Интегрируемые структуры в 2d Конформной теории поля и 4d Суперсимметричной калибровочной теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАРНОПОЛЬСКИЙ Григорий Михайлович

Интегрируемые структуры в 2(1 Конформной теории поля и 4с1 Суперсимметричной калибровочной теории поля.

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

5 к:сн 2014

Черноголовка — 2014

005549788

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук.

Научный руководитель: Белавил Александр Абрамович

доктор физико-математических паук, профессор, члеп-корреспопдепт РАН

Официальные оппоненты: Кричевер Игорь Моисеевич

доктор физико-математических паук ФГБУН ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН, г. Черноголовка, ведущий научный сотрудник

Рослый Алексей Андреевич

кандидат физико-математических паук ФГБУ "ГНЦ РФ ИТЭФг. Москва, старший научный сотрудник.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение пауки Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии паук

Защита диссертации состоится 26 июня 2014 г. в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии паук по адресу: 142432, Московская обл., г. Черноголовка, просп. Академика Семенова, д. 1-А, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан

Л. мая 2014 г.

Ученый секретарь ^_____

диссертационного совета,

доктор физ-мат. наук СУ// Грипевич Петр Георгиевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена изучению и доказательству гипотезы Алдая Гаиотто н Тачнкавы [1] (в дальнейшем АГТ соответствие). Данная гипотеза заключается в равенстве между конформными блоками в двумерной конформной теории поля и статистической суммой в суперсимметричной калибровочной теории Яига-Миллса.

Открытие АГТ явилось своего рода неожиданностью для экспертов в области двумерной конформной теории поля. Это связанно с тем, что активное изучение двумерной конформной теории поля началось в 1984 году со знаменитой статьи Белавииа, Полякова и Замолодчикова [2], и продолжается по текущее время. Главная идея этих авторов состояла в одновременном использовании конформной симметрии теории и гипотезы об операторной алгебере локальных полей [3]. За это время в изучении конформной теории поля был достигнут определенный прогресс. В частности, были хорошо изучены свойства одного из основных объектов в теории — конформного блока. Но явной формулы для данного объекта известно не было. Конформный блок можно было вычислять как ряд по степеням параметров (конформных инвариантов координат локальных операторов) коэффициент за коэффициентом, но общего ответа для тг-ого коэффициента ряда не было известно. С появлением АГТ соответствия [1], которое по сути устанавливало явную формулу для конформного блока в двумерной конформной теории поля, начался новый подъем интереса к двумерной конформной теории поля.

Алдан, Ганотто н Тачикава предложили связь между двумерными конформными теориями и Л/* = 2 четырех-мерными суперсимметричнымн калибровочными теориями. В частности, они связали га-точечный конформный блок па сфере с инстантопиой частью статистической суммы Некрасова [8-10] для калибровочной теории с калибровочной группой [/(2)1®-"®[/(2)п_з и со специальным набором полей материи, который либо в (а11т11-)фуидаменталыюм представлении группы С/(2)х ог II(2)п_з либо в бнфупдаментальпом представлении С/(2){ ® [7(2)^1 для г = 1,..., п- 2. Теории такого типа обычно называются линейными квиверпыми калибровочными теориями [11-14].

В вследствие результатов статьи [1] передовыми задачами стали задачи

о понимании и доказательстве АГТ соответствия.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение и доказательство АГТ соответствия и его обобщений. В частности, построение ортогонального базиса состояний для конформной теории с алгеброй симметрии Vir ®*Н и нахождение специальных вертекспых операторов, в случае классического АГТ соответствия. Построение ортогонального базиса состояний для конформной теории с алгеброй симметрии И ® Н ® Т ® NSR и нахождение специальных вертекспых операторов в случае суперсимметричного обобщения АГТ соответствия. Также в цели работы входит дальнейшее изучение и объяснение обобщений АГТ соответствия. А именно изучение свойств алгебры Л(2,р) = fl[(n)2/Qt(n ~

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построен ортогональный базис состояний и предъявлен специальный вертексный оператор в тензорном произведении алгебры Вирасоро и Гейзенберга: Vir ® lt. Результатом этого является доказательство классического АГТ соответствия для случая конформной теории поля с симметрией алгебры Вирасоро Vir.

2. Построен ортогональный базис состояний и предъявлеппы специальные вертексные операторы в тензорном произведении алгебр: И ® "Н ® Т ® NSR , Результатом этого является доказательство су-персимметричпого АГТ соответствия для случая конформной теории поля с симметрией алгебры Супер-Вирасоро: NSR.

3. Рассмотрение обобщение АГТ соответствия для конформной теории с алгеброй симметрии; Л(2,р) = оГ(тг)2/о[(п—р)2- Показанио, что данная алгебра может быть реализовапиа двумя способами. Эквивалентность двух способов приводит к нетривиальным тождествам для конформных блоков данной теорий.

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертации являются новыми. Достоверность ее выводов обеспечена надежностью применявшихся методов и подтверждается результатами апробации работы.

Научная и практическая ценность. Диссертация иосит теоретический характер. Ее результаты могут иметь применения в теории представлений, конформной теории поля, калибровочных теориях поля, в физике

конденсированного состояния d применении к дробному квантовому эффекту Холла.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались: на международной конференции «Worksliop on Classical and Quantum Integrable Systems », Дубна 2011, на международной конференции «Worksliop on AGT conjecture», Бонн 2011 г., а также иа научных семинарах в ИТФ им. Ландау.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор литературы, аргумептироваппа актуальность и научная новизна полученных результатов. Представлены основные результаты диссертации.

