Свойства корреляторов калибровочных теорий поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

Морозов Андрей Алексеевич

Свойства корреляторов калибровочных теорий поля

специальность 01.04.02 — теоретическая физика Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 0 НОЯ 2014

Москва 2014

005555541

005555541

Работа выполнена на кафедре физики частиц и космологии физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физ.-мат.наук Белокуров В.В.

профессор кафедры физики частиц и космологии, физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, г.Москва Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук, чл.-корр.РАН Белавин A.A.

главный научный сотрудник, Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН, г.Черноголовка доктор физ.-мат.наук Чехов Л.О. ведущий научный сотрудник, Математический институт им. В.А.Стеклова РАН, г.Москва Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна

Защита состоится "/О ^ _2014 г. в часов на заседании

Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, ауд. «Р/г».

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова по адресу 119192, г. Москва, Ломоносовский проспект, дом 27 и на странице диссертационного совета Д 502.002.10 на сайте www.phys.msu.ru.

Автореферат разослан // O^^lM&yZSLs ü^fft.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 502.002.10, доктор физико-математических наук, профессор

П.А.Поляков

1 Общая характеристика работы

Квантовая теория поля была построена с целью объединения двух картин мира — квантовой механики, описывающей вероятностные процессы на микроуровне, и теории поля, прежде всего электродинамики, описывающей электромагнитные поля и волны. Методы квантовой теории поля применяются в различных областях теоретической и экспериментальной физики: в физике элементарных частиц, атомной физике, ядерной физике и физике твердого тела. В частности, стандартная модель, описывающая все известные на данный момент элементарные частицы и взаимодействия (за исключением гравитации), также является моделью квантовой теории поля.

Немаловажную роль в квантовой теории поля играют симметрии — как симметрии пространства-времени, так и внутренние симметрии теории. Наличие сим-метрий различных типов помогает избежать расходимостей в теории. В настоящее время широко изучаются такие симметрии, как суперсимметрия, конформная симметрия и топологическая симметрия. Теориям с симметриями этих типов посвящена диссертационная работа. Первая часть работы посвящена конформным и суперсимметричным теориям, вторая — трехмерной топологической теории.

Суперсимметрия — это симметрия между бозонами и фермионами, частицами с целыми и полуцелыми спинами соответственно, при которой каждому бозону соответствует фермион и наоборот. Конформная симметрия — симметрия совсем другого типа, при ней преобразования сохраняют углы между направлениями, но не сохраняют расстояния. Гипотеза Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ) [1] гласит, что между суперсимметричными и конформными теориями существует связь: статистическая сумма четырехмерной суперсимметричной теории равна конформному блоку — голоморфной части коррелятора двумерной конформной теории.

В диссертации рассмотрена гипотеза АГТ для двух конфигураций полей конформной теории и соответствующих им статистических сумм суперсимметричной теории. Рассмотрен конформный блок для нескольких полей на двумерной сфере и связанная с ним фукнция Некрасова. Также рассмотрен конформный блок для одного поля на двумерном торе и предел большой конформной размерности поля для такого конформного блока.

Поля конформной теории можно описать с помощью различных алгебр. Суперсимметричной теории с калибровочной группой 5С/(2) соответствует конформная теория с алгеброй Вирасоро. Чаще всего рассматривается именно такой случай соотношения АГТ. Можно рассмотреть и аналогичные соотношения между другими теориями. Так, суперсимметричной теории с калибровочной группой 5С/(ЛГ) соответ-

ствует конформная теория с алгеброй ■ В диссертационной работе рассмотрена конформная теория с алгеброй В частности, получены рекурсивные формулы

для корреляторов трех полей с алгеброй 1У'3'.

Помимо вычисления корреляторов в произвольной конформной теории эффективным методом является рассмотрение конкретной модели конформной теории. Простейшая модель конформной теории — это теория свободных скалярных полей. В ней легко могут быть вычислены любые корреляторы. Однако, в отличие от произвольной конформной теории, в теории свободных полей корреляторы отличны от нуля только для полей определенных размерностей, связанных законом сохранения. Для рассмотрения полей произвольной размерности в коррелятор можно добавить так называемые экранирующие поля. В диссертационной работе проверено, что корреляторы конформной теории, рассчитанные с помощью конформной симметрии и с помощью свободной теории с экранирующими полями, совпадают друг с другом.

Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Эта теория в настоящее время привлекает внимание многих ученых, что во многом обусловлено ее связью с математической теорией узлов. Основная задача математической теории узлов состоит в построении алгоритма, позволяющего отличить друг от друга различные узлы — замкнутые контуры в трехмерном пространстве. Для достижения этой цели часто используется метод, который состоит в построении так называемых инвариантов узлов.

Трехмерная теория Черна-Саймонса примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть ее корреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. В частности, при некоторых выборах калибровки она превращается в локально невзаимодействующую теорию. Тем самым задача о нахождении в ней корреляторов нескольких полей не представляет такого широкого интереса, как в других теориях поля. Однако, ввиду топологической инвариантности и трехмерности теории, большой интерес для изучения представляют корреляторы другого типа — вильсоновские средние. Средние значения петель Вильсона можно вычислять для различных контуров К., а также полей, преобразующихся по различным представлениям калибровочной группы. Ключевая особенность трехмерной теории, которая не проявляется в теориях больших размерностей, состоит в том, что в трехмерном пространстве существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести друг к другу с помощью топологических преобразований. Такие контуры соответствуют различным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач о свойствах таких вильсоновских средних для различных контуров (узлов).

