Функциональные детерминанты в полях дионов и калоронов с нетривиальной голономией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

г

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

СЛИЗОВСКИЙ Сергей Владимирович

Функциональные детерминанты в полях дионов и калоронов с нетривиальной голономией

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003456075

Санкт-Петербург - 2008

003456075

УДК 539.120.812

Работа выполнена в Отделении Теоретической Физики ПИЯФ РАН

Научные руководители: д. ф.-м. н., с.н.с. Дьяконов Дмитрий Игоревич,

д. ф.-м. н., с.н.с. Петров Виктор Юрьевич, ПИЯФ РАН им. Б.П.Константинова, г. Гатчина

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. Иоффе Михаил Вульфович

СПбГУ, г. Санкт-Петербург

д.ф.-м.н., Чернодуб Максим Николаевич ИТЭФ им. Алиханова , г. Москва

Ведущая организация: Институт Ядерных Исследований РАН, Москва

Защита состоится 2008г. в /-¡""часов О ¿-"минут на заседании совета

Д 212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петерб Университетская наб. д. 7/9 . /

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета.

Автореферат разослан: " /Г" //_ 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н., профессор__А.К.Щёкин

Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы исследования

С открытием асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях (теории Янга-Миллса) в 1973 году, квантовая хромодинамика (КХД) стала общепризнанной теорией сильных взаимодействий.

Естественно пытаться исследовать свойства сильных взаимодействий при очень высокой температуре по следующим причинам. Во-первых, высокие температуры могут наблюдаться в нейтронных звёздах и в экспериментах по столкновению тяжёлых ионов. Во-вторых, теории с высокой температурой хорошо исследованы решёточными методами. И в-третьих, КХД при высокой температуре может рассматриваться как теоретический полигон для исследования калибровочных теорий. Дело в том, что при высокой температуре эффективная константа взаимодействия становится малой, что даёт возможность пользоваться разложением по константе связи.

Однако, не все явления описываются стандартной теорией возмущений. Теория возмущений не описывает фазовый переход из фазы кварк-глюонной плазмы в адронную фазу (деконфайнмент - конфайнмент) и для его описания следует учитывать непертурбативные вклады в статистическую сумму КХД. При понижении температуры считается, что непертурбативные эффекты начинают доминировать и приводят к переходу в фазу конфайнмента (адронную фазу).

1.2 Цель работы и постановка задачи

Целью диссертационной работы было исследование непертурбативных эффектов в чистой глюодинамике и КХД при конечной температуре.

В теории с конечной температурой появляется новая величина — голоно-мия (или петля Полякова). Выбирая калибровочное поле в фундаментальном представлении, определим петлю Полякова как

(1)

\

у

Все собственные значения голономии калибровочно инвариантны. Среднее от следа голономии является параметром порядка для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в чистой глюодинамике (теории без динамических кварков). Голономию называют тривиальной, если петля Полякова принимает значения в центре калибровочной группы. При этом ^Ь = дге2 «Л/Л к =

В фазе конфайнмента < 1г Ь >= 0, поэтому можно предположить, что 1;г Ь и 0 на полевых конфигурациях, дающих доминирующий вклад в функциональный интеграл. Такие конфигурации полей называют полями с максимально нетривиальной голономией.

Если эффективная константа связи в теории мала, то предполагается, что непертурбативные вклады сосредоточены вблизи локальных нетривиальных минимумов классического действия, т.е. классических решений уравнений поля. В частности, поля, удовлетворяющие условию самодуальности (или антисамодуальности) = = являются классическими ре-

шениями с конечным действием. Для вычисления вклада в статистическую сумму КХД от полей, лежащих вблизи классических решений, следует разложить действие в ряд по константе связи вблизи соответствующего решения и далее использовать теорию возмущений. Главный вклад соответствует величине действия на классическом решении и суммированию (интегрированию) по семейству решений ]Срешения Однопетлевая поправка сводится к вычислению функционального детерминанта для оператора квадратичных флуктуаций действия вблизи классического решения. Функциональный детерминант и мера на пространстве классических решений определяют пред-экспоненциальный множитель F.

Простейшим классическим решением с тривиальной голономией на пространственной бесконечности является периодический инстантон Харрингтона-Шепарда, также называемый калороном. Вклад таких решений в статистическую сумму в однопетлевом приближении был вычислен в работе Гросса, Писарского и Яффе.

Однако ниже температуры деконфайнмента в адронной фазе <ЬтЬ >— 0. Это означает, что в статистической сумме могут начать доминировать кон-

фигурации полей с нетривиальной голономией. Одна из целей работы - исследовать эту возможность, предполагая, что адекватные низкоэнергетические степени свободы соответствуют классическим решениям с нетривиальной асимптотикой Aj.

Простейшим классическим решением с нетривиальной голономией на пространственной бесконечности является монополь BPS (Богомольный, Прасад, Соммерфильд) или дион. Дионы - это самодуальные решения уравнений движения Янга-Миллса с независящей от времени плотностью действия, имеющие и магнитное, и электрическое поля, затухающие как 1 /г2 на пространственной бесконечности. Таким образом, эти объекты несут и электрический и магнитный заряды.

Для вычисления вклада дионов в статистическую сумму требуется вычислить функциональный детерминант (т.е. детерминант оператора квадратичной флуктуации действия) в поле диона. Из-за того, что поле А4 у диона затухает медленно (как 1 /г), детерминант инфракрасно расходится, и поэтому нельзя просто перемножить детерминанты нескольких дионов. Следовательно, математически хорошо поставленной задачей является рассмотрение не единичного диона, а классического решения, "состоящего" из нескольких дионов, имеющего в целом нулевой электрический и магнитный заряды и целочисленный топологический заряд, т.е. инстантона.

Инстантонное решение с нетривиальной голономией было построено в 1998 году Крааном и ван Баалем, а также Ли и Jly; оно было названо калорон с нетривиальной голономией, т.к. голономия для этой конфигурации не лежит в центре группы. Для краткости будем называть его KvBLL калороном. Он, как и калорон Харрингтона-Шепарда, является периодическим самодуальным решением классических уравнений поля Янга-Миллса с единичным топологическим зарядом. В предельном случае тривиальной голономии, он сводится к калорону Харрингтона-Шепарда. Замечательной чертой конструкции KvBLL является то, что калорон с единичным топологическим зарядом можно рассматривать как "сделанный" из N монополей Богомольного-Прасада-Зоммерфельда (BPS) или дионов. Из точного решения уравнений самодуальности видно, что когда "размер инстантона" р » ¡3 = 1 /Т, реше-

ние с нетривиальной голономией приближённо совпадает с суперпозицией N дионов, находящихся на пространственном расстоянии р2//3.

Калороны с нетривиальной голономией изучаются в работах многих авторов. Однако, функциональные детерминанты в поле КуВЬЬ калорона ранее не изучались. Это явилось основной целью работы.

В диссертации ставились следующие основные задачи:

1. Аналитически вычислить детерминант для малых флуктуаций поля Янга-Миллса вблизи калорона с нетривиальной голономией, т.е. вычислить статистический вес, с которым КуВЬЬ калорон и составляющие его дионы входят в статистическую сумму теории Янга-Миллса при ненулевой температуре.

