Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ _УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА_

На правах рукописи

Аткарская Агата Сергеевна

Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

О 4 СЕН 2014

Москва 2014

005552105

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова".

Научные руководители: доктор физико-математических наук Бунина Елена Игоревна, доктор физико-математических наук, профессор Михалёв Александр Васильевич.

Официальные опноненты: Балаба Ирина Николаевна, доктор физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии (ФГБОУ ВПО „Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого").

Туганбаев Аскар Аканович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики (ФГБОУ ВПО „Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова").

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО „Московский педагогический государственный университет".

Защита диссертации состоится 26 сентября 2014 г. , / /(> Угас. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 на базе ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8 этаж.

Автореферат разослан 26 августа 2014 года. Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Работа посвящена изучению изоморфизмов между линейными группами над ассоциативными кольцами. В диссертации рассматриваются классические нолные линейные группы GLn, полные линейные группы над ассоциативными градуированными кольцами, стабильные линейные группы и стабильные унитарные группы. Описывается действие изоморфизма между данными группами на соответствующих элементарных подгруппах.

Актуальность темы. Автоморфизмы и изоморфизмы линейных групп изучаются математиками с начала XX века. Исследование автоморфизмов линейных групп началось с работы Шрайера и Ван-дер-Вардена1, в которой были онисаны автоморфизмы группы PSLn, п > 3, над произвольным нолем. Затем примененный в этой работе метод был обобщен Хуа2, и с его помощью были онисаны автоморфизмы симплектических групп над полем характеристики, не равной 2. Далее в 1950х Дьёдонне и Риккартом был введен метод инволюций3 4 5. С его помощью были исследованы автоморфизмы группы GLn, п > 3, а также унитарных и симплектических групп над телами характеристики, не равной 2.

Затем Хуа и Райнером6 было получено описание автоморфизмов группы GL,,(Z). Данный результат был обобщен на некоммутативные области главных идеалов в работе7 Лэндином и Райнером, а также в работе8 Вань Чжесянем.

В 1960х О'Мирой был разработан метод вычетных пространств3 10. При помощи данного метода были изучены автоморфизмы GL„, п > 3, над областями целостности и автоморфизмы симплектических групп специального вида надполями (так называемые группы, богатые трансвекциями). Независимо с помощью метода инволюций Янь Щицзянем11 также были описаны автоморфизмы группы Е„(Д), п > 3, где R — область целостно-

'Gchreier О., Waerden B.L. van der. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. — 1928. — 6. — 303-322.

2Hua L.K. On the automorphisms of the symplectic group over any field. Ann. of Math. — 49. — 1948.

- 739 759.

3Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups. Mem. Amer. Math. Soc. — 1951. — 2. — 1-95.

4Rickaxt C.E. Isomorphic groups of linear transformations, I. Amer. J. Math. — 1950. - 72. - 451-464.

5Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations, II. Amer. J. Math. — 1951. — 73. — 697-716.

6Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group. Trans. Amer. Math. Soc. — 1951. — 71.

- 331-348.

7Landin J., Reiner I. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain. Ann. Math. - 1957. •- 65, №3. - 519 526.

8Wan G.H. An the automorphism of linear group over a noncommutative principal ideal domain of characteristic ф 2. Acta Math. Sinica. — 1957. — 7. — 533-573.

90'Meara O.T. Lectures on linear groups. Providence, Rhode Island, 1974.

10O'Meara O.T. The automorphisms of the standard symplectic group over any integral domain. J. Reine Angew. Math. - 1968. - 230. - 103-138.

nYan Shi-jinn. Linear groups over a ring. Chinese Math. — 1965. — 7, №2. — 163-179.

сти характеристики ф 2.

В работе12 Макдональдом и Помфрэ были исследованы автоморфизмы GLn, n ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с Далее, Уотер-хаузом13 было получено описание автоморфизмов группы GLn, п ^ 3, над произвольными коммутативными кольцами с Затем В.М. Петечу-ком14 изучены автоморфизмы GLn, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с После этого при помощи разработанного им метода локализации В.М. Петечук15 получил описание автоморфизмов GLn, п ^ 4, над произвольным коммутативным кольцом. Изучались также группы автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. Ли Фуанем16 был онисан вид автоморфизмов стабильных линейных групп над произвольными коммутативными кольцами.

