Группы автоморфизмов полей и их представления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512 546 4, 512 623 23, 512 73

РОВИНСКИЙ Марат Зефирович

Группы автоморфизмов полей и их представления

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

нищими

003165544

Москва - 2008

Работа выполнена в отделе алгебры Математического института РАН им В А. Стеклова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация:

Владимирский Государственный Университет

Защита диссертации состоится % (кмргкЭ, 2008 г в 1400 на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 при Математическом институте РАН им Стеклова по адресу Москва 119991, ул Губкина д 8 (9-й этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им В А Стеклова.

Автореферат разослан 25 февраля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 022 03 при МИ РАН,

доктор физико-математических наук Н П Долбилин

В А Исковских Л В Кузьмин

Ю А Неретин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Представленная работа касается трех областей, тесно связаных между собой методами, идеями и задачами а) теории полей и их (трансцендентных, вообще говоря) расширений, б) теории представлений топологических групп, в) алгебраической геометрии (бирациональной геометрии и теорий когомологий алгебраических многообразий) Из п в) приходят мотивировки, п б) - это место действия, а п а) - основа для б)

Теория Галуа возникла в работах Н X Абеля и Э Галуа как теория групп перестановок корней многочленов Р Дедекинд ввел поля и кольца, и начал рассматривать группы Галуа как группы автоморфизмов расширений полей Ему же принадлежит идея о том, что группу Галуа следует считать топологической группой Окончательно в случае алгебраического расширения эта идея оформилась в работе В Крулля [15], а для произвольных расширений - в работах Н Джекобсона, И И Пятецкого-Шапиро, И Р Шафаревича и др В этих работах группа автоморфизмов получила вполне несвязную топологию, базу открытых подгрупп которой составляют стабилизаторы конечных подмножеств поля, см [11, 23], и было построено естественное взаимнооднозначное соответствие между промежуточными подполями произвольного расширения, над которыми объемлющее поле является расширением Галуа, и компактными подгруппами группы автоморфизмов этого расширения Аналогичное соответствие было построено и для открытых компактных подгрупп В случае алгебраически замкнутого объемлющего поля было установлено, что группа автоморфизмов расширения локально компактна тогда и только тогда, когда степень трансцендентности этого расширения конечна Как показали Э Артин и О Шрай-ер, группы автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, состоящие из элементов конечного порядка, содержат не более двух элементов, причем они тривиальны в случае положительной характеристики Инволюции алгебраически замкнутых полей детально изучались Р Бэром, см [1], в связи с задачей восстановления таких полей по их группам автоморфизмов

Исследовалась также задача восстановления полей по их абсолютным группам Галуа (в случае числовых и р-адических полей - Ю Нойкирхом, в случае функционального поля многообразия размерности >1 над алгебраически замкнутым полем -ФА Богомоловым и др , см [5, 6, 7])

Все вышеупомянутые подгруппы являются группами автоморфизмов алгебраических расширений, т е обычными группами Галуа С другой стороны, интерес к «теории Галуа» трансцендентных расширений в работах [23, 9, 24, 30] связан с теорией автоморфных функций Как известно, группы автоморфизмов полей автоморфных функций являются группами точек алгебраических групп над конечными аделями, а действие этих групп

автоморфизмов на полях автоморфных функций является гладким (то есть все стабилизаторы открыты)

Первый результат о группе автоморфизмов расширения замкнутых полей «в делом» получил Д Ласкар Он показал в [19], что группа автоморфизмов поля комплексных чисел над подполем всех алгебраических чисел проста как дискретная группа Его рассуждение проходит для группы автоморфизмов любого алгебраически замкнутого расширения несчетной степени трансцендентности любого алгебраически замкнутого поля характеристики нуль

В работе [16] В Крулль задает несколько вопросов, один из которых, нельзя ли как-нибудь описать подгруппы автоморфизмов над промежуточными подполями группы автоморфизмов заданного нормального (в смысле Д Барбиляна) расширения полей7 (Вопрос ЗЬ) )

Обратимся теперь к теории представлений групп автоморфизмов расширений полей.

Теория представлений Галуа - весьма обширная область, и ее обзор увел бы далеко от изложения содержания настоящей диссертации

Отмечу только, что а) понятие формации (Э Артин и Дж Тэйт) эквивалентно паре, состоящей из подгруппы проконечной группы и гладкого модуля над ней, и что б) чрезвычайно мощным средством изучения представлений Галуа являются полулинейные представления Первый результат в этой области - это «Теорема 90» Д Гильберта гладкие полулинейные представления Галуа тривиальны Далее полулинейные представления изучались в работах Дж Тэйта, Ш Сена, Ж -М Фонтэна и др в контексте р-адических представлений Галуа

Группы автоморфизмов трансцендентных (то есть не алгебраических) расширений полей изучались мало, а их представления изучались ранее только в специальных случаях Основной, и самый важный случай, описать который здесь также не представляется возможным, - это теория автоморфных представлений Это - активно развивающийся и пространный предмет, связанный с теорией представлений Галуа гипотезами Р Лен-глендса Именно в связи с автоморфными представлениями, изучались гладкие представления локально компактных групп, в особенности, в случае р-адических и адельных групп, см [4] Одним из основных объектов исследования этой теории представлений являются допустимые представления 1

Изучались также унитарные представления некоторых топологических, в т ч вполне несвязных, групп Например, они описаны для бесконечных симметрических групп (А Либерман, Г И Ольшанский)

1 Представление вполне несвязной топологической группы Н называется допустимым, если оно — гладкое, и неподвижные подпространства всех открытых подгрупп Н конечномерны

И наконец, в алгебраической геометрии настоящая работа затрагивает те из мотивных вопросов, которые относятся к бирациональной геометрии Мотивными инвариантами обычно называют такие функторы на категориях многообразий, которые определяется геометрически, но зависят, безусловно или лишь гипотетически, только от когомологических инвариантов (таких как структура Ходжа, представление группы Галуа, фильтрованный модуль и т п )

Пример бирационального мотивного инварианта, видимо, самый универсальный, - это группа (Чжоу) 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности Как установил Д Мамфорд в [22], для поверхностей положительного геометрического рода эта группа «слишком велика», чтобы параметризоваться алгебраическими многообразиями Однако ее «мотив-ность» выражается частным случаем гипотезы Блоха-Бейлинсона о существовании некоторой фильтрации на Х-группах, факторы по которой «определяются когомологиями»

Несколько теорий когомологий алгебраических многообразий ведут себя параллельным образом и связаны изоморфизмами сравнения

Это подвело А Гротендика, П Делиня, А А Бейлинсона и др к гипотезе о существовании универсальной теории когомологий - со значениями в абелевой категории смешанных мотивов - и о тождествах между группами расширений между этими когомологическими объектами и /^-группами Ссылками для этого круга идей являются, например, [2], [14]

Для гладких проективных многообразий эта теория задается чистыми мотивами (они же - мотивы Гротендика по модулю численной эквивалентности), но только при условии, что численная эквивалентность совпадает с гомологической Как предположил Гротендик, и доказал У Яннсен в [12], категория чистых ковариантных ¿-мотивов М.^ абелева и полупроста, и она - это единственный естественный способ превратить категорию гладких проективных многообразий в абелеву полупростую категорию

В А Воеводский, М Левин и М Ханамура (см [31, 20, 10]) определили триангулированные категории, которые, как ожидается, должны быть эквивалентны производной категории смешанных мотивов Основная трудность состоит в построении ¿-структуры, сердцевиной которой была бы искомая абелева категория смешанных мотивов Это можно было бы сделать, если бы были доказаны «стандартные» гипотезы (в том числе, гипотезы Бейлинсона), см [3]

Другой подход, Делиня и Яннсена, см [13], состоит в рассмотрении согласованных наборов «реализаций» Здесь трудности связаны с недоказанностью гипотез Ходжа и Тэйта

з

Цель работы - исследование а) строения групп автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, б) их гладких линейных и полулинейных представлений, в) связей между теорией таких представлений и алгебраической геометрией (а именно, с бирациональной геометрией, алгебраическими циклами, мотивами, дифференциальными формами и пучками в различных топологиях) и г) аналогов (в данной ситуации) известных результатов теории представлений локально компактных (в особенности,р-адиче-ских) групп

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии, теории представлений локально компактных групп, теории алгебраических групп, теории Галуа и гомологической алгебры

Научная новизна состоит, в первую очередь, в исследовании алгебро-геометрических вопросов методами теории гладких представлений групп автоморфизмов алгебраически замкнутых полей До работы автора [25] такие представления не изучались Все основные результаты диссертации являются новыми Их можно условно разбить на следующие четыре группы

(1) Структура групп автоморфизмов расширений алгебраически замкнутых полей

(2) Бирациональные инварианты алгебраических многообразий и их связь с гладкими представлениями групп автоморфизмов алгебраически замкнутых расширений алгебраически замкнутых полей, общие факты о гладких представлениях

(3) Мотивы и их связь с некоторой абелевой категорией Хс гладких представлений групп автоморфизмов расширений алгебраически замкнутых полей.