2. Оценить вклад ансамбля КуВЬЬ калоронов в статистическую сумму чистой глюодинамики и проверить важность вклада КуВЬЬ калоронов для объяснения фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. Оценить температуру фазового перехода для калибровочной группы 51/(2).

3. Вычислить детерминант для фермионов в фундаментальном представлении группы 517(2).

4. Обобщить результаты на случай калибровочной группы Яи(Лг) в глюо-динамике и КХД.

1.3 Научная новизна и практическое значение результатов

Проблема вычисления эффектов от квантовых флуктуаций около калорона с нетривиальной голономией является проблемой того же типа что и вычисление для обычных инстантонов (решенная 'т Хофтом) и для стандартного калорона Харрингтона-Шепарда (решенная Гроссом, Писарским и Яффе). Однако эта задача является значительно более сложной, так как калорон с нетривиальной голономией не обладает никакой симметрией, кроме того, что это поле самодуально. Ранее эта задача никем не рассматривалась.

Вычисление функциональных детерминантов необходимо для учёта вкладов КуВЬЬ калоронов с нетривиальной голономией в статистическую сумму.

Кроме того, в силу электрической и магнитной нейтральности KvBLL кало-рона, именно вопрос о квантовом детерминанте KvBLL калорона является правильно поставленной задачей о квантовом детерминанте для BPS дионов.

В работе предложен новый механизм для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент и оценена температура фазового перехода. Вычислены фер-мионные детерминанты, что даёт возможность последующего обобщения на КХД.

Детерминанты в полях калоронов можно использовать для построения калоронных или дионных моделей вакуума как в чистой глюодинамике, так и в КХД.

1.4 Достоверность результатов и апробация работы.

Достоверность сформулированных результатов обеспечивается применением современного теоретического и математического аппарата, а также совпадением предельных случаев полученного результата с известными ранее. Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на международных конференциях SUSSP58, Св.Андрюс, Шотландия ; Quarks 2006, Санкт-Петербург; ISSP, Эриче, Италия 2007 ; и докладах на семинарах ПИЯФ, Гатчина и ИТЭФ, Москва, НИИФ им.В.А.Фока, С-Петербург. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

1.5 Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и нескольких приложений. Объём работы - 125 страниц. Список литературы включает 60 наименований.

1.6 Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Получена оценка температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент на основании аналитического вычисления вклада в статистическую сумму теории Янга-Миллса калоронов с нетривиальной го-лономией для калибровочной группы SU(2).

2. Получен точный результат для вклада калорона в теории с фермионами. Вычислен фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU (2) калорона с нетривиальной голономией.

3. Получен вклад в статистическую сумму SU(N) калорона с нетривиальной голономией. Для случая неперекрывающихся дионов получен аналитический результат.

4. Найден вклад калоронов с нетривиальной голономией в статистическую сумму SU(N) квантовой хромодинамики. Вычислен полностью фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU(N) калорона с нетривиальной голономией.

5. В процессе вычисления получены новые свойства калоронных решений и ADHMN (Atiyah-Hitchin-Drinfeld-Manin-Nahm) конструкции калоронов с нетривиальной голономией. Доказано, что вклад регулярной части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом. Установлены условия, при которых SU(N) калорон с нетривиальной голономией редуцируются к SU(N — 1) калорону с нетривиальной голономией. На уровне явных выражений для полей доказано, что SU(N) калорон с нетривиальной голономией состоит из BPS (Bogomolnyi , Prasad, Sommerfield) дионов.

2 Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана научная значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе представлен краткий обзор квазиклассических методов. Рассмотрено исследуемое классическое решение - KvBLL калорон для калибровочной группы SU{2). Рассмотрен общий метод вычисления вклада инстантонов в статистическую сумму теории Янга-Миллса.

В рамках квазиклассического приближения нормированное и регуляризо-ванное выражение для однопетлевого квантового веса евклидовой псевдочастицы даётся формулой:

2 = e_5lAl {^¿j j (Det'(^)n-r)4 Det(—£)2)п,г. (2)

Здесь детерминанты по флуктуациям глюонов Det'(H/(J^)nir и духов Det(—/?2)П)Г регуляризованы методом Паули-Вилларса. Корень из детерминанта метрики нулевых мод, J , является якобианом при переходе к интегрированию по коллективным координатам.

Если перевальная конфигурация А^ является (анти)самодуальной, то существует замечательное соотношение между детерминантами: Det'(W^)njr = Det4(—D2)n,r , которое выполнено, если внешнее поле затухает достаточно быстро на бесконечности. Это позволяет свести все вычисления к детерминантам Лоренц-скалярных операторов D2.

Параметризуем решение в терминах координат центров дионов:

т 2 ,, ^ 2ШГ12

Ьдион: 2i =--—, М дион: z2 = ,

расстояние между дионами : 24 — z\ = Г12, \гп\ = кТр2,

где параметр р становится размером инстантона при v —► 0. Здесь выбрана калибровка, в которой ^4|f_,00 = ¿v^, а также введены обозначения v = 2rrT — v, а также ш = Си = = \ — и. Параметры v и v меняются от 0 до 2ттТ. Также введены обозначения для расстояний от "точки наблюдения" х до центров дионов,

г = х — Z\ — х 4- 2О>Гх2, Г = |г|, s = х — ¿2 = х - 2tDr^, s = |s|. (3)

Мы работаем в единицах температуры и восстанавливаем зависимость от Т только в конечном результате.

В ситуации, когда расстояние между дионами гп велико по сравнению с их размерами: £ (для М) и = (для L), поле калорона может быть аппроксимировано суперпозицией отдельных BPS дионов: М и L.

Поле М диона в сферических координатах с центром в даётся выражением:

*М «3 ( ,, , V 1\ лМ вШ^ т\ - соъф т2

" = т {у ~ ~)' А* = ---"

8 у ' 2г 8тЬ(у8)

лм .. ..С°5Ф П + втф г2 tan(g/2)

4 ^ 32а ' (4) его асимптотика есть

ЛМ Г~*оо I 1 ^ Ч Ам Г-ЮО г^3 „м _ пЛ/ г-»00 1 гг3

А1 —► ( V - - | —, —> —— —, Ьг = Вг —► — —.

Поле Ь диона получается из поля М - диона заменой \ —* \ — 2пТ = —у и зависящим от времени х^ калибровочным преобразованием д = е2пх<Т\ В результате МиЬ дионы обладают (электрическим, магнитным) зарядами (—, —) и (+, +) соответственно, что оправдывает название "дион".

Для вычисления детерминантов в полях калоронов, мы сначала вычисляем производную детерминанта по голономии V, а затем интегрируем полученную производную, используя известный детерминант при V = О для нахождения константы интегрирования.

Если внешнее поле Ам зависит от некоторого параметра V, то имеет место следующая общая формула для производной детерминанта по параметру

&Р

где - вакуумный ток во внешнем поле, выражаемый через функцию Грина:

= (5)

+ (6)

здесь б - периодическая по времени функция Грина или пропагатор частицы спина-0, изоспина-1 в данном внешнем поле Ац. Таким образом, если вычислить периодический пропагатор </, то ур.(5) становится мощным средством для вычисления квантовых детерминантов. В работе главным образом использовались V = у или V = Г12 в качестве параметров вариации.