Результатом Главы 1 является доказательство классического АГТ соответствия.

В пункте 1.1 изложено понятие операторного разложения, понятие нри-марных локальных полей и их потомков. Дается определение алгебры Ви-расоро. Также определяется понятие конформного блока, как голоморфный вклад в корреляционную функцию примарпых полей

Конформный блок обычно представляется в виде следующей диаграммы:

Ai-

А3

Ai А2

A„-i

А„_4

А„

Удобно использовать проективную симметрию и зафиксировать zi = О, zn_ 1 = 1 и г„ = оо. Также удобно выбрать

«¿+i = Wi+i ■■ -Qn-з for 1 < г < n - 3,

тогда конформный блок, соответствующий диаграмме является рядом [2]

Г(д\Ai, Ai, с) = 1 + £ 9lfcl g^... £ Г/ Ъ (Aif А,-, с),

к

где сумма берется по всем положительным целым к= (ki,..., fcn_3) и коэффициенты fj^Ai, Aj,c) являются какими-то рациональными функциями от Ai, Aj и центрального заряда с, который полностью определен конформной симметрией [2].

Проблема вычисления конформного блока сводится к нахождению матричных элементов вида

(i\Lk,...Lk,m<bk(l)L-kn...L-kl\j)

mum

Для двух данных наборов целых чисел ..., кп) и (к[,..., к'т) вычисление матричного элемента является проблемой математических манипуляций с элементами алгебры Вирасоро. Матричный элемент является некоторым полиномом от конформных размерностей Ait Aj и Ак. Однако, такое математическое вычисление становится очень трудным для высоких уровней.

Далее в пункте 1.1 сформулироваииа АГТ гипотеза. Для этого мы определяем новую функцию

Z(q\bi,bj,c) d=ef П П (1 - qk.. > Aj,c),

к=1 т=к

где параметры ак и Q были введены, чтобы параметризовать внешние конформные размерности Ак и цепральный заряд с как

At = ak(Q - ак), с=1 +6Q2, Q = b+y.

о

Гипотеза состоит в том, что Z(q\Ai,Aj,c) обладает замечательным разложением

Z{q\AuAj,с) = 1 + YlQi1l22 ■ ■ -9п-з3 Z^AuAhc), а

с коэффициентами Zj:(Ai,Aj,c), которые имеют явное комбинаторное выражение:

Z-k(AuAj,c) = £ Zvec(Fb АО-.

ai ,...,а„_3

X Zbif(a2\P,0-, Pi,\i)Zbif(a3\Pi,\i-,P2, \2)ZWíf{aA\P2,\2-P3,\3) х ...

• • • X Zbif(an_2|Pn_4,An-4; -Pn-з, A„_3)Zbif(an-i|-Pn-3, A„_3;P,0).

Сумма берется по всем парам А = (Ai,A2) диаграмм Юнга (двойпых-разбнешш ) таких, что |Aj| = kj, где |Aj | полное число клеток в паре Xj. Параметры Р, Р и P¡ связанны с внешними размерностями Ai, Дп и про-межуточпыми размерностями Aj как

Д1 = ^-Р2, Дп = ^-р2 и Aj = <t-pf. 4 4 4 3

Явный вид функций Zbif и Zuec был выведен в [15-17].

В пункте 1.2 вводится специальный базис состояний в алгебре Л =

Vir ® Tí, которая является тензорным произведением алегбры Вирасоро и

алгебры Гейзепберга с коммутаторами:

[Ln,Lm] = (n-m)Ln+m + -n)Sn+m¡0,

TL

[а„, Om] = — $n+m,Oi [Ln,am]~ 0. Вводится специальный вертекснып оператор Va как

V dJfv •Vh

v a r a v ct »

где V¿ примарпое поле алгебры Вирасоро с конформной размерностью Д(а) = a(Q - а) и Va экспонента от свободного поля

Va = е2<~а~^'р~е2а'р*,

с ¥>♦(*) = i Zn>0 ^z'11 И <p-(z) = i Z„<0

Вводится понятие базиса в пространстве состояний теории:

|д|=1*1

где сумма идет по всем парам /1 = (/.ti, ¡x2) днаграм Юнга, таких, что |/1| = |А| и Сд1 ,М2 (Р) некоторые неизвестные коэффициенты и

a-ai¿-a2|Р) "=*а-1т .■■a_i1L_kn .. .L_fcl|P),

где А1 = (1г,...,1т), А2 = (к!,...,кп).

Формулируется основное предложение являющееся главной идеей для доказательства классического АГТ соответствия:

Главное Предложение; Существует и единственен ортогональный базис \Р)Х, такой, что

р(Р'\У«\Рк

(Р'\Уа\Р)

= гыг(а\р',Гс,р,\).

В пункте 1.3 приводится доказательство Главного Предложения. Доказательство состоит из 8 частей.

В начале генераторы алгебры Вирасоро Ьп выражаются в терминах генераторов алгебры Гейзепберга Ск, как:

О2

Ьп= Т, сксп-к+1{п(3-2Г)сп, 10 = -^--Г2 + 2^с-кСк,

к* 0,п ^ к>0

[сп,ст] = ^6п+т, о, [Т,сп] = О, Г\Р) = Р\Р), (Р\Г = -Р(Р\.

