Геометрия главных T1-расслоений над нечетномерной базой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Почти эрмитовы структуры.

1.2 Почти контактные структуры.

2 Связь почти эрмитовой и почти контактной структур

2.1 Структурные уравнения главного Т

-расслоения.

2.2 Компоненты тензора Римана-Кристоффеля.

2.3 Тензор Риччи и скалярная кривизна.

2.4 Ковариантное дифференцирование.

3 Каноническое главное Т1 -расслоение

4 Главные Т1-расслоения над некоторыми АС многообразиями.

4.1 Главные Т1-расслоения над нормальным многообразиями

4.2 Главные Т^-расслоения над К"-контактны ми многообразиями

4.3 Главные Т^-расслоения над многообразиями Кенмоцу

4.4 Главные Т^-расслоения над слабо косимплектическими многообразиями

Главные расслоения с компактной абелевой структурной группой (короче, главные тороидальные расслоения) представляют интерес как с точки зрения дифференциальной геометрии, так и с точки зрения теоретической физики. Главные тороидальные расслоения являются одним из базовых объектов для построения новых примеров таких дифференциально-геометрических структур, как эйнштейновы метрики, почти эрмитовы и почти контактные структуры. В данной работе исследуются главные тороидальные расслоения над почти контактными м ногообразиями.

Почти контактные и почти контактные метрические структуры являются одними из наиболее содержательных дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением контактных структур, имеющих приложения в классической и квантовой механике. Изучение почти контактных структур началось в 1953 году в работах Чженя. Он, в частности, показал [17], что если М — дифференцируемое многообразие размерности 2п + 1 с фиксированной контактной формой г] : т] А (с1г])п ф 0, то оно допускает (2-структуру со структурной группой {1} (8) и(п). Позднее многообразия, допускающие такую ^-структуру, Дж.Грей назвал почти контактными многообразиями. Им же было введено понятие почти контактного метрического многообразия [221В 1960 году Сасаки в работе [35] показал, что многообразие, допускающее ^-структуру со структурной группой {1}®и(п), несет внутренним образом определенную тройку тензоров {Ф, 77}, обладающих свойствами: г)(£) = 1; 7] о Ф = 0; Ф2 = + т) ® £.

В своих работах Сасаки доказал, что на таком многообразии М всегда существует положительно-определенная метрика д = (•, •), такая что г!{Х) = <£, X), (ФХ, ФУ) = (X, У) - г1{Х)п(У), дополняющая почти контактную {Ф, ^-структуру до метрической.

Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались также в работах Блэра[16], Танно[39], Исихары[24] и других геометров. Блэром, в частности, был изучен вопрос интегрируемости контактного распределения контактного многообразия. Ему удалось доказать [14], что через каждую точку контактного многообразия проходят интегральные многообразия контактного распределения размерности, не превышающей половины размерности контактного распределения. Геометрия таких многообразий изучалась лишь в случае сасакиевых пространственных форм, то есть многообразий Сасаки постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны. Напомним[13], что почти контактное метрическое многообразие называется многообразием Сасаки, если для него справедливо соотношение:

Ух(Ф)У = (.X, У) £ - Т](У)Х, X, У е Х(М).

Блэр, в частности, доказал [14], что если почти контактное метрическое многообразие является нечетномерной сферой 52п+1, снабженной канонической сасакиевой структурой, то интегральные многообразия контактного распределения, будучи вложенными в ¿>2п+1 как вполне геодезические подмногообразия, представляют собой области сферы 5".

