Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



На правах рукописи

Мастеров Иван Викторович

Нерелятивистская конформная симметрия и ее приложения

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 з ^¡з

Томск - 2013 005061367

005061367

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский политехнический университет"

Галажинский Антон Владимирович

Официальные оппоненты:

Бухбиндер Иосиф Львович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Томский государственный педагогический университет", заведующий кафедрой теоретической физики

Кривонос Сергей Олегович, доктор физико-математических наук, профессор, Объединенный институт ядерных исследований (г. Дубна), лаборатория теоретической физики имени H.H. Боголюбова, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт математики имени С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук"(г. Новосибирск)

Защита диссертации состоится 27 июня 2013 г. (четверг) в 14.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.07, созданного на базе Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет": 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО "Национальный исследовательский Томский государственный университет"по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан "22" dJoJ 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук

Ивонин И. В.

Актуальность темы

На протяжении последних 15 лет одной из центральных тем теоретической физики высоких энергий и математической физики является изучение различных аспектов соответствия между конформной теорией поля в плоском пространстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности (АдС/КТП-соответствие). Важная особенность АдС/КТП-дуальности состоит в том, что она устанавливает соответствие между конформной теорией поля в плоском пространстве в режиме сильной связи и теорией струн в искривленном пространстве в режиме слабой связи. Иными словами, АдС/КТП-соответствие предлагает принципиально новый подход к исследованию сильно взаимодействующих теорий, для которых стандартное пертурбативное разложение плохо определено. Наиболее известным примером такого рода является соответствие между Л/" = 4 суперсимметричной теорией поля Янга-Миллса в четырехмерном пространстве и теорией струны типа ПВ в пространстве ЛсШ^ х 55.

Начиная с 2008 г. исследование АдС/КТП-соответствия получило новое развитие в контексте нерелятивистской теории поля. Было показано, что аппарат АдС/КТП-соответствия может быть успешно применен в контексте теории конденсированного состояния вещества. В частности, система фермионов при определенных условиях обладает конформной симметрией и допускает дуальное описание. Отметим, что такая система может быть реализована в лабораторных экспериментах с использованием так называемых холодных атомов. Помимо фермиевских газов, большое число работ было посвящено развитию идей АдС/КТП-соответствия в контексте теории несжимаемой жидкости. Важные примеры нерелятивистских конформно-инвариантных систем встречаются в атомной физике. Следует отметить, что параллельно с упомянутыми выше исследованиями также было инициировано изучение гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.

Упомянутые выше исследования, направленные на разработку нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, стимулировали активное изучение структуры нерелятивистских конформных (супер) алгебр, среди которых особую роль играет так называемая /-конформная алгебра Галилея. Эта алгебра характеризуется положительным параметром I, который может принимать как целые, так и полуцелые значения. Несмотря на то, что эта алгебра построена достаточно

давно, о ее динамических реализациях практически ничего не известно.

Многие актуальные проблемы теории нерелятивистской конформной симметрии остаются открытыми. Среди них, в первую очередь, необходимо отметить построение динамических реализаций ¿-конформной алгебры Галилея без высших производных, построение последовательных конформных преобразований в нерелятивистском пространстве с космологической постоянной, построение суперсимметричных расширений.

Цели и задачи работы

Целью данной работы является систематическое изучение нерелятивистских конформных алгебр в пространстве произвольной размерности и построение их динамических реализаций в плоском пространстве и в пространстве с космологической постоянной.

В соответствии с общей целью работы в диссертации решаются следующие основные задачи:

1. Построение динамических реализаций ¿-конформной алгебры Галилея в терминах дифференциальных уравнений второго порядка.

2. Определение общей структуры /-конформного расширения алгебры Ныото-на-Гука и ее центральных расширений. Построение динамических реализаций /-конформной алгебры Ньютона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка.

3. Определение общей структуры Л/* = 2 суперсимметричного расширения /-конформных алгебр Галилея и Ныотона-Гука.

4. Построение преобразования подобия для квантовой механики многих частиц, инвариантной относительно Л/- = 2 суперсимметричного расширения I = | конформной группы Галилея, позволяющего установить структуру спектра оператора энергии.

