Специальные алгебры Ли, обобщенные тождества и радикальные свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 510.64

Терехове! Юлия Алексеевых.

Специальные алгебры Ли. обобщенные тождества и радикальные свойства

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители д.ф.-м.н. А.В. Михалев, к.ф.-м.н. В.Т. Марков

Москва 1998

Содержание

Введение ............................................................... 3

I. О теореме Леви для обобщенно специальных

алгебр Ли ..............................................................9

II. Слабо разрешимый радикал в ассоциативных

кольцах ................................................................14

1. Существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах ...........................................14

2. Слабо разрешимый радикал в кольце многочленов

и в кольце матриц над телом......................................16

III. Кольцевые свойства и обобщённые тождества

в полупервичных кольцах...........................................20

1. Радикал Парфенова в полупервичной алгебре со

строгим обобщённым тождеством .........................24

2. Ниль-идеалы в полупервичных кольцах со строгими обобщёнными тождествами .......................................25

3. Связь между радикальностью в смысле Бэра

и г-свойством .....................................................26

IV. Свойство поли-М-нильпотентности в кольцах

и полугруппах с нулем ..............................................29

1. Определение и простейшие свойства

поли-М-нильпотентности .........................................29

2. Односторонние поли-М-нильпотентные идеалы ................34

3. Поли-М-нильпотентность и г-свойство .........................35

V. Идемпотентность и r-свойство в кольцах .....................40

Литература ...........................................................48

Публикации ...........................................................50

Введение

При построении структурной теории алгебраических систем, как правило, необходимо сведение их к более простым объектам. Распространенной конструкцией, позволяющей осуществить такое сведение, является радикал. Наиболее известны следующие четыре радикала: нижний нильрадикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте и квазирегулярный радикал Перлиса-Джекобсона.

Основы построения общей теории радикалов колец и алгебр были заложены в пятидесятые годы С.А. Амицуром в работах [1], [2], [3] и А.Г. Ку-рошем в работе [4].

Рассмотрение различных свойств колец и алгебр привело к построению новых, ранее неизвестных радикалов. С другой стороны, некоторые из нововведённых свойств, хотя и не оказались радикальными, но позволили более точно описать уже известные радикалы в кольцах и алгебрах, обладающих этими свойствами.

В 1971 г. в работе [5] В.А. Парфёнов ввёл понятие слабой разрешимости для алгебр Ли: алгебру Ли Ь над полем А назовём слабо разрешимой, если для любого конечного множества элементов ^ данной алгебры существует номер п = такой, что все значения многочлена /п(я 1,^2, • • • на множестве ^ равны нулю, где /п — один из совокупности полилинейных многочленов из свободной алгебры Ьо над полем А таких, что

/0(^1) =Х1 и /,-(ж1,...,ж20 = /¿-1(^1, • • • ,я2<-1)-■/¿_1(ж2<-1+1,... для г > 0.

В этой же статье В.А. Парфёнов показал, что это свойство является радикальным в классе алгебр Ли. Поскольку ассоциативные кольца в некотором смысле близки к алгебрам Ли, то идея перенесения свойства слабой разрешимости в класс ассоциативных колец кажется естесственной.

В 1982 г. А.Д. Сандс в статье [6] ввёл и исследовал свойство М-нильпотентности: кольцо Я называется М-нильпотентным, если для любой двойной последовательности ..., а_2, а_ 1, ао> ^ь а2? • • • элементов кольца существуют целые т,к (к > 0) такие, что атат+1 ... = 0.

В 1992 г. Б.Дж. Гарднер рассмотрел свойство (г) в кольцах [7]: кольцо Я обладает свойством (г), если для любой последовательности (а1,а2...) элементов кольца существуют индекс п и перестановка а £ 5„-такие, что ■ ■ ■ аа{п) = 0- В работе [7] было также доказано, что ка-

ждое М-нильпотентное кольцо есть кольцо со свойством (г) и что обратное неверно.

Кажется небесполезным глубже исследовать сходство и различие между этими двумя классами колец. С этой целью в главе IV вводится и исследуется свойство поли-М-нильпотентности: кольцо R назовём иоли-М-нильпотентным, если существует цепь подколец кольца R

О - А0 С Ä! С Л2 С ... С Лп = R

такая, что А{ есть идеал в Ai+\ и Ai+\/Ai — М-нильпотентное кольцо (г = 0,... ,п — 1).

В статье [7] Б.Дж. Гарднер поставил вопрос: должны ли кольца, обладающие свойством (г), совпадать со своим первичным радикалом? В главе III диссертации доказано, что поставленный Гарднером вопрос решается положительно.