(4) Гладкие полулинейные представления, их связи с гомотопическими инвариантами алгебраических многообразий и с абелевой категорией из п 3 при п = оо, см ниже

Обозначения Изучается группа автоморфизмов (3 расширения Р\к алгебраически замкнутых полей счетной (обозначение п = оо) или конечной степени трансцендентности п

Вышеупомянутые четыре группы основных результатов выглядят следующим образом

(1) • Установлено, что подгруппа С° группы (3, порожденная всеми компактными подгруппами, (и сама группа С в случае п = оо) топологически проста

• В качестве одного из приложений, при п = 1 в терминах группы <3° описано сепарабельное замыкание простого трансцендентного расширения поля к

• Описаны бинепрерывные автоморфизмы группы <3

4

(2) Построен аналог алгебр Гекке для групп, не являющихся локально компактными, установлены аналоги стандартных критериев полупростоты и неприводимости для гладких представлений В случае группы (3 и нулевой характеристики поля к (что будет отныне всегда предполагаться), некоторые из алгебр Гекке отождествлены с алгебрами невырожденных соответствий Каждому бирацио-нальному типу сопоставлен (З-модуль общих 0-циклов на нем над полем Р, и показано, что такие модули составляют систему образующих категории гладких представлений группы б, те любое гладкое представление группы (3 имеет «некоторый геометрический смысл»

Построены примеры пар существенно различных многообразий с одинаковыми наборами неприводимых подфакторов &'-модулей общих 0-циклов на них над полем Р

(3) • При п = оо построен пропредставимый функтор В*, задающий

полное вложение категории А4/с в категорию градуированных полупростых допустимых представлений группы О конечной длины над полем рациональных чисел В частности, категория абелевых многообразий над к с формально обращенными изогениями (то есть с группами морфизмов, тензорно домно-женными на рациональными числа) описана в терминах представлений (3, А н-► А(Р)/А(к) в степени О

• Построена подкатегория Серра (в частности, полная абелева) Та категории гладких представлений группы (3, обладающая хорошими формальными свойствами, объекты которой «гомо-топически инвариантны» Это позволяет объединить а рпоп разнородные теории когомологий и мотивные инварианты в рамках единой абелевой категории

• Каждому бирациональному типу X сопоставлен проективный объект С\(х) категории Тс таким образом, что совокупность объектов Сцх) для всех бирациональных типов задает систему образующих категории Та Установлена связь (а при га = оо - отождествление в случае кривых и некоторых других случаях) таких проективных образующих с группами 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности

• построен симметричный бифунктор 1с х Та —> Та-, который задает тензорную структуру на Та, если образующие С\(х) совпадают с группами Чжоу СН$(Хр)($, получен аналог формулы Кюннета С^х) Сцу) = ^(Хх^у)) если X (или У) - кривая

(4) • Показано, что при п = оо расширение коэффициентов с основ-

ного поля к до объемлющего поля Р задает полное вложение

категории Та(к) «гомотопически инвариантных» представлений над к в категорию гладких полулинейных представлений

• При п = оо установлена связь допустимых полулинейных представлений с кэлеровыми дифференциалами Доказано, что допустимые полулинейные представления G над F образуют абе-леву тензорную (но не жесткую) категорию Л, и что F -ее проективный объект Доказано, что любое конечномерное гладкое полулинейное представление G над F тривиально

• При п = оо получено явное описание категории Л допустимых полулинейных представлений в случае универсальной области над полем алгебраических чисел В частности, показано, что в этом случае неприводимые объекты категории Л изоморфны прямым слагаемым полулинейного представления iip, и категория Л отождествлена с категорией «когерентных» пучков в гладкой топологии

Научная значимость работы. Работа носит теоретический характер Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют приложения в алгебраической геометрии, теории представлений вполне несвязных групп и теории трансцендентных расширений полей, и могут иметь приложения в теории чисел и теории автоморфных представлений

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Математическом Институте им Стек-лова (2004, 2005, 2006, 2007), в Институте Макса Планка (2004, 2005), на семинарах в Институте Жюсье (2002), в Университетах Геттингена (2004), Регенсбурга (2006), Анже (2007), Тулузы-3 (2002)

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 69 наименований и приложения Объем диссертации - 180 страниц

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25, 26, 27, 28, 29]

Содержание работы

Пусть к и Е - поля нулевой (как правило) характеристики, причем к - алгебраически замкнутое Пусть F - алгебраически замкнутое поле, содержащее к, счетной (что будет основным случаем) или конечной степени трансцендентности п над к, где 1 ^ n ^ оо Пусть G = Gp\k - группа автоморфизмов расширения F|£;, снабженная вышеописанной топологией

в

0. Во введении определены основные понятия, используемые в диссертации, и описаны цели работы и ее главные результаты Введение делится на 4 параграфа

В первом параграфе резюмированы результаты о структуре групп автоморфизмов алгебраически замкнутых расширений алгебраически замкнутых полей, во втором описана связь теории представлений вышеупомянутых групп с алгебраической геометрией, в третьем определяются полулинейные представления, обсуждаются их связь с линейными представлениями и проблема «геометризации» представлений, те построения по представлениям функторов на категории гладких многообразий

В последнем параграфе введения собрано большинство обозначений

1. В первой главе изучается а) структура группы (7 и б) соответствия между различными типами подгрупп группы (3 и объектами, связанными с полем ^

Главный результат первого параграфа - это топологическая простота подгруппы группы (3, порожденной компактными подгруппами, и самой группы <3, в случае, когда п = оо

Изучение стабилизаторов гладких представлений приводит к вопросу, какими бывают открытые подгруппы группы (3? Столь же прямой ответ как в теории Галуа дать невозможно, но во втором параграфе построен (довольно явно) сюръективный морфизм моноида открытых подгрупп группы С? (с операцией пересечения) в моноид алгебраически замкнутых под-расширений конечной степени трансцендентности (с операцией замыкания композита), обращающий включения Показано, что в случае п = оо а) любая открытая собственная подгруппа содержится в максимальной, б) ограничение этого морфизма на подмножество максимальных открытых подгрупп биективно, в) максимальные собственные открытые подгруппы - это в точности стабилизаторы алгебраически замкнутых подрасширений конечной степени трансцендентности, и этот морфизм отождествляет эти стабилизаторы с соответствующими полями С помощью максимальных открытых собственных подгрупп удается выделить подгруппы автоморфизмов поля -Р1 над промежуточными подполями среди всех замкнутых подгрупп

Построена «теория Галуа» алгебраически замкнутых расширений полей счетной степени трансцендентности, то есть в топологических терминах описаны подгруппы автоморфизмов объемлющего поля над всеми промежуточными подполями

Это отвечает на вопрос ЗЬ) из [16] (в данном частном случае) В третьем параграфе обсуждаются дискретные нормирования поля Р конечного ранга и связанные с ними подгруппы группы б? Показано, что дискретные нормирования поля Р1 фиксированного конечного ранга г образуют С-орбиту Частный случай этого утверждения состоит в том, что

7

любая пара нормальных многообразий и любая пара строго убывающих цепочек длины г, состоящих из неприводимых подмногообразий до коразмерности г, доминируются третьим многообразием и цепочкой длины г, состоящей из неприводимых подмногообразий на нем до коразмерности г, соответственно Кроме того, доказано, что сопоставление подкольцу его стабилизатора вкладывает множество колец дискретного нормирования поля ранга один, содержащих к, во множество максимальных замкнутых, но не открытых, собственных подгрупп

В параграфе 4 обсуждается объединение компактных подгрупп В частности, строится отображение из него в некоторое векторное пространство, которое обобщает отображение Куммера С его помощью определяются некоторые инварианты классов сопряженности, различающие некоторые изоморфные подгруппы

В пятом параграфе введена локально компактная группа <3, снабженная непрерывным инъективным гомоморфизмом в группу б с плотным образом Явно описан модуль группы (5

В шестом параграфе описаны бинепрерывные автоморфизмы группы в А именно, они являются сопряжениями автоморфизмами поля Р, сохраняющими подполе к

2. Во второй главе изучаются общие свойства гладких представлений б (тес открытыми стабилизаторами) Во введении к ней обсуждаются общие свойства вполне несвязных топологических групп

В первом параграфе стандартный критерий неприводимости в терминах представлений алгебр Гекке распространяется на произвольные вполне несвязные группы

Обсуждается связь между неприводимостью представлений ]¥ группы (3 и неприводимостью представлений групп СР,\к для алгебраиче-

ски замкнутых подполей Р' поля Р конечной степени трансцендентности над к, см лемму 2 3 и предшествующее ей замечание Эта проблема возникают при изучении неприводимых представлений группы (3 индуцированием с меньших (в определенном смысле) подфакторгрупп Оказывается, что прояснение связи между неприводимостью вышеупомянутых объектов зависит от ответа на следующий вопрос верно ли что для любой стандартной открытой подгруппы вр\ь любое подпредставление представления, коин-дуцированного тривиальным представлением группы ациклично по

отношению к

Алгебры Гекке в случае группы (3 интерпретируются как алгебры невырожденных соответствий Вводятся функторы X А(ЪшХ(Хр) и X н-> Ач(Хр) из категории ^-многообразий (и противоположной к ней) в категорию <3-модулей С помощью «леммы о сдвиге» сравниваются морфиз-мы между такими <3-модулями и морфизмы в соответствующей категории «мотивов» Наконец, доказывается скалярность центров алгебр Гекке

