Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Исмагилова Альбина Сабирьяновна

ИЗОМОРФИЗМЫ ЛИНЕЙНЫХ И УНИТАРНЫХ ГРУПП НАД КОЛЬЦАМИ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и

теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Башкирского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор И.З. Голубчик доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Мухин, кандидат физико-математических наук Е.И. Бунина Новосибирский государственный педагогический университет

Защита состоится 20 июня 2006 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан 4 мая 2006 г.

Ученый секретарь /1/1 / ( у

диссертационного совета, (/ / ((М^^*^^

доктор физико-математических наук ^ В.В. Кабанов

и Ь>4> Л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория автоморфизмов классических групп издавна привлекает внимание многих исследователей. Изучение автоморфизмов классических групп над полями переросло в изучение их над произвольными областями целостности и над кольцами. Кроме автоморфизмов все больше стали исследоваться также изоморфизмы и произвольные гомоморфизмы классических групп над кольцами.

Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена, в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным полем. Затем Дьедонне и Риккарт ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных полей другие доказательства неизоморфности, основанные на сравнении порядков групп, дал Артин. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах Стейнберга. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите.

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами сделали Хуа Ло-ген и Райнер. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над полями алгебраических чисел исследовал Борель.

О'Мирой был изобретен замечательный метод вычетных пространств как средство изучения автоморфизмов ортогональных групп. Этот метод был изложен в "Лекциях о линейных группах" для общей линейной и специальной линейной групп и их

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

библиотека

С.- Петербург

_03 2У0&кт6С>/

проективных образов. Другой подход к проблеме автоморфизмов над областями целостности найден в работе Янь Ши-цзяня (8], в которой дается описание автоморфизмов группы, порожденной элементарными матрицами. Этот метод оказался полезным при изучении автоморфизмов над кольцами с делителями нуля.

Глубокие результаты получены И. 3. Голубчиком, A.B. Михалевым, Е.И. Зельмановым. Ими описаны изоморфизмы линейных и унитарных групп над некоммутативными кольцами, а именно, над кольцами матриц.

Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю.И. Мерзлякова и О. О'Миры.

Настоящая работа продолжает исследования И. 3. Голубчика, A.B. Михалева, Е.И. Зельманова (см. [1], [2], [5], [6]).

Цель работы. Пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами содержащими плотную систему идемпотентов.

Методика исследований. В диссертации применяется вычислительная техника Янь Ши-цзяня, развитая в работах И.З. Голубчика и A.B. Михалева. В первых двух главах при помощи метода инволюций получено описание изоморфизмов линейных и унитарных групп над кольцами с содержащие плотные системы ортогональных идемпотентов. Ранее для колец матриц это было сделано И.З. Голубчиком, A.B. Михалевым, Е.И. Зельмановым и для колец содержащих плотную систему матричных единиц - И.З. Голубчиком и A.B. Михалевым. В третьей главе изучены гомоморфизмы обратимых матриц второго порядка над коммутативными кольцами. Здесь используются локализации колец матриц и модифицированный метод инволюций. В четвертой главе описаны изоморфизмы линейных групп над кольцами без \ и содержащие плотные системы матричных единиц (4x4). Ранее для

колец матриц этот результат получен И.З. Голубчиком.

Научная новизна. Все полученные автором результаты являются новыми и своевременно опубликованы.

Полученные результаты позволяют перенести описание изоморфизмов с матричных групп, в частности, на сетевые подгруппы в матрицах и некоторые другие подгруппы в матрицах, содержащие инволюции, отвечающие плотной системе идемпотентов.

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены в гомологической алгебре и алгебраической К-теории.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Третья всероссийская научно-теоретическая конференция с международным участием "ЭВТ в обучении и моделировании", Бирск, 2004 г.

- Международная алгебраическая конференция, посвященная столетию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005 г.

- Международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2005 г.

- XXXVII Региональная молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", Екатеринбург, 2006 г.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах: "Алгебра и топология" в Институте математики и механики УрО РАН, "Эварист Галуа" в Новосибирском государственном университете.

Публикации. Основные результаты опубликованы в четырех статьях и трех тезисах [9]- [15], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации

- 120 страниц. Библиография содержит 80 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации, цель, содержание поставленных задач и методы их решения.

