Распознаваемые свойства конечно определенных ассоциативных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РТБ оа г \ М\? «97

на правах рукописи

Лукоянова Елена Валерьевна

РАСПОЗНАВАЕМЫЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНО ОПРЕДЕЛЁННЫХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР

01.01.06. — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1997

Работа выполнена в Ульяновском государственном университет

Научный руководитель — профессор МГУ В.Н.Латышев Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.А.Михалев кандидат физико-математических наук В.В.Борисенко

Ведущая организация

Новосибирский государственный университет

Защита диссертации состоится м-уй*^ 1997г. в 14час. ООмин. на заседании диссертационного совета K053.37.0I при УлГУ по адресу: 432600, Ульяновск, ул.Л.Толстого, 42, аудито рия 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке УлГУ.

Автореферат разослал "2$ " -^-у^Х. 1997г.

Ученый секретарь диссертационного

совета К053.37.03 при УлГУ

кандидат физико-математических у

наук, доцент -? Е.А.Ковалев

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Вопросы о существовании алгоритмов для распознавания различных алгебраических свойств в фактор-алгебрах свободной ассоциативной алгебры возникли довольно давно. В связи с этим появилось понятие стандартного базиса идеала алгебры. Первоначально стандартный базис (базис Гребнера) был определен в идеалах свободных коммутативных алгебр k[xi,..., x,¡\ (Бухбергер 1965 а также 1970 2). Систематическое изложение фактов, связанных со стандартными базисами сделано В. Н. Латышевым 3.

Интерес к стандартным базисам подтверждается публикацией в последнее время целого ряда статей, посвящепных их обобщениям и применению.

Вопросы о распознавании свойств в различных классах алгебр в разные годы изучались А. И. Ширшовым (1962) 4 , В. Н. Латышевым и Т. Гатевой-Ивановой (1988) 5, В. А. Уфнаровским (1989 6,.1990 7),

lBuchberger В. An algorithm for finding a bases for the residue class ring of a zero-dimentional polinomial ideal // Ph.D.thesis. — 1965. — Univ.of Innsbruck, Math.Inst.

2Buchberger B. An algorithmical criterion for the solvability of algegraic systems of equations // Aequationes Math. — 1970. — v.4. — N 3. — p.374-383

3 Латышев В. H. Комбияаторкая теория колец. Стандартные базисы. М.: Изд-во Моек .ун-та, 1988. — 69с.

4Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.мат.ж. — 1962. — 3,N 2. — с.292-296.

5Gateva-Ivanova Т. Latysbev V. On the recognizable properties of associative algebras // Special volume J.S.C.; On computational aspects commutative algebras. London. Acad.Press. — 1988. —■ p.237-254.

6Уфнаровский В. А. Об использовании графов для вычисления базиса, роста и ряда Гильберта ассоциативных алгебр // Маг.сб. — 1989. — 180, N 11. — с.1548-1555.

7Уфнаровский В. А. Комбинаторные и ассимптот-пческие методы в алгебре, — Итога науки я техники, Сер. Современные проблемы мат-кя. — 1990. — т.37. —с.5-177.

В. В. Ворисенко, А. Я. Беловым (1995) 8 и другими авторами.

Рад распознаваемых свойств конечно определенных алгебр с конечным базисом Гребнера, относящихся преимущественно к мономиаль-'ным алгебрам, указан В. Н. Латышевым и Т. Гатевой-Ивановой в работах 9. В. А. Уфнаровским в работе 10 и J. Okninski в работе 11 решены вопросы нетеровости в мономиальных алгебрах. Понятие автоматной алгебры, т.е. алгебры, в которой нормальные слова относительно идеала соотношений задаются конечным автоматом, впервые было введено В. А. Уфнаровским, это понятие позволило обобщить ряд распознаваемых свойств конечно определенных мономиальных алгебр на класс автоматных алгебр.

В частности, А. Я. Беловым в работе 12 решена проблема распознавания нетеровости в автоматных мономиальных алгебрах.

Вопросы о распознавании свойств в фактор-алгебрах универсальных обертывающих алгебр алгебр-Ли до настоящего времени почти не исследовались.

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на автоматные алгебры, факторы универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли специального вида; получить положительное решение ряда

8Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras //Contemporary mathematics and its applications, Plenum, New-York. — v.26. — 1995.

sGateva-Ivanova T. Algoritmic determination of the Jacobson radical of monomial algebras//Preprint.— 1987.Sofia. Gateva-Ivanova T. Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras // Special volume J.S.C.; On computational aspects commutative algebras. London. Acad.Press. — 1988. — p.237-254.

10Уфваровский В. А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре, — Итоги науки и техники, Сер. Современные проблемы мат-ки. — 1990. — т.57. —с.5-177.