Если обобщить утверждения, сделанные Э.Виттеном, то такие вильсоновские средние эквивалентны одному из известных в математике инвариантов узлов — по-

липомам Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ) . Свойства этих полиномов на данный момент широко изучены только для одного класса узлов, называемых торическими (так как они получаются с помощью намотки нити на тор). Однако, общие свойства вильсоновских средних (полиномов ХОМФЛИ) для произвольных узлов пока мало изучены. Во многом причиной этого служит то, что ответы для неторических узлов известны только в фундаментальном представлении. Однако, многие известные свойства торических узлов связаны с полиномами в высших представлениях.

В данной работе рассмотрены две задачи, связанные с полиномами узлов. Одна из них заключается в построении полиномов ХОМФЛИ в высших симметрических и антисимметрических представлениях для простейшего неторического узла. Вторая задача касается описания интегрируемых свойств полиномов торических узлов, а именно связи полиномов ХОМФЛИ торических узлов и решений иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП).

1.1 Актуальность темы исследования

Диссертационная работа посвящена суперсимметричным, конформным и топологическим теориям.

В суперсимметричных теориях предполагается, что для каждого бозона существует парный ему фермион, и наоборот [2, 3|. Данная симметрия имеет очень широкое применение как в теории струн, так и в других областях теоретической физики, но экспериментальных свидетельств суперсимметрии в физике элементарных частиц пока не обнаружено.

Л/" = 2 суперсимметричная теория Янга-Миллса [4, 5] — теория, симметричная относительно двух различных преобразований суперсимметрии. Из-за наличия суперсимметрии эффективное низкоэнергетичное действие такой теории всегда можно представить с помощью голоморфной функции Г, называемой препотенциалом:

5 =

У ¿4хТг Г'(ф)\д^ф\2 + Т'\ф) - г^"") + ...

(1)

Специфика N = 2 суперсимметричной теории состоит, в том числе, в наличии в ней дуальности. Математически эта дуальность выражается формулой

, дНФ) , дЫФв) т

где фо — формально введенное, согласно этой формуле, дуальное поле.

Помимо известной ранее формулы для препотенциала, рассчитанной по теории возмущений, Н.Зайберг и Э.Виттен предложили также метод, позволяющий полу-

чить точное выражение для препотенциала и не требующий теоретико-полевых вычислений. Проблема теоретико-полевых вычислений точного выражения состоит в необходимости учета инстантонных поправок. Интеграл по всем инстантонным состояниям выражается так называемой функцией Некрасова [6].

Четырехмерная N = 2 суперсимметричная теория вызывает в последнее время особый интерес в связи с ее предполагаемой связью с двумерной конформной теорией. В работе [1] предположили существование такого соотношения, получившего название соотношения Алдая-Гайотто-Тачикавы (АГТ-соотношения) или гипотезы АГТ. Согласно данной гипотезе функция Некрасова равна конформным блокам — голоморфной части корреляторов конформной теории поля. Данное соотношение позволяет решить ряд задач, связанных как с суперсимметричной теорией, так и с конформной теорией. Например, с помощью конформной теории было получено выражение для препотенциала в суперсимметричной теории с четырьмя безмассовыми мультиплетами в фундаментальном представлении [7].

Первая часть работы посвящена различным вопросам, связанным с двумерной конформной теорией, то есть теорией инвариантной относительно конформных преобразований (см. [8]). Эти преобразования, являющиеся прямым обобщением масштабных преобразований, сохраняют углы между любыми двумя направлениями, но не сохраняют расстояния. Конформная теория имеет непосредственное отношение к физике твердого тела, в частности, к теории фазовых переходов [9].

Если в двумерной конформной теории перейти от двумерных координат к комплексным координатам гиг, га все объекты распадаются в комбинацию голоморфной части, зависящей только от г, и антиголоморфной, зависящей только от г.

Поля в двумерной конформной теории при этом можно описать с помощью алгебры Вирасоро. Действие операторов алгебры Вирасоро на поля задается как коэффициенты ряда Лорана в разложении действия оператора тензора энергии-импульса:

Алгебра Вирасоро обладает следующими коммутационными соотношениями:

где с — центральный заряд теории. Аналогичным образом можно ввести и антиголоморфную алгебру Вирасоро.

Основная характеристика поля конформной теории — это его размерность, определяемая как собственное значение при действии оператора Ь0: Ь0Уа = АаУа. С помощью операторов Вирасоро все поля в конформной теории можно описать как

(3)

(4)

некоторые потомки примарных полей, то есть полей, обращающихся в ноль при действии операторов Ьп, п > 0. Потомками называются поля, которые получаются в результате действия отрицательных операторов Вирасоро п > 0 на примар-ные поля. Таким образом, поля конформной теории параметризуются размерностью примарного поля и диаграммой Юнга У:

Уа,у = Ь-уУа = Ь-кя..Ь.к1Уа-, У = {к1>к2>..> к„}. (5)

В диссертационной работе изучаются не сами поля, а их корреляторы. У корреляторов также можно выделить голоморфную и антиголоморфную компоненты. Для этого в коррелятор вводят дополнительные поля, по которым позже производится суммирование. Например, коррелятор четырех полей можно описать следующей формулой:

д,д (6)

хВд(Д1, Д2, Аз, А4, с, п, 22,2з, 24)Вд(А1, А2, А3, Д4, с, 2Ь г2,23, г4).