8

Во втором параграфе изучаются неподвижные подпространства некоторых подгрупп группы G в тензорных произведениях некоторых G-модулей В параграфе 3 изучается неприводимость С°-модулей F/k и Fx/кх, где G° - подгруппа G, порожденная компактными подгруппами В частности, показано, что в случае п = 1 С°-орбита любого трансцендентного элемента х порождает сепарабельное замыкание поля к(х) Показано также, что на F/k и на Fx/kx точно действуют, соответственно, алгебры lim k[GjU]

*—и

и lim Q[G/[7], где U пробегает открытые подгруппы Из этого выведено

<—и

отсутствие финитных представлений любой подгруппы группы G, содержащей G° Отождествлены группы морфизмов между некоторыми коммутативными fc-группами (тензорно домноженные на Q) и между сопоставленными им G- и б?°-модулями

В четвертом параграфе приведены некоторые когомологические вычисления в категории Smo гладких представлений группы G в случае бесконечной степени трансцендентности

Например, показано, что Ext|TOO (A.(F)q, Q) = 0 для любой неприводимой коммутативной алгебраической группы А над к

В пятом параграфе изложены результаты, касающиеся случая бесконечной степени трансцендентности, полученные в совместной работе с У Янн-сеном

На категории гладких fc-морфизмов гладких /с-многообразий введена предтопология, в которой покрытия - это доминантные морфизмы Получившийся сайт назван доминантной топологией над к

При п = оо построена эквивалентность категории гладких G-множеств и категории пучков множеств в доминантной топологии над к Эта эквивалентность индуцирует эквивалентность категории гладких G-групп (соотв представлений G над полем Е и т п ) и категории пучков групп (соотв Е-векторных пространств и т п ) в доминантной топологии над к Это означает, что гладкие представления соответствуют бирациональным инвариантам гладких проективных /с-многообразий со свойством спуска Галуа

Пример X н-> Г(Х, и X н-> - пучки в доминантной то-

пологии (X - гладкое проективное) Однако X Г(Х, Sym^fi^-^) пучком не является Чтобы это увидеть, можно рассмотреть случай, когда X - гиперэллиптическая кривая Г(Х, ^3f|fc)Aut^ 0, в то время как

r(P|,<g)20i^lfc) = o

Эта эквивалентность сопоставляет функтору Т его «общий слой» Т > T{F) = lim F(U), где U пробегает гладкие fc-многообразия k(U)cF

Когомологии G-модулей интерпретируются как когомологии Чеха соответствующих пучков, с помощью чего, в §5 4, удается установить ацикличность некоторых классов G-модулей, в частности, «гомотопически инвариантных», см ниже, и «геометрических» представлений G

если Т - функтор на категории гладких ¿-многообразий и всех их мор-физмов со значениями в группах, то множество Н1(С,^(Р)) состоит из единственного элемента, если значения Т - абелевы группы, то для всех д > О группы Ид{С, Р{Р)) - нулевые

Здесь же установлена бесконечность когомологических размерностей категорий гладких линейных и полулинейных представлений в случае п = оо В §5 5 вводится понятие Ах-инвариантного предпучка и приводится пример такой топологии и такой категории £, что все £-значные пучки А1-инвариантны

В шестом параграфе обсуждаются коиндуцированные представления группы <3 Это попросту - общие 0-циклы над ^ на ¿-многообразиях Приведены примеры существенно различных ¿-многообразий, у которых эти модули имеют одни и те же неприводимые подфакторы Показано, что если поля клЕ счетны, то имеется ровно неприводимых гладких представлений группы С? над Е

3. В главе 3 изучается подкатегория Та{Е) «гомотопически инвариантных» представлений группы С? над полем Е, в основном, в случае бесконечной степени трансцендентности

Это - центральный объект исследования работы в целом, поскольку а) имеются основания ожидать, что любой неприводимый объект Ха является прямым слагаемым образа некоторого чистого мотива относительно функтора В*, и, в частности, функтор В* является эквивалентностью категорий,2 б) категория Ха обладает хорошими формальными свойствами, в) всех гладких представлений группы С? «слишком много»

Категория Та (Е) была определена во введении как полная подкатегория категории Зта(Е) гладких ^-представлений группы (3 с такими объектами IV, что = для любого расширения Ь поля квРи для любого чисто трансцендентного расширения Ь'\Ь в Р

В терминах и в контексте §5 второй главы, она эквивалентна категории А1-инвариантных пучков в доминантной топологии, см §5 5, что объясняет терминологию

Основные результаты третьей главы можно сформулировать следующим образом

Теорема 1. Категория Ха(Е)

• замкнута относительно перехода к подфакторам в Б та (Е), и в частности, абелева,

• замкнута относительно расширений в 5та(Е) тогда и только тогда, когда п = оо,

^Это можно рассматривать как аналог соответствия Ленглендса с мотивами вместо представлений группы Вейля, и с (3 вместо алгебраической группы над неархимедовым полем Более того, имеются указания на связь представлений С? с гипотетической категорией смешанных мотивов

• замкнута относительно внутреннего функтора Нот на Sma(E) при п = оо,

• содержит все допустимые представления G над Е при п = оо

(1) Функтор включения Та (Е) <-» Sma(E) допускает левый и правый сопряженные функторы X, — Sma{E) —> Zg(E) - универсальные факторобъект и подобъект в Iq{E) В частности, любой мор-физм из гладкого представления W группы G в объект Та пропускается через TW G Tq

(2) В случае n = оо в категории Stria нет ненулевых проективных объектов В отличие от категории SmQ, в категории Та достаточно много проективных объектов А именно, объекты Сцх) =

/к

TQ[{k(X) F}] для всех бирациональных классов X неприводимых многообразий над к задают систему проективных образующих категории Та Сопоставление X н-> Сь(х) определяет пучок в доминантной топологии над к со значениями в Tq, который А1 -инвариантен

(3) Имеется каноническая неотрицательная (T°W = W) функтори-алъная убывающая фильтрация Т* на объектах категории Tq В частности, для любого гладкого собственного многообразия X над к имеются дг^Сцх) = Q и gr^C^x) = Alb(Xj?)Q, и неканоническое расщепление СцХ) — Q Ф Alb(Xp)Q © J-2 Член -F2Cfc(x) этой фильтрации определен однозначно этими условиями и условием, что Нотa{F2Ck{X)M = 0 ы НоmG{T2Ck{X),A{F)/A{k)) = 0 для любого абелева многообразия А над к Здесь Alb - многообразие Альбанезе

(4) Для любого гладкого собственного многообразия X над к имеется каноническая сюръекция СцХ) —' CHo(Xf)q, инъективная, если X унирационально над кривой (ив некоторых других случаях, когда «известна» СНо(Х), например, еслиХ - фактор четномерной гиперповерхности Ферма степени dim X + 2 или dim X + 3, для которого CHq(X) - циклическая)

(5) В Та (Е) существуют (ко-) пределы

В §1 5 описано максимальное подпредставление из Та в тензорной алгебре 1-форм на F\k, т е А именно, показано, что для любого гладкого проективного X любой G-гомоморфизм из Сцх) в пропускается через CHq(Xf)q, и через Q'F\k рег, то есть

HomG (СНХ), iij.|fc) = HomG (CH0(XF), (g)' iij.|fc) = Г(Х, il'x[k)

li

Теорема 2. Категория допустимых представлений группы С? абелева, замкнута относительно взятия подфакторов в категории представлений С, и относительно расширений в категории гладких представлений в

Типичный объект категории Та ~ <Ц)-векторное пространство СНя(Хр циклов коразмерности д ^ 0 на схеме X Хц Р по модулю рациональной эквивалентности для любого гладкого многообразия X над к

Для любого гладкого неприводимого собственного многообразия X над к имеется естественная сюръекция Сцх) —' СЩ(Х у.и Р)о Есть основания ожидать, что это - изоморфизм при п = оо С этой гипотезой связана ассоциативность «тензорной» структуры на Та, построенной во втором параграфе А именно, там доказано, что если Сцх) —' С Но (X х ¡¡. -изоморфизм, то имеется «формула Кюннета», канонический изоморфизм

Ск(Ххку) —> 1{Ск{х) <8> Сцу)),

из которой следует ассоциативность операции Т(0 И^) на Там же доказана «формула Кюннета» для случаев, когда один из множителей одномерен

По аналогии с теорией Ходжа, предположено, что присоединенные факторы фильтрация уровня N. (определенной в §1 2) полупросты для любого объекта Та Из этого выводится, что фильтрация уровня N. должна быть строго совместима с морфизмами в Та В свою очередь, гипотеза о полупростоте присоединенных факторов фильтрации N. выведена из «мо-тивных» гипотез и из гипотезы о совпадении проективных образующих категории Та с соответствующими группами Чжоу 0-циклов

Помимо упомянутых ранее, остальные результаты параграфа можно резюмировать следующим образом