Во второй главе получен результат для вклада 31/(2) КуВЬЬ калорона в статистическую сумму чистой глюодинамики. Получены выражения для

функций Грина и вакуумных токов в поле дпона и 5(/(2) калорона, вычислены вариации детерминанта проистекающие из разных областей пространства, сшиты и проинтегрированы полученные результаты.

Функция Грина в самодуальном внешнем поле известна в общем виде и построена в терминах Атья-Дринфельд-Хитчин-Манин-Нам (АОНМ) конструкции. С использованием этих общих результатов точный периодический пропагатор построен в Приложении А сперва для диона, а затем для КуВЬЬ калорона с нетривиальной голономией. Для КуВЬЬ калорона это не было известно ранее. С использованием полученных периодических пропагаторов в Приложении А был вычислен точный вакуумный ток в полях диона и КуВЬЬ калорона.

Хотя нет никаких принципиальных трудностей проделать все вычисления точно для всего пространства модулей калорона, полученные выражения оказались слишком громоздкими. По этой причине аналитическое рассмотрение приходится ограничивать той частью пространства модулей калорона, в которой расстояние между дионами велико (г^ 2> 1) и поле калорона приближённо является суперпозицией полей дионов. В этом случае вакуумный ток становится током одного диона внутри сфер радиуса Я = Я гп), окружающих центры дионов, а снаружи этих сфер он может быть вычислен аналитически с экспоненциальной точностью. Складывая вклады от областей около дионов и далекой области, получаем выражение для сЮе1(—02)/сЫ. Интегрируя полученную величину по V, получим сам детерминант с точностью до константы и возможных членов порядка 1/п2-

Для нахождения константы интегрирования следует довести интегрирование по V до V = 0 - случая тривиальной голономии, для которого детерминант был вычислен ранее в работе Гросса, Писарского и Яффе. Для малых V приближение отдельных дионов перестаёт работать, так как размер М -диона растёт как 1/у с уменьшением V, и дионы начинают перекрываться. Поэтому, для нахождения константы интегрирования и поправок использована громоздкая точная формула для вакуумных токов.

Лидирующие члены квантового взаимодействия дионов получаются из об-

Рис. 1: Потенциальная энергия как функция от v/T. Два минимума соответствуют ¿TcL = ±1, максимум соответствует Tri = 0. Диапазон голономии на котором дионы испытывают отталкивание указан пунктирной линией.

ласти вдалеке от дионов:

-Jd4хЪ [dyApJp] = Jd3xP'(v+i - ^ (7)

= P'(v)/d3x + РЪ) j*x 0 - i) + \р"Ь) Jdh (i - i)2

: тем-

где Р{и) = ~ 2)2 - иертурбативный потенциал для теории с 1 пературой, см. Рис.1.

В результате, в пределе, когда расстояния между дионами много больше

размеров их ядер, т =, вес калорона упрощается до

ZkvBLL= ехр

/

х i/i^l-i/)^

ехр

-2тгr12T ( --4i/(l-i')

Здесь константа

п 64 С = —т ехр

■к1

8 16 7д 2тг2 4^(2)"

Т n« I о

= 1.031419972084

(8)

(9)

9 3 27 тг п введена безразмерная величина и = ^ € [0,1], связанная с голономией на бесконечности как А4 —> гугз/2. Последняя экспонента даёт линейное квантовое взаимодействие между дионами и происходит из члена Р"(у) в ур.(7). Также вычислены поправки к этой формуле.

Далее была оценена статистическая сумма ансамбля калоронов. В приближении, что статистическая сумма модели Янга-Миллса определяется как статистическая сумма большого канонического ансамбля невзаимодействующих калоронов и антикалоронов

ехр

о

Z«i = ехр [-VT3F(v,T)}

i /г \ N++N.

£¡^(Н . (.с

где Т) - свободная энергия калоронного газа, включая пертурбативную потенциальную энергию:

с = 7е/(Т/Л)/И, (11)

/(Т/Л) = 8^ех

(•00

КМ-1

/•00

/(*>) = / ¿ЛЛз[1+2^(1-^)Д](27гг/Л+1)51'-1(27г(1-г/)/? + 1) Jo

ехр Ц-2тгЯ

(13)

где введены обозначения Я = г^Т, и безразмерный V = ^.

Свободная энергия изображена как функция V на Рис.2 при нескольких температурах. Функция /(Т/Л) быстро убывает с ростом температуры. Тем самым, при высоких температурах пертурбативная энергия доминирует, и минимум свободной энергии соответствует тривиальной голономии. Однако, при Т ~ Л калоронный вес становится значительным, и возникает обратная тенденция. В этой модели, Тс = 1.125 Л - критическая температура, при которой тривиальная голономия становится нестабильной точкой, и система сваливается к большим значениям v, где настоящий подход не работает, так как калороны ионизируются на отдельные дионы {1{у) расходится, когда квантовое притяжение дионов сменяется квантовым отталкиванием). Подобный метод оценки температуры фазового перехода должен в принципе работать правильно для переходов второго рода и давать оценку критической температуры снизу для переходов первого рода.

0.025

0.02 .........0;-сг4" 0.06 0.08

-0.025 -0.05 -0.075 ' -0.1 -0.125

Рис. 2: Свободная энергия газа калоронбв в единицах T3V при Тс = 1.3Л (точками), Т — 1.125Л (сплошная) and Т = 1.05Л (пунктирная) как функция асимптотического значения А4 в единицах 2тгТ.

В третьей главе аналогичными методами вычисляется фермионный детерминант. В случае присутствия в теории лёгких фермионов, вклад калоро-нов в статистическую сумму определяется нулевыми и ненулевыми модами фермионов. Нулевые моды фермионов в поле KvBLL калорона были вычислены ранее. Учёт вклада ненулевых мод рассматривается в диссертации. Результирующая поправка ко вкладу калорона от ненулевых мод фермионов определяется множителем Det2Wi[—V2], где Nf - число лёгких Дираковских фермионов (в фундаментальном представлении), а V2 - это ковариантный оператор Лапласа в фундаментальном представлении.

Соответствующий детерминант в фундаментальном представлении был найден:

log Det(—V2) = logDet(-V2)jViT=0+A(v,r12)+

PI-)--2 J 12

V+P"

ЯТ12

. 2 J 2 (14)

где logDet(-V2)|T=Q = |log/x + ^log + a( 1/2) и детерминант регуля-ризован по методу Паули-Вилларса, и /х - это масса Паули-Вилларса. Функция А была описана аналитически и численно:

log(2?r) vlogv vlogv 1 7 тг2 log(ri2/7r) A(v,r 12) = —----—---— + ~ « - 216--~-+ °l

6 12тг

(3vv — 27T2)ri2

12

(ri2

72тг

+ o

(i

Для величины Л(у, Г12) было также найдено приближение, работающее при любых значениях параметров.

В четвёртой главе рассматривается АОНМЫ конструкция для 5£/(Л/') калорона и выявляются некоторые новые свойства калоронных решений, которые необходимы для нахождения фермионного детерминанта для БИ(И) случая.