Макквин и Макдональд17 получили описание автоморфизмов групп Spn размерности ^ 6 над коммутативным локальным кольцом, содержащим д. Продолжая работу в этом направлении, в 1980 году В.М Пе-течуком18 были исследованы автоморфизмы симплектических групп над произвольным коммутативным локальным кольцом. А затем, в 1983 году, применив метод локализации, В.М Петечук19 продолжил описание автоморфизмов на случай Spn(R),n > 6 над произвольным коммутативным кольцом R.

Затем возникла задача изучения изоморфизмов линейных групп над произвольными ассоциативными кольцами (без предположения о коммутативности). И.З. Голубчиком и А.В Михалёвым20 было дано описание изоморфизмов группы GL „(Я) в случае ассоциативного кольца R с | при 71 ^ 3, и независимо в то же время подобные результаты (другими методами) были получены Е.И. Зельмановым21. Далее, в 1997 году И.З. Голубчиком22 описание изоморфизмов GLn(ñ) было продолжено на случай

"McDonald B.R., Pomfret J. Automorphisms ofGLn(R), R a local ring. Trails. Amer. Math. Soc. — 1972. — 173 — 379-388. (Русский перевод в кн.: Автоморфизмы классических ?гупп- Мир, 1970. - 176-187).

13Waterhouse W.C. Automorphisms of Gl. ..(Я)- Гг<>с. Amer. Math. Soc. — 1980. — 79, №3. — 347-3.41.

14Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLnj GLn над некоторыми локальными кольцами. Матем. заметки - 19S0. — 28, №2. — 187-206.

15Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Матем. сборник. — 1982. - 117, №4. - 534-547.

lsLi Puan. Infinite Steinberg Gimps. Acta Mathematica Sinica. — 10, .442. — 149-157.

"McQueen L., McDonald B.R. Automorphisms of the symplectic group over a local ring. J. Algebra — 1974. - 30, №1-3. - 485-495.

18Петечук В.М. Автоморфизмы симплектической группы Sp „(Я) над некоторыми локальными кольцами. Дел. ВИНИТИ, №2224-80.

19Петечук В.М. Изоморфизмы симплектических групп над коммутативными кольцами. Алгебра и Логика. - 1983. - 22, №5. - 551-562.

20Голубчик И.З., Михалёв A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1983. — №3. — 61-72.

21Зельманов Е.И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом. Сиб. ыат журн — 1985. - 26, №4. - 49-67.

22Голубчик И.З. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Докт. дис. Уфа, 1997.

произвольного ассоциативного кольца при п ^ 4.

В 1983 году И.З. Голубчиком и A.B. Михалёвым23 были исследованы изоморфизмы унитарных групп над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими с некоторыми ограничениями на размерность группы и ранг формы. Для более частного случая, когда п — 2к и гиперболический ранг формы Q максимален (то есть равен fc), автоморфизмы группы U n(R, t,Q), к ^ 3 были независимо описаны в 1985 году Е.И Зель-

пл

мановым .

Цель работы. Целью работы является описание изоморфизмов классических линейных групп, а также стабильных линейных групп над различными классами ассоциативных колец.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основными в представленной работе являются следующие результаты:

• модифицированное доказательство теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами над ассоциативными кольцами;

• продолжение теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами на случай линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами;

• описание действия изоморфизмов между стабильными линейными группами над кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе;

• описание действия изоморфизмов между стабильными унитарными группами над кольцами, содержащими на стабильной унитарной элементарной подгруппе.

Методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец и модулей над кольцами, а также специальные методы, разработанные для описания действия изоморфизмов между линейными группами, в том числе метод инволюций.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в решение задачи описания изоморфизмов линейных групп над кольцами.

23Голубчик И.З., Михалёв A.B. Изоморфизм унитарных групп над ассоциативными кольцами. Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. — 1983. — 132. — 97-109.

24см. 21.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих международных конференциях:

• VII международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков, 2009);

• международный алгебраический симпозиум, носвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора A.B. Михалёва (Москва, 2010);

а также на следующих семинарах Механико-математического факультета МГУ:

• научно-исследовательский семинар по алгебре (2010-2013, неоднократно);

• семинар "Алгебра и теория моделей" (2009-2013, неоднократно);

• семинар "Теория групп" (2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[5], из них [2] и [5] — в журналах из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, содержащих 14 разделов, и сииска литературы. Библиография содержит 36 наименований. Текст диссертации изложен на 98 страницах.