Научная новизна

Основные результаты, изложенные в диссертации, получены в работах автора и ранее известны не были.

В частности, в рамках общей теоретико-групповой конструкции впервые построена динамическая реализация /-конформной группы Галилея, не содержащая высших производных. Установлено, что система описывает набор многомерных обобщенных осцилляторов, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной конформной модой. С использованием интегралов движения, отвечающих /-конформной группе Галилея, проанализирована динамика системы.

Впервые установлены структурные соотношения наиболее общего конечномерного /-конформного расширения алгебры Ныотона-Гука и определены допустимые центральные расширения. Для такой алгебры построено бесконечномерное расширение типа Вирасоро-Каца-Муди. Доказано, что / = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука может быть получена нерелятивистской контракцией из релятивистской конформной алгебры во(2,4).

Впервые построена динамическая реализация /-конформной алгебры Ныотона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка. Доказано, что система описывает набор частиц в ¿-мерном пространстве, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной гармонической конформной модой. Прослежена зависимость динамики частиц от эволюции внешнего поля. Доказано, что при специальном выборе частот осцилляций многомерный осциллятор Паиса-Уленбека обладает / = |-конформной симметрией Ныотона-Гука.

Впервые установлена общая структура N = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и /-конформной алгебры Ныотона-Гука.

Для квантовой механики многих частиц, инвариантной относительно N = 2 суперсимметричного расширения / = | конформной группы Галилея, построено преобразование подобия, позволяющее установить структуру спектра оператора энергии.

Научная и практическая ценность работы

Результаты диссертации открывают новые возможности при разработке нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, представляют интерес в контексте развития теории интегрируемых систем и имеют важное значение с точки зрения суперсимметричной квантовой механики. В частности, в диссертации построены новые конечномерные нерелятивистские конформные алгебры, предложены их бесконечномерные расширения типа Вирасоро-Каца-Муди, а также суперсимметричные обобщения. Установлена принципиально важная возможность реализовать /-конформные алгебры Галилея и Ньютона-Гука для произвольного допустимого значения параметра I в терминах динамических систем без высших производных.

Апробация диссертации и публикации

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

• VI Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2009 г., Томск;

• Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity», 2010 г., Томск;

• VIII Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2011 г., Томск;

• IX Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2012 г., Томск;

• Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity», 2012 г., Томск;

• Международная конференция «Problems of Supersymmetric Integrable System 2012 г., Дубна;

• X Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2013 г., Томск;

а также на научных семинарах кафедры высшей математики и математической физики Томского политехнического университета.

По теме диссертации опубликовано 5 статей в зарубежной научной печати.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 102 библиографические ссылки. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов. Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней.

В первой главе диссертации рассматривается ¿-конформная алгебра Галилея, которая включает в себя генератор трансляций по времени Я, генератор дилатаций £>, генератор специальных конформных преобразований К, генераторы пространственных вращений М^, 21 + 1 векторных генераторов где п = 0,1,2,.., 21, среди которых генератор С^ соответствует пространственным трансляциям, Ссоответствует галилеевским бустам. Все остальные векторные генераторы интерпретируются, как отвечающие ускорениям. Структурные соотношения ¿-конформной алгебры Галилея имеют вид:

[Я, И] = гН, [Я, К] = 2 Ш, [Д К] = {К,

[Я, С<">] = тС¡п-1], [А С\п)] = г(п - 1)С<?\

[К, С1п)] = г(п - 21)С\п+1\ [Му, С<п)] = -г5гкС^п) + ,

[Му, Мы] = -15гкМц - гб^Мгк + г8аМ^ + г5^кМа. (1)

Рассматривается нелинейная реализация /-конформной группы Галилея левыми сдвигами в пространстве левых смежных классов по подгруппе пространственных вращений. Точка этого пространства может быть параметризована следующим образом

6 = еин^к^ио^с^ х

где (£, г, и, х^) - координаты фактор-пространства.

Вычисляются лево-инвариантные один-формы Маурера-Картана G~ldG = г(шя# + шкК + üjdD +

и>н = е udt, шк = eu(z2dt + dz), u¡d = du — 2zdt, u¡n) = dx^ - (n - - (n + Í)x^+1)UH -

-(n -21- 1)х<?-%к, (2)

которые по построению инвариантны относительно преобразований, образующих ¿-конформную группу Галилея.

