О распознаваемых свойствах ассоциативных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РГБ ОД

1 з дек т

Касапенко Луиза Юрьевна

О РАСПОЗНАВАЕМЫХ СВОЙСТВАХ АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБР

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск — 2000

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор МГУ В.Н.Латышев

А Л»»»П1».1 тг 1 1 , . , .-чТТТТ^ЧТТ/ЧТТПГТГ Т • ГГЛ.ТГГПЛГЧ гТ^ТТ-» TTfA-Ti ^ОГТЮЛ/Гй T.ntlö rVTjv

UiiiHSill^lJ. J. JLU.. vj/iibiilill/ lUWi L/JUW« Jt ii/ViUui

наук, профессор МГПУ A.B. Гришин

ii Д ci X v^/iiOiiiV^'-xviCv j. S-ivlc» x Ii- Av/'vliliA

наук, старший научный сотрудник лаб оратории вычиг.пителъных методов МГУ В.В. Борисенко

Ведущая организация: Тульский государственный

педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится »?QQQ г. в (ûчасов на заседании диссертационного совета К 053.37.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физики - математических наук в Ульяновском государственном университете ( Ульяновск, Наб. р. Свияги, ауд. 701 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан И^ГЬ-'Afr^iti-2qqq г_

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 432700, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д.42, УлГУ, научная часть

Ученый секретарь <zfrA

диссертационного совета, доцент Е.А. Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы о существовании алгоритмов для >аспознавания различных свойств алгебр возникли довольно давно, {ля решения вопросов об алгоритмической распознаваемости свойств лгебр, заданных ¡«»представлением, важным инструментом явля-тся техника стандартных базисов. Первоначально стандартный азнс (базис Гребкера) определен в идеалах свободных коммута-ивных алгебр К[х\,х2, ■ ■., £„] ( Бухбергер 19651, а также 19702). L.II. Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в сво-одных алгебрах Ли С{х\, ..., а;п) (1962)3. Бергман распростра-ил понятие базиса Гребнера на свободные ассоциативные алгебры ~,{xi,x2,. ■ .,хп) (1978)4. Систематическое изложение фактов, свя-анных со стандартными базисами сделано В.Н. Латышевым (1988)5.

Интерес к стандартным базисам подтверждается публикацией в оследнее время целого ряда статей, посвященных их обобщениям и рименению.

Стандартный базис для супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и цветах супералгебр Ли определен А.А. Михалевым ( 19926, а также )967). В коммутативной алгебре появилась принципиально новая сема построения базисов Гребнера, разработанная А.Ю. Жарко-лм и Ю.А. Блинковым (1993)8. В настоящей работе такие стан-фтные базисы называются Р-стандартными базисами.

1 Buchberger В. An algorithm for finding a basis for 'he residue class ring of a zero-Tientional polynomial ideal: Ph. D. thesis.- 1965.-Univ. of Innsbruck, Math. Inst.

2Buchberger B. An algorithm.ic.al criterion for the solvability of algebraic systems of lations// Aequationes Math - 1970.-. 4,N 3.-p. 374-383

3Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли// Сиб. т. ж.- 1962,- 3,N 2.-е. 292-296

'Bergman G. The diamond lemma for ring theory// Adv. math.- 1978.- 29,N 278-218. *

5Латышев В. H. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы-

МТУ, 1988.- 68с.

'Mikhalev A. A. The composition lemma for color Lie superalgebras and for Lie p-leralgebras// Contemprorary Math.- 1992.- 131

Mikhalev A. A. Shirshov composition techniques in Lie superalgebras (TVoncommufa-■ Gobner bases)// J. of Math, sciences.- 1996,- 80,N 5.-p.2153-2160 Zharkov A. Y., Blinkov Y. A Invotutive approach to solving systems of algebraic aliens// Proc. of '"SC'93", intern. IMACS symposium on symbolic computations.-L: Lille,- 1993.-p. 11-16

Стандартный базис в подалгебрах первоначально определен в свободных коммутативных алгебрах Роббиано, Свидлером (19889), а также Капуром, Мадленером (198910) и назван SAG ВI-базисом (Subalgebra Analogue to Grobner bases for ideals). В подалгебрах свободных ассоциативных алгебр это понятие определено Н.К. Иыуду (1999й).

В.Н. Латышев12 13 14 предложил обобщенную версию стандартных базисов, которая содержит в себе все вышеупомянутые. Она позволяет строить стандартный базис в подполигонах линейных полигонов, в частности, в идеалах алгебр со строгой фильтрацией и в подалгебрах мономиальных алгебр.

