Первичный радикал классических групп над ассоциативными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Первичный радикал групп.

1.2 Кольца с инволюцией.

1.3 Теорема Голубчика—Михалёва

1.4 Элементарные подгруппы унитарной группы над кольцом с инволюцией.

1.4.1 Ортогональная группа над кольцом с инволюцией

1.5 Нётеровы и PI-кольца

1.6 Системы корней.

1.7 Конечномерные полупростые алгебры Ли.

1.8 Группы Шевалле.

1.8.1 Группы Шевалле и аффинные алгебраические группы

1.8.2 Центральные расширения.

1.9 Аффинизация конечномерной алгебры Ли.

1.10 Аффинные группы Шевалле.

2 Первичный радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией

3 Первичный радикал присоединённой группы Шевалле

4 Первичный радикал группы Шевалле над коммутативным кольцом

5 Первичный радикал аффинной группы Шевалле над коммутативным кольцом

Начиная с тридцатых годов, теория обобщённых разрешимых и нильпо-тентных групп активно и углублённо развивается во многих направлениях, среди которых заметную роль играет теория радикалов. Понятие радикала в теории групп, пережив ряд редакций, окончательно оформилось к началу шестидесятых годов в определении, предложенном А. Г. Курошем в работе [8]. Почти в это же время А. Г. Курош обратил внимание на замечательную аналогию между разрешимыми нормальными подгруппами и нильпотентными идеалами, позволившую его ученику К. К. Щукину ввести определение первичного радикала групп (см. [13]).

В отличие от наиболее часто используемого локально нильпотентного радикала (см. [10, 11]), характеризация первичного радикала группы как множества строго энгелевых элементов крайне близка к его кольцевому прототипу, давно и успешно применяемому в теории ассоциативных колец и алгебр. В связи с этим вполне естественно возникает вопрос о соотношении между первичным радикалом кольца с 1 и первичным радикалом подгрупп группы его обратимых элементов. Первый положительный ответ на него был получен А. В. Михалёвым и И. 3. Голубчиком в теореме о первичном радикале линейной группы над ассоциативным кольцом, ставшей отправной точкой данного исследования.

Диссертация ставит своей целью вычисление первичного радикала:

1. для расширений элементарных подгрупп в унитарной группе над ассоциативным кольцом с инволюцией,

2. для расширений элементарной группы Шевалле, построенной при помощи присоединённого представления конечномерной простой алгебры Ли над ассоциативным кольцом,

3. для аффинной групповой схемы Шевалле — Демазюра над коммутативным кольцом,

4. для бесконечномерных аналогов элементарных групп Шевалле, соответствующих нескрученным аффинным алгебрам Каца — Муди.

Используются методы и результаты структурной теории колец, теории классических групп над ассоциативными кольцами, теории алгебраических групп и аффинных схем, теории конечномерных и бесконечномерных алгебр Ли.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• в каждом из рассматриваемых случаев 1-4 получено описание первичного радикала соответствующей группы в виде центра по первичному радикалу кольца коэффициентов (теоремы 2.0.1, 2.0.3, 2.0.4, 3.0.5, 4.0.6 и 5.0.7),

• установлены критерии существования максимальной разрешимой нормальной подгруппы (разрешимого радикала) (теорема 2.0.2, следствия 2.0.3, 3.0.5, 4.0.7, 5.0.8).

Отметим, что доказанные результаты близки по характеру к структурным теоремам в терминах идеалов для линейных групп и групп Шевалле, хотя последние требуют, как правило, значительно больших ограничений на используемое кольцо коэффициентов (см., например, [15, 6, 31, 32]).

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в алгебраической А'-теории, в теории классических групп и групп лиевского типа над ассоциативными кольцами.

Результаты настоящей работы докладывались на международной алгебраической конференции, посвященной памяти А. Г. Куроша (Москва, май 1998 г.), на международном алгебраическом семинаре, посвящённом 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ (Москва, февраль 1999 г.), на семинаре по алгебре кафедры Высшей алгебры под руководством проф. А. И. Кострикина на механико - математическом факультете МГУ ("Ломоносовские чтения", апрель 1999 г.), на семинаре "Теория колец" кафедры Высшей алгебры под руководством проф. В. Н. Латышева, проф. А. В. Михалёва и проф. В. А. Артамонова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце библиографии [33, 34, 35].

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложен на 123 страницах. Список литературы содержит 35 наименований.

1. В. А. Андрунакиевич, В. М. Рябухин, Радикалы алгебр и структурная теория, М.: Наука, 1979.

2. Л. А. Бокуть, Ассоциативные кольца, Т.1, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1977; Т.2, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981.

3. Л. Н. Васерштейн, Стабилизация унитарных и ортогональных групп над кольцом с инволюцией, Матем. сб., 81, N.3, (1970), 328-351.

4. И. 3. Голубчик, А. В. Михалёв, Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР, 132, (1983), 97-109.

5. И. 3. Голубчик, А. В. Михалёв, Элементарная подгруппа унитарной группы над Р1-кольцом, Вестник Моск. Унив., сер.1, Мат., Мех., N.1, (1985), 30-36.

6. И. 3. Голубчик, Группы лиевского типа над РI-кольцами, Фунд. и Прикл. Мат., 3, N.2, (1997), 399-424.

7. И. С. Клейн, А. В. Михалёв, Ортогональная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией, Алгебра и логика, 9, N.2, (1970), 145-166.

8. А. Г. Курош, Радикалы в теории групп, ДАН СССР, 141, N.4, (1961), 789-791.

9. А. Г. Курош, С. Н. Черников, Разрешимые и нилъпотентные группы, Успехи Мат. Наук, 2, N.3, (1947), 18-59.

10. В. П. Платонов, Энгелевы элементы и радикал в Р1-алгебрах и топологических группах, ДАН СССР, 161, N.2, (1965), 288-291.

11. Б. И. Плоткин, Обобщённые разрешимые и обобщённые нилъпотентные группы, Успехи Мат. Наук, 13, N.4, (1958), 90-172.

12. Л. А. Скорняков, Элементы общей алгебры, М.: Наука, 1986.13