Линейные группы над ассоциативными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК .Уфимский научный"центр и

БАНКИРСКИМИ- ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИМ ИНСТИТУТ

На правах'рукописи

ГОЛУБЧИК ИГОРЬ ЗАХАРОВИЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ НАД АССОЦИАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и

теория чисел )

Научный консультант - профессор Михалев А.В.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ.

§1.Общая характеристика работы. ■ ,4

§2,Содержание работы по параграфам. , . 8

ГЛАВА 1.Нормальные делители полной линейной группы.

§З.Локализационная размерность Р1-колец. 32

§4.Нормальные делители полной линейной группы над ассоциативными кольцами. 47

§5.Коммутаторные формулы в полной линейной группы над ассоциативным кольцом. 53

ГЛАВА 2.Изоморфизмы полной линейной группы.

§6.Изоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами. 62

§7.Изоморфизмы группы ОЬп(К), Ш4 над ассоциативным кольцом К. 81

§8.Изоморфизмы группы 01»2(Ю над ассоциативным кольцом К. 100

§9.Автоморфизмы проективных групп над ассоциативными кольцами. 114

ГЛАВА 3.Унитарные и сетевые группы.

§10.0 нормальных делителях линейной и унитарной групп над ассоциативными кольцами. 118

§11.Сетевые подгруппы полной линейной группы. 136

§12.0 р-параболических подгруппах в полной линейной группе над ассоциативным кольцом. 146

ГЛАВА 4,Группы над алгебрами над бесконечными полями.

§13.Группы лиевского типа над Р1-кольцаш. 156 §14.0 полной линейной группе над слабо нетеровыми ассоциативными алгебрами. ' ' * 194

§15.0 некоторых обобщениях метода факторизации. 203

Работы автора по теме диссертации. 218

Список литературы. 222

§1 Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена бурно развивающемуся разделу алгебры-теории линейных груш над кольцами,включающими в .себя группы автоморфизмов градуированных алгебр Ли,

В работе изучаются две тесно связанные между собой задачи:

1)описание изоморфизмов линейных групп;'

2)описание нормальных делителей линейных груш,включая доказательство коммутаторных формул,

Классическим группам над телами посвящены известные монографии Э. Артина "Геометрическая алгебра"[33,Р.Бера "Линейная алгебра и проективная геометрия"t17],Ж. Дьедонне " Геометрия классических груш"[26],переход к полулокальным кольцам и порядкам в них отражен в монографии А.J.Hahn,0.Т.О'Meara "The Classical Groups and. K-Theory"[983.Классическим грушам над кольцами с конечным стабильным рангом посвящены работы БассаШ ,Бака , Васерштейна »Степанова .Грушам над коммутативными и почти коммутативными кольцами посвящены работы Уилсона [1343, Голубчика [AI3,[А2 3,Суслина и Копейко [793 ,Абе и Судзуки [86], Тадей [1243,Вассерштейна £1293,[1363,Плоткина,Вавилова,Степанова

[193,[213,УотерхаузаС1313,Петечука[523,[543,Яна[1353.Опубликован ряд сборников статей [13,[343.

В настоящей работе описание изоморфизмов линейных груш GLn(R) проведено над произвольными ассоциативными кольцами при п>3,а описание нормальных делителей,включая коммутаторные формулы проведено для широкого класса ассоциативных колец,включающего в себя PI-алгебры и

нетеровы алгебры.Это позволяет считать тему диссертации актуальной. Цель работы.I)Описание изоморфизмов групп РС-171(К) ,п>2,1/2^Н,а также СтЪп(Ю,п>3 над произвольными ассоциативными кольцами;2)Описание нормальных делителей.и доказательство-коммутаторных формул в линейных группах над широким классом ассоциативных колец;3)Описание нормальных делителей и доказательство коммутаторных формул в группах лиевского типа над Р1-алгебрами характеристики ноль;4)Обобщение метода задачи факторизации для групп Ли.

Развиты следующие методы:

I применение некоммутативных локализаций в теории линейных групп над кольцами,опирающиеся на понятие локализационной размерности кольца;

2)Введение понятия группы лиевского типа над Р1-кольцами; 3 применение слабо-нетеровых идеалов для доказательства коммутаторных формул;

4) Совершенствование метода инволюции(примененного ранее в работах И.3.Голубчика и А.В.Михалева;

5)Развитие метода задачи факторизации в группах Ли для подалгебр с пересечением (совместно с В.В.Соколовым).

