Динамика фермионов во внешних полях с нетривиальной топологией и особенности взаимодействия фермионов в инфракрасной области тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

«в

^ 1 \\\у «АРБКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ситекко Юрий Алексеевич

ДИНАМИКА ФЕРМИОНОВ ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ С НЕТРИВИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ И ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФЕРМИОНОВ В ИНФРАКРАСНОЙ ОБЛАСТИ

01.04.16 - физика ядра к элементарных частиц

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1993

Работа выполнена в Институте теоретической физию им. Н. Н. Боголюбова Академии наук Украины

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, академик,

профессор Д.В.Волков (ХФТИ), доктор физико-математических наук, профессор Л.К.Липатов (ПИЯФ),

доктор физико-математических наук, профессо; В. Н. Попов (ПО ИИ РАН)

Ведущая организация: Институт физики АН Республики Беларусь

Защита состоится " 1993 г. в 1 ^^ часов

на заседании специализированного совета Д 053.06.01 при Харьковском государственном университете

(310108, г. Харьков-108, пр. Курчатова, 31, ауд. 301)

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Харьковского государственного университета.

Автореферат разослан " |3" й-И-^Щи-^ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. И. Лапшин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теиы. Существенные успехи, достигнутые в физика элементарных част:ш за последние голы, в значительной степени связаны с развитием и применением теории калибровочных полой. Принцип калибровочной инвариантности отражает глубокую связь, существующую в природе между симметрией и динамикой, что позволяет на основе этого принципа устанавливать допустимые формы взаимодействия в соответствии со свойствами симметрии. В настоящее время различные модели калибровочных полой применяются для описания широкого круга явлений как в физике элементарных частиц х космологии, так и в физике конденсированного состояние вещества.

В частности, при описании эффектов сильного взаимодействия частиц чрезвычайно успешным оказалось применение калибровочной теории цветных кварков и глюонов - квантовой хромодинамики. Однако Я по сей день существует нерешенная проблема этой теории, заключающаяся в том, как объяснить ненаблюдаемость цвета, или, в более широком смысле, как получить из цветных кварков и глюонов бесцветные адроны, наблюдаемые экспериментально. Подходы к этой проблеме, разрабатываемые во второй половина 70-х годор, были основаны на пертурбативном исследовании инфракрасных сингулярностей в квантовой хромодинамике. В этих работах бьшо показано, что одно-■ дсухпетлевые вычисления амплитуд различных процессов в квантовой хромодинамике не противоречат гипотезе о ненаблюдаемости цвета и что, в то же время, для подтверждения этой гипотезы необходим выход за рамки теории возмущений. В дальнейшем результаты пертурбативного исследования инфракрасных сингулярностей получили пркненонив в феноменологии сильных взаимодействий, в частности при описании жестких процессов, и в самое последнее время в новом подход» к физике тяжелых кварков.

Необходимость выхода за рамки теории возмущений возникает и при исследовании динамики спонтанного нарушения киральной и масштабной симметрий в квантовой хромодинамике и в обобщающих ее теориях великого объединения. Существуот ряд подходов, содержащих попытки на некоторой полуфеноменологическон уровне выйти за рамки теории возмущений: модель кварковых мешков и др. В связи с этим представляется важным исследовать наиболее общие, нодольно независимые, закономерности нопортурбативной динамики в калибровочных теориях.

Как известно, в квантовой теории невзаимодействующих полей вакуум характеризуется тривиальными квантовыми числами: нулевой энергией, нулевым зарядом и т. д. В 1976 г. Джекив и Ребби показали, что непертурбативный учет взаимодействия квантованных фермконных полей может привести к тому, что вакуум будет характеризоваться нетривиальными квантовыни числами, в частности ненулевым и даже нецелым (в единицах элементарного заряда) значением фермионного заряда. Этот эффект, получивший название дробления фермионного заряда, связан, как оказалось в дальнейшем, с достаточно общими закономерностями и может быть обусловлен богатой топологической структурой калибровочных теорий. Поэтому важной задачей является изучен, э феноменологических следствий, к которым приводит дробление фермионного заряда в калибровочных моделях, описывающих взаимодействие и структуру элементарных частиц, в частности в квантовой хроиодинамике. Интересно отметить, что одно из первых феноменологических приложений эффекта дробления заряда оказалось весьма далеким от тех областей, в которых традиционно применялись калибровочные модели, а именно: с помощью дробления заряда удалось объяснить аномальное соотношение нежду спином и зарядом для линейных полимеров типа трансполиацетилена (Ъгапг-(СН)]<). С тех пор использование идей и методов теории калибровочных полей в физике конденсированного состояния вещества развивается очень быстрыми темпами. В силу своей общности, эффект дробления фермионного заряда имеет место в квантовых системах различной пространственной размерности. В частности, в случае четномерных пространств этот эффект оказывается связанным с другим интересным явлением квантовой теории поля - аксиальной аномалией. Физика конденсированного состояния вещества, имея дело с многообразием различных материалов, предоставляет широкое поле для приложения теоретико-полевых моделей в пространствах размерности, меньшей чем три. Эффект дробления заряда в двумерном пространство и связанные с ним калибровочные модели Черна-Саймонса применяются для объяснения разнообразных явлений физики конденсированного состояния вещества, в частности уаких как высокотемпературная сверхпроводимость и дробный квантовой эффект Холла.

В настоящее время сформировалось определенное направление в квантовой теории поля, в рамках которого непсртурбатиыная динамика фермионо» трактуется как взаимодействие квантованных фермионных полей с топологически нетривиальными конфигурациями внешних

классических полей. В рамках этого направления изучаются свойства спектра дираковского оператора во внешних полях различной природы и зависимость этих свойств от геометрии и топологии внешних полей, а также от выбора граничных условий. Обнаруженные при этом топологические эффекты (дробление заряда, существование суперсимметричного индекса и др.) играют важную роль в поникании и удовлетворительном описании ряда явлений как в физике элементарных частиц, так и в физике конденсированного состояния вещества.

Целью настоящей диссертационной работы является исследование непертурбативной динамики фермионов во внешних полях с нетривиальной топологией и влияния искривления пространства на эту динамику, а также изучение пертурбативных инфракрасных сингулярностей в калибровочных теориях.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертационной работе исследовано влияние геометрии и топологии пространства на дробление фермионного заряда. Показано, что асимптотика аксиально-векторного тока зависит от геометрии пространства, и установлена связь между асимптотическим поведением

аксиально-векторного тока и дроблением заряда. Получено выражение для заряда, индуцированного внешним магнитным полем на двумерной некомпактной ориентируемой поверхности.

