О тождествах разрешимых индекса 2 алгебр типа (γ, δ) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЛАТОНОВА Светлана Валентиновна

О ТОЖДЕСТВАХ РАЗРЕШИМЫХ ИНДЕКСА 2 АЛГЕБР ТИПА (у, 5)

Специальность 01. 01. 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ Сергей Валентинович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор НИКИТИН Александр Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент ТРУШИНА Мария Николаевна

Ведущая организация: Тульский государственный педагогический университет.

Защита состоится «_»_2005 г. в_часов на заседании

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению тождеств разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, 5), которые были введены АААлбертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2-многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала — идеал»). Наиболее изученными среди алгебр этого класса являются алгебры типа (-1, 1).

Понятия разрешимости и нильпотентности играют важную роль в теории неассоциативных алгебр. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (—1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа {у, 3). Многообразия разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1, 1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств. Ю.А. Медведевым [12] было показано, что многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы.

С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий пшехтова

многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики: размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг.

Из приведенного обзора видно, что тема исследования достаточно актуальна.

Цель работы. Исследовать тождества разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, 8) и вычислить топологический ранг данного многообразия.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории колец, близких к ассоциативным.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:

1) доказано, что любое тождество степени > 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия метабелевых (у, <5)-алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств данного многообразия.

2) доказано, что любое тождество степени не нильпотентного подмногообразия многообразия метабелевых алгебр Новикова над полем

Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств данного многообразия.

3) доказано, что топологические ранги многообразий разрешимых индекса 2 алгебр Новикова и разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, <5) равны 2.

Практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при дальнейшем изучении (у, §)-алгебр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VI Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения» (Тула, 2003 г.) и на алгебраических семинарах Московского государственного университета им М.В. Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата [1—4].

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 18 наименований. Полный объем диссертации 68 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности решаемых в диссертации задач, а также краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий правосимметричных метабелевых алгебр. Глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе изучаются тождества разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения.

ЛЕММА 5. Всякое тождество/степени degf'¿ 5 ненилъпотентного многообразияметабелевых алгебр Новикова является следствием определяющихтождеств.

ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2.

Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1).

Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4.

Пусть м— произвольное многообразие метабелевых алгебр типа (у, <5); А — свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих X = {лс15 х2,...}. Для элементов х, у е Аг будем писать х=у если для любых справедливо равенство

(рс-уЩадПа2)...7Ю = 0, где Т(а) - оператор умножения на элемент а.

В п. 3 исследуются свойства функции у, г}:= (ух)2 + С2*^ и отношения В п. 4 построен аддитивный базис свободной

ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы:

ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени >=6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1,1)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2и З, является следствием определяющих тождеств многообразия К

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (1,1)— алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, тоуказанноемножество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1, 1) равен 2.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В §1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. §2 посвящен рассмотрению операторных слов длины 3 и 4. Его основным результатом является доказательство кососимметричности операторных слов длины >3. В §3 аналогично п. 3 первого параграфа первой главы вводится отношение = и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые для построения аддитивного базиса ненильпотентной свободной алгебры. Сформулируем основные результаты этого параграфа.

ЛЕММА 8. В алгебре А справедливо соотношение

ЛЕММА 9. Если в алгебре А верно соотношение [А2, А] ¡= 0 («) при некотором nil, то алгебра Анильпотентна.

В §4 строится аддитивный базис свободной не нильпотентной метабелевой алгебры типа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правильными словами алгебры А от переменных из множества называются полилинейные одночлены

a) (xlXj)R(kx)R(k2)...R{k„-.2),

в) (x2xi)L(3)R(4)...R(n\ где Т(ку- Т(хк) Hki<k2<...< кп-Ъ

Основными результатами этого параграфа являются следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1. Пространство Р„(А) полилинейных одночленов над Х„ (п^б) линейно порождается правильными словами алгебры А.

