Расслоения, определяемые ассоциативными алгебрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

0.1 Введение.

0.1.1 Общая характеристика работы.

0.1.2 Краткое содержание диссертации.

0.1.3 Основные результаты, выносимые на защиту

0.2 Основные понятия и обозначения.

0.2.1 Биаксиальные пространства

0.2.2 Классификация ассоциативных унитальных алгебр размерностей 3 и 4.

0.2.3 Проективные расслоения и проективные связности

0.2.4 .';.;". ;

1 Расслоения алгебр размерностей 3 и

1.1 Расслоения неприводимых алгебр размерности

1.2 Расслоения приводимых алгебр размерности

1.3 Расслоения неприводимых алгебр размерности

1.4 Расслоения приводимых алгебр размерности

2 Расслоения биаксиальных пространств, порожденные алгебрами кватернионов и антикватернионов

2.1 Расслоение биаксиального пространства эллиптического типа, порожденное алгеброй кватернионов

2.1.1 Векторное расслоение алгебры кватернионов

2.1.2 Проективное расслоение биаксиального пространства эллиптического типа.

2.1.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса

Расслоение биаксиального пространства гиперболического типа, порожденное алгеброй антикватернионов

2.2.1 Векторное расслоение алгебры антикватернионов

2.2.2 Проективное расслоение биаксиального пространства гиперболического типа.

2.2.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса.

Расслоение биаксиального пространства параболического типа, порожденное алгеброй антикватернионов

2.3.1 Векторное расслоение алгебры антикватернионов

2.3.2 Проективное расслоение биаксиального пространства параболического типа

2.3.3 Аффиноры, порожденные умножением на элементы базиса

0.1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является одной из традиционных тем казанской геометрической школы. Еще в 1895 году появилось "Винтовое счисление" [19] А. П. Котельникова, в котором к геометрии групп движений евклидова пространства Еъ и к геометрии многообразия прямых этого пространства применялись геометрия трехмерной и двумерной сфер в дуальных евклидовых пространствах.

Идеи А.П. Котельникова развивал Д.Н. Зейлигер [15], систематически изучавший линейчатую дифференциальную геометрию евклидова пространства с помощью метода перенесения. П.А. Широков в 1925 году впервые ввел важный класс А-пространств, впоследствии получивший название келеровых [50], изучил геометрию симметрических пространств такого типа [51]. Он же рассматривал вопрос о применении винтового исчисления к дифференциальной геометрии, задавая с помощью дуальных векторов различные связанные с поверхностью прямые [53].

В 1941 году румынским геометром О. Майером [60] было начато изучение биаксиальной геометрии гиперболического типа. В последующие годы внимание геометров неоднократно привлекали вопросы линейчатой геометрии такого пространства.

В послевоенные годы исследования по геометрии пространств над алгебрами в Казанскомуниверситете продолжены А. П. Нор-деном. А.П. Норден развивал теорию пространств над алгебрами во многих направлениях: он изучал геометрию биаффинных пространств (вещественных моделей комплексных аффинных пространств); геометрию биаксиального пространства (его можно истолковать как вещественную модель одномерного комплексного проективного пространства); исследовал специальные тензоры биаффинного пространства, на основе чего построил теорию би-тензоров пространства Лоренца, указал разнообразные применения пространств над алгебрами к вопросам линейчатой геометрии. В двух работах [22], [23] он начал изучение геометрии биак-сиального пространства эллиптического типа. Это пространство было изучено им весьма детально. Хотя впервые геометрия такого пространства использовалась еще в 1922 году Э. Штуди [61].

В дальнейшем изучение биаксиальных пространств было продолжено учениками А. П. Нордена. Геометрия, биаксиального пространства параболического типа исследовалась Н. В. Талан-товой [41], [42], [43]. И. В. Зуев [16] использовал отображение биаксиального пространства на центроаффинную комплексную плоскость для действительной интерпретации кривых аффинной, эквиаффинной и центроаффинной комплексной плоскости. Р. С. Бархин [2] изучал фундаментальную группу биаксиального пространства с теоретикогрупповой точки зрения. В. Д. Третьяков [45] связал теорию кривых этого пространства с теорией кривых конформной плоскости. Р. С. Бухараев [4], [5], [6] построил теорию конгруэнций биаксиального пространства, использовав соответствие между прямыми этого пространства сферами идеальной области пространства Лобачевского.