Содержание работы

Работа состоит из четырех глав. Глава 1 имеет вспомогательный характер, в ней вводятся необходимые для работы базовые понятия и обозначения. В разделе 1.1 мы вводим обозначения для используемых матричных колец, определяем понятия системы матричных единиц, элементарной подгруппы, стабильной линейной группы и стабильной элементарной подгруппы. В разделе 1.2 даются необходимые сведения об унитарных группах, вводятся определения стабильной унитарной группы и стабильной унитарной элементарной подгруппы. Раздел 1.3 посвящен необходимым сведениям из теории градуированных колец и модулей. Даются определения градуированного кольца, градуированного модуля, градуированного морфизма. Вводится понятие градуированного кольца эндоморфизмов градуированного модуля и понятие хорошей градуировки на кольце матриц.

В главе 2 дается модифицированное автором доказательство следующей теоремы И.З. Голубчика25 об изоморфизме между линейными группами над ассоциативными кольцами.

2SCM. 22

Теорема. Пусть R и S — ассоциативные колъца с 1, n ^ 4, m ) 2 « ip : GLn(ii) —> GL m(S) — изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотентпы е и / колец Matn(ii) и Mat m (5) соответственно, кольцевой изоморфизм

0Х: eMat „(Я) /Mat m(S)

и кольцевой антиизоморфизм

02 : (1 -e)Mat n{R) (1 - /)Matm(S),

такие, что

<р(А) = в1(еА)+в2((1-е)А-1)

для всех А е Е„(Я).

В разделе 2.1 вводится определения кольца частных и канонического гомоморфизма и доказываются вспомогательные утверждения. Раздел 2.2 посвящен доказательству основного результата. Также в этом разделе автором сформулирована и доказана теорема, описывающая действие изоморфизма линейных групп на подгруппе GE„(.R). В разделе 2.3 приводится подробное доказательство вспомогательных технически сложных предложений, которые исиользовались при доказательстве основного результата. Раздел 2.4 посвящен изучению изоморфизма линейных групп над асооциативными градуированными кольцами. Автором вводится следующее определение

Определение. Пусть R = ф Rg, S = ф Sg — ассоциативные градуиро-

geG g&G

ванные кольца с 1, Matn(.R), Mat m(5) — градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой. Изоморфизм груни ip : GL„(ii) —>■ GLm(5) назовем изоморфизмом, согласованным с градуировкой, если

<£>(GLn(fl) nMat„(i?)e) С GLm(S) nMatm(S)e

и выполнено свойство:

если А-Е е Mat„(fi)3, то tp{A) - Ее. Matm.(S%.

Доказана теорема

Теорема. Пусть G — группа с нейтральным элементом е, R = ф Rg,

дев

S = ф Sg — ассоциативные градуированные кольца с единицей, Mat „(Л), seG

Mat m(S) — градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой, п >

4, т ^ 2, и <р : GLn(i?) —>• GLm(S) — изоморфизм групп, согласованный с градуировкой. Пусть изоморфизм ip~l тоже согласован с градуировкой. Тогда существуют центральные идемпотенты q и f колец Matn(i2) и Matm(S') соответственно, q Е Mat n(R)e,f е Matm(5)e, кольцевой изоморфизм

9\ : qMatn(R) —> /Matm(S) и кольцевой антиизоморфизм

в2:(1~ <7)Mat„(tf) —► (1 - /)Matm(5), сохраняющие градуировку, такие, что

<fi(A) = e1(qA) + e2((l-q)A-1)

для всех А £ Еn(R).

Глава 3 носвящена описанию изоморфизма между стабильными линейными группами над ассоциативными кольцами, содержащими Основной результат этой главы продолжает описание изоморфизма линейных групп, полученный И.З. Голубчиком и А.В. Михалёвым26. Доказана следующая

Теорема. Пусть R и S — ассоциативные кольца с ip : GL (Л) —>■ GL(S) — изоморфизл1 групп. Тогда существуют центральные идемпотенты hue колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм

в1 : h(GL (R)) e(GL (S)) и кольцевой антиизоморфизм

02 : (1 - fc)<GL (R)) (1 - e)(GL (5)>,

такие, что

<f(A) = e1(hA)+62((l-h)A-1)

для всех A 6 E (R).