Ряд распознаваемых свойств ассоциативных стандартно конечно-определенных (с.к.о.) алгебр указан В.Н. Латышевым и Т.Гатевой-Ивановой (198715, 198816). В монографии (199517) А .Я. Беловым, В.В. Борисенко, В.Н. Латышевым рассмотрено распознавание некоторых свойств автоматных алгебр, в том числе распознаваемость делителей нуля и нильпотентных элементов. В (199518) доказана

9Robbiano L., Sweedler М. Subalgebra bases// Comm. algebra. Proc. of the work-shop held at the Federal Univ. of Bahia, Salvador, 1988 - Lect. notes Math.- 1990.- 1430.-p. 61-87

l0Kapur D., Madlener K. A completion procedure for computing a canonical basis for a K-subalgebra.// Computers and Mathematics, Cambridge, MA.- 1989,Springer,New-York, Berlin.-p. Ml

"Иыуду H. К. Стандартный базис и проблема вхождения, в подалгебры свободной ассоциативной алгебры/[ Межд.алг.сем.,посв. 70-летию каф. высш. алг. Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

12Latyshev V. N. Canonisation and standard bases of filtered structures Transactions of the second intern. Taiwan- Moscow algel ra work-shop.- 1997,Berlin,New-York

13Latyshev V. N. General version of standard bases of linear structures/ / Algebra. Proc. of the intern.alg.conf. on the occasion of 90th birthday of A. G. Kurosh, Moscow,May 2530, 1998.- 2000, Berlin

14Latyshev V. N. An improved version of standard bases// Proc. of the 12th intern, conf. FPSAC'00, Moscow, June 26-30, 2000

15 G ate va-1 vanova? T. Algorithmic determination of the Jacobson radical of monomial algebras/ Preprint.-1987,Sofia

16Gateva-Ivanova Т., Latyshev V. N. On the recognizable properties of assosiative algebras// Special vol. of J. S. C.: On сотр. aspects comm. algebras. London: Acad. Press - 19S8.-p. 237-25.4

"Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras// Contemp. math, and its appl.,Plenum,New-York - 1995.- 26p.

"Иыуду H. К. Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания дели-

распознаваемость свойства элемента быть односторонним делителем нуля в классе алгебр с односторонней 1-переработкой. Алгоритмическая распознаваемость одностронних делителей нуля в классе алгебр с односторонней Л-переработкой, где В, - натуральное число, доказана Д.И. Пионтковским19.

В (199920) положительно решена проблема вхождения в подалгебру свободной ассоциативной алгебры .. . ,я„), порожденную конечным числом однородных элементов, с использованием техники 5Л(?В/-базисов. В (199221) У.У. Умирбаевым показано, что для подалгебр в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга проблема вхождения и проблема распознавания свободной порожден-иости заданным конечным множеством элементов алгоритмически неразрешимы. В случае, когда подалгебра в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга порождается конечным числом мономов, данная проблема алгоритмически разрешима22.

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на подалгебры конечно - определенных мономиальных алгебр и алгебры со строгой фильтрацией; получить положительное решение ряда алгоритмических вопросов в подалгебрах мономиальных алгебр и алгебрах со строгой фильтрацией.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в подалгебрах мономиальных алгебр и в алгебрах со строгой фильтрацией, общие методы теории колец, комбинаторные методы.

Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений, выносимых на защиту.

Научная новизна. Получено положительное решение ряда алгоритмических вопросов?! продемонстрирована техника стандартных

телей нуля в одном классе алгебр// Фунд и.прикл. мат.- 1995.- 2.-е. 541-544

19Пионтковский Д. И. Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах // в печати

20Ииуду Н. К. Стандартный базис и проблема вхождения в подалгебры свободной ассоциативной алгебры// Межд.алг.сем.,посв. 70-летию каф. высш. алг. Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

''Умирбаев У. У. О проблеме вхождения для свободных ассоциативных алгебр// 11 Межресп. конф. по мат. логике, Казань, 6-8 окт., 1992: Тез. сообщ. - Казань, 1992. - с. 145

"Саломаа А. Жемчужины теории формальных .«ыков.-М.:Мир, 1986.- 159с.

базисов в алгебрах со строгой фильтрацией и в подалгебрах моно-миальных алгебр.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) Алгоритмическая распознаваемость свойств конечномерности, алгебраичности, ниль- и нильпотентности фактор - алгебр строго - градуированных алгебр специального вида.

2) Алгоритмическая распознаваемость левых делителей нуля в ассоциативных диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией специального вида по модулю конечнопорожденного правого идеала.

3) Алгоритмическая распознаваемость левых делителей нуля в универсальных обертывающих алгебрах конечномерных алгебр Ли по модулю конечнопорожденного правого идеала.

4) Равенство ниль - радикала и радикала Джекобсона для строго - градуированных алгебр специального вида.

5) Алгоритмическая распознаваемость типа роста стандартно конечно - определенной алгебры Ли.

6) Критерий определения того, является ли предъявленная конечная система полиномов Р - стандартным базисом порожденного ею идеала в алгебре полиномов.

7) Алгоритм определения по заданному конечному множеству порождающих полиномиального идеала того, что его Р - стандартный базис бесконечен.

8) Алгоритм построения Р - стандартного базиса полиномиального идеала исходя из конечного множества его порождающих в случае, когда Р - стандартный базис конечен.

