Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Многообразия Кенмоцу.

§ 1. Почти контактные метрические многообразия.

§2. Структурные уравнения многообразий Кенмоцу.

§3. Выражение классических тензоров в А-репере.

§4. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны.

Глава 2. О конформных инвариантах многообразий Кенмоцу.

§ 1. Конформно-инвариантные свойства многообразий Кенмоцу.

§2. Геометрический смысл обращения в нуль отдельных элементов спектра тензора Вейля.

Глава 3. Обобщенные многообразия Кенмоцу (GK-многообразия).

§1. Структурные уравнения GK-многообразий.

§2. Выражение классических тензоров в А-репере.

§3. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны GK-многообразий.

Глава 4. SGK-многообразия I рода.

§ 1. Полная группа структурных уравнений SGK-многообразий

I рода.

§2. Выражение классических тензоров в А-репере.

§3. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны SGK-многообразий I рода.

Глава 5. SGK-многообразия II рода.

§1. Свойства кривизны SGK-многообразий II рода.

§2. Локальное строение SGK-многообразий II рода.

Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Теория почти контактных метрических структур занимает важное место в современных дифференциально-геометрических исследованиях и является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в современной математической физике, например, в классической механике и теории геометрического квантования, теории супергравитации Калуцы-Клейна. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия.

Уже более сорока лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя [20], Дж. Грея [24], Сасаки [33]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {e}xU(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [33], что такая G-структура порождает тройку {Ф,£,,т|}, где Ф - тензор типа (1,1), называемый структурным оператором, % -вектор, г) - ковектор, называемые структурным вектором и ковектором соответственно. Эта тройка обладает свойствами: из которых легко вывести, что Ф(£,)=0 и т| оф=0. Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики Н на таком многообразии, он построил риманову метрику <Х,У)=Н(ФХ,Ф¥)=Н(Ф2Х,Ф2У)+г|(Х)г|(У), дополняющую {Ф£,г|} до почти контактной метрической структуры [33].

Почти контактные метрические структуры тесно связаны с почти эрмитовыми структурами. Например, если (M,0,^,ri,g) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии MxR канонически индуцируется почти эрмитова структура [20]. Если эта почти эрмитова структура интегрируема, то исходная почти контактная метрическая структура называется нормальной. Нормальная контактная метрическая структура называется сасакие-вой структурой [20]. Основные классы почти контактных метрических структур приведены в работе В.Ф. Кириченко [9]. Так, например, наиболее интересными из них с точки зрения дальнейшего изложения являются косимплек-тические структуры, характеризующиеся тождествами УФ=Уг|=0, а также точнейше косимплектические структуры, которые определяются тождествами Ух(Ф)Х=0 и dr)=0. Основной поток многочисленных исследований почти контактных метрических структур [16] связан с сасакиевыми структурами, которые можно охарактеризовать тождеством: Ух(Ф)У=<Х,У)^-г|(У)Х; Х,УеДМ).

Сасакиевы и косимплектические структуры являются своеобразными аналогами келеровых структур в эрмитовой геометрии. Такие структуры индуцируются, например, на вполне омбилических и, соответственно, вполне геодезических гиперповерхностях келеровых многообразий [20], [22].

В 1972 году в работе [26] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, названных в дальнейшем структурами Кен-моцу. Они характеризуются тождеством х(Ф)У=(ФХ,У)^-г|(У)ФХ; Х,УеДМ), формально похожим на определяющее тождество сасакиевых структур. Но, оказывается, свойства этих структур являются в определенном смысле полярными свойствам сасакиевых структур. Они обладают рядом замечательных свойств. Например, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными, а значит, и сасакиевыми [26]. Структуры Кенмоцу, например, естественно возникают в классификации Танно связных почти контактных метрических многообразий, чья группа автоморфизмов имеет максимальную размерность [36]. Известны примеры структур Кенмоцу на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (-1). Такие структуры получаются с помощью конструкции перекошенного (warped) произведения CnxfR в смысле Бишопа и О'Нейла [17] комплексного евклидова пространства и вещественной прямой, где f(t)=cel [26], с - ненулевая постоянная.

Кенмоцу доказал [26], что всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также всякое локально симметрическое многообразие Кенмоцу имеет постоянную кривизну (-1) и локально эквивалентно произведению CnxfR в смысле Бишопа и О'Нейла. В работе [26] изучается также постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий рассматриваемого типа, доказана одна из основных теорем: многообразие Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны является пространством постоянной отрицательной кривизны (-1). Также Кенмоцу указал свойства г\-эйнштейновых и эйнштейновых многообразий Кенмоцу, изучал инвариантные подмногообразия и их локальное строение.

