ситуация в многообразии всех групп моделируется теорией р - алгебр Ли. Впрочем, теория р - алгебр Ли развита недостаточно. Например, теорема А.И.Ширшова [ 5 ] говорит об алгоритмической разрешимости проблемы равенства в любой алгебре Ли с одним определяющим соотношением, а для р - алгебр Ли соответствующий вопрос остается открытым и весьма трудным.

Поскольку речь идет о свободных произведениях, перейдем к содержанию главы 2. Ранее в теории алгебр Ли было показано [ 11 ],[ 34 ], что декартова подалгебра свободного произведения лиевых алгебр — это свободная алгебра Ли. (Достаточно полное описание произвольных подалгебр свободных произведений алгебр Ли дано Г.П.Кукиным [ 12], [ 13].) Аналогичный результат для свободного произведения ассоциативных алгебр неверен; например, если компоненты свободного произведения

— алгебры с нулевым умножением, то декартова подалгебра ассоциативного свободного произведения содержит делители нуля. Тем более интересно описать декартову подалгебру сво-

бодного произведения в классе ассоциативных алгебр. Чтобы избежать громоздких обозначений, рассмотрим здесь случай свободного произведения двух алгебр. Итак, пусть А и В - две ассоциативные алгебры над одним и тем же (произвольным) полем F, С = А* В — их свободное ассоциативное произведение. D - декартова подалгебра в С, то есть ядро естественного гомоморфизма ip : А* В —► А Ш В алгебры С на прямую сумму алгебр Ли А и В. Тогда подалгебра D является прямой суммой векторных пространств четырех своих подалгебр:

D = Dab © DBA $ DAA © DBb ,

две из которых (Dab и Dba) — свободные ассоциативные алгебры, а остальные две (Daa и Две) описываются с помощью конструкции политензорной алгебры данной ассоциативной алгебры (А или, соответственно, В).

Конструкция политензорной алгебры ассоциативной алгебры введена нами в работе [ 41 ]. Она в идейном плане напоминает тензорную алгебру векторного пространства.

Если дана ассоциативная алгебра А, то ее политензорную алгебру (относительно множества £ бинарных операций) можно описать двумя способами. Один из них — "с помощью стрелок и диаграмм", а другой — конструктивный. Точные определения и доказательство эквивалентности двух подходов — в главе 2. Возможно, эта конструкция выглядит несколько искусственно, ведь она применяется для решения только одной задачи. Однако описание политензорной алгебры на языке теории категорий уравнивает ее в правах с такими признанными объектами, как свободные ассоциативные произведения в многообразии ассоциативных алгебр.

Перейдем к содержанию главы 3. Основной метод исследования алгебр Ли с одним определяющим соотношением — это метод композиции. А.И.Ширшов [ 5 ] как уже говорилось, Показал, что проблема равенства в таких алгебрах разрешима. Он же доказал "теорему о свободе". А именно, пусть L —

алгебра Ли с порождающими X = {ха} и определяющим соотношением / = 0, причем буква хаа € X входит (нефиктивно) в запись элемента / свободной лиевой алгебры. Тогда в алгебре Ь подалгебра порожденная множеством X \ х„о является свободной, причем данное множество является множеством свободных порождающих этой алгебры.

Ранее А.И.Ширшов доказал [ 7 ], что любая подалгебра свободной лиевой алгебры является свободной алгеброй Ли. В работе Г.П.Кукина [ 35 ] построен алгоритм, выясняющий, изоморфна ли алгебра Ли с одним соотношением с некоторой свободной алгеброй Ли.

Старая гипотеза Г.П.Кукина состояла в том, что любая алгебра Ли с одним определяющим соотношением является прямой суммой векторных пространств двух своих свободных подалгебр. Эту гипотезу удалось доказать (теорема 7.2). Сформулируем более общее утверждение (теорема 7.1).

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть ЦХ] — свободная алгебра. Ли над полем К,

— произвольное множество элементов из Ь, ассоциативные носители старших членов которых не являются: подсловами друг друга, и любые два из которых не образуют композиций между собой.