Доказательство этого факта во многом опирается на теорию обобщённых полиномиальных тождеств, которая была разработана B.C. Мартиндейлом для случая первичных колец [8] и К.И. Бейдаром в случае полупервичных колец [9-12]. Поскольку обобщённые тождества представляют интерес сами по себе, то часть диссертации посвящена изучению радикалов в кольцах с обобщёнными тождествами.

Основные результаты диссертации:

1. Получен аналог теоремы Леви для обобщённо специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль в случае, если фактор-алгебра Ли по локально разрешимому идеалу есть конечномерная полупростая алгебра Ли.

2. Осуществлён перенос свойства слабой разрешимости из класса алгебр Ли в класс ассоциативных колец. Доказано существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах. Вычислен слабо разрешимый радикал для матричных колец над телом (тг > 1) и для колец многочленов.

3. Получен положительный ответ на вопрос Гарднера, то есть доказано, что кольца, обладающие свойством (г), совпадают со своим первичным радикалом. Показано, что полупервичное кольцо со строгим обобщённым тождеством не содержит ненулевых односторонних ниль-идеалов.

4. Введено свойство поли-М-нильпотентности и получен ряд его свойств. Построен пример кольца, обладающего свойством (г), но не являющегося поли-М-нильпотентным.

5. Получен пример идемпотентного градуированного однородно г-нильпотентного кольца, не обладающего свойством (г). Доказано, что кольцо многочленов над идемпотентным кольцом не обладает свойством

(г). Показано, что кольцо многочленов над алгеброй со свойством (г) над несчётным полем есть кольцо со свойством (г).

Все полученные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер, её результаты могут найти применение в исследовании различных вопросов в теории колец, алгебр и полугрупп.

Результаты работы докладывались на алгебраическом семинаре "Кольца и модули" под руководством A.B. Михалёва, В.Н. Латышева и В.А. Артамонова (МГУ).

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях, список которых приведен в конце диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, восьми параграфов и списка литературы из 23 наименований. Диссертация содержит 50 страниц печатного текста.

В первой главе получено обобщение теоремы Леви на случай обобщённо специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль, когда фактор-алгебра Ли по локально разрешимому идеалу есть конечномерная полупростая алгебра Ли.

Теорема 1. Пусть L — обобщённо специальная алгебра Ли над полем А характеристики нуль, R — локально разрешимый идеал, L/ R — конечномерная полупростая алгебра Ли. Тогда существует полупростая конечномерная подалгебра G алгебры L такая, что L представима в виде полупрямой суммы L = G ф R.

Также исследуется действие автоморфизмов алгебры Ли L на конечномерных полупростых подалгебрах (теорема 2).

Вторая глава посвящена изучению слабо разрешимого радикала (или радикала Парфёнова) в ассоциативных кольцах.

В первом параграфе вводится понятие слабой разрешимости в ассоциативных кольцах и доказывается, что класс ассоциативных слабо разрешимых колец радикален, что приводит к понятию слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах как суммы всех слабо разрешимых идеалов кольца.

Во втором параграфе изложены следующие результаты:

Теорема 4. Пусть Mn(D) — кольцо матриц над телом D, п > 1.

Тогда радикал Парфёнова P(Mn(D)) равен нулю, если charD ф 2 или п > 2.

Замечание. Если charD = 2, то P(M2(D)) = M2(D).

Лемма 3. Пусть А — слабо разрешимое кольцо и С — коммутативное кольцо. Тогда A Cg>z С — слабо разрешимое кольцо.

Следствие 3. P(A[t]) = P{A)[t].

В третьей главе изучаются полупервичные кольца с обобщёнными тождествами.

Поскольку понятие обобщённого тождества является центральным для понимания всей главы, то сперва даются все необходимые определения и примеры, демонстрирующие эти определения. Попутно получены несколько результатов, касающихся полупервичных колец со строгим обобщёнными тождествами.

В первом параграфе доказано, что радикал Парфёнова полупервичной алгебры со строгим обобщённым тождеством над полем характеристики, отличной от двух, содержится в центре алгебры. Если же характеристика поля два, то радикал Парфёнова удовлетворяет стандартному тождеству степени четыре.

Во втором параграфе показано, что полупервичное кольцо со строгим обобщённым тождеством не содержит ненулевых односторонних ниль-идеалов.

В третьем параграфе получен положительный ответ на вопрос Гарднера, то есть доказывается, что кольца со свойством (г) совпадают со своим первичным радикалом. Доказательство опирается на теорию обобщённых тождеств в первичных кольцах.

В четвёртой главе вводится и исследуется свойство поли-М-нильпотентности в кольцах и полугруппах с нулём, а также изучается связь между поли-М-нильпотентностью и свойством (г).

