Решёточная глюодинамика и хромодинамика: от феноменологии к теории тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Морозов, Сергей Михайлович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Федеральное Государственное Унитарное Предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики имени А И. Алиханова
На правах рукописи
/'У- ^
¿/У
Морозов Сергей Михайлович
Решёточная глюодинамика и хромодинамика: от феноменологии к теории
Специальность- 01 04 02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ии344В12У
11 8 СЕН 2008
Москва - 2008
003446120
УДК 530 12
Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт теоретической и экспериментальной физики им А И Алиханова, г Москва
Научный руководитель.
Официальные оппоненты
Ведущая организация
доктор физико-математических наук, профессор,
М И Поликарпов (ИТЭФ, г Москва) кандидат физико-математических наук, В И Шевченко (ИТЭФ, г Москва) доктор физико-математических наук, Р.Н Фаустов (ВЦ РАН, г Москва) ГНЦ РФ ИФВЭ, (г Протвино, Московская область)
Защита состоится « ^ ■» 2008 г в ^ часов на заседании
диссертационного совета Д 201 002 01 при ГНЦ РФ ИТЭФ, расположенном по адресу г Москва, ул Б Черемушкинская, д 25, конференцзал
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ
Автореферат разослан « 1 » августа 2008 г
Ученый секретарь диссертационного совета^
кандидат физ -мат наук ' / ^ В Васильев
1. Общая характеристика работы 1.1. Актуальность темы
Первая глава диссертации посвящена актуальной проблеме физики сильных взаимодействий - поведению среды при температурах, при которых кварки уже не обязаны находиться в бесцветных состояниях в термически возбужденной глюонной среде Этот режим, известный как кварк-глюонная плазма, является существенно непертурбативным, и автор диссертации использует методы решеточной КХД (РКХД) для исследования этой нетривиальной задачи Несомненно, обсуждаемая задача является чрезвычайно актуальной как в связи со стремительным накоплением новых данных в уже идущих экспериментах, так и в связи с планируемым запуском новых экспериментов на строящихся установках по столкновению тяжелых ионов, где предположительно может быть получена кварк-глюонная плазма
В последнее время, в основном в связи с поиском новой физики за пределами Стандартной Модели, очень много внимания уделяется проверке унитарности матрицы смешивания кварковых ароматов - матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскавы Многие процессы уже измерены на последнем поколении экспериментов с процентной точностью Сдерживающим фактором в извлечении матричных элементов матрицы ККМ с той же точностью является теоретическая неопределенность В частности, чрезвычайно актуальным является вычисление непертурбативными методами форм-факторов полулеп-тонного распада каона. Этому посвящена вторая глава диссертации
В третьей главе диссертации изучаются пропагаторы глюонов в Зи(2) калибровочной теории в максимальной абелевой калибровке Эта калибровка замечательна тем, что в ней естественным образом происходит разделение калибровочных полей на "абелевые" и "неабелевые" (другими словами, "диагональные" и "недиагональные") компоненты Предполагая гипотезу абелевой доминантности, т е что именно "диагональные" компоненты дают основной вклад в функциональный интеграл и определяют физику на больших расстояниях, для теории Янга-Миллса можно построить инфракрасный эффективный лагранжиан, получивший название дуальной абелевой модели Хиггса Тогда явление невылетания кварков и глюонов можно объяснить конденсацией монополей в дуальной абелевой модели Хиггса Доказательство гипо-
тезы абелевой доминантности является актуальной-проблемой современной физики
Исследованию топологических свойств вакуума квантовой хромодинами-ки посвящены четвертая и пятая главы диссертации Эта проблема чрезвычайно актуальна, так как считается, что именно топологически нетривиальные решения, такие как инстантоны, ответственны за спонтанное нарушение киральной симметрии и обеспечивают решение II (1)4 проблемы Последние два явления непосредственно связаны со спектром масс в КХД первое объясняет малость масс пионов и каинов, второе - массу г/ '-мезона
ч
1.2. Цель диссертационной работы
1 Изучение непертурбативных свойств высокотемпературной фазы квантовой хромодинамики
2 Вычисление форм-факторов полулептонного распада каона
3 Исследование глюонных пропагаторов в максимальной абелевой калибровке и проверка гипотезы абелевой доминантности
4 Изучение свойств низколежатцих мод кирально-инвариантного оператора Дирака в вакууме квантовой глюодинамики
5 Построение определения глобального топологического заряда и его плотности на решетке нечувствительного к ультрафиолетовым флуктуаци-ям
1.3. Результаты и положения выносимые на защиту
1 Вычислена температура фазового перехода из фазы невылетания в фазу вылетания цвета в КХД с двумя динамическими вырожденными кварками (ТУ/ = 2 КХД) с использованием вильсоновских фермионов с непертурбативно улучшенным действием Для температуры перехода получено значение
Тс - 184(3) С^) МэВ
2 Вычислены форм-факторы /+(0) и £(0) полулептонного распада каона Получены следующие значения
/, (0) = 0 9647(15},ы £(0) = -0 10(2)^
Используя экспериментальные данные для ширины распада, вычислен матричный элемент матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскавы
|УП4| = 0 2247(5)е1р(4)
3. Изучены пропагаторы глюонов в максимальной абелсвой калибровке в Б11 (2) глюодинамике с помощью решеточных методов Продемонстрировано, что при малых импульсах пропагатор "недиагонального" глю-она подавлен примерно в 50 раз по сравнению с пропагатором "диагонального" глюона при импульсах порядка 300 МэВ Это является новым подтверждением гипотезы абелевой доминантности
4 Вычислена ультрафиолетовая асимптотика глюонных пропагаторов в максимальной абелевой калибровке в ви(2) глюодинамике с помощью методов ренормгруппы
5 Детально исследованы свойства низколежащих мод кирально-инвари-антного оператора Дирака в вакууме квантовой глюодинамики Показано, что они локализуются в областях пространства, размерность которых меньше 4 Более того, продемонстрировано, что четырехмерный объем областей локализации стремится к нулю в непрерывном пределе
6 Предложен новый метод вычисления на решетке глобального топологического заряда и его плотности с помощью погружения ИР" а-модели Продемонстрирована его независимость от ультрафиолетовых флукту-аций, те возможность применения этого метода на вакуумных конфигурациях калибровочных полей, насыщающих функциональный интеграл
7. В формализме погруженной ИР1 сигма-модели в непрерывном и термодинамическом пределах вычислена топологическая восприимчивость вакуума в решеточной 5/7(2) глюодинамике
Х1/А = 216(4) МэВ
1 4. Научная новизна и практическая ценность
Все представленные к защите результаты являются оригинальными и (на момент опубликования) новыми разработками автора диссертации Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах докладывались на международных конференциях и представлены в виде тезисов в трудах этих конференций Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической физики Среди новых результатов следует отметить следующие
1, Впервые температура фазового перехода в непрерывном пределе и проделе физических масс кварков вычислена в Ы] = 2 КХД с вильсонов-скими фермионами с непертурбативно 0(а)-улучшенным действием
2 Впервые вычислены и детально изучены пропагаторы глюонов в импульсном пространстве в максимальной абелевой калибровке в 5ТУ (2) глюодинамике на решетке
3 Явление локализации низколежащих фермионных мод впервые систематически исследовано с помощью кирально-инвариантного оператора Дирака Впервые показано, что объем областей локализации стремится к нулю в непрерывном пределе
4 Для вычисления форм-факторов полулептонного распада каона впервые применены и обоснованы некоторые оригинальные приемы отказ от использования сглаживания мезонных операторов, специальный выбор массы странного кварка, позволяющий держать под контролем неоднозначности киральной экстраполяции
5 Предложен оригинальный метод исследования топологических свойств 5Т/(2) глюодинамики с помощью погружения 1НР" ст-модели
Научная и практическая ценность представляемой диссертации заключается в возможности применения полученных результатов в дальнейших исследованиях физики сильных взаимодействий
1 5. Апробация диссертации
Основные результаты, представленные в диссертации, обсуждались на внутренних семинарах решеточной группы ИТЭФ, докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ (Москва), Университета города Каназава (Япония), Университета Гумбольдта (Берлин), и на крупнейших международных конференциях Lattice 2003 (г Бостон, США), Lattice 2004 (г Цукуба, Япония), Lattice 2005 (г Дублин, Ирландия), Lattice 2007 (г Регенсбург, Германия), а также на других международных совещаниях и симпозиумах
В основу диссертации легли результаты исследований, опубликованные в рецензируемых журналах в 10 работах [НО] и в трудах конференций в виде 13 докладов [11-23]
1.6. Структура и объем диссертации
Диссертация включает в себя Введение, 5 глав основного текста и Заключение Объем диссертации - 150 страниц, включая 34 рисунка и 8 таблиц Список литературы содержит 202 ссылки
2. Содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и делаются общие вводные замечания о предмете исследования в целом Детально излагаются те аспекты решеточной формулировки КХД, которые необходимы для понимания дальнейшего изложения В начале каждой последующей главы расположен раздел с более подробным введением в предмет изучения данной главы, затем следуют разделы, представляющие научные результаты, и завершает главу раздел, содержащий заключение и обсуждение результатов
Первая глава диссертации, основанная на публикациях [14,17,20], посвящена изучению двух вопросов вычислению псевдокритической температуры перехода из фазы невылетания в фазу вылетания цвета, и исследованию явления дебаевской экранировки статических кварков при Т > Тс в Nj — 2 решеточной КХД с вильсоновскими кварками с непертурбативным 0(а)-улучщенным действием при рекордно малых значениях длины ребра рс-
шстки Первый вопрос обсуждается в параграфе 1.3 Остановимся на нем более подробно
Параметром порядка для конечно-температурного фазового перехода в КХД в пределе бесконечно тяжелых масс кварков является среднее значение петли Полякова, которая определяется как произведение реберных переменных ¿/4 (х) вдоль прямого пути, замкнутого через границу
где Ыч и Лг4 - размеры решетки в пространственных и временном направлениях соответственно С параметром порядка связана глобальная £(3) симметрия, которая нарушена в высокотемпературной фазе теории При переходе в фазу с невылетанием цвета происходит ее восстановление
При конечных (физических) массах кварков петля Полякова не является больше параметром порядка Тем не менее, по положению максимума восприимчивости петли Полякова определяемой выражением
и являющейся функцей температуры, можно судить о положении то<(ки перехода
Сначала мы вычислили критическую температуру
при нескольких массах пиона и длинах ребра решетки, где го - параметр Зо-ммера [23], для которого мы использовали значение г о — 0 467 фм Значение отношения го/а, которое задает физический масштаб, мы определили интерполируя данные для этого отношения, полученные группой (^СОБР-иКС^СВ при нулевой температуре В погрешность определения критической температуры мы включили как погрешность определения положения максимума Хи так и погрешность интерполяции го/а Детали численного моделирования можно найти в параграфе 1.2 диссертации
Далее для определения критической температуры, Тс(готп^н), в непрерывном пределе и пределе физической массы пиона, т= 135 МэВ, мы
(1)
Хь = л№2> - (¿>2)
(2)
гоТе(готх,1/^) = -Тт
подгоняли наши данные функцией следующего вида
л
(3)
г
Второе слагаемое описывает зависимость от решеточного обрезания Хорошо известно, что термодинамические величины, такие как плотность энергии и давление, отличаются от непрерывных значений на члены порядка 0((аТ)2) А так как аТ = 1/Аг, то это объясняет вид второго слагаемого в (3) Для объяснения характера зависимости от массы пиона необходимо прибегнуть к модельным соображениям В эффективной трехмерной модели, предложенной Писарским и Вильчеком [25], предсказывается, что в КХД с А/ = 2 ароматам кварков фазовый переход может быть двух типов, в зависимости от масс кварков В киральном пределе,ти,т<1 —> 0, переход является фазовым переходом второго рода В этом случае критическая температура зависит от массы кварка как тп^д, где ¡3 и <5 - критические индексы В терминах массы псевдоскалярного мезона получаем Тс ос пь/'36 Кроме того, предсказывается, что скейлинговое поведение принадлежит к классу универсальности 0(4) симметричной трехмерной спиновой модели В этом случае й = 2/(35 — 1 08 В случае больших масс (ти,1 Ш * 00) ожидается, что переход является переходом первого рода При этом температура перехода линейно зависит от массы кварков, те <1 = 2 Наши данные не позволяют нам сделать 6, подгоночным параметром Вместо этого мы проводили экстраполяцию для двух значений (I = 1 08 и с/ — 2 Разницу в полученных результатах мы трактовали как систематическую погрешность
Также мы подгоняли данные с помощью функции
аналогичной функции (3) за исключением того, что поправка на конечное обрезание записана в терминах а/го Различие в результатах^ полученных при экстраполяции с помощью функций (3) и (4), мы опять же рассматривали как систематическую погрешность
На рис 1 изображены результаты численного моделирования, а также кривые, соответствующие подгоночной функции (3) для Аг, = 8 10,12 и ДГг = оо В непрерывном пределе и пределе физической массы пиона мы
получили ■■•■.-: :; .
