Градуированные ассоциативные алгебры: рост, гомологии, алгоритмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.552

ПИОНТКОВСКИЙ Дмитрий Игоревич

Градуированные ассоциативные алгебры: рост, гомологии, алгоритмы

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Д. О. Орлов;

доктор физико-математических наук доцент В. М. Петроградский; доктор физико-математических наук профессор Е. Г. Скляренко. Ведущая организация — Московский педагогический государственный

университет.

Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук профессор

В. Н. Чубариков.

Актуальность темы

Предмет исследования: неформальная классификация. Диссертация посвящена изучению связных градуированных ассоциативных алгебр над полем, т. е. алгебр вида А = АофЛх®..., где нулевая компонента Aq изоморфна основному полю к. В отличие от коммутативного случая, для общих ассоциативных алгебр многие естественные вопросы алгоритмически неразрешимы, поэтому вряд ли можно надеяться на построение общей удовлетворительной теории бесконечномерных ассоциативных градуированных алгебр. Тем не менее, существуют два класса "доступных" градуированных алгебр, для которых различные теории и классификации успешно развиваются.

К первому классу — назовем такие алгебры условно малыми — относятся те из них, свойства которых в какой-либо степени обобщают свойства коммутативных алгебр. У таких алгебр относительно много соотношений и малый (полиномиальный) рост. Они могут быть нетеровыми, удовлетворять полиномиальным тождествам или быть деформациями коммутативных алгебр и т. д. В этом классе оказались возможны различного рода структурные теории. В последние два десятилетия возникло новое многообещающее направление в области изучения этого класса — так называемая некоммутативная проективная геометрия1: яркими достижениями этого направления являются классификация полупервичных алгебр размерности Гельфанда-Кириллова 2 и регулярных по Артину-Шелтеру трехмерных алгебр.

Ко второму классу — назовем такие алгебры болыийми — относятся те алгебры, для которых возможны разного рода комбинаторные теории. У таких алгебр относительно мало соотношений или соотношения имеют достаточно простой вид, а рост, напротив, обычно экспоненциальный. Типичными представителями такого класса являются свободные и конечно определенные мономиальные алгебры, а также алгебры с одним соотноше-

1См. обзор в J.T. Stafford, Noncommutative projective geometry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), p 93-103, Higher Ed. Press, Beijing, 2002

нием. Прогресс в этой области в последние два-три десятилетия в большой степени связан с развитием компьютерной алгебры, и в частности, с теорией некоммутативных базисов Гребнера. Можно сказать, что появилась новая комбинаторная теория, основным объектом которой стали стандартно конечно определенные алгебры (т. е. обладающие конечным базисом Гребнера). Обзор этих вопросов был дан В. А. Уфнаровским2.

Разделение на большие, малые и "недоступные" алгебры можно проиллюстрировать на примере квадратичных алгебр с общими соотношениями. Если такая алгебра А имеет д порождающих и г соотношений, то при г > д2/2 она конечномерна (причем А„ = 0 при п > 3), т. е. она очень малая, а при г < д2/4 она имеет глобальную размерность 2, т. е. является типичным представителем класса больших алгебр. В то же время, в недоступном промежуточном случае д2/4 < г < д2/2 неизвестно даже, всегда ли такая алгебра конечномерна.3

Классы малых и больших алгебр частично пересекаются: примером могут служить упомянутые выше трехмерные алгебры, регулярные по Артину-Шелтеру, которые являются нетеровыми алгебрами полиномиального роста и в то же время имеют глобальную размерность 3. Однако, такие пересечения достаточно все же редки, с чем и связаны, по-видимому, трудности такой классификации уже в размерности 4.

Рост и проблемы рациональности. Для градуированного векторного пространства (алгебры, модуля...) V его рядом Гильберта называется

формальный степенной ряд V(z) = (dim V, )z'. Ряд Гильберта для бес-

tez

конечномерных градуированных алгебр играет роль, подобную роли размерности над полем в случае конечномерных алгебр. Одно из новых направлений, которые развиваются в этой работе — развитие этой аналогии: так, мы покажем, что множество рядов Гильберта градуированных алгебр,

2См. В.А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Современная математика и её приложения, 57 (1990), с. 5-177

3D. Anick, Generic algebras and CW-complexes, Proc. of 1983 Conf. on algebra, topol. and K-theory in honor of John Moore. Princeton Univ., 1988, p. 247-331

удовлетворяющих некоторым естественным ограничениям, конечно. Особый интерес представляют вопросы о том, какие именно (аналитические) функции могут быть рядами Гильберта конечно порожденных алгебр, и как свойства такой этих функции связаны с алгебраическими свойствами алгебры.

Для коммутативных аффинных градуированных алгебр ряд Гильберта всегда рационален (этот факт был известен еще Гильберту; точные формулы получил Маколей4). В некоммутативном случае, рациональность имеет место, например, для алгебры когомологий конечных групп, конечно определенных мономиальных алгебр, алгебр с одним соотношением, нетеровых и относительно свободных PI алгебр, а также в ряде других случаев2'5. В. Е. Говоров6 выдвинул также гипотезу, что ряд Гильберта конечно определенной алгебры всегда рационален. Хотя к гипотезе Говорова были построены контрпримеры7, вопрос о рациональности нельзя считать закрытым. до сих пор неизвестны примеры конечно определенных алгебр с иррациональным рядом Гильберта в ряде важных классов, например, среди PI алгебр, нетеровых, когерентных или козюлевых алгебр, а также среди алгебр полиномиального роста. В этой связи можно упомянуть ряд открытых вопросов: гипотезы о том, что размерность Гельфанда-Кириллова связных нетеровых алгебр конечна8 и что для связных нетеровых областей она не может9 принимать значения строго между 2 и 3 (это так, если ряд Гильберта рационален), что конечно определенные алгебры линейного ро-

4F.S. Macaulay, Some properties of enumeration in the theory of modular systems, Proceedings L. M. S., 26, (1927), 2, 531-555

5G.R. Krause, Т.Н. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kvrxllov dimension, Pitman pub.: London, 2000

eB.E. Говоров, О градуированных алгебрах, Мат. заметки, 12 (1972), 2, с. 197-204

7В.А. Уфнаровский, О росте алгебр, Вестник МГУ, сер. мат., мех., 4 (1978), с. 5965; J. Shearer, A graded algebra with non-rational Hilbert series, J. Algebra, 62 1980, 1, p. 228-231

"D.R. Stephenson, J.J. Zhang, Growth of graded noethenan rings, Proc. AMS 125 (1997), p. 1593-1605

9M. Artin, J.T. Stafford, Noncommutative graded domains with quadratic growth, Inv. Math., 122 (1995), 2, p. 231-276

ста автоматны2 (из чего следует рациональность), и что козюлевы алгебры имеют рациональный ряд Гильберта10.

Бесконечный ряд Гильберта в общем случае не вполне удобен в качестве аналога fc-размерности (особенно если о его рациональности ничего неизвестно), поэтому часто используют классы эквивалентности рядов с одинаковым асимптотическим поведением, называемые ростом алгебры. Это отношение эквивалентности задается так2'5: если {5n}, {S'n} — последовательности частичных сумм коэффициентов двух формальных степенных рядов A(z),A'{z), то пишем A(z) < A'(z), если существуют такие натуральные с,т, что S„ < cS'mn для любого п > 0. Ряды A(z) и A'(z) эквивалентны, если A(z) < A'(z) и A!{z) < A{z).

Рост ряда A{z) называется полиномиальным, если A{z) < ^2n>0ndzn-, точная нижняя грань таких d называется размерностью Гельфанда-Кириллова ряда A{z) или алгебры А. Рост с единичной размерностью Гельфанда-Кириллова называется линейным. Рост, эквивалентный геометрической прогрессии 53п>о 2"г", называется экспоненциальным: например, если конечно порожденная алгебра содержит свободную 2-порожден-ную подалгебру, то ее рост экспоненциальный. Если г — радиус сходимости ряда Гильберта A(z), то рост ряда экспоненциальный тогда и только тогда, когда 0 < г < 1, а полиномиальный тогда и только тогда, когда г = 1 и 1 — полюс конечного порядка функции A(z). Таким образом, в случае рационального ряда Гильберта рост либо экспоненциальный, либо полиномиальный с целой размерностью Гельфанда-Кириллова 2

Обычно "малые" алгебры (коммутативные, PI, ...) имеют полиномиальный рост. Для коммутативных алгебр размерность Гельфанда-Кириллова равна размерности Крулля, и часто в некоммутативном случае она играет аналогичную роль, например, в некоммутативной проективной геометрии1: так, нетеровы области размерностей 2 и 3 — это некоммутативные аналоги кривых и поверхностей и т. п. Напротив, большие алгебры обычно имеют экспоненциальный рост, и потому неразличимы с точки зрения этого инварианта; одно из новых направлений, разрабатываемых здесь — изучение

10A. Polishchuk and L. Positselski, Quadratic algebras, preprint (1994-2000)

другого инварианта, аналогичного размерности Гельфанда-Кириллова и позволяющего различать большие алгебры.

Некоммутативные полные пересечения и комплекс Шафаре-вича. Поскольку ряд Гильберта определяется порождающими и соотношениями алгебры, возникает естественный вопрос о том, как ведет себя ряд Гильберта связной алгебры R при факторизации, т. е. при добавлении новых соотношений. Пусть J<R — однородный собственный двусторонний идеал, минимальным образом порожденный некоторым множеством однородных элементов а С R, и А = R/J. Положим С = А* к(5), где к{5) — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством переменных а, равномощным множеству а, причем этим новым переменным присвоены степени, равные степеням соответствующих элементов из а. Очевидно, имеет место неравенство рядов Гильберта

C(z) > R(z). (1)

Те множества а, для которых выполняется равенство, называются сильно свободными11, или инертными: они являются некоммутативными аналогами хорошо известных в коммутативной алгебре регулярных последовательностей.

В частности, если R = F — свободная алгебра, порожденная конечным множеством х, то gl. dim А = 2 в том и только в том случае, когда а сильно свободно в F. Это равносильно тому, что неравенство Голода-Шафареви-ча12

A{z){ 1 - x{z) + a{z)) > 1 (2)

обращается в равенство, где для любого дискретного множества однородных элементов Y (в частности, х или а) через Y(z) обозначается производящая функция J2yeY В коммутативном случае подобное равенство

UD. Anick, Non-commutatwe graded algebras and their Hilbert series, J. Algebra, 78 (1982), p. 120-140

lîE С Голод, И Р. Шафаревич, О башне полей классов, Изв. АН СССР, сер. мат., 28 (1964), 2, с. 261-272

характеризует полные пересечения13, так что алгебры глобальной размерности 2 можно рассматривать как некоммутативные полные пересечения.

Отметим, что обычно теорему Голода Шафаревича приводят в несколько иной формулировке12,14, если ряд W(z) = 1/(1 - x(z) + a(z)) имеет неотрицательные коэффициенты, то выполняется покоэффициентное неравенство A{z) > W(z), и алгебра R бесконечномерна. Как будет показано ниже, с помощью теоремы Голода-Шафаревича удается построить примеры только больших бесконечномерных алгебр, т. к. рост алгебры А оказывается экспоненциальным.

