Голографические модели квантовой хромодинамики в области сильной связи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение «Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» им. А. И. Алиханова

На правахдзукогшси

005059375

Копнин Петр Николаевич

Голографические модели квантовой хромодинамики в области сильной связи

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

16 МАЯ 2013

Москва 2013 г.

005059375

УДК 530.145

Работа выполнена в ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук

Горский Александр Сергеевич, ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат. наук

Защита диссертации состоится 4 июня 2013 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 201.002.01 ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ» в конференц-зале ИТЭФ по адресу: г. Москва, ул. Б. Черемушкинская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту kopnin@itep.ru.

Автореферат разослан «30» апреля 2013 г. Ученый секретарь диссертационно!--------

Морозов Алексей Юрьевич, главный научный сотрудник ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва

профессор, доктор физ.-мат. наук Теряев Олег Валерианович, начальник сектора ЛТФ ОИЯИ, г. Дубна

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН (г. Черноголовка)

кандидат физ.-мат. наук

Васильев В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение квантовой хромодинамики (КХД) при низких энергиях затруднено неприменимостью пертурбативного подхода и остается одной из важнейших задач, стоящих перед современной теоретической физикой. Самосогласованное низкоэнергетическое описание КХД необходимо для изучения свойств кварковой материи, образующейся в экспериментах по столкновениям тяжелых ионов (Коллайдер Релятивистских Тяжелых Ионов в Национальной Лаборатории Брукхейвена, Нью-Йорк, США) и для вычисления радиационных поправок к сечениям рождений и ширинам распадов частиц на ускорителях (Большой Адронный Коллайдер в ЦЕРН, Женева, Швейцария). Построение полной фазовой диаграммы вакуума КХД должно способствовать пониманию различных экзотических космологических объектов, а также восстановлению картины ранних моментов вселенной. В то же время попытки описания динамики КХД при низких энергиях связаны с набором трудностей из-за того, что степени свободы физики адронов не имеют адекватного представления в терминах лагранжиана КХД. Это приводит к необходимости использования эффективных действий и различ-

ных непертурбативных методов.

Самым современным непертурбативным методом описания сильносвязанных теорий Янга-Миллса является дуальность калибровочных полей и струн. В рамках этой дуальности конформной теории поля в четырехмерном пространстве ставится в соответствие некая теория суперструн (супергравитации) в многомерном пространстве анти-де Ситтера (Ас13). На основе этого построения были разработаны голографические модели, позволяющие исследовать низкоэнергетическую КХД путем сопоставления ее эффективного действия и квазиклассического действия некой гравитационной теории. Тем не менее окончательный вид этой теории до сих пор не установлен, и уточнение ее геометрии и состава полей имеет первостепенную значимость. На данный момент существует несколько голографических дуальных моделей, доработка которых в перспективе может привести к полной дуальной теории КХД, и поэтому проверка этих моделей на самосогласованность представляется очень важной задачей. Данная диссертация посвящена сравнению результатов, полученных в рамках голографических моделей, с результатами других непертурбативных методов; исследованию различных голографических моделей КХД и уточнению самих принципов построения дуальных моделей.

Цель диссертационной работы

Вычисление вакуумных средних и многоточечных корреляционных функций векторных, аксиально-векторных, скалярных

и псевдоскалярных токов КХД; изучение их свойств при ненулевой температуре и во внешнем магнитном поле; описание спектральной плотности оператора Дирака методами голографиче-ских моделей; восстановление кирального лагранжиана по действию дуальных моделей; исследование поведения корреляторов петель Вильсона методами струнно-калибровочной дуальности.

Научная новизна

В работе получены следующие новые результаты:

1. Получен рецепт, позволяющий вычислять спектральную плотность оператора Дирака в голографических моделях.

2. Получены коэффициенты при членах четвертого порядка по импульсу кирального лагранжиана КХД.

3. Проведена проверка аксиальных низкоэнергетических теорем КХД в голографической модели, и показано, что они выполняются в главном порядке по массе легких кварков.

4. Произведено вычисление кирального магнитного эффекта в модели Ас13/рСП> и показано, что при этом необходим учет скалярных полей модели.

5. Вычислен адронный вклад в дебаевскую массу фотона в сильном магнитном поле.

6. Проведено прямое вычисление намагниченности и магнитной восприимчивости кваркового конденсата.

7. Вычислен вклад глюонного конденсата в фазовый переход Гросса-Оогури в корреляторе параллельных петель Вильсона.

Научная и практическая ценность работы

Результаты, полученные в данной диссертации, обладают теоретической ценностью для уточнения и улучшения дуальных голографических моделей квантовой хромодинамики в силу предложенных способов проверки их самосогласованности и исследованных свойств во внешних полях. Эти результаты также имеют существенную практическую значимость в силу разработанных методов, применимых в дуальных моделях, таких как рецепт вычисления спектральной плотности оператора Дирака и модификации члена Черна-Саймонса. Рассчитанное увеличение дебаевской массы экранирования фотона при ненулевой температуре во внешнем магнитном поле может быть продемонстрировано в экспериментах с кварковой материей - на Большом Адронном Коллайдере в ЦЕРН (Женева, Швейцария), на Кол-лайдере Релятивистских Тяжелых Ионов в Национальной Лаборатории Брукхейвена (Нью-Йорк, США). Результаты работы могут применяться в ИТФ им. Л. Д. Ландау РАН, ИТЭФ. ИЯИ РАН, НИИЯФ МГУ, ОИЯИ, ПИЯФ, ФИАН.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Получены выражения ДЛЯ коэффициентов 1/2, 1>з и 1,4 кирального лагранжиана при членах четвертого порядка по импульсу методами АёБ/С^СО.