Предложение 1.3.1; Матричный элемент между состояниями |Р)л,0 и ¡1:0{Р'\ определенный как

\Р)х,0 = Пх(Р)^(х)\Р), ^{Р'\ = ^(Р'){Р'\зуа)(у), (1)

равен Zъ\í{ol\Pl, (/л, 0); Р, (А, 0)). Здесь д = -Ь2,

а-к ~ с-к = -гЬрк(х), ак + ск = -гЬрк(у),

с Рк(х) являющимся к-той степенной суммой симметричного полинома Рк(%) = х^ и Зх/в)(х) полином Джека связанный с диаграммой Юнга А норлшрованный как ("интегральная форма" нормировки [19])

Л^НМГПЕ!.....!](*)+...,

где т[т,...,ип](.х) мономиальный симметричный полином. Фактор П\(Р) определен как

ПХ(Р) = (-Ь) 1Л1 П (2Р + гЪ+зЬ-1),

индекс г пробегает вертикаль и 3 пробегает горизонталь диаграммы Л. Например, для диаграммы Л = (2,1) мы имеем

(1.1) (1,2)

(2,1)

Предложение 1.3.2: Пусть А = (Ai, Аз,___) есть разбиение и |Р)а,0 состояние определенное, как (1), тогда состояние \Р = Рт,п)\,а для (т,п) е А имеет "факторизованную" форму

|Рпг,п>а,0 = (-l)m"Jf<m'n> £>m,n|Pra,n) for (т,п) £ А,

где

_ V" /-Л"1'") т

ЛА - Li °Л;сг а-°1Ь-ст2, |ст|=|Л1-ттг

есть оператор, который удовлетворяет уравнению

= ZWlf(a\P', (/Li,0); Рт _n, (р, г/)),

и пара разбиений (р,1/) определяется, как р = (Ах - ?г, ...,Ат - п) и ¡у =

(Ат+1, Ат+2,... ).

Пример того, как пара разбиений (р, и) определена для данных (т, п) е А показан на следующей картинке.

Предложение 1.3.3: Для любой пары диаграмм Юнга (р, и) существует единственный оператор

Шр\+Н

такой, что

АР'IV. V _(р\\р\

{Р'К\Р)

где определен в (1). Более того т > 1(р), п > - рт

Х/р \ _ у-(т,п) т,-п) ' >

где А = (рх + п,...,рт + п, щ, ь>2, • • • ) и оператор определенный в

Предложении 1.3,2.

Лемма 1.3.4: Пусть У^(Р) удовлетворяет

(Р'\Ь^1а^2УаУм(Р)\Р) =0 для любых цх,/.12 ■ |/«1| + |/4г| < и Р' и а любые параметры, тогда Удг(Р) = 0.

Предложение 1.3.5: Для любых двух пар диаграмм Юнга А = (А1, А2) и А = (/ч,/ч)

(Р'|Хг(Р')Т/аХд(Р)|Р) (Р'ШР)

Следствие 1.3.6; Состояния Х^(Р)|Р) образуют ортогональный базис <Р|Х£(Р)Хх(Р)|Р)=Л/д(Р)х5д1Д)

где р = 0 если А Ф р., ^ = 1 и

Я%(Р) = 1/Д,ес(Р,А).

Предложение 1.3,7: Базис состояний Хд(Р)|Р) определенный выше есть единственный базис удовлетворяющий

(Р'\^(Р')УаХ,(Р)\Р) _ --- ЯшкщР , р, А).

Следствие 1.3.8: Все коэффициенты С?(Р) в

тм

полиномы по импульсу Р.

Глава 2 посвящепа обощеишо АГТ соответствия. В [18] было предло-жепо, что инстаитопное многообразие Л4 = М(г, Ы)7^ соответствует конформной теории с симметрией косета

Л/ ч сМ 0КП)г

А(г,р) =

s¡í(n-p)r

где параметр п связан с эквивариантпыми параметрами и, в общем, может быть любым комплексным числом. Используя известную "уровень-ранг" дуальность, такой косет может быть переписан как

«Т,Р) - ШР)г х ^^ ^ = и X Г[(р)Р X

где И алгебра Гейзеиберга. Принимая во внимание конструкцию [20] некоторые из этих алгебр могут быть переписаны как:

• • • • • • • • •

р = 3 Н ©Г((з)1 • • • • • • • •

р = 2 и © s((2)i И © s((2)2 © NSR • • • • •

р=1 ■Н TífflVir w©w3 • •

г = 1 г = 2 г = 3

где Vir алгебра Вирасоро, W3 есть s((3) W алгебра и NSR алгебра Невьё-Шварца-Рамона, Я = 1 суперапалог алгебры Вирасоро. Используя свободно-полевое представление алгебр Г[(2)ь л[(2)2 и s[(3)i и ограничиваясь только на некоторых компонентах М. данная таблица может быть

переписана как

• • • • • • • • •

р = 3 н®и®н • • • • • • • •

р = 2 н®н Н®Н®Т® МБР • • • • •

р=1 и П®У ¡г и® \Л/3 • •

г = 1 г = 2 г = 3

где .Т7 алгебра Майораиовских фермиопов. Глава 2, в основном, посвящена изучению суперсимметричного случая, что па языке данных таблиц соответствует клетке (р - 2, г = 2). Рассмотрение данного случая начинается с пункта 2.3.