го Гс(г0га?) - 0.438(6)(|*3) , (5)
где первая погрешность - статистическая, а вторая - систематическая.
• - ' 0.6
' 0.55
и
н 0.5 . 0.45
°"40 1 2 3 4 ''
ГоШтг
Рис. 1. Температура перехода как функция г0т^. Сплошные^ линии результат подгонки функцией (3). Для сравнения крестиком и квадратиком показаны значения температуры перехода в непрерывном пределе при физической массе пиона, полученные грунналш из Вуппсрталя [26] и Бнлефельда ¡27] соответственно.
Конечным результатом наших расчётов является значение псевдокритической температуры перехода в фазу вылетания цвета в физических единицах
-Л'- Тс= 184(3)(±1) МэВ. : ". ... .V- (6)
Явление дебаовс.кой экранировки рассматривается в параграфе 1.4. Вычислены потенциалы в синглстиом, октотном. секстетном и антитриплетном представлениях, при температуре Т ~ 1.27Тс. Показано, что эффекты экранировки слабо зависят от длины ребра решётки.
Во второй главе представлены результаты вычисления форм-факторов полулептонного распада каона при нулевом переданном импульсе, которые необходимы для извлечения матричного элементы матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскавы. Вычисления проводились в решёточной КХД с /V/ = 2 ароматами легких динамических непертурбативно 0(а)-улучшенных фррми-онов Вильсона и калибровочным действием Вильсона. Параметры действия были выбраны так, что масса пиона оказалась равной Мж — 591(2) МэВ, а
масса каона варьировалась Мк — 780(11), 704(13) и 629(14) МэВ Длина ребра решетки была равна а = 0 075 фм - рекордно малое на момент публикации значение Глава основана на публикации [22]
Форм-факторы полулептонного распада каона /+(<72) и /_(?2) определяются следующим образом
(ФЖ\Ш) = ¡4Ч2)(Р + РХ + /-(Я2)(Р-Р% (7)
где д2 = (р — р')2 - квадрат переданного импульса и У^ = Щ^и - векторный ток Также удобно ввести скалярный форм-фактор /о(<72)
л<л-«л(1+йг^сл). м
{(Л = /-(Л/««2), (9)
где Мк и Мт - массы каона и пиона соответственно
Матричные элементы типа (тг(р')|Уу\К{р)) извлекались из различных отношений трехточечных и двухточечных корреляционных функций, которые вычислялись на решетке Параметры численного моделирования и детали вычислений корреляторов представлены в параграфах 2.2 и 2.3 соответственно
Для вычисления скалярного форм-фактора /о(<72) мы использовали следующую формулу
асл -л(й_) >< тп х (1+ш-щ^у, (ш)
где Ер{р) - энергия мезона Р с импульсом р, /о(</2Ш1) - скалярный форм-фактор при максимальном переданном импульсе = (Мц—Л/^)2, а р') имеет вид
РШ (л +Ек® - ГШ
Каждый множитель в (10) непосредственно вычислялся на решетке из определенного соотношения двухточечных и трехточечных корреляционных функций, параграфы 2.5 и 2.6 диссертации Достоинство такого подхода состоит в том, что погрешность /о((/2) не превосходит нескольких процентов
1 1
к, = 0.13530 к,=0.13570 —^
06
-015
-01
-0.05
0
М)2
Рис 2 Скалярный форм-фактор /о(д2) как функция переданного импульса при трех массах странного кварка (т8 <х Линиями показаны результаты подгонки однополюсным анзацем, описанным в тексте
Результаты вычисления скалярного форм-фактора представлены на рис 2 Также показаны результаты подгонки данных однополюсным анзацем
который использовался для экстраполяции /о(<72) к нулевому переданному импульсу
Для вычисления форм-фактора в пределе физических масс каона и пиона мы экстраполировали наши данные, используя формулы киральной теории возмущений и утверждение теоремы Адемолло-Гатто, согласно которой, поправка к /о(0) по разности квадратов масс каона и пиона должна быть квадратичной Детали киральной экстраполяции отражены в параграфе 2.7 диссертации
При физических массах каона и пиона мы получили для /+(0) = /о(0) значение
(12)
/+(0) = 0 9647(15)^
Чтобы вычислить матричный элемент |Кз|> мы взяли усредненное по всем модам распада значение |К^|/+(0) из недавней работы группы Р1аУ1аКе1 [28], |1/иа|/+(0) = 0 21673(46) Окончательно мы имеем
Что касается вычисления форм-фактора £(0), то мы получили значение
Наш результат согласуется с экспериментальными значениями —0 01(6) и —О 125(23), полученными из и К^ распадов соответственно
Обратим внимание, что мы оценили только статистическую погрешность Так как вычисления проводились достаточно близко к непрерывному пределу (а ^ 0 08 фм) и при достаточно большом решеточном объеме (243 х 48) мы ожидаем, что систематическая погрешность мала
Подчеркнем важность полученных значений форм-факторов и матричного элемента для проверки справедливости Стандартной Модели и поисков новой физики за ее пределами
Третья глава диссертации посвящена исследованию пропагаторов глюо-нов в максимальной абелевой калибровке Би(2) глюодинамики Представлены как аналитические результаты вычисления ультрафиолетовой асимптотики пропагаторов, так и результаты численного моделирования Показано, что в инфракрасной области пропагатор "недиагонального" глюона подавлен по сравнению с пропагатором "диагонального" глюона примерно в 50 раз Глава основана на публикациях [1,2,12,13]
Максимальная абелева калибровка на языке непрерывной теории определяется следующими дифференциальными калибровочными условиями
где А * = (А^ ±г А^)/л/2 Последнее условие - калибровочное условие Ландау, наложенное на "диагональное" поле А®
На решетке были вычислены пропагаторы глюонов в импульсном пространстве, которые определяются следующим образом
^(Р) = (Л1(р)лк-р)) = (л;(р)л-А-р)} (15)
\УШ\ = О 2247(5)^(4)^,
£(0) = -0 10(2)г(а;.
(д,тгдА1(х))А±(х) = 0, д.АЦх) = 0,
(13)
(14)
где ЛаЛр) - фурыьобраз поля Ар. Подчеркнем, что это было сделано впервые. Наиболее общая структура пропагаторов "диагонального" и "нодиагопально-го" глюопов имеет вид
Pp.Pi.
р2
Di{p2),
(16)
где ^/(р2) - скалярные функции, причем, в силу (14), продольная часть пропагатора "диагонального" глтоона равна нулю. РгЛа8(р2) = 0. Три независимых структурных функции £)^аг и полученные с помощью численного моделирования, показывают, что "недиагональный" глюон распространяется на большие расстояния (р —+ 0) заметно слабее, чем диагональный, а продольные и поперечные составляющие; "недиагоналыюго" глюона равны в инфракрасной области, см. рис. 3.
ю*
g ID1
'"CL
о 10° 10"-
icr
■ 1 1 1 ! , »Transverse diagonal
•Transverse off-diagonal
V • Longitudinal off-diagonal
.ч- N \
Чкц; "4"^ \
i . i
4 6
р, GeV
Рис. 3. Структурные функции D?iaV) и Z)°fia£(P2).
Для количественного описания обнаруженных явлений были вычислены отношения
R{p2
Р?аё(р2)
Z?fdiag(p2)
■2)
D?
