Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Шойимкулов, Махмудбек АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.04 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шойимкулов, Махмудбек

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, СОГЛАСОВАННЫЕ СО СТРИТУ -РОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

§ I. История вопроса и постановка задачи

§ 2. Аффинные связности, допускающие подгруппы Uts } ,{ U* 2i3; Щ}

§ 3. Аффинные связности, допускающие подгруппы

§ 4. Аффинные связности, допускающие подгруппы

§ 5. Аффинные связности, допускающие подгруппы itЬ)Ш&Л , ^>

§ б. Аффинные связности, допускающие подгруппу

2b;2b;2it}

§ 7. Аффинные связности, допускающие подгруппу

§ 8. Аффинные связности, допускающие подгруппу

ГЛАВА П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ, СОГЛАСО -ВАННЫХ СО СТРУКТУРОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАН -СТВА

§ I. История вопроса и постановка задачи

§ 2. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы/^*; Vy,lt5} JХ^ЩМ?}

§ 3. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы^; fy-^jjzit,; 2/,}

§ Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы

§ 5. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппы / Ыг J 2Ы , {U, J И*; Usi 21ч]

UxiM^Xr^j

§ б. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппу {Их 'Щ21*}.

§ 7. Проектирование аффинных связностей, допускающих по дгруппу { Щ 'j2tff 21?}.

§ 8. Проектирование аффинных связностей, допускающих подгруппу {2ix; и* ', 2t?}.

§ 9. Проектирование геодезических аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиального пространства

§ 10. О специальных проективно-евклидовых связностях биаксиального пространства

 
Введение диссертация по математике, на тему "Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства"

Актуальность темы. В современных дифференциально-гешетри -ческих исследованиях теория расслоенных пространств и связностей в расслоенных пространствах занимают одно из главных мест. Этими вопросами занимались и занимаются отечественные и зарубежные геометры. Теория связностей и параллельного перенесения впервые появляются в работах Риччи и Леви-Чивита. Дальнейшее развитие теория связностей получила в работах Э.Картана, И.Схоутена, В.В.Вагнера, Ш.Эресмана, Г.Ф.Лаптева и других геометров. Обзор работ по теории связностей за последние годы приведен в работе Б.Н.Шапуко-ва [19].

Биаксиальная геометрия предоставляет большие возможности для изучения специальных связностей. Само биаксиальное пространство является простейшим примером нетривиального расслоенного пространства и потому здесь возникают задачи проектирования аффинных связностей на базу. В последние годы стали также изучаться различные однородные пространства, связанные с биаксиальной группой (см. [8] ,[9]).

В настоящей работе изучаются аффинные связности без круче -ния в биаксиальном пространстве эллиптического типа Бз , допускающие преобразования подгрупп группы биаксиальных движений в качестве аффинных коллинеаций. Мы называем их связностями, сог -ласованными со структурой биаксиального пространства.

Конгруэнция особых прямых пространства Бз является вещественной моделью Па комплексной проективной прямой и позволяет рассматривать бз как расслоенное пространство Для каждой из рассматриваемых подгрупп в расслоении Бз строится естественно возникающая инфинитезимальная связность G* •

Также изучается вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей на базу Па с помощью инфинитезимальных связностей G- и о проектируемости геодезических линий аффинных связностей Бъ(Пг/л) с помощью особых прямых пространства Бз . В расслоенном пространстве Бз(Г1г используемые инфинитезимальные связности Q (соответствующие тем или иным подгруппам) дают возможность выделить на расслоении Бз класс так называемых (? -проек -тируемых аффинных связностей и тензорных полей. При этом их (? -проекции, соответственно, определяют аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пл. .

Понятия проектируемых аффинных связностей и тензорных полей в расслоении с одномерными слоями впервые введены в работах Яно и Исикара [30,31] . Для произвольных расслоений при наличии инфини -тезимальной связности G- эта теория обобщена К.М.Егиазаряном м. И. В данной работе теория проектирования аффинных связностей и тензорных полей применена к трехмерному расслоенному пространству БзСЛа,*) И, тем самым, найдено одно из возможных приложений этой теории.

