Гомотопические свойства расслоенийсо структурной группой автоморфизмов матричных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

I', и /..

13 К';') ;. }

Ершов Андрей Владимирович

УДК 515.14

Гомотопические свойства расслоений со структурной группой автоморфизмов матричных алгебр

(01.01.04 — геометрия и топология)

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: д,ф.-м.н., профессор

Е. В. Троицкий

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор

В. А. Артамонов

д.ф.-м.н., профессор В. А. Смирнов

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится

ч

2000 г.

с 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.05 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, сектор "А", ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /14 этаж/.

Автореферат разослан

2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д 053.05.05 при МГУ д.ф.-м.н., профессор

В. Н. Чубариков

В18г, ^^ ,оз

У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория векторных расслоений и связанная с ними топологическая /¿'-теория играют важную роль как в самой топологии, так и в других разделах математики. Это давно уже ставшая классической область математики была в основном развита в конце 50-х — начале 60-х годов в работах Дж. Адамса, М. Атьи, Р. Ботта, Ф. Хирце-бруха и других авторов1. Тогда же было замечено, что комплексная и вещественная /{"-теории являются примерами т.н. обобщённых теорий кого-мологий. С тех пор было построено множество интересных примеров таких теорий, среди них — теории, связанные с группами единиц в кольцах обобщённых теорий когомологий с достаточно хорошим умножением. Например, рассмотрим мультипликативную группу G{X) сумм вида 1 + х, х 6 Кс(Х), где Кс — приведённый комплексный /¡Г-функтор. Известно2, что G(X) является нулевым членом некоторой теории когомологий. Легко видеть, что группа G(X) представляется Я-пространством BUт.е. пространством BU со структурным отображением ц: BU х BU —> BU, определённым с помощью тензорного перемножения виртуальных расслоений виртуальной размерности 1. Тогда приведённое утверждение эквивалентно тому, что Н-пространство BU® является бесконечнократным пространством петель3. Это же верно и для пространства BSUт.е. данное пространство представляет гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, который является нулевым членом некоторой обобщённой теории когомологий. Однако само определение этой группы (как группы виртуальных SU-расслоений виртуальной размерности 1) является довольно формальным, было бы интересно получить интерпретацию элементов этой группы (а также групповой операции) в терминах каких-либо известных геометрических объектов. Это, в частности, открывало бы перспективу приложения данной теории, например, к гладким многообразиям. В данной работе такая интерпретация полу-

'см. например следующие монографии, переведённые на русский язык: Атья М. К-теория. — М.: Мир, 1967; Каруби М. /^-теория. Введение. — М.: Мир, 1981; Хьюз-моллер Д. Расслоенные пространства. — М.: Мир, 1970.

2Segal G. Categories and cohomology theories// Topology. - 1974. V. 13, - P. 293-312.

3 Адаме Дж. Ф. Бесконечнократные пространства петель. — М.: Мир, 1982.

чена с помощью некоторого специального класса расслоений со слоем матричная алгебра (или, что приводит к эквивалентной теории, проективное пространство).

К теме данной работы можно подойти также с другой стороны. Хорошо известно, что любое векторное расслоение над компактной базой является подрасслоением тривиального расслоения. Естественно спросить, верно ли аналогичное утверждение, например, в случае расслоений со слоем матричная алгебра. Точнее верно ли, что произвольное локально тривиальное расслоение со слоем матричная алгебра является (в случае компактной базы) подрасслоением тривиального расслоения со слоем матричная алгебра, при этом таким, что вложение в тривиальное расслоение является послойным гомоморфизмом матричных алгебр как алгебр с единицей? Этот вопрос кажется ещё более естественным, если обратить внимание на аналогию между операциями взятия ортогонального дополнения к подпространству в случае пространств с метрикой и взятия централизатора центральной простой подалгебры в центральной простой алгебре4. Оказывается, что ответ на приведённый вопрос существенно зависит от того, требуем ли мы, чтобы ранг дополнительного подрасслоения (в смысле тензорного произведения) к данному в тривиальном расслоении был взаимно прост с рангом данного расслоения или нет.

Цель работы. Изучить гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, определяемый с помощью специального класса расслоений со слоем матричная алгебра, в частности, построить и изучить его представляющее Н-пространство, связи с классической К-теорией и характеристические классы.