Чр2) _ Doffliag(p2
Р2)
(17)
На рис. 4(а) отчетливо видно, что пропагатор "недиагояаль'ногб" глюона подавлен примерно в 50 раз в инфракрасной области по сравнению с прона-гатором "диагонального" глюона. Что касается Ло®^ (р2), т0 эта величина убывает с уменьшением импульса и исчезает при р ~ 1 ГэВ, см. рис. 4(Ь). Это -означает, что в инфракрасной области пропагатор "недиагоналыюго" глюона
(ь)
Рис. 4. Отношения Я{р2) (а) и Яомьв(р2) (Ь), определения которых даны в тексте.
имеет вид
р2< 1 ГэВ.
(18)
В инфракрасной области пропага.торы подгонялись различными функциями: юкавского типа (19,20), грибовского типа (21) и трехпараметрически-ми функциями вида (22,23). Нецелые степени а в последних двух выражениях инспирированы недавними результатами решения уравнений Дайсона-Швингера для пропагаторов в калибровке Ландау, для которых получено асимптотическое выражение вида 0{р2) ос (р2)2к в пределе р —> 0.
ДР2) = о о 7 р2 + т2
0(р2) = 0(р2) = П(р2) =
П(р2) =
г
т2 + р2 + кр4/т2 '
гР2
р4 + т4 '
Z т
2л
(р2 + т2)1+а' гт2а
(19)
(20) (21) (22) (23)
р2(1+а) + т2{1+а)
Показано, что данные в инфракрасной области хорошо описываются функцией (23), а также функцией юкавовского типа (20), с зависящей от импульса
эффективной массой Обнаружено интересное, до сих пор непонятое, соотношение между массами "диагонального" и "недиагонального" глюонов
пiJd,Be « 2mfag
Обратим внимание, что работа автора в значительной мерс стимулировала активное обсуждение в литературе возможности динамической генерации массы глюонов в максимальной абелевой калибровке, см , например, работу [29]
В четвертой главе показано, что низколежащие собственные функции кирально-инвариантного оператора Дирака в SU(2) решеточной глюодинаг мике локализуются в областях пространства, размерность которых меньше 4 Объем этих областей стремится к нулю в непрерывном пределе Глава основана на публикациях [4,15,18,19]
Исследование спектра оператора Дирака и локальной структуры собственных функций представляет интерес по двум причинам Во-первых, согласно теореме Атьи-Зингера число левых (пь) и правых (пя) точно нулевых собственных значений оператора Дирака Т> связано с полным топологическим зарядом Q соотношением
Q = nL-nR (24)
Величина флуктуаций последнего связана с массой 7/'-мезона хорошо известным соотношением Виттена-Венециано Во-вторых, плотность собственных значений р(А) в нуле связана с киральным конденсатом (фф) соотношением Банкса-Кашера
(фф) = lim lim тгр(О) (25)
го—Ю V—юо
Более того, плотность топологического заряда q(x) можно представить в виде разложения
оо
q(x) = -tr{7s (1 - V/2)} = - £ (1 - Aj/2)ф\(х)ГоФг(х) (26)
г
где шпур берется только по спинорным и цветовым индексам, а ф,(х) - собственная функция оператора Дирака V, отвечающая собственному значению А,, 771 е Т>фг(х) = А,фг{х)
Формулы (24-26) верны только в случае, если Т> является киралыю-инва-риантным оператором Таковым на решетке является оверлап оператор Дирака [30], который и был использован автором диссертации Краткое введение в вопрос формулировки киральных фермионов на решетке дано в параграфе 1.3
Для того, чтобы убедиться, что оверлап оператор Дирака пригоден для изучения топологии и не подвержен никаким решеточным патологиям, мы вычислили топологическую восприимчивость Xj см параграф 4.3, определенную выражением
И
Мы обнаружили хороший скейлинг х ПРИ стремлении шага решетки к нулю В непрерывном пределе мы получили х1^4 = 225(3) МэВ, что находится в хорошем согласии с общепринятым значением 213(3) МэВ для SU(2) глюо-динамики [31] Обнаруженный скейлинг является подтверждением того, что оверлап оператор Дирака не чувствителен к артефактам решетки
Для количественного изучения свойств низколежащих фермионных мод, мы воспользовались хорошо известной в физике твердого тела величиной -Inverse Participation Ratio (IPR), которая определяется по формуле
m = (28)
X
где рг{х) — 1р1(х)фг(х), Pi(x) = 1, а V - решеточный объем 1(г) характеризует число узлов решетки, входящих в носитель рг(х) Имеется два предельных случая 1) собственная мода делокализована, что означает, что носитель рг(х) - 4-мерный объем, те рг{х) = const, и следовательно 1{г) = 1, 2) собственная мода локализована в точке, те рг(х) = 5(х0), тогда /(г) = V В случае, если мода локализована на части / узлов решетки, то 1(г) = 1 //, Где / — Vj/V Если имеются как локализованные, так и делокализованные моды, то можно написать
(1(г)} -со4-ciV/Vf (29)
При рассмотрении (/(г)) как функции собственного значения А,, было обнаружено, что существует некоторое значение XCTlt « 200 МэВ, выше которого собственные моды делокализованы (IPR близок к единице), а ниже -
локализованы (1РЙ 1). Более того, было показано, что в области А: < ХСги 1Р11 зависит как от объёма, так и, что гораздо более интересно, от птага решётки. Чтобы детально исследовать эти эффекты, мы вычислили среднее значение 1РЛ для точно нулевых мод /г и для околонулевых мод Ь таких, что собственные значения А; < Л, где Л = 100 МэВ:
(30)
I
и изобразили эти величины на рис. 5 (а) и (Ь). Отчётливо видна как объёмая зависимость, которую мы подгоняли функцией (29), так и зависимость от шага решётки.
8 10 12 14 16 16
V, (т4
(Ь)
Рис. 5. (а) Скейлинг /г, при V —> ос для а = 0.1394 фм. Прямые - результат подгонки данных формулой (29). (Ь) Скейлинг 1г при а —» 0 и результаты подгонки формулой (32).
Нетривиальный скейлинг с шагом решётки означает нетривиальную размерность объектов, на которых происходит локализация. При уменьшении длины ребра решётки а при фиксированном объёме системы 1РТ1 ведёт себя следующим образом
урЬуя
к л у Уа
„сг-4
урь»'а 4-а
(31)
где - плотность объектов в физических единицах, т.е. не зависящая от шага ребра решётки величина, УрНув - физический объем, (I - размерность объектов. Например, для инстантонов (1 = 4.
Мы подгоняли данные, изображенные на рис 5(Ь), используя выражение
где Ьо и £>1 - константы, а п = 4 — й = 1,2,3,4 По результатам подгонки (соответствующие кривые изображены на рис 5(Ь)), можно сказать, что точно нулевые моды локализуются на точечных объектах, в то время как околонулевые моды локализуются на одномерных объектах Однако заметим, что данные в области малых а обладают достаточно большими погрешностями, поэтому к полученным значениям размерностей областей локализации необходимо относиться осторожно Тем не менее, можно достоверно утверждать, что локализация происходит на объектах, размерность которых меньше размерности пространства-времени Это важное и необычное утверждение и составляет основной результат четвертой главы.
В последней, пятой главе дано новое определение топологического заряда и его плотности на решетке, основанное на погружении ИР" ст-модели Показано, что, в отличие от других определений, оно нечувствительно к флук-туациям на масштабе ультрафиолета, что позволяет применять его непосредственно на вакуумных конфигурациях калибровочных полей. Продемонстрировано согласие с уже известными определениями в области применимости последних С использованием нового подхода вычислена топологическая восприимчивость в непрерывном пределе \= 216(4) МэВ Глава основана на работах [5,7]
Глава начинается с краткого рассмотрения известных определений топологического заряда на решетке и обсуждения их недостатков, основным из которых является непригодность этих определений для использования на вакуумных конфигурациях калибровочных полей, насыщающих функциональных интеграл
Далее в параграфе 5.2.1 на простом примере СР1 сг-модсли изложена основная идея нашего подхода Эта модель эквивалентна 0(3) сигма-модели гс-поля, в которой существуют топологически нетривиальные классические решения с топологическим зарядом
где трехмерный единичный вектор п связан с однородными координатами \г) на многообразии СР1 соотношением п = (-г|сг|.г), а а - матрицы Паули
1{г) = Ь0 + Ь{ а~п ,
(32)
<2СР1 = — (Рхе^п [дцй х д,М]
(33)
Если рассмотреть вспомогательное нединамическое абелево калибровочное поле
^ = (34)
то (33) можно тождественно переписать в виде
(Рхд^А*), (35)
где Рци - тензор напряженности поля Ар Еще раз подчеркнем, что переход от (33) к (35) есть всего лишь тождественное переписывание
Выражение (35) имеет вид хорошо известного выражения для топологического заряда в модели II (1) калибровочного поля Ац в двух измерениях При рассмотрении этой модели на решетке использование прямого решеточного аналога (35) приводит к нецелочислснным значениям Сболее того, (С/2) расходится степенным образом Поэтому возникает желание переписать топологический заряд С!(1) модели как топологический заряд некоторой СР" (7-модели произвольного ранга п, для которой было бы справедливо достаточно очевидное обобщение выражения (33) на случай произвольного п Достоинство последнего в том, что оно является чисто геометрическим, непосредственно считающим индекс отображения п(х) ¿>2 —> й"2 К сожалению, взаимооднозначное соответствие между двумя моделями, а именно выражение' аналогичное (34), отсутствует Однако можно попробовать приблизить вектор-потенциал Ам полями | г) сигма-модели так, чтобы (34) выполнялось с максимально возможной точностью, в том смысле, что функционал невязки