В пункте 2.3.2. приводится алгебраический подход к суперсимметрич-пому АГТ соответствию. Рассматривается алгебра А = И ФЯ®/ Ф [\ISR-Показывается, что в нее нетривиальным образом вложены две коммутирующие алгебры Вирасоро:

ГШ- 1 г 1 + 2Ь* Тг-Г у, с

к ~ 1 -ь*Ьп 2(1 -ь2) '/п_г/г 1 -Ь2 А/п_г г' тт 1 г 1 + 2 Ь~2 ~ Ь"1

= ~ 2(1 - Ь-') г' 1п-г1г •+1 - Ь-2 /п"г г'

где

= (п - т)2#+>т + £<„» - п) <5„+т,0,

см = 1+бд(а) 2, = и ь(1) = . 2Ь . (Ь™)-1- —

-/2 - 262' х/2 - 2Ь-

Специальпый базис состояний определяется как

где операторы Х9(„)(Р'а\Ь,а>) определялись в Главе 1. Также в данном пункте нам удается найти специальные вертексные операторы:

<>(*) = «ТО

¥<Л г) = (a/(z)<C(z) -MlTO)^(z) W«(z). V™ = ((Q ~ *)f(z)KS(z) + >№)) W«(z),

Рассматривается матричный элемент вида ff (а, т\Р>, к', ТУ(1), W(2) ;P,k,Y™,Y™) d^

(k',P'\vim)\P,k)

Далее формулируется:

Предложение 2.1: Матричный элемент равен $(а,т\Р', к', W^,Wm-P, к, ?(1\ ?(2)) =

V 2b<2> I 2 2Ь<2> 2Ь(2) /'

где функция F есть бифундаментальный вклад в статистическую сумму Некрасова.

Далее вводится определение "блоу-ап" факторов, как отношение матричных элементов

|(fc',p'|v£m)|p,fc) I»/, о

——' , ', если k + k + т = 2п,

{Л Ä) , ,, ч (4)

1 Дп , если к + к + т = 2п + 1. (P'|v£ |Р) '

Формулируется

Предложение 2.2: Факторы (4) выражаются формулой

I П., Seven (а + Р( + Pj, m+kj+k* ) если т + к + к' четно

1(а,т\Р ,к ,Р,к) = < .v /т+к'+k-W

I Пг,л- «odd (се + Р/ + Pj, int I т+ 2<+ 3 I j, если т + к + к' нечетно

где Р = (Р,-Р), к = (к,-к), Р' = (Р',-Р'), к' = (к1,-к') и int(x) = sgn(i)[|x|J целая часть от х и для п > О

2

Seve»(x,n) = 2'^ Ц (ат + (г — 1)Ь + (j — 1)Ь-1),

itj> 1, i+j<2n i+j=0 mod 2

soda(x,n) = 2-ni¥11 П (г + (г-1)Ь + 0-1)Ь_1),

t,j>l, i+j<2n+l i+j=l mod 2

в то время, как для п < 0 мы имеем

5еуеп(х,п) = (-1)"зеУеп(<3 ~Х,-п), 8оЛ(1(х,п) = Я0с1с1(<? ~ X, -п).

Далее в пункте 2.4 рассматривается суперсимметричный случай, но с другой компактификацией пространства модулей ипстантонов. Наличие этой компактификации приводит к нетривиальным тождествам для конформных блоков и статистических сумм Некрасова.

В Главе 3 рассматривается обобщение АГТ соответствия для конформной теории с алгеброй симметрии: _Д(2,р) = д[(п)2/д[(?£ — Показание, что данная алгебра может быть реализовапна двумя способами. А именно, используя "уровень-ранг" дуальность мы получаем следующую диаграмму:

Исследуя различные ее части мы получаем разные нетривиальные тождества для характеров, конформных блоков и статистических сумм Некрасова.

Работы автора по теме диссертации

[1] Alba, Vasyl A. and Fateev, Vladimir A. and Litvinov, Alexey V. and Tarnopolskiy, Grigory M. On combinatorial expansion of the conformal blocks arising from AGT conjecture, Lett.Math.Pliys. 98, (2011), 33-64, arXiv:1012.1312

[2] Belavin, A.A. and Berslitein, M.A. and Feigin, B.L. and Litvinov, A.V. and Tarnopolsky, G.M. Instanton moduli spaces and bases in coset conformal field theory, Comm. Math. Pliys. 319(1), (2013) 269-301, arXiv: 1111.2803.

[3] Belavin, A.A. and Berslitein, M.A. and Tarnopolsky, G.M., Bases in coset conformal field theory from AGT correspondence and Macdonald polynomials at the roots of unity, JHEP, 1303, (2013) 019 arXiv:1211.2788.

[4] Alfimov, M.N. and Belavin, A.A. and Tarnopolsky, G.M. Coset conformal field theory and instanton counting on C2\ZP, JHEP 1308 (2013) 134, arXiv:1306.3938.

(?r!xVir(1))x...x('HxVir(p))

\JnM(2,N)

xM(3/4) x ... x M(p + 1/p + 2)

Цитированная литература

L. F. Alday, D. Gaiotto, and Y. Tachikawa, Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories, Lett. Math. Phys. 91 (2010) 167197, arXiv:0906.3219

A. A. Belavin, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333-380.

A. M. Polyakov, Nonhamiltonian approach to conformal quantum field theory, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 66 (1974) 23-42.