Одним из важных инструментов в коммутативной гомологической алгебре является комплекс Козюля. В частности, в терминах комплекса Козюля и его гомологий можно определить регулярные последовательности и полные пересечения, горенштейновы кольца, кольца Голода и др. Некоммутативным аналогом этого комплекса служит комплекс Шафаревича12'14.

Введем на свободном произведении sh := R*k{a) дополнительную градуировку, равной единице на новых переменных и нулю на R, и дифференцирование, нулевое на i? и переводящее новые порождающие a?¿ в соответствующие элементы а, множества a С R (на остальные элементы алгебры дифференцирование распространяется по формуле Лейбница). Тогда алгебра sh = sh(a, R) становится дифференциально градуированной: ее гомологии вычисляются относительно новой градуировки и обозначаются как H,(a,R). Так, простейший комплекс Шафаревича sh(l, R) — это (неаугментированная) бар-конструкция алгебры Я.

Комплекс sh(a, R) ацикличен в положительных степенях (равносильно, в первой степени) тогда и только тогда, когда множество а сильно свободно11. В частности, при R — F условие gl dim А = 2 эквивалентно тому, что алгебра Н,(а, F) изоморфна А: этот критерий также аналогичен коммутативному критерию полных пересечений15. В общем случае можно утверждать лишь, что алгебра гомологий комплекса Шафаревича свобод-

ен. Р. Stanley, Hilbert functions of graded algebras, Adv. in Math., 28 (1978), p. 57-83

UE.C Голод, Комплекс Шафаревича и его применения, диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук, М., МГУ, 1999

15См. Н. Бурбаки. Гомологическая алгебра. М., Наука, 1987

ной алгебры Я» (a, F) порождается элементами нулевого и первого модуля гомологий14.

Один из вопросов, возникающих в связи с развитием этой теории, состоит в том, чтобы охарактеризовать другие классы алгебр в терминах гомологий комплекса Шафаревича.

Отметим, что версия комплекса Шафаревича для супералгебр Ли широко используется (без упоминания этого термина) в теории рациональных гомотопий16 -— поскольку минимальная свободная модель для (дифференциально) градуированной алгебры Ли представляет собой итерированный комплекс Шафаревича. Комплекс Шафаревича определяется при этом так же, как в ассоциативном случае, но вместо свободных ассоциативных алгебр берутся свободные супералгебры Ли, а добавленные переменные 5, имеют четность, противоположную четности соответствующих элементов а, При этом однородное подмножество в градуированной супералгебре Ли сильно свободно (т е. соответствующий комплекс Шафаревича ацикличен в положительных степенях) тогда и только тогда, когда образ этого множества в универсально обертывающей алгебре — сильно свободное множество в ассоциативном смысле.17

Козюлевы алгебры. Если M — Z-градуированный модуль над связной градуированной алгеброй R, то минимальную свободную резольвенту этого модуля

F : ... Fi Fi F0 -> M О

можно выбрать так, что все свободные Я-модули F, в ней также будут градуированными. Минимальное градуированное пространство порождающих модуля F{ мы будем обозначать через Я,-(М): получаем естественные изоморфизмы Я,(М) = Torf (М, к), где тривиальный левый Я-модуль к сосредоточен в нулевой градуировочной компоненте. Из минимальности

1вСм. Y Felix, S Haiperm, J.-C Thomas, Rational homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics, 205. Springer-Verlag, New York, 2001

,7S. Halperin, J.-M. Lemaire, Suites inertes dans les algèbres de Lie graduées, Math. Scand., 61 (1987), 1, p. 39-67

резольвенты следует, что если наименьшая из степеней порождающих модуля М равна d, то каждый модуль Fi порождается в степенях не ниже d + г, так что Н1(М)3 = 0 при j < г + d. Резольвента F называется линейной, если выполняется также условие Я,(М); = 0 при j > г + d, т. е. когда г-я гомология Я,(М) сосредоточена, как градуированное пространство, в г-й градуировочной компоненте

Стандартная (т. е. порожденная в первой степени) ассоциативная алгебра R над полем к называется18 козюлевой19, если к как R-модуль обладает линейной свободной резольвентой. Я-модуль Мд называется козюлевым, если он также обладает линейной свободной резольвентой.

Широко известно эмпирическое наблюдение, что все квадратичные алгебры, естественным образом возникающие в алгебраической геометрии, коммутативной или некоммутативной, — козюлевы. Обзор теории козю-левых алгебр дан Полищуком и Посицельским10. Например, любое квадратичное (не)коммутативное полное пересечение козюлево. Квадратичная алгебра с общими соотношениями козюлева тогда и только тогда, когда она является либо некоммутативным полным пересечением, либо двойственной к нему алгеброй.

Для квадратичной алгебры R ее квадратичная двойственной алгебра определяется как диагональная подалгебра Я! = фг Ext'^ (fc, к) в алгебре Енеды кп): если V = Ri — пространство порождающих алгебры R, a. S С V <8 V — пространство соотношений, то R! порождается двойственным пространством V*, а ее соотношения — аннулятор С V*® V* пространства S18. Из двойственности линейных пространств Extкц) = Тогf(M, к)* получаем, что козюлева алгебра R характеризуется тем свойством, что ее алгебра Ёнеды Ext&я) совпадает с двойственной алгеброй Я!18. По крайней мере в нетеровом случае, производные категории конечных модулей над двойственными козюлевыми алгебрами

18S.B Pnddy, Koazul resolutions, Trans. AMS, 152 (1970), 1, p. 39-60

"В русской литературе также встречается название кошулева алгебра, происходящее от другой транскрипции фамилии французского математика Ж. JI. Козюля (J. L. Koszul).

эквивалентны20. Этот факт (козюлева двойственность) имеет ряд глубоких обобщений, в том числе на неквадратичные алгебры10 и на многообразия алгебр с несколькими бинарными операциями21.

' Изучаются также разнообразные специальные классы козюлевых алгебр. Первый из таких классов составляют алгебры с квадратичным базисом Гребнера (в том числе мономиальные квадратичные алгебры), которые называются также алгебрами Пуанкаре-Биркгофа-Витта (PBW-алгебры)18. Так называемые /Z-матричные алгебры тесно связаны с теоретико-множественными решениями квантового уравнения Янга-Бак-стера; в этом классе, в частности, содержатся интересные примеры биномиальных алгебр, регулярных по Артину-Шелтеру22. Само условие козю-левости можно усилить, потребовав, чтобы какие-либо естественные модули над данной козюлевой алгеброй также были козюлевыми. Так, в последние годы активно изучаются коммутативные алгебры с так называемыми козюлевыми фильтрациями23, о некоммутативных обобщениях которых речь пойдет ниже.

Одна из самых интересных проблем в теории козюлевых алгебр — это проблема описания их рядов Гильберта. Эйлерова характеристика минимальной свободной резольвенты тривиального модуля кц дает следующее соотношение между рядами Гильберта (соотношение Фроберга)-

R(z)É(-z) = 1.

В частности, все коэффициенты ряда R(—z)~x неотрицательны. Долгое время оставался открытым вопрос- следует ли из этого соотношения, что

ИА. Beilinson, V. Ginzburg, W. Soergel, Koszul duality patterns in representation theory, J. AMS, 9 (1996), 2, p. 473-527

2IV. Ginzburg, M. M. Kapranov, Koszul duality for operads, Duke J. Math, 76 (1994), 1, p. 203-272

nT. Gateva-Ivanova, M. van den Bergh, Semigroups oj I-type, J. Algebra, 206 (1998), p. 97-112

23A. Conca, N V. Trung, and G Valla, Koszul property for points in projective spaces, Math. Scand., 89 (2001), 2, p 201-216; A. Conca, Universally Koszul algebras, Math. Ann , 317 (2000), 2, p 329-346; A. Conca, M.E. Rossi, and G. Valla, Groebner flags and Gorenstem algebras, Compositio Math., 129 (2001), p. 95-121 и др.

данная квадратичная алгебра R козюлева? Отрицательный ответ был получен независимо JI. Посицельским24 и Я.-Э. Русом25 (при этом у JL Е. По-сицельского контрпримером служит конечномерная алгебра, а у Я.-Э. Руса — коммутативная). В этой связи возник новый вопрос24: можно ли по рядам Гильберта алгебр А и Ar определить, является ли А козюлевой? Оказалось, что ответ на этот вопрос также отрицателен: соответствующие примеры построены в диссертации.

Еще один эффективный результат в этом направлении принадлежит А. Полищуку и Л Посицельскому10: для любого данного целого п множество всех рядов Гильберта n-порожденных козюлевых алгебр конечно (этот результат обобщен в диссертации). Они же высказали естественную гипотезу: ряд Гильберта любой козюлевой алгебры — рациональная функция. Так, это верно6 для мономиальных алгебр (а следовательно, и для PBW-алгебр). Как показали Й. Бакелин и В. А. "Уфнаровский2, гипотеза верна для всех квадратичных алгебр с не более чем двумя соотношениями Согласно А. Давыдову26, рациональность имеет место и для Я-матричных алгебры Гекке.

Цель работы.

Основная цель диссертационной работы состоит в разработке общих методов исследования свойств доступных градуированных алгебр, больших и малых, в том числе в переносе конструкций и методов, прежде применяемых только к малым алгебрам (в частности, коммутативным), к большим. Особое внимание при этом уделяется алгоритмическим и асимптотическим вопросам. Другой целью явилось расширения самогб класса доступных алгебр, в частности, вовлечение в область применимости комбинаторных и

24Л Е. Посицельский, Соотношения между рядами Гильберта квадратично двойственных алгебр не влечет их кошулевости, Функциональный анализ и его прил., 29, 3, 83-87 (1995)

2S J -Е. Roos, On the characterization о/ Koszul algebras. Four counter-examples., Comptes Rendus Acad. Sei. Paris, Sér. I, 321, 1, 15-20 (1995)

26A. A. Davydov, Totally positive sequences and R-matrix quadratic algebras, J. Math. Sei. (New York), 100 (2000), 1, p. 1871-1876

гомологических методов ряда классов когерентных алгебр и их обобщений. Научная новизна

Все основные результаты работы являются новыми. В частности, к ним относятся следующие (напомним, если не оговорено противное, все алгебры считаются связными, модули и идеалы — градуированными и правосторонними).

1) Показано, что конечно определенные мономиальные алгебры и алгебры с ограниченной переработкой когерентны, и дан алгоритм решений линейных уравнений над ними. В частности, для алгебр с ограниченной переработкой дан положительный ответ на вопрос В. Н. Латышева о том, распознаваемы ли алгоритмически делители нуля в стандартно конечно определенных алгебрах.

2) Установлено, что любая (некоммутативная) алгебра с козюлевой фильтрацией имеет рациональный ряд Гильберта. Тем самым, в классе алгебр с козюлевыми фильтрациями подтверждена гипотеза Посицель-ского-Полищука о том, что козюлевы алгебры имеют рациональный ряд Гильберта.

3) Показано, что если на нетеровом кольце задана такая убывающая фильтрация, что ассоциированное градуированное кольцо является алгеброй над полем, то эта алгебра имеет субэкспоненциальный рост.

4) Доказано, что количество рядов Гильберта алгебр, у которых некоторыми константами ограничены количество порождающих и степени порождающих, соотношений и третьих гомологий, конечно. Как следствие, обнаружен новый класс алгебр с периодической функцией Гильберта.

5) Установлено, что градуированные сильно нетеровы алгебры над алгебраически замкнутым полем эффективно когерентны, т. е. что для таких алгебр всегда существуют эффективные алгоритмы решений линейных уравнений с однородными коэффициентами.