Один-формы (2) играют основную роль в построении динамической реализации. Полагая некоторые из них равными нулю, можно либо уменьшить число степеней свободы, либо получить уравнения движения, которые, по построению, также оказываются инвариантными относительно действия рассматриваемой группы. Важно отметить, что не существует однозначного рецепта наложения связей. В рамках метода нелинейных реализаций выбор системы связей является способом задать динамическую систему. На один-формы (2) наложим следующие связи:

"D - 0, 7~ W - 7шя = 0, w¡n) = 0, (3)

следствием которых служат уравнения

рЧ^ = (п + 1)а>+1) - (21-п+ Цт2*!""4, П = 0,1,..,21. (5)

Таким образом, в силу связей (3) переменная г может быть исключена из рассмотрения, а р является динамической степенью свободы.

Уравнение (5) для векторных переменных запишем в матричной форме

р24*(п) = х^Атп, dt

где а;(п) = (ж'0',..., х(2г)) и Атп - квадратная матрица (21 + 1) х (21 + 1) вида

дтп _

( 0 -2/72 О

1 О —(21 -1)72

0 2 О

0 0 3

О 0 \

О О

О О

О О

О 21

-72 О

V

/

Доказывается, что матрица Атп для полуцелых I имеет собственные значения ±¿7, ±3г7, ±5г7, ,.., ±2Иу, а для целых I - 0, ±2г'7, ±4*7, ±617,.., ±21/7.

Собственный вектор матрицы Атп, соответствующий собственному значению гр7, обозначим за г^пу Вводя в рассмотрение новые поля вида

х^Ч^),

где для полу целых I параметр р принимает значения 1,3,..., 21, а для целых I параметр р принимает значения 2,4,..., 21, можно убедиться, что их динамика удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:

о й

<И

(6)

Таким образом, нами установлено что уравнение (6) совместно с (4) задает динамическую реализацию ¿-конформной алгебры Галилея. Уравнение (6) трактуется как уравнение, описывающие частицу в ¿-мерном пространстве, находящуюся в фиксированном внешнем поле р(Ь), динамика которого описывается уравнением (4).

Во второй главе диссертации устанавливается общая структура ¿-конформного расширения алгебры Ньютона-Гука. Показано, что по сравнению с (1) коммутационные соотношения /-конформной алгебры Ныотона-Гука модифицируются в следующих двух коммутаторах:

где верхний/нижний знак соответствует отрицательной/положительной космологической постоянной.

Устанавливается общая структура центрального расширения ¿-конформных алгебр Галилея и Ньютона-Гука. Показывается, что для полуцелых / коммутатор между векторными генераторами допускает деформацию вида

[С}п),С]т)] = (-1 )пдп,21-т6цп\т\М,

где М - центральный заряд. Для целых / центральное расширение возможно только в (2 + 1)-мерном пространстве-времени

где 0 - центральный заряд в алгебре.

Показывается, что 1 = 1 конформная алгебра Ныотона-Гука может быть получена нерелятивистской контракцией из релятивистской конформной алгебры 50(2,4)

Далее с использованием метода нелинейных реализаций строится динамическая реализация /-конформной алгебры Ныотона-Гука

где верхний/нижний знак соответствует отрицательной/положительной космологической постоянной. В обоих случаях для полуцелых / индекс р пробегает набор значений 1,3,.., 21, а для целых - 2,4, ..,21.

Для построенных систем проводится сравнительный анализ характера движения обобщенных осцилляторов, описываемых переменными у?.

Доказывается инвариантность дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего осциллятор Паиса-Уленбека

(4) Ю.. 9 х\ ] + + = 0

относительно преобразований из / — |-конформной группы Ньютона-Гука.

