Непертурбативные явления в КХД вакууме при нулевой и конечной температуре тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РФ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

на правах рукописи

ФЕДОРОВ

Сергей Михайлович

Непертурбативные явления в КХД вакууме при нулевой и конечной температуре

Специальность: 01.04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2004

Работа выполнена в Государственном научном центре РФ Институт Теоретической и Экспериментальной Физики, г. Москва

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, Н.О.Агасян

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор А.В.Борисов

(физический факультет МГУ, г. Москва)

кандидат физ.-мат. наук

Б.В.Мартемьянов

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

Ведущая организация:

Институт Теоретической Физики им. Л.Д. Ландау РАН, г.Черноголовка

Защита состоится 28 сентября 2004 года в И. часов в конференц-зале ИТЭФ на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 по защите докторских диссертаций в ГНЦ РФ ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Автореферат разослан 20 августа 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

1 Общая характеристика работы 1.1 Актуальность темы

Квантовая хромодинамика (КХД) - это неабелева калибровочная теория, описывающая сильные взаимодействия. КХД успешно объясняет многие свойства сильных взаимодействий, такие как закономерности в спектре адронов и скей-линг в глубоко неупругом рассеянии лептонов. В 70-х годах были открыты явление асимптотической свободы и нетривиальные топологические свойства вакуума неабелевых калибровочных теорий. В настоящее время не вызывает сомнений, что именно сложная непертурбативная структура вакуума КХД ответственна за такие крайне важные свойства теории, как явления конфайнмента, т.е. певылетания цвета, и спонтанного нарушения киральной инвариантности.

В КХД при температуре около Т ~ 170 МэВ имеет место фазовый переход, при котором существенно меняются структура и свойства КХД вакуума. Выше температуры фазового перехода находится фаза деконфайнмента, в которой восстанавливается киральная симметрия. То, что фазовые переходы декон-файнмента и восстановления киральной инвариантности происходят при одной температуре, было недавно показано в расчетах на решетках.

Вакуум глюодинамики, т.е. теории без динамических кварков, в которой единственными динамическими полями являются поля глюонов, во многом обладает теми же свойствами, что и вакуум КХД. В частности, в глюодинамике также имеет место конфайнмент (т.е. закон площади для петли Вильсона). Поэтому изучение глюодинамики, как чисто теоретическое, так и в решеточных вычислениях, представляет собой очень важную и интересную задачу.

Существуют различные модели КХД вакуума, достаточно успешно описывающие его свойства. Среди хорошо разработанных моделей вакуума следует назвать модель инстантонной жидкости и модель стохастического вакуума.

Модель инстантонной жидкости была предложена в работах Шуряка [Nucl. Phys. В 203, 93 (1982); Phys. Rept. 115, 151 (1984)] и Дьяконова и Петрова (Nucl. Phys. В 245, 259 (1984)). В этой модели основными непертурбативными полями в вакууме КХД являются инстантоны и антиинстантоиы. Они достаточно хорошо разделены, так что средняя плотность псевдочастиц составляет в то время как средний размер инстантопов и антиинстантонов равен р = 0.3 фм. Таким образом, имеется малый параметр - отношение размера инстаптона к среднему расстоянию между псевдочастицами - Плот-

ность инстантонов такова, что инстантоны. и антиинстантоны дают, основной вклад в глюонный конденсат: ((Gj^) ) = 327г2п. Инстантопный вакуум приводит к спонтанному нарушению киральной симметрии, с правильным значением глюонного конденсата {qq) = — — (^у)1'2 — —(240 МэВ)3. В рамках этой модели естественным образом объясняется масса мезона. Принципиальным недостатком данной картины вакуума является можность объяснить

конфайнмент. Кроме того, неясен механизм подавлм

С.Петср<ург г РЭ soa^fmQr^l

[sf'WiWAfitfMtMi&ftbJ

библиотека

размера, которое не удается объяснить только классическим взаимодействием между инстантонами.

Модель стохастического вакуума основывается на методе вакуумных корреляторов, который был предложен в работах Доша и Симонова [Phys. Lett. В 190, 177 (1987); Phys. Lett. В 205, 339 (1988); Nucl. Phys. В 307, 512 (1988)). В рамках данного метода КХД вакуум описывается в терминах калибровочно инвариантных вакуумных средних глюонных нолей - корреляторов. При этом предполагается гауссова доминантность, или стохастичность вакуума, т.е. считается, что основной вклад в физические величины дается низшим билокаль-ным коррелятором, а учет высших корреляторов приводит к небольшим поправкам. Данная модель вакуума позволяет успешно описать большое число явлений в КХД. Самым важным свойством модели является то, что конфайнмент естественным образом присутствует в такой картине вакуума, т.к. натяжение струны просто выражается через билокальный коррелятор

Следует отметить, что общепринятого и полностью самосогласованного описания вакуума КХД до сих пор не существует. Таким образом, изучение структуры КХД вакуума и его непертурбативных свойств является важной и актуальной задачей.

1.2 Цели и задачи исследования

• Развитие последовательного калибровочно-инвариантного метода вычисления эффективного действия для инстантона в непергурбативном вакууме. Изучение инфракрасного поведения инстантона в стохастическом вакууме.

• Вычисление билокального коррелятора в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа, и сравнение с данными решеточных вычислений.

• Вывод эффективного кирального лагранжиана при нулевой температуре в рамках метода вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Исследование свойств этого лагранжиапа.

• Изучение зависимости глюонного и кваркового конденсатов во всей области температур от нуля до критической температуры в рамках модели адронного резонансного газа.

1.3 Научная новизна и практическая ценность работы

• Развит калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Показано, что взаимодействие с непертурбативным вакуумом приводит к инфракрасной стабилизации инстантона по размеру. Вычислен средний размер ипстантона,

показано, что р — 0.2 0.3 фм. Найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме.

• Вычислен билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа в низшем порядке по плотности инстантонов. Показано, что корреляционная длина значительно уменьшается с ростом температуры.

• Выведен эффективный киральный лагранжиан в рамках метода вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Показано, что для псевдоскалярных мезонов выполняются соотношения Гелл-Манна-Окса-Реннера. Вычислены массы радиальных возбуждений пионов и К-мезонов, и показано, что учет киральных эффектов является существенным, и приводит к поправкам порядка ~ 10%.