Методы исследования. В работе использованы методы гомотопической топологии, в частности, аппарат теории препятствий, а также результаты теории классифицирующих пространств и /¿"-теории.

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней получены следующие результаты:

1) Введён и изучен новый класс расслоений со слоем матричная алге-

4по поводу свойств центральных простых алгебр см. монографию Пирс Р. Ассоциативные алгебры. — М: Мир, 1986.

бра.

2) С помощью расслоений этого типа определяется гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп. Доказано, что представляющим пространством этого функтора является индуктивный предел матричных грассманианов со структурой Н-пространства, определяемой тензорным умножением алгебр.

3) Изучены связи получающейся теории с классической К-теорией. Получена геометрическая интерпретация структуры Я-пространства ВБи® в терминах введённых в работе плавающих расслоений на алгебры.

4) Построены и изучены характеристические классы плавающих расслоений на алгебры.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны специалистам в области топологической /^-теории, теории кобордизмов а также алгебраической геометрии.

Апробация работы. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре кафедры Высшей геометрии и топологии "Алгебраическая топология" под руководством проф. М. М. Постникова, на семинаре кафедры Высшей алгебры "Кольца и модули" под руководством проф. А. В. Михалёва, на международной конференции, посвя-щённой 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Топология и анализ" под руководством профессоров И. К. Бабенко, А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьёва и Б. В. Троицкого, к. ф.-м. н. А. А. Ирматова и В. М. Мануйлова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на семь параграфов, и заключения. Список литературы содержит 31 наименование. Общий объём работы 72 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертации, описано содержание диссертации по главам и сформулированы основные результаты.

В § 1 главы 1 даются основные определения, касающиеся изучаемого класса расслоений. Определить их можно двумя по существу эквивалентными способами — с помощью матричных алгебр и проективных пространств.

Пусть X — конечный СЖ-комплекс, Мп := X х Мп(С) — тривиальное расслоение со слоем Мп{С) — алгеброй матриц размера п х тг над полем С.

Определение 1.3. Пусть А* — локально тривиальное расслоение над X со слоем матричная алгебра С) и предположим, что существует отображение расслоений

Ак---- Ми

X

такое, что для всякой точки х € X ограничение отображения ¡л на слой {Ak)s = А4(С) определяет вложение последнего в слой (Мы)х — Mki{С) в качестве центральной простой подалгебры. Тогда тройку (Ак,(1,Мы) назовём расслоением на алгебры (РА) над X. Если, кроме того, к и I взаимно просты (наибольший общий делитель (к, 0 = 1), то тройку (Ак, /i, Мы) назовём плавающим расслоением на алгебры (ПРА).

В терминах проективных пространств это определение выглядит следующим образом.

Определение 1.5. Пусть X — конечный CW-комплекс; Р*-1, Ql~l — два локально тривиальных расслоения со слоями СРк~х, СР1~1 соответственно и предположим что существует отображение расслоений

(здесь Рк~1хСд1 1 — произведение расслоений над X, СР — тривиальное расслоение над X со слоем СРк1~1) такое, что для всякой точки х € X слой (Рк~1х01~1)х = СР*~1 х СР'-1 вкладывается в слой

X

_к[—1

(СР )х = СРк1~~1 посредством вложения Сегре. Тогда расслоение Р*-1х(3'-1 назовём расслоением произведений Сегре (РПС), а в случае (к,1) = 1 — плавающим расслоением произведений Сегре (ПРПС).

Естественным образом определяется отображение двух РА над X {Ак,ц,Мы) и (Вт, и, Мтп) (которое существует только в случае к | т, I | п) как пара (/,д), состоящая из отображений расслоений /: А^ «-+ Вт, 5: А/*, > Мт„, являющихся послойными гомоморфизмами алгебр и такая, что получающийся квадрат отображений коммутативен (определение изоморфизма РА отдельно дано ниже). Аналогично определяются отображения РПС.

Далее в главе 1 рассматривается однородное многообразие, параметризующее подалгебры, изоморфные М*(С) в фиксированной матричной алгебре Мы{С) (или, эквивалентно, произведения Сегре СРк~1 хСР1-1 С СРк1~1). По аналогии с обычным грассманианом подпространств он назван матричным грассманианом и обозначен через Сг'к к1. Над ним рассматривается каноническое РА (Л'к, д', М'^) (или РПС Р'к~1 х Я1'1),

которое в случае взаимно простых к и I является ПРА (соотв. ПРПС). С помощью стандартного приёма редукции структурных групп некомпактное многообразие Ст'к к1 заменяется гомотопически эквивалентным ему компактным С??-*,«, слои канонического РА (соотв. РПС) над которым имеют согласованную унитарную (соотв. кэлерову) структуру.