В первом параграфе дано определение и сформированы и доказаны простейшие свойства поли-М-нильпотентности.

Определение. Кольцо R назовём поли-М-нилыпотентным, если существует цепь подколец кольца R

0 = AQCAiCA2C...CAn = R такая, что А{ есть идеал в Аг-+1 и Ai+\/Ai — М-нильпотентное кольцо

({ = 0,...,п- 1).

Длину наименьшей такой цепочки будем называть степенью поли-М-нильпотентности кольца Я, которую будем обозначать р (Я).

Простейшие свойства поли-М-нильпотентности:

1. Если Я — поли-М-нильпотентное кольцо степени п, то существует цепь идеалов кольца Я таких, что

О = /0 С Ь С /2 С . •. С 1п = Я

и /¿+1 //г- — М-нильпотентное кольцо (г = 0,____, п — 1).

2. Каждое подкольцо поли-М-нильпотентного кольца поли-М-нильпотентно.

3. Кольцо Я поли-М-нильпотентно тогда и только тогда, когда идеал I и кольцо Я/1 являются поли-М-нильпотентными кольцами.

4. Пусть Я — кольцо и I — поли-М-нильпотентный идеал степени п в кольце Я. Тогда если Я/1 — нильпотентное кольцо, то Я — поли-М-нильпотентное кольцо степени п.

Замечание. Определение и простейшие свойства поли-М-нильпотентности верны и для полугрупп с нулём.

Во втором параграфе изучаются односторонние поли-М-нильпотентные идеалы и доказано следующее:

1. Каждый односторонний поли-М-нильпотентный идеал содержится в двустороннем идеале, обладающем этим же свойством.

2. Сумма двух левых (правых) поли-М-нильпотентных идеалов есть левый (правый) поли-М-нильпотентный идеал.

В третьем параграфе исследуется поведение степени поли-М-нильпотентности относительно 0-прямого произведения полугрупп и с помощью полученных результатов построен пример кольца, обладающего свойством (г), но не являющегося поли-М-нильпотентным.

В пятой главе рассматривается взаимосвязь идемпотентности и свойства (г).

Получены следующие результаты:

1. Если Я алгебра над бесконечным полем обладающая свойством (г), то Я2 ф Я.

На основании этого результата построен пример идемпотент-ного градуированного однородно г-нильпотентного кольца, не обладающего свойством (г), в то время как однородно М-нильпотентные (псевдо)градуированные кольца обладают М-нильпотентностью.

2. Если кольцо R обладает свойством (г) и аддитивная группа R+ без кручения, то R2 ф R.

3. Если кольцо R идемпотентно, то кольцо многочленов R[x] не обладает свойством (г).

4. Если R — алгебра над несчётным полем F и R обладает свойством (г), то кольцо многочленов R[x] обладает свойством (г).

Глава 1

О теореме Леви для обобщённо специальных алгебр Ли

Развитие теории алгебр Ли, возникшей более ста лет назад, шло по различным направлениям. Одним из таких направлений является изучение специальных и обобщённо специальных алгебр Ли, которые представляют собой два довольно широких класса алгебр Ли, определяемых на языке тождеств.

Прежде чем приступить к изложению содержания этой главы, дадим некоторые определения.

Пусть А — ассоциативная алгебра над полем А. Обозначим через АН алгебру Ли, полученную из А с помощью операции коммутирования: [х,у] -ху- ух.

Определение 1. Алгебру Ли Ь назовём специальной алгеброй Ли, если она изоморфна подалгебре алгебры Ли вида где А ассоциа-

тивная Р1-алгебра над полем А.

Определение 2. Алгебра Ли Ь называется почти разрешимой, если в ней существует разрешимый идеал Я такой, что алгебра Ь/ Я — конечномерная.

Определение 3. Пусть Я — разрешимый радикал алгебры Ли Ь. Назовём полупростую конечномерную подалгебру <7 алгебры Ь подалгеброй Леви, если С дополняет до Ь радикал Я.

Определение 4. Алгебра Ли Ь называется обобщённо специальной, если ассоциативная алгебра внутренних дифференцирований Ай Ь есть Р1-алгебра.

Ю. А. Бахтурин доказал для специальных алгебр Ли аналог классической теоремы Леви-Мальцева, справедливой для конечномерных алгебр

Ли над полем характеристики нуль.

Теорема (Бахтурин Ю.А. [13] стр. 266-268). Пусть Ь — конечно порождённая почти разрешимая специальная алгебра Ли над полем А характеристики нуль. Тогда в Ь существует подалгебра Леей.

Доказательство теоремы Бахтурина проходит и для обобщённо специальных алгебр над полем характеристики нуль.