Первая глава посвящена изучению изоморфизмов групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами с | и плотной системой ортогональных идемпотентов. Пусть Я - ассоциативное кольцо, | ей. Элемент а е Я называется инволюцией, если а2 = 1. Элемент Д называется идемпотентом, если е2 = е. Пусть {е* €Е Я | 1 < г < п} - плотная ортогональная система идемпотентов:

п

Яв1Я = Я, еге3 = 0, ^ег = 1, 1 <гф]<п. (1)

г=1

Пусть и (Я) - группа обратимых элементов кольца Я, Е (Я.)

- ее элементарная подгруппа, порожденная элементами 1 + егге^, где г € Я, 1 < г ф э < п.

Для дальнейших результатов имеет значение

Лемма 1 Пусть Я, 5 - ассоциативные кольца, | е Я, ^ 6 в, (р : II (Я) —> и (5) - изоморфизм групп. Пусть {е^ е Я | 1 < г < 3}

- система идемпотентов, для которой выполнены условия (1). Тогда существуют элементы с^ е 2(5), Z{S) - центр кольца 5, и |/4г 6 5 1 Дг^ = 0, ^г = 1, 1 < » Ф 3 < з| - система идемпотентов такие, что

Основным результатом главы является следующая

Теорема 1 Пусть Я, 5 - ассоциативные кольца, | € Д, ^ е 5. Если есть изоморфизм групп : II (#) —> V (5), то существуют разложения в прямую сумму подколец Я = Я\ ф В.2, 5 = 51 ф5г, кольцевой изоморфизм 9\ : Я\ —> 51, кольцевой антиизоморфизм 02 : —> 5г, центральный идемпотент е = (1,0) € Я\ ф/¿2 такие, что

<р(А) = 01 (еЛ) + ((1 - е) Л-1) всея А € Е(Я).

Схема доказательства стандартная, но приходится преодолевать трудности связанные с тем, что идемпотенты не сопряжены. В данном случае кольцо не содержит плотной системы матричных единиц третьего порядка, здесь просто плотная ортогональная система идемпотентов.

В доказательстве используются коммутаторные формулы с элементами 1 + и инволюциями 1 — 2(е* + е3), где г € Я, 1 < г ^ < 3. Их образы будут такого же вида. Используя коммутаторные формулы над образами, от гомоморфизма групп можно перейти к гомоморфизмам колец.

Отметим, что условие 1 < г ^ < 3 упрощает доказательство. Общий случай 1 < г ф 3 < п сводится к нему, поскольку можно выбрать сумму всех остальных и осуществить переход от п к 3:

— еъ ег = е2, вд = е3 + ... + еп.

Таким образом, в первой главе доказано, что изоморфизм групп обратимых элементов стандартный на элементарной подгруппе.

Во второй главе описаны изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами с обратимой двойкой и содержащими плотную ортогональную систему идемпотентов. Как и в

первой главе идемпотенты не сопряжены и, дополнительно, па-ложено условие на центр.

Сопряжением г кольца Л называется антиавтоморфизм мультипликативного второго порядка.

Пусть Л и 5 - ассоциативные кольца с сопряжениями т\ и т% соответственно, \ £ Н, \ £ Б.

Пусть {/г € Д | 1 < г < 6} - плотная ортогональная система идемпотентов:

6

ЯДД = Я, /</, = О, 5> = 1, ДТ1=Д+3, (2)

¿=1

где 1 < г ^ < 6, 1 < /с < 3.

Пусть центр кольца Л содержит обратимый элемент а такой, что ааТ] — 1 обратим в Л (в частности, если \ е Л).

Обозначим через £/ (Л, "п) = {Л 6 Л | ЛТМ — ААп = 1} унитарную группу, Е{П,т\) - ее подгруппу, порожденную элементами 1 + - (/¿г/_,)Т1, где г € Л, 1 < г ф ] < 6.

Основным результатом второй главы является

Теорема 2 Пусть Л и 5 - ассоциативные кольца с сопряжениями Т\ и Т2 соответственно, % 6 Л, | е 5. Пусть (р : V (Я,Т\) и (5, Т2) - изоморфизм групп. Тогда существует изомоуфазм колец в : Л —> 5 такой, что

<р(А)=в {А) для всех Ае Е(Н, т\).