и С£'Л — это структурные константы, описывающие зависимость коррелятора от конкретной конформной теории. А; и А; — это голоморфная и антиголоморфная части размерности поля V;, а суммирование производится по всевозможным промежуточным полям, которые дополнительно вводятся в коррелятор. Функции ВА и Вд называются соответственно голоморфным и антиголоморфным конформными блоками. Разложение такого вида может быть построено и для корреляторов произвольного числа полей. В данной работе рассматриваются свойства голоморфных конформных блоков В. Все вычисления, однако, могут быть повторены и для антиголоморфного случая.

В диссертационной работе используются два метода вычисления конформных блоков. Первый напрямую основан на свойствах конформной симметрии. При этом вычисления довольно громоздки, а их сложность значительно увеличивается при рассмотрении высших порядков разложения по координатам полей в конформном блоке.

Второй метод основан на использовании конкретной конформной модели — теории свободных скалярных полей, одной из простейших моделей конформной теории. С помощью данной модели можно легко получить все интересующие конформные блоки. В качестве полей конформной теории при этом выступают экспоненты от скалярного поля:

Уа(2) = (7)

конформные размерности которых связаны с параметрами а:

Аа = - О).

Однако, в данной модели присутствует закон сохранения — уравнение, жестко связывающее друг с другом размерности полей, входящих в конформный блок — ^ а = 0. Тем самым эта модель не позволяет рассматривать конформный блок для произвольных размерностей полей.

Один из результатов диссертационной работы связан с рассмотрением способа вычисления корреляторов полей с произвольной размерностью в модели свободных полей. Идея такого вычисления состоит в добавлении в корреляторы экранирующих операторов Доценко-Фатеева [12]. Экранирующими называются поля, которые задаются параметром Ъ, связанными сСЦ — <2 = Ь — 1/Ь. Специфика таких полей состоит в том, что конформная размерность интегралов от них равна нулю. По этой причине добавление в выражения для корреляторов элементов вида

не влияет на их конформные свойства. Таким образом, при добавлении экранирующих полей получается выражение для конформного блока, включающее в себя интегралы Сельберга:

Матричные модели описываются интегралами схожего вида, включающими в себя множитель I13' 141- Поэтому выражения для корреляторов конформ-

ной теории, включающие в себя интегралы Сельберга, называют матричномодель-ным представлением конформной теории. Однако, связь полученных ответов в такой "деформированной" свободной теории с ответами, полученными из конформной симметрии, не очевидна и требует проверки. В данной работе показано, что в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей "деформированные" константы связи и конформные блоки действительно равны рассчитанным с помощью конформной симметрии.

АГТ-соотношение связывает между собой конформный блок и функцию Некрасова для определенного состава полей конформной теории и состава материи суперсимметричной теории. Простейший и наиболее изученный случай, в котором рассматривается АГТ-соотношение — это связь между £Г/(2) суперсимметричной теорией Янга-Миллса и конформной теорией с полями, которые строятся с помощью

(9)

1У, =

п Г ** й* - п *.2601 -

¡=1 •/о I ¿=1

(10)

операторов Вирасоро (5). Но это соотношение допускает и обобщение на 5С/(./V) суперсимметричную теорию. При этом в конформной теории рассматриваются поля,

[15] было рассмотрено такое соотношение для случая N = 3.

Исследования в этом направлении продолжены в рамках данного диссертационного исследования. Были получены некоторые общие формулы, необходимые для вычислений в случае N = 3. Эти формулы позволяют рассмотреть конформные блоки с алгеброй Полученные результаты были проверены с помощью модели

свободных полей.

Кроме того, в данной работе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей — конформного блока для нескольких внешних полей на двумерной сфере и конформного блока для одного поля на двумерном торе. Как конформный блок, так и функция Некрасова представляются рядами по двойным отношениям координат в первой теории и по непертурбативному параметру во второй. В диссертационной работе рассмотрены низшие порядки этих разложений и проверено, что гипотеза АГТ действительно выполняется.

Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Исходная гипотеза АГТ, предложенная в [1], описывает связь между двумерной и четырехмерной теориями. Но также существуют и обобщения на теории других размерностей. Так, рассматриваются обобщения на случал двух трехмерных теорий и трехмерной и пятимерной теорий [16]. В обоих случаях в роли (одной из) трехмерных теорий выступает теория Черна-Саймонса с действием

Эта теория примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть ее корреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. По этой причине ее изучение актуально в контексте приложений к более сложным топологическим теориям, в том числе к топологической теории струн [17].

Исходя из топологической инвариантности теории, интересными для изучения представляются вильсоновские средние.

которые строятся с помощью более сложной алгебры. В частности, в работах

(П)

(ИЪ) = | (\DA\Tr Рехр

м

е м

(12)

где 2 — статистическая сумма теории:

м

Вильсоновские средние (средние значения петель Вильсона) вычисляются для различных контуров К.. В трехмерной топологической теории существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести друг к другу с помощью топологических преобразований. Такие контуры соответствуют различным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач об изучении свойств таких вильсоновских средних для различных контуров (узлов).