• В рамках модели адронного резонансного газа получены температурные зависимости глюонного и кваркового конденсатов. Показано, что при критической температуре одновременно обращается в нуль кварковый конденсат, и "испаряется" примерно половина глюонного конденсата (хромо-электрическая компонента). Показано, что плотность энергии при температуре деконфайнмента равна примерно При учете температурного сдвиг адронных масс критическая температура в КХД равна Тс ~ 190 МэВ.

1.4 Положения, выносимые на защиту

• Вывод эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Инфракрасная стабилизация инстантона по размеру за счет взаимодействия со стохастическими полями в непертурбативном вакууме. Вычисление распределения инстантонов по размеру и среднего размера ин-стаптоиов, р = 0.2 -г 0.3 фм.

• Вычисление вклада разреженного инстантонного газа в билокальный коррелятор при конечной температуре. Сравнение зависимости корреляционной длины в инстантонном газе с решеточными данными, и обсуждение вопроса о плотности инстантонов и структуре вакуума.

• Вывод эффективного кирального лагранжиана в методе вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Изучение свойств этого лагранжиана, и вычисление масс псевдоскалярных мезонов и их радиальных возбуждений.

• Изучение зависимости глюонного и кваркового конденсатов от температуры в модели адронного резонансного газа. Обсуждение явления магнитного конфайнмента и плотности энергии в точке фазового перехода.

1.5 Апробация работы и публикации

Результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, на международных конференциях "Quark Confinement and the Hadron Spectrum" (Каргано, Италия, 2002), 10-й (2001) и 11-й (2003) Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (Москва, Россия) и "Hadron'2003" (Ашаффен бург, Германия, 2003). Результаты опубликованы в 8 научных работах.

1.6 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка литературы из 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 75 страниц.

2 Содержание работы

Введение содержит обзор литературы, обоснование актуальности темы и основных целей диссертации. Кратко изложены результаты работы и используемые методы.

Вторая глава посвящена рассмотрению инстантона в непертурбативном фоновом поле, и выводу эффективного действия для инстантона. Стандартное евклидово действие глюодинамики имеет вид

S[A] = ¿xtcF^A] = \ J <?xFl[A\F*Ml (1)

где ^^[Д] = дрАи — (?„АМ — ¿[A,,, А„] - это напряженность глюонного поля, и используется эрмитова матричная форма для калибровочных полей Ам(х) =

представляется в виде

+ В„ + а1и (2)

где А™8' - инстантоно-подобная полевая конфигурация с единичным топологическим зарядом, - квантовое поле (разложение по сводится к теории возмущений, приводящей в глюодинамике к явлению асимптотической свободы); - непертурбативное фоновое поле (с нулевым топологическим зарядом), которое может быть параметризовано нелокальными вакуумными средними напряженностей глюонного поля .

В общем виде эффективное действие для инстантона в НП вакууме имеет вид

2 = e-ScrH-l _ J[Ш||] (е-5[л»-+В+а|) _ . (3)

1D методе операторного разложения и в правилах сумм КХД непертурбативное поле характеризуется набором локальных глюоиыых конденсатов (G(G3),...

где (...) обозначает взятие среднего по фоновому полю

(6(B)) = J dv.{B)0{B)

и - это мера интегрирования по НП полям, явный вид которой не суще-

ственен для дальнейшего рассмотрения.

Раскладывая 8[А] до квадратичных по а^ слагаемых, получаем г = (2,(В)22(В)), где

Здесь используются обозначения ^ = /^[Л], А = /4'°" + В; и У„а„ = — г[Лм, а„\ - это ковариантная производная. Интегрирование по а и В в (5),(б) соответствует усредпению по полям, которые ответственны за физику на разных масштабах. Интегрирование по учитывает пертурбативные глюоны и описывает явления на малых расстояниях. Усреднение по В^ (формально - взаимодействие с глюонным конденсатом) учитывает явления на масштабах радиуса конфайнмента. Поэтому ясно, что усреднение факторизуется и в результате имеем

г - (^(B))(z2(B)).

(7)

Факторизация (7) становится точной в пределе бесконечного количества цветов

Это позволяет записать эффективное действие инстантона в НП вакууме как сумму двух слагаемых, "пертурбативного" и "непертурбативного":

Таким образом, влияние НП флуктуации на инстантон может быть разделено на две части. Во-первых, в НП фоновом ноле меняется теория возмущений, что приводит к изменению стандартной однопетлевой перенормировки инстан-тонного действия. Во-вторых, появляется прямое нелокальное взаимодействие инстантона с НП фоновыми полями.

Пертурбативный вклад в эффективное действие был вычислен ранее в ра-бoгax Агасяна и Симонова [Mod. Phys. Lett. A10, 1755 (1995); ЯФ 59N2, 317 (1996)] и имеет вид

SIM =

8тг2 РЙрО)

Ь 1 h? + m\ ~ 2 Л2

(И)

Здесь m. г; 0.75m<)++ ~ 1 ГэВ, и 0++ - это легчайший глюбол. Из (11) следует, что для инстантонов малого размера (/)< 1/га,) восстанавливается пер-турбативиый результат 5р(р) = 6In (1/(Ар)) + const, а при р > 1/ш, величина 5fff —»const.

Прямое взаимодействие инстантона с НП полями выводится с использованием кластерного разложения. В билокальном приближении результат имеет вид.

(12)

S^ff — 5di& + -tS^ia + 5par& + 5] + Si,

где

Используя калибровку Фока-Швипгсра

i

В^х) = х„ J adaGult(ax),

(13)

Sd,a = -¿5 J (tr [([¿Г. B„] - [АГ, Bu}f] ),

5para = ~ J<?x<ty (tr (F™*1 (x)G^(*)) tr {F™1 (y)G^(y))) , (14)

51 = ^f <?х<?у (tr B„})t tr (F-'^Г- B°\)v) ' (15)

52 = p Jcfixtfy (tr tr (FJ'^r. £,])y) •

(16)

(17)

можно заменить вакуумные средние в (13)-(16) билокальным коррелятором.

Подставляя поле инстантона в сингулярной калибровке, и интегрируя по пространственным углам, получаем окончательный ответ, который, например, для имеет вид:

где Ф(х) = $ - функция ошибок.

В пределе большого р 1/д (£ —> оо) Б^д имеет предел

Дифференциальная плотность инстантонов пропорциональна Ап/<Рг<1р <х ехр(—¿?ея) Таким образом, "диамагнитное" взаимодействие инстантона с непер-турбагивными полями приводит к инфракрасной стабилизации по размеру р Полученный результат для рс и для распределения инстантонов по размерам находится в согласии с феноменологическим значением рис решеточными данными.

