Геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Дондукова Надежда Николаевна

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кириченко Вадим Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич кандидат физико-математических наук, доцент Власова Людмила Игоревна

Ведущая организация—Казанский государственный университет

диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д.14, ауд. 301, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Защита состоится " ^ " . %_2006г. в "

часов на заседании

Автореферат разослан

200бгода.

Ученый секретарь диссертационного совета

Карасев Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория геодезических преобразований имеет давнюю историю, восходящую к исследованиям ТЛеви-Чивита [10], Т.Томаса [12], ГЛЗейля [13]. В последние десятилетия интерес к этой проблематике был возрожден в многочисленных работах как отечественных, так и зарубежных исследователей (см., напр., [5]). Во многих работах изучаются геодезические преобразования псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой.

В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур (короче, АС-структур) занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Калуцы -Клейна и т.д.

Изучение почти контактных метрических многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [8], Дж. Грея[9], С.Сасаки[11]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В.Ф. Кириченко [2]. Среди АС-структур наиболее интенсивно изучены косимплекгические [6] и са-сакиевы [7] структуры. В настоящее время важные результаты были получены для структур Кенмоцу [3].

В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследовании инвариантов проективных преобразований (проективные инварианты Томаса, тензор Вейля проективной кривизны). В случае, когда псевдори-маново многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается

новыми аспектами. Насколько известно автору, проективные свойства косим-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ ВИБ.ПИОТсЬ \ С.-Пеюр^уч!

_д^

плектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу практически не изучались.

Согласно проведенным исследованиям, многие классы римановых многообразий, снабженных дополнительной структурой, не допускают нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих эту дополнительную структуру. Классическим результатом в этом направлении является результат Уэстлейка [14] и Яно [15], утверждающий, что келерово многообразие не допускает нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих комплексную структуру. В работе [1] Х.М. Абоуда были выделены классы Грея-Хервелы почти эрмитовых многообразий, которые не допускают нетривиальных голоморфно-геодезических преобразований (геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм). Поэтому и для почти контактных метрических многообразий актуально изучение геодезических преобразований, сохраняющих почти контактную структуру (контактно-геодезические преобразования).

Так как дополнительные структуры римановых пространств в основном обладают свойством геодезической жесткости, многие исследователи обращались к различным обобщениям теории геодезических отображений: теория (п-2)-проективных пространств (В.Ф.Каган), конциркулярная геометрия (К. Яно), теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий (Т. Оцуки, Я. Тасиро), теория почти геодезических отображений Н.С. Синю-ков), теория р-геодезических отображений ( С.Г. Лейко). В 1963 году Н.С. Си-шоков ввел понятие почти геодезического отображения, доказал существование трех типов почти геодезических отображений щ, 7г2, щ и исследовал их [5]. С.Г. Лейко [4] продолжил исследование в этом направлении и ввел понятие р-геодезических отображений. Среди этих отображений он выделил специальные р-геодезические отображения так называемых линейных типов. Как оказалось, отображения щ и Этз являются 2-геодезическими отображениями первого и второго линейного типа. К отображению лг относятся голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры.

Специальным случаем теории почти геодезических отображений 7Г3 является конциркулярная геометрия.

В связи этим возникает задача изучения обобщенных геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий, сохраняющих почти контактную структуру (контактно р-геодезические преобразования).

Настоящая работа посвящена изучению геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий. В этой работе выявлены новые проективные инварианты косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу, проведено исследование жесткости косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу относительно контактно-геодезических преобразований (получен контактный аналог результата Уэст-лейка и Яно), а также рассмотрены контактно 2-геодезические преобразования линейного типа АС-многообразий.

Дель диссертационной работы состоит в изучении геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий.

Основными задачами диссертационного исследования являлись:

1. На основе структурных уравнений косимплектических, сасакиевых многообразий вычислить выражения классических тензоров этих многообразий на пространстве присоединенной О-структуры.

2. Вычислить структурные тензоры почти контактных метрических структур в безиндексной форме.

3. Вычислить спектр тензора проективной кривизны косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий-Кенмоцу.

5. Найти объекты, инвариантные относительно контактно-геодезических преобразований почти контактных метрических структур.

б

6. Выяснить, допускают ли косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу нетривиальные контактно-геодезические преобразования.

7. Найти объекты, инвариантные относительно контактно 2-геодезических преобразований линейного типа почти контактных метрических структур.