Согласно работе Э.Виттена [18] средние значения петель Вильсона в теории Черна-Саймонса с калибровочной группой 317(2) равны полиномам Джонса [19], построенным в математической теории узлов. Если обобщить данное утверждение на группу 5С/(//), то вильсоновские средние эквивалентны полиномам ХОМФЛИ [21, 22]. Полиномы ХОМФЛИ являются полиномами по двум переменным д и А, которые связаны с константой связи теории и группой ,57/(./У):

д = ехр(Ш<) А = д(14)

Вильсоновским средние можно вычислить для полей, преобразующихся по различным представлениям калибровочной группы. Такие вильсоновские средние соответствуют полиномам ХОМФЛИ в различных представлениях (цветным полиномам ХОМФЛИ).

Соотношение между теорией узлов и теорией Черна-Саймонса интересно по той причине, что оно позволяет изучать структуру вильсоновских средних для различных контуров (узлов). Отметим также, что теория Черна-Саймонса связана и с другими физическими теориями, например, конформной теорией Весса-Зумино-Виттена [18].

Из топологической инвариантности полиномов ХОМФЛИ, следует возможное описание с помощью 7£-матриц, решений уравнения Янга-Бакстера

тг^П! = п2п1тг2. (15)

Согласно [21, 22] полиномы ХОМФЛИ следует представлять в форме разложения по характерам группы 5[/(ДГ):

= (16) а

где — это характеры, а Л.®*" — коэффициенты, определяемые для каждого

узла с помощью произведения 7^-матриц. Характеры при этом берутся в

специальной точке, называемой топологическим локусом. Стандартная запись для характеров описывает их, как функции временных переменных (следы степеней

группового элемента в фундаментальном представлении). Соответственно, разложение (16) можно обобщить путем замены топологического локуса на произвольные Ьк, построив, таким образом, обобщенные полиномы ХОМФЛИ.

В данной работе была изучена связь между теорией Черна-Саймонса и интегрируемыми системами. Один из самых хорошо изученных объектов в теории интегрируемых систем это — т-функции иерархии КП. В случае трех переменных они являются решениями классического уравнения КП. Это уравнение допускает также обобщение на случай большего числа переменных, порождая, тем самым, иерархию уравнений. Соответствующие т-функции являются решениями билинейного уравнения Хироты

В настоящее время решения данного уравнения широко изучаются, в том числе в контексте связей с различными теориями.

Как т-функции, так и обобщенные полиномы ХОМФЛИ являются функциями от временных переменных. В диссертационной работе рассмотрена связь между этими двумя объектами. При этом используются методы построения полиномов ХОМФЛИ как разложения по характерам. Так, было получено, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно является т-функцией КП для то-рических узлов. Проверено также, что это такая связь отсутствует для неторических узлов.

1.2 Цель работы

Цель работы состоит в изучении свойств корреляторов трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории, а также в исследовании связи последних со статистической суммой четырехмерной суперсимметричной теории.

1.3 Научная новизна и практическая ценность

Полученные в диссертационной работе результаты касаются двух теорий — трехмерной теории Черна-Саймонса и двумерной конформной теории поля, а также связи последней с суперсимметричными теориями. Изученные вопросы, касающиеся двумерной конформной теории, позволяют решить ряд задач как в конформной, так и в суперсимметричной теориях. Соотношение между этими двумя теориями позволяет, с одной стороны, значительно упростить вычисление корреляторов конформной теории, так как вычисление статсуммы суперсимметричной теории дается значительно более простым алгоритмом, нежели равный ей конформный блок. С другой стороны,

(17)

оно позволяет рассматривать ряд предельных случаев, которые устроены довольно сложно в суперсимметричном случай, но соответствующие выражения могут быть легко построены с использованием конформной теории.

Построенное интегральное представление конформного блока может быть легко обобщено на случай произвольных алгебр, что позволяет рассматривать различные обобщения как конформной теории, так и соответствующей суперсимметричной теории. Сходство такого представления с интегралами матричных моделей предполагает наличие связей с другими матричными моделями.

Результаты, полученные в рамках изучения теории Черна-Саймонса, относятся к большому пласту задач, связанному с изучением вильсоновских средних и полиномов узлов. На данный момент общие ответы для таких вильсоновских средних известны только для одного класса контуров — торических узлов. В данной работе была рассмотрена связь таких известных ответов для торических узлов и интегрируемых систем на примере решений уравнения КП. Также показано, что данное свойство не выполняется для неторических узлов. Обобщение полученного соотношения на неторические узлы может привести к различным обобщениям уравнения КП.

Были получены первые результаты для вильсоновских средних в высших представлениях для простейшего неторического узла — узла-восьмерки. Обобщение примененных в этом выводе методов может привести к подобным общий ответам и дая других неторических узлов.

1.4 Апробация диссертации

Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на научных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, ИТЭФ и ИЯИ РАН, международных конференциях " 3rd Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics, Integrability in topological string and field theory" (SISSA, Trieste, Italy, 2010), "Synthesis of integrabilities in the context of duality between the string theory and gauge theories" (Москва, 2010, 2011, 2012, 2013), 'Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory" (Istanbul, 2012), "2nd International Workshop on Nonlinear and Modern Mathematical Physics" (Tampa, USA, 2013), "50th International School for Subnuclear Physics" (Erice, 2013), "2nd Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory" (Istanbul, 2013), "Квантовая топология" (Банное, Магнитогорск, 2014).