"Okninski J. On monomial algebras // Arcb.Math. — 1987. — 45. — p.417-423.

12Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras //Contemporary mathematics and its applications, Plenum, New-York. — v.26. — 1995.

алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах и факторах универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли специального вида.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в автоматных мономиальпых алгебрах и в факторах универсальных обертывающих алгебр некоторых алгебр Ли, общие методы теории колец, комбинаторные методы.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Указан алгоритм распознавания характера роста автоматной мономиальной алгебры.

2) Указан алгоритм распознавания алгебраичности, ниль-, нильпотентности автоматной мономиальной алгебры.

3) Решен вопрос распознавания полупервичности, первичности автоматной мономиальной алгебры, а также вопрос о порождающих радикала Джекобсона автоматной мономиальной алгебры.

4) Решен вопрос распознавания Р1-свойства автоматной мономиальной алгебры.

5) Построен алгоритм распознавания является ли произвольный автомат автоматом нормальных слов некоторой алгебры.

6) Рассмотрен вопрос о конечной определенности автоматных мо-номиальных алгебр.

7) Указан алгоритм распознавания, является ли некоторый полином / тождеством данной фактор-алгебры универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли, а также обобщение данного алгоритма для универсальных обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли.

8) Указана схема распознавания, является ли элемент

1{х1,х2,хз,х4) = [[агъяаМяз,^]]

свободной ассоциативной алгебры тождеством универсальной обертывающей алгебры и^ нильпотентной алгебры Ли специального вида по модулю идеала алгебры V

9) Для нильпотентных алгебр Ли размерности не более 7 и двух известных серий нильпотентных алгебр Ли размерности 8 в явном виде указана система порождающих вербального идеала Т/({Ух,) как идеала алгебры 17/;.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при создании систем компьютерной алгебры, а также специалистами, работающими в области алгоритмической и компьютерной алгебры.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по теории колец и прикладным вопросам алгебры кафедры Высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, на ежегодной научной конференции студентов и аспирантов филиала МГУ в г.Ульяновске в 1994 и 1995 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2], [3], [4], перечисленных в конце настоящего реферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения трех глав, включающих в себя восемь параграфов, приложения и спис-

ка литературы, содержащего 25 наименований. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Личный вклад. Получено положительное решение ряда алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах и факторах универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли специального вида.

Все результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

В параграфе 1 главы 1 рассматривается характер роста автоматной алгебры, а также некоторые алгебраические свойства таких алгебр. Используется понятие роста алгебр и графов из работ В. А. Уфнаров-ского13. Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Характер роста автоматной мономиаль-ной алгебры А (в частности, является ли А конечномерной) — распознаваемое свойство.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Алгебраичность, ниль- и нильпотентность для автоматной мономиальной алгебры А являются распознаваемыми

13Уфп:аровский В. А. Критерий роста графов и алгебр, заданных словами // Мат.заметки. — 1982. — 31, N 3. — с.465-472.

Уфнаровский В. А. Об использовании графов для вычисления базиса, роста и ряда Гильберта ассоциативных алгебр // Мат.сб. — 1989. — 180, N 11. — с.1548—1555.

свойствами.

В параграфе 2 главы 1 изучаются радикальные свойства автоматной мономиальной алгебры.

Определение. Назовем слово циклическим, если маршрут, соответствующий ему в автомате 6'(Л), входит в состав некоторого цикла

в <ад.

Обозначим через Ь длину максимального простого (то есть маршрута без циклов) в С(А).

Для проверки радикальных свойств доказывается

ТЕОРЕМА 1. Пусть С (А) — детерминированный автомат, соответствующий автоматной мономиальной алгебре А — К(Х}/1.

1) Радикал Джекобсона 1(А) как идеал порожден всеми нециклическими словами, он нильпотентен и есть линейная оболочка всех нециклических слов.

2) А — полунервична тогда и только тогда, когда каждое ребро в С(А) входит в состав некоторого цикла.

3) А — первична тогда и только тогда, когда любое нормальное слово есть конец нормального слова большей длины ( или когда любой маршрут в С (А) является подмаршрутом маршрута большей длины, то есть для любых И11,г1)2 € N существует с € {X} такое, что йед с < < Ь + 2 И 11)101)2 §1 I.

Радикальные свойства конечно определенных мономиальных алгебр описаны на языке графа для нормальных слов Т. Гатевой-Ива-

новой и В. Н. Латышевым в работах14.

В параграфе 3 главы 1 описаны PJ-свойства автоматных моно-миальных алгебр. Основным результатом этого параграфа является

ТЕОРЕМА 2. Пусть А — автоматная мономиальная алгебра. А обладает полиномиальным тождеством тогда и только тогда, когда ее рост полиномиальный.