Все основные результаты диссертации являются

новыми.Основными результатами данной работы можно считать

следующие:

I)Описаны изоморфизмы групп РОЪп(Е),?г>2,1/2еН и ОЪп(Р,),п>3 для произвольных ассоциативных колец Я -§6 т.4 и §7 т.I(ранее изоморфизм (1Ъп(В.),п>2,1/2€Ш был описан в работе

И.3.Голубчика, А.В.Михалева).Тем самым решена проблема Шраера-Ван-дер-Вардана для линейных групп.

2)Описаны нормальные делители и доказаны коммутаторные формулы для линейных групп над .Р¡-кольцами и слабо-нетеровыми кольцами

§4 т Л, т. 2, §5 т Л, т. 2, §14 т.4 ,в ' . ■

частности получена развитие теоремы Суслина о нормальности элементарной подгруппы в Ст1п(К) ,п>2 над коммутативным кольцом Я.

3)Описаны нормальные делители и доказаны коммутаторные формулы для групп лиевского типа над Р1-алгебрами характеристики ноль, §13 тЛ.6, тЛ.7 чем получены развитие теорем Абе, Оудзуки [86], Тадеи [124], Вассерштейна [12.8], Вавилова, Плоткина, Степанова [21] о нормальном строении групп Шевалле над коммутативными кольцами.

4)0бобщен метод задачи о факторизации (смотри [81]) для групп Ли для подалгебры Ли с пере сечением, что находит свое применение в дифференциальной алгебре -§15.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в алгебраической К-теории и дифференциальной алгебре.

Результаты работы докладывались с 1983 по 1997 г.на Всесоюзных и

Международных алгебраических конференциях и симпозиумах.

На 17 Всес. алгебр, конф.-Минск, 1983 ;

на 18 Всес. алгебр, конф.-Кишинев, 1985 ;

на Всес. симп. по теории групп.-Минск, 1986 ;

на 19 Всес. алгебр, конф.-Львов, 1987 ;

На Межд. конф. по алгебре.-Новосибирск, 1989 ;

на II Всес. симп. по теории груш.-Свердловск, 1989 ;

на 4 Всес. школе по алгебрам Ли.-Казань, 1990 ;

на 6 Всес. симп. по теории колец, алгебр и модулей.-Львов, 1990

На Межд, конф. по алгебре.-Новосибирск, 1991 ;

I

На 3 Межд. конф. по алгебре.-Красноярск, 1993 ;

на школе по алгебрам Ли.-Казань, 1994 ; .. ,

На Межд. конф. по алгебре.-Санкт-Петербург, 1997 .

Результаты диссертации докладывались • также на алгебраических

семинарах Москвы,- Санкт-Петербурга, Новосибирска, Минска, и

Кишинева.

Основные и примыкающие к основным результаты опубликованы в работах автора А1-А39 Работа состоит из введения, 4-х глав и списка литературы,всего 15 параграфов и 232 стр.В списке литературы 136 наименований работ отечественных и зарубежных авторов и 39 работ автора.

§2 СОДЕРЖАНИЕ РАбОТЫ ПО ПАРАГРАФАМ.

§3 Л0КАЛИЗАВД0ННАЯ РАЗМЕРНОСТЬ Р1-КОЛЕЦ.

Пусть Н - ассоциативное кольцо с единицей. Двусторонний идеал J кольца И назовем леволокализующим, если существует левое кольцо частных (1 + Л")-1!* относительно мультипликативной системы (1 + «I). -Левой локализационной размерностью 1.1.(1. (Ю назовем минимальное число п., для которого существует цепочка СО) = 10 я ... £ I = К двусторонних идеалов кольца И, таких, что любой идеал J кольца К/1к> лежащий в идеале 1кИ/1к, является леволокализующим для всех к от о до п.

Напомним, что р.±.-степенью p.i.deg(R) кольца И называется половина наименьшей степени п стандартного полинома эг (х1,... ,хп) =^5 (-1 )аха(1 ) * - - • 'ха(п)

п

обращающегося в нуль на всех первичных факторкольцах кольца К. Основным результатом параграфа является следующая ТЕОРЕМА. Если И - кольцо, то 1.1.(1.(11) < р.±.йе§(К) .Если И -полупервичное ?1-кольцо, то 1.1.(1. (Ю ^ р.±.йе§(Ю - 1.

Приведен пример, показывающий, что оценка, содержащаяся в теореме, неулучшаема вклассе всех Р1-колец. Доказана инвариантность в смысле Мориты левой локализационной размерности. Приведены примеры колец размерности нуль и единица. В частности, регулярные в смысле Неймана кольца, локальные кольца, алгебры Адзумайи, первичные кольца главных левых и главных правых идеалов имеют размерность нуль.