Доказательство теоремы ведется с использованием модифицированного метода инволюций. В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего доказательства вспомогательные утверждения, а также строится система матричных единиц {fij,i,j е N} кольца Mat (£), обладающая свойством (р(Е - 2ец) = Е - 2fiui е N. Далее в разделе 3.2 строится изоморфизм между кольцами (E(S)) и (E(5'1)),S'i = /пМа^(£)/ц, что позволяет нам в дальнейшем записывать элементы GL (S) удобным способом. Затем в разделе 3.3 мы описываем образы элементов из Е (R)

26см. 20

при изоморфизме <р и строим кольцевые отображения 9\ и 62, обладающие необходимыми свойствами. Это завершает доказательство теоремы.

В главе 4 описывается действие изоморфизма между стабильными унитарными группами над ассоциативными кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе. Результат этой главы продолжает описание изоморфизма унитарных групп, полученное И.З. Голубчиком и A.B. Михалёвым27. Основным результатом является следующая

Теорема. Пусть R и S — ассоциативные кольца с т — инволюция (антиавтоморфизм порядка два) на R, е — инволюция на S, <р : U (R) —► U (S) — изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент ß & Z(R), такой, что ßßT — 1 обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм

такой, что

<р(А) = в {А) для всех А е EU (R).

При доказательстве теоремы используется развитый метод инволюций. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых для доказательства дополнительных обозначений и соглашений. В разделе 4.2 даются необходимые вспомогательные результаты и производятся предварительные вычисления. Также вводится система матричных единиц {z(j,i,j Е NUN'}, обладающая свойством ip(B — 2(ец + е;-;')) = Е — 2(za + zw). Затем в разделе 4.3 строится изоморфизм между кольцами (U(S)) и (U(5i)), S\ — zjjMat 2,00(5)211, что позволяем нам далее записывать элементы из U (S) в удобном виде. В разделе 4.4 мы описываем образы элементов из EU (Я) и строим кольцевой изоморфизм в, удовлетворяющий условию теоремы. Это завершаят рассмотрение в главе 4.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям Александру Васильевичу Михалёву и Елене Игоревне Буниной за постановку задач, руководство работой и поддержку. Автор благодарен всему коллективу кафедры высшей алгебры за тёплую атмосферу и полезные обсуждения.

"см. 23

Работы автора по теме диссертации

[1] Аткарская A.C., Бунина Е.И., Михалёв A.B. Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами, градуированными абе-левой группой. Доклады Академии наук. - 2011. — 437, №3. — 295 296. Аткарской A.C. принадлежит формулировка и доказательство основного результата: теоремы об изоморфизмах линейных групп над градуированными кольцами (теоремы 2); Буниной Е.И. принадлежит часть введения, касающаяся градуированных колец и модулей; Михалёву A.B. принадлежит историческое введение к статье и общая редакция работы.

[2] Аткарская A.C. Изоморфизмы стабильных линейных групп над ассоциативными кольцами, содероюащими Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. - 2014, №4. - с. 28-32.

[3] Аткарская A.C. Стабильные группы над ассоциативными кольцами с Описание изоморфизмов стабильных линейных групп. Фундамент. и прикл. матем. — 2013. — 18, №1. — 3—20.

[4] Аткарская A.C. Стабильные группы над ассоциативными кольцами с т;. Описание изоморфизмов стабильных унитарных групп. Фундамент. и прикл. матем. — 2013. — 18, №4. — 3—21.

[5] Аткарская A.C., Бунина Е.И., Михалёв A.B. Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами, градуированными абе-левой группой. Фундамент, и прикл. матем. — 2010. — 16, №3. — 5-40. Аткарской A.C. принадлежат главы 1—3 и формулировки и доказательства в главе 4; Буниной Е.И. принадлежит введение к главе 4; Михалёву A.B. принадлежит историческое введение к статье и общая редакция работы.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Подписано в печать « Я Г» ь^у^Ои-О? 2014 г. Тираж юоэкз. Заказ № 36

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова М еханико-м атем ати ч еский ф акультет

На правах рукописи

04201460973

Аткарская Агата Сергеевна

Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами.

