Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка с синектической связностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Касательное расслоение второго порядка. Основные определения и факты

§1. Касательное расслоение второго порядка.

§2. Лифты тензорных полей с Мп в Т2(МП)

§3. Коммутаторы некоторых типов векторных полей, заданных на Т2(МП).

§4. Действие продолжений тензорных полей на функции специального вида в Т2{МП).

§5. Синектический и полный лифты линейной связности.

Глава 2. Инфинитезимальные аффинные преобразования пространства (T2(MJ,V*)

§6. Каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2(МП) с синектической связностью наУ*.

§7. Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Т (M„),V ).

Глава 3. Инфинитезимальные аффинные преобразования специальных видов

§8. Инфинитезимальные аффинные преобразования касательного расслоения второго порядка с синектической связностью над проективно-евклидовым пространством.

§9. Инфинитезимальные аффинные преобразования пространства (Г2(МДУ ) над максимально подвижным пространством.

Глава 4. Инфинитезимальные проективные преобразования касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта

§10. Каноническое разложение произвольного инфинитезимального проективного преобразования пространства (Т2(МП),Vе).

Геометрия касательного расслоения над дифференцируемым многообразием Мп является одним из интенсивно развивающихся разделов теории расслоенных пространств. Впервые расслоения рг -струй высших порядков, к числу которых принадлежат касательные расслоения высших порядков, были введены С. Эресманом [40,41]. Позже А. Вейлем [65] было замечено, что эти расслоения могут быть включены в общую теорию расслоения «близких точек» над локальными алгебрами. Использование локальной алгебры позволяет строить лифты тензорных полей и связностей с базового многообразия в расслоение Вейля. Такие построения были приведены в работах Моримото, Коларжа и других ученых. Результаты исследований по расслоениям Вейля над локальными алгебрами были описаны в монографии [51]. Интенсивное изучение касательных расслоений началось в конце 50-х годов прошлого столетия. Эти исследования были в основном посвящены касательным расслоениям первого порядка. Так вышла в свет работа Ш. Сасаки [60], где он определил в касательном расслоении метрику, названную в последствии его именем, рассмотрел ряд вопросов, связанных с изометрией в касательном расслоении, ввел предварительные понятия вертикального и полного лифтов векторных и ковекторных полей с базисного многообразия в его касательное расслоение.

Дальнейшее развитие теория касательных расслоений получила в работах К. Яно [66-71], А. Леджер [70], Ш. Кобаяси [68,69], Ш. Ишихара [66,67], где была построена и изучена линейная связность в касательном расслоении, полный, вертикальный и горизонтальный лифты векторных и тензорных полей в касательном расслоении.

Геометрии касательных расслоений 1-го порядка посвящены работы отечественных ученых А.П. Широкова, Н.В. Талантовой, В.Л. Спесивых,

В.В. Шурыгина, Б.Н. Шапукова и их учеников. Значительный вклад в эту область внесен Ф.И. Каганом.

Моримото А. [57] подробно изложил идеи А. Вейля применительно к лифтам тензорных полей и связностей в расслоения «близких точек». Им же в работах [56-58] рассмотрены на касательном расслоении Тг(Мп) порядка г некоторые классические структуры: почти комплексную, симплектическую, псевдориманову. Построены продолжения тензорных полей и связностей с многообразия Мп на его касательные расслоения Т(Мп), Т2 (Мп) 5 обобщая их на случай касательного расслоения

Тг (Мп ) порядка г.

B. В. Вагнером [3] была установлена связь локальных алгебр и их групп автоморфизмов с теорией касательных пространств высших порядков и дифференциально-геометрических объектов высших порядков.

К. Яно, Ш. Исихара [67] подвели итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года, в частности, изучали продолжения тензорных полей, связностей и G-структур в касательное расслоение высшего порядка.

C. Ишикава [43] получил результаты об инфинитезимальных изометриях и аффинных коллинеациях в касательных расслоениях 2-го порядка Т\Мп) 5 Где Мп - риманово многообразие или многообразие аффинной связности.

Построение теории голономных и полуголономных касательных расслоений р-то порядка с помощью расслоений голономных и полуголономных р-кореперов осуществлено в статье Ю. Г. Лумисте [17].

Л. Е. Евтушик и В. В. Третьяков [6, 25] использовали расслоение р-скоростей для построения нелинейной р-связности, ассоциированной с системой обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка. Систематический анализ работ по геометрии дифференциальных уравнений, показывающий роль расслоений /^-скоростей в этой теории, произведен в обзоре В. И. Близникаса и 3. Ю. Лупейкиса [1,2].