В §1 5 показано, что представления, контрагредиентные к объектам Та тривиальны при п = оо Однако если рассматривать мотивные представления лишь как представления локально компактной группы©, то в §3 1 геометрически описаны их котрагредиентные, подкрученные на модуль группы <8 Это выводится из доказаной там же естественной двойственности (^-векторных пространств В&1шХ (Хцу)) и ВА1ТаУ(Уцх)) Для любой пары гладких неприводимых собственных ^-многообразий X и У

Подчеркнем, что В*{Хр) - допустимое представление группы <3 В частности, чистые эффективные мотивы образуют полную подкатегорию в категории градуированных полупростых допустимых ©-модулей Заметим, что поскольку категория градуированных полупростых допустимых <5-модулей конечной длины самодвойственна, произвольные чистые мотивы (не обязательно эффективные) можно реализовать в этой категории

Примитивным (¡-мотивом называется такой чистый мотив (т е такая пара) (Х,7г), что X - гладкое д-равноразмерное проективное многообразие и

12

Нот(У x P1, (X, 7г)) = 7г Bq(X xk Y x P1) = 0 для любого гладкого проективного многообразия Y над к размерности < q

Из теоремы Яннсена, см [12], выведено, что любой чистый мотив допускает «примитивное» разложение 0 MtJ <g> L®*, где Мгз - примитивный j-мотив и L = (Р1, Р1 х {0}) - мотив Лефшетца

Теорема 3. (1) Говорят, что уровень G-модуля W равен q, е ели NqW = W и Nq-\W = 0 Тогда для любых l^n^oouq^Q имеется функтор 23е, вполне строгий при q п

( чистые примитивные 1 ш' Г полупростые допустимые G-модул и 1 g-мотивы над k J \ конечного типа и уровня q J

(2) Если п < оо, то на G-модуле <Bn(M) = Вп(к(Х) F) имеется билинейная симметрическая невырожденная G-зквивариант-ная форма со значениями в ориентированном G-модуле Q(x) степени 1, где М = (X, Afcpf)) - максимальный примитивный п-подмотив мотива (X, Ах) для любого неприводимого гладкого собственного п-мерного k-многообразия X Мотив (X, А^(х)) ~ бира-ционалъный инвариант X

Эта форма определена, если для (п — 1)-циклов на 2п-мерных комплексных многообразиях численная эквивалентность совпадает с гомологической Например, это заведомо верно при п ^ 2

По аналогии с соответствиями Лэнглендса, можно называть неприводимые представления группы G в образе функтора 23™ каспндальными

Грубо говоря, функтор Ъч определен как пространство 0-циклов над F по модулю «численной эквивалентности над fc» Показано, что функтор 259 пропредставим Представление 259((Х, 7г)) зависит только от класса бира-циональной эквивалентности X Более того, композиция функтора 931 с забывающим функтором в категорию &"°-модулей также вполне строга, и функтор 031 - эквивалентность категорий при п = оо

Параграф 3 завершается доказательством бесконечномерности поляризуемых представлений (в смысле теоремы 3(2)) Это выводится из обращения в нуль подпространств в поляризуемых G-представлениях, неподвижных относительно компактной подгруппы Gf|l(z) (здесь L\k - подрасши-рение в F, а х - элемент поля F такие, что х трансцендентен над L, a F алгебраично над L(x)), что должно соответствовать тривиальности примитивных n-подмотивов мотива (У х Р1, тг)., где dim У < п Обсуждены возможные связи со смешанными мотивами Эквивалентность категорий из §5 главы 2, сопоставляющая G-модулю пучок абелевых групп в доминантной топологии над к, — далеко не единственный разумный способ сопоставить представлению некоторый пучок В параграфе 4, при п = оо, обсуждаются альтернативные возможности

13

По каждому дискретному нормированию V ранга 1 поля Р, тривиального на к, построен вполне строгий подфунктор забывающего функтора (—)« Б та —> Зта^ в категорию гладких представлений стабилизатора С.„ нормирования V Доказано, что ограничение (—)„ на 1а совпадает с забывающим функтором

Рассматривается следующая, «не столь дырявую» как доминантная, то есть «более геометрическая» предтопология В качестве категории берутся локально доминантные /с-морфизмы гладких многообразий над к, а в качестве покрытий - гладкие морфизмы, сюръективные над общей точкой каждого дивизора снизу Ассоциированная топология называется топологией Хартогса над к

С помощью функторов (—)« в п 4 1 построен функтор из категории гладких представлений группы С? над полем Е в категорию пучков Е-векторных пространств в топологии Хартогса над к

Примеры и(Ун Г(У, П^.)) для любого гладкого У, этот функтор аннулирует модуль общих 0-циклов на ^-многообразии X положительной размерности 2о{к(Х) Е) н-> 0, представление Бут^О^ переходит

в пучок, значение которого на кривой У - это сечения пучка (Я)^ с простыми полюсами

Имеются также способы получать из представления пучок в

гладкой топологии но из них описан в деталях только способ,

относящийся к пункту (4)

Получены следующие условия на факторы объектов Та®Р V,, Р = V и Г^У)®*:^ —» V сюръективно для любого ТУ е Та и любого полулинейного фактора V объекта Ш®Е («интересные гладкие полулинейные представления группы С? глобально порождены») (в частности, любое неприводимое полулинейное представление V, содержащее «гомотопически инвариантное» представление), «глобально порожден» Здесь Г Б та -—> вта - аддитивный подфунктор тождественного функтора, определенный пересечением IV >—> Г(РУ) = Р)^ \¥.и по всем -и как выше

Пример = П*.,^ - @А(А(Р)/А(к)) ®ЕпАА Т(А,П\1к), где

А пробегает множество классов изогении простых абелевых многообразий над к, - пространство регулярных 1-форм

ГofoГ

Кроме того, показано, что композиции Та (к) —> С —» Бта(к) и Та Б та Згпа тождественны

В параграфе 5 проверяется, что функторы Р%к Та(к) —> С и Рх® Та —> Бгпа вполне строги, и что полулинейные представления, коиндуци-рованные тривиальными представлениями открытых подгрупп вида не содержат объектов Та Поэтому, помимо В*, существуют другие вполне

строгие функторы из категории чистых мотивов в категорию гладких градуированных представлений С Однако эти функторы не сохраняют неприводимость

В параграфе 6 построена эквивалентность категории Тс и категории невырожденных модулей над алгеброй с идемпотентами Ьт Сь, а функ-

<—ь

тор Т отождествлен с функтором ( 1ип Сь)®и Зтс —> Тс

<—ь

В параграфе 7, по аналогии с теорией Р Хоу, К Бушнела, Ф Куцко и др , обсуждается возможмость изучения категории Тс путем ограничения ее объектов на компактные открытые подгруппы группы ©

В параграфе 8, показано, что забывающий функтор индуцирует эквивалентности между категориями Тс и некоторой полной подкатегорией 2© в 5гав (которая определяется аналогично Тс), а также между категорией допустимых представлений группы в и категорией допустимых представлений группы 65 из X©

4. В четвертой главе изучаются полулинейные представления, то есть векторные пространства над полем Р, снабженые полулинейным действием некоторой группы автоморфизмов поля Р Например, 0,щк - гладкое полулинейное представление группы С?

За исключением нескольких примеров, в этой главе предполагается, что - универсальная область над некоторым алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики

Мотивировкой служит следующая (рабочая) гипотеза, неприводимые объекты Тс содержатся в П*^ Из этой гипотезы нетрудно вывести, например, «мотивность» групп Чжоу 0-циклов, см «следствие» 0 8 2

В §1 1 собраны основные обозначения, используемые в данной главе Из них нам понадобятся следующие Пусть к, Р и С = Ср^ ~ те же, что и выше

Зафиксируем базис трансцендентности Ж2, жд, поля Р над к, и для каждого целого п ^ 1 положим Кп = к{х\, , х„) Кп будет полем функций проективного пространства см ниже

Пусть Уп = Эрес/ф^1, , - дополнение к объединению координатных гиперплоскостей в Пусть = Рго_]/с[Х0, . Хп] - п-мерное проективное ¿-пространство, естественная компактификация многообразия Уп по отношению к аффинным координатам Х\ = Хл /Ха, , хп = Хп/Х0, и Сп = АиЦР£|&) = PGLта+lfc - его группа автоморфизмов

Пусть Тп С Сп - максимальный (расщепимый) тор, свободно (и тран-зитивно) действующий на Уп = (<Бт)" Обозначим через подгруппу кручения в Тп

Для любых II е С и п ^ 0 положим 11п =

В §1 2 описан план изучения категории допустимых полулинейных представлений группы (?, соответствующий содержанию §§6-12

15

В параграфе 2 приводятся примеры полулинейных представлений В §2 2 описаны гладкие линейные представления бесконечных симметрических групп

В параграфе 3, с помощью теоремы 90 Гильберта, изучены полулинейные представления групп, исчерпываемых компактными подгруппами Кроме того, показано, что конечномерные полулинейные представления мультипликативной полугруппы натуральных чисел, действующей на формальных рядах Лорана возведением параметра в соответствующие степени, получаются из линейных представлений расширением коэффициентов (теорема 4 8)