Полусовершенные кольца, полуартиновы кольца, самоинъективные кольца имеют размерность не более 1.

§4 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ НАД

АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ.

Пусть J(R) - радикал Джекобсона кольца R, a Z(R) - центр кольца R. • " ■ *

ТЕОРЕМА 1 Пусть R - ассоциативное кольцо с 1, n ^ 3, r.l.d. (R) < со и R/j - кольцо Ope для любого прилитивного идеала J кольца R. Тогда, если N - подгруппа группы, GL(n,R), инвариантная относительно подгруппы E(n,R), то Е(п,Р) е N s C(n,F) для некоторого однозначно определеного идеала F кольца R.

ТЕОРЕМА 2 Пусть R/j(R) - либо PI - кольцо, либо регулярное кольцо, где j(R) - радикал Джекобсона кольца R, и пусть п > 2. Тогда, если N - подгруппа группы GL(n,R), инваршнтная относительно подгруппы E(ntR), то E(n,P) е N s G(n,F) для некоторого однозначно определеного идеала F кольца R.

Теорема 2 является следствием и частным случаем теоремы 1.

§5 КОШУТАТОРНЫЕ ФОРМУЛЫ В ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЕ НАД

АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ.

Пусть R - ассоциативное кольцо с 1. Скажем, что l.d. (R) < <», если существуют n о и цепь идеалов {0> = I. s ... с I „ =

и П+ I

R, такая что для любого двустороннего идеала F кольца R/Ik, лежащего в Ik+1/Ik, существуют левое и правое кольца частных кольца R/Ik относительно мультипликативной системы 1 + F для всех к от о до п.Теорема А.А.Суслина утверждает, что если п ) 3 и R - кольцо, являющееся конечнопорожденным модулем над своим центром, то E(ntR)

- нормальный делитель группы СЬ(п,К).В данной работе этот результат переносится на случай кольца К, для которого 1.<1.(10 < со и все простые факторкольца кольца К являются двусторонними порядками в кольцах матриц над телами. Основной в -работе является следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть К - ассоциативное кольцо с 1, п > 3, далее 1.(1.(10 < со и- все простые факторкольца кольца Н являются двусторонними порядками в кольцах матриц над телами. Тогда Е(п,Н) -нормальный делитель группы й,(п,Ю и [Е(п,Е),С(п,1)3 = Е(п,1) для любого двустороннего идеала I кольца Н.

Из теоремы 1 и леммы 3.3 из параграфа 3 вытекает ТЕОРЕМА 2. Пусть К - ассоциативное кольцо с 1, п ^ 3, далее К/«Т(К) - кольцо с полиномиальным тождеством, где .Т(К) - радикал Джекобсона кольца К.Тогда Е(п,Ю - нормальный делитель группы СЬ(п,Ю и [Е(п,К> ,<3(п,1) ] = Е(п,I) для любого двустороннего идеала I кольца Н.

Из теоремы 2 следует результат А.А.Суслина, ибо в кольце, конечнопорожденном как модуль над своим центром, выполнено стандартное полиномиальное тождество. Субнормальность группы Е(п,Ю в 0Ь(п,Ю для кольца И с полиномиальным тождеством была доказана в работе И.3.Голубчика и А.В.Михалева ЕаМ]. Формула[Е(п,Ю,С(п, 1)3 = Е(п,1) для коммутативного кольца Н доказана в работе З.И.Боревича и Н.А.Вавилова [16].

§6 Изоморфизмы проективных груш над ассоциативными

кольцами.

Пусть Ъ - кольцо целых чисел, Ъ = ь!п, й € , 23 - кольцо 3x3 матриц над 2, ~ прямая сумма колец, Ат - матрица, транс-

понированная к А-1, И и Б - ассоциативные кольца с 1 и 1/2, и (К) и

I

11(3) - группы обратимых элементов колец- И и РЩЮ -

факторгруппа группы 11(Н) по ее центру, тс.г.ЩН) -» РЩЮ, %г: 11(3) -> Ри(Б) - канонические гомоморфизмы.

Определение 1. Представление Ф: Е3 (й) -> 0, где & - группа в и (И), назовем стандартна, если существует кольцевой гомоморфизм т: Ъ3 + Ъ3 И такой, что Ф(А)=т(А,Ат)+1-т(1,1) для всех А б Е3(г).