Выберем калибровку, в которой голономия на пространственной бесконечности диагональна и имеет собственные значения, упорядоченные по возрастанию

Ь = Р ехр ( /1/Г,М4 = КсИа- (е2™"1, е2""2... е21""") V-1. (16)

\ " / |х|—»оо

Собственные значения рт удовлетворяют условию = 0. Если все

собственные значения голономии совпадают, с точностью до целого числа /1т = к/Ы - 1, т <ки цт = к/Ы, т> к, щек = 0,1, ...(Аг - 1), то голономия принадлежит центру калибровочной группы и называется тривиальной. Разность соседних собственных значений в фундаментальном представлении ит = цт+1 — рт определяет пространственный размер неабелевого ядра 1 /ит для т "ого диона, пространственные координаты которого обозначим ут, а пространственное расстояние между соседними дионами обозначим

От — Ут Ут—1 = вт СОБ фт, &и\0т ЗШ. фт, СО30ТО), Пт = |ёт|.

(17)

Соседними назовём дионы, соответствующие соседним интервалам по переменной ,г дуального пространства, эти дионы также оказываются соседями в цветовом пространстве. Инстантоны принято характеризовать масштабным параметром (размером) р. Этот размер оказывается прямо связанным с пространственным положением днонов, а точнее, с периметром многогранника, образованного дионами (грани соединяют центры соседних дионов)

\

^ N N

2пТ

ГП=1 Ш=1

Для нахождения детерминанта в поле SU(N) калорона, используя результаты для токов на дионах, необходимо рассмотреть область параметров, где картина уединённых дионов не работает. Это происходит, когда два собственных значения голономии подходят близко друг к другу, при этом соответствующий дион "раздувается" и перекрывается с соседними, поэтому поле становится неабелевым в большой области пространства. Явное вычисление вклада в детерминант в этом случае - чрезвычайно сложная задача, которая была решена в диссертации только для SU(2) случая. Однако для фермион-ного детерминанта в случае SU(N) удалось показать, что при интегрировании вариации детерминанта по голономии вклад в детерминант от описанной сложной области мал как 0(1/гу). Для доказательства потребовалось исследование свойств ADHMN конструкции KvBLL калорона.

Так, в диссертации установлено, что SU(N) калорон с нетривиальной го-лономией редуцируются к SU(N — 1) калорону с нетривиальной голономией в случае, когда два собственных значения голономии совпадают и дион, соответствующий интервалу между этими собственными значениями, лежит на прямой, соединяющей два соседних диона. На уровне выражений для полей доказано, что SU(N) калорон с нетривиальной голономией состоит го BPS дионов.

В общем виде доказывается, что вклад регулярной (происходящей от периодизации пропагатора) части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом.

Заметим, что для случая фермионов в фундаментальном представлении следует рассматривать N калоронных решений, связанных непериодическим калибровочным преобразованием: U(k) = dmg(e<2nXiTk/N), где к — О, ,.,N — 1. Фермионный детерминант зависит от к, явно нарушая Zjv симметрию, присутствовавшую в чистой глюодинамике.

Аналитический результат для фермионного детерминанта на калороне в области неперекрывающихся ядер дионов, с произвольными граничными условиями

а(х, 1/Т) = е~'га(х, 0).

и с произвольным дискретным параметром решения к имеет вид

logDetr(—V2[A£]) = £ +

п ^

un\ogun log0n\ 1

--e--n^-J+CN + 6log,x/T + (D{l/e) (19)

где

kr к т 13 7Г log 7Г С'(2)

Анти-периодические граничные условия для фермионов получатся, если выбрать т — п. Ответ для каждого сорта безмассовых Дираковских фермионов log Det'(iy) будет удвоенное выражение (19) с т — тт.

В пятой главе результаты для вклада калорона в статистическую сумму обобщаются на случай групп SU(N). Для этого используется техника вычислений, разработанная в четвёртой главе.

Известен приближённый метод вычисления детерминантов, основанный на разложении однопетлевого эффективного действия в ряд по производным фонового поля. Первый член разложения: f d3xP(Ai(x)), несколько следующих членов разложения также могут быть вычислены. Интересно заметить, что вдалеке от дионов плотность вариации детерминанта даётся первым членом градиентного разложения P(A.i(x)) с экспоненциальной точностью! Этот удивительный результат был выведен прямым вычислением опираясь на точные выражения, и он не очевиден из градиентного разложения, так как даже сходимость этого разложения вызывает вопросы для столь медленно убывающих полей.

Результат для детерминанта следующий:

logdet(-D^) = (

- Е ^о—~log ( Гт'"~Х) - Е 2и"log г">,">™-1 + 2 Еlog Гп'"-1

га,п \rn,m-lj mn п

"Ь ^ ^ (Vmn)T (т"т,п 1 1 — Тт—l,n "I" 1 Н~ 1)

tn,n

+Е - Е (6+jV);-iQg"+Е* - +

l о 07г гпт1

m,n п п пт

коэффициент — следует удвоить для случая N — 2.

Аналогично случаю SU(2), доминирующая часть квантового взаимодействия между дионами выводится из пертурбативного потенциала Р(А$(х)). В случае SU(N) взаимодействие получается более сложным и включает трёх-частичные члены.

В Приложении А проводится обзор общей конструкции ADHMN для самодуальных решений при конечной температуре, демонстрируется построение калоронного решения. Также приводятся вычисления функций Грина и вакуумных токов в полях диона и калорона.

В Приложении В выводятся важные общие свойства регулярной части вакуумного тока для SU(N) калорона. Показано, что вклад в вариацию детерминанта от регулярной части вакуумного тока в фундаментальном представлении является полной производной и поэтому полностью определяется асимптотическим поведением полей.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Diakonov D., Gromov N., Petrov V. , Slizovskiy S. Quantum weights of dyons and of instantons with non-trivial holonomy // Phys. Rev. D 70 036003 (2004), 29 страниц

{2] Gromov N., Slizovskiy S. Fermionic determinant for dyons and instantons with nontrivial holonomy // Phys. Rev. D 71, 125019 (2005) , 14 страниц

[3] Gromov N., Slizovskiy S. Fermionic determinant for SU(N) caloron with nontrivial holonomy // Phys. Rev. D 73, 025022 (2006), 15 страниц

[4] Gromov N., Slizovskiy S., Fermionic determinant for the SU(N) caloron with nontrivial holonomy // Proceedings of International Conference Quarks 2006, Part I, ИЯИ, ред. С.В.Демидов, В.А.Матвеев, В.А.Рубаков, Г.И.Рубцов стр. isi-id1/

[5] Slizovskiy S, Determinant of the SU(N) caloron with nontrivial holonomy // Phys. Rev. D 76, 85019 (2007), 15 страниц

Подписано к печати 6.10.08 Формат 60 х 90 1/16 Усл.печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 0,7 Тираж 100 Заказ 500

Индекс 3649

Отпечатано в СПбГУ, 198504 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, ул Ульяновская, д.З

1 Краткий обзор квазиклассических методов

1.1 Квантовый вес Евклидовой псевдочастицы.

1.2 KvBLL калорон.

1.2.1 Внутри дионов.

1.2.2 Вдали от дионов.

1.3 Схема вычисления Det(—D2).

2 Вычисление веса SU(2) калорона

2.1 Det(—D2) для далеких дионов.

2.1.1 Det(—D2) для одного диона.

2.1.2 Вклад далекой области.

2.1.3 Сложение трёх областей

2.2 Сшивка с детерминантом при нулевой голономии.

2.2.1 Det(-D2) при v = 0.

2.2.2 Распространение результата на произвольные значения vri2.

2.2.3 Поправка 1 /г12.

2.3 Квантовый вес KvBLL калорона.