А. П. Широков [47] в своей кандидатской диссертации построил теорию бипланарных пространств — многомерных обобщений биаксиальных пространств А. П. Нордена. За этим последовало изучение пространств со структурами, определяемыми алгебрами весьма общего вида ( ассоциативными и унитальными) в его докторской диссертации. В последующие годы в работах А. П. Широкова и его учеников развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, ее многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств, к теории касательных расслоений [10], [49].

Основные результаты исследований по биаксиальной геометрии и ее приложениям указаны А. П. Норденом в статье [29].

Различные вопросы геометрии многообразий со структурами, определяемыми коммутативными унитальными алгебрами, изучались в работах А.П. Нордена и его учеников: В.В. Вишневского (приложения к линейчатой геометрии [7]; комплексное представление инвариантов 4-мерных римановых пространств [8]; пространства со структурами, определяемыми алгеброй плюральных чисел и полиномиальными алгебрами [9]); А.С. Подковыри-на (геометрия на инвариантных поверхностях биаффинного пространства [34], [35]); В.В. Шурыгина (подмногообразия пространств над алгебрами, геометрия расслоений струй, геометрия многообразий над локальными алгебрами [56]—[58]).

Пространства над алгебрами изучались также вне Казани: Б.А. Розенфельдом и его многочисленными учениками, Г.И. Кру-чковичем. В Болгарии ряд работ на эту тему выполнен учениками А.П. Нордена и В.В. Вишневского (А.П. Норден и Г.Г. Марков [30], Е.В. Павлов [32], [33]).

Цель работы. С промощью факторизации алгебр размерностей 3 и 4 по их подалгебрам получить все возможные расслоения — аналоги расслоения Хопфа и исследовать их геометрические свойства.

Научная новизна. В диссертации рассмотрен новый подход к понятию расслоения Хопфа р : S3 —> Р(г) и на этой основе получены его аналоги. Установлена связь между указанными аналогами и теорией биаксиальных пространств различных типов.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного исчисления, методы теории расслоенных пространств а также методы теории ассоциативных алгебр и их представлений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского университета (научный руководитель проф. Шапуков Б. Н.). Они были доложены на Международном геометрическом семинаре им. Н. И. Лобачевского (г. Казань, 1997 г.), на XII Международной школе-семинаре по теоретической и математической физике (г. Казань, 2000 г.) и на XII Международной школе-семинаре по теоретической и математической физике (г. Казань, 2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ [63]-[71].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения раздела "Основные понятия и обозначения", двух глав, разбитых на параграфы и пункты, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя цифрами, где первая означает номер главы, а вторая — номер формулы. Параграфы обозначаются двумя цифрами, а пункты — тремя, где первая означает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — номер пункта. Объем работы - 128 страниц машинописного текста, библиография содержит 71 наименование.

1. Алексеевский Д. В.,Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — т. 28. — М.: — 1988 — 299 с.

2. Бархин Р. С. О подгруппах движений биаксиалъного пространства/ / Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1951.— 111:8.— С. 105-124.

3. Бродский М. С. Конгруенции прямых эллиптического пространства — М.: Советская Наука.— 1941.— 60 с.

4. Бухараев Р. Г. О конгруенциях биаксиалъного пространства/ / Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1955-— 115:10.— С. 12-13.

5. Бухараев Р. Г. Теория поверхностей биаффинного и теория конгруэнций биаксиалъного пространств// Учен. зап. унта.— Казань.— 1956.— 116:1.— С. 7-9.

6. Бухараев Р. Г. О сферических конгруэнциях идеальной области гиперболического пространства// Учен. зап. унта.— Казань.— 1956.— 116:5.— С. 3-6.

7. Вишневский В. В. О комплексных структурах одного класса пространств Келера- Рашевского// ДАН СССР.— 1963.— т. 149.— N 2.— С. 233-236.

8. Вишневский В. В. Норден А. П. О комплексном представлении инвариантов четырехмерного риманова пространства// Изв. вузов. Мат.— 1959.— N 2.— С. 176-182.

9. Вишневский В. В. Полиномиальные алгебры и аффинорные структуры// Труды семинара каф. геом.— Изд-во Казанск. ун-та.— 1971.— вып. 6.— С. 22-35.

10. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами — Казань, изд. КГУ.—1985.—262 с.

11. Егиазарян К. М. О проектировании инвариантных связнос-тей на главных расслоенных пространствах // Изв. вузов. Мат.— 1978.— N 7.— С. 97-101.