Вопросом об интегрируемости контактного распределения почти контактной метрической структуры и геометрическим свойствам его интегральных многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Борисовского И.П. [3]. В этой работе авторы доказали, что через каждую точку произвольного контактного многообразия М2п+1 в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит интегральное многообразие контактного распределения (подмногообразие Лежандра). Такое свойство контактного многообразия авторы назвали полуинтегрируемостью его контактного распределения. Более того, в этой работе показано, что если М2п+1 — /Г-контактное многообразие, п > 2, то в любом п-мерном вполне вещественном направлении проходит единственное вполне геодезическое подмногообразие Лежандра тогда и только тогда, когда М — сасакиева пространственная форма. Это свойство авторами названо геодезической интегрируемостью контактного распределения, а вполне геодезические подмногообразия Лежандра названы подмногообразиями Блэра [3]. Эти результаты позволили авторам доказать, что горизонтальное распределение расслоения Бутби-Вана над обобщенным многообразием Ходжа положительной голоморфной секционной кривизны геодезически интегрируемо тогда и только тогда, когда база расслоения локально голоморфно изометрична комплексному проективному пространству, а само расслоение с точностью до переномировки метрики типового слоя локально изоморфно классическому расслоению Хопфа [3].

В 1966 г. Блэр в работе [15] ввел понятие квази-сасакиевых структур, которые составляют обширный класс почти контактных метрических структур. Впоследствии такие структуры появились в работах Тайно [38], Канемаки [28], Янамато [44] и других геометров. Было показано, что произведение многообразия Сасаки на келерово многообразие является квази-сасакиевым многообразием. Блэр [15] и Канемаки [28] получили некоторые достаточные условия, при которых квази-сасакиево многообразие локально эквивалентно такому произведению. Далее, Кириченко В.Ф. и Рустанов А.Р. в работе [4], изучая полную группу структурных уравнений, дали исчерпывающий перечень условий, при которых многообразия удовлетворяет последнему условию. При этом были выделены квази-сасакиевы многообразия класса СИ\ . Авторы дали полную классификацию (с точностью до /^-преобразования метрики) многообразий такого класса постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны и квази-сасакиевых многообразий этого класса, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных (2п+1)-плоскостей, существенно обобщив тем самым результаты Танно, касающиеся классификации сасакиевых пространственных форм [38].

В 1972 г. в работе [27] был введен в рассмотрение класс почти контактных метрических структур, характеризующихся тождеством: {ФХ, т](У)ФХ, X, У е Х{М).

Позже эти структуры были названы структурами Кенмоцу. Кенмоцу показал [27],что эти структуры наделены рядом замечательных свойств, в частности, они нормальны и интегрируемы, но не являются контактными и, тем более, сасакиевыми.

Почти контактная метрическая структура, например, внутренним образом возникает на ориентируемой гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой [39].

В 1961 году Сасаки и Хатакеяма [36] рассмотрели многообразие МхШ, где М — многообразие с заданной на нем почти контактной структурой {Ф,£, г)}, К — вещественная прямая. Ими было доказано, что на таком произведении определяется почти комплексная структура Авторы рассмотрели тензор Нейенхейса этой структуры Л^с, обозначив координату на К через Х°°, тогда А,В,С= 1, 2п + 1, оо. Величины Щк^у^Щоо и -^ооя гДе *'» 3, & = 1,2п + 1, определяют четыре тензора на М. Сасаки и Хатакеяма изучили свойства этих тензоров. В частности, они показали, что -Л^ = £^Ф и = £¿77, где £ есть производная Ли тензорного поля в направлении вектора. Причем если = 0, то и остальные три тензора равны нулю. Также они доказали, что на М с {Ф, ^-структурой всегда существует аффинная связность, для которой 77, Ф, и £ параллельны, а на многообразии с {Ф, г], д}- структурой эту связность можно выбрать так, чтобы и поле тензора д было параллельным.

В 1963 году Таширо [37] рассмотрел почти контактное метрическое (2п 4- 1)-мерное многообразие М со структурой {Ф,£, 7],д}. Он, как и Сасаки, доказал, что на декартовом произведении МхМ естественным образом определяется почти комплексная структура 3 и наряду с этим вМхМ задается метрический тензор

С: С = (СЛ„) = е-и ° V где д^ — компоненты метрического тензора структуры.