Основная цель исследований в этой главе — доказать следующие обобщения теорем Бахтурина [13] и Мальцева-Хариш Чандра [14].

Теорема 1. Пусть Ь — обобщённо специальная алгебра Ли над полем А характеристики нуль, Я — локально разрешимый идеал, ЦЯ — конечномерная полупростая алгебра Ли. Тогда существует полупростая конечномерная подалгебра О алгебры Ь такая, что Ь представима в виде полупрямой суммы Ь = С 0 Я.

Теорема 2. Пусть Ь — обобщённо специальная алгебра Ли над полем характеристики нуль, допускающая разложение в виде Ь = 0(ЪЯ, где Я — локально разрешимый радикал, а С — полупростая конечномерная подалгебра. Тогда какова бы ни была полупростая конечномерная подалгебра С\ алгебры Ь, найдётся автоморфизм А = ехр(ас1 г) алгебры Ь такой, что С^ С С, где для каждого х Е Ь существует пх Е N такое, что х(ай 2)Пх = 0.

Теорема 1 является перенесением теоремы Ю.А. Бахтурина на случай обобщенно специальных алгебр Ли с использованием доказательства. При доказательстве теоремы 2 применяется доказательство теоремы Мальцева-Хариш Чандра [14] и работа [15].

Лемма 1. Пусть С — конечномерная полупростая алгебра Ли, Я — локально разрешимый идеал С. Тогда Я = 0.

Доказательство. Пусть /х,...,/г — базис Я. Алгебра Е, порождённая элементами /1,...,/г, разрешима. Следовательно, Я = Е — разрешимый идеал. Значит, Я = 0.

Доказательство теоремы 1. По условию Ь — расширение Я при помощи (?*, где Ь/Я = (2* — полупростая конечномерная алгебра Ли.

Пусть ¿1,..., еп — базис (?*. Докажем, что расширение Ь расщепляемое. Рассмотрим подалгебру Ь , порождённую элементами ех,... еп.

Обозначим Ь П Я = V. V является идеалом в Ь . Тогда Ь / V = (Ь + Я)/Я С Ь/Я = (2*. Так как все элементы ег- + V —>• ег- + Я — ег-содержатся в (Ь' + Я)/Я, то (Ь' + Я)/Я — С*.

Алгебра Ь' конечно порождена. Идеал V — локально разрешимый идеал алгебры

Пусть Н — другой локально разрешимый идеал в Ь , Й образ Н при гомоморфизме Ь —» Ь /V. Тогда Н локально разрешимый идеал конечномерной полупростои алгебры Ь /V = в*.

Согласно лемме 1, Н = 0. Тогда Н С V. Следовательно, V — наибольший локально разрешимый идеал. Тогда V является разрешимым идеалом ([16] теорема 1).

Согласно теореме Бахтурина [13], существует подалгебра С алгебры Ь , изоморфная алгебре <3*. Поскольку О полупроста, а (3 П Я — локально разрешимый идеал, то по лемме 1, П Я = 0.

Докажем, что Ь = <3 + Я.

Так как С — подалгебра в а Я — идеал в Ь, то по теореме об изоморфизме

в/(Я ПС?) ^ (<3 +Д)/Д (р : д + ЯП в д + Я.

Но поскольку ЯПв = 0, то С = (<3+Д)/Д. Так как С ^ в* = Ь/В,, то имеем (О + Я)/Я = Ь/Я,(р : (3 —» Ь/Я есть сюрьективный гомоморфизм, то есть для всех / Е Ь найдётся д Е С такой, что ср(д) — I + Я.

Из теоремы Бахтурина [13] следует, что ((? + = С*. Тогда

справедливы равенства

д + Я = I + Л,

1-дея,

I - д = Г £ Я, 1=д + г.

Таким образом, мы доказали, что Ь = С + Л, что и завершает доказательство теоремы.

Доказательство теоремы 2.

I. Пусть алгебра Ь конечно порождена. Тогда Я — разрешимый идеал и N = [Ь, Л] — нильпотентный идеал ([16] теорема 1).

Каждый элемент д\ Е Са может быть записан (единственным образом) в виде <71 = <71 +<7^, где ^ £ С и € Д, так что существуют линейные отображения А и и подалгебры С} в С и в Д соответственно. Так как алгебра С\ полупроста, то С\ П Я = 0; поэтому отображение А иньективно. Если #2 £ то

[91,92] = [д\, 92]Х + ¡91,92]" = /, ч

= «ьЧ + \glgi] + Ы,92\ + Ы,9%]. [ ;

Следовательно

Второе из этих соотношений показывает, что [д^д^ Е = N.

Так как = то отсюда следует, что ^^ Е -./V для каждого Е Сп и, таким образом, С С © ]У. Мы докажем по и