12. Егиазарян К. М. Спроектированные аффинные связности// Труды геом. семинара.— Изд-во Казанск. ун-та.—1980.— вып. 12.— С. 27-37.

13. Егиазарян К. М. а-проектируемые тензорные поля на расслоениях// Изв. вузов. Мат.— 1981.— С. 27-31.

14. Егиазарян К. М. Многообразия аффинной связности почти произведения// Труды геом. семинара.— Изд-во Казанск. ун-та.— 1979.— вып. 11.— С. 21-28.

15. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия — JL-М.: Гостехиздат.— 1934.

16. Зуев И. В. О действительной интерпретации кривых комплексной центр о аффинной плоскости/ / Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1955.— 115:10.— С. 13-15.

17. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-прост-ранств// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т. 8.— М.:— 1977.— 278 с.

18. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. 1.— М.: Наука.— 1981.— 344 с.

19. Котельников А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике — Казань.— 1895.

20. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр — М.: Наука.— 1969.— 688 с.

21. Нейфельд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства/ / Изв. вузов. Мат.— 1976.— N 11.

22. Норден А. П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиалъной группы// ДАН СССР.— 1947.— т. 55.— С. 199-202.

23. Норден А. П. Поверхности нулевой кривизны биаксиалъного пространства// ДАН СССР.— 1947.— т. 58.— С. 15971600.

24. Норден А. П. Пространство линейной конгруэнции// Ма-тем. сб.— 1949.— т. 24(66).— С. 429-455.

25. Норден А. П. Биаффинное пространство и его отображение на себя// Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1952.— 112:10.— С. 3-11.

26. Норден А. П. О комплексном представлении тензоров би-планарного пространства// Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1954.— 114:8.— С. 45-53.

27. Норден А. П. Теория поверхностей — М.: Гостехиздат.— 1956.— 259 с.

28. Норден А. П. Об одном классе четырехмерных А-пространств// Изв. вузов. Мат.— 1960.— N 4.— С. 145-157.

29. Норден А. П. Биаксиалъная геометрия и ее обобщения// Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда.— 1964.— ч. 2.— С. 236-243.

30. Норден А. П., Марков Г. Г. О голоморфно проективных преобразованиях// Изв. вузов. Мат.— 1975.— N 6.—- С. 8287.

31. Норден А. П. Пространства аффинной связности — М.: Наука.— 1976.— 432 с.

32. Павлов Е. В. Вещественная реализация конформного соответствия римановых пространств над клиффордовой алгеброй// Изв. вузов. Мат.— 1978.— N 7.— С. 64-67.

33. Павлов Е. В. Об одной характеристике симметрического конформно-евклидова многообразия// Труды геом. семинара.—Изд-во Казанск. ун-та.— 1982.— вып. 14.— С. 70-76.

34. Подковырин А. С. Теория аналитических поверхностей би-аффинного пространства. I// Труды геом. семинара.— Изд-во Казанск. ун-та.— 1976.— вып. 9.— С. 77-87.

35. Подковырин А. С. Теория аналитических поверхностей биаффинного пространства. II// Труды геом. семинара.— Изд-во Казанск. ун-та.— 1978.— вып. 10.— С. 65-77.

36. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия— М.: Наука. — 1988. — 496 с.

37. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии — М.: Гостехиз-дат. — 1955. — 743 с.

38. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства — М.: Наука.1966. — 746 с.

39. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства — М.: Наука.- 1969. — 547 с.

40. Rosefeld В. Geometry of Lie groups. — Dordrecht/ Boston/ London: Kluwer academic publishers. — 1997. — 393 p.

41. Талантова H. В. Биаксиалъное пространство параболического типа// Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1957.— 117:9.— С. 30-34.

42. Талантова Н. В. Биаксиальное пространство параболического типа// Изв. вузов. Мат.— 1959.— N 3.— С. 214-228.

43. Талантова Н. В. О нуль сопряженных образах биаксиалъного пространства параболического типа// Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1963.— 123:1.— С. 152-171.

44. Талантова Н. В. Классификация подгрупп движений биаксиалъного пространства параболического типа// Труды семинара каф. геом.— Изд-во Казанск. ун-та.— вып. 3.— 1968.— С. 99-114.

45. Третьяков В. Д. К теории кривых биаксиалъного пространства// Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1955.— 115:10.— С. 15-16.

46. Шапуков Б. Н. Проективные расслоения и проективные связности// Изв. вузов. Мат.—1995.—N 5.—С. 83-90.

