Решёточные матричные модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА РАН

ОТДЕЛ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ЗАРЕМБО КОНСТ.

На правах рукописи УДК 539.12, 539.145

ЛЬВОВИЧ

РЕШЕТОЧНЫЕ МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в отделе квантовой теории поля Математического институт им. В.А.Стеклова РАН.

Научные руководители:

доктор физ.-мат. наук,

чл.-корр. РАН A.A. Славнов

Официальнные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук A.A. Белавин (ИТФ)

доктор физ.-мат. наук Б.Л. Воронов (ФИРАН)

Ведущая организация: Институт Ядерных Исследований (г. Москва).

Зашита состоится "М." шок* _ 1997 г.

в A4 час. на заседании Специализированного Совета при МИРАН г

адресу: 117966, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова 42, Математический Институт ш В.А.Стеклова РАН, аудитория Q

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Институт им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан " (р " AA.OJb>_ 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

доктор физ.-мат. наук Ю.Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию некоторых теоретико-полевых и матричных моделей в рамках 1/Лт-разложения. Разложение по степеням обратного числа цветов первоначально было предложено для квантовой хромодинамики (КХД), в последние годы матричные модели и 1 /А'-разложение для них примененялись в теории некритических струн и двумерной квантовой гравтации. В данной диссертации изучались системы, занимающие промежуточное положение между теорией поля и матричными моделями. Развитые при этом методы могут оказаться полезными и для более сложных теоретико-полевых систем; полученные результаты могут быть использованы при исследовании связи теории поля с теорией струн.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ связана с тем, что методы 1 /А^-разложения и матричные модели нашли широкое применение в квантовой теории поля и теории струн. Разложение по степеням 1/А' является, пожалуй, наиболее перспективным подходом к квантовой хромодинамике, не связанным с. теорией возмущений. В КХД -£{/(3)-калибровочной теории сильных взаимодействий - эффективная константа связи растёт с уменьшением характерной энергии, в результате чего теория возмущений непригодна для описания низкоэнергетических свойств сильного взаимодействия в рамках КХД. Отсутствие естественного малого параметра делает исследование инфракрасных свойств КХД чрезвычайно сложной задачей. В связи с этим было предложено считать малым параметром обратное число цветов - 1 /Аг [1]. В SU(N)-калибровочной теории существует регулярное разложение по степеням этого параметра. Хотя реально число цветов не очень велико - N = 3, оценки показывают, что уже нулевой порядок, то есть предел N —> оо, имеет 10-15% точность.

К сожалению, КХД остаётся слишком сложной даже в многоцветовом пределе. По-видимому, для получения каких-либо количественных результатов придётся делать дополнительные упрощающие приближения. В связи с этим представляет интерес изучение более простых моделей, в которых предел Лг —> оо может быть исследован до конца. Используемые при этом методы могут оказаться полезными при решении более сложных и физически более, содержательных задач. Кроме того, общие качественные свойства, которые следует ожидать от КХД в пределе бесконечного числа цветов, должны проявляться и в упрощённых моделях. Следует отметить, что известно не так много теоретико-полевых моделей, точно решаемых в многоцветовом приближении.

Важный аспект 1/А'-разложения заключается в его струнной интерпретации. На качественном уровне связь 1 /Л^-разложения с теорией струн может быть установлена. в рамках теории возмущений. Правила фейнмановской диаграммной техники для калибровочных полей могут быть переформулированы таким образом, что каждая диаграмма будет иметь определённый порядок по 1/А^ [1]. При этом диаграммы имеют естественную топологическую классификацию, такую же, как и мировые поверхности струны, распространяющейся в четырёхмерном пространстве-времени.

Суммирование диаграмм определённой топологии служит аналогом интегрирования по координатам струны и по внутренним метрикам на мировой поверхности, а 1 /Л'2 играет роль струнной константы связи. Более определённых результатов, касающихся связи многоцветовой квантовой хромодинамики с теорией струн, пока не получено.

