Непертурбативное исследование инфракрасного поведения глюонных функций Грина и свойства глюонного вакуума квантовой хромодинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Государственный научный центр Российской Федерации

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ • п * "

----- < ,''> - - : ' На правах рукописи

......, ..............71 ............'

..... С С.-'-"' ^

Алексеев Алексей Иванович

НЕПЕРТУРБАТИВНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФРАКРАСНОГО ПОВЕДЕНИЯ ГЛЮОННЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА И СВОЙСТВА ГЛЮОННОГО ВАКУУМА КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКИ

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 1998

Содержание

Введение 5

1 Глюонный сектор квантовой хромодинамики в аксиальной калибровке 11

1.1 Лагранжиан поля Янга - Миллса и выбор калибровки . 11

1.2 Функции Грина глюона..........................18

1.3 Уравнения Швингера и Дайсона......................22

1.4 Калибровочные тождества Славнова - Тейлора ..... 26

1.5 Функции Грина в импульсном представлении ...... 28

2 Асимптотическое решение уравнения Дайсона — Швингера для глюонного пропагатора 32

2.1 Свойства точного уравнения Дайсона - Швингера для глюонного пропагатора в аксиальной калибровке .... 33

2.2 Обобщенная прескрипция для аксиальных сингулярностей 40

2.3 Рекуррентный алгоритм вычисления фейнмановских интегралов в аксиальной калибровке............ . 45

2.4 Асимптотическое решение уравнения Дайсона - Швингера для глюонного пропагатора в инфракрасной области 48

3 Исследование замкнутого уравнения для глюонного пропагатора (подход Бейкера — Болла - Захариазена) 57

3.1 Замкнутое интегральное уравнение для глюонного пропагатора ........................... 59

3.2 Одномерное перенормированное интегральное уравнение 61

3.3 Характеристическая функция для степенного инфракрасного поведения глюонного пропагатора.......... 64

3.4 Исследование характеристического уравнения А (с) = 0 . 69

3.5 "Аналитизация" и "замораживание" .......... . 75

3.6 Анализ неперенормированного уравнения ......... 80

4 Модель бегущей константы связи КХД с динамической массой и усилением в инфракрасной области 85

4.1 <5«(</2) и принцип минимальности непертурбативных вкладов в ультрафиолетовой области ........... 85

4.2 Глюонный конденсат и масштаб непертурбативных явлений ............................ ... 89

4.3 Глюонный конденсат и плотность энергии вакуума ... 94

4.4 Интегральные оценки в инфракрасной области ..... 98

5 Классическая теория поля для эффективного лагранжиана

5.1 Уравнения движения . ...................

5.2 Тензор энергии - импульса и плотность энергии поля . . 115

5.3 Сохраняющиеся цветовые токи.........................121

5.4 Абелевы решения полевых уравнений ........... 124

5.5 Неабелевы решения для параметризации Ву - Янга ... 125

5.6 Решения монопольного и дионного типов ......... 128

5.7 Решения полевых уравнений в виде рядов ........ 131

5.8 Хромоэлектрические решения полевых уравнений .... 133

6 Цветная пробная частица в неабелевых полях и статические модели конфайнмента хромоэлектрических зарядов 138

6.1 Цветная пробная частица в неабелевом поле ....... 138

6.2 Частные случаи движения цветной частицы ....... 145

6.3 Статические абелевы решения с источниками ...... 153

6.4 Задача о сшивании статических сферически-симметричных неабелевых решений.....................157

6.5 Построение сшитого решения при наличии точечного внешнего источника........................163

6.6 Статические модели конфайнмента хромоэлектрических зарядов........................................................166

Заключение 173

Приложение А 179

Приложение Б 183

Приложение В 191

Библиография 196

Введение

Несмотря на зависимость функций Грина глюона от выбора калибровки исследование их свойств даже при отсутствии динамических кварков представляет значительный интерес, поскольку, с одной стороны, функции Грина являются основными объектами квантовой теории поля [1, 2], и свойства наблюдаемых величин могут в принципе быть найдены из свойств соответствующих функций Грина, а с другой стороны, именно глюонный сектор вследствие наличия нелинейного самодействия считается ответственным за качественное отличие квантовой хромодинамики [3, 4, 5] от других моделей теории поля.

