Генерация массы и фермионного тока в низкоразмерных моделях с нетривиальной топологией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет Кафедра теоретической физики

СТЕПАНОВ ЕВГЕНИЙ АНДРЕЕВИЧ

ГЕНЕРАЦИЯ МАССЫ И ФЕРМИОННЫЙ ТОК В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ С НЕТРИВИАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

1 ^;: • * ппи I О 1 !;■ \-Л ¿.и 11

Москва — 2014

005548061

005548061

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Владимир Чеславович.

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Василий Николаевич; доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич.

Федеральное государственное бюджетное учреждение "Государственный научный центр Российской Федерации — Институт физики высоких энергий"

Защита состоится " ^ " _2014 г. в час. на заседа-

нии диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, ауд. " 0е?А ".

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова по адресу 119192, г. Москва, Ломоносовский проспект, дом 27 и на странице диссертационного совета Д 501.002.10 на сайте www.phys.msu.ru.

Автореферат разослан " ^ " _2014 года.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук, ___тт л тт

профессор П.А. Поляков

1 Общая характеристика работы

В представленной диссертации были рассмотрены низкоразмерные модели с нетривиальной топологией. Для проведения исследования использовалась модель Гросса-Невё, расширенная введением двух типов фермионов. В рассмотренных моделях проводилась компактификация третьего измерения по кругу радиуса Я в случае периодических и антипериодических граничных условий. В рамках поставленных задач исследовалась генерация фермионной массы в зависмости от разных параметров задачи, таких как радиус компактификации, параметр фазового смещения и калибровочное поле. Получено выражение для эффективного потенциала модели и константы связи. В задаче нанотрубки исследован кинетический вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель. В двух последних главах представленной диссертации исследованы плоские модели с линейными дефектами. Такие линейные дефекты формируют эффективные барьеры на пути прохождения частиц. В рамках поставленных задач получена вероятность прохождения через все возможные линейные барьеры в плоских моделях. Также, что важно, исследована реальная плоская система — графен с линейным дефектом, применительно к которой получен коэффициент прохождения и теоретически обоснованное выражение для вероятности прохождения через рассмотренные барьеры.

1.1 Актуальность темы диссертации

Существует ряд физических проблем, которые не получается объяснить в рамках Стандартной модели. Одним из примеров является проблема иерархии масс элементарных частиц. Возможным решенем данной проблемы является модель Калуцы-Клейна, в которой пространство может иметь более четырех измерений. Оригинальной идеей Калуцы-Клейна является то, что дополнительное пятое измерение компактифицировано с тем, чтобы описать физические процессы в четырехмерном

пространстве-времени нашего мира [1,2]. Многие исследования в этой области указывают на то, что масштаб компактификации должен быть порядка планковского. На планковских масштабах I ~ 10_33см с соответствующей энергией Мр; ~ 1019ГэВ обнаружение дополнительных измерений на данный момент невозможно. Однако с помощью модели Калуцы-Клейна можно получить массы, много меньшие чем т. ~ 1/7?. Генерация массы может осуществляться и с помощью юкавской связи четырехмерных скаляров с компонентой поля А5 из высшего измерения. Такая связь играет роль калибровочной связи, поле А^ нарушает калибровочную и киральную симметрию и играет роль хиггсовского поля [3].

В последние годы, кроме моделей с дополнительными измерениями, развивается и другая область, вызывающая огромный интерес. В 1979 году в работе [4] при исследовании линейных полимеров выяснилось, что непрерывная модель полимерной цепочки совпадает в основном с уже известными одномерными моделями квантованных полей. Теория поля в случае двух пространственных размерностей давно признана важной для понимания некоторых физических явлений, которые могут быть приближенно рассмотрены как плоские.

Примером такой двумерной модели является графен — плоский одноатомный слой углерода, который обладает целым рядом необычных характеристик. В описании графена поведение электронов эффективно подчиняется уравнению Дирака [5-8] и в таком случае удобно рассматривать эту задачу в рамках квантовой теории поля для фермионов в пространстве 2+1 размерности. В таких плоских системах обычно используется модель Гросса-Невё, с помощью которой исследуются свойства симметрии, нарушения киральной симметрии [9], а также задачи на генерацию массы фермионов [10].

Еще одним интересным аспектом низкоразмерных моделей, кроме нарушения симметрии и генерации массы, является теория дефектов в таких моделях. Проблемам низкоразмерных моделей с дефектами, применительно к графену, посвещено много недавних работ [5-7,11,12]. Дефек-

ты формируют неоднородные плотности в графене, что может привести к формированию препятствий на пути прохождения электронов. Очевидно, что если добиться хорошего понимания процессов формирования дефектов в таких моделях и выработать грамотную теорию для описания моделей с дефектами, можно научиться контролировать электронный транспорт в таких системах, что может привести к многим приложениям результатов в наноэлектронике. Из недавних, экспериментально обнаруженных, дефектов стоит отметить топологический линейный дефект, состоящий из одного октогонального и двух пентагональных углеродных колец, периодически повторяющихся вдоль одного направления, встроенные в идеальный лист графена [13] и теоретическое исследование электронного транспорта в графене через эту дефектную линию [14], базирующееся на методе функций Грина.