Построена суперсимметричная квантовая механика,

соответствующая двумерному движению электрона во внешнем магнитном поле произвольной конфигурации, и найдены условия спонтанного нарушения суперсимметрии. Исследованы квадратично интегрируемые нулевые моды двумерного дираковского оператора на некомпактных римановых поверхностях с тривиальной топологией и топологией цилиндра во внешней магнитном поле. Найдены глобальные геометрические характеристики этих поверхностей, от которых, так же как и от полного магнитного потока, зависит число нулевых мод.

Рассмотрено применение теоремы об индексе к задаче об электроне во внешнем магнитном поле в ограниченной области конечных размеров. Введено множество нелокальных граничных условий и показано, что их использование в случае неплоского края приводит к значениям индекса, зависящим от второй фундаментальной формы края. Граничное условие Атьи-Патоди- Зингера модифицировано с целью получения условия, эквивалентного квадратичной интегрируемости нулевых мод на некомпактной поверхности.

Полученные в диссертации результаты о зависимости индекса от

граничных условий могут быть использоьаны при исследования граничных эффектов в квазидаумерных квантовых системах физики конденсированного состояния вещества.

Исследовано влияние искривления пространства на рассеяние заряженных частиц на сингулярных конфигурациях внешнего магнитного поля. Показано, что эффект Ааронова-Бона становится ненаблюдаемым в случае достаточно сингулярного гравитационного источника. Рассмотрен вопрос о достаточности описания квантовых эффектов электромагнетизма в искривленном пространстве с помощью напряженности или фазового фактора Ву-Янга. Как следует из полученных в диссертации результатов, можно поставить более обдиВ вопрос о влиянии искривления пространства на наблюдаемость нетривиальной голономии фазы Берри в квантовомеханических системах.

Исследованы инфракрасные сингулярности в абеловой калибровочной теории с массивными и безмассовыми фермионанк, связанные как с виртуальными эффектами, так и с эффектами поглощения и излучения нефиксируемых реальных частиц. Показано, что, несмотря на сокращение инфракрасных сингулярностей в отдельных порядках теории возмущений, суммирование всех порядков приводит к исключению бозонных состояний из спектра физических состояний. Рассмотренный кеханиз'к подавления бозонов представляет интерес в связи с поисками механизмов подавления глюонов в квантовой хромодинамике. В диссертации также обоснован вывод о невозможности существования безмассовых заряженных фермионов.

Проведенное в диссертации исследование инфракрасных сингулярностей, обусловленных параллельностью импульсов

нефиксируемых жестких безмассовых частиц, может быть использовано для описания электродинамических процессов с участием высокоэнергетических электронов и жестких процессов сильного взаимодействия адроков.

Кетод ренормализационной группы применен к кс.еяо.члванию инфракрасных сингулярностей, связанных с виртуальными эффектами, в неабелевой калибровочной теории (квантовой хромодинамике). С помощью указанного метода удается вычислить вклад инфракрасных логарифмов в "инглеткый формфактор кварка с более высокой точностью но сравнению с другими методами и показать, что этот вклад так же, как и вклад найденных ранее главных инфракрасных логарифмов, удовлетворяет необходимому условию удержания кварков.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты, полученные в диссертации.

1. Исследовано явление дробления фермионного заряда в квантовой теории поля в искривленном пространстве. Установлена зависимость индуцированного вакуумного заряда от геометрии и топологии пространства. Показано, что в случае достаточно сильного искривления некомпактного пространства или изменения его топологии асимптотика аксиально-векторного тока становится нетривиальной. В результате индуцированный вакуумный заряд зависит не только от глобальной характеристики внешнего векторного калибровочного поля (т.н. полной аксиальной аномалии), но и от глобальных геометрических характеристик пространства. Определен вакуумный заряд, индуцированный внешним статическим магнитным полем на некомпактных ориентируемых поверхностях различной топологии.

2. Обнаружен эффект нелокальностм в индуцировании вакуумного заряда внешним магнитным полей, подобный эффекту нелокальности при рассеянии заряженной частицы в поле магнитной струны (эффекту Ларонова-Бома). Показано, что сингулярные конфигурации напряженности внешнего магнитного поля индуцируют вакуумный заряд на топологически не тривиальных некомпактных поверхностях к в том случае, когда поток магнитного поля через такие поверхности равен нулю.

3. Исследованы возможные проявления существования сингулярной магнитной струны в искривленном пространстве. Найдены конфигурации внешнего статического гравитационного поля, для которых в рассмотренных эффектах индуцирования и рассеяния магнитный поток струны не проявляется. Получен вывод о тон, что фазовый фактор, определяемый циркуляцией векторного потенциала (фактор Ву-Янга), так же как и напряженность элоктромагнитного, поля, не дает достаточно полного описания эффектов электромагнетизма в квантовой теории. Показано, что этот фактор имеет физический смысл лишь для определенного класса конфигураций внешнего гравитационного поля.

4. Поставлена ■ решена задача рассеяния заряженной частицы в поле совмещенных сингулярных магнитной и космической струн.

5. Рассмотрены нулевые моды двумерного дираковского оператора во внешнем магнитном поло в случае искривленных неконпактных поверхностей с тривиальной топологией и топологией цилиндра. Найдены глобальные характеристики внешнего магнитного поля и

искривленной поверхности, от которых зависит число квадратично интегрируемых нулевых мод. Получено обобщение теоремы Ааронова-Кашера.

6. Построена суперсимметричная квантовая механика, реализующаяся в задаче о двумерном движении электрона во внешнем статическом магнитном поле произвольной конфигурации. Определена «йратнвсть вырождения суперсиммотричного основного состояния и

сформулированы условия спонтанного нарушения суперсимметрии.

7. Изучено влияние граничных услсвий на суперсикметричный индекс двумерного дираковского оператора во внешнем магниткон поле в случае искривленных компактных поверхнос-тей с краем. Рассмотрены семейства различных нелокальных граничных условий, совместимых с самосопряженностью этого оператора. Показано, что использование таких граничных условий ь случае неплоского края приводит к значению индекса, зависящему от второй фундаментальной формы края. Граничное условие Атъи-Патоди- Зингера модифицировано с целью получения условия, эквивалентного квадратичной интегрируемости нулевых мод на некомпактной поверхности.