2. Предложен способ вычисления спектральной плотности оператора Дирака, применимый в дуальных моделях. С его по-

мощью получено выражение для спектральной плотности в модели AdS/QCD с жесткой стенкой.

3. Установлено выполнение аксиальных низкоэнергетических теорем КХД в главном порядке по массе легких кварков в голографических моделях.

4. Вычислена величина тока, возникающего в результате кирального магнитного эффекта в модели AdS/QCD с мягкой стенкой. Показано, что при этом нужно учитывать вклад скалярного сектора модели.

5. Исследован вклад квантовой хромодинамики в дебаев-скую и магнитную массы экранирования фотона при температуре выше температуры деконфайнмента в сильных магнитных полях.

6. Вычислены намагниченность и магнитная восприимчивость кваркового конденсата в магнитных полях любой величины в модели AdS/QCD, дополненной тензорным полем.

7. Аналитически исследованы свойства фазового перехода Гросса-Оогури в присутствии глюонного конденсата.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, ИЯИ РАН, на международных школах и конференциях: "Fifth Aegean summer school. From gravity to thermal gauge theories: The AdS/CFT correspondence" (о. Милос, Греция, 2009), "16-й Международный семинар по физике высоких энергий "Кварки-2010"' (Коломна, 2010), "International

School On Strings And Fundamental Physics - SFP-10" (Мюнхен, Германия, 2010), "International School of Subnuclear Physics 2012" (Эриче, Италия, 2012).

По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ в ведущих зарубежных реферируемых научных журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 132 странцы, включая 8 рисунков и 4 таблицы. Список литературы содержит 123 библиографические ссылки.

Содержание работы

Во введении приводится описание некоторых существующих непертурбативных методов изучения квантовой хромодина-мики (КХД), а также обзор дуальных моделей, послуживших основой голографическому подходу к изучению КХД. Затем описывается действие голографических моделей, используемых в диссертации.

В главе 2 исследуются на самосогласованность модели AdS/QCD с "мягкой" и "жесткой" стенками. Для этого используются так называемые низкоэнергетические теоремы КХД, являющиеся следствием аксиальных тождеств Уорда. В общем случае они формулируются для двух-, трех- и четырехточечных корреляционных функций, в работе же исследуется случай двух-

точечных корреляторов:

: у аАх<1Ау (бу-ЗДЗД - Рг(хЩ(у)} = Г"2 А П2

87Г2

2^.. /л л [тШР(Х>т) 2т2р(Х, т)'

У/—1 (Л2+ш2) (Д2 + ш2)2 г I г1'хс14у (ЗД.ЗД - 5г1Р0(х)Р0(у)) = -ЩВ2Ь7

г I (14хс14у (Р3(х)Р0(у)} = = 2(ти - т^т х

]

х У (Л2 + т2)2 - (ТОи - ^-щЗу-•

Левые части этих равенств представляют собой корреляторы скалярных и псевдоскалярных кварковых токов Р,-, где г, з - присоединенные индексы, отвечающие кварковым ароматам). Средние части равенств являются комбинациями различным параметров эффективного кирального лагранжиана КХД. Правые части содержат спектральную плотность оператора Дирака р(А, т), где т - среднее от масс легких кварков ти,т&, а также коррелятор плотности топологического заряда

В этой главе используется голографическая модель с метрикой Аз1 = —(—¿г2 + йхцсЫ1) и со следующим действием:

= I Л'х^-'и ОХ? + - -

Здесь ф - дилатон, чей профиль зависит от выбора конкретной модели. В так называемой модели с жесткой стенкой ф{г) = 0, к = 0, и пятимерное пространство Ас18 имеет границу = гт. В моделях с мягкой стенкой профиль дилатона асимптотически параболический:

ф(г) ~ Хг2, г со.

Вводятся два калибровочных поля Ь^я Я^в присоединенном представлении калибровочных групп и 5С/(А^/)^ соответственно, имеющие напряженность = (1Ь—1Ь/\Ь, Рц = = <Ш — гВ, АЛ, дуальные левому и правому кварковым токам КХД, а также скалярное поле Ха'6 в бифундаментальном представлении ¿'{/(АГ/)/, х БИ{N^¡1, дуальное скалярному кварковому току.

Для проверки низкоэнергетических теорем в первой части главы 2 вычисляются корреляторы скалярных и псевдоскалярных токов. В соответствии с предписанием дуальных моделей, производящий функционал квантовой теории поля эквивалентен экспоненте действия голографической теории на классической траектории, а источники операторов приравниваются к ненор-мируемым модам классических решений для многомерных полей. Поэтому двухточечные корреляционные функции токов вы-

числяются как вторые вариации пятимерного действия по модам соответствующих полей. Для псевдоскалярных токов, менее чувствительных к форме четвертичного потенциала поля X в пятимерном действии, мы используем модель с жесткой стенкой и при нулевом импульсе имеем

г (РМРМ) = й А

I / ь

1 1

У этого выражения есть полюс — ос —т при нулевой массе тт

т т1

из-за обмена пионом. В случае двух ароматов кварков с различными массами

г (Д(0)Р.,(0)) = - + ^О^Зг ~ ~

где Ат = ти — га^, С - киральный конденсат,

[(дадр) = = С6аР].