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: д. ф.-м. н. Бунина Елена Игоревна д. ф.-м. н., профессор Михалёв Александр Васильевич

Москва 2014

Оглавление

Введение 3

1 Основные понятия 12

1.1 Основные понятия теории линейных групп............12

1.2 Предварительные сведения об унитарных группах........13

1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях 15

2 Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами 17

2.1 Вспомогательные определения и утверждения..........17

2.2 Доказательство основной теоремы (теоремы 3)...........22

2.3 Доказательство вспомогательных предложений 3 и 4.......27

2.4 Обобщение основной теоремы на случай градуированного кольца Я..................................51

3 Изоморфизмы стабильных линейных групп 56

3.1 Вспомогательные результаты....................57

3.2 Построение изоморфизма между кольцами (Е(5')) и (Е(51)),

где ^ = /иМаЬ 00(5)/и.......................61

3.3 Доказательство основной теоремы.................65

4 Изоморфизмы стабильных унитарных групп 76

4.1 Обозначения и соглашения.....................76

4.2 Предварительные результаты....................77

4.3 Построение изоморфизма между кольцами (11(5')) и (и (¿>1)),

где = •гпА^г.ооС^')^! ......................85

4.4 Доказательство основной теоремы.................89

Введение

Работа посвящена изучению изоморфизмов между линейными группами над ассоциативными кольцами. Кроме классической полной линейной группы СЬ п(В), рассматриваются также группы над ассоциативными градуированными кольцами, стабильные линейные группы и стабильные унитарные группы. Описывается действие изоморфизма между данными группами на соответствующих элементарных подгруппах.

Изучение автоморфизмов линейных групп началось с работы Шрайера и Ван-дер-Вардена [29], в которой были описаны автоморфизмы группы Р8ЬП, п ^ 3, над произвольным полем. Затем примененный в этой работе метод был обобщен в работе [16], и с его помощью Хуа были описаны автоморфизмы симплектических групп над полем характеристики, не равной 2. Далее в 1950х Дьёдонне и Риккартом был введен метод инволюций. С его помощью в работах [14], [26] и [27] были исследованы автоморфизмы группы СЬП, п ^ 3, а также унитарных и симплектических групп над телами характеристики, не равной 2.

Затем Хуа и Райнером [17] было получено описание автоморфизмов группы СЬП(Й). В работах [19](Лэндин, Райнер) и [30](Вань Чжесянь) их результат был обобщен на некоммутативные области главных идеалов.

В 1960х О'Мирой был разработан метод вычетных пространств. При помощи данного метода были изучены автоморфизмы СЬП, п ^ 3, над областями целостности, [24], и автоморфизмы симплектических групп специального вида над полями (так называемые группы, богатые трансвекциями), [25]. Независимо с помощью метода инволюций Янь Щицзянем [28] также были описаны автоморфизмы группы ЕП(Я), п ^ 3, где Я — область целостности характеристики ф 2.

В работе [21] Макдональдом и Помфрэ были исследованы автоморфизмы СЬП, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с Далее, Уотерха-узом [31] было получено описание автоморфизмов группы СЬП, п ^ 3, над

произвольными коммутативными кольцами с Затем В.М. Петечуком [8] изучены автоморфизмы GLn, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с После этого при помощи разработанного им метода локализации В.М. Петечук [9] получил описание автоморфизмов GLn, п ^ 4, над произвольным коммутативным кольцом. Изучались также группы автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. В работе [20] Ли Фуанем был описан вид автоморфизмов стабильных линейных групп над произвольными коммутативными кольцами.

Макквин и Макдональд в [22] получили описание автоморфизмов групп Spn размерности ^ 6 над коммутативным локальным кольцом, содержащим Продолжая работу в этом направлении, в 1980 году В.М Петечуком [10] были исследованы автоморфизмы симплектических групп над произвольным коммутативным локальным кольцом. А затем, в 1983 году, применив метод локализации, В.М Петечук в [11] обобщил результаты работ [22] и [10] на случай Spn(R),n ^ 6 над произвольным коммутативным кольцом R.