1.5 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, содержит 119 страниц, в том числе 13 рисунков и список литературы из 132 наименований.

2 Содержание работы

Во введении кратко рассмотрены основные свойства и определения рассмотренных теорий — суперсимметричной теории, конформной теории поля и трехмерной теории Черна-Саймонса. Также описаны различные связи между этими теориями.

В главе 2 рассмотрена двумерная конформная теория поля. Эта теория симметрична относительно конформных преобразований, сохраняющих углы, но не сохраняющих расстояния. Ключевое соотношение, которое используется при вычислении корреляторов в конформной теории, это операторное разложение:

УД^, %) = 2Г, 2,). (18)

к

Соотношение такого типа связывает между собой корреляторы различного числа полей.

Суммирование в операторном разложении (18) производится по всем возможным полям. Для классификации полей удобно использовать алгебру Вирасоро (4).

В разделе 2.1 рассмотрена конкретная конформная модель — теория свободных скалярных полей. Эту модель очень удобно использовать для вычисления корреляторов. Коррелятор двух полей в теории свободных полей равен:

< ф(г1,г1)ф[г2, г2) > = log(z12) + (19)

Таким образом, коррелятор произвольного числа полей может быть легко рассчитан с помощью соотношения (19) и теоремы Вика. В отличии от произвольной конформной теории, в теории свободных скалярных полей есть закон сохранения — корреляторы в такой теории не равны нулю только если размерности полей связаны следующим соотношением:

^>=0. (20) i

Раздел 2.2 посвящен обобщению свободной теории с центральным зарядом, не равным единице с ф 1. При этом соответствующим образом изменяются и корреляторы теории. В том числе изменяется и закон сохранения:

]Г> = 20, (21)

где <5 связано с центральным зарядом теории с = 1 — 12<52.

В разделе 2.3 рассмотрены основные свойства простейших корреляторов в теории свободных полей.

Раздел 2.4 посвящен процедуре вычисления четырехточечного конформного блока. Зависимость двухточечных и трехточечных корреляторов от координат однозначно определяется конформной симметрией. Случай четырехточечного коррелятора более сложен. Основную роль при вычислении такого четырехточечного коррелятора играет операторное разложение (18). С помощью операторного разложения четырехточеный коррелятор можно выразить через двух- и трехточечные корреляторы. При этом в коррелятор необходимо добавить дополнительное поле, по которому необходимо произвести суммирование. Из коррелятора при этом можно выделить голоморфную (зависящую только от г) и антиголоморфную (зависящую только от 5) компоненты, см. (6).

Голоморфный конформный блок В можно выразить через двух- и трехточечные объекты — матрицы Шаповалова О и тройные вершины 7:

ВА(х) = £ х1у"1Од1(Уа,Уд)712а(0,0,Уа)7дз4(Уй,0,0). (22)

Раздел 2.5 посвящен матрице Шаповалова. Матрица Шаповалова определяется, как значение скалярного произведения скалярных полей, эрмитового относительно алгебры Вирасоро

(Ь-гУ& 1^) = • (23)

Используя данную формулу и коммутационные соотношения алгебры Вирасоро, возможно получить выражение для любого элемента матрицы Шаповалова.

Раздел 2.6 посвящен вычислению тройных вершин. Тройные вершиные описывают голоморфную составляющую коррелятора трех полей

^3(21,21)^(22,22)^(23,23))^ =

__СаЪЧаьУа, У„, Г7)7о»>Ъ, Ъ)_ (24)

— До-гД^-Дт-Да+Д^-Д^ Да+Д1-Дз_Дв+Дт-Д^ Дг+Д7-Д<,_Д^+Д,-Д„' ^12 г12 213 г12 г23 212

Также в данном разделе получен ряд соотношений для таких тройных вершин, которые позволяют их рассчитать. Так, получена рекурсивная формула для тройных вершин. В случае примарных полей Уз и У4 эта формула устроена как ((¿_„Уа)(0) У3(1)У4(оо)> = (п - 1)Д3 ШО) У3(1)К(оо)) --<Ы0) (£-1^X1) ^(оо)> + ШО) ^(1) £_п^(оо)).

В разделе 2.7 описана диаграммная техника для конформных блоков. Диаграммная техника позволяет построить конформный блок для любой конфигурации полей конформной теории с помощью матрицы Шаповалова и тройных вершин.

В разделе 2.8 приведен список рассчитанных тройных вершин, которые далее используются для рассмотрения АГТ-соотношения в главе 3.

Раздел 2.9 посвящен конформной теории с алгеброй IV®. Алгебра W(3) — это обобщение алгебры Вирасоро. Она позволяет рассчитать конформные блоки, связанные АГТ-соотношением с 5(7(3) суперсимметричной теорией. В данной главе получены рекурсивные формулы на тройные вершины с операторами алгебры Аналогом формулы (25) при этом является

<(W-nV*)(0) Vs(l)V«(oo)) = w3 (Vd(0) V3(l)V«(oo)> +

+(n - 2) (14(0) (Wl^Xl) V«(oo)> - 04(0) (W_2V3)(1) Vi(oo)> - (26)

- (Va(0) Vs(l) (W„Vi)(oo)).