В настоящей диссертационной работе исследуются модели, объединяющие в себе два актуальных направления, описанные выше. В рамках низкоразмерных моделей с нетривиальной топологией и дополнительным измерением исследуется влияние разных параметров модели на динамическую генерацию массы фермионов. В двумерных плоских задачах с дефектными линиями исследуется электронный транспорт через получившийся эффективный барьер в случае одного и двух типов фермионов. В настоящей диссертации получены новые результаты, которые могут помочь в дальнейшем понимании описанных проблем, в частности, электронного транспорта в графене, что является актуальным на сегодняшний день.

1.2 Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является исследование низкоразмерных моделей с нетривиальной топологией. В рамках моделей с дополнительным измерением основной целью является получение зависимости генерируемой фермионной массы и константы связи от радиуса компактификации, фазового параметра и величины поля. В рамках плос-

ких моделей с линейными дефектами основной целью является получение коэффициента прохождения через полученные эффективные барьеры. Также, что важно, исследована реальная плоская система — графен с линейным дефектом, применительно к которой получен коэффициент прохождения и теоретически обоснованное выражение для вероятности прохождения через рассмотренные барьеры.

1.3 Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые наиболее полна рассмотрена генерация массы в двумерной модели с компактификацией третьего измерения в зависимости от калибровочного поля и периодических и антипериодических граничных условиях для фермионов. В случае модели нанотрубки с размерностью R2 х S1 получен кинетический вклад в фермионную щель — фазу Ааронова-Бома. Данная фаза получена нами как минимум энергии в отличие от модели [15], где аналогичный вклад вводится в теорию искусственно. В рамках плоских моделей разработан псевдоптенциальный подход для описания линейных дефектов в реальных физических системах, таких как графен и показано, что любой линейный барьер можно описать с помощью псевдопотенциала, возникающего из различных возмущений на линии, которые приводят к изменениям в ближней-соседней (nearest-neighbor "NN") и следующей от ближней-соседней (next-nearest-neighbor "NNN") амплитудах перескока и выражаются в виде векторных и скалярных калибровочных полей с матричной структурой подрешеточных (псевдоспиновых) матриц Паули и единичной матрицы в дираковском гамильтониане.

1.4 Научная и практическая значимость работы

Полученные результаты в рамках низкоразмерной задачи с компактификацией указывают на возможность объяснения, актуальной на сегодняшний день, проблемы иерархии масс. Полученные результаты в рамках планарных моделей с линейными дефектами могут помочь в даль-

нейшем понимании и контроле электронного транспорта в плоских системах, таких как графен, что может привести к многим приложениям результатов в наноэлектронике.

1.5 Апробация работы

Содержание различных разделов настоящей кандидатской диссертации представлялось в качестве докладов на научной конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, Москва, 2011г.) и на семинарах кафедры теоретической физики МГУ им. М.В.Ломоносова.

По материалам диссертации опубликованы четыре работы в известных реферируемых журналах, таких как Вестник Московского Университета, Physics Letters В и Journal of Physics: Condensed Matter.

1.6 Публикации

По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы и в тезисах докладов научной конференции, список которых приведен в конце автореферата.

1.7 Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав основного текста, Заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 107 страниц. Диссертация содержит 18 рисунков. Список литературы включает 88 ссылок.

2 Краткое содержание диссертации

Во Введении дано обоснование актуальности темы настоящей диссертации, после чего приведен обзор основных теоретических направлений, в рамках которых проведены исследования, описанные в последующих главах диссертационной работы.

Первый раздел Введения посвящен обзору моделей с дополнительными измерениями. Данные модели являются одним из возможных решений проблемы иерархии масс.

Второй раздел Введения посвящен обзору моделей с малым числом измерений. Особенный интерес к двумерным моделям возникает в физике конденсированного вещества, в рамках которой было открыто большое число важных новых явлений.

Третий раздел Введения посвящен теоретической модели графена с учетом неоднородности структуры. Изменения в расстояниях между атомами и в перекрытии различных орбиталей из-за деформации или искривления приводят к изменениям в ближней-соседней (nearest-neighbor "NN") и следующей от ближней-соседней (next-nearest-neighbor "NNN'') амплитудах перескока. Такие изменения приводят к появлению векторных потенциалов Ах(г), Ау(г) и скалярного потенциала V(r) в дира-ковском гамильтониане [8,12,16]. Также, в данном разделе содержится краткий обзор модели сильной связи графена.

Целью Главы 1 является изучение генерации фермионной массы под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением. Данная модель содержит два типа фермионов (L и Ф), компактифицированное третье измерение и периодические (и антипериодические) граничные условия для фермионов.

В разделе 1.1 осуществляется постановка задачи и приводится обзор литературы по данной проблеме.