В третьей главе диссертации строится Л/" = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры Галилея и ее представление линейными дифференциальными операторами

н = ди я = 1дв + ёдг, 0 = 1дц + еди J = iвдs-iвдв,

D = tdt + Ixidi + Х-№в + ^Odg, К = t2dt + 2 ItXidi + tOde + №g,

S = tOdt + itdg + 210х& + OOdo, S = tOdt + itd9 + 2 ЮхД + 00ds,

C\n)=tndi (n = 0, ..,21), P^ = eetndi (n = 0, ..,21 — 2), L{B) = 6tndi (n = 0, ..,2/ - 1), = 04"$ (n = 0, ..,2/ - 1),

My = Xidj - Xjdi,

(8)

где - грассмановы координаты.

Строится Л/* = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры Нью-тона-Гука. Показывается, что при помощи координатных преобразований вида

из представления (8) получается представление Л/* = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Ныотона-Гука с отрицательной (правый столбец) и положительной (левый столбец) космологической постоянной.

В четвертой главе диссертации рассматривается квантово-механическая система тождественных частиц, взаимодействующих посредством конформного потенциала и заключенных в гармоническую ловушку. Данная система проявляет инвариантность относительно преобразований из I = \ конформной группы Ныотона-Гука и описывается гамильтонианом вида

а<0

где Но - гамильтониан свободной системы, а конформный потенциал У(х) ограничен условиями

(xfd/H - xfdQ%) V(x) =0, Yl = 0. <daiV(x) + 2V(x) = 0.

t' = Rtan(t/R),

t' = fitanh (t/R), х[ = (cosh (t/R))~nXi 9' = (cosh (t/R))"4 <? = (cosh (t/R))-1!)

x\ = (cos (t/R))~2lx, & = (cos (t/R))-1 в, в' = (cos (t/R))-1 в,

П

Строится преобразование подобия, которое отображает гамильтониан (9) в гамильтониан свободных осцилляторов

2 N

2Ы

П" = = Но + ^ £ (х„ - х,)2,

а<0

где операторы А и В имеют вид

А = аН + -(1 - гаш)2^ - 2(1 - га^)В{р1\

а

В = -аН£е1) - -(1 - гаш)2^ге° + 2(1 - гаШ)/#ег). (10)

а

В соотношениях (10) принято обозначение

II и 1 2 пН) _ иа ~ 1, ^ [Уа^а + Wаyа)

МтЫ) • — ТО 2 2"Уа = то N 2Ы ^(Х" " а<0 - хд)2,

(П)

и использованы координаты Якоби (а = 1,..., N — 1 )

Уа = , / ( ¿Х/3 - аХ«+1 ) > ч/а(а + 1) !

I ¿Р/3 ~ар"+1 I • (12)

у/а{а + 1) ^ )

Таким образом, построенное отображение позволяет установить структуру спектра оператора энергии системы частиц, взаимодействующих посредством конформного и потенциала и заключенных в гармоническую ловушку.

Далее строится обобщение указанной конструкции на N = 2 суперсимметричный случай.

В приложении А приведены общие сведения о конформных преобразованиях в пространстве произвольной размерности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. В рамках общей теоретико-групповой конструкции построена динамическая реализация /-конформной алгебры Галилея, не содержащая высших производных. Установлено, что система описывает набор многомерных обобщенных осцилляторов, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной конформной модой. С использованием интегралов движения, отвечающих /-конформной группе Галилея, проанализирована динамика системы.

2. Установлены структурные соотношения наиболее общего конечномерного конформного расширения алгебры Ныотона-Гука и определены допустимые центральные расширения. Для такой алгебры построено бесконечномерное расширение типа Вирасоро-Каца-Муди. Доказано, что / = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука может быть получена нерелятивистской контракцией из релятивистской конформной алгебры йо(2,4).

3. Построена динамическая реализация /-конформной алгебры Ньютона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка. Доказано, что система описывает набор частиц в (/-мерном пространстве, находящихся во внешнем поле, задаваемом дополнительной гармонической конформной модой. Прослежена зависимость динамики частиц от эволюции внешнего поля. Доказано, что при специальном выборе частот осцилляций многомерный осциллятор Паиса-Уленбека обладает / = 3/2-конформной симметрией Ньютона- Гука.