8. Метод рвнормализационной группы использован в теория с взаимодействующими безиассовыми полями для получения уравнения, связывающего инфракрасную асимптотику формфактора амплитуды эксклюзивного процесса рассеяния массивной частицы во внешнем поле с инфракрасной асимптотикой инвариантного заряда. Показано, что примонение этого уравнения к квантовой хрокодинамике, наряду с учет он вклада соответствующих двухпетлевых диаграмм, позволяет выделить инфракрасные сингулярности в синглетном (электромагнитном) формфакторе кварка в приближении, в котором учитываются все главные и следующие за главными логарифмические слагаемые.

О. Исследованы инфракрасные сингулярности, связанные с излучением и поглощением жестких параллельных частиц, в теории с взаимодействующими безмассовыми полями. Получены выражения для факторов, описывающих излучение в конусы, высокоэнергетических фермионных струй в квантовой хромодинамике и в безмассовой абелевой калибровочной теории.

30. Устайовлено, что последовательный учет эффектов поляризации вакуума в безмассовой абелевой калибровочной теории приводит к подавлению процессов с участием бозонов и к обращению в нуль физического заряда фермионов. В розультато бозонные состояния исключаются из спектра физических состояний и бозоны учитываются

только в виртуальных состояниях, обеспечивая взаимодействие между фермионами. Показано, что в такой теории в классическом пределе взаимодействие исчезает. Тем самым дано обоснование вывода о невозможности существования безмассовых заряженных фермионов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации

докладывались на IV Международном совещании по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1989 г.), Всосоюзной школе "Современные проблемы квантовой теории поля" (Алушта, 1989 г.), Рабочем совещании "Непертурбативная квантовая хромодинамика" (Новороссийск, 1939 г.), Международных семинарах по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1990 и 1992 гг.), Рабочих совещаниях " Адроны" (Судак, 1990 г., Новый Свет, 1991 г.), XVI Всесоюзной школе "Фундаментальные взаимодействия при высоких энергиях" (Бакуриани, 1991 г.), Международном сенинаре "Нелинейные явления в сложных системах" (Новополоцк, 1992 г.), Международном совещании "Современные проблемы квантовой теории поля, теории струн и квантовой гравитации" (Киев, 1992 г.). Международном семинаре по конденсированному веществу в атомной и молекулярной физике (Триест, Италия, 1992 г.). Материалы диссертсции докладывались на научных семинарах Института теоретической физики АН Украины, а также Физико-технического института АН Украины (Харьков), Института физики высоких энергий (Протвино), Института математики АН Украины, Петербургского Отделения Математического института РАН, Института физики АН Республики Беларусь, Университет^ Западного Онтарио (Канада), Йоркского университета (Канада), Туринского университета (Италия), Пармского университета (Италия).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, четырех приложений и списка литературы, включающего 175 наименований. Общий объем диссертации 233 страницы текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проведенных в диссертации исследований, обсуждается их научная новизна и практическая ценность, дано описание структуры и содержания диссертации.

Первая глава, основанная на работах [Э, 14,16,17], посвящена исследованию дробления заряда на некомпактной ориентируемой поверхности во внешнем магнитном поле. Критическое значение имеет вопрос об асимптотическом поведении аксиально-векторного тока в некомпактных римановых пространствах. Автором настоящей диссертации впервые показано. что. в отличие от случая некомпактного евклидового пространства, в более общем случае асимптотика аксиально-векторного тока ножет оказаться нетривиальной, это приводит к возникновению дополнительного, по сравнению с полной аксиальной аномалией, вклада в индуцированный вакуумный заряд. Последний вклад, в свою очередь, обуславливает нелокальность в индуцировании, аналогичную эффекту Ааронова-Бома.

В § 1 получены условия, налагаемые на конфигурации внешних полей, при помощи которых динаника электрона редуцируется с трехмерного на двумерное пространство (поверхность). Это позволяет сформулировать задачу индуцирования вакуумного заряда на поверхности, ортогональной силовым линиям внешнего магнитого поля в искривленном пространстве.

В § 2 излагается общий формализм, основанный на стандартной технике квантования фермиоиных полей во внешнем поле и позволяющий связать вакуумный заряд, индуцированный в <3-мерном пространстве, с аксиальной аномалией и аксиально-векторным током.

В § 3 обсуждается связь между дроблением заряда и теоремами Атьи-Зингера и Атьи-Патоди-Зингера. В случае четномерных компактных многообразий индуцированный вакуумный заряд пропорционален полной аномалии, которая согласно указанным теоремам, равна индексу -величине, связанной с числом кулевых мод безмассового дираковского оператора во внешнем поле. В случае же четномерных некомпактных многообразий эти три величины- 'индуцированный вакуумный заряд, полная аномалия и индекс - не сводятся одна к другой. Вопрос об индексе в пространстве квадратично интегрируемых функций на некомпактных многообразиях изучается в Главе 2, а в настоящей главе в дальнейшем рассматривается вакуумный заряд, индуцированный на некомпактных многообразиях. Несводимость последнего к полной

аномалии обусловлена нетривиальным - асимптотическим поведением аксиально-векторного тока.

В § 4 изучается индуцирование вакуумного заряда вневнвм магнитным полем на односвязно! некомпактной поверхности. В результате для вакуумного заряда получено выражение

<гас|0|уас> - -|ядт(га)4 - |с[и, ГгасС(* + , «к] ^ (1)

где

О, *к < 1

^агсСд[сГй(п11в)Сд(пи)]-®дл(п1)и , • - 1. (2)

вдп(т) [|адпо(и) - и], *к > 1

Здесь • - полный магнитный поток через поверхность (равный полно! аксиально! аномалии в случае а = 2), - полная интегральная кривизна поверхности, т - масса фермиона, Я - параметр размерности длины, определяющий асимптотику метрики на больших расстояниях для поверхности с • • 1,

-Ц:

и > о (вдп(и), и * о

адп(и) - ^ , здп (и) - -I ,

и<0 ( О , и - О

^асС(и) - и - 1лСед(и),

и через 1пСед(и) обозначено ближайшее к и целое число. Вклад, обусловленным асимптотическим поведениеи аксиально-векторного тока, описывается последним слагаемым в право! части (1) - функцией Как следует из (2), этот вклад равен нулю как для плбскостн (Фк » О). так и для поверхносте! с < 1; в этих случаях индуцированный вакуумны! заряд пропорционален полному магнитному потоку. В случае ^ « 1 нетривиальное асимптотическое поведение аксиально-векторного тока приводит к нетривиально! функции отметин при этом, что эта функция, в отличие от первого слагаемого в право! части (1), периодически зависит от величины полного магнитного потока.

