Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева

Губарев Всеволод Юрьевич

Структура Г-конформных алгебр

и вложения алгебр лодея

01.01.06 — математическая логика., алгебра и теория чисел

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 512.55

АВТОРЕФЕРАТ

8 АПР 2015

Новосибирск — 2015

005566859

005566859

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Колесников Павел Сергеевич,

доктор физико-математических наук Мальцев Юрий Николаевич доктор физико-математических, наук, профессор (ФГБОУ ВО Алтайский государственный педагогический университет) Порошенко Евгений Николаевич кандидат физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет) Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Защита диссертации состоится 8 мая 2015 г. в АЦ ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. J1. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: Российская Федерация, G30090, Новосибирск, нр. Академика Коитюга 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, http://math.nsc.ru.

Автореферат разослан IL марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

доцент

Стукачёв Алексей Ильич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Конформные алгебры были введены В.Г. Кацем [27] в начале 1990-х годов ири исследовании алгебр вертексных операторов. Последние возникли при описании алгебраических свойств разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля [15]. Математическое изложение соответствующей теории было предложено в [17], см. также [22, 25]. На данный момент теория алгебр вертексных операторов является активно развивающейся областью теории представлений и математической физики. В определенном смысле (см. [27]) структура конформной алгебры описывает сингулярную часть алгебры вертексных операторов. В теории конформных алгебр получен ряд структурных результатов: в [8, 12, 43] описаны простые и полупростые лиевы, ассоциативные и йордановы конформные алгебры конечного типа, в [28] — ассоциативные конформные алгебры линейного роста.

Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-конформной алгебры Ли) было предложено В.Г. Кацем и М.И. Голсншцевой-Кутузовой в [26] для аксиоматического описания сингулярной части OPE киральных полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что то же самое, как ^-деформация классического OPE в теории конформных алгебр. Для подобных целей в [32] было введено понятие Г-вертексной алгебры.

Конформные и Г-конформные алгебры являются частными случаями псевдоалгебр [12] над алгебрами Хопфа: конформные алгебры — над алгеброй многочленов к[Т], Г-конформные — над групповой алгеброй кГ. В работе [3] было введено общее понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой G. включающее в себя класс алгебр над полем (при G = {е}), конформные алгебры (при G = А1 ^ (к, +), где к — поле характеристики 0). Класс Г-конформных алгебр включает в себя конформные алгебры над линейной алгебраической группой Gm = (к*, •): это в точности Z-конформные алгебры над аддитивной группой целых чисел [3].

По аналогии с теорией конформных алгебр формулируется

Проблема 1. Описать простые и полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры конечного типа.

В [12] были классифицированы простые и полупростые псевдоалгебры над алгебрами Хопфа вида II = f/(g)tjkr, конечно-порождённые как модули над U(g), где U(в) — универсальная обёртывающая алгебра конечномерной алгебры Ли g, к — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. При g = {0} это условие влечёт конечномерность над к. В диссертации

же рассматриваются псевдоалгебры, конечно-порождённые над кГ. Таким образом, проблему 1 имеет смысл рассматривать для бесконечных групп.

В работах [27, 8, 12] основное внимание уделялось ассоциативным и лиевым конформным алгебрам и псевдоалгебрам, в [30] были описаны простые йордановы псевдоалгебры конечного типа.

В [27] показано, что для произвольной конформной алгебры С существует универсальная алгебра коэффициентов СоеЯ С такая, что С вкладывается в конформную алгебру рядов СоеЯ С\\г, ¿г1]]. Конформная алгебра С называется ассоциативной (лиевой, йордановой и т. п.), если такова СоеЯ С.

Для определения многообразия псевдоалгебр в [12] использовалась конструкция аннигиляционной алгебры.

В [29] П.С. Колесниковым был сформулирован наиболее общий подход к определению многообразий псевдоалгебр.

В работе [26], в которой были введены Г-конформные алгебры, рассматривались, ио сути, Г-конформные алгебры Ли.

Проблема 2. Описать определяющие тождества многообразий Г-кон-формных алгебр в терминах 7-произведений.

Алгебры Лейбница возникли у Ж.-Л. Лодея в [34] при изучении кого-мологий алгебр Ли. Алгебра Лейбница — это линейное пространство с заданной на нём билинейной операцией [•,•], удовлетворяющей тождеству

В [35] для алгебр Лейбница было введено понятие универсальной обёртывающей — ассоциативной диалгебры. Ассоциативная диалгебра — линейное пространство с определенными на нём ассоциативными билинейными операциями Н, Ь, при этом выполнено

{х\ Ч х2) Н хз = (жх Ь х2) Н хз, х\ Ч (х2 Н х3) = х\ Ч (х2 Ч хз),

Относительно дикоммутатора. Ь х2 — Ч ассоциативная диалгебра удовлетворяет' (1). В [4] было показано, как по произвольной ассоциативной или лиевой конформной алгебре получить соответственно ассоциативную диалгебру или алгебру Лейбница.