9) Для подалгебр, заданных конечным БАСВ1 - базисом в конечно - определенной мономиальной алгебре, существует алгоритм распознавания конечномерности и свободной порожденное™ заданными элементами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы

при создании систем компьютерной алгебры, а также специалистами, работающими в области алгоритмической и компьютерной алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• двенадцатой международной конференции "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" ( Москва, 2000 );

• научно - исследовательском семинаре кафедры алгебро - геометрических вычислений Ульяновского государственного университета;

• на ежегодных научно - практических конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором лично.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2], [3], [4], перечисленных в конце настоящего реферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, семи параграфов, приложения и списка литературы из 42 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем — 77 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Всюду рассматриваются алгебры над полем нулевой характеристики.

Во введении дается обзор результатов по исследуемым проблемам и формулируются основные результаты диссертации.

Первая глава содержит алгоритмы распознавания некоторых свойств подалгебр конечно - определенных мономиальных алгебр, заданных специальным образом.

В §1.1 определено понятие SAGBI - базиса подалгебры конечно -определенной мономиальной алгебры как частный случай стандартного базиса подполнгона линейного полигона. Определение SAGBI

- базиса подалгебры свободной ассоциативной алгебры, введенное Н.К. Иыуду23 вписывается в данную конструкцию.

В данном параграфе рассматривается вопрос об алгоритмической распознаваемости того, порождают ли элементы <?i,fl2> • • ■ i 9n конечно - определенной мономиальной "алгебры А свободную подалгебру в А. В случае, когда gi,g21 • ■ • iÇn образуют SAGBI - базис подалгебры, ими порожденной, этот вопрос решен положительно. Основным утверждением §1.1 является

Предложение 1. Пусть подалгебра, В конечно - определенной мономиальной алгебры А = 1С(Х}/1 задана своим конечным SAGBI

- базисом G — {í/ufl2, ■ ■ ■ Тогда алгоритмически распознаваемо свойство того, что В - свободная подалгебра со свободными порождающими g\, g<¿,...,g,v.

В §1.2 под подалгеброй В будем понимать ту же самую подалгебру, что, и в §1.1. В данном параграфе изучается вопрос об алгоритмической распознаваемости конечномерности подалгебры В.

Строится вспомогательная конечно - определенная мономиальная алгебра D и доказывается

Предложение 2. Подалгебра В конечномерная тогда и только тогда, когда D - конечномерная алгебра.

Предложение 3. Существует алгоритм распознавания конечномерности алгебры В.

Во второй главе указаны алгоритмы распознавания некоторых свойств алгебр со строгой фильтрацией. Алгебры со строгой фильтрацией определены В.Н. Латышевым24.

Алгебрами со строгой фильтрацией являются:

1) конечно - порожденная алгебра полиномов;

2) свободная ассоциативная алгебра конечного ранга;

«

3) ассоциативные стандартно конечно - определенные алгебры;

:зИыуду Н. К. Стандартный базис и проблема вхождения в подалгебры свободной ассоциативной алгебры!/ Межд.алг.сем.,посв. 70-летию каф. высш. алг. Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

-"'Latyshev V. N. Canonisation and standard bases of filtered structures Transactions of the second intern, Taiwan- Moscow algebra work-shop.- 1997,Berlin,New-York

4) конечно - определенные мономиальные алгебры;

5) универсальные обертывающие алгебры конечномерных алгебр Ли;

6) конечно - порожденная алгебра коммутативных полиномов с умножением мономов по правилу Поммарэ 25;

7) конечно - порожденные свободные алгебры Ли;

8) конечно - порожденная алгебра Грассмана.

В §2.1 рассматриваются ассоциативные диксоновы справа алгебры со строгой фильтрацией, а именно, изучается вопрос о распознавании левых делителей нуля по модулю конечнопорожденного правого идеала. Примеры диксоновых справа алгебр со строгой фильтрацией: конечно - порожденная алгебра коммутативных полиномов; универсальные обертывающие алгебры конечномерных алгебр Ли; конечно - порожденная алгебра Грассмана. Свободная ассоциативная алгебра конечного ранга и конечно - порожденная алгебра коммутативных полиномов с умножением мономов по правилу Поммарэ не являются диксоновыми справа алгебрами.

Основные утверждения данного параграфа:

Предложение 4. Пусть К обозначает ассоциативную диксонову справа алгебру со строгой фильтрацией, в которой всякое произведение базисных элементов является существенным. Тогда в алгебре S распознаваемы левые делители нуля по mod /, / = (/i, /2. • • • 5 Im)

правый идеал алгебры К, /,• £ R, i = 1,2,..., m.

Предложение 5. Пусть L - конечномерная алгебра Ли. Тогда в универсальной обертывающей алгебре Uj■ алгебры Ли L распозна-заемы левые делители нуля по mod I, I = (/1, /2,..., fm) - правый 1деал алгебры Ui , где /¡ei/t, г = 1,2...., т.

В §2.2 рассматриваются ассоциативные строго - градуированные шгебры.

Строго - градуированная алгебра является алгеброй со строгой фильтрацией. .

Строго - градуированными алгебрами являются:

"Gerdt V. P., Blinkov Y. A. Involutive bases 0} polynomial ideals./ Preprint-,V./ l996,Natunvissenshaftlich- Theoretisches Zentrum, Univ. of Leipzig

1) свободная ассоциативная алгебра конечного ранга;

2) конечно - порожденные мономиальные алгебры;

3) конечно - порожденная алгебра коммутативных полиномов;

4) конечно - порожденная алгебра Грассмана.