Новизна результатов. Основные результаты, полученные в процессе диссертационного исследования, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Вычислены выражения классических тензоров косимплектических, саса-киевых многообразий на пространстве присоединенной в-структуры.

2. Получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

3. Вычислен спектр тензора проективной кривизны косимплектических, са-сакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Найдены условия проективной плоскости косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Изучен геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

5. Получены инварианты контактно-геодезических преобразований почти контактной метрической структуры.

6. Доказано, что косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований.

7. Получен инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактных метрических многообразий.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных в-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы

для дальнейшего изучения геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий, геометрии почти контактных метрических многообразий. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти контактных метрических многообразий в высших учебных заведений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения-Ш" (2005г., Ярославль); на Научной сессии МШ У по итогам научно-исследовательской работы за 2005 год (2006 г., Москва); на Международной конференции "Геометрия в 0дессе-200б" (2006 г., Одесса); на Международной научной конференции "Лаптевские чтения-2006" (2006 г., Москва, МГУ).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 публикациях. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 16 параграфов и списка литературы. Она изложена на 86 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 56 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, излагается предыстория вопроса, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе даны предварительные сведения о почти контактных метрических многообразиях, а также вычислены выражения классических тензоров косимплектических, сасакиевых многообразий на пространстве присоединенной G-структуры и получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

В §1 даются определение почти контактной метрической структуры, построение G-структуры (со структурной группой {1 }xU(n), состоящей из А-реперов), присоединенной к М2"*1. В §2 приведены первая группа структурных уравнений почти контактного метрического многообразия, полученная В.Ф.

Кириченко в работе [2], определения и свойства шести структурных тензоров почти контактной метрической структуры. В §3 приводятся определения нормальных, косимплектических, контактных, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Перечисляются характеристические свойства косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. В §4 на основании структурных уравнений косимплектических многообразий вычислены тензор кривизны и тензор Рйччи. В §5 на основании структурных уравнений сасакиевых многообразий вычислены тензор кривизны и тензор Риччи. В §6 приведены структурные уравнения, тензор кривизны и тензор Риччи многообразий Кенмоцу. В §7 получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры:

С(Х, у) = -1{-Ф о (Ф)(ФгДг)+Ф о v„ (Ф)(ФХ)+Фг о УФ1, (Ф)(Фг*)+Фг „^ (Ф)(ФАГ)};

О

ад=~{ф»оу^фкфх)};

Во второй главе определены некоторые инварианты геодезических отображений косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу; выяснен геометрический смысл обращения в нуль этих инвариантов. В §1 даны предварительные сведения о геодезических преобразованиях. В §2 вычислен спектр тензора проективной кривизны косимплектического многообразия и доказана следующая теорема:

Теорема. Косимплектическое многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является плоским многообразием.

Доказано, что у косимплектического многообразия существует три основных проективных инварианта Р\, Р%, РА, получены формулы для вычисления этих инвариантов. На основе этих инвариантов выделены три класса косимплектических многообразий, введены следующие определения:

Определение. Косимплектическое многообразие, для которого Рг*0, где 1=1,2,4 будем называть косимплектическим многообразием класса Р\.

Доказаны:

Теорема. Пусть М2п+1- косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда М^1 является косимплектическим многообразием класса Р\ тогда и только тогда, когда М2п+1 является риччи-плоским многообразием.

Теорема. Если М2п+1 -косимплектическое многообразие класса Рг< то М2п+1 является риччи-плоским многообразием.

Теорема. Пусть М2п+1 косимплектическое многообразие. Тогда М2а+1 является косимплектическим многообразием класса Р$ тогда и только тогда, когда М2п+1 является риччи-плоским многообразием.

Следствие. Пусть М2п+1 -косимплектическое многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) М2п+1-риччи-плоское многообразие;

2) М2п+1-косимплектическое многообразие класса Р\\

3) М2п+1~косимплектическое многообразие класса Ра.

В §3 вычислен спектр тензора проективной кривизны сасакиева многообразия. Доказано, что у сасакиева многообразия существует три основных проективных инварианта Ри Р2, Р*. На основе этих инвариантов выделены три класса сасакиевых многообразий, введены следующие определения:

Определение. Сасакиево многообразие, для которого Р-,=0, где 1=1,2,4 будем называть сасакиевым многообразием класса Р\.

Доказаны:

Теорема. Сасакиево многообразие проективно плоско тогда и только тогда, когда является многообразием постоянной секционной кривизны (+1).