Особый интерес представляет инфракрасная область, соответствующая большим расстояниям, в силу ее ответственности за механизм конфайнмента и недоступности развитым методам пертурбативного исследования. Изучению инфракрасного поведения глюонных функций Грина, и прежде всего пропагатора, посвящено много работ, однако в литературе отсутствует единое мнение о характере поведения глюон-ного пропагатора в инфракрасной области.

В качестве метода непертурбативного исследования глюонного пропагатора и других функций Грина представляется адекватным использовать уравнения Дайсона-Швингера, которые в значительной степени удается сделать замкнутыми с помощью калибровочных тождеств Славнова-Тейлора. При этом простота калибровочных тождеств делает привлекательным выбор аксиальной калибровки.

Поведение глюонного пропагатора вида ~ {ц2)~2-> Ц2 ~>> 05 со-

ответствующее усилению нулевых мод и обеспечивающее линейный конфайнмент кварков, является согласованным с уравнением Дайсона-Швингера для глюонного пропагатора. Кроме того, такое поведение служит основой при построении физически привлекательной картины вакуума квантовой хромодинамики как дуальной сверхпроводящей среды. Представляет интерес исследование согласованности с указанным

уравнением других обсуждаемых возможностей, например, слабосингулярного степенного поведения, гипотезы "замораживания" взаимодействия в инфракрасной области, "аналитизированного" поведения. Наблюдается интерес также к вопросу о том, насколько подавленными должны быть непертурбативные вклады в ультрафиолетовой области, где применима теория возмущений. Анализ важной физической величины - глюонного конденсата - позволяет делать некоторые выводы о поведении непертурбативных вкладов.

Указанному кругу вопросов посвящена одна часть предлагаемой диссертации. Другая часть диссертации является ее логическим продолжением, поскольку информация о поведении полных функций Грина позволяет сформулировать калибровочно-инвариантный эффективный лагранжиан для инфракрасной области и на его основе исследовать свойства глюонного вакуума квантовой хромодинамики. Эффективное действие, соответствующее указанному лагранжиану, по определению является функционалом от усредненного по квантовым флуктуациям классического неабелева калибровочного поля А°^а{х) в присутствии внешнего источника J<¡1{x).

Изучение классических уравнений движения поля для лагранжиана Янга - Миллса позволило обнаружить ряд новых нетривиальных решений — монополей, инстантонов, дионов, меронов и так далее. Представляет интерес рассмотреть, каковы решения однородных и неоднородных уравнений движения поля для эффективного лагранжиана. Поскольку в этом лагранжиане уже учтено квантовое самодействие глю-онов в инфракрасной области, задача о классических решениях может иметь прямое отношение к задаче о взаимодействии реальных цветовых зарядов на больших расстояниях.

Диссертация состоит из настоящего введения, шести глав, заключения и трех приложений.

И ттргтпхт гттятзр пячтат/гт яттття/пягг нрттрг»гплт'г»(чянпт;гт1н'пг,г1 тягг-ттАттгупяттт/гет

глюонного сектора квантовой хромодинамики, основанный на приближенном решении точных динамических уравнений квантовой теории поля — уравнений Дайсона - Швингера. Рассмотрены вопросы, связанные с выбором калибровочного условия и сделан выбор в пользу бездуховой аксиальной калибровки. Получены динамические уравнения для производящих функционалов функций Грина глюона, связных

функций Грина глюона, сильно связных функций Грина глюона, уравнение Дайсона - Швингера для глюонного пропагатора. Показана калибровочная инвариантность эффективного действия глюонного поля в аксиальной калибровке и найдены калибровочные тождества Славнова - Тейлора для сильно связных функций Грина в аксиальной калибровке до четырехточечной. Простота этих тождеств позволяет эффективно использовать следствия калибровочной инвариантности теории при решении уравнений Дайсона - Швингера, связывающих функции Грина глюона.