В настоящем параграфе предполагается, что всякий базисный элемент строго - градуированной алгебры К единственным образом представляется в виде произведения неразложимых базисных элементов и число неразложимых базисных элементов конечно. Определение неразложимых базисных элементов введено в настоящем параграфе. К таким строго - градуированным алгебрам относятся конечно - определенные мономиальные алгебры и конечно - порожденная алгебра Грассмана.

В данном параграфе изучается распознаваемость свойств конечномерности, алгебраичности, ниль- и нильпотентности алгебры А = = К//, причем конечное множество порождающих идеала / алгебры К образует стандартный базис. Для алгебры А определяется ассоциированная строго - градуированная алгебра В.

Распознавание свойств ассоциативных стандартно конечно - определенных алгебр осуществляется с использованием графа Уфнаров-ского 26. В настоящей работе для получения алгоритмов распознавания используется обобщение графа Уфнаровского - граф Г.

Основными утверждениями данного параграфа являются:

Теорема 1. Алгебра А = Ü/I является бесконечномерной тогда я только тогда, когда граф Г имеет цикл.

Теорема 2. Алгебра А = К/1 является алгебраической тогда и только тогда, когда она конечномерна.

Предложение 6. Для алгебры А свойств а конечномерности и алгебраичности эквивалентны и алгоритмически распознаваемы.

Для алгебры А без единичного элемента верна

26Gateva-Ivanova Т., Latyshev V. N. On the recognizable properties of assosiative algebras// Special vol. of J., S. C.: On сотр. aspects comm. algebras. London: Acad. Press.- 1988,-p. 237-254

Теорема 3. Алгебра А = К/1 является нпльиотснтной тогда и только тогда, когда А - пиль - алгебра.

Предложение 7. Для алгебры А без единичного элемента все четыре свойства конечномерности, алгебраичности, нпль-, нильпотентности эквивалентны и алгоритмически распознаваемы.

В §2.3 исследуются радикальные свойства, алгебр А и В ( обозначения алгебр А и В те же, что и в §2.2 ).

В настоящем параграфе доказана Теорема 4. Радикал Джекобсона J(B) ассоциированной строго -градуированной алгебры В совпадает с верхним ниль-радикалом Nil(B).

Кроме того, показано, что для алгебры А утверждение теоремы 4 неверно, приведен контрпример.

В §2.4 указан алгоритм распознавания типа роста стандартно конечно - определенной алгебры ( с.к.о. ) Ли.

Используется понятие роста алгебр из работ Уфнаровского 27 28.

В данном параграфе доказаны следующие утверждения: Предложение 8. Пусть L - с.к.о. алгебра Ли. Тогда либо L -конечномерная алгебра, либо рост алгебры L экспоненциальный.

Предложение 9. Тип роста с.к.о. алгебры Ли L алгоритмически р аспознаваем.

В §3.1 третьей главы рассматриваются Р - стандартные базисы полиномиальных идеалов. Р - стандартный базис полиномиального идеала является обычным базисом Гребнера этого идеала и в отличие от редуцированного базиса Гребнера может быть бесконечным. В настоящем параграфе рассматривается вопрос об алгоритмической распознаваемости бесконечности Р - стандартного базиса по заданному конечному множеству порождающих. Также изучается вопрос определения того, является ли предъявленная конечная система порождающих идеала, являющаяся обычным базисом Гребнера, Р - стандартным базисом этого идеала.

Основными результатами данного параграфа являются:

"Уфнаровский В. А. О росте алгебр// Вести. МГУ.Сер. мат., мех.- 1978.-N 4.-с. 59-65

мУфнаровский В. А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре// Итоги науки и техн., Сер. совр. пробл. мат.- 1990.- 57.-е. 1-177

Теорема 5. Следующие условия эквивалентны:

(i) F = {/1, /2, ■ • -, /т} ~ Р-стандартный базис идеала I конечно -порожденной алгебры полиномов iC[A'];

(Я) всякий элемент идеала I Р-р едуцпруе тс я к нулю;

(iii) всякий элемент идеала I обладает РН-представлением;

(iv) Р-редуцированное множество F = {/1, /2, • • • > fm} порождающих идеала I является обычным базисом Гребнера и всякое немультипликативное продолжение элемента fj 6 F Р- редуцируется к нулю.

Предложение 10. Существует алгоритм распознавания того, что Р - стандартный базис полиномиального идеала I, порожденного конечным множеством F, бесконечен.

Кроме того, в настоящем: параграфе представлен алгоритм построения Р - стандартного базиса исходя из конечного множества его порождающих в случае, когда он конечен.