Для вычисления корреляторов скалярных токов важна форма потенциала У(Х) = модели AdS/QCD с мягкой

стенкой. Для скалярных токов при нулевом импульсе получаем:

¿(5,(0)5,(0)) = ^ {¿АЛГ^о + ¿гп^КЛ, + +

3 2 дГ Л 2 , /2тг2Се2

32тг2 с\ 3 V К. \1Х " 2

где Ао = 0.377, Ах = 0.977, А2 = -1.487.

Во второй части главы 2 действие пятимерной модели интерпретируется как расширение кирального лагранжиана. Дей-

ствительно, так как пятимерные поля на границе являются источниками токов КХД, которые в свою очередь являются источниками соответствующих мезонов, можно разложить пятимерные поля по калуца-клейновским модам и получить эффективное действие для коэффициентов, являющихся четырехмерными полями. Интересующий нас пион является модой мнимой части скалярного поля и продольной компоненты аксиально-векторного поля. Члены кирального лагранжиана в порядке, следующем за лидирующим, имеют вид

Ьх\х (д^д^и)2 + Ь21т (дйи%и) Тг (д^дии) +

(д^д^ид^д^и) + ьмп^гги^и^х + хЩ

В голографической модели слагаемые такого вида происходят из трех источников: четвертичной части действия Янга-Миллса, содержащей продольную компоненту аксиально-векторного поля,

■V = [ £х-^-гЪегёед11фад1/фьд»фсд1/ф'1, У

из квадратичной части того же действия

[ (15Х~- X I д,Афад»дгфа

У 2

и из кинетического члена мнимой фазы скалярного поля I ¿г (д2хе3а2г3 х ^ с1Ах ^ д^ф^ .

В результате удается выразить коэффициенты Ь2, че-

рез параметры модели, такие как с/5, о ос С,гт,дх■ При этом

между ними выполняются соотношения

L3 = —3^2 = ~~ 6Li.

В третей части главы 2 предложен способ вычисления спектральной плотности оператора Дирака р{А) в дуальных моделях. В то время как корреляционные функции получаются из голографического действия непосредственно, прямой подход в случае оператора Дирака невозможен из-за его фермионной природы. Тем не менее, спектральную плотность удается выразить через грассманов детерминант оператора Дирака, эквивалентный определенному континуальному интегралу. Затем применяется тлі. метод реплик, заключающийся в том, чтобы переписать логарифм некой величины как производную по числу ее копий: In х = lim Jf-xn. С его помощью удается выразить кон-

п-+о

тинуальный интеграл через ехр [¿¿»дстэ+яЛо^ДА, /і, п, т)] - статистическую сумму КХД с ЛГ/ ароматами кварков массы т. Теория дополняется полями-духами, представляющими собой п • Nf кварков с комплексной массой Х + і^.В результате

р(А) = Яе ^——П+дковгв Т^Здсп+дІїозІз + + ^ О а ^дсд+д/іо^я )

дцдп ) Іі=п=0

Этот рецепт непосредственно применим в голографических моделях. В частности, в Асів/ОСО с "жесткой стенкой" следует расширить калибровочную группу до

(¿¡и(И/)II х в бифундаментальном представлении

которой находится скаляр X. В соответствии с гол ©графическим предписанием действие такой теории интерпретируется как SQCD+ghosts(^,¡¿,п,т), что вкупе с известной формулой, описывающей зависимость кваркового конденсата КХД Е(то) = от массы кварков, дает

р(А) = -¿ПО] Л

32(0) -

4NfTr2F£

Полученная формула удовлетворяет тождеству Кэшера-Бэнкса, второй член разложения воспроизводит с точностью до множителя ОС Nf — 4 известное соотношение

р^о) т Р(0) П "

В четвертой части главы 2 обсуждается выполнение низкоэнергетических теорем в дуальных моделях. Устанавливается, что простейшие модели AdS/QCD удовлетворяют этим соотношениям в главном порядке по массе легких кварков т.

Глава 3 посвящена изучению кирального магнитного эффекта (КМЭ) в модели AdS/QCD с мягкой стенкой. Кираль-ный магнитный эффект наилучшим образом описывается как порождение электрического тока магнитным полем на фоне топологически нетривиальной конфигурации калибровочных полей. Предположим, что в КХД с безмассовыми кварками имеется ненулевой химический потенциал /¿5, имитирующий наличие топологически нетривиального фона. Эта нетривиальная конфигурация ведет к несохранению киральности, а внешнее магнитное поле В упорядочивает спины вдоль своего направления.

Таким образом появляется ненулевой векторный ток, величина которого дается выражением

у _ 11ьВ

^ ~ ъё'

Для учета внешнего поля действие голографической модели дополняется членом Черна-Саймонса

5 = вумЩ + БумЩ] + Зсз[Ц -

При этом внешнее магнитное поле входит множителем в кубический член Черна-Саймонса, делая его эффективно квадратичным по динамическим полям. Химические потенциалы учитываются как временные компоненты калибровочных полей. В соответствии с голографической прескрипцией вакуумные средние токов КХД получаются варьированием пятимерного действия на классической траектории по соответствующим граничным значениям.

Во второй части главы 3 обсуждается вопрос, учитывают ли действия Янга-Миллса и Черна-Саймонса все вклады, необходимые для вычисления токов. В литературе встречаются случаи, когда к действию необходимо добавить т.н. бардинов-ский контрчлен, который в общем случае зануляет дивергенцию векторного тока в присутствии переменных векторных и аксиальных полей в теории. Учет такого контр члена обнуляет и ток КМЭ.