6) Построены примеры, показывающие, что козюлеву алгебру нельзя распознать по рядам Гильберта ее самой и ее квадратично двойственной алгебры. Тем самым дан ответ на вопрос Л. Е. Посицельского.

Методы исследования

В диссертации использовались методы гомологической и комбинаторной теории колец, асимптотические методы, включая теорию производящих функций, и методы компьютерной алгебры. Техника козюлевых фильтраций перенесена на некоммутативные алгебры; теория базисов Гребнера, благодаря доказанным теоремам конечности, применяется для доказательства когерентности; асимптотические методы применяются для работы с алгебрами экспоненциального роста.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Конструкции, результаты и методы, описанные в ней, могут найти применение в теории колец, гомологической и компьютерной алгебре, а также в некоммутативной алгебраической геометрии и алгебраических разделал теоретической физики.

Апробация работы

Результаты работы прошли апробацию на Научно-исследовательском семинаре по алгебре, а также на семинарах по теории колец, компьютерной алгебре и коммутативной алгебре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинарах в МИРАН, ИТЭФ, Институте Миттаг-Леффлера (Стокгольм), Лундском университете, университете г. Бильбао (Испания), на Международных алгебраических конференциях по алгебре в Москве (1998, 1999, 2000, 2004), на 3-й международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1996) и на Европейском математическом конгрессе (Барселона, 2000).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен к конце автореферата, причем из совместной работы [9] в

диссертацию включены только те из результатов, которые получены автором диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 150 страницах и состоит из введения и четырех глав, разбитых на 18 разделов, 9 из которых, в свою очередь, состоят из 27 параграфов. Библиография состоит из 111 наименований, последние 11 из которых составляют статьи автора по теме диссертации, перечисленные в конце автореферата.

Содержание работы

В главе 1 изучаются так называемые сильно свободные множества, при этом одним из основных средств выступает комплекс Шафаревича: основные понятия напоминаются читателю в первом разделе. Мы показываем связь теоремы Голода-Шафаревича с оценками В. Е. Говорова6 на количество соотношений алгебры (а в следующей главе и обобщаем одну из этих оценок), изучаем алгебру гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры (раздел 1.3), и, как следствие, получаем новые характеризации алгебр глобальной размерности 3 (раздел 1.6). Итоговая теорема выглядит так:

Теорема 1 (теорема 1.17). Пусть А — факторалгебра конечно порожденной свободной алгебры F по идеалу /, минимальным образом порожденному множеством /, ф' С kf <g> F С sh(/, F) — некоторое множество циклов в sh(/, F), минимальным образом порождающее бимодуль гомологий Hi(f,F). Предположим, что gl. dim Л > 3. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) gl dim 3;

(ii) gl. dim F = 3, где F — градуированная алгебра, ассоциированная с /-адической фильтрацией на F;

(iii) образ ф множества ф' в A(f) — сильно свободное множество;

(iv) для идеалов I и J, порожденных множествами / и ф' в F(/), имеем InJ=IJ + Jl-,

(v) tf,(/,F)~A(tf3(A));

(vi) А-алгебра Я,(/, F) свободна;

(vii) Правый А-модуль H\{f, F)/A+H\{f, F) свободен.

В доказательстве используются два результата о том, как ведут себя сильно свободные множества при переходе к подалгебрам и факторалгеб-рам: они доказываются в разделе 1.5. Кроме того, в разделе 1.4 описываются соотношения и гомологии еще одного расширения произвольной алгебры А — алгебры F = F/I ф ///2 ф ..., ассоциированной с /-адической фильтрацией на свободной алгебре F, где А = F/I. Вторая (/-адическая) градуировка на F задается как F^) = P/It+l. В этих обозначениях, имеет место

Теорема 2 (теорема 1.9). Пусть Д — ядро естественного отображения A(f)^F.

а) Двусторонний идеал Д порождается множеством ф, то есть F ~ A(jf)/id (ф), где ф — то же, что и теореме 1, (iii).

б) Умножение в F задает изоморфизм А-бимодулей F(,) ® F(j) —> F(,+J)

А

для любых i,j > 0.

в) Справедливы изоморфизмы градуированных пространств

#o(F) = к, Hi(F) « Hi(A) ф Я1+1(А) при i > 1. В частности, gl. dimF = gl. dim А.

В последнем в этой главе разделе 1.7 наши результаты об алгебре го-мологий комплекса Шафаревича переносятся на случай супералгебр Ли: сделать это несложно, поскольку функторы взятия универсальной обертывающей и перехода к примитивным элементам суперкокоммутативной алгебры Хопфа переводят лиев и ассоциативный комплексы Шафаревича друг в друга.

В главе 2 исследуются вопросы, связанные с рядами Гильберта и ростом градуированных алгебр. Для малых алгебр важным инструментом

является размерность Гельфанда-Кириллова, т. е. степень полиномиального роста. Большие алгебры обычно имеют экспоненциальный рост, поэтому с точки зрения обычного понятия роста они неразличимы. В разделе 2.1 вводится частичная замена размерности Гельфанда-Кириллова для градуированных алгебр экспоненциального роста — так называемая экспонента роста (или энтропия27). Для алгебры А с рядом Гильберта A(z) = a'z' она определяется как величина, обратная к радиусу сходимости г(А) ряда A(z), т. е.,

р(А) = r(A)'1 = inf{g > ОI Зс > 0 Vn > 0 cqn} = limsup

П-+00

Отметим, что аналогичная величина — экспонента роста — широко используется при изучении многообразий PI-алгебр: она определяется как экспонента роста ряда коразмерностей многообразия2, т. е. экспонента роста производящего отображения соответствующей операды21. Так, как показали М.В. Зайцев и А. Жиамбруно, для многообразий ассоциативных алгебр верхний предел в определении экспоненты можно заменить на обычный (как и для экспонент роста ассоциативных алгебр, порожденных элементами первой степени27), причем эта экспонента всегда целочисленна28

Чтобы применять ее, подобно размерности Гельфанда-Кириллова, в индукционных рассуждениях при изучении градуированных алгебр, важно знать, при каких условиях экспонента роста уменьшается при факторизации Первый шаг в этом направлении сделан в параграфе 2.1.1, в котором вводятся и исследуются так называемые экстремальные алгебры — такие, что любая их нетривиальная факторизация строго уменьшает экспоненту. Известно было29, что этим свойством обладает свободная алгебра (так что экспонента роста любой не свободной алгебры строго меньше количества

27M.F. Newman, С. Schneider, A. Shalev, The entropy of graded algebras, J. Algebra, 223 (2000), p. 85-100

28 A Giambruno, M Zaicev, On codimension growth of finitely generated associative algebras, Adv. Math., 140 (1998), p. 145-155; Exponential codimension growth of PI-algebras: an exact estimate, Adv. Math., 142 (1999), p. 221-243

29B.E. Говоров, О размерности градуированных алгебр, Мат. заметки, 14, 2, 209-216 (1973)

порождающих) Это утверждение усиливается следующим образом.

Теорема 3 (теорема 2.7, следствие 2.9, предложение 2.14). Пусть

A, В — конечно порожденные нетривиальные связные алгебры.

(a) Свободное произведение А* В — экстремальная алгебра.

(b) Если алгебра А содержит сильно свободное множество, то она экстремальна.

(c) Любая квадратичная алгебра с единственным определяющим соотношением и не меньше чем тремя порождающими экстремальна.

Свойства экстремальности используются далее, когда мы даем упомянутые выше оценки на количества соотношений алгебр:

Теорема 4 (теорема 2.11). Пусть А — градуированная алгебра, В — ее факторалгебра по идеалу, минимальным образом порожденная некоторым множеством S,C — B(S), и г(А) = р{А)~1 — радиус сходимости ряда A(z). Тогда выполняется числовое неравенство

B(r(A))S(r(A)) > 1,

причем следующие условия эквивалентны: (i) это неравенство обращается в равенство; (И) г(Л)=г(С);

(iii) множество S С А сильно свободно.

В частном случае, когда алгебра А свободна, а множество S состоит из элементов одной и той же степени d, эта оценка была доказана

B. Е. Говоровым6. Затем даются асимптотическая версия теоремы теоремы Голода-Шафаревича и частичная характеризация некоммутативных полных пересечений в терминах экспоненты роста (параграфы 2.1 3 и 2 1.4).

Для многообразий ассоциативных алгебр, заданных конечным числом тождеств, существует эффективный алгоритм вычисления экспоненты30. Напротив, как показано в параграфе 2.1.4, не существует алгоритма, который бы для любой конечно определенной алгебры проверял, равна ли ее

МА. Giambruno, М. Zaicev, Codtmenston growth and minimal superalgebras , Trans. AMS, 355 (2003), p. 5091-5117

экспонента роста р{А) данному натуральному числу q — даже при условии, что заведомо выполняется неравенство р(А) > д. В частности, алгоритмически неразрешим вопрос о том, принадлежит ли экспонента роста данной квадратичной алгебры данному интервалу или отрезку.

В разделе 2.2 исследуется вопрос о росте нетеровых колец. Известно8, что градуированные нетеровы алгебры имеют субэкспоненциальный рост. В диссертации дано следующее обобщение этой теоремы.

Теорема 5 (теорема 2.26). Пусть Я — нетерово справа кольцо с убывающей Z-фильтрацией

Я = > ■ • • > ño > Й1 > ...

такое, что ассоциированное градуированное кольцо Я := gr Я является алгеброй над некоторым полем к с конечномерными градуировочными компонентами. Тогда gr Я имеет субэкспоненциальный рост.

Отметим, что вопрос о том, будет ли рост всегда полиномиальным, открыт даже в градуированном случае, и что он связан с известными гипотезами в теории (про-)р-групп [9].

В следующем разделе 2.3 доказывается одно из ключевых утверждений этой работы — следующая

Теорема 6 (теорема 2.29). Пусть п, о, Ь, с — натуральные числа. Обозначим через D(n,a,b,c) множество связных алгебр А с не более чем п порождающими, у которых тп\{А) < а,гщ{А) < b и гпз(А) < с. Тогда множество всевозможных рядов Гильберта алгебр из D(n, а, Ь, с) конечно.

Здесь ш,(Л) = sup{j|Tor<4(fc,fc)j ф 0} (если Тог?{к,к) - 0, положим тщ(А) = 0); в частности, гп\(А) — точная верхняя оценка на степени порождающих алгебры А, а тг(Л) — точная оценка на степени ее соотношений. Например, алгебра А козюлева тогда и только тогда, когда тп,(Л) < i для всех г > 0.

Эта теорема означает, что конечно множество всевозможных рядов Гильберта таких алгебр, у которых некоторыми константами ограничены

количество порождающих, степени порождающих, соотношений и соотношений между соотношениями (т. е. элементов векторного пространства Тот ¡(к, к)). Отметим, что дополнительное ограничение dim Tor ^(fc, к) < оо (оно обсуждается в параграфе 2.3.1) достаточно слабо: оно выполняется, в частности, для нетеровых, когерентных, козюлевых алгебр и многих универсальных обертывающих градуированных алгебр Ли. Аналогичное утверждение справедливо и для модулей (предложение 2.31). В частности, удается выделить еще одно условие конечности, которое выполняется для всех конечно определенных алгебр.