В 5 5 рассматривается индуцирование вакуумного заряда внешним магнитным полем на более обще! риманово! ориентируемо! некомпактно! поверхности. Такая поверхность может иметь нетривиальную топологию, обусловленную наличием ручек и несвязно! границы на бесконечности.

Соответственно. она может быть описана , двумя целыми неотрицательными числани, h - числом ручек и п - числом.компонент границы на бесконечности, а названа поверхностью класса (h,п), или топологически конечной поверхностью, поскольку фундаментальная группа в этом случае конечно порождена. Такая поверхность отображается на компактную замкнутую поверхность рода hen выколотыми точками.

Для ориентируемой топологически конечной поверхности магнитный поток и интегральную кривизну можно представить в виде

Ф - -Е »<я И * - 2 - 2h -Е Ф'". (3)

j-i J=I

Случай Ф^1' — 0 соответствует выкалыванию обычной (несингулярной) точки на поверхности; случай Ф^1' < 1 соответствует выкалыванию сингулярной точки - вершины конуса; в случае = 1 j-ая

компонента границы на бесконечности подобна цилиндру, уходящему на бесконечность; в случае 1 < 4>^J) <2 j-ая компонента границы на бесконечности подобна расширяющемуся конусу.

Вакуумный заряд, индуцированный внешним нагнитным полем на ориентируемой топологически конечной поверхности, описывается выражением

<vac\Q\vac> - -|sgn(m)« + | £ €0[».*raeC (*<J) + §b^J']/ (4)

где

sffn(m) [isgno(u) - u] , »¿J,<1

iarctgfcthCnRjnOtgtnu)] - sgn(ra)u, Ф^'"1» (5)

. С>х

Я - параметр размерности длины, определяющий асимптотику метрики

^ (1) на )-ой компоненто границы на бесконечности при Ф^ =1. Таким

образом, наряду с линейной зависимостью от полногр магнитного

потока через поверхность (Ф). в (4) имеется также пормодичоская

зависимость от магнитного потока в недостижимой для материн области

(Ф1'') в случае Ф^' * 1. Последняя зависимость, обусловленная

нетривиальным асимптотическим поведением аксиально-векторного тока в этом случае, и описывает нелокальность в индуцировании вакуумного заряда, которая аналогична квантовомеханическому эффекту Ааронова-Бома.

Вторая глава [11,13,15] посвящена исследованию другой важной характеристики спектра дираковского оператора на некомпактно! поверхности во внешнем магнитном поле - индекса в пространстве квадратично интегрируемых функций. Как показано Аароновым ш Катером, в случае некомпактной плоскости, ортогональной силовым линиям внешнего магнитного поля, индекс определяется полным магнитным потоком через плоскость (т.е. полной аномалией для двумерного многообразия). В литературе известна трактовка этого результата, как физического примера теоремы Атьи-Зингера. В настоящей главе получено обобщение теоремы Ааронова-Кашера на случай некомпактных римановых поверхностей с тривиальной топологией и топологией цилиндра, х тем самым показана ошибочность подобной трактовки, поскольку в последнем случав индекс зависит не только от полного магнитного потока, но и от глобальных геометрических характеристик поверхности. С вопросом о нулевых модах тесно связан вопрос о скрытой суперсимметрии в задаче о движении заряженной частицы на поверхности, ортогональной силовым линиям внешнего магнитного поля. построена соответствующая суперсимметричная квантовая механика, описывающая в наиболее общей форме взаимодействие одной фермионной и двух бозонных степеней свободы. При этом значение числа нулевых мод позволяет ответить на вопрос о том, является ли суперсимметрия точной ила спонтанно нарушенной.

В § 1, имеющем вводный характер, обсуждаются некоторые некомпактные поверхности с тривиальной топологией и топологией цилиндра, и приведены соответствующие им значения глобальных геометрических характеристик.

В § 2 рассматриваются квадратично интегрируемые нулевые моды двумерного дираковского оператора на некомпактной поверхности во внешнем магнитном поле. Показано, что в случае некомпактной односвязной поверхности глобальной геометрической характеристикой поверхности, от которой зависит число нулевых мод, является полная интегральная кривизна. Приведем здесь выражение для индекса в этом случае: при Ф >0

ШСедД« + - 1,

ГлйехО - 1Медф (♦ + ¿« ) + 1Шед (ф - ), -|*к<*<|*, 1Шед (» - |«к) +1, « а -

2 к

(в)

при * * О

к

ХпйехО -

ДпСед^* + |«к) - 1, О

¿псвд_(» - |«к) + 1,

(7)

где через 1пЬед^(и) (1лСед (и)) обозначено ближайшее сверху (снизу) к и целое число. Найдено также число нулевых иод в случае некомпактной поверхности с топологией цилиндра, откуда следует, что глобальными геометрическими характеристиками, влияющими на это число и индекс, являются две компоненты, на которые естественно раскладывается полная интегральная кривизна в этом случае. Следует отметить также периодическую зависимость числа нулевых мод от магнитного потока в недостижимой для материи области, что аналогично указанной в предыдущей главе нелокальности в индуцировании вакуумного заряда. В случае равного нулю полного магнитного потока через поверхность (9 =• О) нулевые моды отсутствуют на невыпуклых в целом поверхностях (при ^«01,

В § 3 показано, что в задаче о двумерной движении заряженной частицы на поверхности, ортогональной силовым линиям внешнего магнитного поля, реализуется супералгебра Ли

в которой генераторы преобразований суперсимметрии П^ и О , гамильтониан суперсимметричной квантовой механики Н и оператор Клейна 0 представляются в виде

0

(8)

0 D* 0 °1 D*D 0 1 0

. Н , (3 - t (9)

0 0 D oj 0 DD* 0 -1

где

(10)

g - detgjj#, ^q^.-O (j, j'

1.2,3), gjj(=0 (j « j');

(11)

при этом предполагается, что поверхность, ортогональная силовын линиям внешнего магнитного поля, задается уравнением х3 - const, и используется калибровка V3 = О.

В § 4 показано, что пространство нулевых мод оператора D (или D*) реализует представление алгебры Гайзенберга-Вейля, и найден явный вид операторов, не выводящих волновые функции из этого пространства. Поскольку в задаче о движении заряженной частицы на поверхности, ортогональной однородному магнитному полю, реализуется суперсимметрия, имеющаяся в системе невзаимодействующих бозонного и фермионного осцилляторов с совпадающими частотами, то переход от однородного к неоднородному магнитному полю соответствует введению взаимодействия. При таком переходе нарушается трансляционная инвариантность гамильтониана Н и снинается вырождение по центру орбиты. Однако, как показано в настоящей параграфе, сохраняется суперсимнетрия и обусловленное ею вырождение основного состояния. Тем самым найден наиболее общий вид взаимодействия между бозонным и фермионным осцилляторами, сохраняющий суперсимметрию. В заключение настоящей главы обсуждается критерий спонтанного нарушения суперсимметрии и показано, что в зависимости от значений глобальных геометрических характеристик поверхности суперсимметрия может быть точной или спонтанно нарушенной.