Позднее Синха и Шриваштава [34], [35] изучали многообразия Кенмоцу постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. В их работах указываются свойства тензора Риччи и тензора проективной кривизны таких многообразий, изучаются так называемые полуинвариантные подмногообразия многообразий Кенмоцу.

Кобаяши Минору в работе [28] определяет и исследует свойства контактных нормальных подмногообразий и контактных родовых нормальных подмногообразий в многообразиях Кенмоцу.

В.Ф. Кириченко в работе [10] дает исчерпывающее описание рассматриваемых нами многообразий. В частности, здесь исследуется локальное строение многообразий Кенмоцу. Остановимся подробнее на результатах этой работы. Автор доказал, что если произвести определенное локально конформное преобразование а структуры Кенмоцу, то преобразованная почти контактная метрическая структура будет являться косимплектической. И обратно, если произвести определенное локально конформное преобразование р косимплектической структуры, то преобразованная почти контактная метрическая структура будет характеризоваться тождеством, определяющим структуру Кенмоцу. Построенное преобразование а (и обратное к нему преобразование р) является конциркулярным и называется каноническим кон-циркулярным преобразованием структуры Кенмоцу. Таким образом, класс многообразий Кенмоцу совпадает с классом почти контактных метрических многообразий, получаемых из косимплектических многообразий каноническим конциркулярным преобразованием косимплектической структуры. Также в этой работе доказывается, что многообразие Кенмоцу является пространством постоянной кривизны (-1) тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию CnxR, снабженному канонической косимплектической структурой. Не существует многообразий Кенмоцу постоянной кривизны, отличной от (-1). Получена полная классификация многообразий Кенмоцу точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. А именно, доказана следующая теорема: Многообразие Кенмоцу M2n+1 является многообразием точечно постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно одному из следующих многообразий: 1) CPnxR; 2) CnxR; 3) CH"xR, снабженных канонической косимплектической структурой. При этом оно является многообразием глобально постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны тогда и только тогда, когда оно является многообразием постоянной кривизны (-1), то есть только во втором случае.

Из приведенного обзора видно, что многообразия Кенмоцу представляют интерес с точки зрения дифференциальной геометрии. Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению свойств этик многообразий, а также исследованию естественного обобщения многообразий данного типа - так называемых обобщенных многообразий Кенмоцу.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии многообразий Кенмоцу и их обобщений.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1. Получить структурные уравнения многообразий Кенмоцу и на их основе вычислить выражения классических тензоров этих многообразий в А-репере.

2. Исследовать геометрический смысл обращения в нуль основных конформных инвариантов многообразий Кенмоцу.

3. Изучить геометрию обобщенных многообразий Кенмоцу, выделить их частные случаи (так называемые специальные обобщенные многообразия Кенмоцу) и исследовать их свойства.

Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим основные из них:

1. Изучен геометрический смысл основных конформных инвариантов многообразий Кенмоцу. Доказано, что для многообразий Кенмоцу размерности больше 3 конформно-инвариантными являются свойства эйнштейновости, либо г|-эйнштейновости этих многообразий.

2. Получен критерий точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны обобщенных многообразий Кенмоцу. Доказано, что обобщенное многообразие Кенмоцу является многообразием постоянной кривизны тогда и только тогда, когда оно является многообразием Кенмоцу постоянной кривизны (-1).

3. Выделены два класса обобщенных многообразий Кенмоцу, так называемых специальных обобщенных многообразий Кенмоцу I и II рода.

4. Получены критерии точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны специальных обобщенных многообразий Кенмоцу, а также критерий глобального постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий этого типа.

5. Исследованы свойства кривизны специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода, в частности, свойства С-паракелеровых специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода; доказано, что многообразия этого типа являются многообразиями класса RK.

6. Изучено локальное строение специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода. Получена классификация специальных обобщенных многообразий Кенмоцу II рода точечнопостоянной Ф-голоморфной секционной кривизны.

Результаты работы получены систематическим использованием метода присоединенных G-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля [30], [3].