Следствие 7 (следствие 2.33,(Ь)). Пусть D — натуральное число, R — связная конечно определенная алгебра. Тогда множество рядов Гильберта правых идеалов в Л, у которых минимальные порождающие и соотношения имеют степени не выше D, конечно.

Первое применение этих результатов дано в следующем разделе 2.4. Здесь обсуждается следующий вопрос: для каких алгебр (или модулей) Q функция Гильберта h.Q(n) := dim Qn является периодической последовательностью? Очевидным достаточным условием является ограниченность последовательности Лд(п), т. е. что GK-dim Q < 1 (такие алгебры и модули называются алгебрами медленного, или линейного, роста). Для таких алгебр и модулей периодичность равносильна рациональности ряда Гильберта. Нетрудно, однако, привести пример алгебры с единичной размерностью Гельфанда-Кириллова и непериодической функцией Гильберта. Следующее утверждение показывает, что в ряде случаев все же необходимое условие GK-dim Q < 1 является достаточным.

Теорема 8 (теорема 2.37). Пусть М — конечно определенный градуированный модуль над связной конечно определенной алгеброй А. Предположим, что GK-dim М < 1, и что выполняется хотя бы одно из следующих условий:

(a) поле к конечно;

(b) векторные пространства Тог % (М, к) и Тог 3 (к, к) конечномерны (наг пример, это всегда так, если алгебра А нетерова или когерентна).

Тогда ряд Гильберта М(г) рационален, т. е функция Гильберта /л*(п) = сПт Мп периодична.

Гипотеза состоит в том, что любая конечно определенная алгебра линейного роста имеет периодическую функцию Гильберта. Она следовала бы из гипотезы В. А. Уфнаровского2 о том, что все конечно определенные алгебры линейного роста автоматны. Пока удается доказать нашу гипотезу в следующих случаях.

Следствие 9 (следствие 2.38). Пусть А — конечно порожденная алгебра единичной размерности Гельфанда-Кириллова. Предположим, что А удовлетворяет одному из следующих свойств:

(\) (слабо) нетерова;

(и) (полу)первична;

(115) когерентна;

(¡у) конечно определенная над конечным полем;

(у) козюлева;

(у1) конечного рэйта (в смысле Бакелина).

Тогда функция Гильберта алгебры А периодична.

Глава 3 посвящена решению линейных уравнений над градуированными алгебрами. Пусть Я — связная алгебра. Рассмотрим линейное уравнение

ахЯ! Н-----1- апхп = 0 (3)

над Я, где аь..., ап — однородные элементы из Я или из (свободного) Я-модуля М, а 11, ...,£„ — переменные. При каких условиях и как можно решить это уравнение, и как описать решения?

Для общей конечно порожденной алгебры Я не существует алгоритма, проверяющего хотя бы, существует ли решение (по крайней мере в неоднородном случае для свободного модуля М31). Кроме того, множество решений О может быть бесконечно порожденным как подмодуль в свободном

31УУ. Умирбаев, Проблема вхождения для алгебр Ли, Алгебра и логика, 32 (1993),

3, с. 326-340

модуле R" (например, над алгеброй F <g) F, где F — свободная ассоциативная алгебра с достаточно большим количеством порождающих). Поэтому представляется разумным ограничить рассматриваемый класс алгебр такими из них, для которых модуль решений любого уравнения вида (3) конечно порожден. Такие алгебры называются когерентными (справа)15: этот класс включает все нетеровы алгебры, свободные ассоциативные алгебры, и множество других примеров Тем не менее, условия когерентности недостаточно, чтобы найти все порождающие модуля П: можно вычислять порождающие элементы один за другим, но когда следует остановиться?

Если R — коммутативная алгебра, то существует простой (хотя и не самый эффективный) метод нахождения порождающих модуля Q. Как было установлено Херманн32 еще в 1926 г., существует функция Dr ; N —>- N такая, что П порождается элементами степени не выше Da{d), если все коэффициенты сц имеют степени не выше d. Таким образом, для нахождения всех решений уравнения достаточно найти решения в конечномерном векторном пространстве R<DR(d): это стандартное упражнение по линейной алгебре.

Основной объект главы 3 — некоммутативные алгебры R, допускающие такую же функцию Рд(й). Они были введены автором в [10] под называнием эффективно когерентных алгебр. Над вычислимым полем это условие равносильно тому, что в такой алгебре существует эффективный алгоритм нахождения базиса модуля решений любого уравнения вида (3) — в том смысле, что существуют такие функции ад(п) и /Зя(п), что если условие этой задачи (список коэффициентов уравнения) занимает не более п единиц информации, то время работы алгоритма и длина ответа задачи ограничены функциями ад(п) и /Зд(п).

Оказывается, эта ситуация достаточно типична. Так, эффективно когерентными оказываются свободные ассоциативные алгебры и конечно определенные мономиальные алгебры. Каждая когерентная алгебра над конечным полем к эффективно когерентна; тем не менее, если к содержит

33G. Hermann, Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale, Math. Ann., 95 (1926), p. 736-788

хотя бы два алгебраически независимых элемента или имеет нулевую характеристику, то существуют нетеровы, но не эффективно когерентные fc-алгебры. Кроме того, как показано в параграфе 3.2.2, почти все общие свойства когерентных алгебр переносятся на эффективно когерентные алгебры В частности, любой конечно определенный градуированный модуль М над такой алгеброй также эффективно когерентен, т. е. существует аналогичная функция Dm(¿)i ограничивающая степени порождающих в случае линейного уравнения (3) над М. Это означает, что однородные линейные уравнения над такими модулями также эффективно разрешимы

В параграфе 3.2.3 показано, что один из самых общих классов колец, появляющихся в некоммутативной проективной алгебраической геометрии, так называемые сильно нетеровы алгебры33 над алгебраически замкнутыми полями, эффективно когерентны. (Алгебра R называется сильно нетпе-ровой (справа), если кольцо R ® С нетерово справа для любой коммутативной (неградуированной) нетеровой fc-алгебры С). Класс сильно нетеро-вых алгебр включает, например, алгебры Склянина, нетеровы PI алгебры, нетеровы области размерности Гельфанда-Кириллова 2 и трехмерные регулярные по Артину-Шелтеру алгебры 33.

В том же параграфе 3.2.3 вводится еще несколько условий эффективности для связных градуированных алгебр и модулей над ними. В частности, конечно порожденный градуированный модуль М над связной градуированной алгеброй А называется эффективным для рядов (соответственно, эффективным для порождающих), если для любого натурального d существует лишь конечное число возможностей для рядов Гильберта подмодулей в М, порожденных в степени не выше d (соответственно, для формального степенного ряда h(z) существует такое d > 0, что каждый конечно порожденный подмодуль в М, имеющий ряд Гильберта h(z), порождается в степенях не выше d). Алгебра называется эффективной для рядов или порождающих, если любой конечно представимый модуль над ней таков. В этих обозначениях имеет место

мМ. Artin, L. W. Small, J. J. Zhang, Generic flatness for strongly Noetherian algebras, J. Algebra, 221 (1999), 2, p. 579-610

Теорема 10 (теорема 3.17, следствие 3.19). Пусть А — связная градуированная алгебра. Рассмотрим следующие свойства:

(SN) А — сильно нетерова алгебра над алгебраически замкнутым полем;

(ES+EG) А когерентна и эффективна как для рядов, так и для порождающих;

(ЕС) А эффективно когерентна;

(ES) А эффективна для рядов.

Тогда справедливы импликации:

(SN) (ES + EG) (ЕС) ==► (ES)

Эффективная когерентность сильно нетеровых алгебр означает, практически, что возможна эффективная (компьютерная) некоммутативная проективная геометрия По крайней мере, в ней существуют алгоритмы вычисления аннуляторов и базисов решений однородных линейных уравнений, поскольку "кольца проективной некоммутативной алгебраической геометрии" обычно сильно нетеровы, и вычисления проективных резольвент конечно порожденных модулей, поскольку такие кольца имеют часто конечную проективную размерность34.

Отметим, что наиболее эффективный современный метод решения уравнений вида (3) основаны на теории базисов Гребнера. Пусть I — подмодуль в М, порожденный коэффициентами aj,..., a„. В этом методе мы можем вычислить базис Гребнера соотношений алгебры R, соотношений модуля М и порождающих подмодуля I вплоть до степени D(d), и найти затем все соотношения до степени D(d) между построенными элементами базиса Гребнера подмодуля I, снова используя теорию базисов Гребнера. При этом построение последнего базиса Гребнера подмодуля I можно представить как обычное вычисление базиса Гребнера идеала в алгебре, поскольку I является идеалом в алгебре тривиального расширения R' = М © Я. Последнее вычисление эквивалентно отысканию двустороннего базиса Гребнера соотношений большего тривиального расширения R/IQK.

MD.S. Keeler, The rings of noncommutative projective geometry, Advances in algebra and geometry (Hyderabad, 2001), p. 195-207, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2003

Функция Г>д(с?) для коммутативного кольца многочленов Я растет как двойная экспонента, поэтому нельзя надеяться, что для широкого класса некоммутативных алгебр Я рост функции £>я(^) будет медленным. Тем не менее, оказывается, что существуют все же интересные классы колец с линейным ростом Оц(<1). Они изучаются в разделе 3.3. Назовем алгебру универсально когерентной, если Ю(<1) < 2Л для всех <1 0. Мы изучаем этот класс алгебр вместе с более широким классом так называемых алгебр с когерентными семействами идеалов По определению 3.23, множество Г конечно порожденных правых идеалов из конечно порожденной алгебры Я называется когерентным, если нулевой идеал и максимальный однородный идеал Я принадлежат Р, и для любого 0 / / £ Р существуют идеал I Ф J £ ¥ н однородный элемент х € I такие, что 7 = 7 + хЯ и идеал N = (х : /) := {а € Я|ха £ 1} принадлежит Р.

Название происходит из следующего несложного утверждения.

Предложение 11 (предложение 3.24). Для связной алгебры Я следующие два утверждения эквивалентны:

(¡) Я проективно когерентна;

(11) совокупность всех конечно порожденных правых идеалов в Я составляет когерентное семейство.

В общем случае когерентное семейство можно рассматривать как своего рода "островок когерентности" в некогерентной алгебре: по крайней мере, каждый идеал из когерентного семейства обладает свободной резольвентой конечного типа (предложение 3.25). Особенно интересны такие когерентные семейства, что степени порождающих принадлежащих им идеалам ограничены в совокупности: такие семейства (мы называем их семействами конечной степени) есть, например, в универсально когерентных алгебрах.

Для градуированного Я-модуля М обозначим через т(М) = 1щ(М) наибольшую из степеней его порождающих, а через т,(М) = т(Н1(М)) — наибольшая из степеней г-го пространства его гомологий Я,(М) = Тог ?(М,к).

Теорема 12 (предложения 3.25 и 3.26, теорема 3.27). Пусть F — когерентное семейство конечной степени d в связной алгебре R.

а) Для любых i > 1 и / 6 F

гщ(1) < m(I) + di.

В частности, mx{R) < m\(R) + 1 + d(i - 1) при г > 2.

б) Множество рядов Гильберта идеалов I € F конечно.

в) Ряды Гильберта алгебры R и всех идеалов / е F — рациональные функции.