Цель работы. Целью настоящей работы является:

1) построить аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз СП» /JC) согласованные со структурой этого про -странства и выяснить их геометрический смысл;

2) изучить вопрос о проектируемоети этих связностей на базу с помощью инфинитезимальных связностей (? ;

3) выделить специальные проективно-евклидовы связности Бз(Пж,"Л) из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства и выяснить их геометрический смысл.

Научная новизна. Построены аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз(П9,?с) » допускающие различные подгруппы движений пространства Е>з в качестве аффинных коллине-аций. Изучены свойства этих аффинных связностей и выяснен их геометрический смысл. Применена теория Q -проектируемости аффинной связности и тензорного поля, введенные Яно, Исихара и Егиазаря -ном. Выделен класс Q -проектируемых аффинных связностей и тен -зорных полей на расслоении 6з » которые, будучи спроектированы, определяют, соответственно, аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пг • Среди проектируемых аффинных связностей в расслоении 5з выделен класс аффинных связностей, геодезические которых проектируются, соответственно, на геодезические спроектированной аффинной связности базы Пг . Выделены специальные проективно-евклидовы связности Бз из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства. Изу -чен вопрос о проектируемоети выделенных специальных проективно -евклидовых связностей и их геодезических линий. Все эти результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Материал, содержащийся в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по дифференциальной и проективной геометрии в Тадж.гос. университете им.В.И.Ленина, Ташкентском гос.университете им. В.И. Ленина, Казанском гос.университете им.В.И.Ульянова-Ленина, Душанбинском и Пензенском пединститутах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на годо -вых итоговых научных конференциях Казанского университета в 1980 и 1984 годах, на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского университета (руководитель - проф. А.П.Норден), на семинаре ка -федры геометрии Пензенского пединститута (руководитель - проф. И.П.Егоров), на У1 Прибалтийской геометрической конференции (г.Таллин, 1984г.).

Диссертация является самостоятельным научным исследованием ав тора.

Основные результаты диссертации отражены в девяти статьях и тезисах докладов научной конференции.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. В первой главе изучаются аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства эллиптического типа.

В § I даются основные необходимые понятия: I) определение биаксиального пространства эллиптического типа Бз ; 2) самосо -пряженные образы: сфероиды, бицилиндры, к.а.п., циклические комплексы и группы движений пространства Бз , впервые введенные А.П.Норденом; 3) делается обзор аналогичных исследований отече -ственных и зарубежных геометров; 4) далее сформулирована поста -новка задачи - нахождение аффинных связиостей, допускающих пре -образования тех или иных подгрупп группы движений биаксиального пространства в качестве аффинных коллинеаций. Эти аффинные связности названы аффинными связностями, согласованными со структу -рой биаксиального пространства; 5) введены некоторые определения и обозначения для упрощения дальнейшей.записи.

В § 2 рассматриваются аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие трех членную подгруппуг/а; Щ] группы У 6 параллельных пере -носов и четырехчленную подгруппу { Ui: К*} полной группы движений этого пространства, переводящую в себя действ и -тельный сфероид.3*/ х/ Говоря о подгруппе группы движений пространства Бз » мы Указываем базис ее инфинитезимальных преобразований и считаем, что тем самым подгруппа задана.

Аффинные связности биаксиального пространства, допускающие эти подгруппы, зависят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Далее изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации, которые приведены в одиннадцати случаях для подгруппы fZ/a; U2: ИъЬ и четырех случаях для подгруппы/Wi; Uz-j Unit*} . Показывается, что базисные тензоры аффинной деформации имеют простой смысл с точки зрения биакси -альной геометрии.

В § 3 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу { Us* Щ-иг } группы ^6 и четырехчленную подгруппу Us*ЩJ U3~uz:U%] группы движений ^^ этого пространства, переводящую в себя мни -мый сфероид. Аффинные связности, допускающие эти подгруппы, за -висят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Аналогично § I, изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации. Выясняется геометрический смысл этих аффинных связностей биаксиального пространства Е5з .

В § 4 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу (иг\ Us; Щ+ли*} группы Ъб и четырехчленную подгруппу {цг; Us i Uj,+*UhU*} группы движений ^ этого пространства. Показано, что аффинные связности бз , допускающие эти подгруппы, зависят, со ответе т -венно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных; выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и выяснен их геометрический смысл.