Существует и еще один член действия, который может вно-

сить вклад в ток. Дело в том, что в теории с границей член Черна-Саймонса не является калибровочно-инвариантным, и ее необходимо дополнить двумя скалярными полями, компенсирующими этот эффект. Их разность естественным образом интерпретируется как пион в определенной калибровке, и в силу граничных условий они пропорциональны лево- и правокиралыюму химическим потенциалам.

В конце главы 3 указывается, что постоянный кираль-ный химический потенциал нельзя считать эквивалентным временной компоненте, вообще говоря, переменного аксиально-векторного поля, так как они преобразуются существенно разным образом под действием калибровочной группы. Таким образом, бардиновский контрчлен не должен учитываться в расчетах в голографических моделях. При этом стандартные члены действия и скалярный сектор дают результат для тока, совпадающий с током в режиме слабой связи:

УФ

и 2тг2"

Хотя величина тока в модели зависит от присутствующих в ней скаляров, они лишь дополняют действие Черна-Саймонса, и величина их вклада определяется этим действием. Делается вывод, что киральный эффект в модели имеет полностью топологическую природу.

В главе 4 исследуется вклад КХД в электрическую (де-баевскую) и магнитную массы экранирования фотона в кварк-глюонной плазме во внешнем магнитном поле. Обычным спосо-

бом вычисления масс экранирования является изучение инфракрасного поведения поляризационного оператора фотона, отвечающего запаздывающей функции Грина:

к) = j d*X {Jfi(0)Jv(X))ret

где eq - заряд по отношению к электромагнитному току J. Электрическая и магнитная массы экранирования определяются как

m2D = e^n00(w = 0, к2 = -т%),

ml Mag = 0, k = -ml).

Мы изучаем вклад КХД в массы экранирования при температурах выше, чем температура фазового перехода конфайнмент-деконфайнмёнт, но недостаточно высоких для пертурбативного рассмотрения КХД (1 ГэВ >Т> 200 МэВ йТс~ Aqcd), используя модель AdS/QCD на фоне черной дыры. В ней метрика объемлющего пространства отвечает шварцшильдовской черной дыре в AdSs:

is2 = £ (-Wr)ih + d»s) + ^J^ry Шг) = 1 - %

г = оо отвечает границе AdS, а радиус черной дыры г0 связан с температурой плазмы: Т =

В действии модели присутствуют член Янга-Миллса и член Черна-Саймонса калибровочных полей. При этом последний отвечает за внешнее магнитное поле, эффективно превращая все действие в квадратичное. Величина поляризационного оператора определяется второй вариацией пятимерного действия по граничным значениям векторного поля. При нулевом магнитном

поле эта процедура дает результат для дебаевской и магнитной массы, аналогичный однопетлевой квантовой электродинамике.

При ненулевом внешнем поле анализ тройного взаимодействия, порождаемого членом Черна-Саймонса, показывает, что оно сводится к смешиванию пространственной компоненты аксиально-векторного поля и временной компоненты векторного поля, и наоборот. Решение системы уравнений Эйлера-Лагранжа для этого действия с последующим взятием второй вариации по временной компоненте граничного векторного поля дает величину дебаевской массы при любом внешнем магнитном поле:

° д з у 2 2 У тг4Т4 I '

где

р( ) = 2Г (1 — и/2) Г (3/2 + и/2) {) Г(1 + г//2) Г (1/2 — г//2) ' В пределе едВ » Т2 дебаевская масса оказывается линейной по магнитному полю в хорошем соответствии с результатом, полученным в КЭД в режиме слабой связи:

™2П =

Зависимость массы от магнитного поля изображена на графике на рис. 1 и полностью определяется действием Черна-Саймонса.

Вычисление магнитной массы экранирования вполне аналогично вычислению электрической; магнитная масса зануляется во всех порядках по полю, что опять же совпадает с результатом КЭД.

Р

Рис. 1. Функция Р = ^ + IV 1 - (сплошная линия) и ее асимп-

тотика при сильных магнитных полях (пунктирная линия)

Отдельно в конце главы 4 обсуждается случай низких температур в голографических моделях. Когда температура Т приближается к масштабу А^с/л, геометрия этой области может радикально изменяться, проходя через фазовый переход Хокинга-Пейджа, соответствующий фазовому переходу конфайнмент-деконфайнмент в КХД. В модели Асй/С^СБ с жесткой стенкой при температуре ниже, чем Тс ~ Адсп, граничные условия приводят к занулению как электрической, так и магнитной массы. Этот результат сильно зависит от типа граничных условий, которые накладываются в инфракрасной области, поэтому последовательное исследование фазы конфайнмента возможно лишь в киральной теории возмущений.

В главе 5 исследуется магнитная восприимчивость и на-

магниченность кваркового конденсата в модели Ас^/С^СБ, дополненной тензорным полем. Восприимчивость X является мерой индуцированного тензорного тока в КХД. Вычисление кваркового детерминанта на фоне тензорного источника показывает, что магнитная восприимчивость связана с членом особого вида в киральном лагранжиане

8Ьх = -1-хШВ^Чг (и+Ц*),

где В/ш - тензорный источник, - электромагнитная напряженность, и - пионная матрица. В расширенной голографиче-ской модели КХД тензорный источник четырехмерной теории превращается в пятимерное тензорное поле, которое ставится в соответствие тензорному кварковому току. Действие модели имеет вид

~ 2дв ~ ВммНрдк) + тв\В\2\ +

+ ^(Х+РЬВ + ВРЛХ+ + с.с.)|.

Метрика модели та же, что и в простой модели с жесткой стенкой. Коэффициенты в действии зафиксированы операторным разложением корреляционных функций различных токов, массы т2х = —3/£2, тв — 2/£ определяются спином и размерностью операторов.