Теорема. Пусть М2п+1 -сасакиево многообразие размерности больше 3. Тогда М2"+1 является сасакиевым многообразием класса Р\ тогда и только тогда, когда М2п+1 является эйнштейновым многообразием с космологической постоянной Х=2п.

Теорема. Пусть М2пН -сасакиево многообразие. Если М2®*1 -сасакиево многообразие класса Р2, тогда М2"*1 является эйнштейновым многообразием с космологической постоянной X =2п.

Теорема. Пусть М2"*1 -сасакиево многообразие. Тогда М является сасакие-вым многообразием класса тогда и только тогда, когда М2"1"1 является эйнштейновым многообразием с космологической постоянной Х=2п.

Следствие. Пусть М2п+1 -сасакиево многообразие размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны;

4) М2п+1-эйнштейново многообразие;

5) М2п+1-сасакиево многообразие класса Рь

6) М2п+1-сасакиево многообразие класса /V

В §4 вычислен спектр тензора проективной кривизны многообразия Кенмо-цу. Доказано, что у многообразия Кенмоцу существует три основных проективных инварианта Р\, Р2, Ра. На основе этих инвариантов выделены три класса многообразий Кенмоцу, введены следующие определения:

Определение. Многообразие Кенмоцу, для которого РрО, где 1=1,2,4 будем называть многообразием Кенмоцу класса

Доказаны:

Теорема. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда является многообразием постоянной секционной 1фивизны (-1).

Из этой теоремы с учетом [3] немедленно следует

Следствие. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию С х К, снабженному канонической косимплектической структурой.

Следствие. Многообразие Кенмоцу проективно плоско тогда и только тогда, когда оно является многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Теорема. Пусть М2п+1 -многообразие Кенмоцу размерности больше 3. Тогда М2"*1 является многообразием Кенмоцу класса Л тогда и только тогда, когда

М2п+1 является многообразием Эйнштейна с космологической постоянной X =-2п.

Теорема. Пусть М2п+1 -многообразие Кенмоцу. Если М2п+1 -многообразие Кенмоцу класса Рг, тогда М2п+1 является многообразием Эйнштейна с космологической постоянной Х=-2п.

Теорема. Пусть М2п+1 -многообразие Кенмоцу. Тогда М является многообразием Кенмоцу класса тогда и тблько тогда, когда М является эйнштейновым многообразием с космологической постоянной Х~2п.

Следствие. Пусть М2п+1 -многообразие Кенмоцу размерности больше 3. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

7) М2п+1-эйнштейново многообразие;

8) М2п+,-многообразие Кенмоцу класса Рй

9) М2п+1-многообразие Кенмоцу класса Д».

В третьей главе введено определение контактно-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры, которое является аналогом голоморфно-геодезического преобразования почти эрмитовых структур [1], а также получен ряд инвариантов таких преобразований. Доказано, что косим-плектические, сасакиевы многообразия, а также многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований метрики, что является контактным аналогом известного результата Уэстлейка и Яно. В §1 введено определение контактно-геодезического преобразования метрики почти контактной метрической структуры.

Определение. Геодезическое преобразование метрики g АС-структуры {7?,£,Ф,#=<у >} назовем контактно-геодезическим, короче, с-геодезическим преобразованием, если >}-АС-структура.

Вычислены структурные тензоры преобразованной почти контактной метрической структуры при с-геодезических преобразованиях. Доказаны:

Теорема. Структурные тензоры С,0,Р и в не меняются при с-геодезических преобразованиях.

Теорема, с-геодезические преобразования метрики переводят нормальную АС-структуру в нормальную АС-структуру.

В §2 рассматриваются контактно-геодезические преобразования АС-струкгур квазикелерова типа, то есть таких АС-структур, у которых первый структурный тензор равен нулю. Доказана

Теорема, с-геодезические преобразования метрики переводят АС-структуру квазикелерова типа в АС-структуру квазикелерова типа.

В частности, к АС-структурам квазикелерова типа относятся косимплекти-ческие, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу. При изучении контактно-геодезических преобразований этих многообразий доказаны следующие теоремы, которые являются контактным аналогом известного результата Уэст-лейка и Яно.

Теорема. Косимплектическое многообразие не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики.

Теорема. Сасакиево многообразие не допускает нетривиальных с-геодезических преобразований метрики.