Т.к. категории РА и РПС (соотв. ПРА и ПРПС) над X канонически изоморфны, дальнейшее изложение будет вестись в терминах РА и ПРА.

В § 2.1 вычисляются стабильные гомотопические группы матричных грассманианов и их поведение при вложениях Сгк к1 Сгттп, индуцированных вложениями алгебр (=4- к\т,1\п). Уже на примере этих вычислений видно, что случай грассманианов Сгк,ы при условии (к, I) = 1, отвечающих ПРА, является выделенным, а именно, только при отображениях таких грассманианов гомотопические группы стабилизируются,

о

в общем же случае происходит локализация гомотопических групп. Это — причина того, что содержательная топологическая теория получается только для плавающих расслоений на алгебры.

По аналогии с обычными грассманианами естественно ожидать, что матричные грассманианы Стк,ы должны быть классифицирующими пространствами, а канонические РА (Ак, ц, М.и) над ними — универсальными для РА вида (Ак, ¡л, Мы) над конечными СИ^'-Комплексами достаточно малой размерности. В связи с этим приведём следующее предложение из работы.

Предложение 2.5. Пусть X — конечный С\¥-колтлвкс, сНт X < 2тт{&, I}, (Ль, ц,Ми) — ПРА над X, т.е. (к,1) = 1. Тогда существует и гомотопически единственно такое отображение <р\ X —> Сгк к1, что ^Р'(Ак, (л, Мы) — {Ак, ц, Мы) (т.е. ф — классифицирующее отображение для (Ак,ц,Мы)).

В другом крайнем случае — грассманианов вида Сгк,кп доказывается, что индуктивный предел 1]гп Сг^» томотопически эквивалентен

п

ВРи(к) — классифицирующему пространству проективной унитарной группы Р1/(к), при этом переход к пределу по п в терминах РА отвечает "забыванию" [л, т.е. функтору (Ак, ц, Мкп) *->• Ак, где А к рассматривается как локально тривиальное расслоение со структурной группой Р11(к). Это показывает, что изучение таких РА сводится (по крайней мере в стабильном смысле) к изучению локально тривиальных расслоений со структурной группой Ри(к). Это эквивалентно тому, что любое локально тривиальное расслоение Ак со слоем Мк(С) можно вложить в тривиальное расслоение со слоем С) (причём так, чтобы вложение было бы послойным гомоморфизмом алгебр как в определении РА) и при этом, по существу, единственным образом. Расслоения же Ак, которые вкладываются в тривиальное расслоение Мы при выполнении условия (к, I) = 1 (т.е. входят в состав ПРА (Ак,ц,Мы)), имеют весьма специальный вид, как это будет выяснено в дальнейшем. Кроме того, легко привести пример ПРА (над некоторым конечным СИ^-комплексом) вида (Мк, /х, Мы) (т.е. с тривиальным расслоением Ак), которое тем не менее даже стабильно не эквивалентно тривиальному ПРА (определения даны ниже).

Это говорит о том, что в случае ПРА вложение ¡л играет существенную роль. Поэтому в дальнейшем в работе изучается почти исключительно случай ПРА.

В главе 3 строится гомотопический функтор, связанный с ПРА, а также представляющее его пространство. Во-первых, доказывается, что для всех последовательностей пар, удовлетворяющих соотно-

шениям

(О °о; {\\) кДк^+х, (ш) (,) = 1

при любом ], соответствующие пространства 1|ш Сг^.,^ гомотопически

)

эквивалентны. Этот единственный гомотопический тип мы обозначим

через 1щ1 Огк,ы-

1^0*= 1 _ __

Обозначим через (Мк,т, Мы) тривиальное ПРА, т.е. такое, что [к,Г) = 1, а отображение т: X х М*(<С) Мы (С) определяется формулой

т(х,Т) = (х,Т ® Е{), где х € X, Е{ — единичная I х ¿-матрица и через Т® Е\ обозначено кронекерово произведение матриц. Дадим определение изоморфизма РА.