Исходя из этого, в параграфе 4 проверяется, что для полугруппы эндоморфизмов алгебраического тора расширение коэффициентов задает эквивалентность категории ее конечномерных полулинейных представлений над полем функций тора и категории ее конечномерных линейных представлений над основным полем (следствие 4 13)

В параграфе 5 доказано некоторое техническое утверждение о том, что рациональная матричнозначная функция от одной переменной, которая «очень похожа» на гомоморфизм, им, в действительности, является

Обозначим через С категорию гладких полулинейных представлений в Заметим, что любое гладкое неприводимое представление 6? содержится в гладком неприводимом объекте С

Так же, как и изучение линейных представлений группы, изучение полулинейных представлений естественно начинать конечномерных представлений Однако, из вышеупомянутого результата об ацикличности из §5 4 главы 2 (при Т = СЬ^ для всех натуральных Ы) следует тривиальность конечномерных гладких полулинейных представлений группы С? при п = оо, то есть любое такое представление изоморфно конечной прямой сумме копий поля Р

Естественным обобщением конечномерных представлений служат допустимые представления По определению, гладкое полулинейное представление V группы автоморфизмов С поля I7, называется допустимым, если для любой открытой подгруппы и С С? неподвижное подпространство Vй конечномерно над неподвижным подполем Ри (или эквивалентно, сЬть < оо для любого подполя Ь С Р конечного типа над к)

Большая часть четвертой главы посвящена изучению допустимых полулинейных представлений группы автоморфизмов универсальной области над некоторым алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики

Теорема 4. Допустимые полулинейные представления (? над образуют абелеву тензорную (но не жесткую) категорию, обозначаемую через Л

Функтор —) точен на А для любого подполя Ь С Р, так что

Р - проективный объект А

Пример Обозначим через т ядро гомоморфизма умножения Р&^Р Р Это - идеал в алгебре Р Р, степени Р которого для всех

б > 0 мы будем рассматривать как объекты С с ^-умножением слева, через

Заметим, что т®/т6+1 = Яут^О^ Поэтому полулинейные представления Д^,(т/тЛ) и ®р(т/т8) допустимы для любых д ^ 0 и в > 2, если степень трансцендентности к конечна, а объекты Яут^П^,^ допустимы всегда и для любых 3^1

В случае, когда к - поле алгебраических комплексных чисел, получено следующее явное описание категории А

Для каждых д > 0 и V е А пусть \¥ЧУ - сумма образов всевозможных С-морфизмов в У из ^-тензорных степеней ш Ясно, что ]¥' - функ-ториальная убывающая фильтрация на объектах А, и что эта фильтрация мультипликативна (И^У^&^И^Уг) С ЦГр+д(У\) для любыхр, д ^ О и любых Ух, У'2 £ Д

(1) Присоединенные факторы дг'^ фильтрации \¥' на объектах А - конечные прямые суммы прямых слагаемых объекта В частности, любой объект категории А допускает неприводимый фактор

(2) Категория А расщепляется в прямую сумму двух своих полных подкатегорий, одна из которых -Л° — состоит из объектов без ненулевых векторов, неподвижных относительно группы (3, а вторая эквивалентна категории конечномерных /с-векторных пространств

(3) Любой объект категории Л° является фактором прямой суммы объектов (конечной длины) вида (^)р(т/тг:) для некоторых д. э > 1

(4) Если V 6 А конечно порожден, то он конечной длины и размерность Ех^(У, V') (над к) конечна для любого ] ) 0 и любого V' е А, если V € А неприводим и Ех^^/т9, V) ф 0 для некоторого д > 2, то V = БугПрЫр и Ех^т/т", V) = к

(5) Единственный проективный объект категории А° - нулевой, однако для любого д функтор т, —) = Ит Нот_д ^ (т/т"), —)

точен на А, т е (х)^, ш - «проективные прообразующие» категории

А

Отметим, в частности, что неприводимые объекты А изоморфны прямым слагаемым БрПр объектов Г1р для всевозможных разбиений Л всевозможных целых д ^ О

Как показано в лемме 4 28, в качестве циклических образующих категории А можно взять факторы С}т = Р[С/ит] циклических образующих Рт = Р[С/Срщт\ категории С для всех т » 0, поскольку Нотс(<2т, V) —

17

и Ношс(Рт, V) = У^™ ®к Кт Здесь 11т обозначает прообраз в подгруппе С{р,кт}\к С <3 подгруппы сдвигов в Скт\к, состоящей из преобразований вида х3 у х3 + Ъ3 для всех некоторых Ь3 € {]> С к

Особый интерес среди ¿,-линейных представлений группы С? представляют допустимые представления, образующие полную подкатегорию вТс(к) Хотя тензорное умножение на ^ и не переводит их в допустимые полулинейные представления, существует аналогичный функтор в противоположном направлении Г Л —> 8та(к), функтор «глобальных сечений», строгий и точный слева, по крайней мере, если к = Функтор Г уже был определен на с 14, причем даже в большей общности Однако бывает полезно сначала сопоставить гладким представлениям V группы О пучки V в гладкой топологии ©т^, и лишь потом брать глобальные сечения По определению, ©т^ - категория локально доминантных морфизмов гладких к-схем, снабженная предтопологией, в которой покрытия - это сюръектив-ные гладкие морфизмы Ясно, что замены базы сохраняют покрытия

Пучок 0-модулей на ©т& называется «когерентным», если его ограничение на малый этальный сайт (или эквивалентно, на малый сайт Зарис-ского) любого гладкого ¿-многообразия когерентно Здесь О - структурный предпучок сайта ©т*, (который сопоставляет каждому У е ©т*, его ^-алгебру регулярных функций О (У )) Ясно, что О - пучок на &хпк

Имеется следующий универсальный (но далеко не единственный) способ «глобализации» гладких представлений б Пусть V € ¿>т<з, У ~ неприводимое гладкое ^-многообразие, И е У1 - неприводимый дивизор, и пп - соответствующее дискретное нормирование поля к(У) Выберем вложение к(У) в Р над к и продолжение v нормирования х>в до дискретного нормирования ранга 1 поля Р Пусть Р С Р - максимальное подполе над к такое, что у(Рх) = ь(к(У)х) Положим IV,г> = Уар\кР"> П

Предположено, что

(1) Л эквивалентна категории «когерентных» пучков на ©т*,,

(2) неприводимые объекты А - прямые слагаемые объекта

В качестве довода в пользу гипотезы (2), в дополнение к случаю к = (¡2, показано, что для любого Ь С Р чисто трансцендентного степени тп над к и любого V € А любой неприводимый подфактор полулинейного представления

группы РСЬт+1& над Ь - прямое слагаемое алгебры

Неприводимых гладких полулинейных представлений довольно много В частности, большинство из них не допустимо Например, никакой из факторов (в т ч неприводимых) циклического объекта, состоящего из формальных ^"'-линейных комбинаций степени нуль алгебраически замкнутых подполей в Р степени трансцендентности д над к для некоторого целого

18

д ^ 1, не лежит в Л Однако, я не знаю даже, приводимы ли эти объекты Тем более непонятно, как явно описать неприводимые объекты в С Так что, в гипотезе (2) категорию Л нельзя заменить целой категорией С, и нужно накладывать некоторые дополнительные условия, например, упомянутые на с 14

В §§6-11 изучается категория Л допустимых полулинейных представлений группы б

Сначала объекты Л «ограничиваются» на проективные группы ('>п• рассматриваемые как подфакторы С?^, для всех п > 1 Точнее, изучается полная подкатегория ©£„ категории ^„-полулинейных представлений С„, объекты которой являются ограничениями на (7„ невырожденных конечномерных ^„-полулинейных представлений полугруппы доминантных рациональных отображений Р£ в себя, порожденной Сп и полугруппой Епс1С1от(3'п|&) доминантных эндоморфизмов Уп, изоморфной к

Т„ (Это оправдано тем, что полугруппа является подфакто-

ром группы Ср\к, и значит, Уп — £ ©£„ для любого V £ Л)

Пусть ©£^ - категория конечномерных полулинейных представлений группы Сп над К„, ограничения которых на максимальный тор Т„ в Сп имеют вид Кп для унипотентных представлений ¡V тора Т„ (где Т„

рассматривается как дискретная группа) Ясно, что ©£^ - абелева нейтральная таннакиева категория, а -ЕГ°(Г^ОГЕ!, —) ©£^ —> Уес^ - функтор слоя

Будем говорить, что пучок V на Р]£ — С п-пучок. если он снабжен (?„-структурой, т е согласованным (удовлетворяющим цепному правилу) набором изоморфизмов ад V д*У для каждого д € (?„, то есть таким, что аьд = д*аь о ад для любых д, /г £ Сп

В данной главе доказано, что для любого целого п ^ 2 имеется включение ©£„ С ©£^, и построен вполне строгий тензорный функтор

(1) б££ {когерентные С„-пучки на Р£},

композиция которого с функтором общего слоя - тождественное полное вложение категории ©£^ в категорию конечномерных полулинейных Сп-представлений над Кп в качестве подкатегории Серра

В §7 неприводимые объекты ©£" отождествлены с общими слоями £?„-эквивариантных когерентных пучков на Р£ В доказательствах используется описание Бореля-Титса ([8]) «абстрактных» гомоморфизмов в редук-тивные группы с плотным по Зарисскому образом