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии многообразий Кенмоцу и их обобщений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальной геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф. Кириченко; на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование.», проходившей в г. Ростов-на-Дону с 27 мая по 2 июня 2002 г.

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [38]-[42]. Диссертация состоит из введения, 5 глав, включающих 14 параграфов, и списка литературы. Она изложена на 87 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 42 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. - 704 с.

2. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

3. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1970.

4. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960. - 94 с.

5. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т.8. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977,139-161.

6. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. 4.1. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 142 с.

7. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры: Учеб. пособие. 4.2. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. 110 с.

8. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой// Мат. заметки, т.25, № 2,1981,265~2?8.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М.: Наука, 1981.-416 с.

10. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: Платон, 1997.-216 с.

11. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. литературы, 1953, - 635 с.

12. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1976.

13. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техники. Алгебра, Топология, Геометрия, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974, №11, 153-207.

14. Bishop R.L., O'Neill В. Manifolds of negative curvature // Trans. Amer. Math. Soc., 145, 1969, 1-50.

15. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry // Lect. Notes Math., 1976,509.-146.

16. Blair D.E., Showers D.K. Almost contact manifolds with killing structure tensors. II. //J. Different. Geom., 1974, 9, №4, 577-582.

17. Chern S.-S, Pseudo-groupes continus infinis // Colloq. Internat. Centre nat. Rech. scient. 52, Strasbourg, 1953, Paris, 1953, 119-136.

18. Chinea D., Marrero J.C. Conformal changes of almost cosymplectic manifolds // Demonstratio Mathematica, v. XXV, №3, 1992, 641-656.

19. Goldberg S., Yano K. Integrability of almost cosymplectic structures // Pacif. J. Math., 1969, 31, №2, 373-382.

20. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J., 1976, v.28, №4, 601-612.

21. Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Math., 1959, 69, №2, 421-450.25.1shihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasakian space form // Kodai Math. J., 1979, v.2, №2, 171-186.

22. Kenmotsu К. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J., 24, 1972, 93-103.

23. Kiritchenko V.F. Sur la geometrie des varietes approximativement cosymplectiques// C.r. Acad, sci., ser. 1, Paris, 295, 1982, 673-676.

24. Kobayashi M. Submanifolds in Kenmotsu manifolds // Rev. Math. Univ. completense. Madrid, 1991, 4, №1, 73-95.

25. Kobayashi S. Principal fibre bundles with 1-dimensional toroidal group. Tohoku Math. J., 1956, №1, 29-45.

26. Koszul J.L. Varietes Kohleriennces // Notes, Sao-Paolo, 1957.31 .Ogine R. On fibering of almost contact manifolds // Kodai Math. Semin. Repts., 1965, 17, №1,53-62.

27. Rizza G.B. Varieta parakahleriane // Ann. Math. Pure and Appl., 1974, v.98, №4, 47-61.

28. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. I // Tohoku Math. J., 1960, 12, №3, 459476.

29. Sinha B.B, Srivastava A.K. Curvatures on Kenmotsu manifolds // Indian J. Pure and Appl. Math., 1991, 22, №1, 23-28.

30. Sinha B.B, Srivastava A.K. Semi-invariant submanifolds of a Kenmotsu manifold with constant ф-holomorphic sectional curvature II Indian J. Pure and Appl. Math, 1992, 23, №11, 783-789.

31. Таппо S. The automorphism groups of almost contact Riemannian manifolds. // Tohoku Math. J., 21, 1969, 21-38.

32. Yano K. Concircular geometry, I-IV. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 16, 1940, 195200, 354-360, 442-448, 505-511.

33. Умнова C.B. О геометрии обобщенных многообразий Кенмоцу // МПГУ, М., 2002, Деп. в ВИНИТИ 17.10.02, № 1767-В2002, 20 с.87

34. Умнова С.В. О конформных инвариантах многообразий Кенмоцу // X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002, 143-144 (тезисы доклада).

35. Умнова С.В. О точечном постоянстве Ф-голоморфной секционной кривизны многообразий Кенмоцу // МПГУ, М., 2002, Деп. в ВИНИТИ 21.03.02, № 514-В2002. 16 с.

36. Umnova S.V. On conformal invariants of Kenmotsu manifolds // Webs and Quasigroups, Tver State Univ., 2002, 155-160.

37. Умнова С.В. О дифференциальной геометрии обобщенных многообразий Кенмоцу // Научные труды МПГУ. Серия: Естеств. науки, М.: (в печати).