М. О. Рахула [20] указал подход к теории связностей высших порядков с помощью цепочки последовательных касательных расслоений исходного многообразия.

Расслоения 2-го порядка исследовала Кац [37,3 В], уделив особое внимание связностям и пульверизациям в Т2 (Мп) .

A. П. Широковым [27] были обнаружены структуры многообразий над алгебрами на касательных расслоениях и расслоениях А-близких точек в смысле А. Вейля, что позволило упростить построение лифтов тензорных полей и линейных связностей с базовых многообразий на указанные расслоения (К. Яно и Ш. Кобаяси [68], А. Моримото [56], Р. Баумана [34], JI. Паттерсона [59]).

B. В. Вишневским [4, 5] были введены полукасательные расслоения k-го порядка, обобщающее понятие касательного расслоения порядка к и изучались структуры многообразий над алгебрами плюральных чисел, возникающие на этих расслоениях.

Изучению различных структур касательных расслоений посвящают свои работы А. П. Широков, В. В. Вишневский, В. В. Шурыгин [29]. Они рассматривали вопросы о лифтах в Tr (Мй)5 строят синектическое расширение полного лифта аффинной связности из мп в Г{МП).

Р. Бауман [36] исследовал расслоение касательных векторов порядка г и расслоение r-струй диффеоморфизмов окрестности нуля в многообразие Мп ? показывая, что расслоение касательных векторов порядка г может рассматриваться как расслоение, ассоциированное с главным расслоением . r-струй диффеоморфизмов.

Р. Мирон, Г. Атанасиу [54] изложили локальную теорию касательных расслоений высших порядков в следующем плане: локальные координаты и их преобразование, вертикальное распределение и его флаговая структура, поля Лиувилля, k-касательная аффинорная структура, нелинейная связность горизонтального распределения, структура почти произведения, алгебра d-тензорных полей и вполне приводимые линейные связности на тотальном пространстве расслоения, ее тензоры кривизны и кручения.

Работа И. Ганзарзевича и И. Коларжа [44] посвящена расширенным касательным расслоениям порядка г над дифференцируемым многообразием на которых вводятся 4 естественных аффинора.

Горизонтальные поднятия тензорных полей и связностей на касательные расслоения высшего порядка изучены в работе Й. Ганзарзевича и М. Салгадо [45].

К. М. Егиазарян [7] изучал касательное расслоение второго порядка

Т\Мп) многообразия Мп 5 рассматривая его как новое расслоенное пространство с базой Т(Мп).

Способ построения полного поднятия тензорной алгебры с многообразия на многообразие 2-струй с помощью метода репера, адаптированного к некоторому поднятию заданной связности был предложен В. JI. Спесивых [22].

Е. П. Шустова [31, 32] исследовала полный лифт аффинной связности и метрики в касательном расслоении порядка г. Она же, с помощью аффинной связности, установила диффеоморфизм касательного расслоения 3-го порядка в сумму Уитни трех экземпляров касательных расслоений.

Т. В. Капустина [15, 16] рассматривала касательное расслоение Т2{Мп) риманова многообразия Мп и, в частности, изучив в Т2(Мп) свойства так называемой синектической римановой метрики, близкой к метрике полного лифта.

А. Я. Султановым были построены натуральные лифты векторных полей, r-форм из Мп в jтМп [23], лифты функций и тензорных полей из

М. в расслоение Вейля Мп и синектический в смысле А. П. Широкова лифт линейной связности. В результате изучения голоморфных связностей на МпА было установлено, что всякий синектический лифт линейной связности является вещественной реализацией некоторой голоморфной линейной связности на Мп [24].

Теория касательных расслоений высших порядков развивалась в различных направлениях. Так изучалась гармоничность касательных расслоений r-го порядка и исследовались вопросы о гармоничности индуцированных отображений касательных расслоений [64]; рассматривалась структура естественных операторов в смысле Коларжа применительно к случаю касательного расслоения второго порядка [39]; излагалась теория касательных расслоений высшего порядка, рассматривая свойства натуральных атласов этих пространств [49]; изучалось кручение связности касательного расслоения порядка г [52]; было обобщено понятие связности Грифона на касательном расслоении второго порядка [33].

Теория расслоений находит применение в геометрии, теории дифференциальных уравнений, анализе, теории групп. Актуальность работы в этом направлении диктуется как самой логикой развития дифференциальной геометрии, так и многочисленными приложениями теории расслоенных пространств.