По аналогии с многообразиями классических алгебр возникали коммутативные [20] и альтернативные диалгебры [33]. Коммутативная диалгебра или Регт-алгебра, по определению, является алгеброй с одной ассоциативной билинейной операцией, удовлетворяющей тождеству

[я. \У,2}} =■ \[х,у],г] + [?/,[х, г\].

(1)

(ж] I- х2) ч Хз = XI Ь (х2 ч Хз).

(2)

(Х1Х2)ХЗ {хгхз)х2.

(3)

Пусть опсрада. Perm [20] определяет многообразие Perm-алгебр. Точнее, Регт(п) = к" со стандартным базисом е-"', i —- 1,... ,п. Каждый вектор

(п)

е.1 можно отождествить с ассоциативным коммутативным полилинейным мономом от переменных х\,...,хпс одной выделенной переменной xf.

В [20] показано, что операда ассоциативных диалгсбр DiAs представи-ма как тензорное произведение операд As ® Perm. В [4] этот подход был развит и понятие диалгсбры было определено в любом многообразии Var алгебр при помощи построения определяющих соотношений многообразия Var диалгсбр в операде Var ® Perm процедурой "оттачивания" определяющих тождеств Var, т.е. полилинейное тождество / степени п заменяется на набор тождеств /®е["', г -— 1,..., п. На основе этого подхода определялись многообразия йордановых, мальцевских и др. диалгсбр [4, 18]. В [39] был представлен эквивалентный подход, связанный с разложением диалгсбры в полупрямую сумму идеала и подалгебры.

В работе Ж.-Л. Лодея и М. Ронко [38] были введены (ассоциативные) триалгебры — линейные пространства с тремя определёнными на них операциями Ч, Н и J_, удовлетворяющими конкретным тождествам [38].

Коммутативные триалгебры [41] определяются лишь двумя ассоциативными билинейными операциями Ч, _1_ (так как в этом случае х\ Ч х2 = х-2 h x'i), тождествами (3) и

Xi Ч (х2 1 х3) — х\ Ч (х2 Ч х3), xj. ± (х2 Ч х3) = (xi _L х2) Ч х3. (4)

Обозначим через ComTrias операду коммутативных триалгебр.

В связи с изучением различных многообразий триалгебр возникает

Проблема 3. Описать определяющие тождества многообразий триалгебр.

Ж.-Л. Лодей в [37] ввёл понятие (ассоциативной) дендриформной диалгсбры. (Будем называть их ассоциативными преалгебрами.) Линейное пространство, снабжённое двумя билинейными операциями К, Ч, называется ассоциативной преалгеброй, если на нём выполнены тождества

(х1 Ь х2 Т xi Ч х2) \- х3 = xi h (х2 b х3), (x'i b х2) Ч х3 = хх К (х2 Ч х3), xi Ч (х2 Ь х3 + х2 Ч х3) = (xi Ч х2) Ч х3.

Ассоциативные преалгебры были введены из-за их связей с алгебрами Хоифа, алгебрами Рота—Бакстера и др. Оказалось, что ассоциативные преалгебры Кожуль-двойственны ассоциативным диалгебрам.

Аналогом алгебр Ли среди преалгебр служат пре-лиевы алгебры (лево-симметрические алгебры), удовлетворяющие тождеству (х\х2)х3 —

х\(х2хз) = (х2хг)х3 — хг(х1хз). Рассмотрение таких алгебр можно найти у Э.Б. Винберга, М. Герштенхабера, Ж.-Л. Кожуля. Ещё в [36] были введены алгебры, которые можно назвать коммутативными преалгебрами.

В [38] были также введены (ассоциативные) дендриформные триалгеб-ры. (Будем называть их ассоциативными посталгебрами.) Аналогом алгебр Ли среди иосталгебр служат пост-лиевы алгебры [41], алгебры с такими двумя билинейными операциями [, ] и •, что [, ] лиева и

(¡E! • Х2) ■ Х-з - ХХ • (х2 ■ Х3) - (х\ ■ Х3) -Х2+Х1- (х3 ■ Х2) = ХХ • [х2, Х3], [хьх2] • х3 = [х: ■ х3,х2] + [xi,x2 ■ Х3].

Для произвольной бинарной операды V при помощи саксессора [10] можно получить определяющие соотношения для ripe- и пост-'Р-алгебр.

В 1960 Г. Бакстер стал изучать специальные линейные операторы [14], которые сейчас носят имя операторов Рота— Бакстера. Именно Ж.-К. Рота и др. исследовали коммутативные ассоциативные алгебры с заданными на них такими операторами [19, 40].