ТЕОРЕМА 2. В ненильпотентной алгебре А множество правильных слов линейно независимо.

ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени ¿ б не нильпотентного подмногообразия многообразия Мметабелевых (у, 8)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождествмногообразияМ.

Отсюда получаем следствия:

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентныхмногообразий (у Sy-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологи чески йрангмногообразияметабелевых алгебр типа равен 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач и полезные обсуждения в процессе работы.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Albert A.A. Almost alternative algebras // Portug. Math. J. 1949. V.8. P. 2336.

[2] Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика 1976. Т. 15. № 5. С. 491-508.

[3]Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца//УМН. 1960. Т. 15. №3. С. 147-150.

[4]Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1, 1)-кольца//Алгебра и логика, 1973, Т. 12. № 2. С. 162-166.

[5] Жевлаков К.А Разрешимость альтернативных ниль-колец// Сиб. мат. журнал, 1962, Т.З. № 3. С.368-377.

[6]Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

[7] Жевлаков К.А., Шестаков И.П. О локальной конечности в смысле Ширшова//Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №1. С. 41-73.

[8] Ильтяков А.В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1982, Т. 21. №2. С. 170-177.

[9] Марковичев С.А. О наследственности радикалов колец типа Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №1. С. 33-55.

[10]Марковичев С.А Ниль-кольца типа {у, <5)//Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №2. С. 181-200.

[11]Марковичев С.А Нижний ниль-радикал колец типа (у, S)// Алгебра и логика, 1978, Т. 17. № 3. С. 287-302.

[12]Медведев Ю.А Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. № 6. С. 705-726.

[13]Никитин А.А. Почти альтернативные алгебры // Алгебра и логика. 1974. Т.13. № 5. С. 501-533.

[14]Пчелинцев СВ. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб. 1981. Т. 115. № 2. С. 179-203.

[15]Пчелинцев СВ. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4 . С.

[16]Рооомельди Р.Э. Нижний ниль-радикал (-1, 1)-колец/У Алгебра и логика, 1973, Т. 12. № 3. С. 323-332.

[17]Рооомельди Р.Э. Разрешимость (-1, 1)-колен// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. № 4 С. 478-489.

[18]Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах//Матем. сб. 1957. Т. 41. № 3. С. 381-394.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) С.В. Платонова. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр

Новикова//Чебышевский сборник. Т. IV. Выпуск 1 (5). Тула, 2003 г. С. 106-111.(0, 4 п.л.)

2) С.В. Платонова. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1.

1) //Матем. заметки. 2004. Т. 76. №3. С. 409 -419.

3) С. В. Платонова. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1) // "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003. С. 180 -181. (0,08 п.л.).

4) С. В. Платонова. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, 8) // Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. Выпуск 3. С. 157 -180. (1,5 п.л.)

556-566.

Подл, к печ. 28.02.2005 Объем 0.5 п.л. Заказ №61 Тир. 100 Типография МПГУ

01.01— CH-03

Введение.

Глава 1. О некоторых многообразиях правосиметричных метабелевых алгебр

§ 1. Алгебры Новикова.

§ 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1). п. 1. Простейшие следствия из определяющих соотношений. п. 2 Переработка операторных слов длины 3 и 4. п. 3. Вспомогательные тождества. п. 4. Базис свободной метабелевой (1, 1)-алгебры.

Глава 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (/,3)

§1. Простейшие следствия из определяющих соотношений.

§2. Переработка слов небольшой длины.

§3 Вспомогательные тождества.

§ 4 Базис свободной метабелевой алгебры типа {у, 5).

Хорошо известно, что в теории неассоциативных алгебр важную роль играют понятия разрешимости и нильпотентности. Напомним, что алгебра называется нилъпотентной, если для некоторого натурального числа п произведение любых ее п элементов равно нулю. Алгебра называется разрешимой индекса п, если в ней выполняется полилинейное тождество вида: где

•••» Х2" >У\>""> У 2" ) = S" Х2" ^ ' Sft У 2" ^ •

Примером нильпотентной индекса п алгебры может служить алгебра матриц вида

Г0 ап . аил О 0 . а2п с обычными операциями сложения и

О 0 0 0 ^ умножения матриц.

Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, / и умножением [e,J\ = е является разрешимой, но не нильпотентной.

Напомним, что алгебра называется правоальтернативной, если в ней выполняется соотношение (х, у, у) = 0, где (х, у, z):= (xy)z — x(yz) — ассоциатор элементов х, у, z. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество {х,х,у) = 0.

В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности.

Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа (у, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа {у, S). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными соотношениями являются локально-нильпотентными.

Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр. Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество: ab)(cd) = О

Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1,1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств.

Ю.А. Медведевым [12] был получен следующий результат. Пусть 772 является подмногообразием одного из следующих многообразий алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей: 1) альтернативных алгебр; 2) алгебр типа (-1, 1); 3) левонильпотентных правоальтернативных алгебр; 4) алгебр Мальцева над кольцом Ф с ХА\ 5) йордановых алгебр над кольцом Ф с Уг. Тогда, если квадрат свободной алгебры из 771 аннулирует некоторую степень этой алгебры, то многообразие

771 шпехтово. В частности, многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы.

С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий шпехтова многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики: размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Основные результаты настоящей диссертации связаны именно с описанием тождеств, выполняющихся в разрешимых индекса 2 алгебрах. В качестве следствия могут быть вычислены топологические ранги соответствующих многообразий. Поэтому приведем основные определения.

Пусть X - конечнобазируемое многообразие, X с= 777. Размерностью dim/// X многообразия X относительно 771 называется наименьшее число п, обладающее свойством: существует конечная система тождеств //, ., fs, выделяющая с^из 771ъ т.е. </ь .,/s> + T(77l) = Т(Х), такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в 771 и п = max fdegfu.,degfs}.

Под размерностью dim <£ многообразия /мы понимаем размерность /относительно многообразия всех алгебр.

Пусть 771 — шпехтово многообразие, то есть всякое его подмногообразие конечнобазируемо; а (77Т) - множество всех подмногообразий многообразия 771. Пусть Ж а. а (777); множество называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества ограничены в совокупности. Перейдем теперь к определению топологического ранга множества являющегося естественным обобщением конечномерности.

Для любого сЯ из а{/71) введем множества йп (<%)={ dim я £ >п}, Un(<ft)=Un (Ж) и {Ж}.

Считая множество 2> {Un (Ж)\Л еа(777), п eN} базой окрестностей (необходимые условия проверяются непосредственно), а (711) наделяется некоторой топологией; ffl является топологическим подпространством пространства а(Щ. Поскольку 771- шпехтово, любая убывающая цепочка многообразий 77l\ z> 771г zd . и 77ln zd. . из Ж стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества /Я? является изолированной точкой в пространстве Ж. Обозначая через множество предельных точек пространства ffl, имеем

Топологическим рангом rt(c9f) пространства называется число г такое, что c/f(r~!) ^ 0 и = 0. Топологическим рангом многообразия называется топологический ранг пространства <т(771), т.е. rt(777) = r,(cr(77t)).

Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг.

Настоящая диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий метабелевых правосимметричных алгебр, а именно, алгебр типа (1, 1) и алгебр Новикова.

Структура первой главы такова. Глава состоит из двух параграфов. Нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя.

Первый параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Получение результатов этого параграфа не требует серьезных вычислений, и они приводятся автором в основном потому, что позволяют наглядно продемонстрировать метод решения подобных задач.

Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте выводятся следствия из определяющих соотношений и строится аддитивный базис ненильпотентной метабелевой алгебры Новикова. Во втором пункте построена ненильпотентная свободная метабелева алгебра Новикова от счетного числа порождающих.

Сформулируем основные результаты этого параграфа.

Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения.

JIEMMA 5. Всякое тождество f степени degf> 5 ненильпотентного многообразия метабелевых алгебр Новикова является следствием определяющих тождеств.

ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2.

Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1).

Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики * 2, 3 называется (1, \)-алгеброй, если в ней выполнены тождества: х, х, х) = О, х, у, z) + (у, х, z) + (z, х, у) = О, (х, y,z)-(x, z, у) = 0.

Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4.

Пусть М - произвольное многообразие метабелевых алгебр типа (/, <5); А - свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих X = {х\,х2,.}. Для элементов х, у е А будем писать х = у (п), если для любых а\, а2, апе А справедливо равенство х-у)Т(а])Т(а2).Т(ап) = 0, где Т(а) - оператор умножения на элемент а.

В п. 3 исследуются свойства функции {х, у, z}:= (yx)z + (zx)y и отношения В п. 4 построен аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы:

ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени > б не нилъпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1, 1)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М.

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (1,1)— алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1,1) равен 2.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа (у; 8). Алгебры типа {у, 8) были введены А.А.Албертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2-многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала - идеал»). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики 2, 3 называется алгеброй типа (у, 8), если она удовлетворяет тождествам: х, х, х) = О, х, у, z) + у(у, х, z) + 8{z, х, у) = О, (х, у, z) - у{х, Z, у) + (1 - S)(y, z, х) = О, где у, 8 g Ф, / - $ + 5- 1 = 0.

Начиная с 1960 г. алгебры типа (у; 5) изучались разными авторами. Так, Р. Э. Рооомельди в 1973 г. [17] доказал, что (-1, 1)-ниль-кольцо индекса п п(п + 3) характеристики > п+1 разрешимо индекса ^ . А.С. Марковичев [10] перенес этот результат на алгебру типа (у; S) при некоторых ограничениях на параметры у и 8. Им же [10] доказано, что ниль-кольца типа (/, 8) с существенным тождественными соотношением являются локально-нильпотентными и поэтому алгебра типа (у; 8) ниль-ограниченного индекса с конечным числом образующих нильпотентна при некоторых ограничениях на параметры у и 8. А. А, Никитин [13] показал, что алгебры типа (у; 8) над полем характеристики Ф 2, 3 без ниль-элементов ассоциативны. А.С. Марковичевым [10] показано, что доказательство последнего факта в [13] остается справедливым и для алгебр типа (у, 3) )• Более того, им доказано, что при некоторых ограничениях на параметры /и 3 алгебры типа (у, 3) без локально нильпотентных идеалов ассоциативны.

Вторая глава посвящена изучению алгебр типа (/, 3), где уф± 1, 3 Ф 0,1. Ограничение на параметры у; 3 обусловлено следующими причинами. При у = ± 1 соотношение, связывающее у и S, принимает вид: + 3= 0. Оно выполняется при 5 = 0,1. Таким образом, получаем четыре типа: (-1, 1), (-1, 0), (1, 1), (1, 0). Строение множества ненильпотентных подмногообразий многообразия метабелевых алгебр типа (-1, 1) было описано С. В. Пчелинцевым [14], такая же задача для многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1) решена автором во первой главе. Так как алгебра типа (-у, 1- 3) антиизоморфна алгебре типа (у, 3), получаем решение этой задачи для многообразий метабелевых алгебр типа (-1, 0) и (1,0). Рассмотрению оставшихся случаев посвящена вторая глава.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. Нумерация формул и теорем в этой главе сквозная, так как соотношения, полученные в одном параграфе, используются в следующих. В §1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. §2 посвящен рассмотрению операторных слов длины 3 и 4. Его основным результатом является доказательство кососимметричности операторных слов длины >3. В §3 аналогично п. 3 первого параграфа первой главы вводится отношение = и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые для построения аддитивного базиса ненильпотентной свободной алгебры. Сформулируем основные результаты этого параграфа.