В приложении А приведены некоторые примеры построения Р -стандартных базисов полиномиальных идеалов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Аппанова Л. Ю. Об алгоритмической распознаваемости свойств строго-градуировапных алгебр и алгебр со строгой фильтрацией /Деп. в ВИНИТИ. - N 930-В00. - 2000

2. Appanova L. U. The growth type of the Lie s.f.p.-algebra is recognizable// Suppl. abstracts of the 12th intern, conf. FPSAC'00, Moscow, June 2000. - Moscow. - 2000. - p. 3-4

3. Аппанова Л. Ю. Р-стандартный базис полиномиальных идеалов// в сб. Ученые записки УлГУ. Фунд. пробл. мат. и мех. - под. ред. проф. А. С. Андреева. - Выпуск 1( 8). - Ульяновск. - 2000 -с. 21-30

4. Аппанова Л. Ю. О распознаваемых свойствах подалгебр моно'-миалъных алгебр, заданных конечным SAGBI-базисом /Деп. в ВИНИТИ. - N 2413-В00. - 2000 —

1. Распознавание свойств подалгебр мономиальных алгебр

1.1. О проблеме свободной порожденности подалгебр мономиальных алгебр, заданных конечным ЗАОН- базисом

1.2. Распознавание конечномерности подалгебр.

2. Распознавание свойств алгебр со строгой фильтрацией

2.1. О модуле сизигий и делителях нуля в диксоновой алгебре со строгой фильтрацией

2.2. Распознавание некоторых свойств строго - градуированных алгебр.

2.3. О радикальных свойствах строго - градуированных алгебр.

2.4. О росте стандартно конечно-определенной алгебры Ли

3. О стандартном базисе полиномиальных идеалов с умножением коммутативных мономов по правилу Пом-марэ 59 3.1. О Р-стандартном базисе полиномиальных идеалов

В диссертации изучается распознавание некоторых свойств алгебр специальных видов с использованием техники стандартных базисов.

Первая попытка построения стандартных базисов сделана в работах ([22],1926; [24],1927). Стандартный базис впервые определен в идеалах свободных коммутативных алгебр К[х\, Х2, ■ ■., хп] и рассмотрен алгоритм "критических пар" Бухбергером в ([16],1965; [17],1970).

А.И. Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в свободных алгебрах Ли С(х\,Х2, ■ • - ,хп) и доказал лемму о композиции (см. [12], 1962). В ассоциативном случае исходной является работа JI.A. Бокутя (см. [1]). Бергман доказал "Diamond" лемму (аналог леммы о композиции в лиевском случае), чем распространил понятие базиса Гребнера на свободные ассоциативные алгебры JC(x\, Х2, ■. -, хп) (см. [14],1978). Систематическое изложение фактов, связанных со стандартными базисами сделано В.Н. Латышевым в работе ([4],1988) и В.А. Уфнаровским в обзоре ([11],1990). Е.С. Голод в ([21],1988) сформулировал понятие стандартного базиса для фильтрованной алгебры с одномерными фильтрующими подпространствами и предложил "Diamond" лемму в гомологической форме. A.A. Михалев в ([25],1992; [26],1996) определил стандартный базис и доказал лемму о композиции для супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и цветных супералгебр Ли.

В теории уравнений с частными производными возникли инво-лютивные методы (см. [32], 1978), благодаря которым появилась принципиально новая схема построения базисов Гребнера в коммутативной алгебре, разработанная А.Ю. Жарковым и Ю.А. Блин-ковым (см. [36],1993). Дальнейшее развитие эти идеи получили в ([20],1996). Такие стандартные базисы в настоящей работе названы Р-стандартными базисами (см. Гл.З, §3.1).

Во всех вышеупомянутых конструкциях стандартный базис определялся в идеалах различных классов алгебр.

Стандартный базис в подалгебрах первоначально определен в свободных коммутативных алгебрах JI. Роббиано, М. Свидлером, а также Д. Капуром, К. Мадленером в работах ([33], 1988; [23], 1989) и назван SAG ВI-базисом (Subalgebra Analogue to Grobner bases for ideals). H.K. Иыуду в ([3],1999) определила это понятие в подалгебрах свободных ассоциативных алгебр.

В.Н. Латышев в ([27]; [28]; [29]; [30]) предложил обобщенную версию стандартных базисов, которая содержит в себе все вышеупомянутые. Она позволяет строить стандартный базис в подполигонах линейных полигонов, в частности, в идеалах строго-градуированных алгебр и алгебр со строгой фильтрацией.

Алгоритмические вопросы в различных классах алгебр исследовались А.И. Ширшовым, В.Н. Латышевым, В.А. Уфнаровским, У.У. Умирбаевым, Т. Гатевой-Ивановой, В.В. Борисенко, А .Я. Беловым, Н.К. Иыуду, Д.И. Пионтковским (см. [2], [3], [7], [9] - [13], [18], [19]).

Ряд распознаваемых свойств ассоциативных стандартно конечно-определенных (с.к.о.) алгебр указан В.Н. Латышевым и Т.Гатевой-Ивановой (см. [18],1987; [19],1988). В монографии ([13],1995) А .Я. Беловым, В.В. Борисенко, В.Н. Латышевым рассмотрено распознавание некоторых свойств автоматных алгебр, в том числе распознаваемость делителей нуля и нильпотентных элементов. В ([2], 1995) доказана распознаваемость свойства элемента быть односторонним делителем нуля в классе алгебр с односторонней 1-переработкой. Алгоритмическая распознаваемость одностронних делителей нуля в классе алгебр с односторонней Д-переработкой, где Я - натуральное число, доказана Д.И. Пионтковским (см. [7]).