И.З. Голубчиком и А.В Михалёвым было дано описание изоморфизмов группы GL n(R) в случае ассоциативного кольца R с | (без предположения о коммутативности) при п ^ 3 в работе [3], и независимо в то же время подобные результаты (другими методами) были получены Е.И. Зельмановым в работе [5]. В этих работах доказана следующая

Теорема 1. Пусть R и S — ассоциативные кольца, содержащие п^т^ 3 и (р : GL n(R) —> GLm(S') — изоморфизм групп. Пусть также GEn(.R) = {Е + reij, diag [ai, а2,...] | i ^ j,r 6 G R*). Тогда существуют цен-

тральные идемпотенты е и f колец Matn(i?) и Matm(5) соответственно, кольцевой изоморфизм

01 : eMatn(.R) —► /MatTO(S), кольцевой антиизоморфизм

в2 : (1 - e)Mat„(fl) —> (1 - /)Matm(5) и групповой гомоморфизм

X:GEn(R)-^Z(GLm(S)),

такие, что

для всех A g GEn(i2).

Далее, в 1997 году в работе [2] И.З. Голубчиком описание изоморфизмов GL n{R) было продолжено на случай произвольного ассоциативного кольца при п ^ 4.

В 1983 году И.З. Голубчиком и A.B. Михалёвым в работе [4] были исследованы изоморфизмы унитарных групп над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими с некоторыми ограничениями на размерность группы и ранг формы. Пусть на кольце Mat n(R) задана невырожденная форма

Q= ^ ••• qt j £),

(на пустых местах в матрице предполагаются нулевые элементы).

Пусть на кольце R задана инволюция г (антиавтоморфизм порядка 2). Тогда на кольце Matn(i?) можно определить инволюция по правилу Ат = Q~l{a]i)Q- Тогда Un(R,r,Q) = {А в GLn(R) | АтА = Е]. Определим унитарную элементарную подгруппу следующим равенством

EUn(Ä) = (Е + епА(Е - еи) - (еиА(Е - еп))т-- \{епА{Е - ец))(ецА(Е - еп))т, Е + (Е - еи)Аеп - ((Е - еп)Аеп)У-

- \{{Е - еп)АепУ{{Е - еп)Аеи) | А е Matn(R))

Результат, полученный в [4], может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 2. Пусть R и S — ассоциативные кольца с г — инволюция на R, £ — инволюция на S. Пусть U n(R,r,Q), t > 2, U m(S, e,Q\) — соответствующие унитарные группы, п,т ^ 5, ip : U n(R,r,Q) —> U m(S,e,Q) — изоморфизм унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент ß 6 Z(R), для которого ßßT — 1 обратим. Тогда Matm(5') = S\ © S2 и существует изоморфизм колец

Matn(R) Si,

такой, что

ip(A) = в{А) + Е- в{Е) для всех А е EU n(R).

Если —Е € Е11 п{Я), тогда в(Е) = Е, то есть [р{А) = в(А) для всех А е ЕЙ „(Л).

Если п = 2к и гиперболический ранг формы ф максимален (то есть равен к), то автоморфизмы группы и „(Л, т, О), к ^ 3 были описаны в 1985 году другими методами Е.И Зельмановым, [5].

Таким образом, данная работа продолжает начатое в конце XX в. изучение изоморфизмов и автоморфизмов линейных групп над некоммутативными кольцами.

Целью данной работы является описание изоморфизмов классических линейных групп, а также стабильных линейных групп над различными классами ассоциативных колец.

Основными в представленной работе являются следующие результаты:

• модифицированное доказательство теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами над ассоциативными кольцами;

• продолжение теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами на случай линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами;

• описание действия изоморфизмов между стабильными линейными группами над кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе;

• описание действия изоморфизмов между стабильными унитарными группами над кольцами, содержащими на стабильной унитарной элементарной подгруппе.

В диссертации используются методы классической теории колец и модулей над кольцами, а также специальные методы, разработанные для описания действия изоморфизмов между линейными группами, в том числе метод инволюций.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в решение задачи описания изоморфизмов линейных групп над кольцами.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

— VII международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков,

— международный алгебраический симпозиум, посвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А.В. Михалёва (Москва, 2010);

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

— научно-исследовательский семинар по алгебре;

— семинар "Алгебра и теория моделей";

— семинар "Теория групп".

Результаты диссертации опубликованы в работах [32] — [36].

Работа состоит из четырех глав. Глава 1 имеет вспомогательный характер, в ней вводятся необходимые для работы базовые понятия и обозначения. В разделе 1.1 мы вводим обозначения для используемых матричных колец, определяем понятия системы матричных единиц и элементарной подгруппы. Мы называем Ма^^) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер п, что для любого г ^ п элементы матрицы Гц = а, а € Я. Вводится следующее определение.