Как известно, любой неприводимый С„-эквивариантный когерентный

®0 п Ф

пучок на Р£ - прямое слагаемое пучка Нотор„ ((Г2р»ц.) „ Цр-чь)

1с й ^ ^ А-'

для некоторого подходящего г ^ О

Одна из целей §8 - исключить из рассмотрения некоторые неприводимые объекты А именно, там показано в теореме 4 27, что если V - объект А, то любой неприводимый подфактор объекта Vn = VGptK^ € является прямым слагаемым

В §9 показано, что А абелева, что функтор А —> V ь-> Vn, точен, и вычислены группы Ext1 между неприводимыми объектами категории ©£™ Например, нетривиальные расширения Q}K |fc при помощи Кп существуют только если к трансцендентно над Q, и в этом случае они параметризованы ^-гиперплоскостями Н С Пд. О —> Кп il]{n/'H ®k Кп —> ^кп\к —* О' где v € = к - ненулевой элемент (Заметим, что когерентные Gn-

пучки Sn{Q}Kn/7i ®k Кп) не эквивариантны ) Вычисление Ext1 использует описание Лифшиц-Рапинчука ([21]) некоторых «абстрактных» гомоморфизмов в группы с коммутативным унипотентным радикалом Из этого выводится, что если в V 6 А нет подобъектов, изоморфных F. то любой неприводимый подфактор объекта Vn € <5£^ - прямое слагаемое ^кп\к (предложение 4 31) После того, как категории А, в основном, описана (в §10), она отождествлена при к = Q с категорией «когерентных» пучков в гладкой топологии, см §11

А именно, для любого объекта V категории А ограничения пучка <S(V) на проективные пространства уже известны - это когерентные С?п-пучки <Sn(Vn), а на произвольные гладкие ¿¡-многообразия их можно локально продолжить как обратные образы относительно этальных морфизмов в проективные пространства Зная явный вид объектов А, корректность такого определения проверить нетрудно (следствии 4 57) Таким образом, вложение в F общих точек любого гладкого ¿¡-многообразия У определяет локально свободный когерентный пучок <S(V)|y = Vy на У с общим слоем yGF]HY) дЛЯ каждого V в А

Функториальность следует из того, для любого доминантного морфиз-ма X —> У гладких fc-многообразий включение общих слоев к(Х) <2>k(Y) yGFWY) с VGF]k<x) индуцирует вложение когерентных пучков тг* Vy «—► Vx на X (По построению, оно - изоморфизм, если тг этален )

Это и задает эквивалентность категории А и категории «когерентных» пучков в гладкой топологии 6mfc, <S V i—> (У "Уу(У)) Немного более общим образом, «когерентные» пучки содержатся в категории Т1 плоских (как О-модули) «квазикогерентных» пучков в гладкой топологии, см §11 Для любого пучка V е FI векторное пространство Г (У, Vy) над к является бирациональным инвариантом гладкого собственного У Это следует из принципа Гартогса и того, что любое бирациональное отображение -композиция бирационального морфизма и отображения, обратного бира-циональному морфизму, которое корректно определено вне подмножества

коразмерности ^ 2 (лемма 4 58) Благодаря бирациональной инвариантности, можно определить точный слева (не строгий) функтор Т1 —Б та (к) формулой У н-> 1ипГ(У, Уу), где У пробегает гладкие собственные модели подполей в .Р1 конечного типа над к

Функтор Г совпадает с композицией забывающего функтора «общего слоя» в категорию Бта{к) с функтором Г, определенным на с 14 Функтор Г = Г о Б - строгий на А, поскольку Г(У,Уу/) порождает (общий слой) пучка Уу/ для подходящих конечных накрытий У многообразия У (лемма 4 58), если У «когерентен» Однако, он не полон, и объекты в его образе очень сильно приводимы, см пример на с 14 (к которому можно добавить, что 5(^|к)(У) = Г(У,Г^|Ь)) Тогда Г(У) = Г(У) Ограничение Г на подкатегорию «когерентных» пучков строго, поскольку Г (У, Уу) порождает общий слой пучка Уу для подходящих конечных накрытий У многообразия У, если У - «когерентный»

Пример Пусть У - гладкая проективная гиперэллиптическая кривая, рассматриваемая как двулистное накрытие проективной прямой У Тогда для У = тензорный квадрат любого регулярного дифференциала

на У - Галуа-инвариантный элемент пространства Г(У,Уу), который не лежит в подпространстве Г (У, Уу) = О

Если Г(У, Уу) обладает свойством спуска Галуа, то Г(У) = -Г(У) допустимо В общем же случае свойство спуска Галуа отсутствует, и Г (У) не допустимо

Теперь несколько слов о том, как устанавливается включение &£п С б£^ Сначала проверяется, что ограничение (продолжения на соответствующую полугруппу) У 6 ©£п на к Тп, где - «максимальный расще-пимый тор» в Ма^^^'й. получается из некоторого ¿-линейного представления расширением коэффициентов до Кп (предложение 4 12) Некоторое аналитическое соображение (лемма 4 10, здесь используется существование ^-пр им арных корней из единицы в к) сводит задачу к локальному результату (теореме 4 8), утверждающему, что любое конечномерное к((£))-полулинейное представление полугруппы N (действующей на поле формальных рядов Лорана к((1)) возведением переменной в соответствующие степени р ( и получается из некоторого линейного представления расширением коэффициентов до к((£))

Отсюда следует (лемма 4 11), что У I—> УТ" задает «функтор слоя», те У = Утч°" 0к Кп, в категорию унипотентных ¿-представлений Тп, что доказывает включение ©£„ С ©£^

Наконец, о том, как строится функтор ¿>п Чтобы построить функтор из (1), нужно проверить, что 5и(У)|у„ = Я°(^ОГ5,У) <Ул Оуп с У благополучно склеиваются, когда варьируется Уп

Основной шаг (лемма 4 16) состоит в том, чтобы показать, что для каждой гиперплоскости Н с Р^ \ (те стабилизируемой тором Тп), и для любой решётки над круговым подполем поля к [/о в унипотентном радикале и стабилизатора Р гиперплоскости Н, функтор Н°(и0, -) V >—> Уи° из ©£" также является «функтором слоя», на этот раз, в категорию уни-потентных ^-представлений 1} При этом (Р£ \ #)-решетка Ун в V, порожденная Уи°, Р-инвариантна и не зависит от Щ Это использует некоторый технический результат (лемму 4 14, §5) (Этот функтор слоя также используется в доказательстве леммы 4 28 )

Локализуя эту решетку и варьируя Н, получаем такой когерентный подпучок V постоянного пучка V на Р£, что = г Оуп = Уи° Я,У)=Уя

Проверяется, что если к - числовое поле, то действие Оп на тотальном пространстве Е векторного расслоения, соответствующего пучку V, индуцировано некоторым морфизмом /с-многообразий Сп хкЕ —> Е. и поэтому функтор <5п пропускается через категорию Ста-эквивариантных когерентных пучков на эквивалентную категории рациональных представлений (над к) конечной степени стабилизатора точки пространства Р£

В §12 определена убывающая фильтрация категории А «идеалами» подкатегорий Серра Затем для каждого то > 0 факторкатегория А/А>т локализуется, и получившаяся категория становится эквивалентной танна-киевой подкатегории конечномерных полулинейных представлений вр^к над Е' для алгебраически замкнутого расширения Е' поля 1;в? степени трансцендентности то

В параграфе 13 2 установлена «простота» категории С если некоторая подкатегория категории С содержит ненулевой объект и замкнута относительно перехода к подфакторам, то она эквивалентна С Это можно рассматривать как аналог известного результата для конечных расширений Галуа, см [11, 17, 18]

Четырнадцатый параграф посвящен дифференциальным формам Среди других результатов, там описано строение представления группы С? на пространстве замкн замкнутых 1-форм на Е над к В частности, построена эквивалентность категории полупростых коммутативных алгебраических /с-груптт с формально обращенными изогениями и категории полупростых представлений группы С конечной длины, все слагаемые которых изоморфны подфакторпредставлениям представления замкн

В случае конечной степени трансцендентности расширения Е\к доказана полупростота С-модуля регулярных форм максимальной степени (то есть минимального (^-подмодуля в содержащего пространства регу-

лярных дифференциальных форм максимальной степени на всех гладких проективных ¿¡-многообразиях с полем функций, вложенным в Р)

В §14 1 дифференциальные формы изучаются также как модули над алгеброй Ли дифференцирований поля F над к

В §14.2 построена серия неприводимых полулинейных представлений локально компактной группы <5, на пространствах «дифференциальных форм бесконечных степеней»

5. В приложении описаны одномерные (над полем функций соответствующих проективных пространств) полулинейные представления проективных групп и подгрупп группы Кремоны, порожденных проективными группами и определенными инволюциями

В частности, если для некоторого поля к нулевой характеристики г -период группы Hom(fcx/(fcx)n+1, кх) (и значит, г делит п+1), то r-ая тензорная степень любого полулинейные представления степени один группы PGLn+1fc изоморфна некоторой (возможно отрицательной) тензорной степени полулинейные представления относительных дифференциальных п-форм Для некоторых из таких подгрупп установлена тривиальность их конечномерных представлений Эти результаты не используются в основной части работы, однако они еще раз, в дополнение к результатам четвертой главы, подчеркивают, насколько тесно полулинейные представления связаны с дифференциальными формами