Тем не менее, такая связь вполне последовательно разработана для нульмерных матричных моделей. Тот факт, что теорию возмущений для матричных интегралов можно рассматривать как сумму по дискретизованным случайным поверхностям, оказался чрезвычайно полезным в теории некритических струн и двумерной квантовой гравитации. В непрерывном пределе такой подход совершенно эквивалентен описанию флуктуаций метрики с помощью теории поля на мировом листе, но в некоторых отношениях он оказался более удобным. Связано это с наличием хорошо разработанных методов 1/Л^-разложения для матричных моделей [2]. В частности, матричные модели позволяют дать непертурбативное описание флуктуаций топологии [3], что практически невозможно сделать в рамках непрерывного подхода. Таким образом, с точки зрения двумерной квантовой гравитации изучение матричных моделей мотивируется статистической интерпретацией соответствующих им диаграмм теории возмущений. Кроме того, оказалось, что в матричных моделях естественным образом возникают некоторые математические объекты, характерные для теории струн.

Интересно, что у матричных моделей есть многомерное обобщение, поддающееся анализу с помощью методов, близких к используемым при О < 1. Эта модель, предложенная Казаковым и Мигдалом [4], формулируется на решётке и описывает взаимодействие скалярного поля в присоединённом представлении 5'(/(Аг) с калибровочными полями, которые не имеют кинетического члена. Она также может представлять интерес с точки зрения теории некритических струн. Кроме того, модель Казакова-Мигдала тесно связана с решёточной КХД при конечной температуре [5]. Термодинамика КХД представляет интерес, прежде всего, в связи с описанием фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. В ¡замках теории поля наличие такого перехода впервые было продемонстрировано в пределе сильной связи решёточной теории [6]. Рассмотренная в [б] модель очень близка к предложенной Казаковым и Мигдалом, и может быть подробно исследована аналогичными методами.

ЦЕЛЫО РАБОТЫ является:

1. Развитие методов 1/Аг-разложения для фермионных и суперсимметричных матричных моделей.

2. Исследование алгебры связей, возникающих из петлевых уравнений в решёточной калибровочной теории. Кратко обсуждается непрерывный предел.

3. Исследование решёточных калнбровочно-инварнантных матричных моделей в пределе N—»00.

4. Применение методов ^Л^-разложения для описания фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в модели неабелевого кулоновского газа и в решёточной

калибровочной теории в пределе сильной связи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы заключается в следующем:

1. В диссертации развиты методы решения нового класса матричных моделей - фермионных и суперсимметричных. Статистическая сумма фермионной модели определяется как интеграл по матрицам, элементы которых представляют собой независимые грассмановы переменные. Такие интегралы не сводятся к собственным значениям, поскольку такое понятие не определено для фермионных матриц. Тем не менее, фермионные матричные модели можно точно решить в пределе N —* оо с помощью петлевых уравнений. В диссертации найдено решение фермионной одноматрич-ной модели для произвольного потенциала взаимодействия; для фермионной двух-матричной модели задача сведена к алгебраическому уравнению. Предложен метод решения суперсимметричных матричных моделей, использующий, кроме уравнений Швингера-Дайсона, также тождества Уорда. Такие модели определяются интегралом как по бозонным, так и по фермионным матрицам, которые связаны преобразованиями с.уперсимметрии. Планарные диаграммы для суперсимметричных моделей имеют статистическую интерпретацию в терминах ветвящихся полимеров. Исследовано критическое поведение для супермсимметричных моделей, найдены новые типы :кейлинговых режимов. Изучены также суперсимметричные двухматричные модели.

2. Уравнения Швингера-Дайсона в решёточной калибровочной теории переписаны я виде связей, наложенных на производящий функционал для вильсоновских петель. Изучена алгебра, которую образуют эти связи. Такая конструкция обобщает известное построение алгебры Вирасоро в матричных моделях. Показано, что рассматри-иемая алгебра генерирует замены образующих пространства петель на решётке. Тогтроены объекты, обобщающие конформные поля целого спина для данной алге->ры.

3. Изучались решёточные калибровочно-инвариантные теории, близкие к модели •Сазакова-Мигдала. Для фермионной решёточной модели выведены петлевые уравне-[ия, которые сводятся к нелинейным интегральным уравнениям на локальные корректоры. Для гауссовой модели решение получено в явном виде. Для откалиброванного лавного кирального поля найдены уравнения седловой точки, полностью определяющие динамику при больших N. Этот результат используется затем для исследования >азового перехода конфайнмент-деконфайнмент в решёточной калибровочной теории

пределе сильной связи.