Теорема. Многообразие Кенмоцу не допускает нетривиальных с- геодезических преобразований метрики.

Для доказательства этой теоремы была установлена следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес.

Лемма. Оператор геодезической деформации с-геодезического преобразования метрики АС-структуры коммутирует со структурным эндоморфизмом,

В четвертой главе введено определение контактно р-геодезического преобразования почти контактной метрической структуры, найден инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактной метрической структуры.

В §1 приведены определения р-геодезического преобразования, р- геодезического преобразования линейного типа, основные уравнения 2- геодезических преобразований первого и второго линейного типа. Вводится определение

Определение, р-геодезическое преобразование метрики g АС-структуры {ij,4,<S>,g-< у >} назовем контактно р-геодезическим преобразованием, если {г;, £ Ф, £=<•,• >} -АС-структура.

В §2 рассматриваются контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа структурных тензоров почти контактной метрической структуры. Доказана

Теорема. Третий структурный тензор является инвариантом контактно 2-геодезического преобразования первого линейного типа АС-многообразий.

В §3 рассматриваются контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа структурных тензоров почти контактной метрической структуры. Доказана

Теорема. Третий структурный тензор является инвариантом контактно 2-геодезического преобразования второго линейного типа АС-многообразий.

JlHrepaiypa

1. Абоуд Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий. Дисс. ...к.ф.-м.н.,-М.: Mill У, 2002.

2. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообра зиях.-М., МПГУ, 2003 .-495с.

3. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу// Доклады РАН-2001-Т.380, №5, с.585-587.

4. Лейко С.Г. Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отобра жений многообразий и их касательных расслоений.Дисс. ...доктор.ф.-м.н-Одесса: ОГУ, 1994.

5. СинюковН.С. Геодезические отображения римановых пространств.-М., Наука, 1979.-256с.

6. Blair D.E. The theory ofquasi-Sasakian structure//! Diff. Geom 1(1967), p.333-345.

7. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry.// Lecture Notes Math. 509, 1976, p.1-146.

8. Chern S.-S Pseudo-groupes continus m£inis,S//CoIloq. Internet. Center nat. Rech.scient.52, Strasbourg, 1953,Paris, 1953, p.l 19-136.

9. Gray J.W. Some global properties of contact structure//Ann. Maht., 1959,69, №2, p.421-450.

10.Levi-Civita T. Sulle transformationi delle equazioni dinamiche.//Ann. Math. Milano, Ser.2,24,1894, p.255-300.

11 .Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely

related to almost contact structures.I//Tohoku Math. J., 1960,12, № 3, p.459-476. 12.Thomas T.Y. On projective and equiprojective geometries of paths//PWC Nat.

13 .Weyl H. Zur Infinitesimalgeometrie Einordnung der projectiven und der confoimen AufFassung.//Gottingen Nachr. 1921, p.99-112.

14.Westlake WJ. Hermitian spaces in geodesic correspondence7/Proc. AMS, 5, №2,1954, p.301-303.

15.Yano K. Sur la correspondence projective entre deux espaces pseudoV hermitens.//C.R. Acad. Sei. Paris, 239,1956, p. 1346-1348.

Список публикаций автора по теме диссертации

1. Дондукова H.H., Кириченко В.Ф., Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур..// Матемламетки т.80, №2, (2006), с.209-220 (0,75 печ.л. соискателем выполнено 50% работы).

2. Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования косимплектиче ских многообразий. // Тезисы докладов международного семинара "Геомет рия в 0дессе-2005. Дифференциальная геометрия и ее применение"-Одесса, 2005г-с.45-47 (0,19 печ.л.).

3. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны сасакиевых многообра зий.//Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1302-2005-16с. (1 печ.л.).

4. Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования структурных тен зоров почти контактных метрических многообразий. //Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005,№1303-2005-14с. (0,9 печ.л.).

5. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны многообразий Кенмоцу. //Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1304-2005-9с. (0,6 печ.л.).

6. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны косимплектических многооб разий. //Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1305-2005-14с. (0,9 печ,л.).

7. Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования сасакиевых мно гообразий. // Сборник трудов II Международной научной конференции "Ma тематика. Образование. Культура." Часть 1-Тольятти,ТГУ, 2005.-С.21-24 (0,22 печ.л.).

8. Дондукова H.H. Об одном классе геодезических преобразований сасакиевых структур. // Труды третьих Колмогоровских чтений.-Ярославль, ЯГПУ 2005.-с.170-174 (0,3 печ. л.).