Численно найдена зависимость рс от (б2) и от Тя. Показано, что увеличение (С2) и увеличение Тя приводят к уменьшению размера инстантона. Эти эффекты являются следствием нелокального "диамагнитного" взаимодействия инстанюна с непертурбативными полями. Физически ясно, что менее скорре-лированные непертурбативные поля оказывают меньшее воздействие

на инстантонную конфигурацию, занимающую 4-мерный евклидов объем с характерным размером р (р 3> Т3). С другой стороны, пертурбативные квантовые флуктуации стремятся раздуть инстантон, и поэтому рс увеличивается при уменьшении

В третьей главе изучается вклад инстантонов в билокальный коррелятор при конечной температуре. Полученный результат сравнивается с решеточными данными, и обсуждается вопрос о плотности инстантонов в вакууме глюодипа-мики.

Калибровочно-инвариантные двухточечные корреляторы напряженности поля в глюодинамике определяются следующим образом:

А*.,, = 92(Тг у)Р„„(у)*Чх, у))),

где и

Ф(г,у) = Рехр ({дг" j ¿б А^у + вг)^

(22)

(23)

это оператор параллельного переноса вдоль прямой линии, соединяющей точки х и у; I = х—у. Билокальный коррелятор определяется двумя независимыми функциями:

При конечной температуре (которая в теории поля определяется как периодические или антипериодические граничные условия для полей вдоль временной оси естественно рассматривать отдельно элекгрический и магнитный корреляторы, которые выражаются через четыре независимые функции

Эг2 )

2{Ъ(Е>(хЩх,у)Е,(у) Ф«(*.

ЧТг (В,(х)Ф(х,у)В,(у)Ф>(х,у))) = (о8 + О? +

дг2 ' дР?

В случае вычисления этих корреляторов на самодуальном поле, очевидно, Df — О® = 0, ДЕ = Ов. Поэтому достаточно рассматривать только хромомагнитный коррелятор.

Поле калорона имеет вид:

где х = (г, т), р = 1/Т - обратная температура. Напряженность поля калорона дается формулой:

Хромоэлектрическое поле равно хромомагнитному в силу самодуальности поля калорона ^ =

Далее необходимо вычислить оператор параллельного переноса на калороне:

Имея в виду сравнение с данными вычислений на решетках, рассматривается случай 24 = 0. Тогда:

Ф(х, у) = Рехр £ ¿3 1п П + т^гД 1п П]) . (29)

В общем случае необходимо вычислять упорядоченный вдоль пути интеграл, однако существуют частные случаи, когда показатель экспоненты при различных 5 коммутирует, и интеграл сводится к вычислению обычной экспоненты. Очевидно, это имеет место при т = 0, г — ¡3/2 ит — Р, т.к. Э41пП(г, т =

0,0/2,0) = 0 Другим случаем является поле одного инстантона, тк д41п1ГгаЛ = т(1/г)(Э1пП,Л51/йг)

Для вычисления вклада разреженного газа калоронов в двухточечный коррелятор в низшем по плотности приближении необходимо вычислить вклад одного калорона, и усреднить по его положению, или, что то же самое, усреднить по у при фиксированном I = х — у

Усреднение по у сводится к интегралу f (Ру = J (13у &/4 Усреднение по трехмерному вектору не вызывает трудностей, а интеграл по вычислить не удается, тк в силу сказанного выше коррелятор может быть численно определен только при т = 0,0/2,0 Тем не менее, как видно из сравнения со случаем одного инстантона, при низких температурах достаточно вычисления при а при высоких температурах корреляционные длины при г = 0иг = /3/2 совпадают, так что усреднение по г тривиально

Билокальный коррелятор при конечной температуре вычислялся на решетках, и было получено, что коррелятор хромомагнитных полей практически не зависит от темперагуры во всей области oт нуля до Тс (зависимость слабая и выше критической температуры) В то же время численный расчет коррелятора в инстантонном газе при конечной температуре, основанный на формулах (27,29) показывает, что корреляционная длина в разреженном газе калоронов меняется примерно на 20% при изменении температуры от 0 до 300 МэВ Отсюда можно сделать вывод, что инстантонный газ не может быть правильным описанием ре ального вакуума глюодинамики Существует негколько возможных обьяснений решеточных данных

1) Плотность инстантонов намного меньше 1 фм-4, и основной вклад в коррелятор дают другие непертурбативные поля, которые обеспечивают конфайнмент

2) Плотность инстантонов достаточно высока для того, чтобы следующие по плотности поправки качественно меняли результат и приводили к независящей от температуры корреляционной длине

3) Меняется конфигурация инстантонного ансамбля, инстантоны и антиинстан-тоны образуют молекулы, и вклад этих инстантон-антиинстангонных молекул в билокальный коррелятор существенно отличается от вклада инстантонного газа Это связывание в пары может иметь отношение к фазовому переходу де-конфайнмента Например, это имеет место в 3 мерной модели с полем Хиггса в присоединенном представлении, где было показано, что в фазе деконфайпмента инстантоны и ангиинстантоны связываются в молекулы

4) Следует отметить, что в последние годы обсуждается принципиально другой возможный сцепарий для калоронного вакуума в фазе коцфайнмента Существуют конфигурации полей с нетривиальной голономией, так называемое решение КуБЬЬ В данном сценарии рассматривается возможность развала калорона на дион-антидионную пару Ясно, что в данном сценарии корреляционная длина в непертурбативном вакууме ведет себя более сложным образом, чем в случае чисто калоронного газа

В четвертой главе изучена температурная зависимость кваркового и ки-

ралыюго конденсатов при конечной температуре в модели адронного резонансного газа.

Рассматривается КХД с двумя легкими кварками. Зная давление в адронной фазе, Ра(Г), и используя соотношение Гелл-Манна-Окса-Реннера (ГОР), можно найти температурную зависимость кваркового конденсата:

где /V = 93 МэВ есть аксиальная константа распада 7Г-мезона. Связь глюонного конденсата (С2)т = с термодинамическим давлением в КХД имеет

вид

здесь Ъ = 11ЛГС/3 - 2NÍ/Z = 29/3, <С2)0 = 0.87 ГэВ4.

Таким образом, зная давление Р^ как функцию температуры и массы 7Г-мезона можно найти температурные зависимости кваркового и глюонного конденсатов в адронной фазе.