4. Подробно исследован методами 1//У-разложения фазовый переход конфайн-ент-деконфайнмент для ряда моделей. Изучались: решёточная калибровочная терпя в пределе сильной связи [б]; одномерная модель неабелевого кулоиовского газа,

которой сводится двумерная КХД с тяжёлыми полями материи в присоединённом редставлении; многомерный неабелевый кулоновский газ на решётке. Для всех рас-иатриваемых моделей построена фазовая диаграмма. Показано, что во всех случаях меется переход конфайнмент-деконфайнмент первого рода. Для многомерного не-

абелевого кулоновского газа найдена также линия фазового перехода третьего рода в фазе деконфайнмента.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И НАУЧНАЯ ЦЕННОСТЬ диссертации заключается в том, что:

1. Рассмотренный в диссертации подход к статистике ветвящихся полимеров, основанный на суперсимметричной матричной модели, во многих отношениях более удобен, чем использовавшиеся ранее комбинаторные, методы. Кроме того, суперсимметричные матричные модели, по-видимому, могут быть использованы для непертурбативного описания двумерной квантовой супергравитации.

2. Рассмотренная в диссертации алгебра связей для решёточных калибровочных теорий является прямым обобщением алгебры Вирасоро, аналогичным образом возникающей в матричных моделях. Связь между матричными моделями и теорией струн хорошо изучена, поэтому полеченные результаты представляют интерес с точки зрения теории струны, возникающей в КХД.

3. Развитые в диссертации методы 1///-разложения для решёточных матричных моделей могут оказаться полезными при изучении более сложных теоретико-полевых систем.

4. Подробно исследованные в диссертации калибровочные теории при конечной температуре служат примерами точно решаемых моделей, в которых имеется фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела квантовой теории поля Математического Института им. В.А.Стеклова РАН; на IV международной конференции по математической физике, теории струн и квантовой гравитации (Рахов, 1994); на V международной конференции по математической физике, теории струн и квантовой гравитации (Алушта, 1994); на X международной конференции "Адроны-94" (Ужгород, 1994) и на международном рабочем совещании "Струны в квантовой теории поля и случайные поверхности" (Москва, 199С).

По материалам диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, трёх приложений и списка литературы, содержащего 157 наименований. Общий объем 108 страниц.

t

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы, даётся обзор литературы и характеристика современного состояния методов и приложений многоцветового приближе-

ния в теории поля я матричных моделях, приводится общий план диссертации.

В первой главе рассматриваются нульмерные матричные модели. Она начинается с вводной части, в которой приводится решение эрмитовой одноматричной модели. Изложение следует работе [2] и не содержит оригинальных результатов. Затем рассматривается фермионная одноматричная модель. Она определяется интегралом по матрицам Ф и Ф размера N х и, которые составлены из независимых антикоммутирующих переменных:

2 = (1) где V - произвольный чётный потенциал:

-- оо

= (2) к=о

Особенность этой модели состоит в том, что матричный интеграл не может быть сведён к собственным значениям, так что метод седловой точки, типичный для эрмитовых матричных моделей, в данном случае неприменим. Тем не менее, фермионная модель может быть решена с помошыо петлевых уравнений, которые позволяют найти любые корреляторы в планарном (А' —» оо) пределе. Исследовано критическое поведение фермионной одноматричной модели; показано, что при N —» оо она лежит в одном классе универсальности с эрмитовой. В частности, критический индекс струнной восприимчивости равен —1/2. Рассмотрена также фермионная двухматричная модель. Петлевые уравнения для неё сведены к алгебраическому, порядок которого совпадает со степенью потенциала взаимодействия.

Далее вводится понятие нульмерного матричного суперполя, предложенное в работе [7]. Оуперполе определяется как пара матриц различной грассмановой чётности - одна комплексная бозонная, а другая - фермионная:

И = = (3)

Преобразования суперсимметрин представляют собой вращения между чётными и нечётными компонентами суперполя:

= Ре, 6<Р=-еВ, (4)

6<б = ?Р, бгР=-в*с. /л)

Они параметризуются двумя грассмановыми N х Л'-матриыами е и ё, так что суперпреобразования содержат '1Ы'2 независимых параметров. Матричную модель, инвариантную относительно преобразований суперсимметрии (4), (5), позволяет построить следующее важное наблюдение. Нетрудно проверить, что матрица

= В^В+ РР (6)

Рис. 2: Ветвящиеся полимеры, соответствующие "кактусным диаграммам", показанным на рис.. 1.