Определение 1.6. Изоморфизм между РА (Л*, ¿г, Мы) и (Ск, и, Мы) есть пара отображений расслоений / : А* -* С к, д : Мы —> Мы, являющихся послойными изоморфизмами алгебр, такая, что квадрат

Мы —^ Мы

|„ (3)

коммутативен,

Теперь мы можем дать определение стабильной эквивалентности ПРА.

Определение 3.3. Два ПРА (Ак,ц,Мы) и Мтп) назовём

стабильно эквивалентными, если существует последовательность пар натуральных чисел 1 < г < з, такая, что

(¿>{¿1, = {М}> {¿»."Л = {т,п}, (И)(иЬ+1, щщ+0 = 1 при 5 > 1,1 < г < й — 1,

и отвечающая ей последовательность ПРА (Ati,/Ji, M¡iUi), такая, что

.Aftmx) = (A^MkñjJAt^ti^Mt.u.) = (Вта, f,Mm„); (2){Au, IM, Mt,u>) ® (Mti+l,r,Mti+lUi+l) Si ®

(Mti,T,MtiUi) при s > 1,1 < i < s - 1, где (Mti,r,MtiUi) — тривиальное ПРА.

Это определение мотивируется тем, что пространство lim Grk¿i яв-

(*,o=i

ляется классифицирующим пространством для ПРА именно с данным отношением эквивалентности.

Далее показывается, что множество классов стабильной эквивалентности ПРА над X является абелевой группой относительно операции, индуцированной тензорным произведением ПРА. Для этого необходимо следующее

Следствие 3.5. Для произвольной пары {к, £} такой, что (i) (k, I) — 1, (ii) 2min{A, 1} > diniX, каждый класс эквивалентности ПРА над X имеет представитель вида (Ль, ¿c, Мы).

Пусть теперь [Ак, р, Mk¡) и (Вт, v, Мтп) — ПРА над X, произведение классов эквивалентности которых мы хотим определить. Если (fem, In) = 1, то ясно, что (Ak<g>Bm, ß®v, Mkimn) — ПРА. В противном случае заменим (используя предыдущее следствие) (Bm,i/,Mmn) на другой представитель того же класса (Вт<, и', Mm>ni), такой что (km', In') = 1. Класс эквивалентности произведения не зависит от выбора представителя {Bm',i/\ Мт'п')- Единичным элементом этой группы является класс тривиальных ПРА (Mk,T,Mki), обратным к классу (Ак, /х, Mk¡) — класс расслоения [B¡,v,Mk;), где Bi — дополнительное к Ак подрасслоение (объединение централизаторов слоев) с очевидным вложением v. B¡

ми.

Основные результаты, полученные выше, суммированы в следующей теореме.

Теорема 3.6. Классы стабильной эквивалентности ПРА с операцией, индуцированной тензорным произведением расслоений, определяют контравариантный гомотопический функтор на категории конечных CW-комплексов со значением в категории абелевых групп. Этот функтор мы обозначим через AB . Представляющим пространством этого

функтора является lim Grk>ki со структурой Н-пространства, определяемой отображениями Grk¿i х Grm¡mn —> Grkm,kmin пРи (km, In) = 1, индуцированными тензорным произведением алгебр.

Определение 3.7. Основой PA (Ak,p,Mki) назовём расслоение Ак, рассматриваемое как расслоение со структурной группой AutM^(C) = PGL(k).

Приведём теперь лемму, указывающую на одно важное свойство, которым обладают локально тривиальные расслоения со слоем матричная алгебра, являющиеся основами ПРА.

Лемма 3.8. Пусть X — конечный CW-комплекс, dimX < 2min{í;,m}. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) Ak — основа некоторого ПРА над X;

(ii) Для произвольного т, удовлетворяющего условию 2тп > dimAT, существует расслоение Вт со слоем Мт(С) такое, что Ак®Мт = Вт <В> Мк;

(iii) Для некоторого т, такого, что (k, т) = 1 Ак® Мт = Вт ® Мк.

Более того, по паре расслоений Ак и Вт над X, такой, что (k, тп) = 1 и Ак® Мт = Вт ® Мк, однозначно восстанавливается класс стабильной эквивалентности ПРА над X, который имеет (для произвольного достаточно большого п такого, что (km, п) = 1) в качестве представителей ПРА вида (Ak,ß,Mkn) и (Вт,и,Мтп) (для некоторых ß, v).