4. Установлена общая структура Л/* = 2 суперсимметричного расширения /конформной алгебры Галилея и /-конформной алгебры Ныотона-Гука. Для многомерной квантовой механики, инвариантной относительно преобразований из Л/* = 2 суперсимметричного расширения / = —конформной группы Галилея, построено преобразование подобия, позволяющее установить структуру спектра оператора энергии.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Galajinsky A., Masterov I. Remark on quantum mechanics with N = 2 Schro-dinger supersymmetry // Phys. Lett. B. - 2009. - Vol. 675, No. 1. - P. 116-122.

2. Galajinsky A., Masterov I. Remarks on /-conformal extension of the Newton-Hooke algebra // Phys. Lett. B. - 2011. - Vol. 702, No. 4. - P. 265-267.

3. Masterov I. J\f = 2 supersymmetric extension of /-conformal Galilei algebra // J. Math. Phys. - 2012. - Vol. 53, No. 7. - 072904 (10 pages).

4. Galajinsky A., Masterov I. Dynamical realization of /-conformal Galilei algebra and oscillators // Nucl. Phys. B. - 2013. - Vol. 866, No. 2. - P. 212-227.

5. Galajinsky A., Masterov I. Dynamical realization of /-conformal Newton-Hooke group // Phys. Lett. B. - 2013. - Vol. 723. - P. 190-195.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский Томский политехнических университет

и $

На правах рукописи

04201360684

Мастеров Иван Викторович

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КОНФОРМНАЯ СИММЕТРИЯ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук Галажинский А.В.

Томск - 2013

Оглавление

Введение......................................................................4

1 Динамические реализации /-конформной алгебры Галилея 10

1.1 Лево-инвариантные формы Маурера-Картана ......................11

1.2 Примеры ................................................................14

1.2.1 Динамическая реализация I — 1-конформной алгебры Галилея..........................................................14

1.2.2 Динамическая реализация I = 2-конформной алгебры Галилея ............................................................20

1.3 Случай произвольного /................................................25

1.4 Реализация I — |-конформной алгебры Галилея с высшими производными ................................................................31

2 /-конформная алгебра Ньютона-Гука и ее динамические реализации 36

2.1 Структурные соотношения /-конформной алгебры Ньютона-Гука 36

2.2 Бесконечномерное расширение........................................39

2.3 Структура центральных расширений ................................40

2.4 / = 1-конформная алгебра Ньютона-Гука и 5<э(2,4) ................43

2.5 Динамическая реализация /-конформной алгебры Ньютона-Гука . 43

2.5.1 Отрицательная космологическая постоянная................44

2.5.2 Положительная космологическая постоянная................51

2.5.3 / = |-конформная алгебра Ньютона-Гука и осциллятор Паиса-Уленбека..................................................54

3 N = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры

Галилея и суперсимметричная механика 58

3.1 Структурные соотношения М = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея ..................................58

3.2 Л/* = 2 суперсимметричное расширение /-конформной алгебры Ньютона-Гука............................................................61

3.3 Бесконечномерное расширение........................................66

4 Преобразование подобия в нерелятивистской конформной механике 69

4.1 Нерелятивистская конформная механика и / = ^-конформная алгебра Галилея............................................................69

4.2 Унитарные автоморфизмы I = ^-конформной алгебры Галилея . . 72

4.3 Конформная механика в гармонической ловушке....................76

4.4 N = 2 суперсимметричное расширение ..............................81

4.5 Унитарные автоморфизмы N = 2 супералгебры....................86

Заключение..................................................................87

Список использованной литературы..................................88

Приложение А..............................................................98

Введение

В последнее время наблюдается всплеск интереса к теориям поля и механическим системам проявляющим конформную инвариантность. Конформная симметрия является неотъемлемым ингредиентом ряда важнейших моделей, представляющих физический и математический интерес. Достаточно упомянуть, что уравнения Максвелла, безмассовые уравнения Дирака и Клейна-Гордона, уравнения Шредингера для свободной нерелятивистской массивной частицы и уравнение многомерного гармонического осциллятора обладают конформной инвариантностью [1]-[7]. В основе теории (супер)струн, которая к настоящему моменту рассматривается в качестве основного претендента па роль единой теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц, лежит бесконечномерная конформная симметрия [8]. Даже столь экзотическое явление как движение массивной заряженной частицы вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр описывается в терминах конформной механики [9, 10, 11].