Линейное отображение R: В —»• В, заданное на алгебре В, называется оператором Рота— Бакстером веса А 6 к на В, если для любых х.у е В

R(x)R(y) = R(xR(y) + R{x)y + Аху). (5)

В 1980-х годах в работах A.A. Белавина и В.Г. Дринфельда [1], М.А. Семёнова—Тянь-Шанского [6] была установлена связь между операторами Рота—Бакстера и решениями классического уравнения Янга— Бакстера на алгебрах Ли.

В 2000 году М. Агуиар [7] обнаружил, что ассоциативная алгебра с оператором Рота—Бакстера R нулевого веса относительно операций а Н 6 = aR(b), а Ъ = R(a)b является ассоциативной преалгеброй. В 2002 году К. Эбрахими-Фард [23] показал, что на алгебре Рота—Бакстера с оператором ненулевого веса А можно дополнительно определить операцию а ± b = Xab и получить относительно операций Н, Ь, _L структуру ассоциативной посталгебры. В 2007 году было введено понятие универсальной обёртывающей алгебры Рота—Бакстера для пре- и посталгебр [24].

Проблема 4. Можно ли инъективно вложить произвольную пре- и посталгебру в универсальную обёртывающую алгебру Рота—Бакстера веса А = 0 и А ф 0 соответственно?

Для свободных преалп^зр проблема 4 была положительно решена в [24].

В 2010 Ю. Чен и К. Mo, используя технику базисов Грёбнера—Ширшова [2], доказали, что произвольная преалгебра над полем нулевой характеристики вкладывается в подходящую алгебру Рота—Бакстера веса нуль [21].

К. Баи и др. [11] в 2010 году ввели понятие С-онератора, обобщающего оператор Рота—Бакстера, и доказали, что произвольная ассоциативная про- и иосталгебра инъективно вкладывается в алгебру с О-оператором.

В [10] конструкция получения нре- и посталгсбры из алгебры Рота— Бакстера была обобщена на случай произвольной опс-рады.

Пусть oj : Var' —> Var — морфизм оиерад. Алгебра В G Var' называется специальной относительно ш, если существует A G Var такая, что В — подалгебра в ЛИ.

Класс специальных алгебр в Var' относительно морфизма и> может быть не замкнут относительно гомоморфных образов. Многообразие, порождённое всеми специальными алгебрами, обозначим как S^'' Var'. Соответствующая операда является образом Var'. Ненулевые элементы ядра соответствующих морфпзмов оиерад (если они существуют) есть в точности все полилинейные тождества, выполняющиеся на всех специальных алгебрах в Var', но не выполняющиеся на всём Var'; назовём их специальными.

Для морфизма и) : Var' —* Var сформулируем следующие вопросы:

• проблема вложения: всякая ли алгебра В G Var' специальна относительно морфизма uil

• проблема Адо: всякая ли конечномерная алгебра В G Var' является подалгеброй где А G Var, dim А < оо?

• проблема Пуанкаре—Биркгофа—Витта: пусть В G Var', какова структура универсальной обёртывающей алгебры иы{В) G Var?

• проблема специальности: как выглядят специальные относительно ш тождества?

Так проблема вложения относительно морфизма — : Lie —> As, х\Х2 i—> х\х2 — х2х\, имеет положительный ответ, а для подобного морфизма. Mal — > Alt вопрос остаётся открытым. Для морфизма + : Jord —► As, Х\Х2 i—» ж 1.x2 + x2xi, проблема вложения имеет отрицательное решение, но вопрос о полном описании специальных тождеств на текущий момент не решён.

Проблема Пуанкаре—Биркгофа—Витга для диалгебр была решена в [9, 37], в [16] решена при помощи базисов Грёбнера—Ширшова, в [5] — при помощи вложения алгебр Лейбница в лиеву конформную алгебру петель.

Проблема Адо была положительно решена для алгебр Лейбница б [5. 13].

Проблема специальности для диалгебр решена в [31]. Для йордановых диалгебр в [42] доказаны аналоги теорем Кона, Макдональдса, Ширшова.

Проблема 5. Решить аналоги классических проблем дли триалгебр.

Цель работы. Главные цели диссертации — получение структурных результатов в теории Г-конформных алгебр, доказательство вложения пре-и посталгебр в универсальную обёртывающую алгебру Рота—Бакстера.

Основные результаты диссертации:

1. Доказано, что класс Г-конформных алгебр многообразия Уаг совпадает с классом алгебр многообразия Уаг с заданным действием группы автоморфизмов Г (теорема 1.3.2 диссертации, опубликовано в [40]).

2. Получена классификация простых и полупростых ассоциативных и лиевых Г-конформных алгебр конечного типа для группы Г без кручения (теоремы 1.5.10, 3.6.5 диссертации, опубликовано в [46, 47]).