Для описания термодинамики КХД в фазе конфайнмента используется модель адронного резонансного газа. В данном подходе термодинамические свойства системы определяются суммарным давлением релятивистских Бозе и Ферми газов, описывающих тепловые возбуждения массивных адронов. Главная мотивация использования данного подхода состоит в том, что в рассмотрение включены все существенные степени свободы сильно взаимодействующей материи. Более того, использование адронного резонансного спектра эффективно учитывает взаимодействие между стабильными частицами. Кроме того, описание множественного рождения частиц при столкновении тяжелых ионов, в рамках адронного резонансного газа, приводит к хорошему согласию с экспериментальными данными.

Давление в фазе конфайнмента записывается в виде

где д, - фактор спин-изоспинового вырождения (например, дг = 3, дм — 8, ...). Плотность энергии, в адронной фазе дается выражением

** (33)

V- [ сР}

= (5?

)3 схр(и>,/Т) + г?,

При численных расчетах учитывались адронные состояния с массами до 2 ГэВ. Более тяжелые состояния во-первых, очень широкие, и их нельзя

рассматривать как частицы с определенными массами, и во-вторых, их вклад в давление и другие термодинамические характеристики экспоненциально подавлен и пренебрежимо мал при температурах Т <ТС^ 190 МэВ.

Для количественного изучения конденсатов в фазе конфайнмента необходимо знать зависимость давления от массы легкого кварка (в случае или, что то же самое, от массы 7г-мезона. В рамках модели адронного резонансного газа это эквивалентно знанию зависимости масс всех резонансов от массы легкого кварка. Данная зависимость изучалась численно в решеточных расчетах, и существует пяти-параметрическая формула, инспирированная моделью мешков, которая при определенном выборе параметров хорошо описывает массы всех достаточно легких частиц

Здесь гп/, - физическая масса адрона, Л/„ - число легких кварков = 2 для мезонов, = 3 для барионов), и = (0.42 ГэВ)2 - натяжение струны.

Далее, необходимо учитывать, что с увеличением температуры меняются массы адронов. Температурный сдвиг масс адронов учитывается с помощью замены, обоснованной в рамках конечно-температурной конформно-обобщенной нелинейной сигма модели с легкими и массивными адронами:

т —■ Шн {хт/хо), \/хт/хо,

Хт/Хо=({С*)т/{0\У'\

(35)

где есть поле дилатона. Другая по сравнению с остальными частицами зависимость массы 7г-мезона является проявлением его Голдстоуновской природы. В киральном пределе, приведенное соотношение для масс адронов

является строгим следствием низко-энергетических теорем КХД.

Формулы (30)-(35) определяют термодинамические свойства системы в ад-ронной фазе и позволяют вычислить кварковый и глюонный конденсаты во всей области температур ниже критической

Мы учитываем все адронные состояния с массами ниже 2.5 ГэВ для мезонов и 3.0 ГэВ для барионов. В общей сложности, это составляет 2078 состояний (с учетом факторов вырождения gi). Ясно, что при температурах ниже массы пиона, главный вклад в термодинамические величины будут давать тепловые возбуждения я-мезонов, т.к. остальные состояния значительно тяжелее, и экспоненциально подавлены Больцмановским фактором ос ехр{—гпь/Т}. Однако, при Т > т„ большое количество тяжелых состояний начинает оказывать существенное влияние на термодинамику системы.

Сравнение с данными расчетов на решетке для давления в фазе конфайн-мента показывает, что в области температур Т < Тс модель адронного резонансного газа с учетом температурного сдвига масс правильно описывает рост давления с температурой. Значение плотности энергии ед ~ 1 ГэВ/фм3, соответствующее оценкам плотности энергии при кварк-адронном фазовом переходе, достигается при Т а 175 МэВ, т.е. в области температуры фазового перехода, полученной в решеточных вычислениях.

Важным результатом является то, что кварковый конденсат обращается в ноль при той же температуре, при которой испаряется примерно половина глю-онного конденсата, и это значение при учете температурного сдвига адронных масс есть

В пятой главе выводится эффективный киральный лагранжиан в рамках метода вакуумных корреляторов для случая трех флейворов кварков, и исследуются его низко-энергетические свойства.

Рассматривается производящий функционал для кварков и глюонов в евклидовом пространстве в присутствии внешних классических токов г>м, а^, s и V

Здесь = 1,2,3 - флэйворные индексы, 1" - генераторы цветовой 8Щ3) группы, и^Р = 5°ь12, а — 1,...8. - член, фиксирующий калибровку, и - действие духов (поля духов обозначены через с и с).

Все вычисления проводятся в обобщенной контурной калибровке

Здесь г„(з,х) - это набор контуров, обладающий свойствами: г„(0,х) = хц, 2„(1,х) = х„, Хо - некоторая фиксированная точка. Точное положение контуров не существенно для аналитических результатов, а для численных оценок предполагается, что контура выбраны таким образом, чтобы минимизировать спектр (и площадь струнной мировой поверхности).

Причина использования контурной калибровки заключается в том, что она позволяет выразить калибровочное поле через напряженность поля Я),*. Это позволяет использовать метод вакуумных корреляторов, чтобы проинтегрировать по глюонным полям и выразить результат через корреляторы:

Z= / DADmOcDcexpHSo + S, + +

(36)

(37)

Для вычисления этого среднего используется кластерное разложение. Ясно, что калибровочно-инвариантные величины, такие как спектр и функции Грина, вычисленные с помощью Sea, не зависят от выбора контуров, если в кластерном разложении сохранены все слагаемые. В дальнейшем будет использоваться Гауссово приближение, и мы будем рассматривать только первые два члена кластерного разложения, п = 1,2. Соответственно, выбор контуров перестает быть произвольным, и должен минимизировать вклад отброшенных слагаемых в разложении.

После ряда преобразований (которые включают в себя использование тождеств Фирца и бозонизацию), имеем кварк-мезонный лагранжиан:

Следует отметить, что здесь были оставлены только слагаемые, соответствующие скалярным-изоскалярным и псевдоскалярным-изовекторным токам.

По кварковым полям можно легко проинтегрировать, в результате получается выражение для эффективного кирального лагранжиана:

Здесь 1х относится к флейворным и спинорным индексам и к пространственным координатам. М, - это эффективный оператор массы кварков, и фа - поля псевдоскалярных мезонов (с точностью до размерного множителя 2//, / - константа распада,

Классические уравнения движения, следующие из эффективного кирально-го лагранжиана (40), имеют следующее решение

Второе уравнение в (41) - это нелинейное уравнение для ', и существование нетривиального решения связано с нарушением киральной инвариантности, т.к. - это скалярное поле. Система уравнений (41) д и 8(х, у ) в специальном случае тяжело-легких мезонов имеет скалярное удерживающее решение:

на больших расстояниях |х — хо| между кварком и тяжелым антикварком, расположенном в точке хо- Понятно, что решение такого же типа имеет место на больших расстояниях между кварками и для легко-легких мезонов, что означает, что конфайнмент и СНКИ связаны с нетривиальным решением системы уравнений (41).