Из этой теоремы следует критерий универсально когерентных алгебр: эквивалентное универсальной когерентности условие состоит в том, что для любого d 0 все идеалы, порожденные в степенях < d, составляют когерентное семейство (следствие 3.29). '

Свободные ассоциативные алгебры универсально когерентны, как и конечно определенные мономиальные алгебры и введенные в работе автора [6] алгебры с г-переработкой, рассматриваемые в разделе 3.4: это такие алгебры с конечным базисом Гребнера, что нормальную форму произведения двух нормальных одночленов можно вычислить путем ограниченного количества редукций их произведения в свободной алгебре. Точное ■> определение звучит так: предположим, что на мономах от порождающих конечно порожденной алгебры А задан нетеров согласованный с умножением порядок, так что элементы алгебры можно отождествлять с их нор- , мальными формами, а умножение в алгебре задавать как полную редукцию произведения соответствующих нормальных форм (обозначим такую операцию звездочкой). Тогда при г > 0 назовем А алгеброй с (правой) г-переработкой, если для любых нормальных одночленов p,q €1 А таких, что q = q\qi,\enq\ > R, выполняется равенство

p*q=(p*qi)q2,

где последнее произведение понимается как произведение в свободной алгебре. Отметим, что здесь мы не предполагаем, что алгебра А градуированная.

Основное комбинаторное свойство алгебры с г-переработкой состоит в том, что любой правый идеал I в ней имеет конечный базис Гребнера: в случае лексикографически-степенного порядка он состоит из элементов степени не выше д. + г (теорема 3.38), где (I — т{1) — наибольшая из степеней порождающих. Основное алгебраическое свойство таких алгебр дает

Теорема 13 (предложение 3.43, теорема 3.44). Пусть идеал правый I в алгебре г-переработкой А относительно лексикографически-степенного порядка на мономах порождается (не обязательно однородными) элементами степени не выше й. Тогда модуль соотношений между этими элементами (т.е. модуль сизигий идеала I) порождается в степени не выше «1+2Л-1.

В частности, алгебра А когерентна (даже в неградуированном смысле), а если она градуированная, то и универсально когерентна.

В частности, в таких алгебрах существуют алгоритмы решений любых линейных уравнений.

Примером алгебры с г-переработкой может служить любая конечно определенная мономиальная алгебра: она, таким образом, когерентна и даже универсально когерентна. Отметим, что для мономиальных алгебр (не только конечно определенных, но и автоматных) другой алгоритм распознавания делителей нуля был дан в35. Алгебры с 0-переработкой — это в точности свободные алгебры. Алгебры с 1-переработкой рассматривались Н. К. Иыуду38. Класс алгебр с г-переработкой включает как градуированные, так и неградуированные алгебры, для которых работают те же методы и оценки для построения базисов Гребнера и вычисления базисов решений уравнений. Приблизительное место градуированных алгебр с г-переработкой как конструктивного варианта универсально когерентных

35А.Я. Белов, В. В. Борисенко, В. Н. Латышев, Мокомисиъкые алгебры, Итоги н. и т., совр. мат. и прил., тематические обзоры, том 26 (Алгебра-4) (1995), с. 35-214

36Н.К Иыуду, Проблема распознавания делителей нуля в одном классе алгебр, Фундаментальная и прикладная математика, 1 (1995), 2, с. 541-544

Основной класс алгебр Конструктивный вариант

Козюлевы Конечного рэйта Универсально когерентные РВШ (с квадратичным базисом Гребнера) Стандартно конечно определенные С г-переработкой

Глава 4 посвящена козюлевым алгебрам.

В разделе 4.1 мы даем отрицательный ответ на следующий вопрос24: можно ли по рядам Гильберта алгебр А и А! определить, является ли А козюлевой? А именно, доказывается

Теорема 14 (теорема 4.6, предложение 4.8). Над любым полем к существуют две такие квадратичные алгебры А и А', что выполняются равенства

А(г) = А'(г),А!(г) = А'\г),

причем алгебра А' козюлева (и даже мономиальная), а алгебра А не козю-лева.

Далее появится еще один класс алгебр — алгебры с козюлевыми фильтрациями — которые имеют рациональный ряд Гильберта. Козюлевы фильтрации — это когерентные семейства, в которых все ненулевые идеалы порождены линейными формами, так что рациональность следует из теоремы 3.27. Это понятие было введено для коммутативных алгебр и изучалось в ряде работ23: в частности, любое координатное кольцо алгебраической кривой допускает козюлеву фильтрацию, если только оно квадратично. В разделе 4.2 свойства козюлевых фильтраций обобщаются на некоммутативный случай В частности, взаимосвязи между различными классами козюлевых алгебр показаны на диаграмме (стрелки означают

включения классов, т. е. импликации свойств):

алгебры с козюлевыми алгебры с у/ фильтрациями \ изначально

козюлевы козюлевыми алгебры флагами \

козюлевы PBW- / алгебры алгебры

Здесь козюлевым флагом в алгебре R называется цепочка козюлевых (как модулей) идеалов

О С xiR С xiR + х2R С ■ ■ • С xiR + ■ • • + x,R = R,

где {xi,...,x5} — базис пространства R¡: например, каждая козюлева фильтрация содержит козюлев флаг, поскольку каждый идеал в козю-левой фильтрации — козюлев модуль. Тот факт, что каждая PBW-алгебра содержит козюлев флаг, составляет содержание теоремы 4.10. Изначально козюлевыми называются алгебры, в которых есть козюлев флаг, одновременно являющийся и козюлевой фильтрацией (он называется флагом Гребнера): классификация таких алгебр дана в следующей теореме.

Теорема 15 (теорема 4.16). Пусть R — стандартная алгебра, порожденная линейными формами ц,..., х„. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) R изначально козюлева с флагом Грёбнера (ij,..., аг„);

(ii) R является PBW-алгеброй относительно лексикографически-степенного порядка с xi <■■•< х„, и старшие мономы элементов базиса Грёбнера G идеала соотношений обладают следующим свойством:

если XkX} 6 Im G, то xj¡i, £ Im G для всех i < j\

(iii) мономиальная алгебра R' = F¡ id (Im G) изначально козюлева с тем же флагом Грёбнера.

Коммутативные изначально козюлевы алгебры допускают аналогичное описание в терминах коммутативных квадратичных базисов Гребнера37.

37S. Blum, Imtially Koszul algebras, Beiträge Algebra Geom., 41 (2000), 2, p. 455-467

Отметим, что PBW-алгебры не всегда обладают козюлевыми фильтрациями (даже если ограничиться рассмотрением коммутативных алгебр)38.

Последний раздел 4.3 посвящен козюлевым свойствам квадратичных алгебр с общими соотношениями. Пусть количество порождающих равно п, а количество соотношений — г. Такие алгебры исследовал Д. Аник3. Там показано, что такая алгебра козюлева тогда и только тогда, когда либо г < п2/4, либо г > Зп2/4. При г < п2/2 всегда R, = О при г > 3, но в общем случае неизвестно даже, при каких n, г такая алгебра будет конечномерной. Имеется, однако, гипотеза о рядах Гильберта таких алгебр R: она состоит в том, что R(z) = |(1 — nz + rz2)'11 (здесь для формального степенного ряда P(z) через |P(z)| обозначается ряд или многочлен, полученный из P(z) путем обнуления всех его коэффициентов, начиная с первого отрицательного). Оценка снизу верна всегда, а равенство — по крайней мере при г < п2/2 или г > Зп2/4 и при малых значениях п, г.

Результат параграфа 4.3.1 состоит в том, что эту гипотезу можно эквивалентно переформулировать в терминах козюлевых свойств. По определению, алгебра козюлева, если #¿(fc)j = 0 при i < j; следуя24, назовем алгебру m-козюлевой, если равенство #¿(fc)j = 0 выполняется при всех г < j < т. Тогда упомянутая гипотеза Аника эквивалентна следующему утверждению: для любого т > 0 любая общая квадратичная алгебра R либо m-козюлева, либо нулевая в степенях > т. Этот факт опирается на следующее утверждение.

Предложение 16 (предложение 4.22). Пусть G — квадратичная алгебра с д порождающими и г соотношениями такая, что = 0. Тогда следующие два условия эквивалентны:

(i) G(z) = |/(z)_1| при f{z) = 1 -gz + rz2;

(ii) для любого n > 0 либо Gn = 0, либо G является n-козюлевой.

Таким образом, параграф 4.3.1 посвящен вопросу о том, как можно было бы ослабить свойство козюлевости с тем, чтобы оно выполнялось для всех

3,А. Conca, М.Е. Rossi, and G Valla, Groebner flags and Gorenstem algebras, Compositio Math., 129 (2001), p. 95-121

общих квадратичных алгебр. Напротив, в последнем параграфе 4.3.2 обсуждается вопрос о том, когда свойство козюлевости общих алгебр можно усилить А именно, мы задаемся следующим вопросом: когда общий полный флаг идеалов, порожденных линейными формами, козюлев, и когда он продолжается до козюлевой фильтрации? Оказывается, ответы на оба эти вопросы одинаковы, так как справедлива

Теорема 17 (теорема 4.23). Если либо г < п, либо г > п2 — п, то

общий линейный флаг Ф козюлев и, более того, является подмножеством некоторой козюлевой фильтрации Р. Если г < п, то фильтрация Г может быть выбрана конечной.

Если же п < г < п2 — п, то Ф не является козюлевым флагом, и потому не может быть частью никакой козюлевой фильтрации.

Это иллюстрирует тот факт, что теория некоммутативных козюлевых фильтраций одинаково применима как к большим, так и к малым квадратичным алгебрам.

Благодарность. Я рад выразить свою признательность професору Евгению Соломоновичу Голоду, чьи советы на протяжении многих лет помогали мне в работе. Кроме того, я хотел бы поблагодарить А. Я. Канеля-Белова, В. Н. Латышева, А. В. Михалева, Л. Е. Посицельского, Д. Рогаль-ского, Дж. Т. Стаффорда, В. А. Уфнаровского, А. Хайкина-Запирайна за полезные обсуждения и замечания.

Работы автора по теме диссертации

1. Д.И. Пионтковский, О росте градуированных алгебр с небольшим числом определяющих соотношений, Успехи математических наук, 48 (1993), 3, с. 189-190

2. Д.И. Пионтковский, Базисы Гребнера и когерентность мономиаль-ной ассоциативной алгебры, Фундаментальная и прикладная математика, 2 (1996), 2, с. 501-509

«П65 08

3. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта и соотношениях в алгебрах, Успехи математических наук, 53 (1998), 6, с. 257-258

4. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта и гомологиях Pl-a.--

тематический сборник, 189 (1998), 11, с. 103-120 1 О О С

5. Д.И. Пионтковский, Ряды Гильберта и соотношения в алг вестия РАН, серия математическая, 64 (2000), б, с. 1297-1311

6. Д.И. Пионтковский, Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах, Фундаментальная и прикладная математика, 7 (2001), 2, с. 495-513

7. Д.И. Пионтковский, О градуированных алгебрах глобальной размерности 3, Известия РАН, серия математическая, 65 (2001), 3, с. 557-568

8. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта козюлевых алгебр, Функциональный анализ и его приложения, 35 (2001), 2, с. 64-69

9. A. Jaikin-Zapirain, D. Piontkovski, On the growth of Noetherian filtered rings, Communications in algebra, 31 (2003), 1, p. 505-512 (Пионтковско-му Д. И. принадлежит теорема 1.1)

10. Д.И. Пионтковский, Множества рядов Гильберта и их приложения, Фундаментальная и прикладная математика, 10 (2004), 3, с. 143-156

11. Д.И. Пионтковский, Козюлевы алгебры и их идеалы, Функциональный анализ и его приложения, 39 (2005), 2, с. 47-60

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.0. Ломоносова. Подписано в печать /2,09.0£"

Формат 60 х 90 1 /16 . Тираж 100 экз.