В разделе 1.2 описывается исследуемая модель и приводится исходный лагранжиан

¿(3) = фгуМд^ф + [Li^D^L + д2{ЩмЬ)(Ь1мЩ 5{х3), где М = 1,2,3; ц = 1,2; DM = dM- геАМ-

Далее, после некоторых преобразований и компактификации дополнительного измерения приводится окончательное выражение для лагран-

жиана модели

2гЛ +0° +0° / _и \

Ц п=—оо П——00 ^ '

+ Ь1 \а\2 + Гт ^ Ф„Ь + к.сЛ ,

\ п=—оо /

где 771 = Ида, N = — нормировочная константа.

В разделе 1.3 приводится выражение для генерируемой массы в рассматриваемой модели (еАз = а)

а — аП± уДаВ. — а)2 + 4|т|2Д2 Л== 2Я '

Из уравнения видно, что генерируемая масса зависит от параметров Я, а и а. Таким образом мы можем получать различные значения массы, варьируя эти параметры. Данный результат может рассматриваться как указание на одну из возможностей обоснования проблемы иерархии масс (см. [17]).

В разделе 1.4 получено выражение для эффективного потенциала модели

Л

/Икк о

[(кв^тгкЯ) + т2тгЯсЦтгкЯ)) +

о

+ (к2 - т4тг2Д2) зт2(тг(о; - аЯ))} ,

где мы ввели параметр обрезания Л, поскольку интеграл расходится на верхнем пределе.

В разделе 1.5 с помощью уравнения щели ^^ = 0 получено выражение для критической константы связи, которая определяется из условия |сг| = О

, 8тг2Д

9с =

, Г сЬ(2д-Д)-соз(2я-Да/Л-2я-а) 1 Ш [сЬ(27гй4)-со5(2я-Ло/Л-2тга)]

После чего исследовано поведение критической константы связи в зависимости от параметров модели и приведены соответствующие графики.

В разделе 1.6 исследуется случай, когда переменная а является динамической величиной. Находятся значения параметра а, при которых достигаются экстремальные значения эффективного потенциала. Далее, при полученных значениях параметра а выводятся выражения для критической константы связи и генерируемой массы модели.

В разделе 1.7 рассматривается асимптотическое поведение константы связи при нулевом значении поля А. Случай, когда радиус компак-тификации Л 0, соответствует двумерной модели, а случай Я —> оо — трехмерной модели. В данных асимптотиках получена двумерная и трехмерная константы связи и проведено сравнение полученных результатов с известными случаями, описанными в литературе.

В разделе 1.8 исследуется связь параметра обрезания введенном в модель, с конденсатом тп. Для этого рассматривается критическая константа связи в двух предельных случаях Д 0 и Д —оо.

В разделе 1.9 сформулированы основные выводы первой главы настоящей диссертационной работы.

Целью Главы 2 является изучение влияния магнитного потока на поведение фермионов в двумерной модели с нетривиальной топологией.

В разделе 2.1 осуществляется постановка задачи и приводится обзор литературы по данной проблеме. В данной главе исследуется модель с 2+1 измерением с компактификацией как нанотрубка размерности В? х 51 с реальным полем. Реальное магнитное поле в данной задаче создает только магнитный поток, что соответствует задаче Ааронова-Бома [18].

В разделе 2.2 исследуется вклад фазы Ааронова-Бома в фермион-ную щель рассматриваемой модели. В данном разделе вычисляется кинетический вклад в генерируемую массу фермионов в виде фазы Ааронова-Бома. Искомая фаза получается из экстремума эффективного потенциала по параметру поля а и дается выражением ср = \ — а). Зависимость фермионной щели от фазы Ааронова-Бома дается выражением

Л = ip ± yV2 + 1то12- Также, в данном разделе приводится график зависимости фермионной щели от фазы Ааронова-Бома.

В разделе 2.3 исследуется эффект вакуумной поляризации, приводящий к возможности образования индуцированного тока в модели на-нотрубки в присутствии реального поля. Индуцированный ток J = направлен вдоль третьей координаты и дается выражением (и = eA^R)

оо

_ Г_dxx leflsin(27Ti/) (то4тг2Д2 - х2)_

tad ~ J [сЬ(2тгRx) - cos(2tti/)] г2 + 2тгЛх|га|2sh(2jrRx) + [сЬ(2л-Лг) + cos(27ri/)](7rfl|m|2)2'

Далее приведены графики зависимости индуцированного тока от различных параметров модели.

В разделе 2.4 сформулированы основные выводы второй главы настоящей диссертационной работы.

Целью Главы 3 является изучение прохождения через барьер в двумерной четырехфермионной модели с двумя типами фермионов.

В разделе 3.1 осуществляется постановка задачи. В данной модели исследуется взаимодействие двух типов фермионов, которое создает конденсат, расположенный вдоль оси х, формируя эффективный линейный барьер для прохождения фермионов. Основной задачей данной главы является вычисление вероятности прохождения фермионов через этот барьер.

В разделе 3.2 рассчитывается искомый коэффициент прохождения в двух вариантах - для моделей с 8 - потенциалами: а^ - потенциалом и а\5 - потенциалом.