9. Дондукова H.H. Контактно 2-геодезические преобразования первого линей ного типа контактных метрических структур.// Некоторые вопросы матема тики, информатики и методики их преподавания.-М.: Прометей,МШ У, 2006.-С.75-77 (0,19 печ.л.).

10.Дондукова H.H. Контактно 2-геодезические преобразования второго линей ного типа почти контактных метрических структур.// Тезисы докладов меж дуна родного семинара "Геометрия в 0дессе-200б. Дифференциальнаяя reo метрия и ее применение"-Одесса, 2006г.-с.67-68 (0,12 печ.л.).

11. Дондукова H.H. О проективных инвариантах многообразий Кенмоиу. // На учные труды МШ У. Серия: Естественные науки. Сборник статей.-М.: Про метей, МПГУ, 2006г.-с.70-72 (0,19 печ.л.).

»

л

Подп. к печ. 16.10.2006 Объем 1 п.л. Заказ №. 138 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

госбА

Введение.

Глава 1. Основные тензоры почти контактных метрических многообразий.,.

§1. Почти контактные метрические многообразия и их присоединенная С-структура.

§2. Структурные уравнения присоединенной в-структуры.

§3. Основные классы почти контактных метрических структур.

§4. Структурные уравнения косимплектических многообразий.

§5. Структурные уравнения сасакиевых многообразий.

§6. Структурные уравнения многообразий Кенмоцу.

§7. Структурные тензоры ЛС-многообразий.

Глава 2. Геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий.

§1. Понятие геодезического преобразования.

§2. Проективные инварианты косимплектических многообразий.

§3. Проективные инварианты сасакиевых многообразий.

§4. Проективные инварианты многообразий Кенмоцу.

Глава 3. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических многообразий.

§1. Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров почти контактных метрических многообразий.

§2. Контактно геодезические преобразования некоторых классов почти контактных метрических многообразий.

Глава 4. Контактно-геодезические преобразования высших порядков почти контактных метрических многообразий.

§1. Понятие р-геодезического преобразования.

§2. Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа.

§3. Контактно 2-геодезические преобразования второго линейного типа.

Впервые задача о геодезическом отображении поверхностей была поставлена итальянским геометром Э.Бельтрами в 1865 году [26], [27] . Им была рассмотрена и решена задача отображения поверхности на плоскость при котором геодезические кривые переходят в прямые (то есть в геодезические на плоскости). Теория отображений исевдоримановых пространств, при которых сохраняются геодезические, является одним из старейших направлений исследований в римановой геометрии, истоки которого лежат в трудах Т. Леви-Чивита [37], Т. Томаса[41], Г.Вейля [43]. Т.Леви-Чивита пришел к общей проблеме геодезических отображений римановых пространств при изучении уравнений динамики. Как известно, движение некоторых типов механических систем, многие процессы в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде протекают по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические линии аффинно связного или риманова пространства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор кривизны которых представляют собою вектор обобщенных внешних сил. Степень подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, которым мы можем распоряжаться при выборе модели данного динамического процесса, а также с целью его оптимизации. Поэтому сохраняется актуальность задачи изучения внутренних тензорных характеристик римановых пространств, допускающих или не допускающих локальные или глобальные нетривиальные геодезические отображения, в частности римановых пространств, снабженных дополнительной структурой.

Исследования показывают, что зачастую дополнительные структуры римановых пространств обладают свойством геодезической жесткости, то есть не допускают нетривиальных геодезических преобразований, сохраняющих структуры. Классическим результатом в этом направлении является результат Уэстлейка [42] и Яно [44], согласно которому келе-рово многообразие не допускает геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. И в работе [1] Х.М. Абоуда выделены классы Грея-Хервелы почти эрмитовых многообразий, которые не допускают нетривиальных голоморфно-геодезических преобразований (геодезические преобразования, сохраняющие структурный эндоморфизм). В настоящее время активно исследуются римановы многообразия, наделенные почти контактной метрической структурой. Поэтому получение контактного аналога известного результата Уэстлейка и Яио весьма актуально.

Напомним, что теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально- геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации, теории Ка-луцы -Клейна и т.д.

Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [31], Дж. Грея[32] , С.Сасаки[39]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает С?-структуру со структурной группой {е} х 11(п). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [39], что такая (^-структура порождает тройку {Ф, ту}, где Ф-тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, вектор, т}—ковектор, называемые характеристическим вектором и контактной формой структуры соответственно. Эта тройка обладает свойствами: г)(£) = 1, Ф2 = —гс1 + 77 0 из которых легко вывести, что Ф(£) = 0и7уоФ = 0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику (Х,У) = Н(ФХ,ФУ) + Н{Ф2Х,Ф2У) + г}(Х)т)(У), дополняющую {Ф, 77} до почти контактной метрической структуры [39]. Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (М, Ф,^,г},д)—почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мх Л канонически индуцируется почти эрмитова структура [30]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В.Ф. Кириченко [7]. Среди ЛС-структур наиболее интенсивно изучены косимплектические

29] и сасакиевы [30] структуры. В настоящее время важные результаты были получены для структур Кенмоцу [9]. В значительной мере теория геодезических преобразований опирается на исследовании проективных инвариантов. В случае, когда псевдориманово многообразие наделено дополнительной структурой, число таких инвариантов увеличивается, и теория геодезических преобразований обогащается новыми аспектами. Насколько известно автору, проективные свойства АС-многообразий практически не изучались.

Так как дополнительные структуры римановых пространств в основном обладают свойством геодезической жесткости, многие исследователи обращались к различным обобщениям теории геодезических отображений. Наиболее известными из них являются теория (п — 2)—проективных пространств (В.Ф.Каган [4]), конциркулярная геометрия (К. Яно [45]) и теория голоморфно-проективных отображений келеровых многообразий, то есть отображений при которых сохраняются почти геодезические специального вида (так называемые планарные кривые) и комплексная структура келерова многообразия (Т. Оцуки, Я. Тасиро [38]). Фундаментальный вклад в развитие теории голоморфно-проективных отображений был внесен Одесской геометрической школой (напр., Н.С. Синюков [22], В.В. Домашев [3], Й. Микеш, [18]). В основном все исследования по этой проблематике велись почти исключительно в рамках геометрии келеровых многообразий.Но в работах A.B. Никифоровой [19], В.Ф. Кириченко[11] были рассмотрены голоморфно-проективные преобразования почти эрмитовых многообразий и обобщенных почти эрмитовых многообразий соответственно.

В 1963 году Н.С. Синюков обобщил проблематику, связанную с понятием (п — 2)—проективным пространства. Была поставлена проблема такого отображения одного пространства с аффинной связностью на другое пространство, при котором каждая геодезическая кривая первого переходит в так называемую почти геодезическую кривую (2-геодезическую в терминологии С.Г. Лейко) [23]. Как оказалось, (п — 2)-проективные пространства характеризуются тем, что допускают почти геодезическое отображение на плоское пространство. Также Н.С. Синюков доказал существование трех типов почти геодезических отображений щ, 7Г2, яз и исследовал их. С.Г. Лейко[1б] продолжил исследование в этом направлении и ввел понятие р-геодезических отображений пространств с аффинной связностью без кручения. Среди этих отображений он выделил специальные р-геодезические отображения так называемых линейных типов. Как оказалось, отображения П2 и 7Г3 являются 2-геодезическими отображениями первого и второго линейного типа. К отображению пч относятся голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры. Специальным случаем теории почти геодезических отображений 7Гз является конциркулярная геометрия.

После приведенного обзора видно, что геодезические преобразования почти контактных метрических структур представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий. В соответствии с целью выделены основные задачи:

1. Вычислить структурные тензоры почти контактных метрических структур в безиндексной форме.

2. На основе структурных уравнений косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу вычислить выражения классических тензоров этих многообразий на пространстве присоединенной Сестру ктуры.

3. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Найти объекты, инвариантные относительно контактно-геодезических преобразований почти контактных метрических структур.

5. Выяснить, допускают ли косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу нетривиальные контактно-геодазические преобразования.

6. Найти объекты, инвариантные относительно контактно 2-геодезических преобразований линейного типа почти контактных метрических структур.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Получен явный вид пяти структурных тензоров почти контактной метрической структуры.

2. Вычислены выражения классических тензоров косимплектических, сасакиевых многообразий на пространстве присоединенной (^-структуры.

3. Вычислен тензор проективной кривизны косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу. Найдены условия проективной плоскости косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

4. Изучен геометрический смысл обращения в нуль проективных инвариантов косимплектических, сасакиевых многообразий и многообразий Кенмоцу.

5. Получены инварианты контактно-геодезических преобразований почти контактной метрической структуры.