Определение. Если А 6 СЬП(Л), то можно отождествить А с элементом из Ма100(Л) по следующему правилу: матрицу А запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (п, п), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0. Положим вЬ (Я) = У СЬп{Я) (СЬП(Л) С Ма^(Д)).

Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Ма^^). Назовем ее стабильной линейной группой.

Аналогичным образом определяется стабильная элементарная подгруппа.

В разделе 1.2 даются необходимые сведения об унитарных группах. Мы обозначаем через Mat2)oo(Л) кольцо Ма1г(Ма1;оо(Л)), через Дх> — единич-

2009);

ную матрицу счетного размера. Если А =

принадлежит U 2п(Я)

X, Y,V,W G Mat n(-R), то ее можно отождествить с элементом из Mat 2,00(-R) по правилу

Вводится следующее определение.

Определение. Положим и (Я) = У V 2п{Я) (и 2п(Я) Я Ма12,оо(Д)). Это подгруппа группы обратимых

элементов кольца Mat2,oo(-fi')• Назовем ее стабильной унитарной группой.

Затем стандартным способом определяется стабильная унитарная элементарная подгруппа.

Раздел 1.3 посвящен необходимым сведениям из теории градуированных колец и модулей. Даются определения градуированного кольца, градуированного модуля, градуированного морфизма. Вводится понятие градуированного кольца эндоморфизмов градуированного модуля и понятие хорошей градуировки на кольце матриц.

В главе 2 дается модифицированное автором доказательство следующей теоремы И.З Голубчика [2] об изоморфизме между линейными группами над ассоциативными кольцами.

Теорема (теорема 3). Пусть Я и Б — ассоциативные кольца с п ^ 4, т ^ 2 и (р : СЬП(7?) —у СЬт(Б) — изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты ей/ колец Ма^(Д) и Ма^(5) соответственно, кольцевой изоморфизм

X Y V W

01 : eMatn(i?) /Matm(S)

и кольцевой антиизоморфизм

02 : (1 - e)Mat„CR) (1 - /)Matm(S)

такие, что

у{А) = в1{еА) + в2{{1-е)А-1)

для всех A G En(i?).

В разделе 2.1 вводится определения кольца частных и канонического гомоморфизма и доказываются вспомогательные утверждения. Раздел 2.2 посвящен доказательству основного результата. Также в этом разделе автором сформулирована и доказана теорема, описывающая действие изоморфизма линейных групп на подгруппе GE n(R). При доказательстве используются методы работы [3]. В разделе 2.3 приводится подробное доказательство вспомогательных технически сложных предложений, которые использовались при доказательстве основного результата. Раздел 2.4 посвящен изучению изоморфизма линейных групп над асооциативными градуированными кольцами. Автором вводится следующее определение

Определение (определение 10). Пусть R = ф Rg, S = ф Sg ~ ассоци-

geG geG

ативные градуированные кольца с 1, Mat n(R), Mat^S) - градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой. Изоморфизм групп ip : GL n(R) —> GLm(5) назовем изоморфизмом, согласованным с градуировкой, если

<р(GL „(Я) П Mat n(R)e) С GL m(S) П Mat m(S)e

и выполнено свойство:

если А- Е е Mat„(E)ff, то <р(А) -Ее Mat m{S)g.

Доказана теорема

Теорема (теорема 5). Пусть G — группа с нейтральным элементом е, R — ф Rg, S = ф Sg — ассоциативные градуированные кольца с едини-

geG geG

цей, Matn(i?); Matm(5') — градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой, п ^ 4, т ^ 2, и <р : GLn(i?) —> GL m(S) — изоморфизм групп, согласованный с градуировкой. Пусть изоморфизм ср~1 тоже согласован с градуировкой. Тогда существуют центральные идемпотенты q и f колец Matn(#) и MatTO(5) соответственно, q б Matn(R)e,f £ Matm(<S')e; кольцевой изоморфизм

6>i : qMa,tn(R) —> /Matm(S) и кольцевой антиизоморфизм

в2:(1- g)Mat„(fl) —► (1 - /)Matm(S),

сохраняющие градуировку, такие, что

<р(А) = е1(дА)+в2((1-д)А-1)

для всех A g еn(R).