Во второй главе исследованы свойства точного уравнения Дайсона - Швингера для глюонного пропагатора в аксиальной калибровке в евклидовом импульсном пространстве. Исходя из калибровочных тождеств и свойств симметрии получена тензорная структура пропагатора, обратного пропагатора и отдельных членов поляризационного оператора. Показано, что однопетлевой член описывается тремя скалярными функциями при различных лоренцевых тензорных структурах, причем одна из структур является несимметричной. Двухпетлевой член описывается двумя скалярными функциями при различных тензорных структурах, одна из которых также является несимметричной. При этом несимметричные вклады однопетлевого и двухпетлевого членов в силу калибровочных тождеств должны сокращать друг друга.

В непертурбативных исследованиях уравнения для глюонного пропагатора с использованием аксиальной калибровки для доопределения аксиальных знаменателей 1/(кг])р (р = 1,2) обычно используют правило (прескрипцию) главного значения. Однако в этом случае формула декомпозиции, позволяющая избежать вычисление импульсных интегралов с четырьмя знаменателями, содержит дополнительные ¿-члены Пуанкаре - Бертрана. Поэтому мы вводим обобщенную прескрипцию (с-прескрипцию), которая в частных случаях совпадает с прескрипци-ей главного значения и с ±г"0-прескрипциями, которые не порождают ¿-членов. Для обобщенной прескрипции развита техника вычисления однопетлевых безмассовых фейнмановских интегралов для случая степенного поведения глюонного пропагатора и произвольной размерности импульсного пространства. Для класса интегралов с целыми степенями знаменателей разработан алгоритм алгебраического сведения всех интегралов к трем базисным интегралам.

В предположении об инфракрасном поведении глюонного пропага-тора £>мг,(д) ~ Z(q2)D^1¡(q), Z(q2) ~ (М2/д2), д2 ->• О построено приближение для трехглюонной и четырехглюонной вершинных функций, согласованное с тождествами Славнова - Тейлора. При этом, в отличие от основного предположения подхода Бейкера, Болла, Захариазена (ББЗ), мы не пренебрегаем поперечными частями вершинных функций. Исследованы условия, при которых указанное инфракрасное поведение глюонного пропагатора является асимптотическим решением уравнения Дайсона - Швингера.

В третьей главе различные возможности инфракрасного поведения глюонного пропагатора исследованы с помощью замкнутого интегрального уравнения для скалярной функции ^(д2), описывающей поведение пропагатора. Приближения, сделанные при получении этого уравнения (главное из которых — это основное предположение подхода ББЗ о доминантности продольных частей вершинных функций глюона в инфракрасной области), представляются адекватными исследованию возможности не слишком сингулярного поведения глюонного пропагатора в нуле. Исследован общий случай степенного инфракрасного поведения с нецелыми показателями степени для интервала значений показателя степени, включающего случаи исчезающего пропагатора, слабосингулярного и более сингулярного, чем полюс свободного пропагатора. При этом развита техника выделения нелидирующих членов нелинейного интегрального уравнения, определяемых только инфракрасным поведением пропагатора.

Обсуждаемые в последнее время гипотеза "замораживания" взаимодействия в инфракрасной области, а также метод "аналитизации", позволяющий решить проблему "призрачного полюса" в квантовой хро-модинамике, в рассматриваемом подходе предполагают существование ненулевого конечного предела функции £(д2) в нуле. Исследован вопрос о согласованности данного предположения с рассматриваемым замкнутым интегральным уравнением и показано, что это предположение не является согласованным. Из анализа неперенормированного уравнения для глюонного пропагатора также сделан вывод о том, что "замораживание" не реализуется. Попутно вычислен однопетлевой вклад теории возмущений в поляризационный оператор глюона в аксиальной калибровке с учетом конечных членов.