3. Получен алгоритм вычисления определяющих тождеств многообразий триалгебр (определение 2.2.8 диссертации, опубликовано в [45]).

4. Доказано, что произвольная пре- и посталгебра многообразия Уаг инъ-ективно вкладывается в подходящую алгебру Рота—Бакстера многообразия Уаг нулевого и ненулевого веса соответственно (следствия 2.5.12, 2.5.13 диссертации, опубликовано в [45]).

5. Найден подход, позволяющий решить для ди- и триалгебр классические проблемы вложения и специальности (теорема 3.2.3 диссертации, опубликовано в [48]).

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно (п. 1 и п. 2 в ассоциативном случае) или в неразделимом соавторстве с П.С. Колесниковым (и. 2 в лиевом случае и ип. 3-5).

Основные методы исследования. В диссертации используются методы теории категорий и операд, теории конформных алгебр, теории алгебр Ли и теории ассоциативных и неассоциативных алгебр, диалгебр.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории ассоциативных, лиевых и неассоциативных алгебр, псевдоалгебр и конформных алгебр, диалгебр и алгебр Рога—Бакстера.

Они могут быть включены в специальные курсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технические прогресс" (Новосибирск, 2011, 2012); Международной конференции "Мальцевские чтения", (Новосибирск, 2009, 2011, 2012, 2014); Международной летней школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры" (Эрлагол, Республика Алтай, 2011, 2013); Международной конференции по теории колец, посвящёпной 90-летию А.И.Ширшова (Новосибирск, 2011); "VI International Conference on поп associative algebra and its applications" (Zaragoza, 2011); "Classical Aspects of Ring Theory and Module Theory" (Bedlewo, Poland, 2013).

Результаты докладывались на семинаре по теории колец им. А.И. Ширшова лаборатории теории колец Института математики СО РАН, семинаре "Алгебра и логика" кафедры алгебры и математической логики механико-математического факультета Новосибирского государственного университета, научно-методическом семинаре кафедры алгебры и методики обучения математики Алтайского государственного педагогического университета.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [44]-[48], при этом работы [44, 45, 47, 48] опубликованы в изданиях, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук. Результаты работ [44, 45, 47, 48] получены в неразделимом соавторстве с П. С. Колесниковым.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 94 наименования, исключая работы автора.

Краткое содержание работы

Общая структура диссертации. Каждая из глав диссертации подразделяется на параграфы. В начале каждого параграфа есть краткое описание его содержания и результатов. Нумерация утверждений (лемм, теорем, предложений, следствий), а также определений, примеров и замечаний сквозная внутри главы. Каждый номер состоит из трёх чисел: первое соответствует номеру главы, второе — номеру параграфа, третье — порядковому номеру утверждения в данном параграфе. Нумерация же параграфов и

формул состоит из двух чисел: первое также соответствует номеру главы, второе — порядковому номеру внутри главы.

Общих ограничений на характеристику или алгебраическую замкнутость основного поля к нет. Операции П-алгебр бинарные. Первая глава посвящена Г-конформным алгебрам. В параграфе 1.1 вводятся известные понятия операды, мультикате-гории и функторы. Операды будут важным инструментом для работы с многообразиями различных видов алгебр, заданных полилинейными тождествами: алгебр, псевдоалгебр, диалгебр и др. С помощью мультикатего-рий даётся определение псевдоалгебры многообразия Уаг. В параграфе 1.2 определяется Г-конформная алгебра. Пусть Г — произвольная группа, кГ — групповая алгебра, е — единица Г.

Определение 1.2.1 [26]. Левый кГ-модуль А, снабжённый множеством {•(7)- | 7 е Г} билинейных операций, называется Г-конформной алгеброй, если для любых а, Ь £ А и а, 7 € Г выполнены аксиомы (Г1) а(Д)6 -- 0 для почти всех 5 £ Г; (Г2) аа^)Ь = (ГЗ) а^аЬ = а(а(0-17)Ь).

Пример 1.2.3. Пусть А — произвольная алгебра. Рассмотрим пространство кГ А с 7-произведепиями, заданными по правилу

Распространяя действие 7 G Г на пространстве кГА по (Г2), (ГЗ), зададим на нём структуру Г-конформной алгебры. Полученную таким образом алгебру будем называть алгеброй петель и обозначать как Cur Л.

Произвольная Г-конформная алгебра А, рассматриваемая как алгебра относительно произведения обозначается как Ас.

Г-конформная алгебра называется полупростой, если она не содержит ненулевых абелевых идеалов. Г-конформная алгебра называется алгеброй (бес)конечного типа, если она (бес)конечно-порождена как модуль над кГ.

В параграфе 1.3 доказывается, что класс Г-конформных алгебр многообразия Var совпадает с классом алгебр многообразия Var с заданным действием группы автоморфизмов Г.

