Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение 2

Глава 1. Почти эрмитовы многообразия. 12

§ 1. Почти эрмитова структура и её присоединенная G-структура. 12

§2. Структурные уравнения почти эрмитовой структуры. 21

§3. Приближенно келеровы многообразия. 31 -

Глава 2. Геометрия тензора проективной кривизны приближенно келерова многообразия. 40-

§4. Тождества кривизны приближенно келерова многообразия 40-

Глава 3. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитова многообразия. 49-

§5. Голоморфно-геодезические преобразования квазикелеровых многообразий. 49-

§6. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий. 54-

Глава 4. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий классов , R2, R3. 63-

§7. Геодезические преобразования почти эрмитовы многообразия классов R^, Rt, R3. 63

За последние годы идет интенсивное исследование основных проблем теории геодезических отображений римановых пространств. Особенно исследовались геометрические свойства римановых пространств, допускающих нетривиальные геодезические отображения, а также проблемы классификации этих пространств. Это обусловлено тем, что теория геодезических отображений римановых и аффинных пространств, а также её обобщения представляют безусловный интерес с прикладной точки зрения. Установлено, что движение многих типов механических систем, а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде часто происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аф-финно-связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор первой кривизны которых представляет собою вектор обобщенных внешних сил. Поэтому, например, два риманова пространства Vn и Vn, допускающие геодезическое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же "траекториям", но при различных энергетических режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим. При этом степень подвижности г [19] пространства V„ относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, который мы можем использовать при выборе модели, а также с целью оптимизации изучаемых процессов. Почти геодезические отображения в этом плане позволяют моделировать процессы, протекающие при одних энергетических режимах (описываемые одними пространствами) при отсутствии внешних сил, процессами, протекающими при других энергетических режимах (описываемые другими пространствами) под воздействием внешних сил определенного типа. Поэтому остается актуальной решение вопроса: допускает ли риманово пространство или нет нетривиальные (отличные от аффинных) геодезические отображения и, если допускает, в принципе найти все пространства, на которые рассматриваемое пространство может быть геодезически отображено? Заметим, что принципиальная возможность локального решения подобных вопросов сочетается с серьезными трудностями технического характера. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения. В частности, сохраняется актуальность этой задачи для римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.

Геометрия римановых пространств, снабженных дополнительной структурой традиционно пользуется большой популярностью, прежде всего потому, что такие пространства обладают наиболее интересными свойствами Так геодезические преобразования почти комплексных многообразий изучались многими авторами (см. [4], [18], [36], [38]). К. Яно [38] доказано, что келеровы пространства не допускают нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм. В [4] установлено, что ке-леровы и К-пространства не допускают нетривиальные геодезические отображения на почти эрмитовы пространства при сохранении структуры. В работе [18] доказано, что конформно-келеровы пространства, размерности больше 2 не допускают нетривиальные геодезические отображения на почти эрмитовы пространства с условием сохранения структуры.

Возникает вопрос: допускают ли другие классы Грея-Хервеллы нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие почти комплексную структуру? Изучению этого вопроса и посвящена наша работа.

Цель диссертационной работы состоит в изучении вопроса: допускают ли почти эрмитовы многообразия нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие почти комплексную структуру?

В соответствии с целью выделены следующие

Основные задачи нашего исследования:

1. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов приближенно келеровых многообразий.

2. Выяснить какие классы Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий допускают нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм.

3. Выяснить, при каких условиях геодезическое преобразование, сохраняющее структурный эндоморфизм, переводит структуру класса , R2 , в структуру соответствующего класса.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Вычислен спектр тензора проективной кривизны приближенно келе-рова многообразия на пространстве присоединенной G-структуры.

2. Доказано, что проективно-паракелерово приближенно келерово многообразие является либо Риччи-плоским келеровым многообразием, либо 6-мерным собственным приближенно келеровым многообразием.

3. Доказано, что приближенно келерово многообразие класса Р2 либо локально изометрично Сп, снабженному канонической келеровой структурой, либо изометрично S6 с канонической приближенно келеровой структурой.

4. Доказано, что структурный тензор не меняется при геодезических преобразованиях метрики, сохраняющих структурный эндоморфизм.

5.Доказано, что почти эрмитово многообразие со знакоопределенной метрикой не допускает нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм.

6. Доказано, что почти эрмитово многообразие, принадлежащее одному из следующих классов в классификации Грея-Хервеллы: К; W]; W2; WV W]©W2; Wi®W4; W2®W4; Wi©W2®W4 не допускает нетривиальные геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм.

7.Получены аналитические условия, при которых геодезическое преобразование, сохраняющее структурный эндоморфизм, переводит структуру класса Rf в структуру класса R{, i =1,2,3.

8. Доказано, что компактное почти эрмитово многообразие, со знако-определенной метрикой, не допускает нетривиальные геодезические преобразования, переводящее паракелерову почти эрмитову структуру в паракеле-рову почти эрмитову структуру.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории геодезических отображений почти эрмитовых многообразий, а также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях.

Основные результаты докладывались и обсуждались на Научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 2000 год.