2.3.1 Пространство модулей KvBLL калорона.

2.3.2 Вклад в стат.сумму калорона с нетривиальной голономией.

2.3.3 Предел больших расстояний.

2.3.4 Двухпетлевое улучшение результата

2.4 Плотность калоронов и нестабильность тривиальной голономии.

3 Фермионный детерминант для SU(2) калорона

3.1 Схема вычисления Det(—V2).

3.2 Det(—V2) для далеких дионов.

3.2.1 Det(—V2) для одного диона.

3.2.2 Вклад далекой области.

3.2.3 Общий результат интегрирования.

3.3 Сшивка с детерминантом при нулевой голономии.

3.3.1 Det(—V2) при v = 0.

3.3.2 Распространение результата на произвольные значения vri2.

3.3.3 Поправки 1/г12.

3.4 Асимптотика малых расстояний между дионами.

3.5 Численное вычисление.

4 Свойства SU(N) калорона и вычисление его фермионного детерминанта

4.1 Обозначения SU(N) ADHMN конструкции калорона.

4.2 ADHMN конструкция для SU(N) калоронов.

4.3 Основные свойства калибровочного поля калорона.

4.3.1 Вопросы периодичности и выбора калибровки.

4.3.2 KvBLL калорон с экспоненциальной точностью.

4.3.3 Редукция к полю диона.

4.3.4 Редукция к SU(N — 1) калорону

4.4 Метод вычисления.

4.5 Детерминант при больших расстояниях между дионами.

4.5.1 Область ядер дионов.

4.5.2 Область вдалеке от дионов.

4.5.3 Результат.

4.5.4 Константа.

4.5.5 улучшение результата.

4.6 Общий результат.

5 Вклад в стат.сумму SU(N) калорона для случая далеко расположенных составляющих дионов

5.1 Схема вычисления.

5.2 Область вблизи дионов.

5.3 Внешняя область.

5.3.1 Интегрирование.

5.4 Результат для детерминанта.

A ADHM и ADHMN конструкции и вычисления пропагаторов и токов для

SU{2) KvBLL калорона

А.1 Конструкция ADHM для калибровочной группы SU(2)

А.2 ADHMN конструкция для BPS диона.

А.З Конструкция ADHM для KvBLL калорона.

А.4 Пропагатор частицы спина-0 изоспина-1.

А.4.1 Общая конструкция для функции Грина.

А.4.2 Пропагатор во внешнем поле диона.

А.4.3 Пропагатор во внешнем поле KvBLL калорона

А.5 Вакуумный ток в поле диона.

А.5.1 Сингулярная часть тока на дионе «7®.

А.5.2 Регулярная часть тока на дионе J* в присоединённом представлении

А.5.3 М-часть вакуумного тока на дионе J™.

А.5.4 Регулярная часть тока на дионе в фундаментальном представлении J*

А.6 Вакуумный ток в поле KvBLL калорона.

А.6.1 Сингулярная часть тока на калороне J®.

А.6.2 Регулярная часть вакуумного тока на калороне в фундаментальном представлении

А.6.3 Регулярная часть вакуумного тока на калороне в присоединённом представлении

A.6.4 М-часть вакуумного тока на калороне J™.

А.7 Регуляризация тока,.

A.8 Результаты численного вычисления.

В Детерминант для SU(N) калорона. Детали вычислений

B.1 Зависимость от граничных условий.

В.2 Вклад регулярного тока в произвольную вариацию. Точное выражение.

В.З Сокращение ИК расходимостей дионов.

В.4 Вычисление токов вдалеке от дионов.

B.4.1 Сингулярный ток.

В.4.2 Ток от М-члена

В.4.3 Регулярный ток.

С открытием асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях (теории Янга-Миллса [1]) в 1973 году [2], квантовая хромодинамика (КХД) стала общепризнанной теорией сильных взаимодействий. В силу асимптотической свободы в теории Янга-Миллса, для расчётов процессов с большой передачей импульса достаточно использовать теорию возмущений, в этой области результаты хорошо проверены экспериментально.

КХД описывается плотностью лагранжиана где -F®„ - напряжённость неабелевого калибровочного поля, a ipi — поля кварков различных ароматов, преобразующихся по фундаментальному представлению калибровочной группы. Неабелевой калибровочной группой КХД является группа SU(3), однако при теоретических исследованиях часто работают с более общим случаем групп SU(N), либо с более простым случаем группы SU(2). Параметрами теории является масштаб Aqcd и массы кварков mi. Следует заметить, что параметра A qcd нет в лагранжиане теории, он является масштабом "размерной трансмутации" и входит в выражение для бегущей константы связи д.

Предполагается, что при низких энергиях КХД описывает связанные бесцветные ад-ронные состояния и, тем самым, согласуется с экспериментальными фактами об удержании цвета. Однако механизм удержания цвета (конфайнмента) до сих пор не выяснен.

Имея успешно (по крайней мере, в области высоких энергий) работающую теорию, естественно пытаться исследовать её свойства при необычных условиях, в частности, при высокой температуре.

Теории с конечной температурой хорошо исследованы решёточными методами, собрано множество данных о фазовых диаграммах калибровочных теорий при конечной температуре и (или) химическом потенциале (см., например, обзоры [3, 4]). Исследуются теории с различным количеством цветов и ароматов, различными массами кварков, а также делаются некоторые упрощения, например, часто пренебрегают обратным влиянием кварков i=i

1) на глюоны.

Теория при конечной температуре может рассматриваться как теоретический полигон для исследования КХД. Дело в том, что при высокой температуре эффективная константа взаимодействия становится малой, что даёт возможность пользоваться разложением по константе связи.

Известно, что с повышением температуры в КХД происходит переход в фазу свободных кварков и глюонов, называемую кварк-глюонной плазмой. При реалистических массах фермионов этот переход происходит непрерывно (типа crossover). Если рассматривать теорию без фермионов, глюодинамику, то из численных вычислений на решётке известно, что в SU(2) глюодинамике этот фазовый переход второго рода, а в SU(3) - первого.

Статистическая сумма и корреляторы в ансамбле с конечной температурой могут быть записаны как функциональный интеграл в евклидовом пространстве-времени, где евклидово время ограничено интервалом х4 € [0,1 /Т) и бозонные поля имеют периодические граничные условия, а фермионные поля - аптипериодические на границах временного интервала (/3 = 1/Т): [5],[6]

J DADi)D$e~SCYM (2)

A(S,0)=A{x,P)\ ф{х,0)=-ф{х,Р)

Ряд теории возмущений при конечной температуре имеет в старших порядках инфракрасные расходимости. Это связано с медленным затуханием корреляторов пространственных компонент калибровочного поля в теории возмущений и невозможностью пер-турбативного вычисления магнитной массы [7].

Теория возмущений не описывает фазовый переход конфайнмент-деконфайнмент и для его описания следует учитывать непертурбативные вклады в стат. сумму. При понижении температуры, непертурбативные эффекты начинают доминировать и приводят к переходу в фазу конфайнмента (адронную фазу).