На протяжении последних 15 лет центральной темой в исследовании конформной симметрии является изучение различных аспектов соответствия между конформной теорией поля в плоском пространстве и теорией струн в искривленном пространстве большей размерности (АдС/КТП-соответствие) [12]. Важная особенность АдС/КТП-дуальности состоит в том, что она устанавливает связь между конформной теорией поля в плоском пространстве в режиме сильной связи и теорией струн в искривленном пространстве в режиме слабой связи. Иными словами, АдС/КТП-соответствие предлагает принципиально новый подход к исследованию сильно взаимодействующих теорий поля, для которых стандартное пертурбативное разложение плохо определено. Наиболее известным примером такого рода является соответствие между Л/* = 4 суперсимметричной теорией поля Янга-Миллса и теорией струны типа НВ в пространстве

X 55 [13]-[15].

Начиная с 2008 г. исследование АдС/КТП-соотвстствия получило повое развитие в контексте нерелятивистской теории поля. В частности, в работах [16, 17] было показано, что аппарат АдС/КТП-соответствия может быть успешно применен в контексте теории конденсированного состояния вещества. В частности, система фермионов, удовлетворяющих условию унитарности [18, 19], при определенных условия обладает конформной симметрией и допускает дуальное описание. Отметим, что такая система может быть реализована в лабораторных экспериментах с использованием так называемых холодных атомов [20] Помимо фермиевских газов, большое число работ было посвящено развитию идей АдС/КТП-соответствия в контексте теории несжимаемой жидкости (см., например, работу [21] и цитируемую там литературу). Важные примеры нерелятивистских конформно-инвариантных систем встречаются в атомной физике (см., например, работы [22, 23]). Следует отметить, что параллельно с этим в работах [24]-[26] было инициировано изучение гравитации, инвариантной относительно анизотропных конформных преобразований.

Упомянутые выше исследования, направленные на разработку нерелятивистской версии АдС/КТП-соответствия, стимулировали активное изучение структуры нерелятивистских конформных (супер)алгебр [27]-[42] (более ранние исследования представлены в работах [43] —[48]). Среди них можно выделить так называемую /-конформную алгебру Галилея [46]—[48], где I - безразмерный положительный параметр, который может принимать целые или полуцелые значения. Эта алгебра включает в себя генератор трансляций по времени Н} генератор дилатаций Л, генератор специальных конформных преобразований К, генераторы пространственных вращений Мгз и 21 + 1 векторных генераторов с[п\ где п = 0,1, 2,.., 21. Генератор С^ соответствует пространственным трансляциям, а С^ отвечает галилеевским бустам.

Отметим, что частным случаем /-конформной алгебры Галилея является так называемая алгебра Шредингера, которая отвечает значению параметра / = 1/2 [4, 49, 50]. Данная алгебра является алгеброй симметрии классических и кван-товомеханических систем многих частиц, взаимодействующих посредством конформного потенциала. Такие системы интенсивно изучались па протяжении по-

/

следних четырех десятилетий (см., например, работы [51]-[61]). С одной стороны эти исследования обусловлены желанием построить новые точно решаемые модели в пространстве произвольного числа измерений. С другой стороны, некоторые из таких систем представляют реальный физический интерес [51], [62].

Несмотря на то, что /-конформная алгебра Галилея сформулирована достаточно давно, о ее динамических реализациях для I > 1 известно совсем немного. В частности, в недавней работе [37] показано, что /-конформная алгебра Галилея может быть реализована как алгебра симметрий модели свободной нерелятивистской частицы с высшими производными (см. также [38, 41]). В работе [63] построена динамическая реализация I = 1-конформной алгебры Галилея в терминах системы дифференциальных уравнений второго порядка. Построение динамических систем, инвариантных относительно /-конформной группы Галилея в терминах динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, представляет собой важную открытую проблему, на решение которой, в частности, направлена настоящая диссертационная работа.