G. W. Moore and N. Seiberg, Classical and Quantum Conformal Field Theory, Commun. Math. Phys. 123 (1989) 177.

V. P. Yurov and A. B. Zamolodchikov, Truncated conformal space approach to scaling Lee-Yang model, Int. J. Mod. Phys. A5 (1990) 3221-3246.

Al. B. Zamolodchikov, Conformal symmetry in two-dimensions: an explicit reccurence formula for the conformal partial wave amplitude, Commun. Math. Phys. 96 (1984) 419-422.

L. Hadasz, Z. Jaskolski, and P. Suchanek, Recursive representation of the torus 1-point conformal block, JHEP 01 (2010) 063, arXiv:0911.2353

G. W. Moore, N. Nekrasov, and S. Shatashvili, Integrating over Higgs branches, Commun. Math. Phys. 209 (2000) 97-121, hep-th/9712241

N. A. Nekrasov, Seiberg- Witten Prepotential From Instanton Counting, Adv. Theor. Math. Phys. 7 (2004) 831-864, hep-th/0206161

N. Nekrasov and A. Okounkov, Seiberg- Witten theory and random partitions, hep-th/0306238

M. R. Douglas and G. W. Moore, D-branes, Quivers, and ALE Instantons, hep-th/9603167

D. Gaiotto and J. Maldacena, The gravity duals of N=2 superconformal field theories, arXiv:0904.4466

D.. Gaiotto, N=2 dualities, arXiv:0904.2715

[14] F. Benini, S. Benvenuti, and Y. Tacliikawa, Webs of five-branes and N=2 superconformal field theories, JHEP 09 (2009) 052, arXiv:0906.0359

[15] F. Fucito, J. F. Morales, and R. Pogliossian, Instantons on quivers and orientifolds, JHEP 10 (2004) 037, liep-tli/0408090

[16] R. Flume and R. Pogliossian, An algorithm for the microscopic evaluation of the coefficients of the Seiberg- Witten prepotential, Int. J. Mod. Phys. A18 (2003) 2541, hep-tli/0208176

[17] S. Sliadcliin, Cubic curves from instanton counting, JHEP 03 (2006) 046, hep-th/0511132

[18] V. Belavin and B. Feigin, Super Liouville conformal blocks from N=2 SU(2) quiver gauge theories, JHEP 1107 (2011) 079, arXiv:1105.5800

[19] I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford University Press, 1995.

[20] P. Goddard, A. Kent, and D. I. Olive, Unitary representations of the Virasoro and Supervirasoro algebras, Commun. Math. Phys. 103 (1986) 105-119.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ РАН

04201459842

ТАРНОПОЛЬСКИИ Григорий Михайлович

На правах рукописи

Интегрируемые структуры в 2(1 Конформной теории поля и 4с1 Суперсимметричной

калибровочной теории поля.

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

А. А. Белавин

Черноголовка - 2014

Оглавление

Введение 4

1 Объяснение классического АГТ соответствия 5

1.1 Гипотеза Алдая, Гаиотто и Тачикавы......................................................5

1.2 Специальный басис состояний в алгебре Vir&Н..........................................11

1.3 Доказательство Главного предложения....................................................14

2 Объяснение суперсимметричного АГТ соответствия 26

2.1 Обобщение АГТ соответствия..............................................................26

2.2 Случай р= 1..................................................................................32

2.2.1 Геометрический подход..............................................................32

2.2.2 Алгебраический подход..............................................................34

2.3 Суперсимметричный случай (р = 2, г — 2)................................................39

2.3.1 Геометрический подход..............................................................39

2.3.2 Алгебраический подход..............................................................41

2.4 Суперсимметричный случай: другая компактификация ................................49

2.4.1 Другая компактификация ..........................................................49

2.4.2 Случай г = 1..........................................................................52

3 Дальнейшее обобщение АГТ соответствия 56

3.1 Общая конструкция..........................................................................56

3.2 Подсчет неподвижных точек действия тора на пространстве модулей инстантонов . 58

3.2.1 Фиксированные точки на пространстве модулей U(2) инстантонов на C2/Zp 58

3.2.2 Подсчет не эквивалентных производящих функций цветных диаграмм Юнга 60

3.3 Первая реализация алгебры Л(2,р)........................................................62

3.3.1 р моделей с симметрией алгебры Вирасоро......................................63

3.3.2 Сравнение с производящими функциями раскрашенных диаграмм Юнга . . 68

3.4 Вторая реализация алгебры Л(2,р)........................................................68

3.4.1 Представления косета з1(2)р х 51(2)п_р/з[(2)п......................................70

3.4.2 Произведение последовательных Минимальных моделей........................71

3.4.3 Сравнение с первой реализацией алгебры Л(2,р)................................72

3.5 Сравнение инстантонных статистических сумм..........................................74

3.5.1 Первая компактификация ..........................................................74

3.5.2 Вторая компактификация ..........................................................76

Приложения 77

Приложение 1 ................................................................................77

Приложение 2 ................................................................................81

Приложение 3 ................................................................................82

Приложение 4 ................................................................................85

Приложение 5 ................................................................................88

Приложение 6 ................................................................................89

Приложение 7 ................................................................................91

Приложение 8 ................................................................................94

Заключение 96

Публикации по теме диссертации 97

Литература 98

Введение

Открытие АГТ явилось своего рода неожиданностью для экспертов в области двумерной конформной теории поля. Это связанно с тем, что активное изучение двумерной конформной теории поля началось в 1984 году со знаменитой статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова [2], и продолжается по настоящее время. Главная идея этих авторов состояла в одновременном использовании конформной симметрии теории и гипотезы об операторной алгсбсрс локальных полей [3]. За это время в изучении конформной теории поля был достигнут определенный прогресс. В частности, были хорошо изучены свойства одного из основных объектов в теории — конформного блока. Но явной формулы для данного объекта известно не было. Конформный блок можно было вычислять как ряд по степеням параметров (конформных инвариантов координат локальных операторов) коэффициент за коэффициентом, но общего ответа для п-ого коэффициента ряда не было известно. С появлением АГТ соответствия [1], которое по сути устанавливало явную формулу для конформного блока в двумерной конформной теории поля, начался новый подъем интереса к двумерной конформной теории поля.