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [39]-[43]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 7 параграфов, и списка литературы, состоящей из 38 работ. Диссертация изложена на 75 страницах машинописного текста.

1. Бонару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли. Дисс. . .к.ф.-м.н., М.: МПГУ, 1993.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., Мир, 1967.

3. Игнаточкина JI.A., Кириченко В.Ф. Конформно-инвариантные свойства приближенно келеровьгх многообразий. Матем. заметки, 1999, 66, вып.5, 653-663.

4. Карамзина А.В., Курбатова И.Н. О некоторых вопросах геодезических отображений почти эрмитовых пространств. Одесса, 1990. 14с. - Деп. в УкрНИИНТИ 12.03.90, №3274-В90.

5. Кириченко В.Ф. r-квазианалитические векторы на К-просранствах. Изв. ВУЗов. Математика 1979, № 12, 27-34.

6. Кириченко В.Ф. К-пространства максимального ранга. Мат. заметки, 22, 1977, 465-476.

7. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянного типа, Сиб. матем. ж., 1976, т. 17, № 3, 282-289.

8. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны, Матем. заметки, 1976, т. 19, № 6, с. 805-814.

9. Кириченко В.Ф. Новые результаты теории К-пространств. Дисс. . к. ф.-м. н.,М.: МГУ, 1975.

10. Кириченко В.Ф. Некоторые свойства тензоров на К-пространствах. Вестник Московского Университета, 1975, №6, 78-85.

11. Кириченко В.Ф. О геометрии подмногообразий Лагранжа. Мат. заметки, 69, №1,2001, 36-51.

12. Кобаяши Ш, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, М., "Наука", 1981, т.2.

13. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М.: ИЛ, 1960.П.Постников М.М. Риманова геометрия. Лекции по геометрии. Семестр 5. М.: Изд-во "Факториал", 1998.-496с.

14. Радулович Ж., Микеш Й. Геодезические отображения конформно-келеровых пространств. Изв. ВУЗов, Математика, №3 (328), !994, 50-52.

15. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств, М,Наука", 1979.

16. Barros М., Ramires A., Decomposition of quasi kahler manifolds which satisfy the first curvature condition. Demonstr. Math., 1978, v.l 1, № 3, 685-694.

17. Eisenhart L.P. Riemannian geometry. Princeton (N. J.): Princeton Univ. Press, 1949.

18. Gray A., Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. Tohoku Math. J. 1976, v.28, p. 601-612.

19. Gray A., Nearly Kahler manifolds. J. Different. Geom., 1970, v.4, № 3, 283309.

20. Gray A. Classification des varietes approximativment Kahleriennes de cour-bure sectionelle holomrphe constante. C. r. Acad, sci., 1974, A279, №2, 797800.

21. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds. Ann. Math., 1976, v.223, №3, 223-248.

22. Gray A, Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Math. Pure and Appl., 1980, v. 123, №3, 35-58.

23. Ricca G.B. Varietes parakahleriennes. Ann. Math. Pure and Appl., 1974, v.98, №36, 47-61.

24. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomor-phic sectional curvature. J. Diff. Geom., 1974, v.9, 123-134.

25. Schouten J.A., Stuik D.J. Einfuhrung in die neueren Methoden der Differen-tialgeometrie, Band I, 1938.

26. Tacamatsu K., Watanabe Y. Classification of a conformally flat K-space. Tohoku Math. J, v. 24, 1972, 435-440.

27. Tachibana S. On almost analytic vector in almost Hermitian manifolds. Tohoku Math. J., v.l 1, 1959, 351-363.

28. Vanhecke L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. J. of Diff. Geom., 1977, v. 12, № 4, 461-467

29. Westlake W.J. Hermitian spaces in geodesic correspondence. Proc. Amer. Math. Soc., 1954, v.5, №2, 301-303.

30. Weyl H. Zur infinitesimalgeometrie Einordnung der projektiven und der Kon-formen Auffassung. Gottinger Nachrichten, 1921, S. 99-119.

31. Yano K. Sur la correspondence projective entre deux espaces pseudohermit-ens. C. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 239, 1346-1348.Работы автора по теме диссертации:

32. Абоуд Х.М. Дифференциальная геометрия тензора проективной кривизны приближенно келеровых многообразий. Научные труды МПГУ. Серия "Естественные науки". М., "Прометей", 2001, 51-54 (0,25 п.л.).

33. Абоуд Х.М. Геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий, сохраняющие почти комплексную структуру. Новейшие проблемы математики, информатики и методики их преподавания. Смоленск, "Уни-версиум", 2001, 3-5 (0,19 п.л.).

34. Абоуд Х.М., Кириченко В.Ф. Голоморфно-геодезические преобразования некоторых типов почти эрмитовых многообразий. Моск. пед. гос. ун-т. -М., 2001. Деп. в ВИНИТИ 28.06.2001, №1529-В2001, с. 8 (0,5 п.л.) (соискателем выполнено 70% работы).

35. Абоуд Х.М. Тензор проективной кривизны приближенно келеровых многообразий. Моск. пед. гос. ун-т. М., 2001. - Деп. в ВИНИТИ 24.12.2001, №2656-В2001, с. 17 (1,1 п.л.).