В § 5 изучаются аффинные связности биаксиального простран -ства, допускающие четырехчленную подгруппу {UajUs; Us■; itu,} группы , четырехчленную подгруппу / 2/*; uZj USj U1} и пя -тичленную подгруппу {Ыг; Its; группы движений этого пространства, переводящую в себя особую прямую. Эти аффинные связности биаксиального пространства, допускающие четырех -членные подгруппы, зависят от пяти, а пятичленная подгруппа - от трех произвольных постоянных. Показано, что можно выделить на -чальную связность, которая будет общей для этих подгрупп. Изучены тензоры кривизны аффинных связностей, допускающие вышеуказанные подгруппы. Выделяются базисные тензоры аффинной деформации. Изучается геометрический смысл этих аффинных связностей биакси -ального пространства.

В § б рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу { г/ij гг?} группы движений этого пространства, переводящую в себя действи -тельный сфероид и одну из ее прямолинейных образующих. Эти аффинные связности биаксиального пространства зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и изучен их геометрический смысл.

В § 7 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу / Uz: UsJ группы движений tf* этого пространства. Показывается, что эти связности зависят от восемнадцати произвольных постоянных.

В § 8 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу {Ui't группы движений этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Эти связности Бз зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделяются начальная связность, базисные тензоры и выясняется их геометрический смысл.

Таким образом, в первой главе изучены аффинные связности,согласованные со структурой биаксиального пространства Бз • Выяс ~ нен геометрический смысл этих аффинных связностей.

Во второй главе диссертации изучается проектируемость найденных аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиально- • го пространства эллиптического типа 65 на базу ги .

В § I даются необходимые сведения: I) вводится понятие расслоенного пространства Бз(ГЦ,"ЗС) ; 2) напоминаются исследо -вания отечественных и зарубежных геометров о проектируемоети аффинных связностей и тензорных полей на дифференцируемом расслоении с заданной инфинитезимальной связностью Q- ; 3) показывается возможность применения этих понятий для аффинных связностей расслоенного пространства E5a(T72j3t) ; 4) находится отображение проекции; 5) приводятся операторы шестичленной группы преобразования Мёбиуса в ГТа , порожденные операторами группы Ъб биак -спального пространства.

В § 2 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя действительный сфероид. Проектирование аффинных связностей из пространства Бз на Па , допускающие эти подгруппы, вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, опре -деляемых циклическим комплексом, присоединением к действительному сфероиду.

В § 3 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя мнимый сфероид. Проектирование этих аффинных связно -стей из пространства Бз на Пг вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, определяемых циклическим комплексом,присоединенным к мнимому сфероиду.

В параграфах 2 и 3 указан новый подход к известным конформным моделям Пуанкаре неевклидовых плоскостей.

В § 4 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу

- II

Иг) Ms; группы и четырехчленную подгруппу uZ\ ifsi У*} ГРУППЫ Движений этого пространства.

Проектирование этих аффинных связностей из Бз на П2 вводится с помощью инфинитезимальной связности Q- . Горизонтальные площадки связности G- задаются с помощью пучка плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямую вышеуказанной подгруппы.

В § 5 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих четырехчленную подгруппу {Ш&г.ЩьЩ} группы Уб , четырехчленную^,- Иг-, Us: и: пятичленную подгруппу { Иг; Кл, • Its'* группы движений ^ этого пространства, переводящие в себя особую прямую. Проектирование этих аффинных связностей из Бз на Пх вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через указанную инвариантную особую прямую.

В § 6 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу и,ич\ группы движений ^ этого пространства, переводящую в себя действительный сфероид и одну из его особых прямолинейных образующих. Проектирование этих аффинных связностей из Бз наПг вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямолинейную образующую действительного сфероида.

В § 7 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу {Иг; itsiXt} группы движений этого пространства. Проекти -рование этих аффинных связностей биаксиального пространства избз на ГЦ вводится с помощью пучка плоскостей, проходящих через ин -вариантную особую прямую подгруппы.

В § 8 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу

Utile*; группы движений этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Проектирование этих аффинных связ-ностей биаксиального пространства из Бз на Пл вводится с помощью связности £ , горизонтальные площадки которой задаются пучком плоскостей, проходящих через одну из особых инвариантных прямых подгруппы.