сРх(Ац +г(г\дй\г))2 (36)
минимален В этом и состоит наша основная идея построения погруженной ст-модели и использования ее для изучения топологии исходных полей Л^ Она достаточно просто обобщается на случай 5(7(2) калибровочной группы Основное отличие состоит в том, что вместо поля комплексных чисел С необходимо рассматривать поле вещественных кватернионов Н Тогда соответствующей ст-моделью будет четырехмерная НР" <т-модель
Построению НР" ст-модели и формулировке плотности топологического заряда в терминах полей этой модели посвящены параграфы 5.2.2 и 5.2.3
Для простоты и наглядности изложения, и по причинам, которые будут изложены ниже, приведем здесь конструкцию для случая /1=1 Калибровочное поле приближается кватернионнозначными двухкомпонентными векторами | д) единичной нормы Так как многообразие НР1 есть фактор-пространство НР1 = 57/53, то необходимо отождествить вектора | д) и | д)г где V 6 Н - кватернион единичной нормы, т е элемент группы 811(2) Удобно перейти к инвариантным относительно преобразований |д) ~ |д)г координатам п^ с помощью отображения Хопфа
пА = Бс(дЬА\д), А = 0, ,4. (37)
где Бс - скалярная часть кватерниона, а 7'4 - пять евклидовых матриц Дирака
В терминах пятимерного единичного вектора пА топологический заряд тогда можно записать в виде
1
(8тг)Ч
Л; ЕЛПСоЕП%пвд„псдАп0дрпЕ (38)
Геометрически это сумма ориентированных бесконечно малых объемов в образе отображения пА(х) 54 —> б'4
Конструкция достаточно просто переносится на решетку, чему посвящен параграф 5.3 Необходимо отмстить несколько важных фактов 1) решеточный аналог функционала (36) имеет единственный глобальный минимум, что означает однозначное соответствие между А^ и [ д), степень приближения исходных калибровочных полей полями | д) на вакуумных конфигурациях, сгенерированных с действием Вильсона, 2) оказалась независящей от ранга модели п и 3) составила около 80-90%, 4) неточность приближения классических полей, полученных после сглаживания исходных, составила порядка 1% Благодаря свойству 2) мы ограничились рассмотрением только случая п = 1
Сравнение предложенного определения с теоретико-полевым и фермион-ным определениями проводится в параграфе 5.4 В качестве метрики мы выбрали величину
Я) = , (39)
где (¿Л]) - топологический заряд вычисленный методом "1" и 'У' соответственно Нормировка выбрана так, что = 1, если определения "1" и 'У' эквивалентны, и 1]* — 0 в случае, если между и С}3 отсутствует какая-либо корреляция Сравнение с теоретико-полевым определением, обозначенным (¿¿пег, проводилось на сглаженных конфигурациях Для сравнения с фермионным определением, основанным на теореме Атья-Зингера об индексе оператора Дирака и обозначенным <3/егт, использовались исходные конфигурации калибровочных полей Получены следующие значения
^Г = 0 94(1), = 0 7- 0 8, (40)
что говорит об эквивалентности определений в областях, где они одновременно применимы Отметим, что корреляция с фермионным определением возрастает при уменьшении шага решётки
Наиболее очевидному применению нового метода посвящен параграфе 5.4, в котором вычислена топологическая восприимчивость х в решеточной 5(7(2) глюодинамике Показано, что х является хорошо определенной величиной в непрерывном и термодинамическом пределах равной х1/4 = 216(4) МэВ, что является косвенным подтверждением нечувствительности предложенного определения к ультрафиолетовым флуктуациям и различным артефактам решетки, таким как дислокации [32]
В заключении диссертации перечислены полученные результаты и обсуждаются дальнейшие направления исследований
Список публикаций автора по теме диссертации
[1] V С Вогпуакоу, М N СЬегпос1иЬ, К V СиЬагеу, Э М Могогоу апс! М I РоЬкагроу, РЬув ЬеМ В 559 (2003) 214 [агХ1У hep-lat/0302002]
[2] Э М Могогоу апс! И N Rogalyov] РЬуй Псу Б 71 (2005) 085016 [агХ1У Ьер-рЬ/0501122]
[3] Р V СиЬагеу апс! 8 М Могогоу, РЬуэ Иеу Б 71 (2005) 114514 [агХ]у Ьср-1аЪ/0503023]
[4] Р V СиЬагеу, Б М Могогоу, М I РоЬкагроу ап<1 V I гакЬагоу, ЛЕТР Ье« 82 (2005) 343 [Рюша ЪЪ Екзр Теог 82 (2005) 381]
[5] Р V СиЬагеу апс! Б М Могогоу, РЬуэ 11еу Б 72 (2005) 076008 [агХгу Ьер-1аЬ/0509011]
[6] М N СЬегпос!иЬ апс! Э М Могогоу, РЬуэ 11еу Б 74 (2006) 054506 [агХ1У Ьер-Ы/0512041]
[7] Р У Воуко, Р V СиЬагеу апс! Б М Могогоу, РЬуэ Леу Б 73 (2006) 014512 [агХ1У Ьер-^/0511050]
[8] А V Коуа1епко, Б М Могогоу, М I РоЬкагроу аш! V I гакЬагоу, РЬуэ Ьей В 648 (2007) 383 [агХ1У Ьер-1аг/051203б]
[9] V С Вогпуакоу, Е М Т^епЬг^г, В. V Майегпуапоу, 8 М Могогоу, М МиПег-РгсиБэкег апс! А I УеэеЬу, РЬуз 11еу Б 76 (2007) 054505 [агХ1У 0706 4206 [Ьер-1а1]]
[10] V С Вогпуакоу, Е М ^епййи, В V Maгtemyanov, Э М Могогоу, М \lullcr-Preussker ат! А I Уеве1оу: РЬув Неу Б 77 (2008) 074507 [агХ1У 0708 3335 [Ьер-Ы;]]
[И] Р У Воуко, М N СЬегпосЬдЬ, А V Коуа1епко, Б М Могогоу апс! М I РоЬкатроу, N1101 РЬуэ Ргос Зирр1 106 (2002) 628 [агХ1У Ьер-Ы/0110162]
[12] V С Вогпуакоу, Б М Могогоу апс! М I РоЬкагроу, N110! РЬуБ Ргос Эирр! 119 (2003) 733 [агХ1У Ьер-1а1/0209031]
113] V G Bornyakov, M N Chernodub, F V Gubarcv, S M. Morozov and M I Polikarpov, Nucl Phys Proc Suppl 129 (2004) 644 [arXivhep-Iat/0308028]
[14] Y Nakamura et al, AIP Conf Proc 756 (2005) 242 Nucl Phys Proc Suppl. 140 (2005) 535 [arXiv hep-lat/0409153]
[15] M I Polikarpov, F V Gubarev, S M Morozov, S N Syritsyn and V I Za-kharov, Prepared for 12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, Russia, 25-31 Aug 2005
Published in "Particle physics" (2005) 350-357
[16] F V Gubarev and S. M Morozov, PoS LAT2005 (2006) 327 [arXivhcp-lat/0509017]
|17| V G Bornyakov et al, PoS LAT2005 (2006) 157 [arXiv hep-lat/0509122]
[18] M I Polikarpov, F V Gubarev, S M Morozov and S N Syritsyn, Nucl Phys Proc Suppl 153 (2006) 221
[19] M I Polikarpov, F. V. Gubarev, S M. Morozov and V I Zakharov, PoS LAT2005 (2006) 143 [arXiv hep-lat/0510098]
[20] V G Bornyakov, S M Morozov, Y Nakamura, M I Polikarpov, G Schierholz and T Suzuki, PoS LAT2007 (2007) 171 [arXiv.0711 1427 [hep-lat]]
[21] V G Bornyakov, E V Luschevskaya, S M Morozov, M I Polikarpov, E M Ilgenfntz and M Muller-Preussker, PoS LAT2007 (2007) 315 [arXiv 0710 2799 [hep-lat]]
|22] D Brommel et al [The QCDSF collaboration], PoS LAT2007 (2007) 364 [arXiv 0710 2100 [hep-lat]]
[23] P Y Boyko, F V Gubarev and S M Morozov, PoS LAT2007 (2007) 307 [arXiv 0712 0656 [hep-lat]]
Список литературы
[24] R Sommer Nucl Phys В 411 (1994) 839 [arXiv hep-lat/9310022]
[25] R D Pisarski and F Wilczek, Phys Rev D 29 (1984) 338
[26] M Cheng et al, Phys Rev D 74 (2006) 054507 [arXiv hep-lat/0608013]
[27] Y Aoki, Z Fodor, S D Katz and К К Szabo, Phys Lett В 643 (2006) 46 [arXiv hep-lat/0609068]
[28] M Мои Is on [FlaviaNet Working Group on Kaon Decays] arXiv hep-ex/0703013
[29] M A L Capri, V E R Lemes, R F Sobreiro, S P Sorella, R Thibes, [arXiv 0801 0566 [hep-th]]
[30] R Narayanan and H Neuberger, Nucl Phys В 443 (1995) 305 faiXiv hep-th/9411108]
[31] В Lucmi and M Teper, JHEP 0106 (2001) 050 [arXiv hep-lat/0103027]
[32] D J R Pugh M Teper Phys Lett В 224 (1989) 159-165
Подписано к печати 17 06 08 г Формат 60x90 1/16
Уел печл 1,5 Уч-изд л 1,1 Тираж 100 экз Заказ 541
Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б Черемушкинская, 25
Введение
1. Решёточная формулировка КХД .б
2. Общая характеристика работы.
Глава 1. Квантовая хромодинамика при конечной температуре
1.1. Введение
1.2. Детали численных расчетов
1.3. Критическая температура перехода.
1.4. Дебаевская длина экранирования
1.5. Выводы.
Глава 2. Форм-факторы полулептонного распада каона
2.1. Введение
2.2. Детали численных расчётов
2.3. Корреляторы.
2.4. Массы мезонов.
2.5. Скалярный форм-фактор при
2.6. Интерполяция к нулевому переданному импульсу.
2.7. Киральная экстраполяция
2.8. Выводы.
Глава 3. Абелевая доминантность и глюонные пропагаторы
3.1. Введение
3.2. Максимальная абелева калибровка
3.3. Максимальная абелева калибровка на решётке.
3.4. Выводы.
Глава 4. Локализация низколежащих фермионных мод
4.1. Введение
4.2. Детали численных расчётов
4.3. Топологическая восприимчивость и киральный конденсат
4.4. Локализация и IPR
4.5. Кусочки теории
4.6. Выводы.
Глава 5. Топологический заряд на решётке и HPn сг-модель
5.1. Введение
5.2. Теоретическое построение
5.3. Численная реализация
5.4. Сравнение с другими определениями
5.5. Скейлинг топологической восприимчивости
5.6. Выводы.