Усл. печ л У, W Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Введение.

0.1 Предмет исследования: неформальная классификация.

0.2 Актуальность темы .б

0.2.1 Рост и проблемы рациональности

0.2.2 Некоммутативные полные пересечения и комплекс Шафаревича.

0.2.3 Козюлевы алгебры.

0.3 Общий план работы.12 "

0.4 Основные результаты.

0.5 Апробация.

0.6 Благодарность.

Обозначения и соглашения

1 Теорема Голода-Шафаревича и сильно свободные множества

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Градуированные алгебры.

1.1.2 Сильно свободные множества (подробности см. в [25])

1.1.3 Комплекс Шафаревича (подробности см. в [12, 10, И]) . 31 - 1.2 Теорема Голода-Шафаревича и оценки на число соотношений

1.3 Об алгебре гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры

1.4 Алгебра, ассоциированная с фильтрацией на свободной алгебре

1.5 Сильно свободные множества в подалгебрахл факторалгебрах

0.1 Предмет исследования: неформальная классификация

Диссертация посвящена изучению ассоциативных связных градуированных алгебр над полем, главным образом некоммутативных, т. е. алгебр ввда Л = A)©Ai0., где нулевая компонента Ао изоморфна основному полю к. В отличие от коммутативного случая, для общих ассоциативных алгебр многие естественные вопросы алгоритмически неразрешимы, поэтому вряд ли можно надеяться на построение общей удовлетворительной теории бесконечномерных ассоциативных градуированных алгебр. Тем не менее, существуют два класса "доступных" градуированных алгебр, для которых различные теории и классификации успешно развиваются.

К первому классу — назовем такие алгебры условно малыми — относятся те из них, свойства которых в какой-либо степени обобщают свойства коммутативных алгебр. У таких алгебр относительно много соотношений и малый (полиномиальный) рост. Они могут быть нетеровыми, удовлетворять полиномиальным тождествам или быть деформациями коммутативных алгебр и т. д. В этом классе оказались возможны различного рода структурные теории. В последние два десятилетия возникло новое многообещающее направление в области изучения этого класса — так называемая некоммутативная проективная геометрия (см. [93]): яркими достижениями этого направления являются классификация полупервичных алгебр размерности Гельфанда-Кириллова 2 [36] и регулярных по Артину-Шелтеру трехмерных алгебр [31, 33, 34, 96].

Ко второму классу — назовем такие алгебры большими — относятся те алгебры, для которых возможны разного рода комбинаторные теории. У таких алгебр относительно мало соотношений или соотношения имеют достаточно простой вид, а рост, напротив, обычно экспоненциальный. Типичными представителями такого класса являются свободные и конечно определенные мономиальные алгебры, а также алгебры с одним соотношением. Прогресс в этой области в последние два-три десятилетия в большой степени" связан с развитием компьютерной алгебры, и в частности, с теорией некоммутативных базисов Гребнера. Можно сказать, что появилась новая комбинаторная теория, основным объектом стали стандартно конечно определенные алгебры (т. е. обладающие конечным базисом Гребнера). Обзор этих вопросов был дан В. А. Уфнаровским [21].

Разделение на большйе, малые и "недоступные" алгебры можно проиллюстрировать на примере квадратичных алгебр с общими соотношениями (см. о таких алгебрах в разделе 4.3 ниже). Если такая алгебра Л имеет д порождающих и г соотношений, то при г > д2/2 она конечномерна (причем Ап = О при п > 3), т. е. она очень малая, а при г < д2/4 она имеет глобальную размерность 2, т. е. является типичным представителем класса большйх алгебр. В то же время, в недоступном промежуточном случае g2/4 < г < д2/2 неизвестно даже, всегда ли такая алгебра конечномерна. [30]

Классы малых и большйх алгебр частично пересекаются: примером могут служить упомянутые выше трехмерные алгебры, регулярные по Артину-Шелтеру, которые являются нетеровыми алгебрами полиномиального роста и в то же время имеют глобальную размерность 3. Однако, такие пересечения достаточно все же редки, с чем и связаны, по-видимому, трудности такой классификации уже в размерности 4.

0.2 Актуальность темы

0.2.1 Рост и проблемы рациональности

Для градуированного векторного пространства (алгебры, модуля.) V его рядом Гильберта называется формальный степенной ряд V(z) = ^(dim Vi)z\ iez

Ряд Гильберта для бесконечномерных градуированных алгебр играет роль, подобную роли размерности над полем в случае конечномерных алгебр. Одно из новых направлений, которые развиваются в этой работе — развитие этой аналогии: так, мы покажем, что множество рядов Гильберта градуированных алгебр, удовлетворяющих некоторым естественным ограничениям, конечно. Особый интерес представляют вопросы отом, какие именно (аналитические) функции могут .быть рядами Гильберта конечно порожденных алгебр, и как свойства такой этих функции связаны с алгебраическими свойствами алгебры.

Для коммутативных аффинных градуированных алгебр ряд Гильберта-всегда рационален (этот факт был известен еще Гильберту; точные форму-, лы получил Маколей [78]). В некоммутативном случае, рациональность имеет место, например, для алгебры когомологий конечных групп [6, 55], конечно определенных мономиальных алгебр [4], алгебр с одним соотношением [40], нетеровых [1] и относительно свободных [76] PI алгебр, а также в ряде других случаев (некоторые из которых описаны в [21, 74]). В. Е. Говоров выдвинул также гипотезу [4], что ряд Гильберта конечно определенной алгебры всегда рационален. Контрпримеры к гипотезе Говорова были построены в [20] и [90]. Тем не менее, вопрос о рациональности нельзя считать закрытым: до сих пор неизвестны примеры конечно определенных алгебр с иррациональным рядом Гильберта в ряде важных классов, например, среди PI алгебр, нетеровых, когерентных или козюлевых алгёбр, а также среди алгебр полиномиального роста. В этой связи можно упомянуть ряд открытых вопросов: гипотезы о том, что размерность Гельфанда-Кириллова связных нетеровых алгебр конечна [97] и что для связных нетеровых областей она не может принимать значения строго между 2 и 3 [32] (это так, если ряд Гильберта рационален), что конечно определенные алгебры линейного роста автоматны [21] (из чего следует рациональность), и что козюлевы алгебры имеют рациональный ряд Гильберта [84].

Бесконечный ряд Гильберта в общем" случае не вполне удобен в качестве аналога fc-размерности (особенно если о его рациональности ничего неизвестно), поэтому часто используют классы эквивалентности рядов с одинаковым асимптотическим поведением, называемые ростом алгебры. Это отношение эквивалентности задается так [21, 74]: если {»S,n},{5^} — последовательности частичных сумм коэффициентов двух формальных степенных рядов A(z),Af(z), то пишем A(z) < A'(z), если существуют такие натуральные с, т, что Sn < cS'mn для любого п > 0. Ряды A(z) и A[(z) эквивалентны, если A(z) < A {z) и A'(z) < A{z).

Рост ряда A(z) называется полиномиальным, если A(z) < nC^n; точная нижняя грань таких d называется размерностью Гельфанда-Кириллова ряда A(z) или алгебры А. Рост с единичной размерностью Гельфанда-Кириллова называется линейным. Рост, эквивалентный геометрической прогрессии Х1п>о называется экспоненциальным: например, если конечно порожденная алгебра содержит свободную 2-порожденную подалгебру, то ее рост экспоненциальный. Если?— радиус сходимости ряда Гильберта A(z), то рост ряда экспоненциальный тогда и только тогда, когда 0 < г < 1, а полиномиальный тогда и только тогда, когда г = 1 и 1 — полюс конечного порядка функции A(z). Таким образом, в случае рационального ряда Гильберта рост либо экспоненциальный, либо полиномиальный с целой размерностью Гельфанда-Кириллова. [21]

Обычно "малые" алгебры (коммутативные, PI, .) имеют полиномиальный рост. Для коммутативных алгебр размерность Гельфанда-Кириллова равна размерности Крулля, и часто в некоммутативном случае она играет аналогичную роль, например, в некоммутативной проективной геометрии (см., напр., [93]): так, нетеровы области размерностей 2 и 3 — это некоммутативные аналоги кривых и поверхностей и т. п. Напротив, большие алгебры обычно имеют экспоненциальный рост, и потому неразличимы с точки зрения этого инварианта; одно из новых направлений, разрабатываемых здесь — изучение другого инварианта, аналогичного размерности Гельфанда-Кириллова и позволяющего различать большие алгебры.

0.2.2 Некоммутативные полные пересечения и комплекс Шафаревича

Поскольку ряд Гильберта определяется порождающими и соотношениями алгебры, возникает естественный вопрос о том, как ведет себя ряд Гильберта связной алгебры i? при факторизации, т. е. при добавлении новых соотношений. Пусть J<R — однородный собственный двусторонний идеал, минимальным образом порожденный некоторым множеством однородных элементов а С R, и А = R/J. Положим С — А * к(сё), где к{а) — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством переменных а, равномощным множеству а, причем этим новым переменным присвоены степени, равные степеням соответствующих элементов из а. Очевидно, имеет место неравенство рядов Гильберта

C(z) > R(z). (1)

Те множества а, для которых выполняется равенство, называются сильно свободными [25], или инертными [68, 29]: они являются некоммутативными аналогами хорошо известных в коммутативной алгебре регулярных последовательностей.

В частности, если R =~F — свободная алгебра, порожденная конечным множеством х, то gl. dim Л = 2 в том и только в том случае, когда а сильно свободно в F. Это равносильно тому, что неравенство Голода-Шафаревича [12] . -

A(z)(l-x{z) + a{z))>l ' (2) обращается в равенство, где для любого дискретного множества однородных элементов Y (в частности, х или а) через Y(z) обозначается производящая функция YlV€Yzdesy- В коммутативном случае подобное равенство характеризует полные пересечения [3, 95], так что алгебры глобальной размерности 2 можно рассматривать как некоммутативные полные пересечения.

Отметим, что обычно теорему Голода-Шафаревича приводят в несколько иной формулировке [12, 9]: если ряд W(z) = 1/(1 - x{z) + a{z)) имеет неотрицательные коэффициенты, то выполняется покоэффициентное неравенство A(z) > W(z), и алгебра R бесконечномерна. Как будет показано ниже, с помощью теоремы Голода-Шафаревича удается построить примеры только больших бесконечномерных алгебр, т. к. рост алгебры А оказывается экспоненциальным.

Одним из важных инструментов в коммутативной гомологической алгебре является комплекс Козюля. В частности, в терминах комплекса Козюля и его гомологий можно определить регулярные последовательности и полные пересечения, горенштейновы кольца, кольца Голода и др. Некоммутативным аналогом этого комплекса служит комплекс Шафаревича [12, 9, 25, 10, И, 104]) (он появился в [12], термин предложен Е.С. Голодом [64]).