В теории с конечной температурой появляется новая нелокальная калибровочно-инвариантная величина - голономия (или петля Полякова [8])

•1 /т \

L — P exp I I dtA4 . (3) рехр(Г

Калибровочная инвариантность голономии следует из того, что поля должны быть периодичными по Евклидовому времени, и, следовательно, допустимы только периодические калибровочные преобразования. Другими словами, теорию можно рассматривать как определённую на цилиндре. Среднее от следа голономии < tr L > есть где М - энергия статического кварка, помещённого в систему. В фазе деконфайнмента < tr L >ф 0, в то время, как в фазе конфайнмента < tr L >— 0, что говорит о том, что свободная энергия одного статического кварка стремится к бесконечности. Поэтому среднее от следа голо-номии является калибровочно-инвариантным параметром порядка для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в чистой глюодинамике (теории без динамических кварков) [8].

Если эффективная константа связи в теории мала, то можно предположить, что непер-турбативные вклады сосредоточены вблизи локальных нетривиальных минимумов классического действия, т.е. классических решений уравнений поля. Классические решения в теории Янга-Миллса удовлетворяют условию самодуальности (или антисамодуальности) F/iv = F^, — ^e^sF'rS- Для вычисления вклада в стат.сумму от полей, лежащих вблизи классических решений, следует разложить действие в ряд по константе связи вблизи соответствующего решения и далее использовать теорию возмущений. Главный вклад соответствует величине действия на классическом решении и суммированию (интегрированию) по семейству решений ^решения Fe~s. Однопетлевая поправка сводится к вычислению функционального детерминанта для оператора квадратичных флуктуаций действия. Функциональный детерминант и мера на пространстве классических решений определяют предэкспоненциальный множитель F. Подробнее это будет изложено в главе 1.

Голономию называют тривиальной, если она принимает значения в центре Z(N) калибровочной группы SU(N), при этом tr L может принимать значения NeiTlk^N, к = 1,., N. Простейшим классическим решением с тривиальной голономией на пространственной бесконечности является периодический инстантон Харрингтона-Шепарда [9], также называемые калороном. Это решение схоже с инстантоном Белавина-Полякова-Шварца-Тюпкина (BPST) [10] в теории с нулевой температурой, но "подправлено" так, чтобы иметь периодические граничные условия по Евклидовому времени.

Вклад таких решений в стат.сумму в однопетлевом приближении был вычислен в работе Гросса, Писарского и Яффе [11]. Вакуум, сделанный из калоронов был изучен на основе вариационного принципа в работе [12].

Однако ниже температуры деконфайнмента в адронной фазе < tr L >= 0. Это означает, что либо след голономии просто усредняется до нуля благодаря учёту всех вкладов jVe7rifc/W, k = l,.,iV, т.е. в среднем происходит восстановление центральной симметрии, либо, благодаря некоторому динамическому механизму, в стат.сумме начинают доминировать конфигурации полей с нетривиальной голономией, то есть, восстановление Ъп симметрии происходит на уровне классических полей. Одна из целей работы - исследовать последнюю из упомянутых возможность, предполагая, что адекватные низкоэнергетические степени свободы соответствуют классическим решениям с нетривиальной асимптотикой А4.

Заметим, что в работе Гросса, Писарского и Яффе был выдвинут аргумент против решений с нетривиальной голономией, опирающийся на то, что благодаря электрическому экранированию эти решения будут сильно подавлены в одной петле. Это действительно так, и мы увидим, что функциональные детерминанты калоронов с нетривиальной голономией имеют ИК-расходимости, старшие из которых пропорциональны объёму. Эти N расходимости описываются пертурбативным потенциалом VT3 (2тг(дт — //„)), где п,т=1

Hi - собственные значения А4 и Р(и) = ^ — 2)2 (^)2J (см. Рис. 2.3). Несмотря на это, будет показано, что при снижении температуры Т этот потенциал становится слабее, чем энтропийный вклад в свободную энергию, и происходит фазовый переход в фазу с нетривиальной голономией.

Простейшим классическим решением с нетривиальной голономией является BPS монополь (дион). Дионы - это самодуальные решения уравнений движения Янга-Миллса с независящей от времени плотностью действия, имеющие и магнитное, и электрическое поля, затухающие как 1 /г2 на больших расстояниях от центра дионов. Таким образом, эти объекты несут и электрический и магнитный заряды.

В 3+1-мерной SU(2) калибровочной теории существует два типа самодуальных дионов [13]: М и L с зарядами (+,+) и (—, —), а также два типа антисамодуальных дионов М и L с зарядами (-I-, —) и (—,+), соответственно. Точное выражение для их полей можно найти, например в [14]. В SU(N) теории есть N различных дионов [13, 15]: N — 1 различных М - дионов: Мь М2, .Mjv-i с зарядами, соответствующим N — 1 простым корням в группе, и один L дион с зарядом, компенсирующем заряды М\.Мдг i, а также их анти-самодуальные версии.

Как упомянуто выше, для вычисления вклада дионов в стат.сумму требуется вычислить функциональный детерминант (т.е. детерминант оператора квадратичной флуктуации действия) в поле диона. Попытка вычисления функционального детерминанта в поле BPS диона была предпринята в работе К.Зарембо [16]. Проблема с этим вычислением заключается в том, что из него невозможно даже приближённо определить, чему равен функциональный детерминант в поле нескольких дионов. Из-за того, что поле А4 у диона затухает медленно (как 1 /г), детерминант инфракрасно расходится, и поэтому нельзя просто перемножить детерминанты нескольких дионов, считая их независимыми. По этой причине следует рассматриваеть обобщение нейтрального инстантонного решения.

Инстантонное решение с нетривиальной голономией было построено несколько лет назад (1998) Крааном и ван Баалем [17] а также Ли и Jly [18]; оно было названо калорон с нетривиальной голономией, т.к. голономия для этой конфигурации не лежит в центре группы. Для краткости мы будем называть его KvBLL калороном. Он также, как и кало-рон Харрингтона-Шепарда, является периодическим самодуальным решением классических уравнений поля Янга-Миллса с единичным топологическим зарядом. В предельном случае, когда голономия KvBLL калорона становится тривиальной, он сводится к калорону Харрингтона-Шепарда. Замечательной чертой конструкции KvBLL является то, что ка-лорон с единичным топологическим зарядом можно рассматривать как "сделанный" из N монополей Богомолыюго-Прасада-Зоммерфельда (BPS) или дионов [19, 20]. Из точного решения уравнений самодуальности видно, что в случае, когда решение с тривиальной го-лономией имеет размер р (5 = 1 /Т, решение с нетривиальной голономией приближённо совпадает с суперпозицией М и L дионов, находящихся на пространственных расстояниях порядка р2/(3.

Калороны с нетривиальной голономией изучаются в работах многих авторов. Так, были получены интересные результаты для плотности фермионных нулевых мод на калоро-нах и на базе этого был предложен метод нахождения этих конфигураций в решёточных ансамблях [21]. Найдена метрика пространства модулей калорона в работах [22, 48]. Были построены (хотя и не в явном виде) мультикалоронные решения и выявлены некоторые их свойства [23, 24]. Калороны были также исследованы в решёточной КХД [25, 26]. Ансамбль калоронов приближённо рассматривался в численных симуляциях в работах [27] а также аналитически в работе [28].

Однако, функциональные детерминанты в поле KvBLL калорона раннее не изучались. Это явилось главной целью работы. Вычисление функциональных детерминантов необходимо для учёта вкладов KvBLL калоронов с нетривиальной голономией в стат.сумму. Кроме того, в силу электрической и магнитной нейстральности KvBLL калорона, именно вопрос о квантовом детерминанте KvBLL калорона является правильно поставленной задачей о квантовом детерминанте для BPS дионов.