В настоящее время геометрия касательного расслоения изучается в различных направлениях. Значительное место занимает вопрос о касательных расслоениях дифференцируемых многообразий и об инфинитезимальных преобразованиях касательных расслоений над дифференцируемым многообразием с заданной связностью.

Настоящая диссертация по своей теме относится к теории касательных расслоений дифференцируемых многообразий.

Основная цель работы. Нахождение канонического разложения произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2{Мп) с синектической связностью V и необходимых и достаточных условий существования этого преобразования.

Метод исследований. Исследования проводятся в тензорной форме, локально. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса С00. В работе используются обозначения, введенные К. Яно, Ш. Исихара [67].

Научная новизна. В работе впервые получено каноническое разложение произвольного инфинитезимального аффинного преобразования касательного расслоения второго порядка Т2(Мп) с синектической связностью V .

Выяснена структура тезорных полей, входящих в это каноническое разложение.

Найдено каноническое разложение произвольного инфинитезимального проективного преобразования пространства

Т2(Мп) со связностью полного лифта Vе. Получены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования.

Теоретическое значение. Результаты диссертации имеют теоретический характер и являются продолжением исследований, проводившихся при изучении инфинитезимальных преобразований касательного расслоения первого и второго порядков. Они могут быть использованы для дальнейшего развития теории расслоений второго, а так же высших порядков; для чтения спецкурсов и проведения спецсеминаров со студентами и аспирантами.

Диссертация изложена на 111 страницах и состоит из введения, четырех глав, содержащих десять параграфов и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная.

1. Близникас В. И. Геометрия систем дифференциальных уравнений // Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Тезисы докладов. —Минск, 1979. —С. 27.

2. Близникас В. И., Лупейкис 3. Ю. Геометрия дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. — Т. 11. — Москва, 1974. — С. 209 — 259.

3. Вагнер В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков // Тр. семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 10. — МГУ, 1956. —С. 31—88.

4. Вишневский В. В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 20. — Москва, 1988. — С. 35—75.

5. Вишневский В. В. Лифты дифференциально-геометрических структур в полукасательные расслоения высших порядков // Изв. вузов. Математика. — 1995. — №5. — С. 16—24.

6. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю. Г., Остиану Н. М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Проблемы геометрии. — Т. 9. — Москва, 1979. — 247 С.

7. Егиазарян К.М. О структуре аффинных связей и тензорных полей на касательном расслоении высшего порядка // Докл. АН СССР.— 1979.— т.246.— №4.— С.797— 801.

8. Егиазарян К.М. О проектируемости полных лифтов тензорных полей на2 1расслоении TM(TM,^2)// Уч. зап. Ереван, ун-т. Естеств. Н: Ереван, 1982.—№2.—С.14—21.

9. Егоров И.П. Движение в пространствах аффинной связности // Учен, зап. Пенз. пед. ин-та: Пенза, 1965.— С.5—179.

10. Каган Ф.И. К теории лифтов для тензорных полей из многообразия в его касательный пучок // Изв. вузов. Математика. — 1969.— №9.— С.37—48.

11. Каган Ф.И. О некоторых типах аффиннорных структур в касательном пучке дифференцируемого многообразия // Укр. геом. сб.— 1970.— С. 49—68.

12. Каган Ф.И. Римановы метрики в касательном расслоении над римановым многообразием // Изв. вузов. Математика. — 1973.— № 6.—С.42—51.

13. Каган Ф.И. Аффинные связности на касательном расслоении // Изв. вузов. Математика. — 1975.— № 2.— С.31—42.

14. Каган Ф.И. Каноническое разложение проективно-киллинговых и аффинно-киллинговых векторов на касательном расслоении // Матем. Заметки. — 1976.— Т.19.— № 2.—-С. 247— 258.

15. Капустина Т.В. О синектической метрике в касательном расслоении второго порядка риманова пространства // Изв. вузов. Математика. — 1977.

16. Капустина Т.В. Инфинитезимальные голоморфно-проективные и голоморфно-комформные преобразования касательного расслоения второго порядка риманова пространства // Изв. вузов. Математика. — 1985.

17. Лумисте Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурые уравнения расслоения р-кореперов // Тр. Геометр, семинара ( Всес. ин-т науч. и техн. информ.). — Москва, 1974. — С. 239 —257.

18. Переломова Н.И., Широков А.П. Касательное расслоение второго порядка проективной прямой и геометрия Лобачевского // Казань: Казанский ун-т, 1988.

19. Подольский В.Г. Специальное инфинитезимальные преобразования в касательном расслоении римановых многообразий // Диссертация канд. физ.- матем. наук,— Казань, 1981.