В ([3],1999) положительно решена проблема вхождения в подалгебру свободной ассоциативной алгебры К(х 1, ^2,., жп), порожденную конечным числом однородных элементов, с использованием техники 5 /-базисов. В ([9],1992) У .У. Умирбаевым показано, что для подалгебр в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга проблема вхождения и проблема распознавания свободной порожденности заданным конечным множеством элементов алгоритмически неразрешимы. В настоящей работе рассматривается проблема свободной порожденности в частных случаях, причем с использованием техники БЛОШ-базисов (см. Гл.1, §1.1). В случае, когда подалгебра в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга порождается конечным числом мономов, данная проблема алгоритмически разрешима (см. [8], Глава 4, §4.1, с. 59-64).

В ([10],1978) В.А. Уфнаровским показано, что рост ассоциативной с.к.о. алгебры либо полиномиальный, либо экспоненциальный. Алгоритм распознавания конкретного типа роста такой алгебры указан в ([19],1988). Изменение типа роста при переходе от алгебры Ли к ее универсальной обертывающей алгебре изучалось В. М. Петроградским в ([5],1993; [31],1996). Мы, пользуясь результатами работ [15], [31], [35], путем несложных рассуждений получаем положительное решение вопроса об алгоритмической распознаваемости конкретного типа роста с.к.о. алгебры Ли (см. Гл.2, §2.4).

Также в настоящей работе изучается распознавание некоторых свойств фактор-алгебр строго-градуированных алгебр (см. Гл.2,

§§2.2, 2.3), левых делителей нуля в диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией по модулю конечнопорожденного правого идеала (см. Гл.2, §2.1), рассматривается построение Р-стандартных базисов полиномиальных идеалов (см. Гл.З, §3.1), а также исследуется распознавание свойств подалгебр мономиальных алгебр (см. Гл.1, §§1.1, 1.2).

Основные результаты диссертации: указаны алгоритмы распознавания свойств конечномерности, алгебраичности, ниль- и нильпотентности фактор-алгебр строго-градуированных алгебр специального вида; показана распознаваемость левых делителей нуля в диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией специального вида по модулю конечнопорожденного правого идеала; показана распознаваемость левых делителей нуля в универсальных обертывающих алгебрах конечномерных алгебр Ли по модулю конечнопорожденного правого идеала; показано равенство ниль-радикала и радикала Джекобсона для строго-градуированных алгебр специального вида; указан алгоритм распознавания конкретного типа роста с.к.о. алгебры Ли; получен критерий того, является ли предъявленная конечная система полиномов Р-стандартным базисом порожденного ею идеала в алгебре полиномов; указан алгоритм определения по заданному конечному множеству порождающих полиномиального идеала того, что его Р-стандартный базис бесконечен; приведен алгоритм построения Р-стандартного базиса полиномиального идеала исходя из конечного множества его порождающих в случае, когда Р-стандартный базис конечен; для подалгебр, заданных конечным SAGBI-базисом в конечно-определенной мономиальной алгебре положительно решен вопрос о распознавании свободной порожденности заданными элементами и указан алгоритм распознавания конечномерности этой подалгебры;

Для изложения подробных результатов диссертации введем необходимые обозначения, понятия линейного полигона, стандартного базиса подполигона линейного полигона и укажем некоторые теоремы.

Пусть К, - поле нулевой характеристики; X — {a?i,. ., хп} - произвольный алфавит; [X] - свободная коммутативная полугруппа, порожденная множеством X; К[Х] - полугрупповая алгебра полугруппы [X] над полем /С, являющаяся алгеброй (коммутативных) полиномов, или свободной коммутативной алгеброй над полем /С; (X) - свободная полугруппа, порожденная множеством X; 1С{Х) -полугрупповая алгебра полугруппы (X) над полем /С, являющаяся алгеброй некоммутативных полиномов, или свободной ассоциативной алгеброй ранга п над полем К. Символом С{Х) будем обозначать свободную алгебру Ли, которую можно отождествить с множеством лиевых элементов в свободной ассоциативной алгебре

К{Х).

Элементы полугруппы [X] ((X)) называются коммутативными (некоммутативными) мономами, а элементы К\Х] (К,(Х)) - коммутативными (некоммутативными) полиномами.

Полный порядок х\ < . < хп, заданный на алфавите X, продолжается до полной упорядоченности полугруппы [X] ((X)), если из двух мономов разной длины старшим считать более длинный, а мономы одинаковой длины сравнивать лексикографически (степенно-лексикографическая упорядоченность). Такая упорядоченность на мономах удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, или d.c.c. (descending chain condition).

В любом ненулевом полиноме / можно выделить старший член / - наибольший в данном порядке моном из всех мономов элемента /.