Если теперь Ь[Х\Р] — алгебра Ли с тем же множеством порождающих, что и Ь, а Е — множество ее определяющих соотношений,то

I = ¿/1 = 51 Ф • • • Ф Я» ф Я»*!

— прямая сумма векторных пространств свободных алгебр Ли 5,- (1 ^ г ^ п + 1).

Доказана также теорема о подалгебрах:

ТЕОРЕМА 8.1. Пусть Ь — алгебра Ли с одним определяющим соотношением, В -< Ь — ее произвольная подалгебра. Тогда В является прямой суммой двух свободных алгебр Ли:

В - ВяфВт-

Доказательство этой теоремы использует идеологию работы [ 7 ] А.И.Ширшова.

В заключение автор адресует своему Дорогому Учителю — заведующему кафедрой алгебры ОмГУ, профессору Г.П.Кукину, — самые теплые слова признательности, какие только может иметь сердце благодарного ученика.

ЛИТЕРАТУРА

[ 1 ] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли. - М.: Мир, 1968.

[ 2 ] С е р р Ж - П., Алгебры Ли и группы Ли. - М.: Мир, ¿969.

[3] Магнус В., КаррасА., Солитэр Д., Комбинаторная теория групп. - М.: Наука, 1974.

[ 4 ] ШиршовА. П., О свободных кольцах Ли, Матем, сб., т.45(87), N2 (1958), с. 113-122.

[5] Ш и р ш о в А. й., Некоторые алгоритмические про-злемы для алгебр Ли, Сиб. матем. журн., т.З, N2 (1962),

292-296.

[6] ШиршовА. И., Об одной гипотезе теории алгебр Ни, Сиб. матем. журн., т.З, N2 (1962), с.297-301.

[ 7 ] ШиршовА. й., Подалгебры свободных лиевых шгебр, Матем. сб., т.33(75), N2 (1953), с. 441-452.

[8] БокутьЛ. А., Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем для алгебр Ли, Алгебра и логика, т.13, 45 (1974), с. 145-152.

[9] БокутьЛ. А., Об алгебраически замкнутых и гростых алгебрах Ли, Труды матем. ин.-та им. В.А.Стеклова 1Н СССР, т.148, 1978, с.30-42.

[ 10 ] БокутьЛ. А., Неразрешимость проблемы равен-тва и подалгебры конечкоопределенных алгебр Ли, Известия Л1 СССР, сер. матем., т.36, N6 (1972), с.1173-1219.

[11] К у к и н Г. П., О декартовой подалгебре свободной иевой суммы алгебр Ли, Алгебра и логика, т.9 (N6) (1970), , 701-713.

,[ 12 ] К у к Ii i' Г. П., Подалгебры свободной лиевой суммы с объединенной подалгеброй, Алгебра и логика, т.11, N1 (1972), с.59-86.

[ 13 ] К у к и н Г. П., О свободных произведениях ограниченных алгебр Ли, Матем. сб., т,95.(137). N1.(9) (1974), с.53 -83.

[ 14 ] К у к и н Г. П., О проблемё равенства для алгебр Ли. Сиб. матем. журн., т.18, N5 (1977), с. 1194-1197.

[15] КукинГ. П., Алгоритмические проблемы для разрешимых алгебр Ли, Алгебра и логика, т.17, N4 (1978), с.402-415. (и исправление, Алгебра и логика, т.26, N4 (1987)).

[ 16 ] КукинГ. П., Проблема равенства и свободные произведения алгебр Ли и ассоциативных алгебр, Сиб. матем. журн., т.24, N2 (1983), с. 85-96.

[ 17 ] С а п и р М. В., X а р л а м п о в и ч О. Г., Проблема равенства в многообразиях ассоциативных алгебр и алгебр Ли, Известия вузов, Математика, N6 (1989), с. 76-84.

[ l!S ] Higman G., Subgroups of finitely presented groups, Proc. Royal Soc., London, Ser. A 262, N1311 (1961), p. 455-475.