список литературы

[1] R Baer, Die Automorphismengruppe emes algebraisch abgeschlossenen Korpers der Charakteristik 0 Math Zeit , 117 (1970), 7-17

[2] A Beihnson, Height pairing between algebraic cycles ЛГ-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984-1986), 1-25, Lecture Notes in Math , 1289, Springer, 1987

[3] A Beihnson, Remarks on n-motives and correspondences at generic point Motives, polylogarithms and Hodge theory, Part I (Irvme, CA, 1998), 35-46, Int Press Lect Ser , 3, I, Int Press, Somerville, MA, 2002

[4] И H Бернштейн, А В Зелевинский, Представления группы GL(n, F), где F - локальное неархимедово поле Успехи матем наук 31 (1976), вып 3 (189), 5-70

[5] Ф А Богомолов, Абелевы подгруппы групп Галуа, Изв АН СССР, сер матем 55(1) (1991), 32-67

[6] F A Bogomolov, On two conjectures in birational algebraic geometry, Algebraic geometry and analytic geometry (Tokyo, 1990), 26-52, ICM-90 Satell Conf Proc , Springer, Tokyo, 1991

[7] F A Bogomolov, Y Ifeehmkel, Commuting elements m Galois groups of function fields Motives, polylogarithms and Hodge theory, Part I (Irvme, CA, 1998), 75-120, Int Press Lect Ser , 3, I, Int Press, Somerville, MA, 2002

[8] A Borel, J Tits, Homomorphismes «abstraits» de groupes algébriques simples, Ann of Math (2) 97 (1973), 499-571

[9] Y Ihara, On congruence monodromy problems Vol 1 Lecture Notes, No 1 Dept of Math , Umv of Tokyo, 1968

[10] M Hanamura, Mixed motives and algebraic cycles I Math Res Lett 2 (1995), no 6, 811-821, III Math Res Lett 6 (1999), no 1, 61-82

[11] N Jacobson, Lectures in abstract algebra. Vol III. Theory of fields and Galois theory D Van Nostrand Co , Inc , Princeton, N J -Toronto, Oat -London-New York, 1964

23

[12] U Jannsen, Motives, numerical equivalence, and semi-simplicity Invent Math 107 (1992), no 3, 447-452

[13] U Jannsen, Mixed motives and algebraic K-theory With appendices by S Bloch and С Schoen Lecture Notes m Math , 1400 Springer, 1990

[14] U Jannsen, Motivic sheaves and filtrations on Chow groups Motives (Seattle, WA, 1991), 245-302, Proc Sympos Pure Math , 55, Part 1, A M S , Providence, RI, 1994

[15] W Krull, Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen, Math Ann 100 (1928), no 1, 687-698

[16] W Krull, Uber eine Verallgemeinerung des Normalkörperbegriffs, J Reine Angew Math 191,(1953) 54-63

[17] W Krull, Endomorphismenrmge m der Galoisschen Theorie, Aequationes Math 2

(1969), 269-273

[18] W Krull, Über den Galoisnng, Math Ann 185 (1970), 25-37

[19] D Lascar, The group of automorphisms of the field of complex numbers leaving fixed the algebraic numbers is simple Model theory of groups and automorphism groups (Blaubeuren, 1995), 110-114, London Math Soc Lecture Note Ser , 244, Cambridge Umv Press, 1997

[20] M Levme, Mixed motives Mathematical Surveys and Monographs, 57 AMS, Providence, RI, 1998

[21] L Lifschitz, A Rapmchuk, On abstract homomorphisms of Chevalley groups with nonreductive image I, J Algebra 242 (2001), no 1, 374-399

[22] D Mumford, Rational equivalence of 0-cycles on surfaces, J Math Kyoto Umv 9(1968), 195-204

[23] И И Пятецкий-Шапиро, И Р Шафаревич, Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация, Изв АН СССР, сер матем 30 (1966), 671-704

[24] A Robert, Automorphism groups of transcendental field extensions, J Algebra, 16

(1970), 252-270

[25] M Rovmsky, Motives and admissible representations of automorphism groups of fields Math Zeit , 249 (2005), no 1, 163-221, math RT/0101170

[26] M Rovmsky, Semi-lmear representations of PGL, Selecta Math , 11 (2005), 491-522, math RT/0306333

[27] M Rovmsky, Admissible semi-lmear representations, J reme und angew Math (Crelle) 604 (2007), 159-186, math RT/0506043

[28] M 3 Ровинский, Группы автоморфизмов полей и их представления Успехи матем наук 62 (2007), вып 6 (378), 87-156

[29] М Rovmsky, On certain isomorphisms between absolute Galois groups Compositio Math 136 (2003), no 1,61-67, math AG/0011176

[30] G Shimura, Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions Iwanami Shouten Publishers and Princeton Umv Press, 1971

[31] V Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field Cycles, transfers, and motivic homology theories, 188-238, Ann of Math Stud , 143, Princeton Umv Press, Princeton, NJ, 2000

Публикации автора в реферируемых журналах

1 Мероморфные функции, связанные с полилогарифмами, Функциональный анализ и его приложения 25, 1 (1991), 88-91

2 Multiple gamma functions and L-functions, Mathematical Research Letters 3, no 5 (1996), 703-721

3 A connectivity lemma for the Albanese map, Mathematical Research Letters 8, no 1-2 (2001), 7-12 math.AG/9604010

4 E Amerik, M Rovmsky, A Van de Ven, A boundedness theorem for maps between threefolds Ann Inst Fourier (Grenoble) 49 (1999), no 2, 405-415

5 The Gaufi-Mamn connection on the Hodge-Tate structures С R Acad Sci Paris Ser I Math 333 (2001), no 4, 333-337

Из них по теме диссертации

6 On certain isomorphisms between absolute Galois groups Compositio Math 136 (2003), no 1, 61-67 math.AG/0011176

7 Motives and admissible representations of automorphism groups of fields Math Zeit , 249 (2005), no 1, 163-221, math RT/0101170

8 Semi-linear representations of PGL Selecta Math (New Series), 11 (2005), 491-522 math RT/0306333

9 Admissible semi-linear representations J fur die reme und angew Math (Crelle) 604 (2007), 159-186, math RT/0506043

10 Группы автоморфизмов полей и их представления, Успехи матем наук 62 (2007), вып 6 (378), 87-156 Краткий вариант math.RT/0507388

Препринты по теме диссертации

1 On maximal proper subgroups of field automorphism groups http //arXiv org math.RT/0601028 v4

2 U Jannsen, M Rovinsky, Smooth representations and sheaves http://arXiv org math AG/0707.3914

Публикация по теме диссертации в записках семинара

1 Representations of field automorphism groups Mathematisches Institut, Georg-August-Universitat Gottmgen Semmars Winter Term 2004/2005, 139-153, Universitatsdrucke Gottmgen, Gottmgen, 2005

Глава 0. Введение

0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели

0.2. Основные результаты И

1. Структура С? И

1.1. Замкнутые, открытые и максимальные собственные подгруппы; теории Галуа

1.2. Автоморфизмы ш

2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений? ш

2.1. ¿>т<з гу

2.2. Лйтп 1у

2.3. 1а VI

2.4. Фа и когомологии гладких представлений 1х

2.5. Дифференциальные формы ¡х

3. От линейных представлений к полулинейным х

3.1. Нормирования и ассоциированные функторы ([Р6]) хп

3.2. Допустимые полулинейные представления хи

4. Обозначения, соглашения и терминология XV

4.1. Поля, их расширения, автоморфизмы и т.д. XV

4.2. Общие обозначения XVI

4.3. Топологические группы, их представления, меры и т.д. ху

Глава 1. Структура й и теории Галуа

1. Некоторые сведения о замкнутых подгруппах в С

1.1. Теория Галуа

1.2. Топологическая простота С и то, что с ней связано

1.3. Пересечения подпол ей и оболочки подгрупп

2. Максимальные открытые подгруппы 10 2.1. Ещё одна теория Галуа

3. Нормирования и связанные с ними подгруппы 15 3.1. Нормирования и максимальные подгруппы

4. Объединение компактных подгрупп

4.1. Теория Куммера

4.2. Формальные ряды

5. «Плотная» локально компактная «подгруппа» 0 в С 27 5.1. Явная формула для модуля ©

6. Автоморфизмы С при п =

Глава 2. Общие свойства гладких представлений (У и их реализации

1. Алгебры Гекке и соответствия

1.1. Центры алгебр Гекке

2. Инварианты подгрупп и тензорные произведения

3. Морфизмы между некоторыми О-модулями, матричные коэффициенты и сенарабельное замыкание

3.1. Два замечания о (7-модулях Г/к и Рх/кх

3.2. Морфизмы между некоторыми й- и (?°-модулями

3.3. Некомпактность носителей матричных коэффициентов

4. Несколько примеров (ко-)гомологических вычислений

4.1. Примеры вычислений групп расширений и торсоров

4.2. Пример вычисления коинвариантов и внутреннего функтора Лот

5. Гладкие представления (3 как пучки и их ацикличность

У.Яннсен, М.Ровинский)