Полученный результат, в частности, распространяется на ортогональные и симплектические группы.

Наряду с изоморфизмами в ряде работ рассматриваются и гомоморфизмы. В третьей главе рассмотрены гомоморфизмы обратимых матриц второго порядка над коммутативными кольцами. Главным техническим средством являются кольца частных и процесс локализации.

Пусть R, S - коммутативные кольца с единицей, | е R, | £ 5, g £ Л. Пусть GZ/2 (-R) - группа обратимых матриц над кольцом R, Е2 (R) - подгруппа группы GL2 (R), порожденная матрицами

(г

Доказана следующая

Теорема 3 Пусть R, S - коммутативные кольца с единицей 5 £ й, 5 € ! € Ä. Пусть <р : GL2 (R) —> GL2 (5) гомоморфизм групп и кольцо R порождается обратимыми элементами. Тогда существует ортогональный идемпотент е € М2 (5) и го-моморфиэм в : M'i (Я) —> еМг (5) такие, что

(А) = б (А) е + (1 - е) для всех АеЕ2 (Л).

В доказательстве использованы локализации кольца 5 по системам (1 +-О"1, где 7 максимальный идеал в 5.

Основной результат заключается в том, что трансвекции переходят в трансвекции и гомоморфизм групп индуцирует гомоморфизм колец.

В четвертой главе исследованы изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотные вложения матриц четвертого порядка над кольцом целых чисел. Показано, что изоморфизм имеет стандартный вид - индуцируется кольцевым изоморфизмом и кольцевым антиизоморфизмом на прямых слагаемых. Применен метод инволюций и метод связанный с элементами третьего порядка 1 — 2ец — е22 + ей — ея-

Множество {fij £ S | 1 < г, j < к} называется системой матричных единиц, если fijfnm = Sjnfim, где Sjn - символ Кронекера. Система матричных единиц называется полной, если fn = 1.

Пусть R, S ~ ассоциативные кольца с единицей. Пусть g2 = д € S такой, что SgS = S, S (1 - д) S = S. Пусть

{ву € Я | 1 < г,з < 4} - система матричных единиц такая, что Т&чецф1, ЯецЯ = Я.

Пусть и (Я) - группа обратимых элементов, Е (Я) - ее подгруппа, порожденная элементами 1 +епг (1 — е^), 1 + (1 — еп) геи, где г <Е Я, 1 < г < 4.

Основной в четвертой главе является

Теорема 4 Пусть Я, в - ассоциативные кольца с единицей, <р : II (Я) —► и (>?) - изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты е € Я и / € 5, кольцевой изоморфизм в\ : еЯ /5, кольцевой антиизоморфизм в^ : (1 — е) Я —> (1 — /) 5 такие, что

<р{А) = ¿»1 (еЛ) -I-в2 ((1 -е) Л-1) для веет А е £ (Я).

Пример 1 Изоморфизм линейных групп.

Пусть Мнхь (-К) ~~ кольцо (/г х к)-матриц над Я. Пусть

Ях = <

/ Л1 Я12 #21 А2

\ Вы Вк2

Ак )

1 <зЛ<к

- множество блочных матриц. На главной диагонали находятся элементы А3 С Мр,хрз (Я), р> > 3, Р7 = На остальных местах В'ц С М^, хрг (Я) - матрицы над идеалами 1ц кольца Я, I]] — 1ц • С

Выберем идемпотенты е\, е2, ез следующим образом:

еп + еи + ■ ■ ■ + еи = еь вгг + е22 + • • • + 4г = е2,

4з + • • • + е33 + - • • + епп

+ • • • + = е3>

где е>22 € А-*, 1 < г < п, п = шах {р1, ...

Для диагонального подкольца

/А1 0 ... О \ О А2 ... О

V О О ... Ак )

А3 С Мр]Хр3 (Л), 1 <з<к

выполнено условие О С й[ С М/,(Л). Пусть и {Я{) группа обратимых элементов кольца Я\. Тогда Я\ - сетевое подколь-цо, такое что еч е Я\, Я\ечЯ1 — Я\, 1 < < 3 и изоморфизм (р : 17 (Л]) —» и (51) будет стандартным, где ву - кольцо с аналогичными свойствами.