Для конечно определенных мономиальных алгебр аналог этой теоремы был доказан В. В. Борисенко в 1985 году15.

В параграфе 4 главы 1 построен алгоритм распознавания является ли произвольный автомат автоматом нормальных слов некоторой алгебры. Доказано

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если в автомате G'(A), полученном после преобразования указанным алгоритмом из автомата G(A), множество начальных вершин совпадает с множеством финальных вершин, то автомат G(A) является автоматом нормальных слов некоторой алгебры А.

В параграфе 1 главы 2 рассматривается вопрос о конечной определенности автоматных мономиальных алгебр.

"Gatcva-Ivanova Т. Algoritmic determination of the Jacobson radical of monomial algebras // Preprint. — 1987.Sofia.

Gateva-Ivanova T., Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras // Special volume J.S.C.; On computational aspects commutative algebras. London. Acad.Press. — 1988. — p.237-254.

15Борисенко В. В. О матричных представлениях конечно- определенных алгебр, заданных конечным множеством слов // Вестн.МГУ. Сер. мат., мех. — 1985. — 4. - с.75-77.

Определение. Назовем автоматом "нулей" Со(^4) автомат, получающийся из детерминированного автомата нормальных слов алгебры А после объявления всех нефинальных вершин финальными, а всех финальных вершин исфинальными.

Определение. Оборванным автоматом "нулей" С0(А) будем называть автомат, все маршруты которого идут по нефинальным вершинам и заканчиваются в первой встреченной финальной вершине.

Описан алгоритм распознавания конечной определенности автоматной мономиальной алгебры при отсутствии в С0(А), кроме как в начале, пересекающихся циклов. Он опирается на следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Если в автомате С0(Л) нет циклов, или же все циклы встречаются вначале маршрутов, то автоматная моно-миальная алгебра А конечно определена.

В третьей главе диссертации изучаются некоторые Р/-свойства в универсальных обертывающих алгебрах алгебр Ли специальных видов.

В параграфе 1 главы 3 указан алгоритм распознавания, является ли некоторый полином / тождеством данной фактор-алгебры универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли, а также обобщение данного алгоритма для универсальных обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли.

Пусть К{Х) — свободная алгебра над полем К со счетным множеством образующих {^1,... ,Хк,...}; Ь — конечномерная алгебра Ли; Х)ь — ее универсальная обертывающая алгебра с единицей над полем К. Всюду ниже /(ях,..., хт) € К{Х), ¡(х\,..., хт) ф 0. Будем

считать полином .. ,хт) ф 0 полилинейным.

Определение. Подставим в хт+1/(х1,... ,хт)хт+2 всевозможные элементы из Линейная оболочка Г/(17^) всех элементов полученных в результате таких подстановок, является вербальным идеалом в иь. ■

Определение, /(х\,..., хт) является тождеством алгебры А, если /(ах,..., ат) = 0 для любых элементов 01,... ,ат € А.

Определение. Элемент д(х\,.. .,хп) 6 К(Х) называется лиевым, если д есть линейная комбинация прапонормиропанных коммутаторов от переменных ...,хп.

Пусть теперь Ь — простая конечномерная алгебра Ли. '

Основным результатом данного параграфа является

ТЕОРЕМА 3 Пусть [/^ — универсальная обертывающая алгебра простой конечномерной алгебры Ли Ь. Г/(?Ух) — вербальный идеал в

порожденный полилинейным полиномом

р

г

где 1{ — лиевы элементы, не являющиеся тождествами алгебры Ли Ь.

Тогда Тг(и£) = (иьу.

В частности, £/¿/7/(?//;) нильпотентна степени р.

В параграфе 2 главы 3 указана схема распознавания, является ли элемент

/(х1,х2,хз,х4) = [[2:1,0:2], [3:3,3:4]] 10

свободной ассоциативной алгебры тождеством универсальной обертывающей алгебры ¡Ть нильпотентной алгебры Ли специального вида по модулю идеала I алгебры ;

Обозначим через е„} базис алгебры Ь.

Основными результатами параграфа являются следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 4. Пусть Ь — п-мерная нильпотентная алгебра Ли индекса нильпотентности к > 2, порожденная полугрупповыми соотношениями с базисом

{в1,..., е5, е5-|_1,..., вр1, ер^!,..., Ёр, ер^.!,..., е„},

где

еь...,е8 Е1\Ь2; ее+и...,еР1 6 Ь2\13; еР1+ь •.., ер € Ь3 \

удовлетворяющая условию: существуют такие числа € /Г,

^ 0, что

е8+; = ¿¿,¿¡[<21, е^,.], г = 1,..., па

для некоторого индекса с?; £ {2,..., п}.