Третья глава [10,12,19] посвящена исследованию дробления заряда на компактной ориентируемой поверхности с краем во внешнем магнитном поле. Существенное значение при этом приобретает вопрос о выборе граничных условий, согласно теореме Атьи-Ботта существуют топологические препятствия к использованию обычных локальных

П

граничных условий (например, условий Дирихле или Неймана). Поэтому возникает необходимость использовать более общие нелокальные граничные условия, совместимые с самосопряженностью дираковского гамильтониана и с суперсимметрией в данной задаче - так называемые спектральные граничные условия. Вообще говоря, существует целое множество таких условий, приводящих к различным значениям индекса и, следовательно, индуцированного вакуумного заряда.

В настоящей главе получено полное и исчерпывающее решение задачи об индексе в случае двумерного ориентируемого компактного многообразия с краем. Показано также, что из множества спектральных граничных условий можно выбрать условие, которое эквивалентно квадратичной интегрируемости нулевых мод на некомпактном расширении исходного компактного многообразия с краем.

В § 1, носящем вводный характер, поставлена задача, которая сводится к вычислению вклада края в суперсикметричную функцию распределения, и сделан обзор предыдущих попыток разных авторов применить теорему Атьи-Патоди-Зингера к двумерным многообразиям. Сформулированы в наиболее общем виде спектральные граничные условия на крае многообразия.

В § 2 показано, как возникает одномерное уравнение теплопроводности вблизи края и рассмотрены его решения, удовлетворяющие спектральный граничным условиям. Если в случае плоского края уравнение теплопроводности имеет решения в классе экспоненциальных функций, то в случае неплоского края уравнение теплопроводности имеет решения в классе модифицированных бесселевых функций. В соответствии с этим показано, что вклад края в суперсимметричную функцию распределения представляется в виде интеграла от бесконечной суммы по спектру оператора, касательного к краю, которая регуляризована с помощью функции ошибок в случае плоского края и кодифицированных бесселевых функций в случае неплоского края.

В § 3 проведено вычисление вклада края в суперсимметричную функцию распределения. Показано, что в случае неплоского края задача сводится к суммированию членов, содержащих бесселевы функции нецелого порядка. Для аналитического решения этой задачи развит метод суммирования бесконечных рядов с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа.

В § 4 результаты, полученные ранее в этой главе, используются для вывода общего выражения для индекса. В случае односвязной

конпактной поверхности с краем получаем

1пс1ехО = 1лСес^[Ф - | + а' (1 - $к)] , (12а)

или

Хл<1ехО = + | + (1 - Фк)] , (126)

в зависимости от двух способов задания спектрального граничного условия; а' и /3' параметризуют соответствующие семейства спектральных граничных условий. Таким образом, при выборе ненулевого значения параметра а' (или р') индекс в случае компактной поверхности с краем, в отличие от случая замкнутой компактной поверхности, зависит от глобальной геометрической характеристики поверхноости - полной интегральной кривизны. Это обстоятельство позволяет связать индекс в случае конпактной поверхности с краем с индексом в пространстве квадратично интегрируемых функций на некомпактной поверхности (6)-(7), чеку посвящен следующий параграф. Здесь же отметим, что связь между спектральным граничным условием и условием квадратичной интегрируемости осуществляется через вторую фундаментальную форму края. Получено также общее выражение для индекса в случае конпактной поверхности с несвязным краем.

В § 5 построено некомпактное расширение ориентируемой компактной поверхности с краем. Найдены нелокальные граничные условия на границах плоских областей в виде диска и цилиндра конечных размеров, эквивалентные квадратичной интегрируемости волновых функций на плоскости и бесконечном цилиндре, соответственно. И, наконец, получоно спектральное граничное условие на крае произвольной римановой односвязной поверхности, которое эквивалентно квадратичной интегрируемости волновых функций на некомпактном расширении этой поверхности.

Четвертая глава [18,20] посвящона исследованию физических эффектов сингулярной конфигурации внешнего статического магнитного поля - бесконечно тонкой и бесконечно длинной струны. С этим вопросом связан вопрос об адекватном описании эффектов электромагнетизма в квантовой теории. Как известно, в классической теории полное и исчерпывающее описание электромагнитных эффектов задается с помощью напряженности электромагнитного поля, непосредственно воздействующей на частицы. В квантовой теории

задания одной напряженности не достаточно, и магнитное поле может воздействовать на частицы и в том случае, если область, в которой локализовано поле, не достижима для частиц. К таким существенна квантовым аффектам относятся рассеяние заряженной частицы в поле сингулярной магнитной струны (эффект Ларонова- Бона) и обнаруженная в Главе 1 нелокальность в индуцировании вакуумного заряда.

Ву и Янг ввели зависящий от пути фазовый фактор в качестве характеристики электромагнитного поля, адекватно описывающей электромагнитные эффекты в квантовой теории. В случае конфигурации статического магнитного поля в виде сингулярной струны фазовый фактор Ву-Янга периодически зависит от полного магнитного потока, обращаясь в единицу при целых значениях'потока. В соответствии с этик наблюдаемой величиной является не поток магнитной струны, а дробная часть этого потока, что в свою очередь подтверждается как эффектом Ларонова-Бома, так и эффектом нелокальностн в индуцировании вакуунного заряда.

В настоящей главе рассматривается вопрос о влиянии искривления пространства на наблюдаемость фазового фактора Ву-Янга. Найден вид эффекта ларонова-Бома на некоторых поверхностях, отличных от плоскости с выколотой точкой. В то же время показано, что в случаях достаточно сингулярных конфигураций внешнего гравитационного поля не только целая, но и дробная часть величины потока магнитной струны становится ненаблюдаемой. Следовательно, в этих случаях задания фазового фактора Ву-Янга (так же как м напряженности) не достаточно для адекватного описания эффектов электромагнетизма в квантовой теории.