В настоящее время общепризнанной теорией, описывающей три из четырех фундаментальных взаимодействий элементарных частиц, является Стандартная Модель. Квантовая хромодинамика (КХД), которая описывает сильные взаимодействия кварков и глюонов, составл51ет её неотъемлемую часть. КХД возникла в начале 70-х годов прошлого века в результате синтеза представления о цвете кварков, партонной картины глубоко неупругого рассеивания и неабелевых калибровочных полей. Замечательным свойством теории сильных взаимодействий является асимптотическая свобода. Последнее означает, что сильная константа связи as убывает с ростом энергии взаимодействия. В частности, в высоко энергетичных процессах рассеивания нуклонов (протонов и нейтронов) составляющие их кварки можно рассматривать как практически свободные частицы. Благодаря асимптотической свободе, в области высоких энергий применимы методы теории возмущений. Действительно, многочисленные теоретические результаты, полученные в КХД с помощью методов теории возмущений, превосходно согласуются с экспериментом. Однако, при низких энергиях сильная константа связи as растет, делая теорию возмущений неприменимой. Невозможно дать ответы на многие важные вопросы: значение константы связи, массы кварков, спектр масс адронов. Также с сё помощью невозможно объяснить другую замечательную особенность КХД - невылетание цвета, которая состоит в том, кварки и глюоны не наблюдаются как свободные частицы в спектре. Таким образом, для вычислений в КХД при низких энергиях нужны другие, непертурбативпые, методы, позволяющие отвечать на поставленные выше и многие другие вопросы. Таким методом, позволяющим избежать неконтролируемых приближений, является метод компьютерных вычислений, использующий решёточную формулировку КХД.
В 1974 г. К. Вильсон [1] сформулировал основные идеи решеточного подхода к изучению КХД. Примерно 25 лет назад М. Кройц [2], используя этот подход, сделал первые компьютерные расчеты натяжения струны в неабеле-вой калибровочной модели с группой симметрии SU(2). С тех пор в развитии решёточной КХД (РКХД) пройден большой путь, получено немало результатов, способствовавших развитию нашего понимания непертурбативных свойств КХД. К наиболее значительным результатам можно отнести вычисление потенциала между статическими кварком и антикварком, натяжения струны, глюбольного спектра, спектра масс адронов, масс кварков. В настоящее время с помощью решёточной КХД можно отвечать на самые различные вопросы, начиная с сугубо феноменологических1 и заканчивая глубоко теоретическими:
• Поиск новых состояний вещества, таких как кварк-глюонная плазма, и определения их свойств;
• Вычисление фундаментальных параметров КХД: константы взаимодействия и масс кварков;
• Проверка унитарности матрицы смешивания кварков и поиск отклонений от Стандартной Модели;
• Решение проблем невылетания цвета и спонтанного нарушения кираль-ной симметрии;
• Проверка различных низкоэнергетических моделей вакуума КХД, таких как модель инстантонной жидкости;
• Поиск адекватных степеней свободы при низких энергиях и оценка роли топологически нетривиальных конфигураций калибровочных полей.
1Под феноменологией мы понимаем вычисление различных физических величин, таких как, например, матричные элементы полулептонного распада каона, которые интересны экспериментаторам.
В данной диссертации мы покажем, как с помощью решёточной КХД можно отвечать на некоторые, из поставленных выше, вопросов. В последующих главах, каждая из которых начинается более подробным введением в предмет изучения главы, излагаются полученные автором оригинальные результаты. Каждая глава завершается кратким заключением и обсуждением результатов.
Введение построено следующим образом. В параграфе 1.1 сделан краткий обзор основных особенностей решёточной регуляризации. Для более детального знакомства с предметом мы порекомендуем книги [3, 4] и обзор [5]. Далее в параграфах 1.2 и 1.3 рассмотрены непрерывный предел решёточной КХД и особенности формулировки киральных фермионов на решётке. Параграф 1.5 посвящен описанию источников погрешностей, возникающих при решёточных вычислениях. Далее, в разделе 2 обосновывается актуальность диссертации, формулируются цели работы, а также показана научная новизна проводимых исследований и их практическая ценность.
5.6. Выводы
В данной главе мы дали новое оригинальное определение плотности топологического заряда и глобального топологического заряда на решётке, основанное на погружении HPn сг-модели. Мы показали, что оно согласуется с известными определениями в области применимости последних. Более того, мы убедились, что с помощью него можно изучать непертурбативные явления в КХД. В частности, мы вычислили топологическую восприимчивость в непрерывном пределе и показали, что она хорошо согласуется с общепринятым значением. Более того, уже известны случаи применения нашего определения для изучения локальной структуры топологических флуктуаций в вакууме решёточной КХД [29, 181].
5 а,Фм Nt Ns УрНУ*: Фм4 ДГконФ дгконф
Фиксированный физический объём
2.3493 0.1397(15) 10 10 3.8(2) 300
2.3772 0.1284(15) 14 10 3.8(2) 300
2.3877 0.1242(15) 16 10 3.8(2) 300
2.4071 0.1164(15) 12 12 3.8(2) 200
2.4180 0.1120(15) 14 12 3.8(2) 100
2.4273 0.1083(15) 16 12 3.8(2) 250
2.4500 0.0996(22) 14 14 3.8(2) 200
2.5000 0.0854(4) 18 16 3.92(7) 200
Фиксированный шаг решётки
2.4180 0.1120(15) 14 14 6.0(3) 200
2.4180 0.1120(15) 16 16 10.3(6) 200
2.4180 0.1120(15) 18 18 16.5(9) 200
2.4000 0.1193(9) 16 16 13.3(4) 198
2.4750 0.0913(6) 16 16 4.6(1) 380 40
2.6000 0.0601(3) 28 28 8.0(2) 50
Заключение
Проведенные исследования, результаты которых представлены в диссертации, продемонстрировали, что метод численного моделирования неабеле-вых калибровочных теорий, включая КХД, сформулированных в решёточной регуляризации, позволяет изучать как важные для феноменологии вопросы и получать с высокой точность значения, например, матричных элементов распадов адронов, так и исследовать непертурбативные свойства вакуума и получать результаты, важные для понимания структуры вакуума.
В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
1. Вычислена температура фазового перехода из фазы невылетания в фазу вылетания цвета в КХД с двумя динамическими вырожденными кварками (Nf — 2 КХД) с использованием вильсоновских фермионов с непертурбативно улучшенным действием. Для температуры перехода получено значение
Тс = 184(3)(±1) МэВ.
2. Вычислены форм-факторы /+(0) и £(0) полулептонного распада каона. Получены следующие значения:
0) = 0.9647(15),**, £(0) = -0.10(2)stat.
Используя экспериментальные данные для ширины распада, вычислен матричный элемент |T4S| матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскавы
Vus\ = 0.2247(5) ехр (4) stat •
3. Изучены пропагаторы глюонов в максимальной абелевой калибровке в SU(2) глюодинамике с помощью решёточных методов. Продемонстрировано, что при малых импульсах пропагатор "недиагонального" глюона подавлен примерно в 50 раз по сравнению с пропагатором "диагонального" глюона при импульсах порядка 300 МэВ. Это является новым подтверждением гипотезы абелевой доминантности.
4. Вычислена ультрафиолетовая асимптотика глюонных пропагаторов в максимальной абелевой калибровке в SU(2) глюодинамике с помощью методов ренормгруппы.
5. Детально исследованы свойства низколежащих мод кирально-инвари-антного оператора Дирака в вакууме квантовой глюодинамики. Показано, что они локализуются в областях пространства, размерность которых меньше 4. Более того, продемонстрировано, что четырёхмерный объём областей локализации стремится к нулю в непрерывном пределе.
6. Предложен новый метод вычисления на решётке глобального топологического заряда и его плотности с помощью погружения ШЕРП сг-модели. Продемонстрирована его независимость от ультрафиолетовых флуктуаций, т.е. возможность применения этого метода на вакуумных конфигурациях калибровочных полей, насыщающих функциональный интеграл.
7. В формализме погруженной HP1 сигма-модели в непрерывном и термодинамическом пределах вычислена топологическая восприимчивость вакуума в решёточной SU(2) глюодинамике х1/4 = 216(4) МэВ .
1. Wilson К. G. Confinement of quarks // Phys. Rev.— 1974.- Vol. D10. — Pp. 2445-2459.
2. Creutz M. Monte Carlo Study of Quantized SU(2) Gauge Theory // Phys. Rev. 1980. - Vol. D21. - Pp. 2308-2315.
3. Montvay I., Munster G. Quantum fields on a lattice. — Cambridge, UK: Univ. Pr. (1994) 491 p. (Cambridge monographs on mathematical physics).
4. Rothe H. J. Lattice gauge theories: An Introduction // World Sci. Lect. Notes Phys.- 2005.- Vol. 74. Pp. 1-605.
5. Gupta R. Introduction to lattice QCD. — 1997.
6. Luscher M. Construction of a Selfadjoint, Strictly Positive Transfer Matrix for Euclidean Lattice Gauge Theories // Commun. Math. Phys. — 1977.— Vol. 54. P. 283.
7. Luscher M. Volume Dependence of the Energy Spectrum in Massive Quantum Field Theories. 2. Scattering States // Commun. Math. Phys.— 1986.- Vol. 105.- Pp. 153-188.
8. Peardon M. J. Progress in lattice algorithms // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2002,-Vol. 106.-Pp. 3-11.
9. Symanzik K. Continuum Limit and Improved Action in Lattice Theories. 1. Principles and фА Theory // Nucl. Phys.- 1983.- Vol. B226. — P. 187.
10. Symanzik K. Continuum Limit and Improved Action in Lattice Theories. 2. O(N) Nonlinear Sigma Model in Perturbation Theory // Nucl. Phys.— 1983. — Vol. B226. P. 205.
11. Sheikholeslami В., Wohlert R. Improved Continuum Limit Lattice Action for QCD with Wilson Fermions // Nucl. Phys.— 1985.- Vol. B259.-P. 572.
12. Jansen K., Sommer R. 0(a) improvement of lattice QCD with two flavors of Wilson quarks // Nucl. Phys. 1998. - Vol. B530. - Pp. 185-203.
13. Smilga A. V. Aspects of chiral symmetry. — 2000.
14. Chandrasekharan Wie.sc U. J. An introduction to chiral symmetry on the lattice // Prog. Part. Nucl. Phys.— 2004. —Vol. 53. — Pp. 373-418.
15. Nielsen H. В., Ninomiya M. Absence of Neutrinos on a Lattice. 1. Proof by Homotopy Theory // Nucl Phys. — 1981. Vol. B185. - P. 20.
16. Nielsen H. В., Ninomiya M. Absence of Neutrinos on a Lattice. 2. Intuitive Topological Proof // Nucl. Phys. 1981.- Vol. B193. — P. 173.
