Гомотопические свойства расслоений со структурной группой автоморфизмов матричных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1 Общие свойства расслоений на алгебры

1.1 Основные определения.

1.2 Матричные грассмапиапы.

2 Матричные грассманианы как классифицирующие пространства РА

2.1 Гомотопические группы матричных грассманианов

2.2 Универсальность канонических расслоений над матричными грассманианами.

3 /^-функторы, связанные с расслоениями на алгебры

3.1 Х-функтор, связанный с множеством всех расслоений на алгебры, и представляющее его пространство

3.2 /^-функтор, связанный с плавающими расслоениями на алгебры

3.3 Связь функтора АВ с КБ [/-теорией.

Теория векторных расслоений и связанная с ними топологическая /^-теории играют важную роль как в самой топологии, так и в других разделах математики. Это давно уже ставшая классической область математики была в основном развита в конце 50-х -- начале 60-х годов в работах Дж. Адамса, М. Атьи, Р. Ботта, Ф. Хирцебруха и других авторов (см., например, монографии [2], [9], [26]). Тогда же было замечено, что комплексная и вещественная /^-теории являются примерами т.н. обобщённых теорий когомологий. С тех пор было построено множество интересных примеров таких теорий, среди них -- теории, связанные с группами единиц в кольцах обобщённых теорий когомологий с достаточно хорошим умножением. Например, рассмотрим мультипликативную группу С(Х) сумм вида 1 + х, х £ КС(Х), где Кс — приведённый комплексный /('-функтор. Известно [29], что является нулевым членом некоторой теории когомологий. Легко видеть, что группа С(Х) представляется Я-прострапством В11т.е. пространством В11 со структурным отображением /1: В11 х В11 В11, определённым с помощью тензорного перемножения виртуальных расслоений виртуальной размерности 1. Тогда приведённое утверждение эквивалентно тому, что ^-пространство В11& является бесконечнократным пространством петель [1]. Это же верно и для пространства В5"£7®, т.е. данное прострапство представляет гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, который является нулевым членом некоторой обобщённой теории когомологий. Однако само определение этой группы (как группы виртуальных ¿"¿У-расслоений виртуальной размерности 1) является довольно формальным, было бы интересно получить интерпретацию элементов этой группы (а также групповой операции) в терминах каких-либо известных геометрических объектов. Это, в частности, открывало бы перспективу приложения данной теории, например, к гладким многообразиям. В данной работе такая интерпретация получена с помощью некоторого специального класса расслоений со слоем матричная алгебра (или, что приводит к эквивалентной теории, проективное пространство).

Задача построения и изучения теории, рассматриваемой в данной работе, возникла из следующих предпосылок. Пусть Мм (С) фиксированная алгебра комплексных матриц размера Ы х Ы, в которую матричная же алгебра Ак, изоморфная Мь(С), вложена как центральная простая подалгебра. Тогда для последней канонически определена дополнительная подалгебра В\ в Мм(С), изоморфная М/(С), такая что АкВ1 =

Ак^В[ = Мм (С) и Ак П В[ = С — центр алгебры Мы( С). При с этом В1 есть централизатор подалгебры Ак в Мм (С) и операция взятия централизатора инволютивна на центральных простых подалгебрах, т.е. дополнительная подалгебра к В1 совпадает с Ак. Эти результаты переносятся на случай центральных простых алгебр над полем К (см. §1.1). Здесь видна аналогия с невырожденным скалярным произведением на векторном пространстве, позволяющем для каждого подпространства определить дополнительное как ортогональное дополнение. Естественно попытаться перенести эту аналогию на случай расслоений. Кроме того, хорошо известно, что всякое векторное расслоение над компактной базой является подрасслоением тривиального расслоения: Верно ли, что всякое расслоение со слоем матричная алгебра является подрасслоением тривиального расслоения на матричные алгебры, притом таким, что каждый его слой вкладывается в слой тривиального расслоения как центральная простая подалгебра?

11) Рассмотрим в С) множество подалгебр, изоморфных

М/с(С). Это однородное многообразие, которое мы обозначим через От'к к1 и будем называть матричным ¿рассмаииаиом. В силу описанной выше инволютивности взятия централизатора, Сг'кк1 — Сг'1Ы. Эти многообразия связаны серией вложений, индуцированных вложениями алгебр. Мы имеем также отображения гк,Ы Х &гт,тп ^гкт,к1тт индуцированные тензорным произведением алгебр. В случае "обычных"грассманианов отображения, аналогичные (1) (индуцированные прямой суммой векторных пространств), определяют па индуктивным пределе структуру Я-пространства ([8, с. 113 114][20, с. 255-258]), которое является представляющим пространством для /^-функтора, связанного с полугруппой расслоений (над компактной базой) с операцией, индуцированной суммой Уитни расслоений. Одна из основных наших задач — определить класс расслоений и отношение стабильной эквивалентности на них такие, что предел матричных грассманианов с отображениями, индуцированными (1), был бы представляющим пространством соответствующего функтора (на категории конечных CVK-комплсксов). (Забегая вперёд отметим, что при отсутствии каких-либо условий на пару чисел к и I не получается интересной теории, т.к. в этом случае при переходе к прямому пределу относительно вложений матричных грассманиа-нов, индуцированных вложениями алгебр, происходит локализация классифицирующего пространства по всем простым числам. Содержательная же топологическая теория получается в том случае, если рассматривать матричные грассманианы Gr'k к1 со взаимно простыми к и I. Она оказывается тесно связанной с приведённой /^-теорией ¿'[/-расслоений).