20. Рахула М. О. Инфинитезимальная связность в расслоении // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 8. — Москва, 1977.С.163 — 183.

21. Салдина О.И. О синектических связностях в касательном расслоении второго порядка группы Ли // Казайь: Казанский ун-т, 1987.

22. Спесивых В.Л. Полное поднятие тензорной алгебры с многообразия на его пространство 2-струй // Изв. высш. учебн. заведений. Математика,— 1976.— JN«8.— С.104— 106.

23. Султанов А.Я. Продолжение римановых метрик из базы в расслоении струй второго порядка дифференцируемых отображений // Междунар. геом. шк,- семин. памяти Н.В. Ефимова, Абрау- Дюрсо, 24 сентября— 4 октября 1996 г.— Ростов на-Дону, 1996.— С.26.

24. Султанов А. я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. высш. учёбн. заведений. Математика. — 1999. — № 9. — С.64—72.

25. Третьяков В. Б. Нелинейные тр -связности в пространствах т-протяжений высших порядков // Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Тезисы докладов. — Минск, 1979. — С. 200.

26. Шадыев X. Инфинитезимальные преобразования синектических связностей и метрик в касательном расслоении // Диссертация канд. физ.- мат. Наук.— Казань, 1990.— С. 128.

27. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Проблемы геометрии. — Т. 12. —Москва, 1981. —С. 61—95.

28. Широков А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях // Тр. геометр, семин: ВИНИТИ, 1974,—Т.5.—С.311 — 318.

29. Широков А.П., Вишневский В.В., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами // Казань, 1985.

30. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами II Тр. геометрии, семин: Казань, 1984.— №16.— С. 127—142.

31. Шустова Е.П. О связях между расслоениями Т А2, ТА2+ТА2, с(А2) и о группе Ли инфинитезимальных аффинных преобразований в Т2А2 // Казань: Казанский ун-т, 1990.

32. Шустова Е.П. Связи касательного расслоения второго порядка Т2М с суммой Уитни ТМ+ТМ // Казань: Казанский ун-т, 1991.

33. Andres Luis С. de, Leon Manuel de, Rodrigues Paulo R. Connections on tangent bundles of higher order // Demonstr. Math. — 1989. — №3. — P.607—632.

34. Bowman R. H. On differential extentions // Tensor. — 1970. —Vol.21. — №2.—P. 139—150.

35. Bowman R. H. Second order connections // J. Different Geom. —1972. — Vol. 7. —№ 3—4. — P. 549—561.

36. Bowman R. H. Tangent bundles of higher order // Tensor. — 1988. — № 1. — P. 97— 100.

37. Catz G. Sur le fibre fangent d'ordre— 2// C.r. Acad, sei.— 1974.— №4.— P.277—280.

38. Catz G. Sur le fibre tangent d" order deux // These doct. Univ. sei. med. Grenoble. — 1973. — P.64.

39. Doupovec Miroslav. Natural operators transforming vector fields to the second order tangent bundle // Cas. pestov. mat. — 1990. — № 1. — P. 64— 72.

40. De Leon Manuel, Vazguez Elena. On the geometry of the tangent bundle of order 2// An. Univ. Bucuresti. Mat. —1985. — V . 34. — P.40—48.

41. Ehresmann С. Les prolongements сГипе variete differentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal. // C. R. Acad. Sci. — 1951. —№ 11. — P.598 — 600.

42. Ehresmann C. Les prolongements d'une variete differentiable. II. L'espace des jets d^ordre r de Vm dans V«. //'C. R. Acad. Sci. — 1951. — № 15. — P.777 — 779.

43. Ishikawa Susumu. The infinitesimal automorphisms on the tangent bundles of order 2 // Rend. Accad. naz.XL. — 1973—1974 (1975). — V. 24—25.— P.265—274.

44. Gancarzewicz J., Kolar I. Natural affmors on the extended r-th order tangentbundles // Suppl. Rend. Circ. mat. Palermo, 1993. — № 30. — P.95 —100.

45. Gancarzewicz J., Salgado M. Horizontal lifts of tensor fields and connections on the tangent bundle of higher order // Rend. Circ. mat. Palermo, 1989. —№2. —P. 151—178.

46. Gancarzewicz J., Mahis. Geodesigues dans le fibre tangent d1 ordre superieur // Cah.math.Univ.d'Oran. — 1986. — №l. P.27—52.

47. Gancarzewics J., Mahis., Rahmani N. Horizontal lift of tensor fields of type (1,1) from a manifold to its tangent bundlee of higher order // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1987. — V. 36. — P.43—59.

