Объединение конечнобазируемых многообразий алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД 1 8 МАР Ю96

На правах рукописи

ШАШКОВ Олег Нладнмпроппч

ОБЪЕДИНЕНИЕ КОПЕЧНОБАЗПРУЕМЫХ МНОГООБРАЗНО АЛГЕБР

Специальность 01.01.06 — вгятелгатлческая логика, алгебра и теория чисел

Л I", 'Г О Г к ФЕ I' Л Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата фпзнко-математичеекпх наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университета им. В. И. Ленина на кафедре алгебры.

Ведущая организация — Институт математики СО РАН.

Защита состоится «..Л......г. в ..Л&... часов

на заседании Диссертационного Совета 'К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан г&!.'Н...1996 г.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ С. В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗАЙЦЕВ М. В.,

кандидат физико-математических наук, доцент ПИХТЕЛЬКОВ С. А.

Ученый зтационного Совета

КАРАСЕВ Г. А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Теория многообразий ал-5р в настоящее время представляет собой довольно обширную и :тивно развивающуюся часть теории колец. Ядром этой теории шяется хорошо развитая теория многообразий ассоциативных ал-бр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди льшого круга вопросов теории многообразий важное место занимает ¡учение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахож-ние и исследование систем порождающих (базисов) этих идеалов. Так теории многообразий алгебр долгое время оставалась открытой и нимала центральное место следующая проблема Шпехта: верно ли, •о всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характерис-ски 0 задается конечным базисом тождеств.

Хорошо разработанная структурная теория ассоциативных алгебр ■щественно облегчает развитие теории тождеств или теории многообра-ш ассоциативных алгебр. И наоборот, результаты, полученные в рамках ории многообразий ассоциативных алгебр находят свое отражение в субоких структурных свойствах.

Для ассоциативных алгебр важной оказалась опубликованная в )46 г. работа Дж. Левицкого [7], в которой было дано положительное ¡шение ограниченной проблемы А.Г. Куроша о локальной нильпотен-гости алгебр, удовлетворяющих тождеству хп = 0, и локальной конечно-эрности алгебраических алгебр ограниченной степени. Вместе с олублн-эванной в 1948 году работой И. Каштанского [8] о строении примитивных

ассоциативных алгебр, удовлетворяющий нетривиальному полиномпал ному тождеству, работа Дж. Левицкого положила начало последующ*: исследованиям структуры ассоциативных алгебр, удовлетворяющих в тривиальному полиномиальному тождеству (PI-алгебр) и изучению то; деств ассоциативных алгебр.

Из других результатов в этом направлении следует отметить опубл кованные в 1957 г. теоремы Ш. Амицура о локальной нильпотентнос: радикала Джекобсона в конечно порожденной PI-алгебре и о совпадет радикала Джекобсона в относительно свободной PI-алгебре с идеале тождеств некоторой полной матричной алгебры над полем, а такя теорему Ширшова о высоте, которая дала конструктивное решение огр ниченной проблемы А.Г. Куроша.

В то же время не ослабевает интерес к проблеме конечной базируема ти тождеств в многообразиях ассоциативных алгебр. В 1977 го; В.Н. Латышев и независимо Г.Генов и А.Попов доказали, что любг ассоциативная алгебра над полем характеристики 0, удовлетворяют,* тождеству вида

- » *ДУ,. - . УД^, ... , xj = О имеет конечный базис тождеств. Из этих результатов, в частности, следу! шпехтовость многообразия, порожденного алгебрами треугольных ма риц произвольного порядка над полем характеристики 0. В 1982 го; A.B. Яковлев анонсировал следующий результат: полные алгебры матрг любого порядка над полем характеристики 0 имеют конечный баз1 тождеств.

И, наконец, в 1988 году проблема Шпехта была положительно реше!

.Р. Кемером [5]. Этот успех, естественно, стимулировал попытки найти >ложительный ответ на подобный вопрос для других многообразий ггебр. Так через год А.Я, Вайс, Е.И. Зельманов установили шпехтовость аогообразия, заданного конечно порожденной йордановой Р1-алгеброй.

В многообразиях с хорошо развитой структурной теорией особый иерее представляют подмногообразия, порожденные конечномерными зебрами. В 1970 году М.Воон-Лп построил пример конечномерной п-ебры Ли над бесконечным полем характеристики 2, не имеющей энечного базиса тождеств, а в 1974 В. Дренски получил подобный ;зультат для бесконечного поля произвольной простой характеристики, ¡щако, конечномерная алгебра Ли над конечным полем, оказалось, ;егда имеет конечный базис тождеств. Это было доказано Ю.А. Бахтури-ым и А.Ю. Ольшанским. Значительные результаты для аналогичного >проса для поля характеристики нуль были получены Ю.П. Размысло-лм, шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной лиевой ireöpoü для поля характеристики нуль была доказана в 1991 году A.B. льтяковым.