В результате М х I становится почти эрмитовым многообразием. Многообразие М отождествляется с гиперповерхностью М х {0} , вполне омбилической в М х К. Таширо для тензора 3 в М х Е построил тензор Нейенхейса. В соответствии с этим МхЕ может быть

1) полуэрмитовым;

2) эрмитовым;

3) почти полукелеровым;

4) О*-многообразием;

5) почти келеровым; 7) келеровым.

6) /^-многообразием;

Согласно этому многообразие М он назвал:

1) полугрейевым;

2) грейевым;

3) почти полусасакиевым;

4) контактным 0*-многообразием;

5) почти сасакиевым;

7) сасакиевым.

6) контактным .АГ-многообразием;

Автор исследовал тензорные признаки и геометрические свойства этих многообразий, особое внимание уделяя многообразиям Сасаки.

Этими вопросами также занимались Хашимото и Ичинохе. Они изучали свойства тензора кривизны пространства М х К, порожденного конформно плоским многообразием М.

Грей А. и Хервелла [23] в 1980 году классифицировали почти эрмитовы структуры. Естественно, перед геометрами возникла задача о систематизации почти контактных метрических структур на многообразии М в соответствии с классификацией эрмитовых структур, индуцированных на многообразии М хЕ. Данной проблемой занимались такие геометры, как Накаяма [33], Канемаки [26], Чинея и Марреро [19]. Ими получена неполная классификация почти контактных метрических структур. Например, классификацию пространств М2п+1 Накаяма проводит следующим образом. Он находит необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять различные геометрические объекты пространства М, такие как Ф,£, г],д и объекты, полученные при их первом продолжении, тензор Нейенхейса и т.п. для того, чтобы пространство Мх! принадлежало к одному из классов почти эрмитовых многообразий. На этом пути автор находит 9 подклассов пространств с {Ф, 77, ^-структурой. В частности, Накаямой доказан ставший уже классическим результат: нормальность почти контактной метрической структуры на многообразии М равносильна тому, что структура на многообразии МхК эрмитова. Этот результат также был получен немного позже Накашима, Ватанабе [32].

Чинея и Марреро [19] для классификации почти контактных метрических структур изучали представление группы и(п) х {1} на специальном пространстве интерпретируемом как пространство тензоров специального вида типа (0,3) над 2п + 1-мерном вещественном линейном пространством V, которые удовлетворяют определенным свойствам симметрии. Авторы нашли разложение №(У) на шесть подпространств, инвариантных относительно действия группы 1/(п) х {1}. Это дало возможность сопоставить каждому инвариантному подпространству класс почти контактных метрических многообразий. Для примера, подпространству {0} сопоставляется класс нормальных многообразий, который объединяет классы а-Кенмоцу, а-сасакиевых, транссасакиевых, квази-сасакиевых многообразий. Найдены 6 квадратичных инвариантов подпространства N(1^) и шесть классов почти контактных метрических структур N1 — Л^б- Указаны их характеристики.

Поскольку между почти контактной метрической структурой на многообразии М и почти эрмитовой структурой на многообразии МхЖ имеется тесная взаимосвязь, то ее изучение позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Чинея в 1985 году рассмотрел класс квазн-К- сасакиевых структур. Это — почти контактная метрическая структура {Ф, г), д} на многообразии М, у которой естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии Мх1 является квазикелеровой [18]. Это равносильно справедливости следующего тождества на М

V* (Ф) У + Уф* (Ф) (ФУ) = 2д (X, У)£ + т] (У) - 2т? (У) X, где V — риманова связность метрики д на многообразии М.

Чинея изучал подмногообразия N квази-^-сасакиева многообразия, инвариантные относительно структурного оператора Ф. Им доказано, что N в этом случае является квази-/Г-сасакиевым относительно естественно индуцированной структуры. Он также доказал минимальность такого подмногообразия, нашел условия его вполне геодезичности в терминах ковариантной производной второй фундаментальной формы вложения.