Вводя токовые кварковые массы и рассматривая эф-

фективный киральный лагранжиан (40), раскладываем его по степеням полей ф^ и кладем внешние токи равными нулю. Для масс псевдоскалярных мезонов имеем:

Здесь т = {т^ Ч- т^)/2, и использовано равенство

В (42) не учитывается разница между кварковыми конденсатами для различных флейворов, поправки порядка тг2. Небольшое смешивание состояний ф3 и ф8 связанное с нарушением изоспиновой симметрии (пропорциональной ти — т), приводит к поправке е к массам пиона и п мезона:

7г° ~ соз(5)^з + зт{6)фа, щ ~ - вт{5)фз + со${5)Фй

с __ |(ф?)1 (т„ - т^2

4т, - 2(т^ + тл)' 5 ~ 0.6".

+ тау

(44)

Таким образом, показано, что эффективный киральный лагранжиан (40) приводит к правильным соотношениям Гелл-Манна-Окса-Реннера для всех легких псевдоскалярных мезонов.

Рассмотрим функцию Грина мезонов, определенную как коррелятор псевдоскалярных токов:

(45)

Из эффективного кирального лагранжиана имеем:

Кладя М3 равным значению в стационарной точке (41) и раскладывая Бф по степеням ф вокруг точки ф¡¿°' = 0, имеем:

5Дх, у) = 5(г, у) + У г) • Ма(г)Ъфа{г)1а ■ 5(г, у)

(47)

—1/2

Константа связи имеет порядок ЛГе , поэтому в пределе больших Ыс пи-онные обмены подавлены. Это позволяет пренебречь пионными полями а связных членах (первое слагаемое в уравнении (4G)), и рассматривать только один пионный обмен в несвязном члене. В результирующем выражении будет два слагаемых, оба порядка

-тО-;гО

(48)

Пропагатор пиона определяется квадратичными слагаемыми в лагранжиане (40). В импульсном пространстве имеем:

Т.к. выполняются соотношения ГОР, то пионный пропагатор имеет полюс при и может быть записан в виде

Все три функции Грина и имеют один и тот же набор

о,ММ)

полюсов, которые совпадают с полюсами кварковой модели (т.е. системы од с конфайнментом но без нарушения киральной инвариантности) в псевдоскалярном канале, и могут быть представлены в виде

где

Vn(r) - трехмерная сиин-синглетная волновая функция системы qq, и М(0) -константа, связанная с массовым оператором М„ имеющая явное выражение через <7 = 0.18 ГэВ2 иГ9 = 1 ГэВ"1 и равная М(0) = 148 МэВ. Таким образом, имеем для функции Грина пиона:

Очевидно, функция Грина (53) имеет полюс при к = —Л/2±, а всe полюса кварковой модели сокращаются, т.к. функции Ф(£) и Ф(&) содержат одинаковый набор полюсов. Радиальные возбуждения к мезонов определяются нулями функции Ф(к). В первом приближении это дает:

Массы радиальных возбуждений К мезонов могут быть найдены из (54) с помощью замены массы 7Г мезона и опорного спектра на соответствующие величины для К мезонов.

Массы и волновые функции опорного спектра могут быть получены га струнного гамильтониана КХД, полученного в работах Симонова, Дубина и Кайда-лова [Phys. Lett. В 226, 151 (1989); Phys. Lett. В 323, 41 (1994); ЯФ 56, 213 (1993)| (орбитальный момент положен равным нулю L = 0):

2^1 2/22

АИ , Р? , _ 4 о,

—Г~ + 2Д+<ТГ"ЗТ

(55)

Здесь т\ЯТП2 - токовые массы кварков, и цъ - вспомогательные (einbein) параметры, которые определяются из условия минимальности собственных значений гамильтониана (55):

- радиальная компонента импульса. Данный гамильтониан позволяет найти усредненные по спину массы и волновые функции. Спин-спиновое взаимодействие может быть учтено по теории возмущений. Подставляя числа:

га,, = 0.005 ГэВ, тпл = 0.009 ГэВ, 771, = 0.17 ГэВ,

ст = 0.18 ГэВ2. а, — 0.3, 1 '

и учитывая, что нижние состояния сдвигаются точно в физические значения ме-зонных масс (вследствие выполнения соотношений Гелл-Манна-Окса-Реннера), получаем окончательный киральный сдвиг опорного спектра (т.е. спектра квар-ковой модели):

?г(15) 0.51 ГэВ -+ 0.14 ГэВ (точно) 7г(25) 1.51 ГэВ —»1.25 ГэВ (эксп.: 1.3 ГэВ) тг(35) 2.18 ГэВ 1.98 ГэВ (эксп.: 1.8 ГэВ)

К мезоны:

#(15) 0.63 ГэВ -» 0.49 ГэВ (точно)

К(28) 1.57 ГэВ 1.43 ГэВ (эксп. : 1.46 ГэВ)

Л"(35) 2.21 ГэВ —> 2.1 ГэВ (эксп.: 1.83 ГэВ)

Видно, что сдвиг масс радиальных возбуждений псевдоскалярных мезонов за счет учета киральных эффектов не превышает 15%, и уменьшается для высоких возбуждений (можно оценить, что йЛ//ЛГ(45) 0.05 для пионов и для К мезонов).

Заключение содержит обзор полученных результатов и возможных направлений для дальнейшего исследования.

пионы:

3 Основные результаты работы

1. Развит калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Исследовано поведение одного инстантона в непертурбативном вакууме в рамках метода вакуумных корреляторов. Показано, что взаимодействие с непертурбативным вакуумом приводит к инфракрасной стабилизации инстантона. Получено распределение инстантонов по размеру, хорошо согласующееся с данными вычислений на решетках. Вычислен средний размер инстантона, показано, что Найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме.

2. Вычислен билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа в низшем по плотности инстантонов порядке. Показано, что корреляционная длина значительно уменьшается с ростом температуры. Проведено сравнение полученной зависимости с решеточными данными, и обсуждаются различные варианты структуры вакуума КХД, позволяющие объяснить эти данные.