Определение 1 (см.[29]). Пусть i) V - линейное пространство над полем ТС; ii) Е = {ea | a Е Л} - выделенный базис пространства V, где Л - упорядоченная полугруппа, в которой полная упорядоченность удовлетворяет d.c.c., базисные элементы сравниваются в соответствии со своими индексами, т.е. еа > ер су > /3; iii) Е - множество линейных операторов на V, содержащее тождественное отображение, таким образом, всякий элемент a Е Е индуцирует линейное отображение a : V —>■ V; iv) некоторые произведения aea, a Е Е, ea Е Е (включая произведения ееa = е(у) объявлены существенными.

Тогда линейное пространство V называется линейным полигоном над свободным моноидом ио = (Е). порожденным операторами из Е.

Если ф = а\. ат Е сг{ Е Е, х Е V, то обозначим

Фх {■ ■ .{(7тх) . . .).

Определение 2 (см.[29]). Произведение а^х, а^ Е Е, ж Е V называется существенным, если существенным является произведение а3х. Символом х обозначается базисный вектор (старший член) в представлении х £ V в виде линейной комбинации элементов из Е.

Определение 3 (см.[29]). Произведение фх, ф = о\.от Е и, сгг Е Е. 'X Е V, называется существенным, если каждый множитель стг действует существенным образом.

Определение 4 (см.[29]). Линейное подпространство II С V называется линейным подполигоном, если оно является инвариантным относительно операторов из Е.

Определение 5 (см.[29]). Будем говорить, что множество элементов (7 = {дг} С и порождает II, если II совпадает с линейным пространством Брап^д^ф Е ил д, Е С}. Если все произведения фд1 существенные, тогда С называется существенным множеством порождающих.

Определение 6 (см.[29]). Множество б = С ¡7 называется стандартным базисом II, если для всякого элемента х Е II существует существенное произведение фд{, ф Е ш, Е О, такое, что х = фд{.

Определение 7 (см.[29]). Пусть II С V - линейный подполигон и = {д;} С II - его множество порождающих. Равенство х = (0.1) г х Е и, Лг- Е К, ф{ Е ^ Е называется представлением х Е и, если все произведения "</>,;.д,; являются существенными. Старший базисный вектор и) среди всех /фigi называют параметром представления. Если х = и), то представление (0.1) элемента х называют Н-представлением.

Символом °х обозначают элемент, полученный из х Е V делением на его старший коэффициент (коэффициент при старшем члене).

Определеннее (см. [29]). Пусть существенные произведения и Ф'29], Ф\ '02 Е со, giJgj Е С, таковы, что гу = фгд^ — ф^д^ Е Е. Тогда 5 =° {фхд-,) —0 {фс1Я]) называется з-элементом с исходным параметром П).

Определение 9 (см.[29]). Для любого существенного произведения фд{, ф Е ш, дг Е С, еа = фд{ определяется редукция Гф^ : V V, как линейный оператор на V, который еа сопоставляет элемент Гфл(еа) = еа —0 (фд{), а базисные элементы, отличные от еа, оставляет на месте.

Пусть 71(3 ~ множество всех редукций, содержащее тождественное отображение. Тогда - линейная схема симплифика-ции и верна

Теорема 1 (см.[29]). Пусть II С V ~ линейный подполигон и С = {дг} Си- существенные порождающие II. Тогда следующие условия эквивалентны:

I) С - стандартный базис;

II) всякий элемент из II редуцируется к нулю;

III) всякий элемент из II обладает Н-представлением; iv) всякий s-элемент имеет представление с параметром, меньшим исходного параметра; v) (V, <, 7Zc) - линейная схема симплификации с канонизацией.

Перейдем к подробному изложению работы.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, 7 параграфов, приложения и списка литературы.

1. Бокуть Л. А. Вложения в простые ассоциативные алгебры)/ Алгебра и логика - 1976 - 15,N 2-е. 117-142

2. Иыуду Н. К. Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр// Фунд. и прикл. мат.- 1995.- 1Д 2.-е. 541-544

3. Иыуду Н. К. Стандартный базис и проблема вхождения в подалгебры свободной ассоциативной алгебры/ / Межд. алг. сем., поев. 70-летию каф. высш. алг. Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

4. Латышев В. Н. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы.- М.:МГУ, 1988.- 68с.

5. Петроградский В. М. О некоторых типах промежуточного роста алгебр Ли// Успехи мат. наук.- 1993.5.-е. 181-182

6. Пионтковский Д. И. Базисы Гребнера и когерентность мо-номиалъной ассоциативной алгебры// Фунд. и прикл. мат.-1996,- 2.-е. 501-509

7. Пионтковский Д. И. Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах/ / в печати

8. Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков.--М.:Мир, 1986.- 159с.

9. Умирбаев У.У. О проблеме вхождения для свободных ассоциативных алгебр)I 11 Межресп. конф. по мат. логике, Казань, 6-8 окт., 1992: Тез. сообщ. Казань, 1992. - с. 145

10. Уфнаровский В. А. О росте алгебр)/ Вестн. МГУ.Сер. мат., мех,- 1978.-N 4.-е. 59-65

11. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре// Итоги науки и техн., Сер. совр. пробл. мат.-1990,- 57.-е. 1-177

12. Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли// Сиб. мат. ж,- 1962.- 3,N 2.-е. 292-296

13. Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras// Contemp. math, and its appl.,Plenum,New-York.- 1995.- 26p.