В случае сг2<5 - потенциала коэффициент прохождения равен единице.

В случав <Ti<5 - потенциала выражение для коэффициента прохождения дается формулой

у, = _sin4??_

1 + cos4 ф- 2 cos2 ф cos 2V0'

где V0 = .

В разделе 3.3 сформулированы основные выводы второй главы настоящей диссертационной работы.

Целью Главы 4 является построение и исследование псевдопотенциальной модели для дираковских электронов в модели графена с линейными дефектами.

В разделе 4.1 осуществляется постановка задачи и приводятся физические примеры рассматриваемой модели. В рамках данной задачи рассматриваются все возможные типы линейных барьеров, расположенные для удобства в одном и том же месте на оси х и описываемые как предельный случай псевдопотенциала W{x), который зависит от псевдоспинового (подрешеточного) индекса и индекса долины (дираковской точки).

В разделе 4.2 производится построение псевдопотенциальной модели для линейных дефектов в графене. Для описания линейных дефектов можно записать Гамильтониан в виде

НТ = —ш\дх - 1та2ду + WT(x), где мы введем псевдопотенциал WT(x)

WT(x) = WT5{x) = (al - bi<7i - Ь2т<т2 + b3a3) S(x).

В разделе 4.3 рассматривается прохождение через дефектную линию в двух важных частных случаях.

В случае bj ф 0, а = Ъ2 = &з = 0 коэффициент прохождения через дефектную линию равен единице Т = 1.

В случае £>i = 0, а ф О, Ь2 ф 0, ф 0 коэффициент прохождения через дефектную линию дается выражением

1 cos2 /3

2Wr) = ^N cos2 Р + twtfN'

Также, в данном случае рассчитывается значение долинной поляризации, которая определяется как

р = Т(т=+1) - Г(т=-1)

Т(г=+1) + Т{т=-1) 12

и будет равна

_ 2ab2 sin /3 tanh2 N

r ~ cos2 + Ц- а2) + (а2 + Ь\ sin2 /3) tanh2 N

Далее производится сравнение полученных результатов с некоторыми важными частными случаями, описанными в литературе, что подтверждает наше предположение о том, что дефекты в графене могут быть описаны гамильтонианом, содержащим эффективные векторные и скалярные потенциалы, зависящие от изменений в ближней-соседней (nearest-neighbor "NN") и следующей от ближней-соседней (next-nearest-neighbor "NNN") амплитудах перескока.

В разделе 4.4 производится численный анализ полученных результатов и приводятся графики зависимости коэффициента прохождения и долинной поляризации от угла падения при различных параметрах модели.

В разделе 4.5 сформулированы основные выводы второй главы настоящей диссертационной работы.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. В рамках задач с компактифицированным дополнительным измерением при наличии четырехфермионного взаимодействия и калибровочного поля найдена фермионная щель, зависящая от радиуса компактификации, значение которой может быть много меньшей, чем масса Калуца-Клейновских фермионов. Этот результат говорит о том, что с помощью данных моделей существует возможность объяснить иерархию масс и полученные массы могли бы быть детектированы экспериментально. В подтверждение этому в рассмотренных моделях найдена константа связи, зависящая от радиуса компактификации.

2. Получено выражение для индуцированного тока в моделях с компактифицированным дополнительным измерением и показано, что

именно эффект вакуумной поляризации приводит к возможности его появления.

3. В случае модели нанотрубки с размерностью Я,2 х й"1 исследовано влияние магнитного поля на генерацию фермионной массы. Показано, что наряду с динамическим вкладом присутствует кинетический вклад в фермионную щель — фаза Ааронова-Бома. Данная фаза получена нами как минимум энергии в отличие от модели [15], где аналогичный вклад вводится в теорию искусственно.

4. Для плоских моделей с линейными дефектами в отсутствие компак-тификации в случае двух типов фермионов рассчитана вероятность прохождения через получившиеся линейные эффективные барьеры. Рассмотрено два вида линейных барьеров, описываемых сг2<5 - и а\6 - потенциалами.

5. Исследована реальная физическая система — плоский графен с линейным дефектом, в рамках которой получено теоретически обоснованное выражение для вероятности прохождения через линейные барьеры. Показано, что любой линейный барьер можно описать с помощью псевдопотенциала, возникающего из различных возмущений на линии, в частности различных деформаций, которые приводят к изменениям в NN и NNN амплитудах перескока и выражаются в виде векторных и скалярных калибровочных полей с матричной структурой подрешеточных (псевдоспиновых) матриц Паули и единичной матрицы в дираковском гамильтониане.