3. В модели адронного резопансного газа изучена зависимость глюонного и кваркового конденсатов от температуры вплоть до критической Т. Показано, что при критической температуре одновременно обращаются в нуль кварковый конденсат и примерно половина глюонного конденсата (хромо-электрическая компонента). При учете температурного сдвига адронных масс, Кроме того, показано, что плотность энергии при температуре деконфайнмента равна примерно что согласуется с данными экспериментов по столкновениям тяжелых ионов.

4. Изучен эффективный киральный лагранжиан, выведенный из лагранжиана КХД в рамках метода вакуумных корреляторов. Показано, что для псевдоскалярных мезонов выполняются соотношения Гелл-Манна-Окса-Реннера. Вычислены массы радиальных возбуждений пионов и К-мезонов, и показано, что учет киральных эффектов является существенным и приводит к поправкам порядка ~ 10%.

Список работ

[1] N. О. Agasian and S. M. Fedorov, Instanton IR stabilization in the nonperturbative confining vacuum, JHEP 0112, 019 (2001).

[2j H. О. Агасян и С. М. Федоров, Инстантоны в непертурбативном КХД вакууме, ЯФ 67, 394 (2004).

(3) S. М. Fedorov and Y. A. Siraonov, Pseudoscalar mesons and their radial excitations from the effective chiral Lagrangian, JETP Lett. 78, 57 (2003).

[4] H. О. Агасян и С. М. Федоров, Адронный резонансный газ и ненертурба-тивный КХД вакуум при конечной температуре, Письма в ЖЭТФ 78,1099

(2003).

[5j Н. О. Агасян и С. М. Федоров, Калороны и билокальный коррелятор напряженности глюонного поля, Письма в ЖЭТФ 80, 86 (2004).

[6] N. О. Agasian and S. M. Fedorov, Non-Abclian field strength bilocal correlator at finite temperature in the model of dilute instanton gas, JHEP 0407, 007

(2004).

(7] N. O. Agasian and S. M. Fedorov, Instanton in the nonperturbative QCD vacuum. Talk given at 10th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, Russia, 23-29 Aug 2001. Published in "Frontiers of Particle Physics", World Scientific 2003, 165-170.

|8) N. O. Agasian and S. M. Fedorov, Instanton infra-red stabilization in the nonperturbative QCD vacuum. Talk given at 5th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Gargnano, Brescia, Italy, 10-14 Sep 2002. Published in "Gargnano 2002, Quark confinement and the hadron spectrum", 315-317.

Подписано к печати 21 07.04 Формат 60 х 90 1/16

Усл.печ.л. 1,25 Уч.-изд.л. 0,9 Тираж 100 Заказ 502

Отпечатано в ИТЭФ, 117218 Москва, Б.Черемушкинская, 25

№1 4 2 8 6

1 Введение

1.1 Модели вакуума КХД.

1.2 Цели и задачи.

1.3 Структура работы.

2 Инстантон в непертурбативном вакууме КХД

2.1 Роль инстантонов в вакууме КХД.

2.2 Стохастический вакуум и метод вакуумных корреляторов.

2.3 Инфракрасная стабилизация инстантонов в непертурбативном вакууме

2.3.1 Эффективное инстантонное действие в фоновом глюонном поле.

2.3.2 Однопетлевая перенормировка инстантона в непертурбативном вакууме.

2.3.3 Прямое взаимодействие инстантона с непертурбативными полями.

2.3.4 Численные результаты: распределение инстантонов по размерам

2.3.5 Зависимость Заи и Рс от функций

3 Билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа

3.1 Введение.

3.2 Хромоэлектрический и хромомагнитный корреляторы при конечной температуре.

3.3 Вклад калоронов в хромомагнитный коррелятор.

3.4 Численные результаты

3.5 Обсуждение: структура вакуума глюодинамики при конечной температуре

4 Кварковый и глюонный конденсаты при конечной температуре

4.1 Введение.

4.2 Термодинамика КХД в фазе конфайнмента.

4.3 Зависимость масс адронов от массы 7г-мезона и от температуры

4.4 Конденсаты при Т ф

4.5 Обсуждение.

5 Эффективный киральный лагранжиан в рамках метода вакуумных корреляторов

5.1 Введение.

5.2 Вывод эффективного кирального лагранжиана.

5.3 Массы псевдоскалярных мезонов.

5.4 Функции Грина псевдоскалярных мезонов.

5.5 Массы радиальных возбуждений

Квантовая хромодинамика (КХД) - это неабелева калибровочная теория, описывающая сильные взаимодействия. КХД успешно объясняет многие свойства сильных взаимодействий, такие как закономерности в спектре адронов и скей-линг в глубоко неупругом рассеянии лептонов. В 70-х годах были открыты явление асимптотической свободы (1, 2], и нетривиальные топологические свойства вакуума неабелевых калибровочных теорий [3, 4, 5]. В настоящее время не вызывает сомнений, что именно сложная непертурбативная структура вакуума КХД ответственна за такие крайне важные свойства теории, как явления конфайнмента, т.е. невылетания цвета, и спонтанного нарушения киральной инвариантности.

В КХД при температуре около Т ~ 170 МэВ имеет место фазовый переход, при котором существенно меняются структура и свойства вакуума. Выше температуры фазового перехода система находится в фазе деконфайнмента, в которой восстановлена киральная симметрия. То, что фазовые переходы деконфайнмента и восстановления киральной инвариантности происходят при одной температуре, было недавно показано в расчетах на решетках [6, 7].

Решеточные расчеты являются важным источником информации о структуре вакуума КХД. Многие величины, важные с точки зрения теории, недоступны в реальных экспериментах, но могут быть вычислены на решетках. Так, была получена температура фазового перехода деконфайнмента [8, 9]; показано, что деконфайнмент и восстановление киральной симметрии происходят при одной температуре [6, 7]; исследована топологическая структура вакуума [10, 11]; измерен билокальный коррелятор [12]; и т.д.

Вакуум глюодинамики, т.е. теории без динамических кварков, в которой единственными динамическими полями являются поля глюонов, во многом обладает теми же свойствами, что и вакуум КХД. В частности, в глюодинамике также имеет место конфайнмент (т.е. закон площади для петли Вильсона). Поэтому, изучение глюодинамики, как чисто теоретическое, так и в решеточных вычислениях, представляет собой очень важную и интересную задачу.