47. Широков А. П. Геометрия обобщенных биаксиалъных пространств/ / Учен. зап. ун-та.— Казань.— 1954.— 114:2.— С. 123-166.

48. Широков А. П. О нормализациях в проективном пространстве с заданным расслоением// Изв. вузов. Мат.— 1974.— N 5.— С. 216-221.

49. Широков А. П. Пространство и алгебра кватернионов// Труды геом. семинара.— Изд-во Казан, мат. об-ва.— вып. 23.— 1997.— С. 187-198.

50. Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах// Изв. физ.-мат. Об-ва при КГУ.— 1925.— сер. 2, т. 25.— С. 86-114.

51. Широков П. А. Об одном типе симметрических пространств// П.А. Широков, Избранные работы по геометрии. — Казань. — 1966. — С. 408-418.

52. Широков П. А. Преобразования винтовых интегралов в пространствах постоянной кривизны// Избран, работы по геом.— Казань.— 1966.— С. 302-314.

53. Широков П. А. Об одном приложении винтового исчисления к дифференциальной геометрии// Избран, работы по геом.— Казань.— 1966.— С. 315-318.

54. Шойимкулов М. Аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства// Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, Казань, 1984.

55. Шуликовский В. Н. Классическая дифференциальная геометрия— М.: Физматгиз.— 1963.— 540 с.

56. Шурыгин В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй// УМН. — т. 48.-— вып 2(290).— 1993.— С. 75-106.

57. Шурыгин В. В. О категории многообразий над алгебрами// Труды геом. семинара.— Изд-во Казан, ун-та.— вып. 22.— 1994.— С. 107-122.

58. Шурыгин В. В. Классы Атьи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй А как препятствия к продолжению трансе ер сальных связностей до А-гладких/ / Труды геом. семинара.— Изд-во Казан, мат. об-ва.— вып. 23.— 1997.— С. 199-210.

59. Хьзмоллер Д. Расслоенные пространства — М.: Мир.— 1970.— 442 с.

60. Mayer О. Biaxiale Differentialgeometrie der Kurven und Regelflatchen// Ann. sci. Univ. Jassy.— 1941.— 1 sec.— 27.— s. 327-410.

61. Study E. Uber S. Lies Geometry der Kreise und Kugeln// Math. Ann.— 1922.— Bd. 86.— s. 40-77.

62. Study E., Cartan E. Nombers complexes// Encyclopedie des sciences mathematiques pures et appliquees. — 1908. — t. 1. — Vol. 1. — 329-468.

63. Белова H. E. Вращения псевдоевклидова пространства/ Междун. геом. семинар им. Н. И. Лобачевского. "Соврем, геом. и теория физич. полей". Тезисы докл.— Казань, 1997. — С. 17.

64. Белова Н. Е. Аналоги расслоения Хопфа// Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре.— Казань: Изд. Казанск. матем. об-ва.— 1998.— С. 169-174.

65. Белова Н. Е. Расслоения алгебр размерностей 3 и 4/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и мате-матич. физике "XI Петровские чтения 1999". Тезисы докл.— Казань.— 1999.— С. 16.

66. Белова Н. Е. Расслоения алгебр размерности 3/ Казанск. ун-т.— Казань, 1999.— 9 е.— Деп. в ВИНИТИ 11.10.99, N3036—В99.

67. Белова Н. Е. Расслоения алгебр размерности 4/ Казанск. ун-т.— Казань, 1999.— 44 е.— Деп. в ВИНИТИ 11.10.99, N3037—В99.

68. Белова Н. Е. Расслоение биаксиалъного пространства, порожденное алгеброй кватернионов/ XII Междун. летняя школа-семинар по теоретич. и математич. физике "Петровские чтения". Тезисы докл.— Казань, 2000, С. 17.

69. Белова Н. Е. Расслоение биаксиалъного пространства, порожденное алгеброй кватернионов// Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000.— Казань.— 2000.— С. 439-445.

70. Белова Н. Е. Расслоения биаксиалъных пространств, порожденные алгебрами кватернионов и антикватернионов/Казанск. ун-т.— Казань, 2000.— 22 е.— Деп. в ВИНИТИ 23.10.00, N 2680—В00.

71. Белова Н. Е. Расслоения биаксиалъных пространств, порожденные алгеброй антикв атернионов// Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник научных трудов.— Пенза: Изд. Пензенск. гос. педагогич. ун-та.— 2000.— С. 17-30.