Публикации автора по теме диссертации

1. Жуковский Б.Ч., Степанов Е.А. Генерации фермионной массы с участием фермионов Калуцы-Клейна под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением // Вестник Московского Университета. Серия 3, №1, 58 (2012);

2. Zhukovsky V.Ch., Stepanov Е.А. Effective (2+l)-dimensional field theory of fermions: fermion mass generation with Kaluza-Klein fermions and gauge field // Physics Letters В 718, 597 (2012);

3. Жуковский В. Ч., Степанов Е.А. Индуцированный ток и прохождение через барьер в четырехфермионной модели с 2+1 измерением // Вестник Московского Университета. Серия 3, №2, 36 (2014);

4. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Stepanov Е.А. Pseudopotential model for Dirac electrons in graphene with line defects // Journal of Physics: Condensed matter 26, 125502 (2014);

5. Жуковский В. Ч., Степанов Е.А. Генерации фермионной массы с участием Калуца-Клейновских фермионов в модели с 2+1 измерениями под влиянием калибровочного поля // Ломоносовские чтения. Секция физика. Ноябрь 2011.

Список литературы

[1] Kaluza Т. Zum unitätsproblem der physik // d. Preuss. Akad. d. Wiss. Sitzungaber. 966 (1921);

[2] Klein 0. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie // Zeitsch. f. Phys. 37, 895 (1926);

[3] Sundrum R. Tasi 2004 lectures: To the fifth dimension and back // arXiv:hep-th/0508134;

[4] Su W.P., Schrieffer J.R., Heeger A.J. Solitons in polyacetylene // Phys. Rev. Lett. 42, 1698 (1979);

[5] Wallace P.R. The band theory of graphite // Phys. Rev. 71, 622 (1947);

[6] Semenoff G. W. Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly // Phys. Rev. Lett. 53, 2449 (1984);

[7] Gusynin V.P., Sharapov S.G., Carbotte J.P. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. В 21, 4611 (2007);

[8] Castro Neto A.H. Selected topics in graphene physics // arXiv:1004.3682 [cond-mat.mtrl-sci];

[9] Caldas H., Rudnei O. Ramos Magnetization of Planar Four-Fermion Systems // Phys. Rev. В 80, 115428 (2009);

[10] Drat J.E., Son D.T. Renormalization group flow of quartic perturbations in graphene: Strong coupling and large-N limits // Phys. Rev. В 77, 075115 (2008);

[11] Nair R.R., Sepioni M. et al. Spin-half paramagnetism in graphene induced by point defects // Nature Physics 8, 199 (2012);

[12] Castro Neto A.H., Guinea F. et al. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009);

[13] Lahiri J., Lin Y. et al. An extended defect in graphene as a metallic wire 11 Nat. Nanotech. 5, 326 (2010);

[14] Jiang L., LvX., Zheng Y Valley polarized electronic transport through a line defect in graphene: An analytical approach based on tight-binding model // Phys. Lett. A 376, 136 (2011);

[15] Gamayun A.V., Gorbar E.V. Dynamical symmetry breaking on a cylinder in magnetic field // Phys. Lett. B 610, 74 (2005);

[16] Vozmediano M.A.H., Katsnelson M.I., Guinea F. Gauge fields in graphene // Physics Reports 496, 109 (2010);

[17] Zhukovsky V.Ch., Stepanov E.A. Effective (2+l)-dimensional field theory of fermions: fermion mass generation with Kaluza-Klein fermions and gauge field // Phys. Lett. B 718, 597 (2012);

[18] Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev. 115, 485 (1959);

Подписано к печаля Тнрта _

Огпсната.но н еггделе оперзтияион печэти физического ф:гку.Аътс-П1 МГУ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет Кафедра теоретической физики

На правах рукописи

04201457764

СТЕПАНОВ ЕВГЕНИЙ АНДРЕЕВИЧ

УДК 530.1

ГЕНЕРАЦИЯ МАССЫ И ФЕРМИОННОГО ТОКА В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ С НЕТРИВИАЛЬНОЙ

ТОПОЛОГИЕЙ

Научный руководитель д. ф.-м. н. Жуковский В. Ч.

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2014

Оглавление

Введение 4

Предисловие ..................................................4

Модели с дополнительными измерениями..................5

Модели с малым числом измерений ........................12

Теоретическая модель графена с учетом неоднородности

структуры................................................20

1 Генерация фермионной массы под влиянием калибровочного поля в модели с 2+1 измерением 27

1.1 Введение..................................................27

1.2 Модель....................................................29

1.3 Спектр масс..............................................30

1.4 Эффективный потенциал модели......................33

1.5 Критическая константа связи..........................35

1.6 Динамическое поле а....................................40

1.7 Асимптотическое поведение константы связи .... 41

1.8 Связь параметра обрезания £ с конденсатом т . . . 44

1.9 Выводы..................................................45

2 Влияние магнитного потока на поведение фермионов в двумерной модели с нетривиальной топологией 47

2.1 Введение..................................................47

2.2 Вклад фазы Ааронова-Бома в фермионную щель . . 50

2.3 Индуцированный ток....................................54

2.4 Выводы..................................................58

3 Прохождение через барьер в двумерной четырехфермионной модели с двумя типами фермионов 60

3.1 Введение..................................................60

3.2 Коэффициент прохождения............................61

3.3 Выводы..................................................66

4 Псевдопотенциальная модель для дираковских электронов в модели графена с линейными дефектами 67