Алдай, Гаиотто и Тачикава предложили связь между двумерными конформными теориями и Ы = 2 четырехмерными суперсимметричными калибровочными теориями. В частности, они связали п—точечный конформный блок на сфере с инстантонной частью статистической суммы Некрасова [8,10,130] для калибровочной теории с калибровочной группой ¿7(2)1 <8> • ■ • <8> С/(2)тг_3 и со специальным набором полей материи, который либо в (анти-) фундаментальном представлении группы ¿7(2)1 или 17(2)п_з либо в бифундаментальном представлении £7(2)г ® ¿7(2)1+1 для г = 1 ,...,п — 2. Теории такого типа обычно называются линейными квиверными калибровочными теориями [11-14].

Вследствие результатов статьи [1] передовыми задачами стали задачи о понимании и доказательстве АГТ соответствия.

Глава 1

Объяснение классического АГТ

соответствия

1.1 Гипотеза Алдая, Гаиотто и Тачикавы.

Бутстрапный подход к двумерной конформной теории поля был предложен в известной статье [2] Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым. Их главная идея была в одновременной использовании конформной симметрии теории и гипотезе об операторной алгебере локальных полей [3]. А именно, если предположить существование полного набора локальный полей {0/,:(£)} в теории, то полнота такого набора локальных полей эквивалентна операторной алгебре

Структурные константы С* (£) являются однозначными функциями, которые удовлетворяют бесконечной системе уравнений, следующих из условаия ассоциативности операторной алгебры (1.1). В общем, эта система уравнений очень сложна для точного решения. Однако, в двумерной Конформной теории поля можно продвинуться на этом пути намного дальше, так как конформная группа является бесконечно размерной в этом случае, что влечет за собой сильные ограничения на возможную форму структурных констант С^(£). Можно показать, что полный набор полей (Од.(£)} раскладывается в данном случае на прямую сумму конформных семейств

(1.1)

к

(1.2)

П

Прородитель каждого семейства Фп называется примарным полем. Оно преобразуется как

\Тг) (1.3)

при конформных преобразованиях

г —>• и)(г), г —> гд(г).

Квантовые числа Д„ и Дп называются конформными размерностями. Другие представители конформного семейства [Фп] обычно называются полями-потомками. Их конформные размерности составляют бесконечную целую последовательность

и каждое конформное семейство соответствует какому-то определенному представлению старшего веса конформной группы. В двух измерениях конформная группа является тензорным произведением голоморфной и антиголоморфной алгебры Вирасоро:

^ 3

[Ьп: Ьш] = (п — т)Ьп+ш + — п) о,

с 3 (!-4)

[-^п; — (п — т)Ьп+т + —

и поэтому конформное семейство являтеся тензорным произведением [Фп] = 7Г„ <£> 7ГП двух модулей Верма алгебры Вирасоро. Параметр с в (1.4) является важной характеристикой Конформной теории поля и называется центральным зарядом. Более того, можно показать, что все структурные константы С^(£) могут быть вычислены в терминах структурных констант С* примарных полей [2].

Эта простая структура пространства полей в двумерной Конформной теории поля приводит к введению понятия конформных блоков. Они представляют голоморфный вклад в многоточечную корреляционную функцию примарных полей

• Фп (-2-711 -2-п))

(15)

с выбором определенных конформных семейств в промежуточных каналах. Удобно представить

га—точечный конформный блок следующей картинкой [2]:1

А1-

Д,

А.я

Л1

Д2

Ат,.-

п—2

Ап-1

Ап-4 Дп-3

(1.6)

которая заключает в себе способ того, как выполнено операторное разложение (1.5). га—точечный конформный блок (1-6) является функцией голоморфных координат . . . , гп, и внешних размерностей Д1(..., Дп, а также промежуточных размерностей Дь ..., Д„_з и центрального заряда с. Удобно использовать проективную симметрию и зафиксировать ¿1 = 0, гп-\ = 1 и г„ = оо. Также удобно выбрать

гг+1 = qlqг+1... дп_3 для 1 < г < га - 3, тогда конформный блок, соответствующий картинке (1.6), является рядом [2]

Лд|Дг, А3,с) = 1 + ^2 д^д? ... д^Г33 Тк(Аг, Д„ с),

(1.7)

где сумма берется по всем положительным целым к = (к^,..., &п_3) и коэффициенты 7^(Дг, А3, с) являются какими-то рациональными функциями от Дг, Д:/ и центрального заряда с, который полностью определен (в общем) конформной симметрией [2]. Идея заключается в том, чтобы "разрезать" все промежуточные каналы конформного блока (1.6) и "вставить" полный набор состояний [4]. Тогда проблема вычисления коэффициентов А3,с) в (1.7) эквивалентна проблеме нахождения нормированных матричных элементов произвольных примарных полей между состо-яними в Конформной теории поля:

(г\Ьк[ ... Ь«тФк(1) Ь_кп ... Ь_к1\])

<*|Ф*(1)Ь> ' 1 ]

Для двух данных наборов целых чисел (к\,..., кп) и (к[,..., к'т) вычисление матричного элемента (1.8) является проблемой матиматических манипуляций с элементами алгебры Вирасоро. Матричный элемент является некоторым полиномом от конформных размерностей Аг, А3 и Ак. Однако, такое математическое вычисление становится очень трудным для высоких уровней. Можно упростить эту процедуру если различать "конформные поля"и "производные" [5]. но все равно задача

хНа протяжении данного текста мы будем рассматривать конформные блоки только на сфере, т е на поверхности рода О

нахождения явного ответа для матричных элементов (1.8) остается трудной. Явные выражения для низших уровней, полученные алгебраической программой, которая работает с символьными переменными, не содержат признаков общей формулы. Поэтому было бы желательно иметь более эффективный алгоритм вычисления разложения (1.7). Одна возможность известна как рекурсивная процедура, которая была предложена Алексеем Замолодчиковым в [6]. Методо развитый в [6] был изначально применен к четырехточечному конформному блоку на сфере и, хотя обобщение этого метода для общего случая кажется возможным, таких результатов немного в существующей литературе 2.

Возобновившийся интерес к конформной теории поля возник после статьи [1] Алдая, Гаиот-то и Тачикавы, где они предложили связь между двумерными конформными теориями и N = 2 четырехмерными суперсимметричнми калибровочнми теориями (данное соответствеие обычно называется как АГТ гипотеза). В частности, они связали п—точечный конформный блок на сфере (1.7) с инстантонной частью статистической суммы Некрасова [8,10,130] для калибровочной теории с калибровочной группой U{2)\ ® ■ ■ ■ ® í/(2)n_3 и со специальным набором полей материи, который либо в (анти-)фундаментальном представлении группы U(2)i или C/(2)rí_3, либо в би-фундаментальном представлении U(2)г ® U(2)l+1 для г = 1,..., п — 2. Теории такого типа обычно называются линейными квиверными калибровочными теориями [11-14]. Для того, чтобы сформулировать результат [1], мы определяем новую функцию

п—3 п—3

Z{q\\, А„ с) ^ Д П - К ■ ■ ■ qm?ak+ÁQ-am+2) А- с), (1.9)

к=1 тп=к

где параметры а^ и Q были введены, чтобы параметризовать внешние конформные размерности Д/с и ценральный заряд с как

A k = MQ-®k), с = 1 + 6Q2, Q = b+(1.10)

В [1] была выдвинута гипотеза, что Z(q\Дг, Д ,. с) определенная как (1.9), обладает замечательным разложением

ад д„ д„ с) = i + ... ^Гз3 ^-(дг, 4, с), (1.П)

к

2Недавно, рекурсивная процедура [6| была обобщена на случай конформного блока на торе в [7]

с коэффициентами Аг,А3,с), которые имеют явное комбинаторное выражение Zk(At,A3,c) = Zvec(PbAa)...Zvec(P„_3,A„_3)x

х Zbl{(a2\P, 0; Ръ Х^гь^ЫРг, Xi: Р2, A2)Zblf(a4|P2, Л2: Р3, А3) х ...

• • • х Zblf(a

га—3|-Рп—5) -^тг—5; Р-а—4; Ап_4 га—2|-Ртг—4) -^п—4- Рп—3: An_3)Zblf(an_1|Pn_3, Л„_3; Р, 0).

(1.12)

Сумма в (1.12) берется по всем парам Л = (Ai, Л2) диаграм Юнга (двойных-разбиений), таких, что |Aj| = к3, где |А^| полное число клеток в паре Х3. Параметры Р, Р и Р3 в (1.12) связанны с внешними размерностями Дх, Ап и промежуточными размерностями А3 как

Д1 = ^-Р2, An = %-pi и L, = %-P*. 4 4 4

Явный вид функций Zb,f и Zvec был выведен в [15-17]. Функция Zblf дается формулой

2

Zblf(a\P', Д; Р, А) = П П (Q - ЕХг (Рг - P;|s) - a) JJ (Р; - P,|í) - а) , (1.13)

где Р = (Р, -Р), Р' = (Р', -Р') и

Ех^Р\з)=Р-ЬЦз) + Ь~1(ах(з) + 1). (1.13а)

В (2.8а) a\(s) и l^s) соответственно длина руки ячейки s в разбиении А и длина ноги ячейки s в разбиении ¡i. Мы выбираем Английское соглашение для рисования разбиений А = (Ai > Х2 > ...). Например, разбиение А = (4, 3, 2,1,1) представляется как:

где число заполненных кружочков равно длине руки а\(з), тогда как число пустых кружочков равно длине ноги 1\(з). Заметим, что в (1.13а) длина руки и ноги вычисляются для разных разбиений А и ¡1 и ячейка 5 всегда принадлежит разбиению А, которое является первым индексом функции Е\ и (Р| й) ■ Функция Zvec определена как

1

Zvec{P, А) —

Zblf(0|P,A;P,A) 9

(1.14)

АГТ гипотеза [1] привлекает внимание специалистов по калибровочным теориям и специалистов по конформным теориям поля. В частности, мы можем заметить, что комбинаторное разложение (1.11)-(1.12) было абсолютно неожиданным с точки зрения Конформной теории поля. В серии работ [18-23] это разложение было проверенно для некоторых частных случаев с предсказаниями из Конформной теории поля. Однако, строгого математического доказательства (1.11)-(1.12) дано не было.