Введем на свободном произведении sh := R * к (а) дополнительную градуировку, равной единице на новых переменных и нулю на R, и дифференцирование, нулевое на Л и переводящее новые порождающие а* в соответствующие элементы а* множества а С R (на остальные элементы алгебры-дифференцирование распространяется по формуле Лейбница). Тогда алгебра sh = sh(a, R) становится дифференциально градуированной: ее гомологии вычисляются относительно новой градуировки и обозначаются как Hi(a,R). Так, простейший комплекс Шафаревичаsh(l, R) — это (неаугментированная) бар-конструкция алгебры R.

Комплекс sh(o:, R) ацикличен в положительных степенях (равносильно, в первой степени) тогда и только тогда, когда множество а сильно свободно [25]. В частности, при R = F условие gl. dim Л = 2 эквивалентно тому, что алгебра Я*(a, F) изоморфна А: этот критерий также аналогичен коммутативному критерию полных пересечений [3]. В общем случае можно утверждать лишь, что алгебра гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры Я*(a, F) -порождается элементами нулевого и первого модуля гомологий [11].

Один из вопросов, в связи с развитием этой теории, состоит в том, чтобы охарактеризовать другие классы алгебр в терминах гомологий комплекса Шафаревича.

Отметим, что версия комплекса Шафаревича для супералгебр Ли широко используется (без упоминания этого термина) в теории рациональных гомо-топий [57] — поскольку минимальная свободная модель для (дифференциально) градуированной алгебры"Ли представляет собой итерированный комплекс

Шафаревича. Комплекс Шафаревича определяется при этом так же, как в ассоциативном случае, но вместо свободных ассоциативных алгебр берутся свободные супералгебры Ли, а добавленные переменные й; имеют четность, противоположную четности соответствующих элементов щ. Сильно свободные множества в алгебрах Ли (они называются инертными) изучались в [68]: в частности, оказалось, что однородное подмножество в градуированной супералгебре Ли инертно (т. е. соответствующий комплекс Шафаревича ацикличен в положительных степенях) тогда и только тогда, когда образ этого множества в универсально обертывающей алгебре — сильно свободное множество в ассоциативном смысле.

0.2.3 Козюлевы алгебры

Здесь мы рассмотрим один из самых известных классов квадратичных алгебр, который задает важный мост между гомологической и комбинаторной теориями — так называемые козюлевы алгебры.

Если М — Z-градуированный модуль над связной градуированной алгеброй R, то минимальную свободную резольвенту этого модуля F : . F2 -> Fi -> F0 М -> 0 можно выбрать так, что все свободные Л-модули F{ в ней также будут градуированными. Минимальное градуированное пространство порождающих модуля Fi мы будем обозначать через Щ(М): получаем естественные изоморфизмы Щ(М) = Torf(M, к), где тривиальный левый Я-модуль к сосредоточен в нулевой градуировочной компоненте. Из минимальности резольвенты следует, что если наименьшая из степеней порождающих модуля М-равна d, то каждый модуль Fi порождается в степенях не ниже d-{-i, так что Hi(M)j = 0 при j < г + d. Резольвента F называется линейной, если выполняется также условие Hi(M)j = 0 при j > г + d, т. е.-когда i-я гомология Н{(М) сосредоточена, как градуированное пространство, в г-й градуировочной компоненте.

Стандартная (т. е. порожденная в первой" степени) ассоциативная алгебра -R над полем к называется козюлевой1, если к как Я-модуль обладает линейной свободной резольвентой. Я-модуль Mr называется козюлевым, если он также обладает линейной свободной резольвентой.

1В русской литературе также встречается название кошулева алгебра, происходящее от другой транскрипции фамилии французского математика Ж. Л. Козюля (J. L. Koszul).

Широко известно эмпирическое наблюдение, что все квадратичные алгебры, естественным образом возникающие в алгебраической геометрии, коммутативной или некоммутативной, — козюлевы. Основные ссылки по теории козюлевых алгебр — это [82, 77, 38], обзор теории можно найти в [84]. Например, любое квадратичное (не)коммутативное полное пересечение козюлево. Квадратичная алгебра с общими соотношениями козюлева тогда и только тогда, когда она является либо некоммутативным полным пересечением, либо двойственной к нему алгеброй.

Для квадратичной алгебры R ее квадратичная двойственной алгебра определяется как диагональная подалгебра В: = ®{ЕхЬг£(к,к) в алгебре Енеды ExtR(kR,kR): если V = R\ — пространство порождающих алгебры R, a S С V <8> V — пространство соотношений, то В/ порождается двойственным пространством V*, а ее соотношения — аннулятор R1 С V*<S>V* пространства 5 [82]. Из двойственности линейных пространств ExtlR(kR, кц) — Torf (М, к)* получаем, что козюлева алгебра R характеризуется тем свойством, что ее алгебра Енеды Extсовпадает с двойственной алгеброй R'} [82]. По крайней мере в нетеровом случае, производные категории конечных модулей над двойственными козюлевыми алгебрами эквивалентны [42]. Этот факт (■козюлева двойственность) имеет ряд глубоких обобщений, в том числе на неквадратичные алгебры (см. [84]) и на многообразия алгебр с несколькими бинарными операциями [63].

Изучаются также разнообразные специальные классы козюлевых алгебр. Первый из таких классов составляют алгебры с квадратичным базисом Греб-нера (в том числе мономиальные квадратичные алгебры), которые называются также алгебрами Пуанкаре-Биркгофа-Витта (PBW-алгебры) [82]. Так называемые Я-матричные "алгебры тесно связаны с теоретико-множественными решениями квантового уравнения Янга-Бакстера [13, 51]'; в этом классе, в частности, содержатся интересные примеры биномиальных алгебр, регулярных по Артину-Шелтеру [59]. Само условие козюлевости можно усилить, потребовав, чтобы какие-либо естественные модули над данной козюлевой алгеброй также были козюлевыми. Так, в последние годы активно изучаются коммутативные алгебры с так называемыми козюлевыми фильтрациями [49, 50, 43, 46, 47], о которых речь пойдет ниже в разделе 4.2.

Одна из самых интересных проблем в теории козюлевых алгебр — это проблема описания их рядов Гильберта. Эйлерова характеристика минимальной свободной резольвенты тривиального модуля дает следующее соотношение между рядами Гильберта (соотношение Фроберга):

R{z)B:{—z) = 1.

В частности, все коэффициенты ряда R(—z)~l неотрицательны. Долгое время оставался открытым вопрос: следует ли из соотношения (4.1), что данная квадратичная алгебра R козюлева? Отрицательный ответ был получен независимо JI. Посицельским [17] и Я.-Э. Русом [89] (при этом у JI. Е. Поси-цельского контрпримером служит конечномерная алгебра, а у Я.-Э. Руса — коммутативная). В этой связи возник новый вопрос [17]: можно ли по рядам Гильберта алгебр А и А1 определить, является ли А козюлевой? Оказалось, что ответ на этот вопрос также отрицателен: соответствующие примеры будут построены в разделе 4.1.

Еще один эффективный результат в этом направлении принадлежит А. Полищуку и JI. Посицельскому [84]: для любого данного целого п множество всех рядов Гильберта n-порожденных козюлевых алгебр конечно (этот результат будет нами обобщен в разделе 2.3). Они же высказали естественную гипотезу: ряд Гильберта любой козюлевой алгебры — рациональная функция. По [5], это верно для мономиальных алгебр (а следовательно, и для PBW-алгебр). Согласно [38, 19] (см. также [21])г гипотеза верна и для квадратичных алгебр с не более чем двумя соотношениями. Как показано в [51], /^-матричные алгебры Гекке также имеют рациональные ряды Гильберта (то, что такие алгебры козюлевы, доказано также в [98]).

0.3 Общий план работы

В настоящей работе изучаются общие методы, которые пригодны для изучения всех доступных алгебр, малых и большйх. Особое внимание при этом уделяется алгоритмическим вопросам и изучению рядов Гильберта.

Диссертация состоит из четырех глав. В главе 1 изучаются так называемые сильно свободные (или инертные) множества — аналоги в большйх алгебрах регулярных последовательностей, которые давно применяются в коммутативной алгебре и при исследовании PI колец. В "явном виде сильно свободные множества появились в работе Д. Аника [25], их история восходит-к статье-Е. С. Голода и И. Р. Шафаревича [12], поскольку им соответствует случай равенства в известном неравенстве Голода-Шафаревича. Некоммутативные полные пересечения при этом — алгебры с сильно свободным множеством соотношений — оказываются алгебрами глобальной размерности не выше двух. Важным инструментом при исследовании таких множеств является введенной в той же работе комплекс Шафаревича — дифференциально градуированное расширение алгебры, который в случае некоммутативного полного пересечения становится минимальной ДГ моделью алгебры. Мы показываем связь теоремы Голода-Шафаревича с оценками В. Е. Говорова [4] на количество соотношений алгебры (а в следующей главе и обобщаем одну из этих оценок), изучаем алгебру гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры, и,, как следствие, получаем новые характе-ризации алгебр глобальной размерности 3. Итоговая теорема выглядит так:

Теорема 0.1 (теорема 1.17). Пусть А — факторалгебра конечно порожденной свободной алгебры F по идеалу I, минимальным образом порожденному множеством f, ф' С kf ® F С sh(/, F) — некоторое множество циклов в sh(/, F), минимальным образом порождающее бимодуль гомологий H\(f,F). Предположим, что gl. dim А > 3. Тогда следующие условия эквивалентны: i) gl. dim А — 3;. ii) gl. dimF = 3, где F — градуированная алгебра, ассоциированная с I-адической фильтрацией на F;

Ш) образ ф множества ф' в A(f) — сильно свободное множество; iv) для идеалов I и J, порожденных множествами f и ф' в F(f), имеем

П J = 71+ Л; v)H*(f,F)~A(H3(A)); vi) А-алгебра H*(f,F) свободна; vii) Правый А-модуль Hi(f,F)/A+Hi(f,F) свободен.

Для этого используются два результата о том, как ведут себя сильно свободные множества при переходе к подалгебрам и факторалгебрам: они доказываются в разделе 1.5. Кроме того, описываются соотношения и гомологии еще одного расширения произвольной алгебры А — алгебры F = F/I ф I/I2 ф ., ассоциированной с /-адической фильтрацией на свободной алгебре F, где А = F/I. Вторая (/-адйческая) градуировка на F задается как F(i) — Il-/Il+l. В этих обозначениях, имеет место

Теорема 0.2 (теорема 1.9). Пусть А — ядро естественного отображения: а) Двустор-онний идеал Д порождается множеством ф, то есть F ~ —A{f)/ id{ф), где ф — то же, что и теореме 0.1, (Ш). б) Умножение в F задает изоморфизм А-бимодулей F^ <g> F^ —>

А — для любых i,j > 0. в) Справедливы изоморфизлш градуированных пространств H0(F) = к, Hi(F) » Щ(А) 0 Hi+1(A) при % > 1. В частности, gl. dimF = gl. dim А.

В последнем в этой главе разделе 1.7 наши результаты об алгебре гомоло-гий комплекса Шафаревича переносятся на случай супералгебр Ли: сделать это несложно, поскольку функторы взятия универсальной обертывающей и перехода к примитивным элементам суперкокоммутативной алгебры Хопфа переводят лиев и ассоциативный комплексы Шафаревича друг в друга.