Обинья [34] рассматривал почти контактные метрические структуры на многообразии М, у которых естественно ассоциированная ей почти эрмитова структура на многообразии Мх1 принадлежит классам 4 и УУгФ И>4 в классификации Грея — Хервеллы [23]. Такие структуры были названы транссасакиевыми и почти транссасакиевыми, соответственно.

В последнее время эти структуры широко изучаются. Чинея, Пере-стело [20], например, исследовали инвариантные подмногообразия транс-сасакиевых многообразий. Марреро [31] доказал, что {ф, £,т],д} — транс-сасакиева структура тогда, и только тогда, когда {ф, т],д} нормальна и (К1 = 2аг} А О, Лт) = ДО, где — фундаментальная форма, а = сИу£/(2п); /3 = Ш(£)/(2п). Он также изучал подклассы класса транссасакиевых многообразий и нашел аналитические условия, при выполнении которых транссасакиево многообразие принадлежит к одному из этих подклассов. Марреро изучал локальное строение этих транссасакиевых многообразий М. При этом М представляет собой локальное произведение (а, Ь) х V, где (а, Ь) — открытый интервал, V — келерово многообразие, dim V = 2п.

Изучению транссасакиевых и почти транссасакиевых многообразий посвящена работа Кириченко В.Ф. и Родиной Е.В. [2]. В этой работе был разработан аппарат исследования связи между геометриями почти контактного метрического многообразия М и многообразия Mxl, изучение которой сводится к изучению связи между структурными объектами G-структур, присоединенных к данным многообразиям- В частности, авторами была получена исчерпывающее описание класса транссасакиевых структур, полная классификация почти транссасакиевых многообразий постоянной Ф-голоморфной секционной кривизны с неинтегриру-емой структурой, а также полная классификация транссасакиевых многообразий с неинтегрируемой структурой, удовлетворяющих аксиоме Ф-голоморфных плоскостей.

Существенным обобщением рассмотренной выше конструкции являются главные Т1 -расслоения над почти контактным многообразием М. Изучению главных Т1 -расслоений над гладким многообразием была посвящена работа Кобаяси [30]. Он показал, что во множестве классов эквивалентности всех главных Т^-расслоений V(M) над римановым многообразием М можно ввести структуру аддитивной абелевой группы. Кобаяси доказал, что существует гомоморфизм х группы V(M) на группу двумерных целочисленных когомологий Н2(М, Z), который в случае односвязности многообразия М будет мономорфизмом, а значит, и изоморфизмом. Следовательно, характеристический класс расслоения с учетом классического изоморфизма де-Рама есть в точности элемент группы когомологий де-Рама, определенный некоторой замкнутой целочисленной 2-формой. Нулевому элементу группы когомологий соответствует класс расслоений, эквивалентных тривиальному.

Примером нетривиального главного Т^-расслоения является расслоение Хопфа 7Г : S2n+1 —> РСП. Геометрии тривиальных и нетривиальных главных Т^-расслоений (несмотря на их локальную тривиальность) могут существенным образом отличаться друг от друга. В работе [21] доказано, что пространство тривиального главного ^-расслоения екх 0 0 X \

0 е-кх 0 У

0 0 1 г

V 0 0 0 1 /

7г: Мъ(к) х 51 Мг(к) (где М3(к) есть разрешимая группа Ли, задаваемая матрицами вида

М3(к) = < х,у,г 6 К, Л € К, к ф 0) симплектично, но не допускает комплексной структуры. С другой стороны, авторами построен пример нетривиального главного ^-расслоения 7г : £ М3(к), которое является комплексным многообразием, но не допускает симплектических форм.