В § 9 изучаются геодезические линии, определяемые аффинными связностями биаксиального пространства эллиптического типа, и их проектируемоеть на базу Пл с помощью конгруэнции особых прямых. Рассматриваются различные классы проектируемых аффинных связно -стей биаксиального пространства, допускающих те или иные под группы группы движений этого пространства в качестве аффинных коллинеаций. Находятся уравнения проекций геодезических линий. Показывается, что в ряде случаев эти проекции совпадают с геодезическими спроектированной связности.

В § 10 выделены те проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связностей.биаксиального пространства бз » У кото -рых геодезические изображаются прямыми пространства Бз . Такие проективно-евклидовы связности определяются по методу А.П.Норде -на соответствием между точками и плоскостями этого пространства. Изучен вопрос о проектируемоети выделенных специальных проектив -но-евклидовых связностей и их геодезических линий.

Автор считает своим долгом выразить сердечную признатель -ность научному руководителю профессору Александру Петровичу Широкову за постоянное внимание при выполнении работы.

 
Заключение диссертации по теме "Геометрия и топология"

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Найдены аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие различные подгруппы группы движений этого пространства в качестве аффинных колли-неаций.

2. Изучены свойства ряда найденных аффинных связностей и выяснен геометрический смысл этих связностей с точки зрения би -аксиальной геометрии.

3. Изучен вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей биаксиального пространства Б3 на базу Па, .

Среди проектируемых связностей в расслоении 63 выделен класс связностей, геодезические которых проектируются, соответ -ственно, на геодезические спроектированной аффинной связности.

5. Выделены специальные проективно-евклидовы связности пространства Бз и изучен вопрос о проектируемости этих связностей и их геодезических линий.

- из

Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шойимкулов, Махмудбек, Казань

1. Бархин Г.С. О подгруппах движений биаксиального прост -ранства. Уч.зап.Казанск.го.ун-та, т.Ш, кн.8, 1951, с. 105-124-.

2. Егиазарян К.М. О проектировании инвариантных связностей на главных расслоенных пространствах. Изв.вузов, Математика, №7, 1978, с.97-101.

3. Егиазарян К.М., Широков А.П. Проектирование связностей в расслоениях' и его приложения к геометрии пространства над алгебрами. Саратовск.геом.сб., Изд-во Саратовск.ун-та, вып.1У, 1979.

4. Егиазарян К.М. Спроектированные инвариантные аффинные связности. Труды геом.семин.,вып.12, Казань, Изд-во Казанск. ун-та, 1980, с.27-37.

5. Егиазарян К.М., Q -проектируемые тензорные поля на рас -слоениях. Изв.вузовМатематика, № 8, 1981, с.27-31.

6. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности. Казань, 1965.

7. Мелентьев А.И. К геометрии, определяемой группами дроб -но-линейных подстановок над алгебрами второго порядка. Сб.асп.работ. Точные науки. Математика. Казань, Изд-во Казанск.ун-та,1969, с.69-80.

8. Мигов Д.Б., Борисов А.В. Об инвариантных связностях на биаксиальном пространстве эллиптического типа. "Докл.Болгарской Академии наук", т.35, § 8, 1982, с.Ш-Ш.

9. Митов Д.Б., Борисов А.В. Об инвариантных связностях на однородных биаксиальных пространствах. "Докл.Болгарской Академии наук", т.35, § 9, 1982, с.1201-1204.

10. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхности пространства биаксиальной группы. ДАН СССР, 1947, т.55, с.199-202.

11. Норден А.П. Поверхности нулевой кривизны биаксиального-114 пространства. ДАН СССР, 1947, т.58, с.1597-1600.

12. Норден А.П. Пространство линейной конгруэнции. Матем. сб., 1949, т.24(66), с.429-455.

13. Норден А.П. О самосопряженных образах биаксиального пространства. Учен.зап.Казанск.ун-та, 1954, кн.114, 1$2, с.3-12.

14. Норден А.П., Симонов Ю.Б. Об одной интерпретации унитарного пространства постоянной кривизны. Изв.вузов. Математика, 1969, № 2, с.63-71.

15. Норден А.П. Связность, присоединенная к вырожденной метрике. Изв.вузов. Математика, 1970, |4, с.74-86.