В процессе развития интуитивных идей, заключённых в (i), (ii) был определён специальный класс расслоений, которые суть локально тривиальные расслоения со слоем, изоморфным матричной алгебре над полем С, для которых фиксирован класс вложений в тривиальное расслоение со слоем — матричной алгеброй (в дальнейшем они называются "расслоениями на алгебры", РА).

Целью работы было построение и изучение гомотопического функтора со значениями в категории абелевых групп, связанного с описанными выше расслоениями.

Основные результаты, полученные в дайной работе, суть следующие.

1. Введён и изучен новый класс расслоений (плавающие расслоения на алгебры, ПРА).

2. С помощью расслоений этого типа определён гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп. Доказано, что представляющим пространством этого функтора является индуктивный предел матричных грассманианов со структурой //-пространства, определяемой тензорным умножением алгебр.

3. Изучены связи получающейся теории с классической /С-теорией. В частности, получена геометрическая интерпретация структуры //-пространства ВБи® в терминах ПРА.

4. Построены и изучены характеристические классы ПРА.

Кроме того, впоследствии была получена интерпретация построенных расслоений в терминах проективных пространств и их отображений Сегре, что, по мнению автора, может оказаться полезным для приложений этой теории.

Перейдём к изложению содержания работы. В начале § 1 главы 1 делается обзор основных результатов об алгебрах и проективных пространствах, используемых в дальнейшем. Далее в этом параграфе даются основные определения, касающиеся изучаемого класса расслоений. Параллельно излагаются два по-существу эквивалентных подхода - использующих матричные алгебры и проективные пространства.

В § 2 главы 1 определяются матричные грассмапианы как однородные многообразия. Аналогично случаю грассманианов подпространств, над матричными грассмапиапами рассматриваются канонические расслоения на алгебры и на проективные пространства, а также соответствующие главные расслоения, которые интерпретируются как расслоения реперов. С помощью введения метрики (эрмитовой в случае алгебр, кэлеровой в случае проективных пространств) в слоях, структурные группы расслоений редуцируются к максимальным компактным подгруппам. В этом же параграфе покаянно, что рассма,трпва,ем ые рисслосчIмя локально тривиальны и алгебраическом смысле (т.е. локально и таком расслоении существует репер, тензор структурных констант слоев (рассматриваемых как алгебры) в котором постоянен).

В § 1 главы 2 вычислены стабильные гомотопические группы матричных грасемапианов и изучено их поведение при вложениях грас-еманианов, индуцированных вложениями алгебр. В этих вычислениях проявляется выделенность случая грассманианов Сг'к к1 при условии (А;,/) = 1 (и отвечающих им плавающих расслоений), в частности показано, что локализация гомотопических групп при переходе к прямому пределу не происходит только при выполнении этого условия.

В § 2 главы 2 показано, что матричные грассманианы (вместе с каноническими расслоениями на алгебры над ними) действительно являются классифицирующими пространствами расслоений на алгебры. Доказано, что всякое расслоение со слоем матричная алгебра, ассоциированное с главным РСЬ(С)-расслоением, является подрас-слоением некоторого тривиального расслоения со слоем матричная алгебра (при этом слои первого расслоения вкладываются в слои тривиального как центральные простые подалгебры).

В § 1 главы 3 вводится отношение стабильной эквивалентности на множестве всех (не обязательно плавающих) расслоений на алгебры, па классах эквивалентности определяется структура абелевой группы, индуцированная тензорным произведением расслоений. Соответствующий функтор на категории конечных СЖ-комплексов оказывается представимым индуктивным пределом матричных грассманианов.