Хорошо известны [14] так называемые расслоения Бутби-Вана — главные Т1 -расслоения над симплектическими многообразиями, характеристический класс которых порожден симплектической формой. Частным случаем расслоений Бутби-Вана является расслоение над многообразием Ходжа, в котором в качестве симплектической формы выступает фундаментальная форма структуры.

Интересен случай, когда база главного Т1-расслоения является келе-ровым многообразием.

В работе [41] Ватанабэ изучал главное -расслоение над локально-симметрическими келеровыми многообразиями. В частности, он показал что тотальное пространство расслоений Бутби-Вана над локально-симметрическим многообразием Ходжа локально однородно и объемно симметрично.

М.Ван и Циллер в работе [40] исследовали случай, когда на пространстве главного

Т1 -расслоения индуцируется метрика Эйнштейна. Ими установлено, что если = 1 ,.,т являются многообразиями

Келера-Эйнштейна с положительным первым классом Чженя С\(М{), С\{Мг) = где $ е - неделимый класс в Я2(Мг-,Щ и Р — тотальное пространство главного Т^-расслоения над М = М\ х. х Мт, такое, что характеристические классы в группе когомологий Н2(М,Ж) являются целочисленными линейными комбинациями элементов огх,., ат, то Р несет метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда фундаментальная группа щ(Р) конечна. Как следствие этого результата авторами доказано, что любое главное Т^-расслоение над М\ х . х Мт, эйлеров класс которого является целочисленной линейной комбинацией элементов с*1,., ат, несет эйнштейнову метрику положительной скалярной кривизны. В частности, главное

Т1

-расслоение над РС1 х РС2 и главное Т1 -расслоение над РС1 х РС1 х РС1 несут метрики Эйнштейна. Эти метрики были независимо открыты физиками Д'Аурия , Костеллани, Фре, ван Нейенхолозеном в попытке сконструировать теорию супергравитации Калуцы-Клейна в размерности 11.

Пример, когда тп = 1, был построен Кобаяси [30]. В этом случае получена метрика Эйнштейна на тотальном пространстве главного Т1-расслоения над многообразием Келера-Эйнштейна с С\ > 0.

Дальнейшее исследование главных Т1 -расслоений продолжил В.Ф. Кириченко [?]. Им, в частности, показано, что с каждым почти эрмитовым многообразием внутренним образом связано главное Т1-расслоение над ним. Это позволяет строить новые модели многообразий, несущих ту или иную почти контактную метрическую структуру.

Из приведенного обзора видно, что главные Т1 -расслоения представляют интерес не только с точки зрения дифференциальной геометрии, поскольку служат основой для построения новых примеров дифференциально-геометрических структур, но и с точки зрения теоретической физики. Однако многие проблемы геометрии главных Т1-расслоений остаются еще не изученными, исследованию некоторых из них посвящена наша работа.

Главные Т1-расслоения над четномерной базой исследуются очень активно в связи с соображениями эрмитовой геометрии. В тоже время главные Т1-расслоения над нечетномерной базой представляют неменьший интерес в связи с тем, что почти контактная структура на базе канонически порождает почти эрмитову структуру в пространстве расслоения. Более того, эта конструкция по существу обобщает упомянутую выше конструкцию Сасаки и Хатакеямы почти эрмитовой структуры на многообразии МхЁ. Тем не менее этот аспект геометрии главных тороидальных расслоений исследователями практически не рассматривался в печати. Основной целью настоящей работы было восполнить этот пробел.

Цель диссертационной работы состоит в изучении некоторых аспектов геометрии главных Т1 -расслоений над нечетномерным многообразием с заданной на нем почти контактной структурой.

Основными задачами нашего исследования являются следующие:

1) Получить структурные уравнения почти эрмитовой структуры, индуцированной на пространстве расслоения окружностей над почти контактным метрическим многообразием.

2) Исследовать геометрию главных Г1 -расслоений, характеристические классы которых порождены обобщенной формой Риччи почти контактной метрической структуры.