16. Норден А.П. Пространство аффинной связности. 2-е изд., М., 1976.

17. Талантова Н.В., Широков А.П. Трехчленные группы дробно-линейных подстановок дуального переменного как аффинные коллинеа-ции. Труды геом.семин., вып.IX, Изд-во Казанск.ун-та, 1976, с.105-113.

18. Шапиро Я.Л. О линейных многообразиях геодезических по -лей направлений в пространстве аффинной связности. Мат.сб., т.45 (87), № 4, 1958.

19. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. В сб.: "Проблемы геометрии", т.15, с.60-92.

20. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. Мат.сб., 1937, т.41(83):3, с.361-372.

21. Широков А.П. Классификация групп движений биаксиально -го пространства эллиптического типа. Уч.зап.Казанск.ун-та, т.123, кн.1, 1963.

22. Широков А.П. Об одной биаксиальной модели главного расслоенного пространства. Труды геом.семин., вып.З, 1968, Изд-во Казанск.ун-та.

23. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообрази- 115 ях. В сб.: "Алгебра. Топология. Геометрия", т.II. Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР, М., 1974, с.153-207.

24. Широков А.П. О нормализадиях в проективном пространстве с заданным расслоением. Изв.вузов. Математика, 1974, № 5,с.216-221.

25. Широков А.П. Инвариантные связности без кручения в касательных расслоениях конформных плоскостей Мёбиуса. Труды геом. семин., вып.Х, Изд-во Казанек.ун-та, 1978, с.121-127.

26. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и прост -ранства над алгебрами. В сб.: "Проблемы геометрии", т.12, М.,1981, с.61-96.

27. Широков А.П. О связностях нормализованного проективного пространства с заданным расслоением.'У1 Прибалтийская геом. конф. Тезисы докл.Таллин, 1984.

28. MaeiuS.y- Connexion-S Lnija^ianries Ъиъ ъп JZipace Ъ1гсх-таг7псег7 "V^I „ fruit, ci. Set. AectcL. boy. Be£%.», 1964,50 >//211

29. Sio&a Mct-ziub J. Connexion* ЫмЫакЫ

30. Sett? nn ^space biecLTnOLnnien Vs-U » Rw^oomaine тЫЯ. pwez ei apf>2*n }1966 г -us*

31. Уа no K. Dsi&ciira sJi. Ft feed Spaced yyctfi

32. SternannXln -metztc . J. Ceam.31 • Уало 2zftijiCfzo.si. Ziff^enbat -m<U2<f oj jfQOiA . Koda.1. Sam .КгрАЭ,

33. Шойимкулов M. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства. I. Казань, Казанск.ун-т,1982, 29с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 23 ноябр.1982г.,№ 3776-82 деп.).

34. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со- 116 структурой биаксиального пространства, П., Казань, Казанск.ун-т, 1983, 14с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 28 янв.1983 , №532-83,деп.).

35. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, Ш. Казань, Казанск.ун-т, 1983,11 с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 16 февр.1983,й 854-83,деп.).

36. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства,1У. Казань, Казанск.ун-т, 1983,12с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 20 мая 19832713-83,деп.).

37. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства,У. Казань, Казанск.ун-т, 1983, 15с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ I июля 1983, Р. 3566-83 ,деп.).

38. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, У1. Казань,Казанск.ун-т, 1983, 14с.(Рукопись деп.в ВИНИТИ 5 авг.19834334-83,деп.).

39. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства, УЛ. Казань, Казанск.ун-т, 1983, 17с. (Рукопись деп.в ВШШИ 28 окт.1983, № 5872-83 ,деп.).

40. Шойимкулов М. Проектирование аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиального пространства. Казань, Казанск.ун-т, 1984, 26с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 28 марта 1984,1. Ш 1704-84, деп.).

41. Шойимкулов М. О связностях, согласованных со структу -рой биаксиального пространства. У1 Прибалтийская геом.конф.,те -зисы докл., Таллин, 1984.

42. Шойимкулов М. О геодезических аффинных связностях, согласованных со структурой биаксиального пространства. Казань, Казанск.ун-т, 1984, 17 с. (Рукопись деп.в ВИНИТИ 31 июля 1984,5566-84,деп.).