Поскольку Г-конформная алгебра — это псевдоалгебра над биалгеброй Н = кГ, мы можем рассмотреть Гуаг — класс всех псевдоалгебр многообразия Var над такой II.

Теорема 1.3.2. Г-конформная алгебра С пргтадлсжит классу Гуаг тогда и только тогда, когда Сс — алгебра многообразия Уаг.

В качестве следствия получаем, что следующие тождества задают многообразия ассоциативных и лиевых Г-конформных алгебр: ассоциативность (а^-^Ь^с = 0(п)(6(/^с); антикоммутативность «(„)& = — а(Ь[а-^а); тождество Якоби а^ф^с) - (а^^Ь)^. +

На основе теоремы 1.3.2 строятся примеры Г-конформных алгебр на алгебре финитных функций, алгебре локальных распределений.

Доказывается, что аналог теоремы Артина для йордановых Г-конформных алгебр не выполняется, но выполнен аналог теоремы Херстейна.

В параграфе 1.4 доказывается аналог леммы Донга и на основе частично абелевых алгебр описываются свободные объекты в классах ассоциативных, лиевых и альтернативных Г-конформных алгебр В параграфе 1.5 доказывается одна из основных теорем:

Теорема 1.5.10. Пусть А ~ простая Т-конформная ассоциативная (лиева) алгебра конечного типа для группы Г без кручения. Тогда А = Сих'(д), где д — простая конечномерная ассоциативная (лиева) алгебра над к.

В параграфе 1.6 вводятся дифференцирования Г-конформной алгебры и описываются полупростые Г-конформные алгебры конечного типа:

Теорема 1.6.5. Пусть С — полупростая Т-конформная алгебра конечного типа над группой Г без кручения. Тогда С разлагается в конечную прямую сумму простых Г-конформных алгебр конечного типа, если: а) С — ассоциативная Т-конформная алгебра; б) С — лиева Т-конформная алгебра и сЬагк = 0.

Следствие 1.6.6. Пусть С — полупростая Т-конформная алгебра Ли конечного типа для группы Г без кручения, сЬагк = 0. Тогда все дифференцирования С внутренние.

Доказывается аналог теоремы Веддербёрна для полупростых ассоциативных Г-конформных алгебр и счётной группы Г бет кручения.

Теорема 1.6.7. Пусть Г — счётная группа без кручения, С — ассоциативная Т-конформная алгебра и сушрствует пильпотентпый идеал К<1С такой, что С/ II = Сиг В , где В — сепарабельпая конечномерная алгебра. Тогда С = Сиг В к Н. т.е. в С найдётся подалгебра Б, образ которой при естественном гомоморфизме изоморфен С ¡К.

В конце параграфа указывается связь между кручением Г-конформной алгебры и гипотезой Капланского об отсутствии делителей нуля в групповой алгебре кГ для группы Г без кручения.

Z-конформной алгеброй назовём Г-конформную алгебру для группы Г = (Z,+). В параграфе 1.7 приводятся примеры простых Z-конфор-мных алгебр Ли бесконечного типа, не являющихся алгебрами петель. Доказано, что любая однопорождённая Z-конформная алгебра Ли абелева.

Вторая глава посвящена определению многообразий алгебр Лодея и проблемам вложения их в Г-конформиые алгебры и алгебры с оператором Рота—Бакстера или оператором усреднения.

В параграфе 2.1 определяется Кожуль-двойственность онерад.

В параграфе 2.2 даётся известное определение произвольного многообразия диалгебр и даётся определение многообразия триалгебр в виде специального функтора из Var®ComTrias в Vec. Для триалгебр даётся эквивалентное определение на языке тождеств в операде Var ®ComTrias процедурой "отточивания" по нескольким переменным определяющих тождеств многообразия Var алгебр, т.е тождество / степени п заменяется на набор тождеств / 0 0 ф Н С {1,..., ri}. Помимо отточенных тождеств также есть О-тождества, выполненные на произвольной триалгебре.

В параграфе 2.3 эквивалентно процедуре построения саксессора [10] определяются про- и посталгебры произвольного многообразия.

Обозначим через DiVar, TriVar, PreVar и Post Var операду Var диалгебр, триалгебр, преалгебр и посталгебр соответственно. В следующем предложении обобщим многочисленные частные результаты:

Предложение 2.3.7. Для бинарной квадратичной операды Var < оо) (DiVar)1 — PreVar1 и (TriVar)1 = PostVar, где Var1 обозначает Кожуль-двойствснную операду к Var.

В параграфе 2.4 определяются операторы и алгебры Рота—Бакстера, доказывается, что все операторы Рота—Бакстера на простой алгебре Ли sl2(C) получаются как операторы проектирования относительно подалгебр, в прямую сумму которых раскладывается sl2(C).