Аналогичный пример можно построить для унитарного слу-

чая.

Пример 2 Изоморфизм унитарных групп.

Пусть М2Ьх2Н (Л) - кольцо {2Ъ, х 2И)-матриц над Л. Пусть ту - сопряжение в Я, (А/гьхгь (Я))71 = Мгьхгл (Л) и

Л1 = <

/ ^ в12 ... В* \ 521 А2 ... В2к

. \ Вк х Яи ... >4* /

АЗ,ВлСМ2Нх2Ь (Л), 1 < / < А;

- множество блочных матриц, Щ = Я\. На главной диагонали находятся А3 С М2р]Х2Р1 {Я), р3 > 3, = 9■ На остальных

местах В31 С М2рзХ2р1 - матрицы над идеалами 131 кольца Я, I]] ~ В., ■ С ./^д.

Выберем идемпотенты е\, ег, ез, е$, ее следующим обра-

зом:

еи + еи + • • • + е11 = еь

е22 + е22 + • • • + е22 ~ е2, ь 1

е33 + • • ■ + е33 + • • • + епп + • • ■ + 4п = е3, еп+1,п+1 + еп+1,п+1 + • • • + еп+1,п-Н = е4> еп+2,п+2 + еп+2,п+2 + • • • + еп+2,п+2 ~ е5> еп+3,п+3 + • • ■ + еп+3,п+3 + • • • + е2п,2п + • • • + е2п,2п ~ е6>

где е{г € А', 1 < 2 < 2п, п = тах/р1,...(4)^ =

, ^ , ч-г. ,

1 < £ < п, е4 = {ег)п, е5 = (е2)Т1, е6 Для диагонального подколъца

/А1 0 ... О ^ О А2 ... О

: (езГ

£>= <

Л О О ... Ак )

А* СМ2р}х2р,(Н), 1 <з<к

выполнено условие АС^С М2/1Х2/1 (-Й) ■

Пусть и{Н1,п) = {С 6 Д] | СпС = ССТ' = 1} - унитарная группа. Тогда Яг - сетевое подколъцо такое, что ед £ Я\, Я\ечЯ\ = Я\, 1 <q<Q, и изоморфизм : II (Я\,Тх) —> и (Зътг) будет стандартным, где Яг, т2 - второй набор объектов с ана-

логичными свойствами.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору И.З. Голубчику за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы

[1] Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом / / Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1983. N 3. С. 61-72.

[2] Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. Ин-та АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97-109.

[3] Голубчик И.З., Михалев A.B. Представление группы SLz (Z) в группах с разложимыми инволюциями. / X Всес. симп. по теории групп. С. 56. - Минск, 1986.

[4] Голубчик И.З., Михалев A.B. Гомоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами / Тезисы сообщений XIX Всес. алгебр, конф. С. 64. - Львов, 1987.

[5] Зельманов Е. И. Изоморфизм полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Сиб. матем. журнал. 1985. Т. 26, N 4. С. 49-67.

[6] Golubchik I. Z. Isomorphisms of General Linear Group GLn (R), n > 4 over an Associative Ring // Amer. Math. Soc. 1992. V. 131 Part 1. P. 123-136.

[7] Waterhouse W. Automorphisms of GLn (R) // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. V. 79, N 3. P. 347-351.

[8] Yan Shi-jian. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. V. 7, N 2. P. 163-179.

Публикации автора по теме диссертации

[9] Исмагилова A.C. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами / в сб. "ЭВТ в обучении и моделировании", Третья Всероссийская научно-теоретическая конференция. С. 143-145.- Бирск. гос. пед. ин-т: Бирск, 2004.

[10] Исмагилова A.C. Гомоморфизм группы GL2 (-R) // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, N 3. С. 95108.

[11] Исмагилова A.C. Изоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами с четырьмя идемпотентами // Ученые записки: Сб. научн. статей. - Изд-во ВГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 150-160.

[12] Исмагилова A.C. Об изоморфизме унитарных групп над кольцами / Тез. докл. Международной алгебраической конференции. С. 106-108. - Изд-во Урал, ун-та: Екатеринбург, 2005.