В разделе 2.9.2 выполнена проверка полученных соотношений с помощью теории свободных полей.

Глава 3 посвящена гипотезе АГТ. Согласно данной гипотезе конформный блок равен инстантонному вкладу в статистическую сумму суперсимметричной теории. Такой инстантонный вклад описывается функцией Некрасова. Свойства и процедура вычисления функции Некрасова описаны в разделе 3.1.

Раздел 3.2 посвящен АГТ-соотношенню для корреляторов полей конформной теории на двумерной сфере. В частности, рассмотрены четырехточечный (раздел 3.2.2), пятиточечный (раздел 3.2.3) и шеститочечный (раздел 3.2.4) конформные блоки. Для этих случаев были получены выражения для первых трех порядков разложения по теории возмущения для конформных блоков и функции Некрасова. Это позволило проверить, что гипотеза АГТ в данных случаях действительно верна. Рассмотренные случаи также позволяют сделать более общее утверждение о выполнении гипотезы АГТ в первых трех порядках разложении и для произвольного числа полей (раздел 3.2.5). Параметры суперсимметричной и конформной теорий связаны следующим образом:

fix = + a0 + ß0, Р2 + т = о,,

/13 = f - ßn-3 - ßn-2, ßi = f - «n-3 + ßn-2, (27)

где и тп< — это массы мультиплетов суперсимметричной теории, а Д^ — конформные размерности полей.

Раздел 3.3 посвящен АГТ-соотношению для коррелятора одного поля конформной теории на двумерном торе. Так, получены выражения для первых двух порядков разложения по теории возмущений для конформного блока и функции Некрасова. Это позволило проверить, что гипотеза АГТ в данном случае действительно верна.

Параметры теорий при этом связаны следующим образом: = ш(е-т) и=1_ 2ш(с-ш)

В разделе 3.3.1 рассмотрен предел конформного блока для одного поля на двумерном торе. В суперсимметричной теории часто рассматривают асимптотически свободный предел. Такой предел соответствует большой массе мультиплетов суперсимметричной теории при сохранении постоянным параметра Л = гтп4, где х — параметр разложения по теории возмущений. Согласно (28) в таком пределе Д2 ~ т4 ~ А/х. В разделе 3.3.1 доказано, что в таком пределе выражение для конформного блока имеет форму

оо

иш В{х) = ^Л4"<2д1 ([1П], [1п]) • (29)

т—юа *—'

<рп1=к*=атЛ "=°

Это выражение совпадает с полученным в работах [10, 11] в аналогичном пределе выражением для четырехточечного конформного блока на сфере.

Глава 4 посвящена вычислениям в теории свободных скалярных полей. Согласно (21) в теории такого типа возможно получить только корреляторы полей, размерности которых связаны законом сохранения. С помощью конформной симметрии возможно получить также и корреляторы других типов, как было описано в главе 2. Для деформации закона сохранения в коррелятор согласно [12] добавляют экранирующие поля Доценко-Фатеева (9). Представление для конформного блока, которое получается при добавлении таких полей, называется представлением бета-ансамбля. Корреляторы и структурные константы выражаются в таком представлении через обобщенные интегралы Сельберга (10).

Разделы 4.1, 4.2 и 4.3 посвящены вычислению структурных констант с помощью представления бета-ансамбля. Получены выражения для структурных констант и проверено, что они совпадают с полученными в главе 2.

В разделе 4.4 описан метод построения бета-ансамбля для конформных блоков различных типов.

Раздел 4.5 посвящен описанию свойств обобщенных интегралов Сельберга. Простейшие примеры интегралов Сельберга для диаграмм Юнга, состоящих из одного столбца У = {1"}, были получены в [23]. В данном разделе получены выражения для некоторых диаграмм Юнга с двумя и тремя столбцами, [2], [2,1"] и [3]. Также приведены выражения для линейных комбинаций интегралов Сельберга.

В главе 5 рассмотрена теория Черна-Саймонса. Теория Черна-Саймонса — это трехмерная топологическая теория. Наибольший интерес в этой теории представляют средние значения петель Вильсона (12). Если обобщить утверждения, сделанные

в работе Э.Виттена [18], вильсоновские средние равны полиномам узлов. При рассмотрении теории Черна-Саймонса с калибровочной группой 5С7(Л^) вильсоновские средние равны полиномам ХОМФЛИ (параметры теорий связаны согласно (14)).

Исходя из свойств топологических инвариантов полином ХОМФЛИ можно представить как произведение 7?.-матриц. Ответ для полинома ХОМФЛИ при этом дается разложением по характерам

н$= Е да = Е (3°)

01-п|Т| \ > 1 <2Ьп|Т|

где Тгд — след по представлению (2, — характер представления (2 группы взятый в специальной точке, называемой топологическим локусом, а Лд — коэффициенты разложения по характерам.

В разделе 5.1 описаны свойства К-матриц, необходимых для вычисления полиномов ХОМФЛИ для узлов, представимых косами с двумя, тремя и четырьмя нитями.