Обозначим соответственно через ПИ множества бинарных операций {I—4j| г € 1} и U {_L,| г € /}. В параграфе 2.5 конструктивно доказывается теорема о вложении произвольной пре- и посталгебры в подходящую алгебру Рота—Бакстера.

Пусть А является Г2®-алгеброй. Рассмотрим изоморфную копию А' про-

странства А и определим структуру П-алгебры на пространстве А = А®А!\ а о, Ь = а h; b + а Н; b + а b, а oi b' = (а &)', а о, Ъ = (о Н; Ь)\ а otb'= (а Üb)', а,Ь & А, г е I.

Лемма 2.5.1. Пусть задал А 6 к, тогда линейное отображение R: А—*А, определенное как R(a') = А а, К(а) = -Аа, а G А, является оператором Рота—Бакстера веса А на il-алгебре А.

Лемма 2.5.2. Пусть А является -алгеброй. Тогда отображение R: Ä —> А, заданное как R{a!) = а, R(a) - 0; а G А, является оператором Рота—Бакстера веса А = 0 на А.

Теорема 2.5.6. Следующие утверждения эквивалентны: а) А — пост-Var-алгебра, б) А принадлежит Var.

Используя леммы 2.5.1, 2.5.2 и теорему 2.5.6, получаем инъективное вложение пре- и посталгебры многообразия Var в алгебру Рота—Бакстера того же многообразия нулевого и ненулевого веса соответственно с операциями пре- и посталгебры, заданными по М. Агуиару и К. Эбрахими-Фарду.

В параграфе 2.6 определяются g-триалгебры, отличающиеся от три-алгебр отсутствием двух неоднородных но операции _L серий 0-тождеств. На произвольной Г-конформной алгебре задаётся структура g-триалгебры.

Доказывается (аналогично результатам §2.5) утверждение о вложении произвольной g-триалгебры и триалгебры в алгебру с оператором усреднения и гомоморфным оператором усреднения соответственно.

Третья глава посвящена решению классических проблем лиевых и йордановых алгебр, сформулированных для ди- и триалгебр.

В параграфе 3.1 доказывается, что произвольная диалгсбра D многообразия Var инъективно вкладываегся в диалгебру, построенную на псевдоалгебре специального вида. Показано, что если Var — унитальный класс алгебр, тогда класс диалгебр класса Var также унитален, т.е. в нём возможно присоединение бар-единицы — аналога единицы для диалгебр. В параграфе 3.2 доказывается основная теорема:

Предложение 3.2.2. Пусть А — алгебра многообразия Var, С G ComTrias, тогда пространство С ® А относительно операций

(х © а) (у ® Ь) = (у х) ® (ab). (6)

(х® а) Ч; (у® Ъ) = (х Ч у) ® (ab), (7)

(х ® а) -L, (у ® b) = (х ± у) ® (ab), (8)

где х, у G С, а, b G А, является mpu-Vax-алгеброй.

Теорема 3.2.3. Произвольная три-Уш-алгебра вкладывается в алгебру вида С ® А с операциями, заданными по (G)-(8), где С G CoinTrias, А 6 Var.

В параграфе 3.3 решаются аналоги классических проблем теории алгебр Ли.

Теорема 3.3.2. Если проблелш вложения имеет, положительное регие-ние для uj: Var' —+ Var, т,огда она имеет положительное решение для id : di- Var' —> di- Var и для id : tri- Var' —»tri- Var. Это же верно и для проблемы Ado.

Произвольная алгебра L е tri-Lie с операциями [• Ь •], [• Ч •] и [• _L •] порождает следующие структуры алгебры Ли: L = Ь/Ь^и L± = (L, [• J_ ■]).

Предложение 3.3.4. Пусть L € tri-Lie. Тогда UV\<&-{L) € tri-As как линейное пространство изоморфно U(L)®Un(Lt), где (/(■) — универсальная обёртывающая ассоциативная алгебра с единицей, Uq(-) обозначает её аугментационный идеал.

В параграфе 3.4 решаются аналоги классических проблем теории йор-дановых алгебр.

Теорема 3.4.8. При chark = 0 выполнено следующее равенство для многообразий:

,S'(idStj)tri- Var' = tri-SM Var'.

В частности, все специальные тождества йордановых триалгебр (относительно морфизма id®+: tri- Jord —► tri-As) получаются отточиванием специальных тождеств йордановых триалгебр.

Далее, в параграфе доказываются аналоги разложения Пирса, теорем Жевлакова, Кона и конструкции Титса—Кантора—Кёхера.

В конце приведено Приложение, в нём выписаны определяющие полилинейные тождества классических многообразий алгебр и алгебр Лодея.