Существуют различные модели КХД вакуума, достаточно успешно описывающие его свойства. Среди хорошо разработанных моделей вакуума следует назвать модель инстантонной жидкости и модель стохастического вакуума. 1.1 Модели вакуума КХД

Модель инстантонной жидкости была предложена в работах Шуряка [13, 14], и Дьяконова и Петрова [15] (подробный обзор модели инстантонной жидкости см. [16]). В этой модели основными непертурбативными полями в вакууме КХД являются инстантоны и антиинстантоны. Они достаточно хорошо разделены, так что средняя плотность псевдочастиц составляет п = 1 фм-4, в то время как средний размер инстантонов и антиинстантонов равен р = 0.3 фм. Таким образом, имеется малый параметр - отношение размера инстантона к среднему расстоянию между псевдочастицами - р/Н. ~ 0.3. Плотность инстантонов такова, что инстантоны и антиинстантоны дают основной вклад в глюонный конденсат: ((С£„)2) — 327г2п. Инстантонный вакуум приводит к спонтанному нарушению киральной симметрии, с правильным значением кваркового конденсата (яя) = ~^ (Щ^у)1^ — "(240 МэВ)3. В рамках этой модели естественным образом объясняется масса г/'-мезона [17, 18]. Принципиальным недостатком данной картины вакуума является невозможность объяснить конфайнмент. Кроме того, неясен механизм подавления инстантонов большого размера, которое не удается объяснить только классическим взаимодействием между инстантона-ми.

Модель стохастического вакуума основывается на методе вакуумных корреляторов, который был предложен в работах Доша и Симонова [19]. В рамках данного метода КХД вакуум описывается в терминах калибровочно инвариантных вакуумных средних глюонных полей - корреляторов. При этом предполагается гауссова доминантность, или стохастичность вакуума, т.е. считается, что основной вклад в физические величины дается низшим билокальным коррелятором, а учет высших корреляторов приводит к небольшим поправкам. Существуют указания на то, что действительно, гауссово приближение хорошо описывает реальный вакуум КХД, а поправки за счет высших корреляторов составляют несколько процентов. Данная модель вакуума позволяет успешно описать большое число явлений в КХД (см. обзоры [20, 21]). Самым важным свойством модели является то, что конфайнмент естественным образом присутствует в такой картине вакуума, т.к. натяжение струны просто выражается через хромоэлектрические компоненты билокального коррелятора.

Следует отметить, что вакуум КХД - это очень сложная система, и перечисленные модели не могут претендовать на полное описание его структуры. Существует большое количество других подходов к объяснению свойств КХД вакуума, и прежде всего конфайнмента, некоторые из которых получают подтверждения в решеточных вычислениях. Среди наиболее активно обсуждаемой в настоящее время можно назвать идею о дуальной сверхпроводимости как механизме конфайнмента, где важную роль играют монополи [22, 23, 24, 25].

1.2 Цели и задачи

В данной диссертации рассматривается взаимодействие инстантона со стохастическим вакуумом и выводится эффективное действие для инстантона на фоне непертурбативных вакуумных полей. Изучается распределение инстантонов по размерам.

Исследуется вклад инстантонов в билокальный коррелятор при конечной температуре и обсуждается вопрос о плотности инстантонов в вакууме КХД.

Рассматривается термодинамика вакуума КХД при конечных температурах, и вычисляется зависимость конденсатов от температуры. Исследуется поведение конденсатов и плотности энергии в окрестности температуры фазового перехода.

Исследуются свойства эффективного кирального лагранжиана, который выводится из лагранжиана КХД в рамках метода вакуумных корреляторов.

Основные проблемы, рассматриваемые в диссертации:

1. Развитие последовательного калибровочно-инвариантного метода вычисления эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме.

2. Вычисление билокального коррелятора в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа, и сравнение с данными решеточных вычислений.

3. Изучение температурной зависимости глюонного и кваркового конденсатов во всей области температур от нуля до критической температуры в рамках модели адронного резонансного газа.

4. Вывод эффективного кирального лагранжиана при нулевой температуре в рамках метода вакуумных корреляторов для случая 3 флейворов. Исследование свойств этого лагранжиана, и вычисление масс псевдоскалярных мезонов и их радиальных возбуждений.

1.3 Структура работы

В главе 2 рассматривается взаимодействие инстантона с непертурбативным (НП) фоновым полем. Выводится эффективное действие, сделан вывод о том, что инстантоны стабилизируются по размерам, и приводится оценка для среднего размера инстантонов в НП фоновом поле: р ~ 0.2 ч- 0.3 фм.

В главе 3 вычислен вклад инстантонов при конечной температуре (кало-ронов) в билокальный коррелятор. Полученная зависимость корреляционной длины от температуры сравнивается с результатами решеточных вычислений. Обсуждаются различные возможные структуры вакуума, которые позволяют объяснить решеточные данные.

В главе 4 рассматривается термодинамика вакуума КХД при конечной температуре в рамках метода адронного резонансного газа. Вычисляется зависимость кваркового и глюонного конденсатов от температуры.

Глава 5 посвящена выводу и исследованию эффективного кирального лагранжиана в случае 3-х флейворов кварков. Рассматриваются функции Грина псевдоскалярных мезонов, и вычисляются поправки к массам их радиальных возбуждений за счет учета киральных эффектов.

6 Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Развит калибровочно-инвариантный метод вычисления эффективного действия для инстантона в непертурбативном вакууме. Исследовано поведение отдельного инстантона в непертурбативном вакууме в рамках метода вакуумных корреляторов. Показано, что взаимодействие с непертурбатив-ным вакуумом приводит к инфракрасной стабилизации инстантона. Получено распределение инстантонов по размеру, хорошо согласующееся с данными вычислений на решетках. Вычислен средний размер инстантона, показано, что р = 0.2 -г- 0.3 фм. Найдена зависимость характерного размера инстантона от величины глюонного конденсата и корреляционной длины в непертурбативном вакууме.

2. Вычислен билокальный коррелятор в глюодинамике при конечной температуре в рамках модели разреженного инстантонного газа в низшем по плотности инстантонов порядке. Показано, что корреляционная длина значительно уменьшается с ростом температуры. Проведено сравнение полученной зависимости с решеточными данными, и предлагаются возможные структуры вакуума КХД, позволяющие объяснить эти данные.

3. В модели адронного резонансного газа изучена зависимость глюонного и кваркового конденсатов от температуры. Показано, что при критической температуре одновременно обращаются в нуль кварковый конденсат и примерно половина глюонного конденсата (хромоэлектрическая компонента). При учете температурного сдвига адронных масс, Тс ~ 190 МэВ. Кроме того, показано, что плотность энергии при температуре деконфайн-мента равна примерно е(Тс) ~ 1 -т-1.5 ГэВ/фм3, что согласуется с данными экспериментов по столкновениям тяжелых ионов.