Определению 2. Пусть Н е и (Б). Скажем, что Н - подгруппа с разложимыми централизаторами инволюций, если для любого элемента а € Н и любых коммутирующих инволюций 1 -2е1, 1-2е е Н2 таких, что

е? = е1 ' е2 = ег ' е1ег=еге1 и )аС-2е1 )=а, (1-2ег)а(1-2е2)=

а-1, выполнено условие (1-2е е >8(1-26.! е£) € Н.

- Теорема 3. Пусть Н и Б - ассоциативные кольца с 1 и 1/2, 0 е ЩИ) , Н е ЩБ) , Ф: Е0(г) & - стандартное представление

о

группы Е3 (2), ф: Рй -> РН - изоморфизм групп, и Н - группа с разложимыми централизаторами инволюций. Тогда существует кольцевой гомоморфизм 0: Ъ^Ъ^ Б такой, что <шс,Ф(А) = тс_ (в (А, Ах)+1-

О О __1

-8(1,1)) для всех А € Е3(г).

Из теоремы 3 вытекает следующая

Теорема 4. Пусть И и Б - ассоциативные кольца с 1 и 1/2, п^З, и£2, Еп(Н) £ С е $Ъп(Ю, Ет(Б) е н £ М,т(Б), Н - нормальный дели-

тель в йЬт(3) и ф: Рв -> РН - изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпоненты *е и I колец Л и Б , кольцевой изоморфизм 0 : еИ -> £Зто, кольцевой антиизоморфизм 92: (Ч-е)^-* (1 -X) Бт такие, что ((Ж, (А) = (еА) + 9_((1-е)А~^)) для всех , А € Е (Н).

1 С. 1 С- - гь

Для изоморфизмов линейных групп <р: бЬ Ш) •* теорема 4

доказана в работах [А;? ЫЗЗ] .В случае, когда И и Б - Р1-кольца, теорема 4 доказана.в работе СА£].

§7 ИЗОМОРФИЗМЫ ГРУППЫ аьп(ю,п^4 НАД АССОЦИАТИВНЫМ кольцом к.

Пусть И - ассоциативное кольцо с 1 ,1Г-кольцо п*п матриц над И,

(К)-полная линейная группа над кольцом Е,Еп(И)-подгруппа группы &Ьп(К),порожденная элеметарными матрицами 1+ге±^,где

Основной в работе является следующая ТЕОРЕМА I.

Пусть К и Б- ассоциативные кольца с 1 и ср:£1.^(11)-* ) -

изолорфизл групп. Тогда существуют центральные иЗелпотенты ей! колец Нп и Бм соответственно,кольцевой изолорфизл 61 :еКп-»1Бт и кольцевой антиизолорфизл в : (1-е Ж-41 такие что ф(А)=01 (еА)+62((1-е)А"1) для всех А€Еп(Ю.

В случае когда К- коммутативное кольцо с 1/2и п^З, изоморфизмы группы а (Ю были описаны в работе Wc.Waterh.ouse [1313, затем для ассоциативного кольца Кс 1/2при п^З изоморфизма СЕ. (Я) описаны в работе И.3.Голубчика и А.В.Михалева в [А,?] и несколько иным способом в работе Е.И.Зельманова [333. Изоморфизмы группы а (Ю,когда пМи И- коммутативное кольцо, получены Петечуком

В.М в работе [51]. Отметим, что если п=3 и 1/2/R, то могут быть нестандартные изоморфизмы группы GLQ(R). Для локальных колец они ., описаны Петечуком В.М. в работе [53], и для произвольных коммутативных колец в работе F.L.Li, Z.X.Li [109]. Теорема I анонсирована автором в тезисах международной конференции по . алгебре - Новосибирск 1989 г.

§8 ИЗОМОРФИЗМ ГРУППЫ GL2 (R) НАД АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ R

Изоморфизм линейной группы GLn(R) над ассоциативным кольцом R с обратимой двойкой при n ^ 3 описаны И. 3. Голубчиком и А.В.Михалевым в САЗО].Случай п = 2 является особым поскольку могут возникать нестандартные автоморфизмы (см. [118]). В работе Кона [90] описаны изиморфизмы группы GL2(R), где R - остепененное К -кольцо, являющееся GE£ - кольцом. В работах Далла [95] и Ю. И. Мерзлякова [44] изучены автоморфизмы двумерных групп над коммутативными областями целостности. В работе [1123 Макдональд описал автоморфизм группы GL2(R) над коммутативным кольцом R со многими еденицами, а в работе [3 В. Я. Блощицын описал автоморфизм группы SLg(R) над коммутативным полулокальным кольцом со многими единицами и обратимыми элементами 2, 3, 5. Цель настоящей работы - описание изоморфизмов группы GL2 над произвольным ассоциативным кольцом R с обратимыми элементами 2 и 3. Пусть R - ассоциативное кольцо с I, п ^ 2, Rn кольцо (п * п) матриц над R, GLn(R) - группа обратимых (п * п) матриц над кольцом R. Е2(R) - подгруппа группы GL2(R), порожденная матрицами