4.1 Введение..................................................67

4.2 Псевдопотенциал для эффективного двумерного уравнения Дирака......................................71

4.3 Прохождение через барьер..............................76

4.3.1 Случай Ьх Ф 0, а = Ь2 = Ъъ = 0..................76

4.3.2 Случай Ъх = 0, а Ф О, Ь2 Ф 0, Ъъ Ф 0............78

4.3.3 Сравнение с другими моделями................79

4.4 Численный анализ результатов........................84

4.5 Выводы..................................................91

Заключение 93

Список опубликованных работ 97

Литература 98

Введение

Предисловие

Одной из главных задач физики является изучение свойств окружающего мира, законов его изменения и функционирования. Само слово "физика" вводится Аристотелем в своих сочинениях, датируемых IV веком до нашей эры. Изначально термины "физика" и "философия" были синонимами, поскольку обе эти дисциплины пытались объяснить законы мироустройства. Сначала человечество нуждалось в описании только тех процессов и явлений, которые были видимы невооруженным взглядом. Но с течением времени, строение окружающего мира усложнялось, происходили многие открытия, ставились эксперименты, исследовались новые явления природы и людям стал необходим обширный научный аппарат для описания новых свойств и закономерностей вселенной. Так, начиная с XVI века, физика из наблюдательной дисциплины превратилась в отдельное научное направление. Физическое понимание процессов, происходящих в природе, постоянно развивается. Однако новые исследования постоянно поднимают новые загадки и обнаруживают явления, для объяснения которых требуются новые физические теории. Таким образом, кроме описания видимых глазу явлений, появляется острая необходимость понимания процессов, которые

невозможно наблюдать непосредственно. С появлением в первой половине XX века квантовой физики, описание части таких процессов в микромире стало возможным. В настоящее время физика микромира активно исследуется с целью создания общей фундаментальной теории поля. Большим прорывом в этом направлении было начало создания Стандартной модели, которая на сегодняшний день наиболее полно описывает физику элементарных частиц до планковских масштабов 10-33см, соответствующая энергия Мр1 ~ 1019ГэВ) и является базисом для построения общей теории поля высоких энергий. В середине 80-х годов в ходе экспериментов было подтверждено существование промежуточных векторных бозонов, что завершило построение Стандартной модели, а совсем недавно, в 2012 году на ЬНС было экспериментально подтверждено существование бозона Хиггса, что и поставило окончательную точку в формировании модели. Но остановиться в исследованиях на создании Стандартной модели не представляется возможным, поскольку существует еще множество проблем, которые не получается объяснить в рамках Стандартной модели. Это и является основным стимулом для создания более общей теории, которая бы описывала все физические процессы на высоких энергиях, низкоэнергетическим пределом которой была бы Стандартная модель.

Модели с дополнительными измерениями

Одной из физических проблем, выходящих за рамки Стандартной модели является проблема иерархии масс. Стандартная модель включает в себя три поколения элементарных частиц. Соответству-

ющие частицы из разных поколений взаимодействуют одинаково, но массы их отличаются на порядки. Одним из возможных решений данной проблемы является модель Калуцы-Клейна, в которой пространство может иметь более четырех измерений. Оригинальной идеей Калуцы-Клейна является то, что дополнительное пятое измерение компактифицировано с тем, чтобы описать физические процессы в четырехмерном пространстве-времени нашего мира [1,2]. В таком случае при изучении обычных физических явлений в пределе малого радиуса компактификации Я —> О пространство-время выглядит как четырехмерное. Основной стимул для рассмотрения пространства как многомерного дают теории, которые включают в себя гравитацию, например теория струн. Почти все эти теории формулируются в пространстве-времени с числом измерений больше четырех. Многие исследования в этой области указывают на то, что масштаб компактификации должен быть порядка планковского. На планковских масштабах / ~ 10-33см с соответствующей энергией Мр1 ~ 1019ГэВ обнаружение дополнительных измерений на данный момент невозможно, поскольку даже на самом современном ускорителе ЬНС (Большом Адронном Коллайде-ре) достигаются энергии порядка 8ТэВ (в настоящее время он модернизируется с тем, чтобы достигать энергии порядка 13-14Тэв), что пока много меньше требуемых энергий.

Однако, существуют модели с дополнительными измерениями, размер которых больше планковского, что делает возможным их непосредственное обнаружение. Недавно, объектами рассмотрения ученых стали теории, в которых материя локализуется на трехмерной "бране", которая расположена в многомерном пространстве.

Примерами таких теорий являются модели ADD [3] и Рэндалл-Суидрума [4], в которых дополнительные измерения могут иметь достаточно большой размер, из-за чего появляется возможность их экспериментального детектирования. По этой причине рассматриваемые теории мира на бране вызывают большой интерес для исследования.

Остановимся подробнее на некоторых моделях с дополнительными измерениями (см., например [5]).