Тогда в этом базисе вербальный идеал Tf(Ul) как идеал порождается объединением следующих серий элементов:

1. все ер+1,... ,е„, е; € Ь", г — р +1,..., п;

2. всевозможные произведения вида: такие, что г < Л, ш(е5+1) + и)(е8+ь) > 5, в + г € {в + 1,... + Л £ {рх +1,... ,р} (т.е.

3. всевозможные произведения вида: е8+1-ея+уе8+д такие, что г" < 3 < Л, ш(е8+1-) = гу(е,+;-) = и>(е5+л) = 2, т.е. в + г,в + ],з + к € € {з + 1,... ,р1} или, что то же самое е5+,-, ев+;-,е8+л € I? \ Ь3.

ТЕОРЕМА 5. Пусть Ь — п-мерная нильпотентная алгебра Ли индекса нильпотентности к > 2 с базисом

-{в!,..., е5, е8-[_х»• • •) ер1, ер1+1 ■ ■ • > ®р+11 • • ■ I

где

еь...,е,еЬ\£2; е«+1,...,еР1 ЕЬ2\Ь3; ер+1,...,еп£Ь",Ь" = [Ь2,Ь2\,

удовлетворяющая условиям:

1) существуют такие числа € К, <5;д ф 0, что

г = 1,..., (г — 1), (г + 1),... , п - в для некоторого индекса йг £ {2,..., га};

2) все неполугрупповые соотношения в Ь имеют вид:

ч—« ..

[еЬе;] = 7]>+ге<н-г + Е 7з+</е«+<Ь ¿=2,

Т]>+1 + 0, не все 7;'^ = 0.

Тогда в этом базисе вербальный идеал Т;{и£) как идеал £//, порождается объединением серий элементов 1,2,3, указанных в формулировке теоремы 4.

В параграфе 3 главы 3 описаны нильпотентные алгебры Ли размерности не более 7 и две известные серии нильпотентных алгебр Ли размерности 8 для которых в явном виде указывается система порождающих вербального идеала Т/(1'!£) как идеала алгебры Системы порождающих этого идеала указываются на основании результатов предыдущего параграфа, а также формулируются и доказываются утверждения для универсальных обертывающих алгебр некоторых алгебр Ли.

В диссертации используется классификация нильпотентных алгебр Ли размерности не более 6, указанной В. В. Морозовым в работе16 и классификацией нильпотентных алгебр Ли размерности 7, сделанной М. воге и .1. М. А. Вегтийег в работах17, известные серии нильпотентных алгебр Ли размерности 8 взяты из работ18 последних авторов.

Все вышеупомянутые Классификации нильпотентных алгебр Ли содержатся в Приложении к данной диссертации.

"Морозов В. В. Классификация нильпотентных алгебр Ли шестого порядка // Изв.высш.уч.зав-й. — 1958. — N 4. — с.161-171.

17Bermudez J. М. A. et Goze М. Sur la classification des algebres de Lie nilpotentes de dimention 7 // C.R.Acad.Sci. Paris.(17) 302. — 1986. — p.611-613.

Bermudez J. M. A. et Goze M. Classification des algebres de Lie nilpotentes complexes de dimention 7 // Arch.Math. — 1989. — v.52, N 2. — p.175-185. "Goze M. , Bermudez J. M. A. Classification des algebres de Lie filiformes de dimention

8 // Arch.Math. — 50. — 1988. — p.511-525.

Goze M. , Bermudez J. M. A. On the varieties of nilpotent Lie algebras of dimention 7 and 8 // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1992. — v.77,T 2. — p.131-140.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Лукоянова Е. В. О распознаваемых свойствах автоматных мо-номиальных алгебр // Деп. в ВИНИТИ. — 15.09.1994. — N 2207-В94 — 24с.

2. Лукоянова Е. В. Распознавание конечной определенности автоматных мономиальных алгебр // Фунд. и прикл. мат. — 1995. — т.1. — N 3. — с.805-807.

3. Лукоянова Е. В. О распознавании тождеств в факторах универсальных обертывающих алгебр // Тезисы докладов IV межд. _ кнфе-ренции женщин-математиков, Волгоград, ВолГУ. — 1996. —с.87:'

4. Лукоянова Е. В. Распознавание тождеств в факторах универсальных обертывающих алгебр // Фунд. и прикл. мат. — 1997. —

Подписано в печать с оригинал-макета 21.03.96. Формат 84x108/32. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 85 экз. Заказ № 2512

Подразделение оперативной полиграфии УлГУ. 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, УлГУ.