3) Выяснить некоторые условия, при которых в пространстве главного Т1-расслоения над исходным почти контактным многообразием индуцируется та или иная почти эрмитова метрика.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них:

1) Получены структурные уравнения почти эрмитовой структуры, индуцированной на пространстве расслоения окружностей над почти контактным метрическим многообразием.

2) Вычислена в явном виде обобщенная форма Риччи почти контактного многообразия.

3) Изучены свойства тотального пространства главного Т1-расслоения над нормальными многообразиями, многообразиями Кенмо-цу, слабо косимплектическими и .ЙТ-контактными многообразиями.

Результаты работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана — метода присоединенных С-структур в сочетании с методом инвариантного исчисления Кошуля.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии главных Т1 -расслоений над почти контактными многообразиями. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материала для спецкурсов по дифференциальной геометрии и математической физике.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Ф.Кириченко, на научном семинаре кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета под руководством профессора В.И. Янчевского.

Основное содержание диссертации отражено в 2 публикациях. Диссертация состоит из введения, 4 глав, включающих 10 параграфов и списка литературы. Она изложена на 81 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 44 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

1. Банару М.Б. Новая характеризация классов Л'Н-структуры Грея-Хервеллы //Смоленский пединститут. Деп. в ВИНИТИ 25.11.1992 Ш334-В92-35 с.

2. Кириченко В.Ф. Родина Е.В. О геометрии транссасакиевых и почти трансасакиевых многообразий// Фундаментальная и прикладная математика 1997 г., т. 3, № 3, с. 837-846.

3. Кириченко В.Ф. Борисовский И.П. Интегральные многообразия контактных распределений// Математический сборник МГУ, 1998 г., т. 189, № 12, С. 119-134.

4. Кириченко В.Ф. Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази- сасакиевых многообразий// Математический сборник, 2002, том 193, № 8, С. 71-100.

5. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия главных тороидальных расслоений // Фундаментальная и прикладная математика, 2000, том 6, № 4, С. 1095-1120.

6. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры.— Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001 г., т. 1,2.

7. Кириченко В.Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий //Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, 1986, т. 18, С. 25-71.

8. Кириченко В.Ф. Почти косимплектические многообразия, удовлетворяющие аксиоме Ф-голоморфных плоскостей// Докл. АН СССР, 1983, 273, № 2, С. 280-284 (РЖМат, 1984, ЗА809)

9. Кириченко В.Ф. О геометрии многообразий Кенмоцу// Доклады РАН, 2001, т. 380, № 5, С. 585-587.

10. Кобаяши Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии.— М.: Наука, 1981.

11. Родина Е.В. О геометрии линейных расширений почти контактных многообразий // МПГУ им. В.И. Ленина., М., 1996, с.25 деп. в ВИНИТИ 26.06.96 N2110-B96.

12. Умнова C.B. О геометрии обобщенных многообразий Кенмоцу// МПГУ, М., 2002, Деп. в ВИНИТИ 17.10.02, № 1767-В2002, 20 с.

13. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях// Итоги науки и техники. Алгебра, топология, геометрия, М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974 г., № И, С. 153-207.

14. Blair D.E. Contact manifolds in Riemmannian geometry // Lect. Notes Math., 1976, 509, 146 p.

15. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian structures// J.Differential Geom. 1967. V. 1. P. 331-345.

16. Blair D.E. Two remarks on contact vetric structures // Tôhoku Math. J., 1977, 29, № 3, 319-324 p.

17. Chern S.S. Pseudo-groupes continus infinis// Colloque de Geometrie Différentielle, Strasbourg, 1953, p. 119-136.

18. Chinea D. Invariant submanifolds of a quasi-if-sasakian manifold// Riv. math. Univ. Parma, 1985, 11, 25-29.

19. Chinea D., Marrero J.C. Classification of almost contact metric structures// Rev.roum de math, pures et appl., 1992, 37, JV» 3, p.199-211.