Пример конечной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, >ш построен в 1974 году C.B. Полиным.

Изучение конечнобазируемости конечномерных алгебр, естественно, лронуло и другие классы алгебр, аналогичное результаты были получе-я для представлений групп (С.М. Вовси), ассоциативных (И.В. Львов), гьтернативных (И.В. Львов), правоальгернативных (И.М. Исаев), типа 1, 1) (C.B. Пчелинцев ), йордановых (Ю.А. Медведев) и других многооб-1зий алгебр.

Наиболее общий подход в решении проблем конечной базируемости шпехтовости, по-видимому, может быть реализован в терминах решете многообразий алгебр относительно операций пересечения и объединен! многообразий. В самом деле, в изучении данного многообразия <£ и, особенности, в изучении тождеств, справедливых в этом многообрази; существенную помощь может оказать возможность разложения многоо разия © в объединение Si и - многообразий, определяемых бол простыми тождествами.

Естественный интерес представляет и обратная задача, по тождества! определяющим многообразия 21 и описать тождества, задающие i объединение. Эта задача, как и первые, в общем виде представлж значительные трудности.

Такая постановка проблемы и вопросы наследования свойств решетках многообразий алгебр появилась в 70-е годы в работг Г.В. Дорофеева [1,2]. Были построены системы определяющих тождега объединения многих классических многообразий алгебр, доказано, чт объединение шпехтовых многообразий алгебр является шпехтовым мн> гообразием и построен пример многообразия алгебр, обладающего бесю нечным базисом тождеств, которое разлагается в объединение кояечноб; зируемьхх многообразий алгебр. Эти примеры очертили в классе все многообразий те границы, в которых следует искать многообразия, обл; дающие конечным базисом тождеств.

Очевидно, что многообразие ассоциативных алгебр неразложимо объединение, C.B. Пчелинцев построил решетки подмногообразий мног< образия алгебр типа (-1, 1) конечного ранга, В.Т. Филиппов исследова

ешетки, порожденные многообразиями мальцевских и альтернативных лгебр. М.В. Зайцев [4] доказал, что объединение многообразий всех ильпотентных алгебр с любым конечнобазируемым многообразием ал-ебр обладает конечным базисом тождеств.

Цель работы: исследовать наследование свойств конечной базиру-мости в решетках многообразий алгебр относительно операции объедине-ия многообразий.

Методы исследования. Получают некоторое развитие методы .В. Дорофеева; используются методы линейной алгебры и комбинатор-ые методы неассоциатнвных алгебр.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Они олучены лично автором и опубликованы.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит тео-етический характер. Полученные результаты могут быть использованы дальнейших научных исследованиях, связаных с изучением проблем онечной базпруемости иногообразий алгебр.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на V си-ирской школе по многообразиям алгебраических систем (г. Барнаул, 988), на семинаре по теории колец при ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 995), на алгебраических семинарах в Московском педуниверситете и !рском пединституте.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в етырех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 70 границах. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержа-

щего 75 наименований.

Нумерация результатов, изложенных в диссертации, ведется по пара рафам, например, номер теоремы 2.1 означает первую теорему второ: параграфа соответствующей главы.

Обзор содержания работы

В первой главе изучается строение тождеств объединения конечной зируемых многообразий алгебр, для любых двух многообразий Ш и ' строятся системы элементарных и «нуль» - тождеств, на основании такя систем доказывается достаточный признак конечной базируемое™ обг единения конечнобазируемых многообразий алгебр.

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Объединение конечнобазируемых многообразий алгеб] с нильпотентным пересечением является конечкобазируемым.

И ее следствия.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть 21 и © - конечнобазируемые многообрази алгебр. Допустим, что 21 - многообразие йордановых алгебр, многообразие лиевых алгебр. Тогда их объединение 2( + © - конечнобаз! руемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть 21 и - конечнобазируемые многообрази

алгебр. Допустим, что 31 - многообразие альтернативных алгебр, -многообразие мальцевских алгебр. Тогда их объединение 21 + - конечно-5азируемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть 31 и © - конечнобазируемые многообразия разрешимых конечного индекса алгебр. Допустим, что 31 - многообразие шьтернативных алгебр, © - многообразие (-1,1) алгебр. Тогда их объедп-[ение 21 + - конечнобазируемое многообразие алгебр.

СЛЕДСТВИЕ 4. Объединение многообразия нильпотентных конечно-о индекса алгебр с любым конечнобазируемым многообразием алгебр бладает конечным базисом тождеств.

Еще раз отметим, что последнее следствие независимо было доказано [.В. Зайцевым [4].

В § 1 главы 1 вводятся некоторые определения и обозначения. Далее, §§1-3 разрабатывается основной аппарат элементарных и «нуль» ->ждеств и доказывается достаточное условие конечной базируемости >ъединения конечнобазируемых многообразий алгебр. Основа такого «азательства заключается в лемме 2.1, идея которой восходит к работам В. Дорофеева и C.B. Пчелинцева [1-3].