В разделе 5.2 описан получепный в работах [24] ответ для полиномов ториче-ских узлов. Это — единственный класс узлов, для которых известен наиболее общий ответ. Коэффициенты операторного разложения в этом случае даются:

л? = д^сЗ, (31)

где С® можно получить с помощью "процедуры Адамса":

5я(рН) = ЕС^<з(р)> р'Г' = ртк, (32)

а *г£5 определяется представлением (диаграммой Юнга) <2 = {<31,<32>--}:

хд = \ Е (3№* - 2г + 1) = Е ^ ~ Л" (33)

г («¿)€<г

В разделе 5.3 рассмотрена связь между теорией узлов и интегрируемыми системами. Для этого удобно ввести обобщенные полиномы ХОМФЛИ, которые получаются с помощью замены переменных в характерах:

= е (34)

СЬп|Г[

Также удобно ввести производящую функцию обобщенных полиномов ХОМФЛИ для данного узла, описывающую ответ для произвольного представления:

пкт = = е ^сшмо- (35)

Т Т,я

Обобщенные полиномы ХОМФЛИ, таким образом, зависят от набора временных переменных {¿}.

Одна из наиболее простых интегрируемых систем — это уравнение КП. Решения этого уравнения, а также обобщенных уравнений КП дается т-функциями КП. Описанию т-функций КП посвящен раздел 5.3.1. т-функции КП являются решениями билинейного уравнения Хироты (17).

Если рассмотреть разложения по характерам для т-функций т{р |<?} = ^¿сДр }, то оказывается, что коэффициенты такого разложения должны удовлетворять бесконечному набору уравнений Плюккера вида:

9[22]3[0] - <?[21]<?[1] + 5[2]3[11] = 0. (36)

В разделе 5.3.2 доказано, что производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов являются т-функциями КП. Это связано с тем, что для торических узлов полиномы могут быть выражены с помощью оператора разрезания-склейки

Ш - 9 ■ 52

= 9

2

(а + Ь)рарЬд--Ь аЬра+ь

дРа+ь драдрь

Рп = и/п (37)

Производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов при этом даются

Ц = ч-^{1)еТ.кг,ытк1к (38)

Согласно работам [25] оператор \¥р] не изменяет интегрируемых свойств, а е^ — это простейшая т-функция. Тем самым, производящие функции обобщенных полиномов ХОМФЛИ действительно являются т-функциями. Для простейших нето-рических узлов данное свойство не выполняется, так как не выполняется уравнение Плюккера (36).

Раздел 5.4 посвящен рассмотрению полинмов ХОМФЛИ в высших представлениях для простейшего неторического узла — узла-восьмерки. Получен ответ для такого полинома в произвольном симметрическом представлении:

Н^А\Ч) = (х+ —Ш—П^Н^Л . (39)

Цветные полиномы ХОМФЛИ обладают определенными симметриями. Так, характеры обладают Z■2 симметрией при преобразованиях

А, д, <—> А, —^ , в'су (40)

где — это транспонированная диаграмма Юнга С}. Из этого следует, что из полинома для симметрических представлений можно получить и полиномы для антисимметрических представлений с помощью соответствующей замены:

= (1+Е шёгш ГО^-^'н^"*1}) • (41)

В разделах 5.4.2 и 5.4.3 описаны различные проверки полученных цветных полиномов ХОМФЛИ.

Раздел 5.4.4 посвящен цветным суперполиномам узла-восьмерки — /3-деформации полиномов ХОМФЛИ. Такие полиномы для узла-восьмерки описываются следующим выражением:

г)

= ё е (42)

где Зг(^) = Данный ответ также проверен несколькими способа-

ми.

В разделе 5.4.5 рассмотрены различные разностные уравнения на цветные полиномы ХОМФЛИ и суперполиномы. Такие уравнения связывают между собой полиномы в различных симметрических представлениях.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

3 Основные результаты

Результаты, выносимые на защиту дисертации:

1. Найдены рекурсивные соотношения для корреляторов трех полей конформной теории поля с операторами алгебры

2. Проверена гипотеза АГТ для четырех-, пяти- и шеститочечных конформных блоков типа гребенки на двумерной сфере в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей конформной теории. Доказано, что для конформных блоков типа гребенки с большим числом полей гипотеза АГТ в первых трех порядках сводится к рассмотренным случаям четырех-, пяти- и шести полей.

3. Проверена гипотеза АГТ для одноточечного конформного блока на двумерном торе в первом порядке разложения по двойным отношениям координат полей конформной теории. Построено выражение для одноточечного конформного

блока на двумерном торе в любом порядке разложения в пределе большой размерности внешнего поля. Проверено, что в таком пределе выражения совпадают с аналогичным пределом для четырехточечного конформного блока на двумерной сфере.

4. Проверено, что в первых порядках разложения по двойным отношениям координат полей конформной теории структурные константы свободной теории со вставками экранирующих полей Доценко-Фатеева совпадают со структурными константами конформной теории поля.

5. Показано, что обобщенные полиномы ХОМФЛИ торических узлов удовлетворяют уравнениям Плюкера и, тем самым, что производящая функция обобщенных полиномов ХОМФЛИ торических узлов является тау-функцией уравнения КП.

6. Построен полином ХОМФЛИ в произвольном симметрическом и антисимметрическом представлении для узла-восьмерки.

Публикации автора по теме диссертации

1. V. Alba, An. Morozov, Check of AGT Relation for Conformal Blocks on Sphere // Nucl. Phys. В (2010), 840, 441-468, arXiv:0912.2535.