5.1. Доминантная топология

5.2. «Ацикличность» некоторых ограничений (З-модулей

5.3. Когомологии Чеха

5.4. Ацикличность «геометрических» б-модулей и когомологическая размерность категории ¿>тс

5.5. А1-инвариантность некоторых предпучков

6. Представления, коиндуцированные с открытых подгрупп 56 6.1. Чисто трансцендентные расширения квадратичных расширений

Глава 3. Гомотопически инвариантные представления (

0.2. Возможные связи со смешанными мотивами

1. Категория Тс

1.1. Категория 2с и допустимые представления

1.2. Функтор X

1.3. Объекты Хс; уровня

1.4. Описание мотивной фильтрации на группах Чжоу нуль-циклов

1.5. Внутренний Нот

1.6. Стабилизаторы

2. «Формула Кюннета» и тензорная структура

2.1. Тензорная структура на Хо

2.2. «Формула Кюннета» для произведений с кривыми

2.3. Некоторые подкатегории в Тс, тензорные структуры на них и их варианты

3. Геометрическая конструкция допустимых представлений

3.1. Представления, котрагредиентные к мотивным

3.2. Проектор Дцх)

3.3. Функторы В* и «В?

3.4. «Поляризация» на Вп(к{Х) Р) и поляризуемые (З-модули

4. Нормирования, связанные с ними функторы и полулинейные представления

4.1. Функтор «глобализации»

4.2. Функтор «специализации»

4.3. Ограничения на объекты Хс и на факторы объектов Ха <8> -Р

5. Полнота функтора 99 5.1. Соотношения между Хд(к) и полулинейными представлениями

6. «Гомотопически инвариантные» представления как невырожденные модули 101 6.1. Алгебра Гекке полупростой подкатегории категории То

7. Ограничения объектов Хд на специальные подгруппы Галуа, и Х-индукция

7.1. Следы и центральные функционалы

8. Категории 2© и Adm®

Глава 4. Полулинейные представления G

1. Обозначения настоящей главы и план изучения категории А

1.1. Обозначения

1.2. Схема изучения структуры категории Л

1.3. Включение 6£n С ö££

1.4. Функтор Sn

2. Примеры полулинейных представлений

2.1. Полугруппы с одной образующей

2.2. Бесконечная симметрическая группа

2.3. Линейные и полулинейные представления

3. Некоторые полулинейные представления групп, исчерпываемых своими компактными подгруппами

3.1. Эндоморфизмы и стягивания

3.2. Локальная задача: &((4))-полулинейные представления N

4. Чисто трансцендентные расширения: редукция к локальной задаче

5. Две леммы о «слабых гомоморфизмах»

6. Категория 6£" полулинейных представлений PGLn+i и когерентные пучки на PjJ

7. Эквивариантность неприводимых когерентных PGL-пучков

8. «Положительность» допустимых полулинейных представлений

9. Расширения в 6£" и в А 131 9.1. Расширения в 6£"

10. Категория А в случае к — Q . . 136 10.1. Группы Ext в А

11. «Когерентные» пучки в гладкой топологии

12. А/А>т

13. Разное

13.1. Забывающий функтор

13.2. «Простота» категории С, или тривиальность универсальных факторов

14. Дифференциальные формы

14.1. (Полу)линейные представления пары (G, ß)

14.2. Примеры полулинейных представлений

Теория Галуа возникла в работах Н.Х.Абеля и Э.Галуа как теория групп перестановок корней многочленов. Р.Дедекинд ввёл поля и кольца, и начал рассматривать группы Галуа как группы автоморфизмов расширений полей. Ему же принадлежит идея о том, что группу Галуа следует считать топологической группой. Окончательно в случае алгебраического расширения эта идея оформилась в работе В.Крулля [К1], а для произвольных расширений - в работах Н.Джекобсона, И.И.Пятецкого-Шапиро, И.Р.Шафаревича и др. В этих работал было построено естественное взаимнооднозначное соответствие между промежуточными под-полями произвольного расширения, над которыми объемлющее поле является расширением Галуа, и компактными подгруппами группы автоморфизмов этого расширения. Аналогичное соответствие было построено и для открытых компактных подгрупп. В случае алгебраически замкнутого объемлющего поля было установлено, что группа автоморфизмов расширения локально компактна тогда и только тогда, когда степень трансцендентности этого расширения конечна. Детально изучались группы автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, состоящие из элементов конечного порядка, см. историю этого вопроса в начале §4 главы 1.

Все вышеупомянутые подгруппы являются группами автоморфизмов алгебраических расширений, т.е. обычными группы Галуа. С другой стороны, многие топологические группы являются группами автоморфизмов расширений нолей. Так автоморфизмы полей функций алгебраических многообразий над топологическими полями содержат группы точек алгебраических групп над этими полями. Кроме того, группы точек р-адических групп при р < оо (а также над конечными аделями) возникают ещё как группы автоморфизмов полей автоморф-ных функций. Изучались также группы непрерывных автоморфизмов топологических нолей, например, рядов Лорана.

Пусть Р\к - расширение полей счётной (что будет основным случаем) или конечной степени трансцендентности и О = (Зр^ - группа его автоморфизмов. Следуя [Лас, П1П-1П, ЭЬ, I] (и обобщая случай алгебраического расширения из [К1]), мы считаем С топологической группой, базу открытых подгрупп которой составляют стабилизаторы конечных подмножеств Р. При этом (3 становится вполне несвязной хаусдорфовой группой.

Следуя очень общей идее о том, что «достаточно симметричная» (математическая, физическая или иная) система определяется представлением своей группы симметрий, можно попытаться сравнить различные «геометрические категории над к», в которых Р интерпретируются как «предельный объект», с различными категориями представлений С?.

Чтобы теория представлений (7 была достаточно богатой, иоле Р должно быть «достаточно большим». По этой причине Р будет обычно алгебраически замкнутым. Таким образом, Р -«поле функций универсальной башни ¿-многообразий размерности, не превосходящей степени трансцендентности расширения Р\к». Тогда каждое совершенное подполе Ь в Р, содержащее к, совпадает с полем инвариантов подгруппы Ср^ группы (3, и С содержит, в частности, группы Аи);(1/|/с) в качестве подфакторов. 1

Как правило (по умолчанию, если не оговорено противное), к будет считаться алгебраически замкнутым (чтобы избежать рассмотрения уже достаточно сложной теории Галуа) характеристики нуль. Исключение составляют §1 главы 1, с. 2 и §1 главы 3, с. 64.

0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели. Пусть F|/c - алгебраически замкнутое расширение счётной или конечной степени трансцендентности п, 1 < п ^ оо, алгебраически замкнутого поля нулевой (по умолчанию) характеристики, и G = Gp\k - его группа автоморфизмов, снабжённая топологией, определённой выше.

Мы изучаем структуру G, её линейные и полулинейные представления (с открытыми стабилизаторами), и их связи с алгебраической геометрией (бирациональной геометрией, мотивами, дифференциальными формами и пучками) и автоморфными представлениями. В частности, мы изучаем аналоги известных результатов теории представлений р-адических (и вообще, локально компактных) групп в случае группы G.

0.2. Основные результаты. Основные результаты диссертации можно условно разбить на следующие пять групп.

1) Структура группы G.

2) Соответствия между подгруппами G и объектами, связанными с полем.

3) Бирациопальные инварианты многообразий и их связь с гладкими представлениями G; общие факты о гладких представлениях.

4) Разнообразные типы мотивов и их связь с некоторой абелевой категорией Xq гладких представлений G.

5) Гладкие полулинейные представления, их связи с линейными представлениями и с гомотопическими инвариантами алгебраических многообразий и с категорией Xq.

1. Структура G

Как известно ([Jac, ПШ-Ш, Sh, I]), группа G локально компактна тогда и только тогда, когда п < оо. Скажем, что топологическая группа топологически проста, если любая её замкнутая нормальная собственная подгруппа тривиальна.

Теорема 0.1 (Теорема 1.11). (1) Подгруппа G° группы G, порождённая всеми компактными подгруппами, открыта и топологически проста, если п < оо.

2) Если п = оо, то G° плотна в G, и G топологически проста.

Замечания. 1. Теорема 0.1 верна для любого расширения F\k алгебраически замкнутых полей произвольной характеристики, см. теорему 1.11. Если n = 1 и char(A;) ф 0, то сепара-бельное замыкание подполя к(х) в F порождено С?°-орбитой х для любого х € F \к, см. §3.1, предложение 2.16, с. 45.

2. Рассуждение [La] показывает, что G проста как дискретная группа, если степень трансцендентности F над к несчётна.

3. Если п < оо, то левое действие G на одномерном ориентированном Q-векторном пространстве правоинвариантных мер на G задаёт сюръективный гомоморфизм, модуль, х '■ G —> тривиальный на G°. Однако, я не знаю даже, тривиальна ли дискретная группа kerx/G°. Если она тривиальна при п = 1, то она тривильна и в общем случае, см. лемму 1.18.