суперинвариантна,:

гг(1УИ') = 0 = £С(\У\¥). (7)

Почтому матричная модель с потенциалом, зависящим только от будет супер-

симметрична:

г = ! ШЛЯ (8)

^м^-Ет1' (9)

».>1"

Стандартное приложение матричных моделей к теории случайных поверхностей связано со статистической интерпретацией диаграмм 1/Л'-разложения. Структура планарных диаграмм для суперсимметричной матричной модели подробно обсуждается в диссертации. Ввиду сокращений между бозонными и фермионными степенями свободы сумма, вакуумных диаграмм равна нулю, но можно рассматривать планар-ные диаграммы для парного коррелятора бозонных матриц. В отличие от обычных

матричных моделей, их статистическая интерпретация связана с квазиодномерными объектами - ветвящимися полимерами, как показано на рис. (1), (2). Это также является следствием суперсимметрии.

С помощью уравнений Швингера-Дайсона и суперсимметричных тождеств Уорда найдено точное решение модели при N = 00. Исследовано критическое и скейлинго-вое поведение. Критическая экспонета, как и следовало ожидать, совпадает с (муль-ти)критическим индексом ветвящихся полимеров: 7 = 1 — В общем случае т =.2, но подстраивая потенциал можно достичь мультикритических точек с произвольным целым т, большим двух. Скейлинговое поведение вблизи (мульти)критических точек для суперсимметричной модели существенно отличается от скейлингового поведения для других матричных моделей.

Для двухматричной суперсимметричной модели, которая описывает модель Изин-га на случайном полимере, вычислены парные корреляторы бозоиных матриц и получена фазовая диаграмма. Показано, что она лежит в одном классе универсальности с одноматричной. Это воспроизводит известный результат о некритичности модели Изинга на ветвящемся полимере.

Во второй главе изучаются алгебры связей, которые следуют из уравнений Швингера-Дайсона в матричных моделях. Возникновение алгебры Вирасоро в одно-матричном случае продемонстрировано на примере фермионной модели. Поскольку потенциал в (1) содержит полный набор операторов, любые инвариантные корреляторы можно получить дифференцируя статистическую сумму по константам связи. Это позволяет переписать уравнения Швингера-Дайсона в форме дифференциальных связей, наложенных на статистическую сумму:

£„2 = 0, п > 0, (10)

где операторы

00 Я 1 " Я2 й

—+2/- (и)

ыо д9п+к Л'2 ^ ддкддп.к ддп удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро:

(£„, £,„] = (п - т)Ьп+т. (12)

Связи в фермионной двухматричной модели образуют более сложную алгебру; для её генераторов получены рекурсионные соотношения.

Основная часть второй главы посвящена изучению алгебр связей, возникающих в решёточных калибровочных теориях. Рассматриваются уравнения связей, эквивалентные петлевым уравнениям, которым удовлетворяет производящий функционал для вильсоновских петель:

2Щ = |01) ехр Рс 1г . (13)

Суммирование, в этой формуле идёт по всем замкнутым контурам на решётке. Ком-мутанионые соотношения для получающейся алгебры, если записать их формально используя непрерывные обозначения, имеют вид:

[¿"(С,), 1"(А,)] = £ - ДА'*) - £ - х)ь"(Схоу,у). (14)

Когда решётка состоит всего из одного плакетта, алгебра (14) совпадает с алгеброй Вирасоро, а для произвольной решётки служит её естественным обобщением. Показано, что рассматриваемая алгебра генерирует замены образующих пространства петель. Построены некоторые представления алгебры (14), аналогичные представлениям алгебры Вирасоро на классических конформных полях целого спина. Кратко обсуждается непрерывный предел.

В третьей главе рассмотрены две решёточные теории, близкие к модели Ка-закова-Мигдала. Для откалиброванного главного кирального поля в пределе N —> сх5 получена полная система уравнений движения для коллективных переменных. Эта модель тесно связана с термодинамикой решёточной теории Янга-Миллса в пределе сильной связи, что подробно обсуждается в четвёртой главе. Она определяется статистической суммой

Через К(д, Л.|т) обозначено тепловое ядро для инвариантного оператора Лапласа на группе 5{/(А')- Обсуждаются трудности, возникающие в этой теории при переходе к непрерывному пределу.