[13] Исмагилова A.C. Изоморфизмы групп обратимых элементов ассоциативного кольца // Вестник Башкирского университета. 2005. N 4. С. 8-11.

[14] Исмагилова A.C. Развитие метода инволюций в теории линейных групп над кольцами / Тез. докл. XXXVII Региональной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", С.45-49. Екатеринбург, 2006 г.

[15] Исмагилова A.C. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, N 2.

Подписано в печать 2 мая 2006 г. Уч.-изд. л. 1. Офсетная чать. Формат 60 х 84 1/16. Тираж 100 экз. Заказ N 68

Ризография НЙЧ ГОУ ВПО УГТУ-УГШ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

/5-005

*

\

Введение

Глава 1. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов групп обратимых элементов

Глава 2. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами

§1. Метод инволюций

§2. Описание изоморфизмов унитарных групп.

Глава 3. Гомоморфизм групп матриц второго порядка

§1. Предварительные замечания.

§2. Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм

Глава 4. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами без \

§1. Гомоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами

§2. Изоморфизмы линейных групп над кольцами без |.

Главная тенденция теории изоморфизмов классических групп состоит в переходе от разнообразных частных типов коммутативных целостных колец коэффициентов к произвольным коммутативным целостным кольцам, и далее, - к еще более общим, необязательно коммутативным, целостным, и необязательно целостным, кольцам и необязательно конечным размерностям.

Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена [72], в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным нолем. Затем Дьедонне [39] и Риккарт [70] ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных полей другие доказательства неизоморфности, основанные на сравнении порядков групп, дал Артин [31], [32]. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах [75], [7G], [49]. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите [34].

Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GLn над кольцом целых чисел, сделали Хуа JIo-ген и Райнер [47], а для группы Spn над этим же кольцом Райнер в [G8]. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы линейных групп над произвольными областями целостности при п ^ 3 описал О'Мира [61]. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над иолями алгебраических чисел исследовал Борель [33], при этом автоморфизмы линейных групп над арифметическими областями числовых нолей получаются как частный случай. Метод вычетных пространств, изложенный в "Лекциях" О'Миры, впервые был введен им в одной из его работ об ортогональных группах в 1968 году. Вскоре он был применен в работе [G3] к линейным группам, богатым трапсвекциями, и, в частности, к линейным группам над областями целостности при , п > 3. Затем Солацци [73] описал при п ^ 3 автоморфизмы проективных линейных групп, богатых проективными трансвекциями, а Хан [44] - изоморфизмы таких групп, причем он дал единую трактовку для . линейных, симплектических и унитарных групп в размерностях n ^ 5.

Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп GL2, SL2, PGL2, PSL2 над произвольной областью целостности v.

Аналогичные результаты получены в [42] для групп SL2, PGL2 и GL2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо v должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41].

Хан в работе [44] применил метод О'Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развил -в размерностях ^ 5 - единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 "Лекций" О'Миры [04]. Из результатов работы [44] отметим < теорию изоморфизмов для линейных, симплектических и унитарных конгруэнц-групп и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и ® поля произвольной характеристики (все это в размерностях ^ 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45].

Автоморфизмы ортогональных групп над полем F характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро спинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонне [40], Стейнбергом [75], Сю Чжепь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных ограничениях на поло или геометрию пространства.

Теорию изоморфизмов для конгруэнц-подгрупп классических групп ф продолжал разрабатывать Солацци. В статье [74] он доказал, в частности, что симилектические и унитарные конгруэнц-группы над областями целостности характеристики ф 2 не изомор(1)ны, если их индексы Витта

В исключительном двумерном случае автоморфизмы конгруэнц-групп исследовал Ю.И. Мерзляков [23]. В этой работе построен также пример, показывающий, что если идеал i не квазирегулярен, то группа может иметь нестандартные автоморфизмы. Это говорит о том, что построение теории автоморфизмов двумерных групп, богатых трансвекциями, является нелегкой задачей. Помфрэ и Макдональд в работе [G7], используя теорему Капланского [51], утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GLn (n ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором 2 обратимый элемент.