ЛЕММА 8. В алгебре А справедливо соотношение а,Ь],с] = 0(3).

ЛЕММА 9. Если в алгебре А верно соотношение [А , А] = 0 (п) при некотором п>2,то алгебра А нильпотентна.

В §4 строится аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (у, 8).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правильными словами алгебры А от переменных из множестваХ„:={х\,х2, .,хп}(п>6) называются полилинейные одночлены а) {х,хЩкхШг).--Щ*-г)> б) [хьхдеоад.^-!),

B)(x2xj)L(3)R(4).R(n), где Т(к):= Т(хк) и к{<к2<.<кп„2.

Основными результатами этого параграфа являются следующие утверждения.

ТЕОРЕМА 1. Пространство Рп(А) полилинейных одночленов над Хп (п>6) линейно порождается правильными словами алгебры А.

ТЕОРЕМА 2. В ненильпотентной алгебре А множество правильных слов линейно независимо.

ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени > 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (у, 5)-алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М.

Отсюда получаем следствия:

СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (у, 8)-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.

СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (у, S) равен 2.

Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения.", а также на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ. Список публикаций по теме диссертации приводится в конце работы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач и полезные обсуждения в процессе работы.

13

1. Albert A.A. Almost alternative algebras // Portug. Math. J. 1949. V.8. P. 23-36.

2. Белкин В.П. О многообразиях правоальтернативных алгебр // Алгебра и логика. 1976. Т. 15. № 5. С. 491-508.

3. Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного альтернативного кольца//УМН. 1960. Т. 15. № 3. С. 147-150.

4. Дорофеев Г.В. Пример разрешимого, но не нильпотентного (-1, 1)-кольца// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. № 2. С. 162-166.

5. Жевлаков К.А. Разрешимость альтернативных ниль-колец// Сиб. мат. журнал, 1962, Т.З. № 3. С.368-377.

6. Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным, М.: Наука, 1978.

7. Жевлаков К.А., Шестаков И.П. О локальной конечности в смысле Ширшова//Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №1. С. 41-73.

8. Ильтяков А.В. Решетка подмногообразий многообразия двухступенчато разрешимых альтернативных алгебр // Алгебра и логика, 1982, Т. 21. №2. С. 170-177.

9. Марковичев С.А. О наследственности радикалов колец типа (у, 8)Н Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №1. С. 33-55.

10. Марковичев С.А. Ниль-кольца типа (у, 8)1 I Алгебра и логика, 1978, Т. 17. №2. С. 181-200.

11. Марковичев С.А. Нижний ниль-радикал колец типа (у, 8)П Алгебра и логика, 1978, Т. 17. № 3. С. 287-302.

12. Медведев Ю.А. Конечная базируемость многообразий с двучленным тождеством // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. № 6. С. 705-726.

13. Никитин А.А. Почти альтернативные алгебры // Алгебра и логика. 1974. Т.13. № 5. С. 501-533.

14. Пчелинцев С.В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб. 1981. Т. 115. №2. С. 179-203.

15. Пчелинцев С.В. Многообразия разрешимых индекса 2 альтернативных алгебр над полем характеристики 3 // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4 . С. 556-566.

16. Рооомельди Р.Э. Нижний ниль-радикал (-1, 1)-колец// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №3. С. 323-332.

17. Рооомельди Р.Э. Разрешимость (-1, 1)-колец// Алгебра и логика, 1973, Т. 12. №4 С. 478-489.

18. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах// Матем. сб. 1957. Т. 41. № 3. С. 381-394.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

19. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр Новикова//Чебышевский сборник. Т. IV. Выпуск 1 (5). Тула, 2003 г. С. 106 111.

20. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1. 1)//Матем. заметки. 2004. Т. 76. №3. С. 409-419.

21. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1)//Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тезисы докладов V Международной конференции. Тула, 2003. С. 180 181.

22. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (у, 8)// Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. Выпуск 3. С. 157- 180.