6. Доказано, что косимплектические, сасакиевы многообразия и многообразия Кенмоцу не допускают нетривиальных контактно-геодезических преобразований.

7. Получен инвариант контактно 2-геодезического преобразования линейного типа почти контактных метрических многообразий.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных С-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения, геодезических преобразований почти контактных метрических многообразий, геометрии почти контактных метрических многообразий и чтения специальных курсов в высших учебных заведений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 2005 год (2006 г., Москва); на Международной научной конференции "Колмогоровские чтеиия-Ш"(2005г., Ярославль); на Международной конференции "Геометрия в 0дессе-2006п(2006г., Одесса); на Международной научной конференции "Лаптевские чтения-2006"(2006 г., Москва, МГУ).

Основное содержание диссертации отражено в 86 страницах. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 16 параграфов и списка литературы. Список литературы содержит 56 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Абоуд Х.М. Голоморфно-геодезические преобразования почти эрмитовых многообразий. Дисс. .к.ф.-м.н.,—М.: МПГУ, 2002.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна.т. 1-2/Бессе А.—М.: Мир, 1990. -704с.

3. Домашев В.В., Микеш Й. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств./Домашев В.В., Микеш Й.// Матем. заметки.—1978.—Т.23, №2, с.297-304.

4. Каган В.Ф. Субпроективные пространства./Каган В.Ф.—М., Физ-матгиз, 1961.—220с.

5. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере./Картан Э. -М,: Мир, 1960,—94с.

6. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств /Кириченко В.Ф.// Итоги науки и техники./ВИНИТИ АН СССР-Т.8: Проблемы геометрии.-М., 1977- с.139-161.

7. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях./Кириченко В.Ф.—М., МПГУ, 2003—495с.

8. Кириченко В.Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной геометрии./Кириченко В.Ф.//Изв. АН СССР. Сер.матем. 48.— 1984 №4, с.711-739.

9. Кириченко В.Ф, Обобщенные классы Грея-Хервеллы и голоморфно-проективные преобразования обобщенных почти эрмитовыхструктур./Кириченко В.Ф. // Доклады РАН.—2005.—Т.69, №5, с.107-132.

10. Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия ква-зисасакиевых многообразий./Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р.// Мат. сборник,—2002.—№193:8, с. 1173-1201.

11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1./ Кобаяси Ш., Номидзу К-М.: Наука, 1981.—344с.

12. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. /Кобаяси Ш., Номидзу К. -М.: Наука, 1981-416с.

13. Лейко С.Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы многообразий с аффинной связностью. // Изв. высших, уч. заведений.— 1982.—Ж), с.80-83.

14. Лейко С.Г. Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразий и их касательных расслоений.Дисс. .доктор.ф.-м.н.—Одесса: ОГУ, 1994.

15. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий./ Лихнерович А.—М.: Платон,1997. —216с.

16. Микеш Й. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств. /Микеш Й.//Укр. геометрическмй сб.(Харьков)— 1980—вып.23, с.90-98.

17. Никифорова A.B. Голоморфно-проективные преобразованияпочти эрмитовых многообразий. Дисс. .к.ф.-м.н., —М.: МПГУ, 2002.

18. Радулович Ж. Микеш Й. Геодезические отображения конформно-келеровых пространств./Рарупотч Ж. Микеш Й.// Изв. ВУЗов, Математика.—994—№3(328), с. 50-54.

19. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный ана-лмз./Рашевский П.К.—М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1953,-635 с.

20. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств./Синюков Н.С. —М., Наука, 1979.—256с.

21. Синюков Н.С. Почти геодезические отображения аффиносвязных и римановых пространств./Синюков Н.С.//Итоги науки и техники./ ВИНИТИ АН СССР -Т.13:Проблемы геометрии.-М., 1982— е.3-26.

22. Стернберг С. Лекции по дифференцильной геометрии./Стернберг С.-М.: Мир, 1976.

23. Умнова С.В. Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений. Дисс. .к.ф.-м.н., М.: МПГУ, 2002.

24. Beltrami Е. Risoluzione del ргоЫета г riportari г punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodeche vengano rappresentate da linee rette.fBeltrami E.// Annli di Matematica.— 1865.-1, №

25. Beltrami E. Theoria foundamentable degle spazii di curvature constate./Beltrami E.//Annli di Matematica.-1902.-2, №2.-c.232-255.