Рассмотрена также решёточная калибровочно-инвариантная фермионная модель:

X

(15)

х,и

(16)

где действие 6У[Ф, Ф, Г/] имеет вид:

.9р[Ф, Ф, У] = £ ^ 1г (К(^ФхФх)

о

-сЕ^хТОООФг + м^*) + Фх + мВДМФх^М]), (17)

а

Фермионные поля преобразуются по присоединённому представлению группы .9V{И) и являются пространственно-временными спинорами. Проекторы

э± _

г± 7« (19)

действуют на спинорные индексы. Параметр г равен либо нулю, что соответствует киральным фермионам, либо единице для вильсоновских фермионов. Для фермпонной модели выведены петлевые уравнения, которые однозначно определяют корреляторы в фазе локального конфайнмента, характеризующейся нулевым значением вильсоновских средних для нетривиальных контуров. Такая фаза реализуется при достаточно больших значениях массы фермионов. Петлевые уравнения для фермионной модели сведены к интегральным, для случая квадратичного потенциала найдено в явном виде их решение.

В четвёртой главе методы 1/А'-разложения применяются для исследования термодинамических свойств некоторых калибровочно-инвариантных моделей. Наибольшее внимание уделено изучению фазового перехода конфайнмент-деконфайн-мент. Постановка задачи, а именно - формулировка калибровочной теории при конечной температуре, дана в достаточно общем виде, без обращения к конкретным моделям. Изложение следует подход}', предложенном}' в работах [6]. В этом подходе рассматривается эффективная теория, описывающая взаимодействие пространственных калибровочных полей и петель Полякова, принимающих значение в калибровочной группе. Корреляторы петель Полякова определяют свободную энергию статических кварков. При калибровочных преобразованиях они преобразуются как поля в присоединённом представлении. Теория Янга-Миллса при конечной температуре обладает дополнительной глобальной инвариантностью относительно умножения петель Полякова па элементы из центра калибровочной группы - 2дг в рассматриваемом случае группы $и(А'). От того как реализована ^-симметрия зависит обладает теория конфайнментом, или нет. Фаза конфайнмента ^-симметрична, а в фазе деконфайн-мента имметрия спонтанно нарушена.

В диссертации рассмотрен ряд моделей, для которых эффективная теория поля для петель Полякова оказывается точно решаемой в приближении бесконечного числа цветов. Первой рассматривается решёточная калибровочная теория в пределе сильной связи. Ещё в работах [С] было показано, что статистическая сумма этой теории сводится к модели (15) с нулевым потенциалом - V = 0 и параметром 7, связанным с температурой Т и калибровочной константой связи е соотношением

е2ЛГ , ,

7 = „г. (20)

Методы, развитые в третьей главе диссертации, позволяют подробно изучить имеющийся в этой модели фазовый переход переход конфайнмент-деконфайнмент. Он оказывается переходом первого рода.

Затем изучается термодинамика одномерного неабелевого кулоновского газа. К этой модели сводится двумерная КХД с полями материи в присоединённом представлении калибровочной группы, когда их масса достаточно велика, то есть когда она много больше калибровочного заряда и температуры: т2 е2^/ и т Г. К полям материи при этом мо'жно применять классическую термодинамику. Статитстическая сумма неабелевого кулоновского газа может быть представлена в виде эффективной одномерной теории для петель Полякова:

Здесь Л - одночастичная статсумма:

. Ыр ( фп2+р2\ г <1р ( т р2 \ [тТ ( т\

Л = / К 6ХР I--Т / И 7 2? 6ХР ГГ - = У"27еХР Гх) ' (22)

а 7 определяется уравнением (20). Модель (21) подробно исследована в многоцветовом пределе. Показано, что при

7о(А)=4.219Л (23)

происходит фазовый переход первого рода, связанный с нарушением центральной симметрии. Следует отметить, что переход конфайнмент-деконфайнмент имеет место в области параметров, в которой выполнены оба условия применимости рассматриваемого приближения - критическая температура,

^ = Ь^ + 0(1п1п^)' (24)

действительно много меньше массы нолей материи при т2 с2 N.