В четвертой главе рассматривается проблема непертурбативных вкладов в бегущую константу связи и формулируется модель

бегущей константы связи КХД с динамической массой и усилением в инфракрасной области. Исходя из факта неоднозначности процедуры суммирования главных логарифмических диаграмм ряда теории возмущений, "аналитизированное" выражение для бегущей константы связи принимается в качестве исходного, в котором указанный произвол фиксирован лишь частично. Основываясь на результатах второй главы по исследованию инфракрасной области, " аналитизированная" бегущая константа связи модифицирована введением изолированных особенностей полюсного типа. Сформулирован принцип минимальности непертурбативных вкладов в ультрафиолетовой области, позволяющий зафиксировать произвол введения непертурбативных членов и обеспечить конечность сугубо непертурбативной величины — глюон-ного конденсата.

Исследована зависимость глюонного конденсата от параметра модели А и масштаба непертурбативных явлений ко, параметризующего неопределенности, связанные с разделением пертурбативных и непертурбативных вкладов. Показано, что условие минимума плотности энергии непертурбативного вакуума (максимума глюонного конденсата) фиксирует параметр модели А а также масштаб непертурбативных явлений и динамическую массу глюона. В рамках модели для ав(д2) исследована зависимость глюонного конденсата от точки нормировки. Исследованы возможности согласования модели с интегральными оценками для <55(д2) в инфракрасной области.

В пятой главе построена классическая теория поля для калибро-вочно-инвариантного эффективного лагранжиана, описывающего инфракрасное поведение полных функций Грина глюона. Для указанного лагранжиана, который является лагранжианом с высшими производными, найдены уравнения движения, симметричный калибровочно-инвариантный тензор энергии-импульса Гильберта, сохраняющиеся токи. Найдены уравнения поля для семейства абелевых решений, которые оказались уравнениями Максвелла в среде, характеризуемой диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью /г, причем £= 1/ц = -д2/м2.

Для известной неабелевой параметризации Ву - Янга (с ненулевым

" скалярным" потенциалом) получены система статических уравнений поля и плотность энергии поля. Найдены решения монопольного и ди-онного типов, решения, представимые в виде рядов по обратным степеням расстояния, а также хромоэлектрические решения, отсутствующие в случае стандартного лагранжиана Янга-Миллса.

Шестая глава посвящена исследованию взаимодействия цветовых зарядов.

Задача о движении пробной 5^7(2)-цветной частицы в произвольной полевой статической конфигурации, соответствующей параметризации Ву - Янга, сведена к задаче о движении электрически заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле с дополнительным взаимодействием определенного вида. Рассмотрено движение цветной пробной частицы в некоторых частных случаях конфигураций неабе-левых полей, являющихся решениями уравнений движения поля для эффективного лагранжиана, иллюстрирующее своеобразие классической глюодинамики.

Исследованы абелевы статические решения уравнений движения поля для эффективного лагранжиана при наличии источников. Показано, что интеграл от плотности энергии поля хромоэлектрическош заряда линейно расходится на бесконечности, а в случае двух противоположных хромоэлектрических зарядов энергия поля конечна и линейно зависит от расстояния между зарядами.

В отличие от случая точечного хромоэлектрического заряда плотность энергии поля хромомагнитного монополя интегрируема на бесконечности, так что в рассматриваемом подходе существование отдельного хромомагнитного монополя не исключается.

Найдены сшитые статические сферически-симметричные неабелевы решения при наличии хромоэлектрических источников в предположении о справедливости стандартных уравнений Янга-Миллса на малых расстояниях, а на больших — уравнений, следующих из эффективного лагранжиана со сшиванием согласно вариационному принципу. Построена модель конфайнмента хромоэлектрических зарядов, позволяющая оценить размер пертурбативной области (адрона) и среднюю плотность энергии непертурбативного глюонного вакуума.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

Глава 1

Глюонный сектор квантовой хромодинамики в аксиальной калибровке

В этой главе мы вводим используемые в дальнейшем обозначения, даем необходимые определения, рассматриваем вопросы, связанные с выбором калибровочного условия, формулируем правила Фейнмана в аксиальной калибровке. С использованием метода функционального интегрирования [6] для ак