48. Gancarzewicz J., Mahis. Geodesigues dans le fibre tangent d'order superiens // Zesz.nauk.UJ. Actamath. — 1991. — № 28. — P.231—243.

49. Garler W., Kawaguchi. Mannigfaltigkeiten und Tangential bundle hoherer Ordnung // Monatsber.D tsch. Akad. Wiss: Berlin, 1986. —V. 10.— № 6.— P.393—404.

50. Klein Tomas. Connections on higher order tangent bundles // Cas. Pestov. mat. — 1981. — V. 106.—№ 4.—P.414—421.

51. Kolar I., Michor P., Slovak J. Natural operation in differential geometry // Springer — Yerlad, 1993.

52. Kures Miroslav. Torsions of connections on tangent bundles of higher order // Rend. Circ. mat. Palermo, 1998. — № 54. — P.65—73.

53. Leon Manuel de f-structures of T2 M and connections // Kodai Math. J. — 1981. —V.4.—№2.—P.189—216.

54. Miron Radu, Atanasin Gheorghe. Differential geometry of the k-osculator bundle // Rev. Roum. math, puree et appl.— 1996.— V.41.—№ 3—4.— P.205—236.

55. Miron Radu, Atanasin Gheorghe. Prolondation of Riemannian, finslerian and Lagrangian structuries // Rev. Roum. Math.pures et appl.—1996. — Y. 41.—№ 3—4.— P. 237—249.

56. Morimoto Akihilco. Prolongations of G- structures to tangent bundles of higher order // Nagoya Math. J. — 1970. —V.38.— P.153—179.

57. Morimoto Akihiko. Prolongations of connections to infinitely near points. // J. Different. Geom. — 1976. — Y. 11. — № 4. — P.479—498.

58. Morimoto Akihiko. Lifting of tensor fields and connections to tangent bundles of higher order//Nagoya Math. J. —1970.— V. 40,—P.99—120.

59. Patterson L.-N. Connections and prolongations // Canad. J. math. — 1975. — V.27. —№ 4. — P.766—791.

60. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds I //Tohoku Math. J.— 1958.—V.10.—№ 3.—P.338—354.

61. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II //Tohoku Math. J.—1962.—V. 14.— № 2.—P.146—155.

62. Sato J. Complete lifts from a manifold tangent bundle // Kodai Math. Semin. Repts.— 1968.— V.20.— № 4.— P.458—468.

63. Tong-Van-Due. Sur la geometrie differentielle du fibre tangent d'ordre 2 // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1986.—V.35.—№ 1.—P.l 18—134.

64. Vazguez-Abal Maria Elena. Harmanicity on the tangent bundle of order r // C.r. Acad. Sci. Ser. — 1991,—№ 1,—P.131—136.

65. Weil Andre. Theorie des points proches sur les varietes differentiables. Collog. Intern. Du centre national de la recherche sci 52. — Geom. Different. — Strasbourg, 1953. — P. Ill— 117.

66. Yano K., Ishihara S. Horizontal lifts of tensor fields and connections to tangent bundles // J. Math and Mech. — 1967.—V. 10.— № 9.—P. 1015— 1030.

67. Yano K., Ishihara S. Tangent and cotangent bundles; differential geometry //New York, Dekker, 1973.

68. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. I. General theory // J. Math. Soc. Japan. — 1966. — V.18.— №2.—P. 194—210.

69. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles. II. Infinitesimal automorphisms // J. Math. Soc. Japan. — 1966.—V.18.—№ 3.—P.236—246.

70. Yano K., Ledger A. Linear connections on tangent budles // J. London Math. Soc. — 1964.— V.39.— № 3.—P.495-500.

71. Yano K., Okubo Taniro. On tangent bundles with Sasakian metrics of Finslerian and Riemannian manifolds // Ann. Mat. Рига et appl.— 1970.— V.97.—P. 137—162.

72. Yuen Christophe. Relevements de deriations aux fibres tangents d'ordre 2 //C.r. Acad. Sci. — 1976.— V.222.—№ 13.—P. 703—706.

73. Yuen Christophe. Operateurs differentiels sur les fibres tangents d'ordre 2 // C.r. Acad. Sci. — 1976.— V.282.— № 14.—P. 743—745.

74. Осьминина Н.А. Об алгебре Ли инфинитезимальных аффинных преобразований касательного расслоения второго порядка со связностью полного лифта// Движения в обобщенных пространствах: Межвузовский сборник научных трудов.— Пенза: ПГПУ, 1999.— С. 102— 106.