1) Модель K-K (Kaluza-Klein) [1,2]

Рассмотрим модель Калуцы-Клейна в случае одного дополнительного измерения х5 в 4+ 1 мерном пространстве (л^,*5). Индекс ¡.i пробегает значения /л = 0,1,2,3,. В случае малых энегрий физика в рассматриваемой модели будет четырехмерной, поскольку дополнительное измерение х5 будет компактифицировано по окружности радиуса таким образом дополнительное измерение в нашем четырехмерном мире проявляться не будет. Процесс компактифика-ции подразумевает то, что дополнительная координата х5 принимает значение от 0 до 2nR, а точки х5 = О и х5 = 2nR являются тождественными. Получившееся четырехмерное пространство выглядит как цилиндр с бесконечными тремя измерениями je1,*2,*3 и четвертым измерением х5 — окружностью радиуса R. Запишем полный набор волновых функций свободной безмассовой частицы для получившейся модели с компактификацией как решение пятимерного уравнения Клейна-Гордона

фр,п = № 7

где ри — (3 + 1)-мерный импульс, а п - 0, ±1,+2,____ Поскольку

ф(х, х5) удовлетворяет уравнению □(5)*А = 0, можно получить

п2

Из получившегося выражения видно, что при малых энергиях ниже 1 //?, в модели существуют только однородные состояния с п = О, таким образом дополнительное измерение при таких энергиях проявляться не будет и физика будет четырехмерной. При энергиях больше 1/7? будут существовать неоднородные состояния с п Ф 0, а значит физика из четырехмерной будет переходить в пятимерную.

В четырехмерном пространстве - времени состояния Калуцы-Клейна — это частицы с массами тп = \n\IR, а значит любое поле можно описать башней состояний Калуцы-Клейна, состоящей из частиц с возрастающими массами. При низких энергиях ниже 1//? существуют только безмассовые частицы, а при энергиях Е ~ начинают рождаться массивные, откуда, согласно многим экспериментам, следует что энергия 1//? должна быть порядка планков-ской Мр1 ~ 1019ГэВ 10"33см).

Однако с помощью модели Калуцы-Клейна можно получить массы, много меньшие чем т = 1 /Я. Генерация массы может осуществляться и с помощью юкавской связи четырехмерных скаляров с компонентой поля А5 из высшего измерения. Такая связь играет роль калибровочной связи, поле А5 нарушает калибровочную и киральную симметрию и играет роль хиггсовского поля [6]. Дей-

ствие такой модели выглядит следующим образом

= ^ с14х ^

где

г^ = Уц, Г5 = -1у5,

где у — матрицы Дирака, а индексы //=0,1,2,3; М = 0,1,2,3,5. После компактификации пятого измерения по кругу радиуса

+оо

X5

Ч\х,ф)= £ ф =—,

П-—00

действие выглядит следующим образом (а = gA5, = 0)

5ч> = 2тгД ГйАх^Ч{п\х)

^ п

I р — т — I

(п >

'--а

\Я }

ад,

где явно присутствует, описанная выше, юкавская связь. При малых значениях поля А5 эффективный потенциал такой модели можно записать в виде

~ ЛД +

J (2л-)4

-41п

- (2 ^Л5У

-2л7? ^р2+т2

-2яК л/

р2+т2

+ (2тгЯ8А5У

-2лЛ Ур2+т2

-4л-/? д/р2+т2

(-

+

р2+т2

^ _ ^р2+т2

где Л — константа, не зависящая от Л и а. Из полученного вы-

ражения явно видно, что вакуум характеризуется нетривиальным значением среднего А5, отличного от нуля. Можно переписать эффективный потенциал в виде

Veff = AR + [ci - c2(m)N](Ra)2 + [с3 + c4(m)N](Ra)4,

где ci, С3 упорядоченные и положительные, а С2, С4 зависимые от 5D фермионных масс т константы, а N номер вида фермиона. Можно получить для т следующие соотношения

-С] + C2(m)N = s 1 с3 + c4(m)N ~ 0(1) ,

откуда следует, что существует локальный минимум эффективного потенциала

gR

При выборе разных радиусов компактификации можно получить разные физические массы для фермионов, что приводит к иерархии масс. Получившиеся массы много меньше масс Калуцы-Клейна

л/е г m\v± —-— V^kk ,

а значит их уже можно детектировать в ходе нынешних экспериментов.

2) Модель ADD (Arkani-Hamed-Dimopoulos-Dvali) [3]

Одним из примеров модели мира на бране является модель ADD. Очевидно, что физика при низких энергиях должна быть четы-

рехмерной. При рассмотрении моделей, учитывающих все типы взаимодействий, кроме гравитационного, четырехмерности физики можно добиться с помощью локализации материи на бране. Гравитационное взаимодействие можно включить в рассматриваемые модели разными способами. В модели ADD рассматривают брану без натяжения (плотность энергии на единицу трехмерного объема браны) и вводят компактные дополнительные измерения. В таком случае размер дополнительных измерений не обязан быть малым. Поскольку только динамика на бране определяет те энергии, при которых гравитационное взаимодействие из четырехмерного становится многомерным, то размер дополнительных измерений может быть намного меньше R. При энергиях меньше 1/R все взаимодействия, кроме гравитационного, являются четырехмерными. Гравитационное взаимодействие, как показывают опыты, четырехмерно, вплоть до расстояний R = 0.2мм [7], таким образом дополнительные измерения могут быть порядка R = 0.1мм.