17. Ginsparg P. H., Wilson K. G. A Remnant of Chiral Symmetry on the Lattice // Phys. Rev. 1982. - Vol. D25. - P. 2649.
18. Luscher M. Exact chiral symmetry on the lattice and the Ginsparg- Wilson relation // Phys. Lett. 1998. - Vol. B428. - Pp. 342-345.
19. Neuberger H. Exactly massless quarks on the lattice // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B417. Pp. 141-144.
20. Neuberger H. More about exactly massless quarks on the lattice // Phys. Lett. 1998. - Vol. B427. - Pp. 353-355.
21. Hernandez P., Jansen K., Luscher M. Locality properties of Neuberger's lattice Dirac operator // Nucl. Phys.- 1999. Vol. B552. - Pp. 363-378.
22. Fosco С. D., Torroba G., Neuberger H. A simple derivation of the Overlap Dirac Operator // Phys. Lett— 2007. Vol. B650. — Pp. 428-431.
23. Kapusta J. I.; Gale C. Finite-temperature field theory: Principles and applications. — Cambridge, UK: Univ. Pr. (2006) 428 p.
24. Abelian dominance and gluon propagators in the maximally Abelian gauge of SU(2) lattice gauge theory / V. G. Bornyakov, M. N. Chernodub, F. V. Gubarev et al. // Phys. Lett.— 2003. Vol. B559. - Pp. 214-222.
25. Evidence for fine tuning of fermionic modes in lattice gluodynamics / F. V. Gubarev, S. M. Morozov, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // JETP Lett. 2005. - Vol. 82. - Pp. 343-349.
26. Morozov S. M., Rogalyov R. N. Ultraviolet behavior of the gluon propagator in the maximal Abelian gauge // Phys. Rev. — 2005.— Vol. D71.— P. 085016.
27. Gubarev F. V., Morozov S. M. (A2) condensate, bianchi identities and chro-momagnetic fields degeneracy in SU(2) ym theory // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D71.-P. 114514.
28. Gubarev F. V., Morozov S. M. Lattice gauge fields topology uncovered by quaternionic sigma-model embedding // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D72. — P. 076008.
29. Boyko P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. SU{2) gluodynamics and HP1 sigma-model embedding: Scaling, topology and confinement // Phys. Rev. — 2006. Vol. D73. - P. 014512.
30. On topological properties of vacuum defects in lattice Yang-Mills theories /
31. А. V. Kovalenko, S. M. Morozov, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov // Phys. Lett. 2007. - Vol. B648. - Pp. 383-387.
32. Chernodub M. N., Morozov S. M. Embedded monopoles in quark eigen-modes in SU(2) yang-mills theory // Phys. Rev.- 2006,— Vol. D74. — P. 054506.
33. Bornyakov V. G. et al. Calorons and dyons at the thermal phase transition analyzed by overlap fermions // Phys. Rev. — 2007. — Vol. D76. — P. 054505.
34. Bornyakov V. G. et al Remark on the disappearance of topology and chiral symmetry breaking due to the removal of monopoles or vortices // Phys. Rev. 2008. - Vol. D77. - P. 074507.
35. Monopoles and hybrids in Abelian projection of lattice QCD / P. Y. Boyko, M. N. Chernodub, A. V. Kovalenko et al. // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2002,- Vol. 106.- Pp. 628-630.
36. Bornyakov V. G., Morozov S. M., Polikarpov M. I. Gluon propagators in maximal abelian gauge of SU(2) lattice gauge theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl 2003. - Vol. 119. - Pp. 733-735.
37. Numerical study of gluon propagators in maximally Abelian gauge / V. G. Bornyakov, M. N. Chernodub, F. V. Gubarev et al. // Nucl Phys. Proc. Suppl- 2004,- Vol. 129. Pp. 644-646.
38. Nakamura Y. et al. Finite temperature qcd with two flavors of dynamical quarks on 243 x 10 lattice // AIP Conf. Proc. 2005. - Vol. 756. - Pp. 242244.
39. Localization of scalar and fermionic eigenmodes in SU(2) lattice gauge theory / M. I. Polikarpov, F. V. Gubarev, S. M. Morozov et al. — Prepared for 12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics, Moscow, Russia, 25-31 Aug 2005.
40. Gubarev F. V.; Morozov S. M. Bianchi identities and degeneracy of chromo-magnetic fields in SU(2) gluodynamics // PoS. — 2006. — Vol. LAT2005. -P. 327.
41. Bornyakov V. G. et al. Critical temperature in QCD with two flavors of dynamical quarks // PoS. 2006. - Vol. LAT2005. - P. 157.
42. Localization of low lying eigenmodes for chirally symmetric Dirac operator / M. I. Polikarpov, F. V. Gubarev, S. M. Morozov, V. I. Zakharov // PoS. — 2006. Vol. LAT2005. - P. 143.
43. Localization of scalar and fermionic eigenmodes and confinement / M. I. Polikarpov, F. V. Gubarev, S. M. Morozov, S. N. Syritsyn // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. - Vol. 153. - Pp. 221-228.
44. Brommel D. et al. Kaon semileptonic decay form factors from Nf = 2 non- perturbatively 0(a)-improved wilson fermions // PoS. — 2007. — Vol. LAT2007. P. 364.
45. Bornyakov V. G. et.al. Study of the topological vacuum structure of SU(2) gluodynamics at T > 0 with overlap fermions and improved action // PoS. 2007. - Vol. LAT2007. - P. 315.
46. Bornyakov V. G. et a,I. Finite temperature lattice qcd with two flavors of improved wilson fermions // PoS 2007. - Vol. LAT2007. - P. 171.
47. Воуко P. Y., Gubarev F. V., Morozov S. M. On the structure of QCD confining string // PoS. 2007. - Vol. LAT2007. - P. 307.
48. Fritzsch H., Gell-Mann M. Current algebra: Quarks and what else? // eConf. 1972. - Vol. C720906V2. - Pp. 135-165.
49. Greensite J. The confinement problem in lattice gauge theory // Prog. Part. Nucl. Phys. 2003. - Vol. 51. - P. 1.
50. Adcox K. et al. Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus nucleus collisions at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX collaboration // Nucl. Phys. 2005. - Vol. A757. - Pp. 184-283.
51. Arsene I. et al. Quark gluon plasma and color glass condensate at RHIC? The perspective from the BRAHMS experiment // Nucl. Phys. — 2005.— Vol. A757. Pp. 1-27.
52. Back В. B. et al. The PHOBOS perspective on discoveries at RHIC // Nucl Phys. 2005. - Vol. A757. - Pp. 28-101.
53. Adams J. et al. Experimental and theoretical challenges in the search for the quark gluon plasma: The STAR collaboration's critical assessment of the evidence from RHIC collisions // Nucl. Phys. — 2005.— Vol. A757.— Pp. 102-183.
54. Thoma M. H. The quark-gluon plasma liquid // J. Phys. — 2005.— Vol. G31.-P. L7.
55. Chernodub M. N., Zakharov V. I. Magnetic component of Yang-Mills plasma // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 98. - P. 082002.
56. Liao J., Shuryak E. Strongly coupled plasma with electric and magnetic charges // Phys. Rev. 2007. - Vol. C75. - P. 054907.
57. Liao J., Shuryak E. Magnetic Component of Quark-Gluon Plasma is also a Liquid! 2008.
58. Fodor Z. Recent Result in QCD Thermodynamics from the Lattice. — 2007.
59. Karsch F. Recent lattice results on finite temperature and density QCD, part I. 2007.
60. Karsch F. Recent lattice results on finite temerature and density QCD, part II.- 2007.
61. Cheng M. et al. The transition temperature in QCD // Phys. Rev. — 2006. — Vol. D74. P. 054507.
62. The QCD transition temperature: Results with physical masses in the continuum limit / Y. Aoki, Z. Fodor, S. D. Katz, К. K. Szabo //Phys. Lett.— 2006. Vol. B643. - Pp. 46-54.
63. Allton C. R. et al. Effects of non-perturbatively improved dynamical fermions in QCD at fixed lattice spacing // Phys. Rev.— 2002.— Vol. D65. — P. 054502.
64. Gockeler M. et al. Simulating at realistic quark masses: Light quark masses // PoS. 2006. - Vol. LAT2006. - P. 160.
65. Sommer R. A New way to set the energy scale in lattice gauge theories and its applications to the static force and alpha-s in SU(2) Yang-Mills theory // Nucl. Phys.- 1994.-Vol. В411,- Pp. 839-854.
66. Khan A. A. et al. Axial coupling constant of the nucleon for two flavours of dynamical quarks in finite and infinite volume // Phys. Rev. — 2006. — Vol. D74. P. 094508.
67. Aubin С. et al. Light hadrons with improved staggered quarks: Approaching the continuum limit // Phys. Rev. — 2004. — Vol. D70. — P. 094505.
68. Wolff U. Monte Carlo errors with less errors // Comput. Phys. Commun.— 2004,- Vol. 156.- Pp. 143-153.
69. Efron В., Tibshirani R. An introduction to the bootstrap. — New York, US: Chapman and Hall (1993) 436 p.
70. Engels J., Karsch F., Redlich K. Scaling properties of the energy density in SU(2) lattice gauge theory // Nucl. Phys.- 1995. Vol. B435. - Pp. 295310.
71. Pisarski R. D., Wilczek F. Remarks on the Chiral Phase Transition in Chro-modynamics // Phys. Rev. 1984. - Vol. D29.- Pp. 338-341.
72. A test of first order scaling in Nf=2 QCD / G. Cossu, M. D'Elia, A. Di Gi-acomo, C. Pica. — 2007.
73. Gray A. et al. The Upsilon spectrum and m(b) from full lattice QCD // Phys. Rev. 2005. - Vol. D72. - P. 094507.
74. Bernard C. et al. QCD thermodynamics with three flavors of improved staggered quarks // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D71. — P. 034504.
75. Lagae J. F., Sinclair D. K. Improved staggered quark actions with reduced flavour symmetry violations for lattice QCD // Phys. Rev. — 1999. — Vol. D59. — P. 014511.
76. Orginos K., Toussaint D. Testing improved actions for dynamical Kogut-Susskind quarks // Phys. Rev.- 1999.- Vol. D59. — P. 014501.