Многомерная модель неабелевого кулоновского газа сформулирована на решётке; для неё построена фазовая диаграмма. Кроме, перехода конфайнмент-деконфайнмент первого рода обнаружена также линия перехода третьего рода в фазе деконфайнмен-та.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложения А,Б и В вынесен ряд технических результатов, которые используются в основном тексте.

Основные результаты диссертации

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Развиты методы 1 /Л^-разложения для фермионных и суперсимметричных матричных моделей. Для суперсимметрнчных моделей дана статистическая интерпретация планарных диаграмм в терминах ветвящихся полимеров.

2. Исследована алгебра связей, возникающая из петлевых уравнений в решёточных калибровочных теориях.

3. Рассмотрены решёточные калибровочно-инвариантные матричные модели в пределе бесконечного числа цветов. Фермионная модель изучалась с помощью петлевых уравнений, а для откалиброванного главного кирального поля получены уравнения седловой точки, полностью определяющие динамику.

4. Методы, характерные для матричных моделей, применялись к калибровочным теориям при конечной температуре. Подробно описан фазовый переход конфайн-мент-деконфайнмент для неабелевого кулоновского газа и для решёточных калибровочных теорий в пределе сильной связи.

Основное содержание диссертации и результаты проведенных исследований опубликованы в следующих работах:

1. К. Zarembo, Spatial dynamics in the Kazakov-Migdal'model, Phys. Lett. B321 (1994) 234-238.

2. Yu. Makeeuko, K. Zarembo, Adjoint fermion matrix models, Nucl. Phys. B422 (1994) 237-257.

3. K. Zarembo, Loop equations as generalized Virasoro constraints, Phys. Lett. B327 (1994) 90-94.

4. K. Zarembo, Lattice gauged principal chiral field at large N, ТМФ104 (1995) 25-31.

5. K. Zarembo, Collective field approach to gauged principal chiral field at large-N, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 677-686.

6. K. Zarembo, Strong coupling thermal gauge theory at large N, in: Hadrons-94, eds. G. Bugrij, L. Jenkovszky, E. Martynov (Kiev, 1994).

7. G.W. Semenoff, O. Tirkkonen, K. Zarembo, Exact solution of the one-dimensional non-Ahclian Coulomb gas at large N, Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2174-2177.

8. G.W. Semenoff, K. Zarembo, Adjoint non-Abclian Coulomb gas at large N, Nucl. Phys. B480 (1996) 317-340.

9. J. Ambj0rn, Y. Makeeuko, K. Zarembo, Supcrsymmctric. matrix models and branched polymers, Nucl Phys. B482 (1996) 660-674.

Литература

[1] G. t'Hooft, A p/anar diagram theory for strong Interactions // Nucl. Phys. - 1974 -V. B72-P. 461.

[2] E. Brezin, C. Itzykson, G. Parisi, J.-B. Zuber, Planar diagrams // Commun. Math. Phys. - 1978 - V. 59 - P. 35.

[3] E. Brezin, V.A. Kazakov, Exactly solvable field theories of closed strings // ' Phys. Lett. - 1990 - V. B236 - P. 144;

M.R. Douglas, S.H. Shenker, Strings in less than one dimension // Nucl. Phys. -1990 - V. B335 - P. 635;

D.J. Gross, A.A. Migdal, Nonperturbative two-dimensional quantum gravity // Phys. Rev. Lett. - 1990 - V. 64 - P. 127.

[4] V.A. Kazakov, A. A. Migdal, Induced QCD at large N // Nucl. Phys. - 1993 - V. B397

- P. 214.

[5] M. Caselle, A. D'Adda, S. Panzeri, The Kazakov-Migdal model as a high temperature lattice gauge theory // Phys. Lett. - 1993 - V. B302 - P. 80.

[6] A.M. Polyakov, Thermal properties of gauge fields and quark liberation // Phys. Lett.

- 1978 - V. B72 - P. 477;

L. Susskind, Lattice models of quark confinement at high temperature // Phys. Rev.

- 1979 - V. D20 - P. 2610.

[7] Y. Makeenko, Hla Win Pe, Supersymmetric matrix models and the meander problem ! preprint ITEP-TH-13/95, hep-th/9601139 (Январь, 1996).