В § 4 на основе достаточного условия доказывается конечная базиру-.ость объединения многообразий с нильпотентным пересечением.

Вторая глава посвящена изучению многообразий с ассоциативно-ммутативным пересечением. Основным результатом этой главы являет-

ся следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть 21 и © - конечнобазируемые многообрази алгебр. Допустим, что 91 г» © - ассоциативно-коммутативое конечно степени п > 3 многообразие алгебр. Тогда + 93 - конечнобазируемс многообразие алгебр.

Эта теорема обобщает основной результат первой главы, описыва базируемость объединений всех классических многообразий алгебр.

В первом параграфе второй главы вводится определение ассоциативн( коммутативного многообразия конечного индекса и рассматривают примеры ассоциативно-коммутативных многообразий конечного индекс; В том числе, доказывается, что многообразие правоальтернативных строз эластичных алгебр является ассоциативно-коммутативным многообраз) ем конечного индекса. В § 2 доказывается основная теорема этой глав*

В третьей главе доказано, что решетка, порожденная тремя конечн базируемыми многообразиями правоальтернативных, йордановых мальцевских алгебр состоит лишь из конечнобазируемых многоообрази: Кроме того, доказано, что конечная базируемость сохраняется и Д1 довольно широкого класса таких решеток с другими образующими. Это составит содержание первого параграфа. Во втором параграфе в четыре теоремах выписаны базисы тождеств объединений многообразия Йордан вых алгебр с многообразиями антикоммутативных, лиевых, мальцевск! и бинарно лиевых алгебр.

ТЕОРЕМА 2.1. Минимальное многообразие алгебр, содержащее лногообразия йордановых и антикоммутативных алгебр определяется ■истемой двух тождеств (аЬ)с - с(Ьа) и (а2, Ь, а). То есть является некомму-•ативным йордановым многообразием, удовлетворяющим тождеству трогой эластичности.

ТЕОРЕМА 2.2. Минимальное многообразие алгебр, содержащее ¡ногообразия йордановых и лиевых алгебр определяется системой тожеств

(аЬ)с - с(Ьа), (а2, Ъ, а),

<1(а, Ъ, с) - ^а, с, Ь), <е Ъ, с) = (аЬ)с + (Ьс)а + (са)Ь - якобиан.

ТЕОРЕМА 2.3. Минимальное многообразие алгебр, содержащее аогообразия йордановых и мальцевских алгебр определяется системой ждеств

(аЬ)с - с(Ьа), (а2, Ь, а),

<1(а, Ь, с) а - <1(а, с, Ь)а.

ТЕОРЕМА 2.4. Минимальное многообразие алгебр, содержащее огообразия йордановых и бинарно лиевых алгебр определяется систе-й тождеств

(аЬ)с - с(Ьа),

(a2, Ъ, а), J(a, b, [a,b]).

В третьем параграфе вводится метод, позволяющий определять коне* ную базируемость объединения в решетке одночленных многообрази алгебр и доказывается, что в основной теореме первой главы нельз заменить требование нильпотентности на требование разрешимости обт единения.

Литература

1. Дорофеев Г.В. О многообразиях обобщенно стандартных и обобгцез но достижимых алгебр//Алгебра и логика.-1976.-т. 15,№ 2.-С.143-176.

2. Дорофеев Г.В. О некоторых свойствах объединения многообрази алгебр//Алгебра и логика.-1977.-т.16,№ 1.-С.24-39.

3. Дорофеев Г.В., Пчелинцев C.B. О многообразиях стандартных достижимых алгебр//Сиб. магем. журнал.-1977.-т. 18,№ 5.-С.995-100

4. Зайцев М.В. О конечной базируемости многообразий алгебр Ли, Матем. сб.-1978.-т.106,№ 4.-С.499-506.

5. Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождес ассоциативных алгебр//ДАН СССР.-1988.-т.298,№ 2.-С.273-277.

6. Kaplansky I. Rings with polynomial indentity//Bull. Amer. Mat Soc.-l 948.-V. 54.-P. 675-580.

7. Levitzki J. A problem of A. Kurosh//Bull.Amer.Math.Soc.-194C V.52.-P.1033-1035.

убликации автора по теме диссертации

Шашков О.В. Конечная базируемость объединения некоторых югообразий алгебр/УТезисы:Всесоюзная XIX конференция.-Львов,-87.

Шашков О.В. Конечная базируемость объединения некоторых югообразий алгебр//Матем. заметки.-1990.-т.48,№1 .-С. 134-137.

Шашков О.В. О решетке многообразий алгебр, порожденной которыми многообразиями альтернативных, йордановых и лъцевских алгебр// V сибирская школа по многообразиям гебраических систем:Тезисы сообщений.-Еарнаул, 1988.-С.77-79. Шашков О.В. Объединение многообразий алгебр с нильпотентным эесечепием//Алгебра и логика.-!996,-в печати.

614'