т Р 0^

»

.0 U

для всех X £ К. Основной в работе является следующая

Теорема 1. Пусть Н и Б - ассоциативные кольца с 1 и1, п ^ 2, ср: СЬ (К) => И|(Б) - излорфизл групп и< существует центральный обратилый элелент а € Б такой, что а2 - 1 неделитель нуля в Б (например, если 3 неделитель нуля ,6' 5, то а = 2;. Тогда существует ассоциативное коьцо Т, кольцевой изоморфизм. Бп Т2 и изолорфизл т: К => Т аддитивных групп колец К и Т такие, что

тар

1 х^ 1 т(хГ '1 а 1 0 4

, ТСф =: Д(х) 1 .

о t S> 1 , Л

"а 0 " гт(х) 0

0 а~\ . 0 т(а

тиф = _1 бдя х ç H и всех обратимых элементов

a е R.

Следствие 1. Отображение т: R Т из теоремы 1 удовлетворяет равенству т;(аха) = т(а) *т(х) «и(а) для всех х € H и всех обратимых элементов a ç R.

"Следствие 3. Пусть R - коммутативное кольцо с 1 и 3 -неделитель нуля в R, кольцо R порожденосвоими обратимыми элементами и ф: GI»2(R) => GI»2(R) - автоморфизм группы GL2 (R). Тогда существует автоморфизм 6: Rg Rg кольца R2 такой, что ф(А) = 8 (А) для всех А € E2(R).

§9 АВТОМОРФИЗМЫ ПРОЕКТИВНЫХ ГРУШ НАД АССОЦИАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ. Теорема I. Пусть К, Б-ассоциативные кольца с единицей, 1/2^, 1/2€Б, п^З, ш^З и фгСЬ (КМЗЬ^Б)-- изоморфизм групп. Тогда

m

существуют центральные идемпотенш е и ± колец матриц Rn и S,

m

соответственно,кольцевой изоло'рфизл ©1 :е-Кп->1 «Б и кольцевой ашиизолорфизл 0Р: (1-е.) ОК-»(1-1) «Б , такие , что для всех АеЕ^(И) .

ф(А)=81 (е*А)+02 ((1-е) »А-1). В работе Е.И.Зельманова [333 теорема Г доказана при т>2.Пусть Р£Ьп(К) - факторгруппа аЬп (И) по ее центру^ гаь^НЬР&Ь^Н), 7и:СЬт(3)-РСЬт(3) ■ - канонические гомоморфизмы. В работе получены•следующее обобщение теоремы 1

Теорема 2. Пусть И и 5 - ассоциативные кольца с 1 и 1/2,п^З,т^2, Еп(Ю е й е ет>п(Ю, Ет(Б) £Й£ &Ьт(3), Н нормальный делитель в

&Ьт (Б) и ф:Р(ЬРН - изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенжы ей1 колец матриц и Б , кольцевой изоморфизм 81:е• И -»1• Бт и кольцевой антиизоморфизм б£:(1-е)• II -»(1 -1) • Бт, такие ,чпю

фти, (А)=тиг(д1 (е.А)+а2((1-е).А~1))

для всех АбЕ (И).

п

пусть А€аЬп(Ю и фтс., (А)=ф_17С2<е1 (е-А)+ег((1-е) «А-1)).Тогда ф -автоморфизм группы Ж, тождественный на РЕп (Я). Из работы В.Н.Герасимова 1233 следует, что существуют ассоциативные кольца И, для которых можно построить нетождественный автоморфизм группы РОЬп(Ю, тождественный на РЕп(Н). Тем не менее для хороших колец это не так. В работе И.3.Голубчика и А.В.Михалева 1а1|3 доказано следующая Теорема 3.

Пусть Я - Р1-кольцо с 1Н - подгруппа в СЬп(К) содержащая ЕП(Н) и ф- автоморфизм проективной группы Ш, тождественный на

РЕп(И) .Тогда ф тождественней и на всей группе РН.

Напомним,что кольцо 0 называется регулярным в смысле Неймана,если дл

любого а<~0 существу