Как хорошо известно, алгебра Галилея может быть получена из алгебры Ли группы Пуанкаре нерелятивистской контракцией. Если применить аналогичную процедуру к алгебре Ли группы (анти)-де Ситтера, то результирующая нерелятивистская алгебра известна как алгебра Ньютона-Гука [64]-[66]. Данная алгебра вовлекает размерный параметр А = гДе К ~ Радиус кривизны

исходного пространства (анти) де Ситтера. В зависимости от знака А, говорят об алгебре Ныотона-Гука, реализованной в нерелятивистском пространстве с положительной или отрицательной космологической постоянной.

Естественно ожидать, что в присутствие универсального космологического расширения/сжатия /-конформная алгебра Галилея должна определенным образом модифицироваться слагаемыми, пропорциональными космологической постоянной, и включать в себя алгебру Ньютона-Гука в качестве подалгебры. Последовательная формулировка структурных соотношений /-конформной алгебры Ныотона-Гука является одной из открытых проблем, которая, в частности, решена в данном диссертационном исследовании.

Важным шагом в изучении нерелятивистских конформных алгебр являет-

ся построение суперсимметричных обобщений. К настоящему моменту суперсимметричные расширения /-конформной алгебры Галилея и их динамические реализации детально изучались только для случаев / = 1/2и/ = 1.В частности, в работе [67] N = 1 суперсимметричное расширение / = |-конформной алгебры Галилея было реализовано в модели нерелятивистской массивной частицы спина 1/2. В работе [68] было показано, что модель Черна-Саймонса в нерелятивистском пределе инвариантна относительно преобразований из N = 2 суперсимметричного расширения / = ^-конформной алгебры Галилея. Структура супералгебры с N суперзарядам и обсуждалась в работе [69]. Квантовоме-ханические модели многих частиц, инвариантные относительно N = 2 супералгебры, были исследованы в работах [70]-[72]. В работах [73]-[75] обсуждалась взаимосвязь между нерелятивистскими супералгебрами с / = | и релятивистскими суперконформными алгебрами. В недавних работах [33], [35], [76]-[78] суперсимметричные расширения / = 1-конформной алгебры Галилея изучались в контексте нсрелятивистских контракций релятивистских суперконформных алгебр. Построение суперсимметричных расширений /-конформной алгебры Галилея для / > 1 представляет собой важную открытую проблему, которая, в частности, исследуется в настоящей диссертационной работе.

Подытоживая все вышесказанное, можно сделать вывод об актуальности исследований, направленных па систематическое изучение нсрелятивистских конформных алгебр, построение их динамических реализаций и суперсимметричных расширений, которым и посвящена данная диссертация.

Основными задачами диссертационной работы являлись следующие:

1) построение динамических реализаций /-конформной алгебры Галилея в терминах дифференциальных уравнений второго порядка;

2) определение общей структуры /-конформного расширения алгебры Ньютона-Гука и ее центральных расширений. Построение динамических реализаций /конформной алгебры Ныотона-Гука в терминах дифференциальных уравнений второго порядка;

3) построение N = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и /-конформной алгебры Ныотона-Гука;

4) построение преобразования подобия для квантовой механики многих ча-

стиц, инвариантной относительно преобразовании из Л/" = 2 суперсимметричного расширения / = ^-конформной группы Галилея, позволяющего установить структуру спектра оператора энергии.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Глава 1 посвящена систематическому изучению динамических реализаций /конформной алгебры Галилея. В частности, построена нелинейная реализация /-конформной группы Галилея в пространстве левых смежных классов по подгруппе вращений. Вычислены один-формы Маурера-Картаиа. Предложен набор связей на один-формы, определяющий динамику системы. Сформулирована система дифференциальных уравнений второго порядка, инвариантная относительно преобразований из /-конформной группы Галилея.

В главе 2 устанавливается общая структура /-конформной алгебры Ныотопа-Гука и ее центрального расширения, а также строится бесконечномерное расширение этой алгебры. Исследована процедура нерелятивистской контракции, с помощью которой / = 1-конформная алгебра Ныотона-Гука может быть получена из релятивистской конформной алгебры бо(2,4). Построена динамическая реализация /-конформной алгебры Ныотона-Гука в терминах системы дифференциальных уравнений второго порядка.