Глава 3 посвящена описанию изоморфизма между стабильными линейными группами над ассоциативными кольцами, содержащими Основной результат этой главы продолжает описание изоморфизма линейных групп, полученный И.З. Голубчиком и А.В. Михалёвым, [3]. Доказана следующая

Теорема (теорема 6). Пусть RuS — ассоциативные кольца c\,ip : GL (R) —> GL (S) — изоморфизм стабильных групп. Тогда существуют центральные идемпотенты hue колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм

в\ : h(GL (R)) —> e(GL (S)) и кольцевой антиизоморфизм

в2 : (1 - h)(GL(R)) -> (1 - e)(GL (S)),

такие, что

ip(A) = e1(hA)+92((l-h)A~1)

для всех AgE (R).

Доказательство теоремы ведется с использованием модифицированного метода инволюций. В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего доказательства вспомогательные утверждения, а также строится система матричных единиц {fij,i,j g N} кольца Mat (S), обладающая свойством ср(Е — 2ец) = Е — 2fa,г € N. Далее в разделе 3.2 строится изоморфизм между кольцами (Е (S)) и (Е (<Si)), Si = /nMat00(5)/n, что позволяет нам в дальнейшем записывать элементы GL (5) удобным способом. Затем в разделе 3.3 мы описываем образы элементов из Е (R) при изоморфизме (р и строим кольцевые отображения 9i и в2, обладающие необходимыми свойствами. Это завершает доказательство теоремы.

В главе 4 описывается действие изоморфизма между стабильными унитарными группами над ассоциативными кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе. Результат этой главы продолжает описание изоморфизма унитарных групп, полученное И.З. Голубчиком и А.В. Михалёвым, [4]. Основным результатом является следующая

Теорема (теорема 8). Пусть Я и 5 — ассоциативные кольца с г — инволюция (антиавтоморфизм порядка два) на Я, £ — инволюция на Б, (р : и (Я) —> и (5) — изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент ¡3 £ 2(Я), такой, что Д5Т — 1 обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм

такой, что

ср(А) = в (А) для всех А € ЕЙ (Я).

При доказательстве теоремы используется модифицированный метод инволюций. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых для доказательства дополнительных обозначений и соглашений. В разделе 4.2 даются необходимые вспомогательные результаты и производятся предварительные вычисления. Также вводится система матричных единиц 6 КиК'}, обладающая

свойством (р(Е — 2(ец + е^/)) = Е — 2{гц + хуу). Затем в разделе 4.3 строится изоморфизм между кольцами (и (б1)) и (11(61)), = ^пИ^/^г.оо^'гш что позволяем нам далее записывать элементы из и (5) в удобном виде. В разделе 4.4 мы описываем образы элементов из ЕЙ (Я) и строим кольцевой изоморфизм 9, удовлетворяющий условию теоремы. Это завершает рассмотрение в главе 4.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным научным руководителям Александру Васильевичу Михалёву и Елене Игоревне Буниной за постановку задач, руководство работой и поддержку.

Глава 1

Основные понятия

1.1 Основные понятия теории линейных групп

Все кольца в работе предполагаются ассоциативными с нейтральным элементом 1. Основные сведения о стабильных группах могут быть найдены в книге [15] и статье [1]. Через Mat П(Я) будем обозначать кольцо матриц размера п х п над кольцом R, через GLn(i?) будем обозначать группу обратимых элементов этого кольца. Определения, касающиеся колец матриц бесконечной размерности и стабильных линейных групп, могут быть найдены в работах [15] и [13].

Подгруппу, порожденную элементами E+reij, г G R, будем называть элементарной подгруппой и обозначать через Е П(Я). Через БП(Я) будем обозначать подгруппу GLn(jR), порожденную диагональными матрицами, через GE n(R) будем обозначать группу, порожденную группами ЕП(Я) и Dn (Я).

Обозначим через Mat (R) матрицы со счетным числом строк и столбцов, такие, что в каждом столбце содержится лишь конечное число ненулевых элементов (кольцо эндоморфизмов свободного правого Я-модуля V счетного ранга при фиксации базиса).

Назовем Ма^(Я) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер п, что для любого г ^ п элементы матрицы Гц = а, а € Я. Ясно, что Mat (R) — это кольцо.

Будем обозначать через FCRMat (R) подкольцо кольца Mat (Я), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов в каждой строке и в каждом столбце. Через FMat (Я) будем обозначать подкольцо кольца Mat (Я), состоящее из м