20. Chinea D., Perestelo P.S. Invariant submanifolds of transsasakian manifolds//Publ.math., 1991, 38, № 1-2, p.103-109.

21. Cordero L., De Andres L.,Fernandez M., Mencia J. Examples of four-dimensional compact locally conformai Kâhler solvmanifolds// Geometriae Dedicata, V29, № 2, 1989, p. 227-232.

22. Gray J. Contact structures// Abst. Short comuns Internat. Congress Math, in Edinbyrg. Edinburgh, Univ. Edinburgh, 1958, p. 113.

23. Gray A., Hervella L. The 16 classes of AH- manifolds and their linear invariants// Ann. mat. pura ed appl., 1980, 123 p.35-58.

24. Ichihara I. Anti-invariant submanifolds of a Sasaki space form// Kodai Match. J. 1979. V. 2. P. 171-186.

25. Kobayashi S. Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group// Tôhoku Math. J. V. 8. P.29-45.

26. Kanemaki S. On quasisasakian manifolds// Banach Cent. Publ. 14-th Semester Stefan Banach. Int.Math.Cent.Sept. 17-15 Dec.1979, v. 12, warszawa, 1984, p.95-125.

27. Kenmotsu K. A class of almost contact Riemannian manifolds// Tôhoku Math. J. 24 1972, p. 93-103.

28. Kanemaki Sh. Quasi-Sasakian manifolds// Tôhoku Math. J.(2). 1977. V. 298. P. 227-233.

29. Kiritchenko V.F. Sur la géométrie des variétés approximativement cosymplectiques// C.r.Acad. sci., 1982, sér.l, 295, № 12, 673-676 (P>K-MaT, 1983, 6A695)

30. Kobayashi S. Principal fibre bundle with the 1-dimensional toroidal group// Tôhoku Math. J. 8, 1956, p. 29-45.

31. Marrero J. Local structure of transsasakian manifolds// Ann.math.pure ed appl., 1992, 162, p.77-86.

32. Nakashima Y., Watanabe Y. Some constructions of almost Hermitian and quaternion metric structures// Math.J.Toyama Univ., 1990, 13, p.119-138.

33. Sh. Nakayama. On a classification of a almost contact metric structure// Tensor, 1968, t.19, № 1.

34. J.A. Oubina. New classes of almost contact metric structures// J. Publlicationes math. t.32,№ 3-4, 1985, p. 187-193.

35. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures with are closely related to almost contact structures 1// Tôhoku Math. J., 1960, 12, № 3, p. 459-476.

36. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure// Tohoku Math. J., 1961, 13, № 2, p.281-294.

37. Tashiro J. On contact structures of hypersurfaces in almost complex manifolds// Tohôku Math. 1963, v. 15, I,II.

38. Tanno S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p+l// J.Differential Geom. 1971. V. 5. P. 317-324.

39. Tanno S. Sasakian manifolds with constant <É>-holomorphic sectional curvature// Tôhoku. Math. J., 1969, 21, № 3,p. 501-507.

40. Wang M.Y., Ziller W. Einstein metrics on principal torus bundles//J.Differen. Geometry, V.31, № 1, 1990,p. 215-248.

41. Watanabe Y. Riemannian metrics on principal circle bundles over locally symmetric Kâhlerian manifolds// Kodai Math. J. 5, 1982, 111-121.

42. Yanamoto H. Quasi-Sasakian hypersurfaces in almost Hermitian manifolds// Res. Rep. Nagaoka Tech. College. 1969. V. 5. № 2. P. 149158.

43. Савинов A.B. Главное тороидальное расслоение над нечетномерной базой//Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. 2003 г.

44. Савинов A.B. Каноническое тороидальное расслоение над нечетно-мерной базой// Вестник СамГУ, Естественнонаучная серия, 2003 г., ДО 2(28). С.57-78