Благодарности. Автор выражает благодарность своему научному руководителю Павлу Сергеевичу Колесникову за всеобъемлющую помощь и поддержку в процессе обучения и научной деятельности. Автор благодарит Александра Петровича Пожидасва за привитие интереса к алгебре и теории колец. Автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории колец ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики НГУ за творческую атмосферу.

Список литературы

[1] Бславин А.А., Дринфсаъд В.Г. О решениях классического уравнения Янга—Бакстера для простых алгебр Ли /'/ Функц. анализ и его прил. — 1982. - Т. 16, № 3. - С. 1-29.

[2] Бокутпъ Л. А., Чэн К)., Дсп III. Базисы Грёбнера—Ширшова для алгебр Рота-Бакстсра // Сиб. матем. журн. - 2010. - Т. 51, № С. - С. 12371250.

[3] Колесников П. С. О неприводимых алгебрах конформных эндоморфизмов над линейной алгебраической группой // Современная математика и её приложения. - 2008. - Т. 60. - С. 42-56.

[4] Колесников П. С. Многообразия диалгебр и конформных алгебр /',/ Сиб. матем. журя. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 322-339.

[5] Колесников П. С. Конформные представления алгебр Лейбница // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49, № 3. - С. 540-547.

[6] Семснов-Тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица? //' Функц. анализ и его прил. - 1983. — Т. 17, К'- 4. — С. 17-33.

[7] Aguiar М. Pre-Poisson algebras // Lett. Math. Phys. - 2000. - Vol. 54. -P. 263-277.

[8] DAndrea A.. Kac V.G. Structure theory of finite conforrnal algebras, Selecta Math. (N.S.) // - 1998. - Vol. 4. - P. 377-418.

[9J Aymon M., Grivel P.-P. Un theoreme de Poincarc-Birkhoff-Witt pour les algcbres de Leibniz // Comm. Algebra. - 2003. - Vol. 31, No. 2. - P. 527544.

[10] Bai C., Bcllier O., Guo L., Ni X. Splitting of operations, Manin products, and Rota—Baxter operators /7 Int. Math. Res. Notes. — 2013. — Vol. 3. — P. 485-524.

[11] Bai C., Guo L., Ni X. C-operators on associative algebras, associative Yang—Biixter equations and dendriform algebras // Quantized Algebra and Physics. - 2012. - P. 10-51.

[12] Bakalov В., DAndrea A., Kac V.G. Theory of finite pseudoalgebras /7 Adv. Math. - 2001. - Vol. 162, No. 1. - P. 1-140.

[13] Barnes D. W. Faithful representations of Leibniz algebras // Proc. Amer. Math. Soc. - 2013. - Vol. 141. - P. 2991-2995.

[14] Baxter G. An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity // Pacific J. Math. — 1900. — Vol. 10. — P. 731-742.

[15] Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformai symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. — 1984. — Vol. 241. - P. 333-380. •

[16] Bokut L.A., Chen Y., Liu C. Groebner—Shirshov bases for dialgebras // Intern. J. Algebra and Comput. - 2010. — Vol. 20, No. 3. — P. 391-415.

[17] Borcherds R.E. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. - 1980. - Vol. 83. - P. 3008-3071.

[18] Bremner M.R., Peresi L.A., Sanchez-Ortega J. Malcev dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. - 2012. — Vol. 00. — P. 1125-1141.

[19] Cartier P. On the structure of free Baxter algebras // Adv. Math. — 1972. --• Vol. 9. - P. 253-265.

[20] Chapoton F. Un endofoncteur de la catégorie des opérades, // Dialgebras and related operads. — Berlin: Springer-Verl., 2001. — P. 105-110. (Lectures Notes in Math. - Vol. 1763).

[21] Chen Y, Mo Q. Embedding dendriform algebra into its universal enveloping Rota—Baxter algebra // Proc. Amer. Math. Soc. — 2011. — Vol. 139, No. 12. - P. 4207-4216.

[22] Dong C., Lepowski J. Generalized vertex algebras and relative vertex operators. — Boston: Birkhauser, 1993. (Progress in Math. — Vol. 112)

[23] Ebrahimi-Fard K. Loday-type algebras and the Rota-Baxter relation /'/ Lett. Math. Phys. - 2002. - Vol. 61. - P. 139-147.

[24] Ebrahimi-Fard K., Guo L. Rota—Baxter algebras and dendriform algebras // J. Pure Appl. Algebra. — 2008. — Vol. 212, No. 2. — P. 320-339.

[25] Frenkel I. B., Lepowsky J., Meurrnan A. Vertex operator algebras and the Monster. — New York: Academic Press, 1998. — 508 p. (Pure and Applied Math. - Vol. 134).

[26] Golenishcheva-Kutuzova M.I., Kac V.G. T-conformal algebras // J. Math. Phys. - 1998. - Vol. 39, No. 4. - P. 2290-2305.