Здесь наибольший интерес представляет импликация (iii) (i), в доказательстве которой, основанном на теории препятствий, принципиальную роль играет взаимная простота чисел кит.

Далее в рассматриваемой главе устанавливается связь функтора AB и приведённого А'-функтора К SU, связанного с ^(/-расслоениями. Пусть X — конечный CW-комплекс, dim X < к, & — к-мерное комплексное 5С/(^)-расслоение над X. Рассмотрим пару

& <8> [А] - [к(к - 1)], © [т - А]) ® [m] - (т(т - 1)]

(здесь [n] — тривиальное расслоение ранга п над X) виртуальных расслоений виртуальных размерностей к и тп соответственно, где (к, т) = 1 и т > к. Обозначим через ф [гп — fc])* геометрические представители классов стабильной эквивалентности этих расслоений размерностей к и тп соответственно, которые существуют и единственны с точностью до изоморфизма в силу условия на dim X.

Предложение 3.12 (End&) ®Mm = (End(& © [го - /с])') <g> Мк.

Используя лемму 3.8. получаем, что по паре © [тп — /г])' при

(k,m) = 1 однозначно восстанавливается некоторый класс стабильной эквивалентности ПРА над X. Легко видеть, что он не зависит от выбора представителя KSU-эквивалентности расслоения f*. Более того, имеет место

Предложение 3.13. Корректно определено биективное отображение множеств

ф: KSU(X) —>АВ\Х) £к 1-* (Ak,Bm),

где Ak = End££, Вт = End(£fce[ro-A;J)*, (k,m) = 1, dimX < 2min{fc,m}.

В частности, основы ПРА имеют вид End Q для SU(к)-расслоений

Отсюда легко получается, что пространства lim Grk,ki и В SU гомо-

1

топически эквивалентны. Обозначим через BSU® пространство BSU со структурой Я-пространства, индуцированной тензорным произведением виртуальных 5[/-расслоений виртуальной размерности единица5. Отметим, что оно является даже бесконечнократным пространством петель6.

Теорема 3.15. Я-пространство lim Grk,ki с операцией, индуци-

«JT= 1

рованной тензорным произведением ПРА, изоморфно BSU® как li-щостранство.

Таким образом, группа AB (X) изоморфна мультипликативной группе (в терминологии теории формальных групп) кольца KSU(X), т.е. группе (т.к.Х — конечный СW-комплекс) с операцией £°т] = (; + т] + £г) к, 17 € KSU(X))._

sАдаме Дж. Ф. Бесконечнократные пространства петель. — М.: Мир, 1982 6Segal G. Categories and cogomology theories // Topology. -1974. - V. 13, - P. 293-312

С помощью расслоений на алгебры структура Я-пространства на Вви® может быть описана в более геометрических терминах. Рассмотрим, например, нахождение обратного элемента. Напомним, что для произвольного ПРА (Ак, д, Мы) можно определить дополнительное ПРА основа которого В1 — объединение централизаторов слоёв подрасслоения Ак в Мы, а и — соответствующее вложение. Класс эквивалентности дополнительного ПРА является обратным элементом для класса исходного ПРА. Это показывает, что структура матричной алгебры в слоях изучаемых расслоений играет ту же роль, что и метрика в случае векторных расслоений, рассматриваемых с операцией ® (напомним, что класс стабильно обратного расслоения можно получить, вложив векторное расслоение в тривиальное и взяв там ортогональное дополнение к его слоям).

Далее установленная связь между функторами АВ и КБЦ используется для изучения характеристических классов ПРА.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Е. В. Троицкому за постоянное внимание к работе, а также профессору А. С. Мищенко за полезные обсуждения затрагиваемых в диссертации тем.

Работы автора по теме диссертации

(1 ] Ершов А. В. О гомотопических свойствах расслоений со структурной группой автоморфизмов матричных алгебр // Вестник Московского университета, сер. Математика. Механика. № 6,1999, с. 56-58.

[2 ] Ершов А. В. О ^-теории расслоений на матричные алгебры // УМН, Т. 55, Вып. 2, 2000, с. 137-138.

[3 ] Ершов А. В. О /^-теории расслоений на матричные алгебры // Вестник Московского университета, сер. Математика. Механика. № 2, 2000, с. 59.