Уравнения движения модели в постоянном однородном магнитном поле описывают смешивание тензорного и скалярного

полей (а также их псевдоскалярной и псевдотензорной частей), пропорциональное внешнему полю. Одноко при решении вариационной задачи в соответствии с голографическим предписанием необходимо учитывать комплексную самодуальность антисимметричного тензорного поля ВИз-за нее половина степеней свободы В^ не являются независимыми. Тензорный и скалярный конденсаты получаются путем варьирования пятимерного действия по ненормируемым модам скалярного и тензорного полей. Отношение конденсатов представляет собой намагниченность кваркового конденсата /¿(а) = ^_^ , а производная намагниченности - магнитную восприимчивость х(В) =

— //(В). Зависимость этих двух величин от магнитного поля (£В

представлена на рис. 2 и 3.

Их главными свойствами является то, что

Ит „(В) = -УМ.

В—юо дх

и

Намагниченность меняет свое поведение с линейной зависимости по магнитному полю на константу при величинах магнитного поля порядка В ~ ~ АдСп. Ее константная асимптотика является вполне ожидаемым поведением, так как в сильных полях теория становится эффективно двумерной, и тензорный киральный конденсат кинематически сводится к скалярному. В соответствии с этим магнитная восприимчивость при нулевом

Рис. 2. Намагниченность /¿(В) в единицах (непрерывная линия) и ее асимптотика в сильном магнитном поле (пунктирная линия). Магнитное поле дано в единицах г~2 х ЗХу^

поле является отрицательной величиной и обращается в нуль при больших магнитных полях. Полученные в этой главе результаты справедливы во всех порядках по магнитному полю.

Глава 6 посвящена вычислению эффектов ненулевого глюонного конденсата (а',51г(С2)) в фазовом переходе Гросса-Оогури в корреляторе петель Вильсона. С точки зрения дуальных теорий этот конденсат описывается нетривиальным профилем дилатона

ф = ф0 + ф4г* + ...,

где г - радиальная голографическая координата. Одной из моделей с подобным профилем является модель Лиу-Цейтлина с

Рис. 3. Магнитная восприимчивость кваркового конденсата х(В) в единицах ,2 V А

~9х

метрикой

£2

<к2т\*ь- = ^у/КГ^вяГйхр 4- йг2 + г2<т\) и дилатоном

еф = дак-1, /1-1 = 1 + где А связана с константой связи 'т Хоофта в теории поля, £А = = 41г9зМса>2, ф4 = 1 =

Вакуумное среднее петель Вильсона в голографических теориях вычисляется при помощи предписания Малдацены -на вильсоновский контур на границе пятимерного пространства (х'\ ^ = 0) натягивается струнная поверхность минимальной площади, определяемая по действию Намбу -Гото в струнном

формализме

Агеа(С) = 5лг о = ¿7 J <12ал/д,

где д -наведенная двумерная метрика на мировой поверхности. Тогда

(И'(С)) = е~Аге<с1

Коррелятор произвольного числа петель Вильсона соответствует минимальной поверхности, имеющей своей границей эти виль-соновские контуры.

В случае двух параллельных петель Вильсона равного радиуса Я, разделенных расстоянием I в поперечном направлении, поверхность бывает двух типов: связная и несвязная. То, какая из них будет иметь минимальную площадь, зависит от соотношения между Я и I: при малых расстояниях между петлями выгоднее связная поверхность, но при достижении критической величины I — 1С несвязное решение становится предпочтительным, и таким образом коррелятор петель испытывает фазовый переход первого рода - фазовый переход Гросса-Оогури. При еще больших расстояниях I > I* решение с минимальной площадью перестает существовать.

В чистом пространстве А(18ь х 1С = 0.91 Я,

= 1.04Я. В пространстве с дилатоном удается найти поправки к этим значениям, решив уравнения Эйлера-Лагранжа для действия Намбу-Гото по теории возмущений по ф^Я4 в предположении, что Я -С А осп- Сдвиг величины 1С численно равен

1С1 = (6.05 ± 0.06) х 10~2ф4Я5.

Таким образом, мы обнаруживаем, что присутствие глюонного конденсата уводит точку фазового перехода Гросса-Оогури к большим расстояниям между петлями, что вполне естественно, так как присутствие конденсата увеличивает площадь несвязной поверхности.

В заключении подводятся основные итоги работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Р. N. Kopnin, "Low-energy theorems and spectral density of the Dirac operator in AdS/QCD models," Phys. Rev. D80, 126005 (2009).

[2] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. V. Zayakin, "On the Chiral Magnetic Effect in Soft-Wall AdS/QCD," Phys. Rev. D83, 014023 (2011).

[3] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, "Anomalous QCD Contribution to the Debye Screening in an External Field via Holography," Phys. Rev. D83, 066012 (2011).

[4] P. N. Kopnin, A. Krikun, "Wilson loops in holographic models with a gluon condensate," Phys. Rev. D84, 066002 (2011).

[5] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, A. Vainshtein, "More on the Tensor Response of the QCD Vacuum to an External Magnetic Field," Phys. Rev. D85, 086006 (2012).

Подписано к печати 23.04.13 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ.л. 1,63 Уч.-изд. л.1,3 Тираж 100 экз. Заказ 584

_Индекс 3646_

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

Федеральное Государственное Бюджетное Учреждение "Государственный Научный Центр Российской Федерации — Институт Теоретической и Экспериментальной Физики" им. А. И. Алиханова

Копнин Петр Николаевич

Голографические модели

квантовой хромодинамики в области сильной связи

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

04201358361

ДИССЕРТАЦИЯ

Москва 2013 г.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук А. С. Горский, ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ (г. Москва).