Фактор в правой части в (1.9) был назван в [1] как "U(l) фактор", который предположительно соответствует отщеплению U( 1) части от инстантонной статистической суммы Некрасова, которая вычислена для U(2) группы, а не SU(2). Кажется естественным выразить "[/(1) фактор" в терминах корреляционной функции киральных вертексных операторов некоторого бозонного поля. Мы нашли, что введение дополнительного бозонного поля есть не только удобный способ представить "[/(1) фактор", но также играет очень важную роль во всей конструкции. Мы рассматриваем алгебру А = Vir <2> К, которая является тензорным произведением алгебры Вирасоро и алгебры Гейзенберга, и строим специальный ортогональный базис в представлении старшего веса для данной алгебры. Матричные элементы примарных полей между двумя состояниями из нашего базиса имеют особенно простую форму, которая совпадает с Z\»{, определенным выше. Норма этих состояний равна 1/Zvec. Ясно, что такой базис по существу приводит к разложению (1.11)—(1.12). Похожая идея была предложена Алдаем и Тачикавой в [24]. В следующих пунктах мы доказываем существование и единственность такого базиса и находим стоящюю за таким базисом квантовую интегрируемую систему (систему коммутирующих Интегралов движения, диагонализуемых в данном базисе).

Дальнейший план данной главы состоит в следующем. В разделе 1.2 мы формулируем Главное Предложение, которое есть основной результат Главы 1. Секция 1.3 посвящена доказательству Главного Предложения. В Приложении 1 мы вычисляем интеграл Сельберга со вставкой двух полиномов Джека, который использован в пункте 1 3. В Приложении 2 мы даем доказательство тождествам (1.47) и (1.64) используемых в пункте 1.3. В Приложении 3 мы обсуждаем систему квантовых интегралов движения, которая видится очень важной задачей.

1.2 Специальный басис состояний в алгебре Vir^H

Мы рассматриваем алгебру А = VirtgiTi, которая является тензорным произведением алегбры Вирасоро и алгебры Гсйзенберга с коммутаторами:

Q

[Ln, Lm] = (п - m)Ln+m + —(n3 - п) 5п+т 0,

_ (1Л5)

[Йп, ат] = — Sn+Tn о, [Ln, flm] = 0.

Мы параметризуем центральный заряд с алгебры Вирасоро так же, как это обычно делается при рассмотрении теории Лиувилля

с = 1 + 6Q2, где Q = b+(1.16) и определяем примарное поле Va как:

Va = va-v,t, (1.17)

где примарное поле алгебры Вирасоро с конформной размерностью А (а) = a(Q — а) и Va экспонента от свободного поля 3:

Va = e2ia-Q)v-e2av+i (1.18)

с <p+(z) = г J2n>o if z~n и V9-(-z) = ■ Коммутационные соотношения примарного поля

Va(z) с генераторами Lm и ап могут быть записанны как:

[Lm, V£(z)} = (zm+ldz + (m + 1)А(а)гт) V^z), [an, Va(z)] = -iaznVa(z), для n < 0,

(1.19)

[an, Va(z)] = i(Q - a)znVa(z), для n > 0, [Lm,Va(z)] = [an,V^z)}= 0. Существ}гет естественный базис в пространстве состояний

a_/m...a_/lL_fell...L_fcl|P), h > к2 > ■ ■ ■ > кп, h > к > • ■ • > 1т, (1-20)

где Р параметризует конформную размерность Вирасоро как Д(Р) = ^--Р2 и \Р) вакуумное

состояние, которое определено как

Ln\P) = о,п\Р) = 0, для га > 0, L0\P) = Д(Р)|Р), <Р|Р> = 1.

З3аметим, что такая 'странная'" форма вертексного оператора (1 18) была предложена в некотором другом, но

отчасти связанном контексте. Карлсоном и Окуньковым в [25]

Матричные элементы 4

(P'\L>k[ - - - Lu aVi ... av Va{l) a_tm ... a^hL^kn ... L_fcl |P)

(1.21)

(P'\Va(l)\P)

являются некоторыми полиномами по а, Р и Р' и могут быть вычисленны с использованием коммутационных правил (1.19) и явной формы координатной зависимости матричного элемента5

(P'\V^(z)\P) ~ гр2-р'2-дМ. (1.22)

Заметим, что состояния (1.20) являются собственными состояниями оператора Lo+2 J2k>o а-ьак с собственными значениями равными

п тп

A^k+l\P)=A(P) + k + l, k = l = J2li- С1-23)

1=1

Для общих значений импульса Р модуль |Р) является неприводимым, и число состояний с данным значением А^(Р) равно числу пар диаграмм Юнга А = (Ai, А2), с |А| = Аг. Поэтому естественно определить

a_Ä1L_A2|P) d=if a.lm ... a-hL_kri... L_kl\P), (1.24)

где Aj = (Ii,..., lm), A2 = (ki,..., kn). Мы находим, что удобно использовать другой базис |Р)д вместо наивного (1-24):

1Р)л= Е (1-25)

\ßHM

где сумма берется по всем парам ß — (/^i,/i2) диагр