Детерминанты в полях калоронов можно использовать для построения калоронных или дионных моделей вакуума как в чистой глюодинамике, так и в КХД. В последнем случае, помимо нулевых мод фермионных полей, вычисленных в работах [21] необходимо также учитывать эффекты, связанные с ненулевыми модами фермионных полей (кварков), которые также вычислены в диссертации. А именно, для фермионов были вычислены квантовые детерминанты для ненулевых мод флуктуаций. Задача построения реалистичной модели калоронного вакуума остаётся открытой.

Проблема вычисления эффектов от квантовых флуктуаций около калорона с нетривиальной голономией является проблемой того же типа что и вычисление для обычных ин-стантонов (решенная 'т Хофтом [29]) и для стандартного калорона Харрингтона-Шепарда решенная Гроссом, Писарским и Яффе [11]) . Инстантон при нулевой температуре является 0(4) симметричным, и для него можно [29] вычислить детерминант прямым способом - перемножая собственные значения и используя регуляризацию С-функцией Или другие эквивалентные методы регуляризации. Калорон Харрингтона-Шепарда имеет О(З) симметрию, KvBLL калорон имеет только 0(2) симметрию для случая группы SU(2) Рис. 1.2 и не имеет пространственных симметрий вообще для N > 2. В этих случаях трудно вычислить детерминант прямым методом и проще вначале найти вариацию детерминанта по некоторому параметру решения. Вариацию регуляризованного детерминанта можно выразить через вариацию поля и пропагатор (функцию Грина) для периодического по мнимому времени возмущения на фоне классического решения. Далее оказывается возможным проинтегрировать вариацию детерминанта вдоль пути в пространстве параметров, соединяющего BPST - инстантон (или калорон Харрингтона-Шепарда) с интересующим нас решением. Детерминант для калорона Харрингтона-Шепарда уже был вычислен [11], что позволяет найти константу интегрирования. Технически удобнее оказалось вначале аналитически исследовать вариацию детерминанта в области параметров, где калорон выглядит как суперпозиция дионов, а затем провести сшивку с детерминантом калорона Харрингтона-Шепарда, частично используя численные методы вычисления.

Как сами самодуальные решения, так и точные пропагаторы в их полях могут быть построены с помощью конструкции Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина (ADHM) [30], адаптированной Намом [31] для случая конечной температуры.

В работе [32] (главы 1 и 2) изучается гипотеза, что эффективные глюонные степени свободы в SU(2) глюодинамике при температурах ниже Тс (температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент) соответствуют калоронам с нетривиальной голономией.

Так как сами решения и мера на пространстве модулей KvBLL калоронов были вычислены в пионерской работе [17], то основной задачей являлось вычисление функционального детерминанта для флуктуаций глюонов (и духов). В результате вычислений был найден точно однопетлевой квантовый вес KvBLL калорона. Используя этот результат, мы оценили вклад ансамбля калоронов в стат.сумму как функцию температуры и асимптотической голономии калоронов. Было обнаружено, что при понижении температуры вклады от калоронов с нетривиальной голономией начинают превалировать. Это было интерпретировано как возможный механизм фазового перехода.

В работе [33] проводится вычисление для детерминанта по ненулевым модам фермио-нов для группы SU(2). Это вычисление излагается в главе 3.

В работах [34] и [35] (Главы 4,5) результаты для глюооного и фермионного детерминантов обобщаются до калибровочных групп SU(N), а также находятся свойства калоронных решений и ADHMN конструкции, необходимые для наших вычислений. Некоторые из этих свойств были получены впервые. Так, доказано, что вклад регулярной части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом. Установлены условия, при которых SU(N) калорон с нетривиальной голоно-мией редуцируются к SU(N-l) калорону с нетривиальной голономией. На уровне явных выражений для полей доказано, что SU(N) калорон с нетривиальной голономией состоит из BPS (Bogomolnyi, Prasad, Sommerfeld) дионов.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Получена оценка температуры фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент на основании аналитического вычисления вклада в статистическую сумму калоронов с нетривиальной голономией для калибровочной группы SU(2).

2. Получен точный результат для вклада калорона в теории с фермионами. Вычислен фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU(2) калорона с нетривиальной голономией.

3. Получен вклад в статистическую сумму SU(N) калорона с нетривиальной голономией. Для случая неперекрывающихся дионов получен аналитический результат.

4. Найден вклад калоронов с нетривиальной голономией в статистическую сумму SU(N) квантовой хромодинамики. Вычислен полностью фермионный детерминант по ненулевым модам в поле SU(N) калорона с нетривиальной голономией.

5. В процессе вычисления получены новые свойства калоронных решений и ADHMN (Atiyah-Hitchin-Drinfeld-Manin-Nahm) конструкции калоронов с нетривиальной голономией. Доказано, что вклад регулярной части вакуумного тока в вариацию детерминанта в фундаментальном представлении даётся поверхностным интегралом. Установлены условия, при которых SU(N) калорон с нетривиальной голономией редуцируются к SU(N — 1) калорону с нетривиальной голономией. На уровне явных выражений для полей доказано, что SU(N) калорон с нетривиальной голономией состоит из BPS (Bogomolnyi , Prasad, Sommerfeld) дионов.

Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на международных конференциях SUSSP58, Св.Андрюс, Шотландия ; Quarks 2006, Санкт-Петербург; ISSP, Эри-че, Италия и докладах на семинарах ПИЯФ, Гатчина и ИТЭФ, Москва.

Результаты диссертации опубликованы в работах [32, 33, 34, 35], а также [36].

Структура диссертации следующая. В первой главе кратко рассматривается общий метод вычисления вклада инстантонов в статистическую сумму модели. Далее описывается классическое решение - SU(2) KvBLL калорон и вводятся некоторые обозначения. Хотя группа SU[2) является частным случаем групп SU(N), эти случаи рассматриваются отдельно. Причина состоит в возможности применения для группы SU(2) кватернионно-го S'p(l) формализма а также в том, что в этом случае удалось получить получить более сильные (точные) результаты для детерминантов.

Во второй главе выводятся явные выражения для функций Грина и вакуумных токов в поле диона и SU(2) калорона, вычисляется вариация детерминанта проистекающая из разных областей пространства, и интегрируются полученные результаты. Далее оценивается стат.сумма ансамбля калоронов. В результате выводится нестабильность тривиальной голономии при температуре ниже точки фазового перехода.

В третьей главе аналогичными методами вычисляется фермионный детерминант.

В четвёртой главе рассматривается ADHMN конструкция для SU(N) калорона и выявляются некоторые новые свойства калоронных решений, которые необходимы для нахождения фермионного детерминанта в случае калибровочной группы SU(N). Существенно используя эти свойства, а также результаты Приложения В.2, находится фермионный детерминант для SU(N) калорона.

В пятой главе обобщаются результаты для квантового веса калорона на случай групп SU(N). Для этого мы используется модифицированная техника вычислений, разработанная в четвёртой главе. К сожалению, область применимости полученных формул не позволяет повторить оценку критической температуры, как это было сделано в SU{2) случае.