В главе 3 строится N = 2 суперсимметричное расширение /-конформных алгебр Галилея и Ныотона-Гука. Для данных супералгебр найдены представления линейными дифференциальными операторами. Строится бесконечномерное обобщение для Л/" = 2 суперсимметричного расширения /-конформной алгебры Галилея и ее представление линейными дифференциальными операторами, действующими в суперпространстве.

В главе 4 исследуются системы многих частиц, инвариантные относительно преобразований из / = ^-конформной группы Ньютона-Гука. Строится преобразование подобия, которое позволяет отобразить систему многих частиц, взаимодействующих посредством гармонического и конформного потенциалов, в систему невзаимодействующих осцилляторов. Рассматривается система тождественных суперчастиц, взаимодействующих посредством суперконформпого потенциала, которая инвариантна относительно преобразований из ]\[ — 2 су-

персимметричного расширения I = ^-конформной группы Галилея. Для данной модели строится отображение в систему невзаимодействующих суперчастиц, которое достигается за счет нелокальной реализации этой супералгебры в гильбертовом пространстве состояний. Построенное отображение позволяет сделать вывод о структуре спектра оператора энергии.

В приложении А приведены общие сведения о конформных преобразованиях в пространстве произвольной размерности.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, и выносимые на защиту.

Глава 1

Динамические реализации /-конформной алгебры Галилея

В этой главе мы исследуем динамические реализации ¿-конформной алгебры Галилея. В частности, в рамках общей теоретико-групповой конструкции мы построим системы дифференциальных уравнений второго порядка, обладающие /-конформной симметрией Галилея.

/-конформная алгебра Галилея включает в себя генератор трансляций по времени II, генератор дилатаций генератор специальных конформных преобразований К, генераторы пространственных вращений М^, 2/ + 1 векторных генераторов и , где п = 0,1,2, ..,2/. Генератор с\0) соответствует пространственным трансляциям, — галилеевским бустам. Все остальные векторные генераторы интерпретируются, как отвечающие ускорениям.

При построении динамической реализации генераторы в алгебре соотносятся с сохраняющимся величинам, которые позволяют упростить решение уравнений движения. В связи с тем, что число функционально независимых интегралов движения, необходимых для интегрирования дифференциального уравнения, связано с его порядком, динамические реализации /-конформной алгебры Галилея в общем случае приводят к системам, уравнения движения которых выше второго порядка для / > 1/2 (см. [37, 38, 41]).

Динамическая реализация I = 1-конформной алгебры Галилея без высших производных была построена в недавней работе [63] при помощи метода нелинейных реализаций [79]-[82] (более ранние исследования конформно-инвариантных систем включают также [83]-[87]). Как будет показано ниже, возможность

такой реализации связана с тем, что в данном случае генератор ускорений является функционально зависимым от генераторов пространственных трансляций и галилеевских бустов. Стоит отметить, что аналогичная ситуация возникает и для стандартной конформной механики в одномерном пространстве. Данная модель инвариантна относительно конформной группы 50(1,2), которая включает в себя три генератора, из которых один является функционально зависимым от двух остальных, и для решения уравнений движения конформной частицы достаточно знать только два интеграла движения.

Цель данного раздела заключается в построении динамических реализации I-конформной алгебры Галилея в терминах систем дифференциальных уравнений второго порядка.

1.1 Лево-инвариантные формы Маурера-Картана

Для построения динамических реализаций /-конформной алгебры Галилея мы будем использовать базис, в котором ее структурные соотношения имеют вид

Отметим, что генераторы Я, D и К образуют одномерную конформную подалгебру so(l, 2).1

Рассмотрим нелинейную реализацию /-конформной группы Галилея в пространстве левых смежных классов по подгруппе пространственных вращений. Точка этого пространства параметризована следующим образом:

[Я, D] = гН, [Я, К) = 2гD, [D, К] = гК.

[Н^п)]^гпС\п~1\ [D, = i(ji — 1)с\п\ [К, cf] = г(п - 2/)cf+1), [Mij} Cf}] = + iSjkc\n)

[Mij7 Мы] = -idikMji - iSjiMik + iSuMjk + i5jkMii.

(1.1)

G = e