Продолжая тему, начатую работой [G7], Маккин и Макдональд [60] исследовали автоморфизмы симплектической группы Spn над локальным кольцом. Автоморфизмы этой группы над произвольным полем были найдены Хуа Ло-геном [46], затем Райнер [G8] описал автоморфизмы Spn над кольцом Z, а Янь Ши-цзянь [80] и О'Мира [G2] - над произвольной областью целостности.

Для коммутативного кольца R с элементом \ при п ^ 3 изоморфизм группы GLn (R) был описан в [77]. В.М. Петечук [28] получил тот же результат при условии п ^ 4. Особый интерес представляет случай \ £ R, п = 3, когда могут возникнуть нестандартные изоморфизмы. Для локальных колец они рассмотрены В.М. Петечуком в [27], для любого коммутативного кольца - Ф. Ли и 3. Ли [54].

Ю.В. Сосновский [29] распространил теорию О'Миры [G5] изоморфизмов линейных групп на случай размерностей п = 3,4. В

- работе [30] описаны изоморфизмы богатых подгрупп симплектической группы над нолем.

Г.А. Носков [26] описал автоморфизмы группы GLn(v), где v - коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, не порождаемое делителями нуля, причем пространство Мах (г;) его максимальных идеалов, снабженное топологией Зарисского, нётерово и имеет конечную комбинаторную размерность, а п ^ 2 + dim Мах (г;).

Глубокие результаты получены Михалевым А.В., Голубчиком И.З. и Зельмановым ^Е.И. Ими исследованы изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами матриц. Голубчиком И.З. и Михалевым А.В. в [8] получено описание изоморфизмов линейных групп над ассоциативными кольцами с Аналогичный результат получен Е.И. Зельмановым в [15] при условии га ^ 2. В [12] описан изоморфизм группы GL<i над кольцом с обратимыми элементами 2 и 3. В [43] описан изоморфизм группы GLn (R) при п ^ 4 над кольцом матриц. Результаты работы [9] позволяют описывать автоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами в случае, когда гиперболический ранг формы q > 1 и п ^ 5. Для локального кольца этот результат получен Д. Джеймсом [50]. При п = 2к, к ^ 3 и гиперболический ранг формы q максимален, автоморфизмы унитарной группы описаны

Е.И. Зельмановым с помощью специализаций некоторых йордановых систем.

- Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю.И. Мерзлякова и О. О'Миры.

Основная цель диссертации - пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотную систему идемпотептов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Автоморфизмы классических групп (сб. переводов с англ. и франц.). - М.: Мир, 197G. 264 с.

2. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972. 160 с.

3. Блощицин В.Я. Автоморфизмы общей линейной группы над коммутативным кольцом, не порождаемым делителями нуля // Алгебра и логика. 1978. Т. 17, К0- 6. С. 639-642.

4. Блощицин В.Я. Канонический вид автоморфизмов группы над кольцами, близкими к полям // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 175181.

5. Боревич З.И., Вавилов Н.А. Об определении сетевой подгруппы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 132. С. 26-33.

6. Боревич З.И., Вавилов Н.А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 165. С. 24-42.

7. Голубчик И.З., Михалев А.В. Об изоморфизме полных линейных групп / Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей. Тез. докл. С. 40. Новосибирск, 1982.

8. Голубчик И.З., Михалев А.В. Изоморфизм полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вест.Моск.ун-та. Математика. Механика. 1983. Сер. 1, № 3. С. 61-72.

9. Голубчик И.З., Михалев А.В. Изоморфизм унитарных групп над ассоциативными кольцами // Зап. науч. семинаров Лепингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1983. Т. 132. С. 97-109.

10. Голубчик И.З., Михалев А.В. Представление группы SL3 (Z) в группах с разложимыми инволюциями / X Всес. сими, по теории групп. Тез. докл. С. 56. Минск, 1986.

11. Голубчик И.З., Михалев А.В. Гомоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами / Тезисы сообщений XIX Всес. алгебр, конф. С. 64. Львов, 1987.

12. Голубчик И.З. Изоморфизм группы GL2 (Я) над ассоциативным кольцом R // Ученые записки: Сб. научн. трудов. Изд-во БГПУ: Уфа, 2003. С. 21-34.

13. Голубчик И.З. Изоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами // Ученые записки: Сб. научн. трудов. -Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 77-93.