Официальные оппоненты:

член-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук А. Ю. Морозов,

ФГБУ ГНЦ РФ ИТЭФ (г. Москва);

доктор физ.-мат. наук О. В. Теряев,

ОИЯИ (г. Дубна).

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН (г. Москва).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту kopnin@itep.ru.

V

Оглавление

Список иллюстраций 7

1 Введение 9

1.1 Непертурбативные методы квантовой хромодинамики ... 12

1.1.1 Правила сумм в квантовой хромодинамике ..........12

1.1.2 Численное моделирование КХД........................14

1.1.3 1/Лгс - разложение........................................16

1.2 Дуальность между калибровочными полями и струнами . . 17

1.2.1 Ас18/СРТ-соответствие для N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса............................18

1.2.2 £>3/1)7-модель суперсимметричной N = 2 теории Янга-Миллса..............................................21

1.2.3 Модель Сакаи-Сугимото................................22

1.3 Голографические модели квантовой хромодинамики .... 24

1.3.1 Действие пятимерных голографических моделей . . 25

1.3.2 Результаты, полученные в рамках пятимерных моделей ......................................................26

2 Низкоэнергетические теоремы КХД и спектральная плотность оператора Дирака 29

2.1 Двухточечный коррелятор псевдоскалярных и скалярных токов ..............................................................31

2.1.1 Псевдоскалярные токи..................................31

2.1.2 Скалярные токи..........................................34

2.2 Эффективный низкоэнергетический киральный лагранжиан четвертого порядка............................................39

2.2.1 Низшая калуца-клейновская мода поля ф......40

2.2.2 Параметры кирального лагранжиана Ьг, Ь2 и . . 44

2.2.3 Каноническая нормировка поля ф и параметр ки-

рального лагранжиана ................45

2.3 Спектральная плотность оператора Дирака.........46

2.3.1 Спектральная плотность в модели Ас18/(5СВ с жесткой стенкой................................................48

2.4 Выполнение низкоэнергетических теорем......................51

3 Киральный магнитный эффект в модели АсШ/С^СВ с мягкой стенкой 55

3.1 Действие калибровочных полей в модели Аёв/С^СР .... 57

3.1.1 Симметрийные токи модели..............60

3.1.2 Дивергенция векторного тока.............62

3.1.3 Бардиновский контрчлен................................63

3.2 Скалярный и псевдоскалярный секторы модели.......64

3.2.1 Кинетический член и потенциал............64

3.2.2 Действие Черна-Саймонса со скалярами.......66

3.2.3 Обсуждение роли бардиновского контрчлена и вклада скаляров в литературе................69

3.3 О динамической нейтрализации ¡л5 ............................71

3.4 Обсуждение........................................................73

4 Аномальный вклад КХД в дебаевское экранирование во внешнем магнитном поле в голографической модели 75

4.1 Фаза деконфайнмента, В = 0 ..................................77

4.2 Фаза деконфайнмента, В ф 0....................................81

4.2.1 Действие модели..........................................81

4.2.2 Диагонализация..........................................81

4.2.3 Случай низких температур в голографии ......87

4.3 Фаза конфайнмента..............................................87

4.4 Обсуждение........................................................89

5 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата в модели АсШ/С^СВ с тензорным полем 91

5.1 Смешанный член в киральном лагранжиане.........93

5.2 Расширенная голографическая модель............94

5.3 Векторный ток в присутствии тензорного источника .... 97

5.4 Уравнения движения и смешивание скалярных и тензорных полей..........................................................97

5.5 Решение и граничные условия на тензорное поле......99

5.6 Намагниченность, магнитная восприимчивость и их зависимость от внешнего поля ...................100

6 Вильсоновские петли и фазовый переход Гросса—Оогури

в присутствии глюонного конденсата 105

6.1 Нормировка поля дилатона...................107

6.2 Переход Гросса-Оогури в корреляторе двух петель ВильсонаНО

6.3 Уравнения движения и граничные условия на минимальную поверхность.........................113

6.3.1 Решение нулевого порядка в различных координатных системах.......................113

6.3.2 Классическое действие на уравнениях движения . . 116

6.4 Численные результаты: сдвиг точки фазового перехода . .117

7 Заключение 119 Литература 121

Список иллюстраций

2.1 Графики функций /0(х) (красный), fi(x) (зеленый), /2(х)

(синий) и ехр(—>сх) (черный)..................38

3.1 Символическое изображение кирального магнитного эффекта. Заимствовано из: Arata Yamamoto, Led. Notes Phys. 871 387-397 (2013)........................ 56

— ill/ 9e t> i

4.1 Функция F = F I — 2 + 2 V 1 — ж4т4 ) (сплошная линия) и

ее асимптотика при сильных магнитных полях (пунктирная линия)............................. 85

4.2 Поправка к поляризационному оператору фотона во внешнем поле в киральной теории возмущений........... 88

5.1 Намагниченность /л(В) в единицах -^р- (непрерывная линия) и ее асимптотика в сильном магнитном поле (пунктирная линия). Магнитное поле дано в единицах z~n2 х 9Хл^ 101

5.2 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата х(В)

в единицах z^ х ф- .......................102

6.1 Схематическое изображение мировых поверхностей минимальной площади, отвечающих связному (а, с) и несвязному (b, d) решениям. Зеленым выделены поверхности с наименьшей площадью (a, d). Голографическая координата г не отображена........................111