77. Maezawa Y, et al Thermodynamics of two-flavor lattice QCD with an improved Wilson quark action at non-zero temperature and density //J. Phys. 2007. - Vol. G34. - Pp. S651-654.
78. Matsui Т., Satz H. J/ф Suppression by Quark-Gluon Plasma Formation // Phys. Lett. 1986. - Vol. B178. — P. 416.
79. Kajantie K. et al Non-perturbative Debye mass in finite T QCD // Phys. Rev. Lett.- 1997.- Vol. 79.- Pp. 3130-3133.
80. Nadkarni S. Nonabelian Debye Screening. 1. The Color Averaged Potential // Phys. Rev.- 1986.- Vol. D33. P. 3738.
81. Philipsen 0. Non-perturbative formulation of the static color octet potential // Phys. Lett. — 2002. — Vol. B535.-Pp. 138-144.
82. Jahn O., Philipsen O. The Polyakov loop and its relation to static quark potentials and free energies // Phys. Rev. — 2004. — Vol. D70. — P. 074504.
83. Belavin V. A., Bornyakov V. G., Mitrjushkin V. K. On the gauge dependence of the singlet and adjoint potentials // Phys. Lett.— 2004,— Vol. B579. — Pp. 109-112.
84. Kaczmarek O., Zantow F. Static quark anti-quark interactions in zero and finite temperature QCD. I: Heavy quark free energies, running coupling and quarkonium binding // Phys. Rev. — 2005. — Vol. D71.— P. 114510.
85. Maezawa Y. et al Heavy-Quark Free Energy, Debye Mass, and Spatial String Tension at Finite Temperature in Two Flavor Lattice QCD with Wilson Quark Action // Phys. Rev. 2007. - Vol. D75. - P. 074501.
86. Problems on lattice gauge fixing / L. Giusti, M. L. Paciello, C. Parrinello et al. // Int. J. Mod. Phys.- 2001. Vol. A16. - Pp. 3487-3534.
87. Gribov V. N. Quantization of non-Abelian gauge theories // Nucl. Phys.— 1978.-Vol. B139. — P. 1.
88. Hasenfratz A., Knechtli F. Flavor symmetry and the static potential with hypercubic blocking 11 Phys. Rev.— 2001. — Vol. D64. — P. 034504.
89. Cabibbo N. Unitary Symmetry and Leptonic Decays // Phys. Rev. Lett. — 1963. Vol. 10. - Pp. 531-532.
90. Kobayashi M., Maskawa T. CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction // Prog. Theor. Phys.- 1973.- Vol. 49. Pp. 652-657.
91. Yao W. M. et al. Review of particle physics 11 J. Phys.- 2006.— Vol. G33. Pp. 1-1232.
92. Wolfenstein L. Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol. 51. - P. 1945.
93. Eidelman S. et al. Review of particle physics // Phys. Lett — 2004. — Vol. B592.-P. 1.
94. Cabibbo N., Swallow E. C., Winston R. Semileptonic hyperon decays // Ann. Rev. Nucl. Part. Set— 2003. Vol. 53. - Pp. 39-75.
95. First lattice QCD study of the —> n axial and vector form factors with SU(3) breaking corrections / D. Guadagnoli, V. Lubicz, M. Papin-utto, S. Simula // Nucl. Phys. 2007. - Vol. B761. - Pp. 63-91.
96. Marciano W. J. Precise determination of |14s| from lattice calculations of pseudoscalar decay constants // Phys. Rev. Lett. — 2004.— Vol. 93,— P. 231803.
97. Vus and ms from hadronic r decays / E. Gamiz, M. Jamin, A. Pich et al. // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94. P. 011803.
98. Sher A. et al. New, high statistics measurement of the K+ —> 7ГQe+v (K^3) branching ratio // Phys. Rev. Lett 2003. - Vol. 91. — P. 261802.
99. Alexopoulos T. et al. A determination of the CKM parameter |14s| // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 181802.
100. Alexopoulos T. et al. Measurements of Kl branching fractions and the CP violation parameter // Phys. Rev. — 2004. — Vol. D70. — P. 092006.
101. Lai A. et al. Measurement of the branching ratio of the decay Kl —» ^e^is and extraction of the CKM parameter |T4S| // Phys. Lett. — 2004.— Vol. B602. — Pp. 41-51.
102. Ambrosino F. et al. Measurements of the absolute branching ratios for the dominant Kl decays, the Kl lifetime, and |T4s| with the KLOE detector // Phys. Lett. 2006. - Vol. B632. - Pp. 43-50.
103. Leutwyler H., Roos M. Determination of the Elements Vus and Vud of the Kobayashi-Maskawa Matrix // Z. Phys. — 1984. — Vol. C25. — P. 91.
104. Bijnens J., Talavera P. Ki% decays in chiral perturbation theory // Nucl. Phys. — 2003. Vol. B669. - Pp. 341-362.
105. Jamin M., Oiler J. A., Pich A. Order p6 chiral couplings from the scalar К pi form factor // JEEP. 2004. - Vol. 02. - P. -047.
106. Cirigliano V. et al. The Green function and SU(3) breaking in Kis decays // JEEP. 2005. - Vol. 04. - P. 006.
107. Becirevic D. et al. The К pi vector form factor at zero momentum transfer on the lattice // Nucl. Phys. 2005. - Vol. B705.- Pp. 339-362.
108. Becirevic D. et al. SU(3)-breaking effects in kaon and hyperon semileptonic decays from lattice QCD 11 Eur. Phys. J. — 2005. — Vol. A24S1. — Pp. 6973.
109. Okamoto M. Full CKM matrix with lattice QCD. 2004.
110. Tsutsui N. et al. Kaon semileptonic decay form factors in two-flavor QCD // PoS. 2006. - Vol. LAT2005. - P. 357.
111. Vector form factor in semileptonic decay with two flavors of dynamical domain-wall quarks / C. Dawson, T. Izubuchi, T. Kaneko et al. // Phys. Rev. 2006. - Vol. D74. - P. 114502.
112. Hadronic form factors in lattice QCD at small and vanishing momentum transfer / P. A. Boyle, J. M. Flynn, A. Juttner et al. // JHEP.— 2007,-Vol. 05.-P. 016.
113. Antonio D. J. et al. Кгз form factor with Nf = 2 + 1 dynamical domain wall fermions: A progress report. — 2007.
114. Boyle P. A. et al. Ki% semileptonic form factor from 2 + 1 flavour lattice QCD. 2007.
115. Juttner A. Progress in kaon physics on the lattice. — 2007.
116. Best C. et al. Pion and rho structure functions from lattice QCD // Phys. Rev. 1997. - Vol. D56. - Pp. 2743-2754.
117. Bowler К. C. et al. Heavy Baryon Specroscopy from the Lattice // Phys. Rev. 1996. - Vol. D54. - Pp. 3619-3633.
118. Hashimoto S. et al. Lattice QCD calculation of В —> Dlv decay form factors at zero recoil // Phys. Rev.- 2000. Vol. D61. - P. 014502.
119. Becirevic D., Martinelli G., Villadoro G. The Ademollo-Gatto theorem for lattice semileptonic decays // Phys. Lett. — 2006. — Vol. B633. — Pp. 84-88.
120. Ademollo M., Gatto R. Nonrenormalization Theorem for the Strangeness Violating Vector Currents // Phys. Rev. Lett. — 1964. — Vol. 13. — Pp. 264265.
121. Moulson M. Vus from kaon decays. — 2007.121. 't Hooft G. Topology of the Gauge Condition and New Confinement Phases in Nonabelian Gauge Theories // Nucl Phys. 1981. - Vol. B190. - P. 455.
122. Suzuki Т., Yotsuyanagi I. A possible evidence for Abelian dominance in quark confinement // Phys. Rev. 1990. — Vol. D42. — Pp. 4257-4260.
123. Mandelstam S. Soliton operators for the quantized sine-gordon equation // Phys. Rept. 1976. - Vol. 23. - Pp. 307-313.
124. Кидо Т., Uehara S. General procedure of gauge fixing based on brs invari-ance principle // Nucl. Phys.- 1982. Vol. B197. - P. 378.
125. Shinohara Т., Imai Т., Kondo K.-I. The most general and renormaliz-able maximal Abelian gauge // Int. J. Mod. Phys. — 2003.— Vol. A18.— Pp. 5733-5756.
126. Min H., Lee Т., Рас P. Y. Renormalization of yang-mills theory in the abelian gauge // Phys. Rev. 1985. - Vol. D32. - P. 440.
127. Dual Superconductor Scenario of Confinement: A Systematic Study of Gribov Copy Effects / G. S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker, K. Schilling // Phys. Rev. 1996. - Vol. D54. - Pp. 2863-2875.
128. Gribov copy effects in maximally abelian gauge / G. S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker, K. Schilling // Nucl. Phys. Proc. SuppL— 1996.— Vol. 49. Pp. 256-261.
129. Cucchieri A., Mendes T. Critical Slowing-Down in SU(2) Landau Gauge-Fixing Algorithms // Nucl. Phys. 1996. - Vol. В471,- Pp. 263-292.
130. Fingberg J., Heller U. M., Karsch F. Scaling and asymptotic scaling in the SU(2) gauge theory // Nucl. Phys.- 1993. Vol. В392,- Pp. 493-517.
131. A fresh look on the flux tube in Abelian-projected SU(2) gluodynamics / Y. Кота, M. Кота, T. Suzuki et al. // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2003. -Vol. 119.-Pp. 676-678.
132. Asymptotic scaling and infrared behavior of the gluon propagator / D. B. Leinweber, J. I. Skullerud, A. G. Williams, C. Parrinello // Phys. Rev. 1999. - Vol. D60. — P. 094507.
133. Becirevic D. et al. Asymptotic behaviour of the gluon propagator from lattice QCD // Phys. Rev. 1999.- Vol. D60. — P. 094509.
134. Schaden M. Mass generation in continuum SU(2) gauge theory in covariant Abelian gauges. — 1999.
135. Kondo K.-I., Shinohara T. Abelian dominance in low-energy gluodynamics due to dynamical mass generation // Phys. Lett. — 2000.— Vol. B491.— Pp. 263-274.
136. Kondo К.-I. Vacuum condensate of mass dimension 2 as the origin of mass gap and quark confinement // Phys. Lett. — 2001. — Vol. B514. — Pp. 335345.