14. Дроботенко B.C., Погориляк Е.Я. Автоморфизмы полной линейной группы над некоммутативным полулокальным кольцом // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, № 3. С. 157-158.

15. Зельманов Е.И. Изоморфизм линейных групп над ассоциативным кольцом // Сиб.мат.журнал. 1985. Т. 26, № 4. С. 49-67.

16. Исмагилова А.С. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами / в сб. "ЭВТ в обучении и моделировании", Третья Всероссийская научно-теоретическая конференция. С. 143145.- Бирск. гос. пед. ин-т: Бирск, 2004.

17. Исмагилова А.С. Гомоморфизм группы GL2 (R) // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, N5 3. С. 95-108.

18. Исмагилова А.С. Изоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами с четырьмя идемнотептами // Ученые записки: Сб. научн. статей. Изд-во БГПУ: Уфа, 2005. Вып. 7. С. 150-160.

19. Исмагилова А.С. Об изоморфизме унитарных групп над кольцами / Тез. докл. Международной алгебраической конференции. С. 10G-108. Изд-во Урал, ун-та: Екатеринбург, 2005.

20. Исмагилова А.С. Изоморфизмы групп обратимых элементов ассоциативного кольца // Вестник Башкирского университета. 2005. № 4. С. 8-11.

21. Исмагилова А.С. Развитие метода инволюций в теории линейных групп над кольцами / Тез. докл. XXXVII Региональной молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики", С. 45-49. Екатеринбург, 200G г.

22. Исмагилова А.С. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами // Фундаментальная и прикладная математика. 200G. Т. 12, № 2.

23. Мерзляков Ю.И. Автоморфизмы двумерных конгруэнц-групн. // Алгебра и логика. 1973. Т. 12, ДО 4. С. 4G8-477.

24. Мерзляков Ю.И. Обзор новейших результатов об автоморфизмах классических групп. В сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 197G. С. 250-259.

25. Петечук В.М. Автоморфизмы групп SL3(K), GLS(K) // Мат. заметки. 1982. Т. 31. С. 335-340.

26. Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Математика. 1983. Т. 45. С. 527542.

27. Сосновский Ю.В. К общей теории изоморфизмов линейных групп. В сб.: Изоморфизмы классических групп над целостными кольцами, М.: Мир, 1980. С. 259-2G8.

28. Сосновский Ю.В. Изоморфизмы симплектичесих групп над телами харакеристики не равной 2 // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, № G. С. 726-739.

29. Artin Е. The orders of the linear groups // Comm.Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 3. P. 355-365.

30. Artin E. The orders of the classical simple groups. // Comm.Pure Appl. Math. 1955. V. 8, № 4. P. 455-472.

31. Borel A. On the automorphisms of certain subgroups of semi-simple Lie groups. // Proc.Conf.Alg.Geom. 1968. P. 43-73.

32. Borel A., Tits J. Homomorphismes "abstraits"de groupes algebrigues simples // Ann.Math. 1973. V. 97, № 3. P. 499-571.

33. Colin P.M. On the structure of the GL2 of a ring. // Pubis math.IHES. 1966. № 30. P. 5-53.

34. Colm P.M. Automorphisms of the two-deinensional linear groups over Euclidean domains // J.Lond.Math.Soc. 1969. V. 1, № 2. P. 279-292.

35. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal groups in characteristic 2 // J.Number Theory. 1973. V. 5, № 6. P. 477-501.

36. Connors E. A. Automorphisms of the orthogonal group of a defective space // J.Algebra. 1974. V. 29, № 1. P. 113-123.

37. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups // Mem.Amer.Math.Soc. 1951. № 2. P. 1-95.

38. Dieudonne J. La geometric des groupes classiques. Springer Verlag. Berlin-New York, 1971. Русский перевод: Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.: Мир, 1974.].

39. Dull M.H. Automorphisms of PSL2 over domains with few units // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 372-379.

40. Dull M.H. Automorphisms of the two-demensional linear groups over integral domains // Amer.J.Math. 1974. V. 96, № 1. P. 1-40.

41. Golubchik I.Z. Isomorphisms of the General Linear Group GLn (R), n ^ 4 over an Associative Ring // Amer. Math. Soc. 1992. V. 131. Part 1. P. 123-13G.