3) Модель R-S (Randall-Sundrum) [4]

Л.Рендалл и Р.Сундрум предложили модель, в которой, в отличие от модели ADD, учитывается натяжение браны, т.е. ее собственное гравитационное поле. Отличительной особенностью данной теоретической модели является то, что компактификация дополнительного измерения производится с помощью введения двух бран, с положительным натяжением сг в положении х5 = 0 и отрицательным натяжением —сг в положении х5 = -^rbifold- Врана с отрицательным натяжением помещается в фиксированную точку

орбифолда, для того чтобы не позволить ей свободно колебаться, поскольку это могло бы приводить к физическим возбуждениям бесконечно большой отрицательной энергии. Дополнительное измерение при таком взаимном расположении бран будет компактифицировано, поскольку х5 пробегает значения от х5 = 0 до х5 = -^гЬИ-о1(1-Все бозонные поля в данной модели должны быть симметричны относительно отражений относительно двух бран, что является следствием помещения браны с отрицательным натяжением в точку орбифолда. Это граничное условие исключает возбуждения с отрицательной энергией, а значит в модели присутствуют только возбуждения с положительной энергией. В рассматриваемой теории массы находятся в диапазоне нескольких ТэВ, что создает возможность для их детектирования.

Таким образом, многомерные теории являются одним из способов объяснения иерархии масс элементарных частиц.

Модели с малым числом измерений

В последние годы, кроме моделей с дополнительными измерениями, развивается и другая область, вызывающая огромный интерес. Это теории с небольшим количеством пространственно - временных измерений (так называемые низкоразмерные модели, см., например [8-11], а также [12-15] и указанную там литературу). В 1979 году в работе [16] при исследовании линейных полимеров выяснилось, что непрерывная модель полимерной цепочки совпадает в основном с уже известными одномерными моделями квантованных полей. Теория поля в случае двух пространственных размер-

ностей давно признана важной для понимания некоторых физических явлений, которые могут быть приближенно рассмотрены как плоские. Особенный интерес к двумерным моделям возникает в физике конденсированного вещества, в рамках которой было открыто большое число важных новых явлений.

Примером такой двумерной модели является графен — плоский одноатомный слой углерода, который обладает целым рядом необычных характеристик [17-19]. В ряде недавних исследований [20-22] были открыты аномальный эффект Холла, необычные свойства проводимости и ряд других интересных характеристик материала. В этих исследованиях было показано, что переносчики заряда в графене обладают нулевой эффективной массой. Действительно, холловская проводимость в графене у = ±(\п\ + 1/2) квантуется аналогично теории эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов. Особенностью эффекта Холла в графене является то, что его можно наблюдать даже при комнатной температуре (при значениях магнитного поля больше 20Т) [23].

В описании графена поведение электронов эффективно подчиняется уравнению Дирака [24-27] и в таком случае удобно рассматривать эту задачу в рамках квантовой теории поля для фермионов в пространстве 2+1 размерности. В частности модели Гросса-Невё [28] и Намбу-Йона-Лазинио [29-32] хорошо подходят для рассмотрения подобных задач. В таких плоских системах модель Гросса-Невё обычно используется для исследования свойств симметрии, нарушения киральной симметрии [33], а также для задач генерации массы фермионов [34].

Вторым примером теории с малым числом пространственно -

временных измерений является полиацетилен. Интерес к этой модели вызван рядом причин. С экспериментальной точки зрения появляется возможность создания нано-полупроводниковых устройств из этого материала, а с теоретической точки зрения эту модель можно представить как одномерную модель графена. В задаче [35] была рассмотрена модель полиацетилена в рамках модели Гросса-Невё с размерностью 1+1 и было рассмотрено нарушение кираль-ной симметрии и генерация фермионной массы. Низкоразмерные модели с электромагнитными полями и нетривиальной топологией подобные двумерной модели графена и фулле-рена рассматривались в недавних работах [36-38]. Подобная проблема также обсуждалась в работе [39] как модель углеродной на-нотрубки (см. также [40-42]). В модели [39] исследовалась генерация массы фермионов под влиянием внешнего магнитного поля Ааронова-Бома [43]. Также, под действием внешнего магнитного поля может происходить поляризация вакуума (см., например, [44,45] и другие работы), что сказывается на появлении индуцированного тока в модели. В работе [45] была рассмотрена поляризация вакуума в графене в поле тонкого соленоида и было исследовано возникновение индуцированного тока. Остановимся подробнее на основных моделях, упомянутых выше.

1) Модель Гросса-Невё (Сгоэз-^еуеи) [28]

Данная модель обладает киральной симметрией и используется для описания фермионов в двумерном пространстве-