137. The gluon and ghost propagators in Euclidean Yang-Mills theory in the maximal Abelian gauge: taking into account the effects of the Gribov copies and of the dimension two condensates / M. A. L. Capri, V. E. R. Lemes, R. F. Sobreiro et al. — 2008.
138. Gubarev F. V., Stodolsky L., Zakharov V. I. On the significance of the quantity A2 // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - Pp. 2220-2222.
139. Gubarev F. V., Zakharov V. I. On the emerging phenomenology of (0tymin) 11 PhVs■ Lett ~ 2001. Vol. B501. - Pp. 28-36.
140. Amemiya K., Suganuma H. Effective mass generation of off-diagonal gluons as the origin of infrared Abelian dominance in the maximally Abelian gauge in QCD // Phys. Rev. 1999. - Vol. D60. - P. 114509.
141. Zwanziger D. Fundamental modular region, Boltzmann factor and area law in lattice gauge theory // Nucl. Phys. 1994. - Vol. B412. - Pp. 657-730.
142. Кидо Т., Ojima I. Local Covariant Operator Formalism of Nonabelian Gauge Theories and Quark Confinement Problem // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1979. - Vol. 66. - P. 1.
143. Alkofer R. QCD Green Functions and their Application to Hadron Physics // Braz. J. Phys. 2007. - Vol. 37,- Pp. 144-164.
144. Bogolubsky I. L. et al. Lattice results on gluon and ghost propagators in Landau gauge. — 2008.
145. Gribov V. N. Problem of Color Confinement in Nonabelian Gauge Theories. — In *Dubna 1978, Proceedings, 5th International Seminar On High Energy Physics Problems*, 236-260.
146. Caldi D. G. Quark Mass Generation by Instantons // Phys. Rev. Lett. — 1977.-Vol. 39,- P. 121.
147. Gallan Curtis G. J., Dashen R. F., Gross D. J. Toward a theory of the strong interactions // Phys. Rev. 1978. - Vol. D17. — P. 2717.
148. Carlitz R. D., Creamer D. B. Light Quarks and Instantons // Ann. Phys. — 1979.-Vol. 118.-P. 429.
149. Diakonov D. Instantons at work // Prog. Part. Nucl. Phys.— 2003.— Vol. 51.-Pp. 173-222.
150. Schafer Т., Shuryak E. V. Instantons in QCD // Rev. Mod. Phys. 1998. -Vol. 70. - Pp. 323-426.
151. Atiyah M. F., Singer I. M. The Index of elliptic operators. 1 // Annals Math. — 1968. Vol. 87. - Pp. 484-530.
152. Atiyah M. F., Singer I. M. The Index of elliptic operators. 3 // Annals Math. 1968. - Vol. 87. - Pp. 546-604.
153. Banks Т., Casher A. Chiral Symmetry Breaking in Confining Theories // Nucl. Phys.- 1980.-Vol. B169. — P. 103.
154. Witten E. Current Algebra Theorems for the U(l) Goldstone Boson // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B156. - P. 269.
155. Veneziano G. U(l) Without Instantons // Nucl. Phys.- 1979,- Vol. B159. Pp. 213-224.
156. Garcia Perez M., Philipsen 0., Stamatescu I.-O. Cooling, physical scales and topology // Nucl Phys. 1999. — Vol. B551. — Pp. 293-313.
157. Teper M. Topology in QCD // Nucl Phys. Proc. Suppl. 2000. - Vol. 83. — Pp. 146-150.
158. Horvath I. et al Low-dimensional long-range topological charge structure in the QCD vacuum // Phys. Rev. 2003. — Vol. D68. - P. 114505.
159. Horvath I. The analysis of space-time structure in QCD vacuum. I: Localization vs global behavior in local observables and Dirac eigenmodes // Nucl. Phys. 2005. - Vol. B710. - Pp. 464-484.
160. Low lying eigenmodes localization for chirally symmetric Dirac operator / F. V. Gubarev, S. M. Morozov, M. I. Polikarpov, V. I. Zakharov. — 2005.
161. Numerical techniques for lattice QCD in the epsilon- regime / L. Giusti, C. Hoelbling, M. Luscher, H. Wittig // Comput. Phys. Commun.— 2003. — Vol. 153.-Pp. 31-51.
162. Operator improvement for Ginsparg-Wilson fermions / S. Capitani, M. Gockeler, R. Horsley et al. // Phys. Lett- 1999.- Vol. B468. -Pp. 150-160.165. http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/.
163. Lucini В., Teper M. SU(N) gauge theories in four dimensions: Exploring the approach to N = infinity // JHEP. 2001. - Vol. 06. - P. 050.
164. Bali G. S., Schilling K., Wachter A. Ab initio calculation of relativistic corrections to the static interquark potential. I: SU(2) gauge theory // Phys. Rev.- 1997.- Vol. D55.- Pp. 5309-5324.
165. Computation of the spatial string tension in high temperature SU(2) gauge theory / G. S. Bali, K. Schilling, J. Fingberg et al. // Int. J. Mod. Phys.— 1993. Vol. C4. - Pp. 1179-1193.
166. Luscher M. Does the Topological Susceptibility in Lattice Sigma Models Scale According to the Perturbative Renormalization Group? // Nucl. Phys. 1982. - Vol. B200. - P. 61.
167. Pugh D. J. R., Teper M. Topological dislocations in the continuum limit of SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett.— 1989. Vol. B224. - Pp. 159165.
168. Localized eigenmodes of covariant Laplacians in the Yang- Mills vacuum / J. Greensite, S. Olejnik, M. Polikarpov et al. // Phys. Rev. — 2005.— Vol. D71.-P. 114507.
169. Kramer В., MacKinnon A. Localization: theory and experiment // Rep. Prog. Phys. 1993. - Vol. 56. - Pp. 1469-1564.
170. Properties of near zero modes and chiral symmetry breaking / C. Gattringer, M. Gockeler, P. E. L. Rakow et al. // Nucl. Phys. 2001,- Vol. В617,-Pp. 101-116.
171. Kovacs T. G. Locality and topology with fat link overlap actions // Phys. Rev. 2003. - Vol. D67. - P. 094501.
172. Aubin C. et al. The scaling dimension of low lying Dirac eigenmodes and of the topological charge density // Nucl. Phys. Proc. Suppl.— 2005.— Vol. 140.-Pp. 626-628.
173. Bernard C. et al. More evidence of localization in the low-lying Dirac spectrum // PoS. 2006. - Vol. LAT2005. - P. 299.
174. Boyko P. Y., Gubarev F. V. On the continuum limit of topological charge density distribution // Phys. Rev. — 2006. Vol. D73. — P. 114506.
175. Horvath I. et al. On the local structure of topological charge fluctuations in QCD // Phys. Rev.- 2003. Vol. D67. — P. 011501.
176. Construction of instantons / M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld, Y. I. Manin // Phys. Lett.- 1978.-Vol. A65. — P. 185.
177. Drinfeld V. G., Manin Y. I. // Commun. Math. Phys. 1978. - Vol. 63. -P. 177.
178. Preliminary Evidence for U(l)-A Breaking in QCD from Lattice Calculations / P. Di Vecchia, K. Fabricius, G. C. Rossi, G. Veneziano // Nucl. Phys. 1981. - Vol. B192. - P. 392.
179. Numerical checks of the lattice definition independence of topological charge fluctuations / P. Di Vecchia, K. Fabricius, G. C. Rossi, G. Veneziano // Phys. Lett. 1982. - Vol. B108. - P. 323.
180. Bilson-Thompson S. 0., Leinweber D. В., Williams A. G. Highly-improved lattice field-strength tensor // Ann. Phys. — 2003. — Vol. 304. — Pp. 1-21.
181. Phillips A., Stone D. Lattice gauge fields, principal bundles and the calculation of topological charge // Commun. Math. Phys. — 1986. — Vol. 103. — Pp. 599-636.
182. Luscher M. Topology of Lattice Gauge Fields // Commun. Math. Phys.— 1982.-Vol. 85.-P. 39.
183. Hasenfratz P., Laliena V., Niedermayer F. The index theorem in QCD with a finite cut-off // Phys. Lett. 1998. - Vol. B427. - Pp. 125-131.
184. Adams D. H. Axial anomaly and topological charge in lattice gauge theory with overlap-Dirac operator // Annals Phys. — 2002. — Vol. 296. — Pp. 131— 151.
185. Narayanan R., Vranas P. M. A numerical test of the continuum index theorem on the lattice // Nucl. Phys. — 1997. — Vol. B506. — Pp. 373-386.
186. Campostrini M., Di Giacomo A., Panagopoulos H. The topological susceptibility on the lattice // Phys. Lett.- 1988. Vol. B212. - P. 206.
187. Topological charge, renormalization and cooling on the lattice / M. Campostrini, A. Di Giacomo, H. Panagopoulos, E. Vicari // Nucl. Phys.— 1990.-Vol. B329.-P 683.
188. Gursey F., Tze H. C. Complex and quaternionic analyticity in chiral and gauge theories, part 1 // Ann. Phys.- 1980. Vol. 128. - P. 29.
189. Дубровин Б. А., Фоменко А. Т., Новиков С. П. Современная геометрия: методы и приложения. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей (том 1).— Москва, Россия: Едиториал УРСС (2001) 336 стр.149
190. Дубровин Б. А., Фоменко А. Т., Новиков С. П. Современная геометрия: методы и приложения. Геометрия и топология многообразий (том 2). — Москва, Россия: Едиториал УРСС (2001) 296 стр.
191. Narasimhan М., Ramanan S. // Amer. J. of Math.— 1963.— Vol. 85.— P. 223.
192. Berg В., Luscher M. Definition and Statistical Distributions of a Topological Number in the Lattice 0(3) Sigma Model // Nucl. Phys.~ 1981,- Vol. B190.-P. 412.
193. Berg В., Panagiotakopoulos C. Definition and statistical properties of a universal topological charge // Nucl. Phys. — 1985. — Vol. B251.— P. 353.
194. High statistics computation of the topological susceptibility of SU(2) gauge theory / A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese // Nucl. Phys. 1987. - Vol. B292. - P. 330.
195. Cundy N., Teper M., Wenger U. Topology and chiral symmetry breaking in SU(NC) gauge theories // Phys. Rev. 2002. - Vol. D66. - P. 094505.