6.2 Обмен гравитационными модами между двумя поверхностями, натянутыми на вильсоновские контуры на границе AdS................................112

Глава 1

Введение

Изучение квантовой хромодинамики (КХД) при низких энергиях традиционно сопряжено с трудностями. Рост эффективной константы связи а8 на масштабах, приближающихся к Аде о ~ 200 МэВ, делает низкоэнергетическую КХД теорией с сильной связью, и ее исследование пер-турбативными методами невозможно. Поэтому до сих пор не существует способа вывести КХД при низких энергиях из ее лагранжиана, записанного в терминах кварков и глюонов:

Сдсо = С^ + £ & {гЬ - т}) qf + Лг С^&Г (1.1)

Здесь = д^Аи — диА^ + гд [А^, Д,] - напряженность поля глюонов

А*' ^^ = рСЛр, д - кварковый биспинор, / - аромат кварка, Г) = £

д2

■у'1 (дц — гдА- ковариантная производная, д - константа связи, а3 = —,

гп} - масса кварка, в - вакуумный угол.

Это приводит к необходимости использования эффективных действий и различных непертурбативных методов. Самосогласованное низкоэнергетическое описание КХД необходимо для изучения свойств кварковой материи, образующейся в экспериментах по столкновениям тяжелых ионов (например, эксперименты на Коллайдере Релятивистских Тяжелых Ионов в Национальной Лаборатории Брукхейвена, Нью-Йорк, США) и для вычисления радиационных поправок к сечениям рождений и ширинам распадов частиц на ускорителях (таких как Большой Адронный Коллайдер в ЦЕРН, Женева, Швейцария). Построение полной фазовой диаграммы

вакуума КХД при различных температурах, химических потенциалах и во внешних магнитных полях позволит пролить свет на свойства экзотических состояний вещества, должно способствовать пониманию различных экзотических космологических объектов, таких как нейтронные звезды, а также восстановлению картины ранних моментов вселенной.

Самым современным непертурбативным методом описания сильносвязанных теорий Янга-Миллса является дуальность калибровочных полей и струн. В рамках этой дуальности конформной теории поля в четырехмерном пространстве ставится в соответствие некая теория суперструн (супергравитации) в многомерном пространстве анти-де Ситтера (Ас18). На основе этого построения были разработаны голографические модели, позволяющие исследовать низкоэнергетическую КХД путем сопоставления ее эффективного действия и квазиклассического действия некой гравитационной теории. Тем не менее окончательный вид этой теории до сих пор не установлен, и уточнение ее геометрии и состава полей имеет первостепенную значимость. На данный момент существует несколько голографических дуальных моделей, доработка которых в перспективе может привести к полной дуальной теории КХД, и поэтому проверка этих моделей на самосогласованность представляется очень важной задачей. Данная диссертация посвящена сравнению результатов, полученных в рамках голографических моделей АсШ/С^СВ, с результатами других непертурбативных методов.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены выражения для коэффициентов и Ь4 кирально-го лагранжиана при членах четвертого порядка по импульсу методами

лаэ/дсБ.

2. Предложен способ вычисления спектральной плотности оператора Дирака, применимый в дуальных моделях. С его помощью получено выражение для спектральной плотности в модели АёБ/С^СБ с жесткой стенкой.

3. Установлено выполнение низкоэнергетических теорем КХД в главном порядке по массе легких кварков в голографических моделях.

4. Вычислена величина тока, возникающего в результате кирального магнитного эффекта в модели ЛсШ/С^СБ с мягкой стенкой. Показано, что при этом нужно учитывать вклад скалярного сектора модели.

5. Исследован вклад квантовой хромодинамики в дебаевскую и магнит-

ную массы экранирования фотона при температуре выше температуры деконфайнмента в сильных магнитных полях.

6. Вычислены намагниченность и магнитная восприимчивость кварково-го конденсата в магнитных полях любой величины в модели Аёв/С^СБ, дополненной тензорным полем.

7. Аналитически исследованы свойства фазового перехода Гросса-Оогури в присутствии глюонного конденсата.

Текст диссертации организован следующим образом:

Во введении дан обзор некоторых существующих непертурбативных методов квантовой хромодинамики (КХД), дано краткое описание АсШ/ ОРТ-соответствия, его адаптации для описания теорий с меньшей или отсутствующей суперсимметрией, на основе которого формулируются голографические модели КХД, а также дан краткий обзор таких моделей.

В главе 2 исследована совместность голографических моделей Ас1Э / С^СБ с низкоэнергетическими теоремами КХД. Кроме того, предложен голографический метод вычисления спектральной плотности оператора Дирака, который затем применяется в модели Аёв/С^СБ с жесткой стенкой.

В главе 3 вычислен киральный магнитный эффект в модели Аёв/ С^СБ с мягкой стенкой, и с учетом члена Черна-Саймонса получено выражение для векторного тока. При учете скалярного сектора выражение для тока совпадает с полученным в режиме слабой связи.

В главе 4 изучается вклад КХД в электрическую (дебаевскую) и магнитную массы экранирования фотона в кварк-глюонной плазме во внешнем магнитном поле при конечной температуре, и устанавливается зави- * симость от температуры и поля дебаевской массы в модели Ас18/(^СВ.

В главе 5 обсуждаются магнитная восприимчивость и намагниченность кваркового конденсата в модели Ас^/С^СБ, дополненной тензорным полем. В этой модели исследуется поведение намагниченности и магнитной восприимчивости в сильных магнитных полях.

В главе 6 вычислены эффекты глюонного конденсата в фазовом переходе Гросса-Оогури в корреляторе петель Вильсона при достаточно малом размере петель.