4. Изучен эффективный киральный лагранжиан, выведенный из лагранжиана КХД в рамках метода вакуумных корреляторов. Показано, что для псевдоскалярных мезонов выполняются соотношения Гелл-Манна-Окса-Реннера. Вычислены массы радиальных возбуждений пионов и К-мезонов, и показано, что учет киральных эффектов является существенным, и приводит к поправкам порядка ~ 10%.

Благодарности

В заключение я хотел бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Никите Ованесовичу Агасяну за его постоянный интерес к работе и за многочисленные плодотворные обсуждения, которые в значительной степени способствовали формированию моего научного мировоззрения. Я благодарен Юрию Антоновичу Симонову за обсуждения научных вопросов и за его помощь в работе.

1. 2 [34 5б. 7]8 9 [10 [И [12

2. D. J. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973). H. D. Politzer, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

3. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, Phys. Lett. B 59, 85 (1975).

4. G. 't Hooft, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976).

5. C. G. Callan, R. F. Dashen, and D. J. Gross, Phys. Lett. B 63, 334 (1976); Phys. Rev. D 17, 2717 (1978); Phys. Rev. D 19, 1826 (1979).

6. F. Karsch, arXiv:hep-lat/9903031.

7. J. M. Carmona, M. D'Elia, L. Del Debbio, A. Di Giacomo, B. Lucini and

8. G. Paffuti, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 607 (2002) arXiv:hep-lat/0110058.

9. F. Karsch, E. Laermann and A. Peikert, Nucl. Phys. B 605, 579 (2001). Y. Nakamura, V. Bornyakov, M.N. Chernodub, et al., hep-lat/0309144.

10. A. Hasenfratz and C. Nieter, Phys. Lett. B439, 366 (1998).

11. B. Lucini, M. Teper and U. Wenger, arXiv:hep-lat/0401028.

12. E. V. Shuryak, Nucl. Phys. B 203, 93 (1982).

13. E. V. Shuryak, Phys. Rept. 115, 151 (1984).

14. D. Diakonov and V. Y. Petrov, Nucl. Phys. B 245, 259 (1984).

15. T. Schafer and E. V. Shuryak, Rev. Mod. Phys. 70, 323 (1998) arXivrhep-ph/9610451].

16. E. Witten, Nucí. Phys. B 156, 269 (1979).

17. G. Veneziano, Nucí. Phys. B 159, 213 (1979).

18. H. G. Dosch, Phys. Lett. B 190, 177 (1987). H. G. Dosch and Y. A. Simonov, Phys. Lett. B 205, 339 (1988). Y. A. Simonov, Nucí. Phys. B 307, 512 (1988).

19. A. Di Giacomo, H. G. Dosch, V. I. Shevchenko and Y. A. Simonov, Phys. Rept. 372, 319 (2002) arXiv:hep-ph/0007223].

20. A. I. Shoshi, F. D. Steffen, H. G. Dosch, and H. J. Pirner, Phys. Rev. D 68, 074004 (2003).

21. J. M. Carmona, M. D'Elia, A. Di Giacomo, B. Lucini and G. Paffuti, Phys. Rev. D 64, 114507 (2001) ]arXiv:hep-lat/0103005].

22. P. Cea and L. Cosmai, JHEP 0302, 031 (2003) arXiv:hep-lat/0204023].

23. G. S. Bali, C. Schlichter and K. Schilling, Prog. Theor. Phys. Suppl. 131, 645 (1998) arXiv:hep-lat/9802005].

24. F. V. Gubarev, E. M. Ilgenfritz, M. I. Polikarpov and T. Suzuki, Phys. Lett. B 468, 134 (1999) arXiv:hep-lat/9909099].

25. G. 't Hooft, Phys. Rev. Lett. 37, 8 (1976).

26. D. Diakonov and V. Y. Petrov, Nucl. Phys. B272, 457 (1986).

27. B. V. Geshkenbein and B. L. Ioffe, Nucl. Phys. B166, 340 (1980).

28. C. G. Callan, R. F. Dashen and D. J. Gross, Phys. Lett. B63, 334 (1976).

29. C. G. Callan, R. F. Dashen and D. J. Gross, Phys. Rev. D17,2717 (1978); Phys. Rev. D19, 1826 (1979).

30. E.-M. Ilgenfritz and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys. B184, 443 (1981).32. 1.1. Balitsky and A. V. Yung, Phys. Lett. B168, 113 (1986); A. V. Yung, Nucl. Phys. B297, 47 (1988).

31. Yu. A. Simonov, JETP Lett. 71, 127 (2000); V. I. Shevchenko and Yu. A. Simonov, Phys. Rev. Lett. 85, 1811 (2000).

32. A. Di Giacomo, hep-Iat/0012013.

33. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. В147, 385, 4481979).

34. G. S. Bali, N. Brambilla and A. Vairo, Phys. Lett. B421, 265 (1998).

35. Yu. A. Simonov, Few Body Syst. 25, 45 (1998); Ю. А. Симонов, ЯФ 61, 941 (1998).

36. S. Narison, Phys. Lett. B387, 162 (1996).

37. M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. В163, 461980).

38. N. О. Agasian and Yu. A. Simonov, Mod. Phys. Lett. AlO, 1755 (1995).

39. H. О. Агасян, ЯФ 59N2 317 (1996).

40. N. О. Agasian and S. M. Fedorov, JHEP 0112, 019 (2001); hep-ph/0111305; hep-ph/0211139; Phys. Atom. Nucl. 67, 376 (2004).

41. L. F. Abbot, Nucl. Phys. В184, 189 (1981).

42. A. M. Polyakov, Gauge Fields and Strings. Harwood: Acad. Publ. (1987).

43. Ю. А. Симонов, ЯФ 58, 113 (1995); Yu. A. Simonov and J. A. Tjon, Annals Phys. 300, 54 (2002).

44. А. Б. Мигдал, H. О. Агасян, С. Б. Хохлачев, Письма в ЖЭТФ 41, 4051985); Н. О. Агасян, С. Б. Хохлачев, ЯФ 55, 1116 (1992); ЯФ 55, 1126 (1992). N. О. Agasian, hep-ph/9803252; hep-ph/9904227.

45. A. E. Dorokhov, S. V. Esaibegian, A. E. Maximov and S. V. Mikhailov, Eur. Phys. J. C13, 331 (2000).49 5051