[ 19 ] Б e л я e в В. Я., Подкольца конечно-определенных ассоциативных колец, Алгебра и логика, т.17, N6 (1978), с. С27- -638.

[ 20 ] КукинГ. П., Подалгебры конечно-определенных алгебр, Алгебра и логика, т.18, N3 (1979), с. 311-327.

[ 21 ] Е п а н ч и н ц е в В. И., К у к и н Г. П., О квазимногообразиях Хигмана, В сборнике : Вычислимые инварианты в теории алгебраических систем.- Новосибирск, 1987, с. 9-19.

[ 22 ] Г а т е л ю к О. В., Поиск многообразий Хигмана. Омск : ОмИИТ, 1S90, Деп. в ВИНИТИ, N 1414 — В 90.

[23] ГателюкО. В., Поиск многообразий Хигмана 2, Омск : ОмИЙТ, 1992, Ден. в ВИНИТИ, N 2156 — В 92.

[ 24 ] ГателюкО. В., Новое локально финитно аппроксимируемое многообразие алгебр, Омск : ОмИЙТ, 1991, Деп. в ВИНИТИ, N 2984 — В 91.

[25] ГателюкО. В., О некоторых локально финитно аппроксимируемых многобразиях алгебр, Омск, ОмГАПС, 1995, Деп. в ВИНИТИ, N 1947 — В 95.

[ 26 J Г а т е л ю к О. В., К у к и н Г. П., Алгебраическая характеризапия алгебр с рекурсивным базисом в некоторых многообразиях, Tartu Ulikooli, т.953 (1992), с. 67-82.

[ 27 ] У м и р б а е в У. У., Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свободных алгебр Ли, Сиб. матем. журн., т. 34, N6 (1993), с. 179 - 188.

[28] УмирбаевУ. У., О шрейеровых многообразиях алгебр, Алгебра и логика, т.ЗЗ, N3 (1994), с. 317 - 340.

[ 29 ] У м и р б а е в У. У., Некоторые алгоритмические вопросы ассоциативных алгебр, Алгебра и логика, т.32, N4 (1993), с. 450 - 470.

[30] УмирбаевУ. У., Проблема вхождения для алгебр Ли, Алгебра и логика, т.32, N3 (1993), с. 326 - 340.

[31] Днестровская т е т р а д ь, издание четвертое, Новосибирск, Институт математики, 1993.

[ 32 ] Л и н д о н P., HI у п п П. Комбинаторная.теория групп.- М.: Мир, 1980.

[33] KlyachkoA. A., A funny property of sphere and equations over groups, Comm. in Algebra, 21(7), 1993.

[34] ЭйделькиндД. И., Вербальные произведения групп Магнуса, Матем. сб., т.85, N4 (1971), с. 504 - 526.

[ 35 ] К у к и н Г. Ц. Примитивные элементы свободных алгебр Ли, Алгебра и логика, т.9, N4 (1970), с. 458-472.

[36] Мальцев А. И., О представлениях бесконечных алгебр, Матем. сб., т.13, N2 - 3 (1943), с. 263- 285.

[ 37 ] В о k u t' L. А., К и к i it G. P., Algorithmic and Combinatorial Algebra. — Kluwer Academic Publishers (DORDRECHT / BOSTON / LONDON), 1994.

Работы автора по теме диссертации

[38] ДемисеновБ. Н., Идеалы свободных произведений алгебр Ли, Омск : ОмГУ, 1994, Деп. в ВИНИТИ, N 1833 — В 94.

[39] ДемисеновБ. Н-, О подалгебрах лиевой алгебры с одним определяющим соотношением, Межд. конф. "Группы в анализе и геометрии", тез. докл., Омск, 1995, с. 36.

[40] ДемисеновБ. Н.,О подалгебрах лиевой алгебры с одним определяющим соотношением, Омск : ОмГУ, 1995, Деп. в ВИНИТИ, N 2519 — В 95.

[ 41 ] ДемисеновБ. Н., О политензорной алгебре, Омск: ОмГУ, 1995, Деп. в ВИНИТИ, N — В 95.