В заключении обсуждаются полученные результаты.

1.1 Непертурбативные методы квантовой хро-модинамики

1.1.1 Правила сумм в квантовой хромодинамике

Одним из наиболее полезных для теоретического описания свойств ад-ронов непертурбативных методов КХД стали так называемые правила сумм. Они позволяют записать корреляционную функцию в терминах конденсатов КХД, то есть вакуумных средних некоторых операторов, с одной стороны, и параметров (масс и констант связи) адронов с другой (см. например [1]).

В 1969 г. Кеннетом Вильсоном было предложено операторное разложение для двухточечного оператора [2]

Ъав{х) = 1Т{э\х)^в{Ъ)} = ^СпВ{*)Оп{Ъ), х^О, х2 < О,

п

(1.2)

где Оп - набор локальных операторов, а САВ(х) - коэффициентные функции, вычисляемые по теории возмущений. Они имеют каноническую размерность, дающую в сумме с размерностью оператора Оп сумму размерностей токов ]А и ]в. Таким образом, вклады больших и малых расстояний в корреляционную функцию факторизуются: малые расстояния дают коэффициентные функции, в то время как большие - в операторы (или их матричные элементы). Доказательство справедливости операторного разложения дано Циммерманом в [3].

Приведенное выше операторное разложение следует дополнить процедурой перенормировки. Включение точки перенормировки /л означало бы, что интегрирование по степеням свободы с импульсами, большими ц, вносит вклад в коэффициентные функции САВ, а с импульсами, меньшими /л, - в операторы Оп. Если коррелятор токов ]А. ув является физической наблюдаемой, то зависимость от ц в сумме сокращается, хотя это

будет лишь приближенным свойством в том случае, если мы рассматриваем конечное число слагаемых.

Вакуумные матричные элементы операторов в правой части (1.2) -вакуумные конденсаты - являются параметрами порядка определенного фазового перехода (или нескольких переходов), происходящего при температуре Тс. При температурах выше Тс конденсаты исчезают, что сопровождается восстановлением симметрий. К таким симметриям относится киральная симметрия, при которой отдельно преобразуется лево-и правокиральные кварки, являющаяся симметрией лагранжиана КХД (1.1) при пренебрежении массами кварков (что соответствует процентной точности). Спонтанное нарушение киральной симметрии имеет своим параметром порядка кварковый (киральный) конденсат {(¡адь), где а, Ь - кварковые ароматы, диагональный по этим индексам и обладающий наименьшей размерностью из всех конденсатов КХД. Конденсаты и- и ¿¿-кварков равны (если не учитывать различие их масс и эффект электромагнитных взаимодействий):

(ии

= (М) = - (255 МеУ)3 . (1.3)

Конденсат (ее) отличается от них на 20%. Часто рассматриваются и другие конденсаты, нарушающие киральность и имеющие большую размерность.

Среди конденсатов, сохраняющих киральность, наиболее важным является глюонный - ^—- Ьг С. Его существование было впервые указано в [4],

2 гу \

-^ггС^") = 0.012 СеУ4. (1.4)

Этот конденсат, кроме того, определяет вакуумную плотность энергии КХД, а также является параметром порядка спонтанного нарушения масштабной инвариантности.

Можно также рассматривать конденсаты во внешних полях. В частности, в постоянном электромагнитном поле в линейном приближении

(я^сг^я/)\р = . (1.5)

Этот конденсат относится к нарушающим киральную инвариантность.

Правила сумм КХД были предложены Шифманом, Вайнштейном и Захаровым [4] для вычисления масс и констант связи легких мезонов, а

позже расширены на массы барионов и адронные формфакторы. В случае двухточечной корреляционной функции (1.2) мы можем рассмотреть ИЛВ(д2) при больших О1 = — д2 и использовать для нее операторное разложение. С другой стороны ее же можно выразить через вклады физических состояний посредством дисперсионного соотношения

Корректный подход требует вычитаний в дисперсионном соотношении, соответствующих ультрафиолетовой регуляризации в вычислениях пер-турбативных вкладов в операторное разложение. Кроме того, ряд операторного разложения по <5 2 должен быстро сходиться. Наконец, если мы хотим выделить вклад только низшего адронного состояния в мнимую часть поляризационного оператора, он обязан быть доминирующим по сравнению с вкладами возбужденных. Предложенное в [4] использование преобразования Бореля обеспечивает выполнение этих условий в некотором диапазоне по <52, в котором улучшается сходимость операторного разложения и одновременно подавляются вклады тяжелых состояний.

1.1.2 Численное моделирование КХД

До недавних пор одним из немногих способов изучения низкоэнергетической КХД было численное моделирование на решетках - см. например изложение в [5]. При большой константе связи массы элементарных частиц или их связанных состояний становятся сравнимыми с параметром и для восстановления локальной непрерывности Вильсоном было предложено следующее решение [6]. Пространство-время заменяется на решетку дискретно расположенных точек. Легче всего это сделать в евклидовом пространстве-времени. При этом для приближенного вычисления евклидовых корреляционных функций можно использовать функциональный интеграл по полям на решетке. У такой теории может быть хорошо определенный предел сильной связи.

В качестве переменных дискретной теории было предложено использовать вильсоновские линии

оо

О

Произведение линий по замкнутому контуру дает калибровочно - инвариантную величину. Для них справедливо следующее поведение

где Агеас - площадь поверхности, натянутой на замкнутый вильсонов-ский контур.

Этот результат можно переосмыслить в случае пары кварк-антикварк, разделенной в пространстве расстоянием Ь