В § 1 сформулирована задача рассеяния заряженной частицы в поле сингулярной магнитной струны в искривленном пространстве. Получены условия на внешнее статическое гравитационное поле, при выполнении которых сохраняется двумерность задачи, характерная для эффекта Ларонова-Бома в плоском пространстве. В результате задача сводится к решению двумерного уравнения Шредингера на произвольной некомпактной поверхности с топологией цилиндра. Показано, что сингулярную магнитную струну можно устранить лишь с помощью сингулярного калибровочного преобразования, причем, независимо от вида поверхности.

В § 2 рассмотрено решение стационарного уравнения Шредингера на локально ггоской некомпактной поверхности с топологией цилиндра. Для такой поверхности существует лишь одна глобальная

геомвтрнчесрая характеристика - Ф^0) - коэффициент при 5-образной сингулярности в гауссовой кривизне. Значение Ф^0) = О соответствует проколотой плоскости, любое значение из области О < < 1 соответствует конусу и, наконец, значение Ф^0> »1 - цилиндру. Конфигурация трехнерного статического гравитационного поля, редуцирующего динакику на такую поверхность, известна под названием конического пространства или космической струны; при этом плотность энергии космической струны пропорциональна гауссовой кривизне поверхности.

Автором настоящей диссертации впервые поставлена задача рассеяния заряженной частицы на магнитной струне, совмещенной с космической струной, и найдено сечение этого процесса

ËZ » 1

de 2тгк

811,2 Ci К - п2 +<гф,0,)(е + л/|1 -

sin2[- ^(е + тг/11 - Ф^'|)]

+ 2

sin[i(nj - n2 + аФ<0,)(е + Я/11 - С'1)3

in[|(e + п/|1 - »¿0,|)sin[i(e - n/|i - .«»,] « sinfl^-^+ff»"") (е-л/|1-Ф^0,|)]со3[(<т1-нгп2+*(0,)п/|1-^0,|]

sir,2[|(n, ~ n2 +«r»,0,)(e - «/Il - Cl)]

(13)

где

Sln2[A(e - л/|1 -

nt = integ.d^0' - <гФ(с)] > n2 - integj^0'),

Ф<0) - поток магнитной струны, к - абсолютное значение волнового вектора, направленного вдоль поверхности, <т » ±1 в зависимости от выбора поляризации электрона, е - угол в полярных координатах на поверхности; магнитная и космическая струны пронизывают поверхность в центре координат ; падающая волна распространяется от бесконечности к центру вдоль оси е » о.

Сечение (13) зависит периодически (с периодом равным 1) от величины Ф(0>, обращаясь в нуль при ее целочисленных значениях. Таким образом, можно заключить, что эффект Ааронова-Бома имеет

место и при совмещении магнитнои и коснической струн, и, следовательно, наличие космических струн не влияет на наблюдаемость фазового фактора Ву-Янга.

Формула ( 13) не применима к случаю бесконечного цилиндра (Ф^0) = 1). Нами показано, что в последнем случае стационарное уравнение Шредингера не икеет нетривиальных решений, удовлетворяющих условию конечности. Таким образом, эффект Ааронова-Бома. как эффек* рассеяния электронной волны в поле магнитной струны, отсутствует и фазоЕый фактор Ву-Янга становится ненаблюдаемым в этом случае.

В § 3 рассмотрено решение стационарного уравнения Шродингера на искривленной поверхности с = О. Для такой поверхности

существует лишь одна глобальная геометрическая характеристика - $к полная интегральная кривизна. Для анализа возможности существования решений уравнения Шредингера в случае $к > 1 используются метод Лиувилля-Грина и теория применимости этого метода, разработанная Олвером. Показано, что в этом случае у уравнения Шредингера не существует нетривиальных решений, удовлетворяющих условию конечности. Таким образом, эффект Ааронова-Еома отсутствует и фазовый фактор Ву-Янга становится ненаблюдаемым в случае поверхностей с Ф^0' = О и Ф > I.

В § 4 рассмотрено решение стационарного уравнения Шредингера на искривленной, но асимптотически плоской (+ О)

поверхности. Для такой поверхности существует лишь одна глобальная геометрическая характеристика, в качество которой можно выбрать Показано, что в случае условие конечности волновой

функции вместо с граничным условием, соответствующим выбору направления падающей doj.hu, но определяют однозначно репшнйо уравнения Шредингера. Таким образом, фазовый фактор Ву- Янга становится ненаблюдаемым и в случае поверхностей с Ф + ф<0> = О и

л К

Фк >1.

Пятая глава [3, а,6] посвящена исследованию инфракрасных сингулярнДстей, связанных с виртуальными эффоктами в теориях с взаимодействующими бозиассовыми полыми. Актуальность данного вопроса обусловлена развитием квантовой хромодинамики - паиболео последовательной теории сильных взаииодейстиий. С полным и окончательный решением проблемы инфракрасных сингулнрностой в квантовой хронодинамико непосредственно связано рошенмо основного ьопр'.'са о механизме образования бесцветных адронов иг» цветных

кварков и глюонов. С другой стороны, даже частичное решение этой проблемы в рамках теории возмущений, улучшенной с помощью ренормализационной группы, приводит к ряду важных следствий в феноменологии жестких процессов взаимодействия адронов.

В настоящей главе подводится итог целого этапа исследований на основе пертурбативного подхода инфракрасных сингулярностей в квантовой хромодинамике. Во-пзрвых, показано, как с помощью метода ренормализационной группы решить задачу учета инфракрасных сингулярностей, связанных с виртуальными эффектами, во вгех порядках теория возмущений в логарифмических приближениях. Во-вторых, введена зависящая от импульса аномальная размерность, которая определяет инфракрасную асимптотику синглетного по цвету формфактора кварка. Через девять лет после вычисления этой аномальной размерности в ДЕухпетлевом приближении было обнаружено, что с ней связана функция, определяющая ренорнализационные свойства усредненных по вакууму вильсоновских петель с изломом. И, наконец, в самоч последнее время было обнаружено, что указанная аномальная размерность играет фундаментальную роль в эффективной теории тяжелых кварков, предложенной для описания физики тяжелых адронов.

В § 1 определяются инфракрасный параметр (мера смещения внешних импульсов с массовой поверхности) и ренормализационный параметр (импульс вычитания) из условия равенстэа инвариантных зарядов, являющегося следствием тождеств Уорда-Такахаши-Славнова-Тейлора. Такое определение инфракрасного и

ренормализацкониого параметров позволило использовать уравнения ренсрмализационной группы для нахождения инфракрасных асимптотик в теориях с ввзаимодействующими безмассовыми полями, в тон числе и в квантовой хромодинамике.