В § 2 главы 3 изучается /Г-функтор, связанный с ПРА. На множестве ПРА определяется отношение эквивалентности (более тонкое чем то, которое индуцируется па множестве ПРА как на подмножестве множества РА отношением эквивалентности, введённым в предыдущем параграфе)и далее доказывается, что индуктивный предел матричных грассмапманов Ст'кк1 с условием (к,1) = 1 является классифицирующим пространством ПРА с данным отношением эквивалентности. Оказывается, что гомотопический тип этого предела не зависит от выбора последовательности пар чисел {к^, удовлетворяющей условиям (к^,^) = 1 и к^к^^^^^+х для любого 7 £ К, с помощью которой мы к пределу 1ип Сг'к. к7. переходим. Да3 лее доказывается, что этот единственный гомотопический тип есть ВБи. Доказана также важная для дальнейшего лемма 3.8. Небольшое отступление от основной темы посвящено установлению связи полученных результатов с вопросами, касающимися группы Брауэ-ра; в частности, указывается па аналогию между классом матричных алгебр в группе Брауэра над полем и ПРА.

В § 3 главы 3 выявлена связь между ПРА и векторными БИ-расслоениями. Построена биекция между К311(Х) и множеством классов определенной в данной работе эквивалентности ПРА над X. Доказано, что как //-пространство, классифицирующее пространство ПРА изоморфно ВБи^ и, тем самым, получена геометрическая интерпретация структуры .//-пространства на ВБи^ в терминах ПРА. Во второй половине параграфа, с помощью упомянутой выше биекции, определяются стабильные характеристические классы ПРА. В частности, там даётся алгоритм, позволяющий выразить характеристические классы тензорного произведения двух ПРА через характеристические классы сомножителей.

3.4 Заключение

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре кафедры Высшей геометрии и топологии "Алгебраическая топология "под руководством проф. М.М. Постникова, на семинаре по тензорному анализу под руководством акад. А.Т. Фоменко и проф. В.В. Трофимова кафедры Дифференциальной геометрии и приложений, на семинаре "Кольца и модули "кафедры Высшей алгебры под руководством проф. A.B. Михалева, на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения JI.C. Понтрягина. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Топология и анализ"под руководством профессоров И.К. Бабепко, A.C. Мищенко, Ю.П. Соловьева и Е.В. Троицкого, к.ф-м.н. A.A. Ирматова и В.М. Мануйлова.

В заключение автор выражает благодарность всем, кто помогал и поддерживал его в работе над диссертацией и прежде всего своему научному руководителю — Евгению Вадимовичу Троицкому. Автор глубоко благодарен также профессору А.С.Мищенко за в высшей степени полезное обсуждение результатов работы, а всем участникам семинара "Топология и анализ "за благожелательное отношение и творческую атмосферу. Автор благодарен также профессору Э.Б.Винбергу за очень полезное обсуждение алгебраической стороны данной работы.

1. адамс Дж.Ф. Бесконечнократные пространства петель. — М.: Мир, 1982.7

2. Берже М.,Берри Ж.-П.,Пансю П.,Сеы-РеЙМОН К. Задачи по геометрии с комментариями и решениями. — М.: Мир, 1989.ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979.винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М.: Наука, 1988.

3. ГРИФФИТС Ф.А., МОРГАЙ Д.В. Рациональная теория гомото-пий и дифференциальные формы. —- М.: На.ука, 1990.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984.каруби М. ^-теория. Введение. — М.: Мир, 1981.10| Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986.

6. Манин Ю.И. Кубические формы. — М.: Наука, 1972.12| Милнор Дж., С'гашефф Дж. Характеристические классы.- М.: Мир, 1979.

7. МИЛНОР Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965.

8. Мошер Р., Тангора М. Ко1 омологические операции и их приложения к теории гомотопий. — М.: Мир, 1970.

9. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

10. Платонов В. П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы и теория чисел. — М.: Наука, 1991.

11. ПОСТНИКОВ М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. — М.: Наука, 1982.

12. ПОСТНИКОВ М.М. Локализация топологических пространств // УМН. 1977. - Т. 32, N6.-0. 117-181.

13. Рохлин В.А., ФУКС Д.Б. Начальный курс топологии. — М.: Наука, 1977.

14. СВИТЦЕР Р. Алгебраическая топология: гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1995.

15. СЕРР Ж.-П. Когомологии Галуа. М.: Мир, 1968.22. сулливан Д. Геометрическая топология. — М.: Мир, 1975.

16. ШАФАРЕВИЧ И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.

17. ВОТТ R. The stable hoiriotopy of the classical groups // Ann. Math. 1959. - V. 70, - P. 313-337.

18. SEGAL G. Categories and cohomology theories // Topology. 1974. - V. 13, - P. 293-312.

19. ЕРШОВ А. В. О гомотопических свойствах расслоений со структурной группой автоморфизмов матричных алгебр // Вестник Московского Университета, сер. Математика. Механика. №6, 1999, с. 56-58.

20. ЕРШОВ А. В. О К-теории расслоений на матричные алгебры // УМН, Т. 55, Вып. 2, 2000, с.137-138.

21. ЕРШОВ А. В. О К-теории расслоений на матричные алгебры // Вестник Московского Университета, сер. Математика. Механика. №2, 2000, с. 59.