[27] Kac V. G. Vertex algebras for beginners. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998. - 201 p.

[28] Kolesnikov P. Simple associative conformal algebras of linear growth /'/ J. Algebra. - 2006. - Vol. 295, No. 1. - P. 247-268.

[29] Kolesnikov P. Identities of conformal algebras and pseudoalgebras // Comm. Algebra. - 2006. - Vol. 34, No. 6. - P. 1965-1979.

[30] Kolesnikov P. Simple Finite Jordan Pseudoalgebras // SIGMA. - 2009. - Vol. 5. - 17 p.

[31] Kolesnikov P.S.. Voronin V. Yu. On special identities for dialgebras // Linear Multilinear Algebra. - 2013. - Vol. 61, No. 3. - P. 377-391.

[32] Li H. A new construction of vertex algebras and quasi-modulcs for vertex algebras ,// Adv. Math. - 2006. - Vol. 202, No. 1. - P. 232-286.

[33] Liu, D. Steinberg—Leibniz algebras and superalgebras // J. Algebra. — 2005. - Vol. 283. - P. 199-221.

[34] Loday J.-L. Une version non commutative des alg<5bres de Lie: les alg^bres de Leibniz // Enseign. Math. - 1993. - Vol. 39. - P. 269-293.

[35] Loday J.-L., Pirashvili T. Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology // Math. Ann. - 1993. - Vol. 296. - P. 139-158.

[36] Loday J.-L. Cup-product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras // Math. Scand. - 1995. - Vol. 77, No 2. - P. 189-196.

[37] Loday J.-L. Dialgebras, Dialgebras and related operads. — Berlin: SpringerVerl., 2001. - P. 1-61. (Lectures Notes in Matli. - Vol. 1763)

[38] Loday J.-L., Ronco M. Trialgebras and families of polytopes // Comtep. Math. - 2004. - Vol. 346. - P. 369-398.

[39] Pozhidaev A. 0-dialgebras with bar-unity, Rota—Baxter and 3-Leibniz algebras. — Providence, RI: Groups, Rings and Group Rings, American Mathematical Society, 2009. - P. 245-256.

[40] Rota G.-C. Baxter algebras and combinatorial identities I, II j j Bull. Aincr. Math. Soc. - 1969. - Vol. 75. - P. 325-329,330-334.

[41] Vallette B. Homology of generalized partition posets j I J. Pure Appl. Algebra. - 2007. - Vol. 208, No. 2. - P. 699-725.

[42] Voronin V. Yu. Special and exceptional Jordan dialgebras // J. Algebra and Its Appl. - 2012. - Vol. 11, No. 2. - 23 p.

[43] Zelm.anov E.I. On the structure of conformal algebras // Contemp. Math.

- 2000. - Vol. 264. - P. 139-153.

Публикации автора по теме диссертации

[44] Gubarev V., Kolesnikov P. The Tits—Kantor—Koecher construction for Jordan dialgebras // Comm. Algebra. — 2011. - Vol. 39, No. 2. — P. 497520.

[45] Gubarev V., Kolesnikov P. Embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Cent. Eur. J. Math. - 2013. - Vol. 11, No. 2. - P. 226-245.

[46] Губарев В.Ю. Простые ассоциативные Г-конформные алгебры конечного тина для группы Г без кручения // Алгебра и Логика. — 2013. — Т. 52, № 5. - С. 559-581.

[47] Губарев В.Ю., Колесников П. С. Г-конформные алгебры конечного типа для группы Г без кручения, Сиб. электрон, мат. известия. — 2014. — Т. 11. - С. 759-770.

[48] Gubarev V. Yu., Kolesnikov P.S. Operads of decorated trees and their duals 11 Comment. Math. Univ. Carolin. - 2034. — Vol. 55, No 4. - P. 421-445.

[49] Губарев В.Ю. Нильпотентность и разрешимость йордановых диалгебр /'/ Мальцевские чтения. Тезисы докладов. — Новосибирск: 2009. — С. 116.

[50] Губарев В.Ю. Простые ассоциативные Z-конформные алгебры конечного типа // Межд. конф. по теории колец, посвящёпная 90-летию А.И.Ширшова. Тезисы докладов. — Новосибирск: 2011. — С. 39.

[51] Gubarev V. Yu., Kolesnikov P.S. On embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Intern. Conf. on nonassociative algebra and its applic. (in Honor of the 60th of S.Gonzalez). Abstracts. — Zaragoza: 2011.

- P. 43-44.

[52] Gubarev V.Yu. Hat-functor and its applications // Classical Aspects of Ring Theory and Module Theory. Abstracts. — Bedlewo (Poland), 2013. — P. 48.

Губарев Всеволод Юрьевич Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 27.02.2015. Формат 00x84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 7.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090. Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6