2. V. Alba, An. Morozov, Non-conformal limit of AGT relation from the 1-point torus conformal block // Письма в ЖЭТФ (2009), 90, 803-807, arXiv:0911.0363.

3. А. Д. Миронов, С. А. Миронов, А. Ю. Морозов, А. А. Морозов, Вычисления в конформной теории, необходимые для проверки гипотезы Алдая-Гайотто-Тачикавы //Теоретическая и математическая физика, 2010,165, 503-542, arXiv:0908.2064.

4. A. Mironov, A. Morozov, An. Morozov, Conformal blocks and generalized Selberg integrals // Nucl. Phys. В (2011), 843, 534-557, arXiv:1003.5752.

5. A. Mironov, A. Morozov, An. Morozov, Character expansion for HOMFLY polynomials. I. Integrability and difference equations // Strings, Gauge Fields, and the Geometry Behind: The Legacy of Maximilian Kreuzer, Singapore, World Scietific Publishins Co., 101-118, 2013, arXiv:1112.5754.

6. H. Itoyama, A. Mironov, A. Morozov, An. Morozov, HOMFLY and superpolynomials for figure eight knot in all symmetric and antisymmetric representations // JHEP (2012), 7, 131, arXiv:1203.5978.

Список литературы

[1] L. Alday, D. Gaiotto, Y. Tachikawa, Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories // Lett. Math. Phys. (2010), 91, 167-197, arXiv:0906.3219.

[2] Д. В. Волков, В. П. Акулов, О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ (1972), 16, 621-624.

[3] Ю. Весс, Д. Беггер, Суперсимметрия и супергравитация // Москва, Мир, 1986.

[4] N. Seiberg, Е. Witten, Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in M = 2 supersymmetric Yang-Mills theory // Nucl. Phys. В (1994), 426, 19, arXiv:hep-th/9407087.

[5] A. Bilal, Duality in Я = 2 SUSY SU(2) Yang-Mills Theory: A pedagogical introduction to the work of Seiberg and Witten // arXiv:hep-th/9601007.

[6] N. Nekrasov, Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting // Adv. Theor. Math. Phys. (2003), 7, 831-8G4, arXiv:hep-th/0206161.

[7] A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, Zamolodchikov asymptotic formula and instanton expansion in N = 2 SUSY Nj = 2Nc QCD // JHEP (2009), 11, 048, arXiv:0909.3338.

[8] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Infinite conformai symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. В (1984), 241, 333-380.

[9] A. M. Поляков, Конформная симметрия критических флуктуаций // Письма в ЖЭТФ (1970), 12, 538-541.

[10] A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov, On non-conformal limit of the AGT relations // Phys. Lett. В (2009), 682, 125-129, arXiv:0909.2052.

[11] D. Gaiotto, Asymptotically free A/" = 2 theories and irregular conformai blocks // arXiv:0908.0307.

[12] VI. Dotsenko, V. Fateev, Conformai algebra and multipoint correlation functions in 2d statistical models // Nucl. Phys. В (1984), 240, 312-348.

[13] R. Dijkgraaf, C. Vafa, Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. В (2002), 644, 3-20, arXiv:hep-th/0206255.

[14] G. Moore, N. Seiberg, Classical and Quantum Conformai Field Theory // Comm. Math. Phys. (1989), 123, 177-254.

[15] A. Mironov, A. Morozov, On AGT relation in the case of U(3) // Nucl. Phys. В (2010), 825, 1-37, arXiv:0908.2569.

[16] Д. M. Галахов, А. Д. Миронов, А. А. Морозов, А. В. Смирнов, О трехмерном обобщении соответствия Алдая-Гайотто-Тачикавы // Теоретическая и мате-матичекая физика (2012), 172, 73-99, arXiv:1104.2589.

[17] H. Ooguri, С. Vafa, Knot Invariants and Topological Strings // Nucl. Phys. В (2000), 577, 419-438, arXiv:hep-th/9912123.

[18] E. Witten, Quantum field theory and Jones polynomials // Commun. Math. Phys. (1989), 121, 351-399.

[19] L. H. Kauffman, On knots // Princeton, Princeton Univ. Press, 1987.

[20] В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия // Москва, МЦНМО, 1997.

[21] J. Hoste, A. Ocneanu, К. Millett, P. Freyd, W. В. R. Lickorish, D. Yetter, A new polynomial invariant of knots and links // Bull. Amer. Math. Soc. (1985), 12, 239-246.

[22] J. Przytycki, P. Traczyk, Conway Algebras and Skein Equivalence of Links // Proc. Amer. Math. Soc. (1987), 100, 744-748.

[23] A. Seiberg, Bemerkningar om et multipelt integral // Norsk. Mat. Tisdskr. (1944), 24, 71.

[24] M. Rosso, V. F. R. Jones, On the invariants of torus knots derived from quantum groups // J. Knot Theory Ramifications (1993), 2, 97-112.

[25] A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, S. Natanzon, Integrability of Hurwitz Partition Functions. I. Summary // J. Phys. A (2012) 45, 045209, arXiv:1103.4100.

Подписано к печати 4БА0Л4-_

Тидет 400 З^оз Л13_

Отпечатано н отделе оперативной печати

физического факультета МГУ