В Приложении А проводится обзор общей конструкции ADHMN для самодуальных решений при конечной температуре, демонстрируется построение калоронного решения. Также приводятся вычисления функций Грина и вакуумных токов в полях диона и калорона.

В Приложении В выводятся важные общие свойства регулярной части вакуумного тока для SU{N) калорона. Показано, что вклад в вариацию детерминанта от регулярной части вакуумного тока в фундаментальном представлении является полной производной и поэтому полностью определяется асимптотическим поведением полей.

1. С. N. Yang and R. L. Mills, Phys. Rev. 96, 191 (1954).

2. Gross,D. and F. Wilczek, Phys.Rev.Lett 30, 1343; Politzer, H., 1973, Phys.Rev.Lett 30, 1346

3. C. R. Allton, S. Ejiri, S. J. Hands, O. Kaczmarek, F. Karsch, E. Laermann and C. Schmidt, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 141, 186 (2005) arXiv:hep-lat/0504011],

4. Z. Fodor and S. D. Katz, JHEP 0404, 050 (2004) arXiv:hep-lat/0402006].

5. E. S. Abers and B. W. Lee, Phys. Rept. 9, 1 (1973).

6. L. D. Faddeev (1976) in Methods in Field Theory, eds. R.Balian and J.Zinn-Justin, p.l

7. A. D. Linde, Rept. Prog. Phys. 42, 389 (1979).

8. A. M. Polyakov, Phys. Lett. В 72, 477 (1978).

9. B.J. Harrington and H.K. Shepard, Phys. Rev. D 17, 2122 (1978); ibid. 18, 2990 (1978).

10. A. Belavin, A. Polyakov, A. Schwartz and Yu. Tyupkin, Phys. Lett. 59, 85 (1975).

11. D.J. Gross, R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53, 43 (1981).

12. D. Diakonov and A. Mirlin, Phys. Lett. В 203, 299 (1988).

13. К. Lee and P. Yi, Phys. Rev. D 56, 3711 (1997), hep-th/9702107.

14. D. Diakonov and V. Petrov, Phys. Rev. D 67, 105007 (2003), hep-th/0212018.

15. N. M. Davies, T. J. Hollowood, V. V. Khoze and M. P. Mattis, Nucl. Phys. В 559, 123 (1999), hep-th/9905015; N.M. Davies, T.J. Hollowood and V.V. Khoze, hep-th/0006011.

16. K. Zarembo, Nucl. Phys. В 463, 73 (1996), hep-th/9510031.

17. T.C. Kraan and P. van Baal, Phys. Lett. В 428, 268 (1998) 268, hep-th/9802049; Nucl. Phys. В 533, 627 (1998), hep-th/9805168.

18. K. Lee and C. Lu, Phys. Rev. D 58, 025011 (1998), hep-th/9802108.

19. E.B. Bogomolnyi, Yad. Fiz. 24, 861 (1976) Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976)].

20. M.K. Prasad and C.M. Sommerfeld, Phys. Rev. Lett. 35, 760 (1975).

21. M. N. Chernodub, Т. C. Kraan and P. van Baal, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 83, 556 (2000) arXiv:hep-lat/9907001]F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Nucl. Phys. В 666, 197 (2003) arXivihep-th/0305063.,

22. Т. C. Kraan, Commun. Math. Phys. 212, 503 (2000) arXiv:hep-th/9811179].

23. F. Bruckmann and P. van Baal, Nucl. Phys. В 645, 105 (2002) arXiv:hep-th/0209010]; F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Acta Phys. Polon. В 34, 5717 (2003) [arXiv:hep-th/0309008].

24. F. Bruckmann, D. Nogradi and P. van Baal, Nucl. Phys. В 698, 233 (2004) arXiv:hep-th/0404210].

25. C. Gattringer, Phys. Rev. D 67, 034507 (2003) arXiv:hep-lat/0210001]; C. Gattringer et al., Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 653 [arXiv:hep-lat/0309106]; C. Gattringer and R. Pullirsch, Phys. Rev. D 69, 094510 (2004) [arXiv:hep-lat/0402008].

26. P. Gerhold, E. M. Ilgenfritz and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys. В 760, 1 (2007) arXiv:hep-ph/0607315]; Nucl. Phys. В 774, 268 (2007) [arXiv:hep-ph/0610426],

27. D. Diakonov and V. Petrov, arXiv:0704.3181 hep-th].

28. G. 't Hooft, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976).

29. M.F. Atiyah, V.G. Drinfeld, N.J. Hitchin and Yu.I. Manin, Phys. Lett. A 65, 185 (1978).

30. W. Nahm, Phys. Lett. В 90, 413 (1980).

31. I. Jack, Nucl. Phys. В 174, 526 (1980).

32. С. W. Bernard, N. H. Christ, A. H. Guth and E. J. Weinberg, Phys. Rev. D 16, 2967 (1977).

33. S. Huang and M. Lissia, Nucl. Phys. В 438, 54 (1995);К. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen and M.E. Shaposhnikov, Nucl. Phys. В 503, 357 (1997);S. Chapman, Phys. Rev. D 50, 5308 (1994).

34. E. Corrigan, P. Goddard, H. Osborn and S. Templeton, Nucl. Phys. В 159, 469 (1979).

35. W. Nahm, Phys. Lett. В 90, 413 (1980).

36. D. Diakonov, N. Gromov, V. Petrov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 70 036003 (2004)

37. N. Gromov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 71, 125019 (2005) arXiv:hep-th/0504024],

38. N. Gromov and S. Slizovskiy, Phys. Rev. D 73, 025022 (2006) arXiv:hep-th/0507101].

39. Slizovskiy S, Determinant of the SU(N) caloron with nontrivial holonomy, Phys. Rev. D76, 85019 (2007)

40. N.H. Christ, E.J. Weinberg and N.K. Stanton, Phys. Rev. D 18, 2013 (1978); E. Corrigan, P. Goddard and S. Templeton, Nucl. Phys. В 151, 93 (1979).

41. L.S. Brown and D.B. Creamer, Phys. Rev. D 18, 3695 (1978).

42. N. Gromov, arXiv:hep-th/0701192.

43. D. Diakonov and M. Oswald, Phys. Rev. D 68, 025012 (2003), hep-ph/0303129.

44. E. Megias, E. Ruiz Arriola and L.L. Salcedo, hep-ph/0312126.

45. P. Rossi, Nucl. Phys. В 149, 170 (1979).

46. С. Bernard, Phys. Rev. D 19, 3013 (1979).

47. D. Diakonov and V. Petrov, Nucl. Phys. В 245, 259 (1984).

48. V.M. Belyaev and V.L. Eletsky, Z. Phys. С 45, 355 (1990); К. Enqvist and K. Kajantie, Z. Phys. С 47, 291 (1990).

49. S. Adler, Phys. Rev. D 18, 411 (1978); ibid. 19, 2997 (1979).

50. Т. C. Kraan and P. van Baal, Phys. Lett. В 435, 389 (1998) arXiv:hep-th/9806034],

51. D. Diakonov and N. Gromov, Phys. Rev. D 72, 025003 (2005) arXiv:hep-th/0502132].

52. N. Weiss, Phys. Rev. D 24, 475 (1981); ibid. D25, 2667 (1982).

53. E. Corrigan, D. B. Fairlie, S. Templeton and P. Goddard, Nucl. Phys. В 140, 31 (1978).