42. Halm A.J. The isomorphisms of certain subgroubs of the isometry groups of reflexive spaces // J.Algebra. 1973. V. 27, № 2. P. 205-242.

43. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1951. V. 71. P. 331-348.

44. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the projective unimodular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1952. V. 72, № 3. P. 4G7-473.

45. Humphreys J.E. On the automorphisms of infinite Chevalley groups // Canad.J.Math. 19G9. V. 21, № 4. P. 908-911.

46. James D.G. Unitary geometry over local rings // J.Algebra. 1979. V. 56, № 1. P. 221-234.

47. Kaplansky. Projective modules // Ann.Math.Ser.2. 1958. V. 68, № 2. P. 372-377.

48. Landin J., Reiner I. Automorphisms of the Gaussian unimodular group. // Trans. Amer.Math.Soc. 1958 V. 87, № 1. P. 76-89.

49. Lanolin J., Reiner I. Automorphisms of the two-dimensional general linear group over a Euclidean ring // Proc.Ainer.Math.Soc. 1958. V. 9, № 2. P. 209-21G.

50. Li F.L. and Li Z.X. Isomorphisms of GL3 over commutative rings // Amer. Math. Soc. 1984. V. 82. P. 47-52.

51. Fu-an Li. The automorphisms of non-defective orhogonal groups (V) and Og (V) in characteristic 2 // Chinese Ann. Math. 1986. V. 7B. P. 113.

52. Fu-an Li and Zunxian Li. Isomorphisms of GL3 over commutative rings I I Scientia Sinica. 1988. V. 31. P. 7-14.

53. McDonald B.R. Geometric algebra over local rings. New York and Basel, 197G.

54. McQueen L., McDonald B.R. Automorphisms of the syinplectic group over a local ring // J.Algebra. 1974. V. 30, № 1-3. P. 485-495.

55. O'Meara O.T. The automorphisms of the linear groups over any integral domain // J.reine angew.Math. 1966. V. 223. P. 56-100.

56. O'Meara O.T. The automorphisms of the standard symplcctic group ower any integral domain // J.reine angew.Math. 1968. V. 230. P. 104-138.

57. O'Meara O.T. Group-theoretic characterization of transvections using CDC // Math.Z. 1969. V. 110, № 5. P. 385-394.

58. Reiner I. Automorphisms of the symplectic modular group // Trans.Amer.Math.Soc. 1955. V. 80, № 1. P. 35-50.

59. Reiner I. A new type of automorphism of the general linear group over a ring // Ann.Math. 1957. V. 66, № 3. P. 461-466.

60. Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations // Amer.J.Math. 1950. V. 72. P. 451-464.

61. Rickart C.E. Isomorphisms of infinite-dimensional analogues of the classical groups // Bull.Amer.Math.Soc. 1951. V. 57, № 6. P. 435-448.

62. Schreier O., Van der Waerden B.L. Die Automorphisinen der projektiven Gruppen. Abh.Math.Sem.Univ. Hamburg, 1928. P. 303-322.

63. Solazzi R.E. The automorphisms of certain subgroups of PGLTl (K) // Illinois J.Math. 1972 V. 16, № 2. P. 330-348.

64. Solazzi R.E. On the isomorphisms between certain congruence groups // Canad.J.Math. 1973. V. 25, № 5. P. 1006-1014.

65. Steinberg R. Automorphisms of finite linear groups // Canad.J.Math. 1960. V. 12, № 4. P. 606-615.

66. Steinberg R. Lectures on Chevalley groups. Yale Lecture Notes, 1967. Русский перевод: Стейпберг P. Лекции по группам Шевалле. -М.:Мир, 1975.]

67. Waterhouse W.C. Automorphisms of GLn (R) // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. № 79. P. 347-351.

68. Xu C.H. On the automorphisms of orthogonal groups over perfect fields of characteristic 2 // Chinese Math. 1966. V. 8, № 4. P. 475-523.

69. Yan S.J. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. V. 7, № 2. P. 163-179. Русский перевод в сб.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. С. 226-249].

70. Yien S.C. Symplectic groups over a commutative ring. J.Peking Normal Univ.Nat.Sci., 1957. P. 23-46.