В § 2 получено уравнение, описывающее инфракрасное поведение формфактора амплитуды рассеяния частицы во внешнем поле. Применение этого уравнения в рамках квантовой хромодинамики позволяет связать инфракрасное поведение формфактора массивного кварка с инфракрасным поведением инвариантного заряда и получить необходимое условие ненаблюдаемости (удержания), кварка. Использование уравнения я вычислений по теории возмущений позволяет определять инфракрасные асимптотики кварковых формфакторов в логарифмических приближениях. Соответствующая аномальная размерность зависит от отношении импульса внешнего поля к кассе кварка.

В диссертации вычислена в двухпетлевом приближении аномальная

размерность, определяющая инфракрасную асимптотику синглетного по цвету формфактора кварка,

д2) - —2-^Сг(2ес1Ь2е - 1)

+ -аЦс С Гвси,32еГЧ(е-т,) си***,, -

(2п)* Н ^ ¿зЬг2е - б}1 2т) 81,24

е е

- 4с1Ь2е|т)с^2т)<ат1 н ~с^2е|т1ЪЬт1с1т1 о о

+ (Т2 " I?) (2есЬЬ2е " !) + Тг®^0 + ' <14>

где е - 2га)], q - импульс внешнего поля (с}2 < О), ю -

масса кварка, Ср к Сс - значения квадратичного оператора Казимира для фундаментального (кваркового) и присоединенного (глюонного) представления калибровочной группы. Функция (14) положительна при О < < «>, в то время, как функция, определяющая инфракрасную асимптотику инвариантного заряда в двухпепввом приближении, отрицательна. Вследствие этого синглетный кварковый формфактор в приближении, соответствующем учету всех главных и следующих за главными инфракрасных логарифмических членов, убывает с ростом инвариантного заряда в инфракрасном пределе. Именно такое поведение формфактора должно иметь место в случае, если кварки удерживаются внутри адрона.

Шестая глава [1,2,4,7,8] посвящена учету вырождения состояний и связанным вопросам в теориях с взаимодействующими безмассовыми полями. Как известно, малость константы взаимодействия является лишь необходимым, но не достаточным условием применимости теории возмущений. Истинным параметром разложения может оказаться не константа взаимодействия ф2 с 1, а, например, величина фг2п(0г/мг) >1 (О " большой импульс, д - некоторый размерный параметр, 1п(0г/д2) > 1), и поэтому возникает задача суммирования больших логарифмов во всех порядках теории возмущений (например, членов вида (ф2Лп(02/и2) )п, п* 1). Физическая причина возникновения больших логарифмов связана с вырождением различных состояний, приводящим к появление инфракрасных сингулярностей.

В квантовой теории с взаимодействующими безмассовыми поляки, в частности, в квантовой хромодинамике, в которой инеется вершина, связывающая безмассовые гтооны, помимо ьырождения состояния, различающихся числом мягких частиц, существенно также вырождение состояний, различающихся числон жестких частиц с параллельными импульсами. Так, состояние с одним жестким глюонон вырождено с состояниями, содержащими произвольное число жестких глюонов с инпулъсани, направленными в ту же сторону, что и импульс исходного глюона. Для тех кварков, массы которых малы по сравнению с переносимыми импульсами, однокварковое состояние вырождено с состояниями, отличающимися от него числом параллельных глюонов а кварк-антикварковых пар. Такое же вырождение состояний инеет место и в абелевой калибровочной теории с безмассовыни фермионами.

Если вырождение состояний по энергии учитывать с точностью до минимальной энергии Д, которую можно сопоставить с энергетическим разрешением регистрирующего прибора, то и параллельность импульсов жестких частиц следует учитывать с точностью до минимального угла

£ < ¿/»/'о*, который кож но сопоставить с угловым разрешением регистрирующего прибора. Таким образом, в квантовой теории с взаимодействующими бозмассовыми полями жесткая частица окружена не только облаком мягких частиц, сзлучаекых во всех направлениях, но и потоком жестких частиц, излучаемых; под малыми углами вперед по направлению ее движения. Этот поток (струя) имеет форму конуса с осью вдоль направления движения и углом раствора 26.

В § 1 настоящей главы рассматриваются инфракрасные сингулярности в абелевой калибровочной теории с безмассовыми фермионами. На примере процесса рассеяния феркиона во внешнем поле показано сокращение инфракрасных сингулярностей порядка д* при учете вырождения состояний. Начиная с этого порядка оказывается существенным вклад эффектов поляризации вакуума, а так~,е поглощения и излучения фермнон-антифермионных пар.

3 § 2 показано, что, несмотря на сокращение инфракрасных сингулярностей в каждом порядке теории возмущений, суммироьание пс всем радиационным поправкам, описывающем эффекты поляризации вакуума, приводит к подавлению процессов с участием реальных бозонов по сравнению с процессами, а которых эти боэокы заменены на реальные фермион-антифермконные пары. Таким обр&зом, в безкассовой абелевой калибровочной теории бозоны исключаются из спектра

физических состояний и существуют только в виртуальных состояниях, обеспечивая взаимодействие между фермионами. Это взаимодействие, как показано в диссертации, имеет чисто квантовый характер 1 исчезает в классическом' (длинноволновом) пределе. При это» физические заряды фермионов (определяемые взаимодействием не больших расстояниях) обращаются в нуль, следовательно существование заряженных безмассовых фермионов оказывается невозможным.

В § 3 подробно исследуются инфракрасные сингулярности, возникающие при параллельности импульсов безмассовых частиц. Получено выражение для фактора, описывающего излучение жестки} частиц в конус фермионной струи в безмассовой абелево! калибровочной теории. Обсуждается применение полученных результате! к феноненологии процессов взаимодействия высокоэнергетически) электронов с другими частицами. В частности, рассмотрено рассеяние электрона во внешнем электромагнитном поле в ситуации, когде ха актеризующие этот процесс энергии и энергетическое разрешение регистрирующих приборов Д значительно превосходят массу электрона, а угловое разрешение £ превосходит отношение массы к энергии. Вследствие эффектов одевания электрона "шубой" из нефиксируекьо жестких параллельных и мягких фотонов и электрон-позитронных па{ сокращается зависимость сечения процесса от массы электрона, что I диссертации показано в приближении, соответствующем учету главных I следующих за главными логарифмических членов,

где с1сго - сечение в борновском приближении, и с£ - энерги!

начального и конечного электронных состояний, ч - переданны! импульс (ч2 < О) и X - параметр перенормировочной процедуры.