14. Bergman G. The diamond lemma for ring theory// Adv. math.-1978.- 29,N 2.-p.178-218.

15. Bokut L. A. Lie algebra and its universal enveloping algebra have the same Lyndon-Shirshov basis// Intern. J. Algebra and Computation,to appear

16. Buchberger B. An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimentional polynomial ideal: Ph. D. thesis.- 1965.-Univ. of Innsbruck, Math. Inst.

17. Buchberger B. An algorithmical criterion for the solvability of algebraic systems of equationsf / Aequationes Math.- 1970.- 4,N 3.-p. 374-383

18. Gateva-Ivanova T. Algorithmic determination of the Jacobson radical of monomial algebras/ Preprint.- 1987,Sofia

19. Gateva-Ivanova T., Latyshev V. N. On the recognizable properties of as so siative algebras/ / Special vol. of J. S. C.: On comp, aspects comm. algebras. London: Acad. Press.- 1988.-p. 237-254

20. Gerdt V. P., Blinkov Y. A. Involutive bases of polynomial ideals./ Preprint-Nr./ 1996,Naturwissenshaftlich- Theoretisches Zentrum, Univ. of Leipzig

21. Golod E. S. Standard bases and homology// Lect. notes of math.— 1988.- 1352,-p. 88-95

22. Hermann G. Die frage der end lichen vielen schritte in der theorie der polynomideale// Math. Ann.- 1926.- 95 -p. 736-788

23. Kapur D., Madiener K. A completion procedure for computing a canonical basis for a K-subalgebra.// Computers and Mathematics, Cambridge, MA.- 1989,Springer,New-York, Berlin.-p. 1-11

24. Macaulay F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems// Proc. Lond. Math. Soc.- 1927.- 26.-p. 531-555

25. Mikhalev A. A. The composition lemma for color Lie superalgebras and for Lie p-superalgebras// Contemprorary Math.- 1992.- 131

26. Mikhalev A. A. Shirshov composition techniques in Lie superal-gebras (Noncommutative Grôbner bases)// J. of Math, sciences.-1996,- 80,N 5.-p.2153-2160

27. Latyshev V. N. Canonisation and standard bases of filtered structures Transactions of the second intern. Taiwan- Moscow algebra work-shop.- 1997,Berlin,New-York

28. Latyshev V. N. General version of standard bases of linear structures/ / Algebra. Proc. of the intern.alg.conf. on the occasion of 90th birthday of A. G. Kurosh, Moscow,May 25-30, 1998.- 2000, Berlin

29. Latyshev V. N. An improved version of standard bases// to appear

30. Latyshev V. N. An improved version of standard bases// Proc. of the 12th intern, conf. FPSAC'00, Moscow, June 26-30, 2000

31. Petrogradsky V. M. Intermediate growth in Lie algebras and their enveloping algebras// J. Algebra.- 1996.- 179.-p. 459-482

32. Pommaret J. F. Systems of partial differential equations and Lie pseudogroups.- New-York: Gordon and Breach.- 1978

33. Robbiano L., Sweedler M. Subalgebra bases// Comm. algebra. Proc. of the work-shop held at the Federal Univ. of Bahia, Salvador, 1988.- Lect. notes Math.- 1990,- 1430-p. 61-87

34. Sardinas A., Patterson G. A nesserary and sufficient condition for the unique decomposition of coded messages. IRE Intern, conv. record.- 1958.- 8.- p. 104-108

35. Smith M. К. Universal enveloping algebras with subexponential but not polynomially bounded growth// Proc. Amer. Math. Soc 1976.-60.-p. 22-24

36. Zharkov A. Y., Blinkov Y. A Involutive approach to solving systems of algebraic equations// Proc. of "SC'93", intern. IMACS symposium on symbolic computations.-LIFL: Lille.- 1993.-p. 11-16

37. Аппанова JI. Ю. Об алгоритмической распознаваемости свойств строго-градуированных алгебр и алгебр со строгой фильтрацией /Деп. в ВИНИТИ. N 930-В 00. - 2000

38. Appanova L. U. The growth type of the Lie s.f.p.-algebra is recognizable// Suppl. abstracts of the 12th intern, conf. FPSAC'00, Moscow, June 2000. Moscow. - 2000. - p. 3-4

39. Аппанова JI. Ю. P-стандартный базис полиномиальных идеалов/ / в сб. Ученые записки УлГУ. Фунд. проблемы математики и механики. / Под ред. проф. А. С. Андреева. Выпуск 1(8). - Ульяновск. УлГУ. - 2000 - с. 21-30

40. Аппанова JI. Ю. О распознаваемых свойствах подалгебр моно-миалъных алгебр, заданных конечным S AG ВI-базисом/ Деп. в ВИНИТИ. N 2413-В 00. - 2000

41. Аппанова Л. Ю. Проблемы коммутативности // Труды молодых ученых Ульяновского государственного университета: Сборник докладов и тезисов докладов студентов и аспирантов на VI ежегодной научно-практической конференции. Ульяновск. УлГУ. - 1997. - с. 3-4