26. Bishop R.L., O'Neil В., Manifolds of negative curvature./ Bishop R.L.// TYans. Amer. Math. Soc. 145(1969),1-50.

27. Blair D.E., The theory of quasi-Sasakian structure./Blair D.E.//J. Diff. Geom 1(1967), p.333-345.

28. Blair D.E., Contact manifolds in Riemannian geometry./Blair D.E.// Lecture Notes Math. 509, 1976, p. 1-146.

29. Chern S.-S, Pseudo-groupes continus infinis./Chern S.-S//Colloq. Internat. Center nat. Rech.scient.52, Strasbourg, 1953,Paris, 1953, p.119-136.

30. Gray J.W. Some global properties of contact structure./Gray J.W.//Ann. Maht., 1959, 69,№2, p.421-450.

31. Goldberg S., Totally geodesic hypersurfaces of Kaehler manifolds./ Goldberg S.//Pacific J. Math. 27, № 2(1968), p.275-281.

32. Goldberg S., Yano K., Integrability of almost cosymplectic structures./Goldberg S., Yano K.// Pacif. J. Math., 1969, 31, №2, p. 373-382.

33. Kenmotsu K., A class of almost contact Riemannian manifolds./Kenmotsu K.//T6hoku Math. J. 24, 1972, p.93-103.

34. Kirichenko V.F., Generalized quasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, ///Kirichenko V.F.//Geometriae Dedicata 52, 1994, p.53-85.

35. Levi-Civita T. Sulle transformation delle equazioni dinamiche./Levi-Civita T.//Ann. Math. Milano, Ser.2, 24, 1894, p.255-300.

36. Otsuki T., Tashiro Y. On curves in Kählerian spaces./Otsuki T., Tashiro Y.//Math. J. Okayma univ., 4, №1(1954), p.57-78.

37. Sasaki S. On differentiate manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. //Sasaki S.//Tohoku Math. J., 1960, 12, № 3, p.459-476.

38. Sasaki S.,Hatakeyana Y. On dijferentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure ///Sasaki S.,Hatakeyana Y.// Tohoku Math. J. 13,(1961), p.281-294.

39. Thomas T.Y. On projective and equiprojective geometries of paths/Thomas T.Y.//PWC Nat. Acad. Sei. USA 11, 1925, p.198-203.

40. Westlake W.J. Hermitian spaces in geodesic correspondence./Westlake W.J.//Proc. AMS, 5,№2 ,1954, p.301-303.

41. Weyl H. Zur Infinitesimalgeometrie Einordnung der projectiven und der conforrnen Auffassung./Weyl H.//Göttingen Nachr. 1921, p.99-112.

42. Yano K. Sur la correspondence projective entre deux espaces pseudo-hermitens/Yano K.//C.R. Acad. Sei. Paris, 239,1956, p.1346-1348.

43. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны сасакиевых многообразий./ Донду кова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1302-2005-16с.

44. Дондукова H.H., Контактно-геодезические преобразования структурных тензоров почти контактных метрических многообразий./ Дондукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.№1303-2005-14с.

45. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны многообразий Кен-моцу./Дрирукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.М304-2005-9с.

46. Дондукова H.H. Тензор проективной кривизны косимплектиче-ских многообразий./Дондукова Н.Н.//Моск.пед.гос.ун-т.-М.,2005.-Деп. в ВИНИТИ 12.10.2005.Ш305-2005-14с.

47. Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования сасакиевых многообразий./Дондукова H.H.// Сборник трудов II Международной научной конференции "Математика. Образование. Культура. "Часть 1—Тольятти,ТГУ, 2005.-C.21-24

48. Дондукова H.H. Об одном классе геодезических преобразований сасакиевых структур./flpüpyкова H.H.// Труды третьих Колмого-ровских чтений.—Ярославль, ЯГПУ 2005.-е. 170-174

49. Дондукова H.H. Контактно 2-геодезические преобразования первого линейного типа почти контактных метрических структур./Донду кова H.H.// Некоторые вопросы математики, информатики и методики их преподавания.—М.: Прометей,МПГУ, 2006.— с.75-77

50. Дондукова H.H. О проективных инвариантах многообразий Кен-моцу. /Дондукова H.H.// Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сборник статей.—М.: Прометей, МПГУ, 2006г.— с.70-72

51. Кириченко В.Ф., Дондукова H.H. Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур./ Кириченко В.Ф., Дондукова H.H.// Матем.заметки т.80, №2(2006), с.209-220, соискателем выполнено 50% работы.