"3 § 4 исследуются инфракрасные сингулярности, возникающие пр] параллельности импульсов безмассовых частиц в квантово; хромодинамике. Показано, что существование трехглюонных верши)

(15]

1 2

приводит

к

появлению

2п.

наряду с главными логарифмическими сингулярностями (вида <г"\1ппд; д - инфракрасный параметр) также и сверхглавных логарифмических сингулярностей (вида <?2"1пп,1д). Однако, сверхглавные логарифмические сингулярности сокращаются при учете перехода виртуального глюона в реальную жесткую параллельную глюонную пару, и в результате для фактора, описывающего излучение жестких частиц в конус кварковой струи, получено выражение

1 +

(2л)'

1 + _а!_*л»и*.

(2п)2 А

а/4

(16)

н

где

2Й - число сортов (ароматов) безнассовых кварков, с - суммарная энергия частиц в струе. Наконец, в завершение настоящей главы показано, что с помощью кварк-глюонных струй можно объяснить логарифмическое нарушение бьеркеновского скейлинга в глубоко неупругом рассеянии лептонов на адронах.

В заключении сформулированы основные результаты

диссертационной работы.

В Приложении 1 проведено вычисление вклада асимптотики аксиально-векторного тока в вакуумный заряд, индуцированный внешним магнитным полем на некомпактной односвязной поверхности с <* - 1. В Приложении 2 показано, что, если односвязная компактная поверхность с краем является локально плоской вблизи края, то полярные координаты на поверхности можно выбрать таким образом, чтобы метрика на поверхности вблизи края зависела только от радиальной координаты. В Приложении 3 приведены выражения для преобразований Лапласа ядер теплопроводности вблизи края односвязной поверхности. Также в этом приложен)-и дан вывод некоторых вспомогательных соотношений для оценки и вычисления бесконечных сумм, содержащих интегралы от модифицированных функций Босселя нецелого порядка. В Приложении 4 описано вычисление радиационных поправок порядка 9* к процессу рассеяния кварка во внешнем симглетном по цвету поле в рамках квантовой хромодинамики.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Fomin P.I., Miransky V.A., Sitenko Yu.A. Infrared problem and boson suppression in tnasslesa Abelian gauge theories //Phys.Lett.-1976,- Vol.64B, N4.- p.444-446.

2. Нкранский В. A., Смтенко Ю. A., Фомин П. И. Инфракрасные сингулярности и подавление бозонов в безнассовой абелевой калибровочной теории //ЯФ. - 1977.-т. 25, вып. 6.-с. 1301-1310.

3. Ситенко Ю. А. Инфракрасные асимптотики кварковых форм-факторов в квантовой хромодинанике //ЯФ.- 1978.- т. 27, вып. 4. - с. 1098-1106

4. Ситенко Ю. А. О сокращении инфракрасных сингулярностей в безмассовой абелевой калибровочной теории.- Киев, 1978.-28с. (Препринт ИТФ-78-29Р).

В. Gusynin V.P., Sitenko Yu.A. Renormalization group and infrared behaviour in theories with coupled massless fields// Nucl.Phys.-1978.-vol. B135, N3.-p.354-364.

6. Sitenko Yu.A. Infrared singularities in quantum chronodynamics //Ir. Proc.il Intern.Symp. on Hadron Structure and Multiparticle Production in Kazimierz, Poland, Hay 20-26, 1979.- Harezawa: Univ.,1979.-p.418-430.

7. Ситенко Ю. А. Кварк-глюонные струи в квантовой хромодинамике (Обзор)//УФ*.-1983.-Т. 28, N12.- С.1761-1779.

8. Ситонко Ю.А. Излучение жестких параллельных частиц в квантовое хронодинамике //УФЖ.-198Б, т. 31, Ml.-с. 5-13.

0. Ситенко Ю.А. О дроблении заряда электрона в магнитном поле при наличии границ //Я*. -1988. т. 47, вып. 1.- С. 292-303.

10. Ситенко Ю. А. Электрон во внешнем магнитном поле: граничные условия, аномалия и индекс // ЯФ. -1988.-т. 48, вып. 4(10).-С.1053-1062.

11. Ситенко Ю. А. О нулевых модах дираковского оператора на некомпактной двумерной поверхности в магнитном поле // ЯФ.-1989.-Т. SO, вып. 3(9) .-С.901-906.

12. Ситенко Ю.A. U(l)- аномалия и нулевые моды в двумерное евклидовой квантовой электродинамике //ТИФ. -1989.-т. 81, N3.-С.369-384.

13. Sitenko Yu.A. Electron on a surface in an external ttagnotic field: hidden cupersymmetry, zero nodes and boundary conditions //In Problems of Modern Quantum Field Theory (Invited Lectures of the Spring School in Alushta, April 24 - May 5,

1989).-Berlin: Springer-Verlag, 1989.- p.146-156.

14. Sitenko Yu.A. Electron-charge fractionization on surfaces of various geometry in an external magnetic field //Nucl.Phys.-1990.- vol.B342, N3, - p.655-679.

15. Ситенко Ю. А. Суперсимметрия в задаче о движении электрона на . поверхности, ортогональной силовым линиян внешнего магнитного

ПОЛЯ //ЯФ. - 1990.-Т. 51, ВЫП. 5.-с. 1416-1428.

16. Sitenko Yu.A. Geometry of the base manifold and fermion number fractionization //Phys.Lett.-1991.-vol.В 253, N1/2.- p.138-142.

17. Sitenko Yu.A. Induced vacuum charge on a noncompact surface in an external magnetic field //In Problems on High Energy Physics and Field Theory (Proc. of the XIII Workshop in Protvino, July 9-13, 1990).- Moskow: Nauka, 1991.- p.132-137.

18. Sitenko Yu.A. The Aharonov-Bohm effect and inducing of vacuum charge by a singular magnetic string //Nucl.Phys.- 1992.-vol. B372, N3. -p.622 - 634.

19. Mishchenko A.V., Sitenko Yu.A. Spectral boundary conditions and index theorem for two-dimensional compact manifold with boundary //Ann.Phys. (NY).- 1992.- vol. 218, N2,- p.199-232.

20. Ситенко Ю. A. О возможной ^наблюдаемости фазового фактора Ву-Янга в искривленном пространстве //ЯФ. - 1992.- т. 56, вып. 4 (10).- С. 2844-2856.

Зам. 400 Формат 60 х 84/16. Обл.-вид. арк. 1,6

Щдписано до друку 31.03. 1993 р. Тираж 100.

Пол!граф{чна д{льниця 1ТФ тм М.М.Боголюбова АН'Укра]сни