В главе 2 исследуются вопросы, связанные с рядами Гильберта и ростом градуированных алгебр. Для малых алгебр важным инструментом является размерность Гельфанда-Кириллова, т. е. степень полиномиального роста. Большие алгебры обычно имеют экспоненциальный рост, поэтому с точки зрения обычного понятия роста они неразличимы. В разделе 2.1 вводится частичная замена размерности Гельфанда-Кириллова для градуированных алгебр экспоненциального роста — так называемая экспонента роста (в работе [81] аналогичная величина была также названа энтропией алгебры А). Для алгебры А с рядом Гильберта A(z) = Yli aizl она определяется как величина, обратная к радиусу сходимости г (А) ряда A(z), т. е., р(А) = r{A)~l = inf{g > 01 Бс-> 0 Vn > 0 ап < cqn} = limsup

П—+00

Отметим, что аналогичная величина — экспонента роста — широко используется при изучении многообразий PI-алгебр: она определяется как экспонента роста ряда коразмерностей многообразия (см., напр., [21]), т. е. экспонента роста производящего отображения соответствующей операды [63, 80]. Так, как показали М.В. Зайцев и А. Жиамбруно, для многообразий ассоциативных алгебр верхний предел в определении экспоненты можно заменить на обычный (как и для экспонент роста ассоциативных алгебр, порожденных элементами первой степени, см. [81]), причем эта экспонента всегда целочисленна [60, 61].

Чтобы применять ее, подобно размерности Гельфанда-Кириллова, в индукционных рассуждениях цри изучении градуированных алгебр, важно знать, при каких условиях экспонента роста уменьшается при факторизации. Первый шаг в этом направлении сделан в параграфе 2.1.1, в котором вводятся и исследуются так называемые экстремальные алгебры — такие, что любая их нетривиальная факторизация строго уменьшает экспоненту. В [4] было показано, что этим свойством обладает свободная алгебра (так что экспонента роста любой не свободной алгебры строго меньше количествалорождающих). Это утверждение усиливается следующим образом.

Теорема 0.3 (теорема 2.7, следствие 2.9, предложение 2.14). Пусть А, В — конечно порожденные нетривиальные связные алгебры. a) Свободное произведение А* В — экстремальная алгебра. b) Если алгебра А содержит сильно свободное множество, то она экстремальна. c) Любая квадратичная алгебра с единственным определяющим соотношением и не меньше чем тремя порождающими экстремальна.

Свойства экстремальности используются далее, когда мы даем упомянутые выше оценки на количества соотношений алгебр:

Теорема 0.4 (теорема 2.11). Пусть А — градуированная алгебра, В — ее факторалгебра по идеалу, минимальным образом порожденная некоторым множеством S, С = B{S), и г(Л) = р(Л)-1 — радиус сходимости ряда A(z). Тогда выполняется числовое неравенство

B{r{A))S{r{A)) > 1, причем следующие условия эквивалентны: i) это неравенство обращается в равенство; (и) г (А) = Г (С); in) множество S С-А сильно свободно.

В частном случае, когда алгебра А свободна, а множество S состоит из элементов одной и той же степени d, эта оценка была доказана В. Е. Говоровым [4]. Затем даются асимптотическая версия теоремы теоремы Голода-Шафаревича и частичная характеризация некоммутативных полных пересечений в терминах экспоненты роста (параграф 2.1.3).

Для многообразий ассоциативных алгебр, заданных конечным числом тождеств, существует эффективный алгоритм вычисления экспоненты [62]. Напротив, как будет показано в параграфе 2.1.4, не существует алгоритма, который бы для любой конечно определенной алгебры проверял, равна ли ее экспонента роста р(А) данному натуральному числу q — даже при условии, что заведомо выполняется неравенство р{А) > q. В частности, алгоритмически неразрешим вопрос о том,, принадлежит ли экспонента роста данной квадратичной алгебры данному интервалу или отрезку.

В разделе 2.2 исследуется вопрос о росте нетеровых колец. Как было показано в [97], градуированные нетеровы алгебры имеют субэкспоненциальный рост. Мы даем следующее обобщение этой теоремы.

Теорема 0.5 (теорема 2.26). Пусть R — нетерово справа кольцо с убывающей Z-фильтрацией

R = R-q > • • • > R0 > Ri > . такое, что ассоциированное градуированное кольцоR := gr R является алгеброй над некоторым полем к с конечномерными градуировочными компонентами. Тогда gr R имеет субэкспоненциальный рост.

Отметим, что вопрос о том, будет ли рост всегда полиномиальным, открыт даже в градуированном случае, и что он связан с известными гипотезами в теории (про-)р-групп [109].

В следующем разделе 2.3.2 доказывается одно из ключевых утверждений этой работы — следующая

Теорема 0.6 (теорема 2.29). Пусть п,а,Ь,с — натуральные числа. Обо- значим через D(n,a,b,c) множество связных алгебр А с не более чем п порождающими, у которых т\(А) < a,1712(A) <Ь и т$(А) < с. Тогда множество всевозможных рядов Гильберта алгебр из D(n, а, Ь, с) конечно.

Здесь rrii(A) = sup{j\Toif(k,k)j ± 0} (если Torf(k,k) = 0, положим rrii(A) = 0); в частности, т\(А) — точная верхняя оценка на степени порождающих алгебры А, а Ш2(А) — точная оценка на степени ее соотношений. Например, алгебра А козюлева тогда и только тогда, когда rrii(A) < г для всех г > 0.

Теорема 0.6 означает, что конечно множество всевозможных рядов Гильберта таких алгебр, у которых некоторыми константами ограничены количество порождающих, степени порождающих, соотношений и соотношений между соотношениями (т. е. элементов векторного пространства Т0Г3 (к, к)). Отметим, что дополнительное ограничение dim Тог$(к,к) < оо (оно обсуждается в параграфе 2.3.1) достаточно слабо: оно выполняется, в частности, для нетеровых, когерентных, козюлевых -алгебр и многих универсальных обертывающих градуированных алгебр Ли (см., например, [22, 3.2.2]). Аналогичное утверждение справедливо и для модулей (предложение 2.31). В частности, удается выделить еще одно условие конечности, которое выполняется для всех конечно определенных алгебр.

Следствие 0.7 (следствие 2.33,(Ь)). Пусть D — натуральное число, R — связная конечно определенная алгебра. Тогда множество рядов Гильберта правых идеалов в R, у которых минимальные порождающие и соотношения имеют степени не выше D, конечно.

Первое применение этих результатов дано в следующем разделе 2.4. Здесь обсуждается следующий вопрос: для каких алгебр (или модулей) Q функция Гильберта /г<з(п) := dimQn является периодической последовательностью? Очевидным достаточным условием является ограниченность последовательности /ig(n), т. е. что GK-dimQ <1 (такие алгебры и модули называются алгебрами медленного, или линейного, роста). Для таких алгебр и модулей периодичность равносильна рациональности ряда Гильберта. Нетрудно, однако, привести пример алгебры с единичной размерностью Гельфанда-Кириллова и непериодической функцией Гильберта. Следующее утверждение показывает, что в ряде случаев все же необходимое условие GK-dimQ < 1 является достаточным.

Теорема 0.8 (теорема 2.37). Пусть М — конечно определенный градуированный модуль над связной конечно определенной алгеброй А. Предположим, что GK-dimM < 1, и что выполняется хотя бы одно из следующих условий: a) поле к конечно; b) векторные пространства Tor^iM, к) и ТоГз(к,к) конечномерны (например, это всегда так, если алгебра А нетерова или когерентна)'.

Тогда ряд Гильберта M{z) рационален, т. е. функция Гильберта /м(п) = dimMn периодична.

Гипотеза состоит в том, что любая конечно определенная алгебра линейного роста имеет периодическую функцию Гильберта. Она следовала бы из гипотезы В. А. Уфнаровского [21, 5.10] о том, что все конечно определенные алгебры линейного роста автоматны. Пока удается доказать нашу гипотезу в следующих случаях.

Следствие 0.9 (следствие 2.38). Пусть А — конечно порожденная алгебра единичной размерности Гельфанда-Кириллова. Предположим, что А удовлетворяет одному из следующих свойств: г) (слабо) нетерова;

И) (полу)первична; '

Ш) когерентна; . . iv) конечно определенная над конечным полем; v) козюлева; vi) конечного рэйта (в смысле Бакелина).

Тогда функция Гильберта алгебры А периодична.

Глава 3 посвящена решению линейных уравнений над градуированными алгебрами. Пусть R — связная алгебра. Рассмотрим линейное уравнение а\Х\ Л-----f- апхп = 0 (3) над R, где а\,. ,а„ — однородные элементы из R или из (свободного) R-модуля М, а х\,., хп — переменные. При каких условиях и как можно решить это уравнение, и как описать решения?

Для общей конечно порожденной алгебры R не существует алгоритма, проверяющего хотя бы, существует ли решение (по крайней мере в неоднородном случае для свободного модуля М, см. [18]; см. также параграф 2.3.1). Кроме того, множество решений Q может быть бесконечно порожденным как подмодуль в свободном модуле Rn (например, над алгеброй F <g> F, где F — свободная ассоциативная алгебра с достаточно большим количеством-порождающих). Поэтому представляется разумным ограничить рассматриваемый класс алгебр такими из них, для которых модуль решений любого уравнения вида (3) конечно порожден. Такие алгебры называются когерентными (справа) [3, 56]: этот класс включает все нетеровы алгебры, свободные ассоциативные алгебры, и множество других примеров. Тем не менее, условия когерентности недостаточно, чтобы найти все порождающие модуля Q: можно вычислять порождающие элементы один за другим, но когда следует остановиться?

Если R — коммутативная алгебра, то существует простой (хотя и не самый эффективный) метод нахождения порождающих модуля Q. Как было установлено Херманн [69] еще в 1926 г., существует функция Dr : N —► N такая, что П порождается элементами степени не выше Dr(cI), если все коэффициенты a,i имеют степени не выше d. Таким образом, для нахождения всех решений уравнения достаточно найти решения в конечномерном векторном пространстве R<DR(d)'- это стандартное упражнение по линейной алгебре.

Основной объект главы 3 — некоммутативные алгебры R, ^допускающие такую же функцию Д?(б?). Они были введены автором в [110] под называнием эффективно когерентных алгебр. Над вычислимым полем это условие равносильно тому, что в такой алгебре существует эффективный алгоритм нахождения базиса модуля решений любого уравнения вида (3) — в'том смысле, -что существуют такие функции агд(п) и Pr{ti), что если условие этой задачи (список коэффициентов уравнения) занимает не болееп единиц информации, то времяработы алгоритма и длина ответа задачи ограничены функциями ад(п) и (3R{n).

Аналогичное понятие для коммутативных (не)градуированных алгебр было введено Сублиным [91]. Коммутативное кольцо R называется равномерно когерентным (uniform coherent), если существует такая функция Ar : N —► N, что Q порождается не более чем Дд(п) элементами. Как было показано в [65], аффинное или локальное нетерово коммутативное кольцо равномерно когерентно тогда и только тогда, когда его размерность не превосходит 2.

К счастью, наш градуированный аналог этого понятия оказался более распространенным. Так, эффективно когерентными оказываются свободные ассоциативные алгебры и конечно определенные мономиальные алгебры. Каждая когерентная алгебра над конечным полем к эффективно когерентна; тем не менее, если к содержит хотя бы два алгебраически независимых элемента или имеет нулевую характеристику, то существуют нетеровы, но не эффективно когерентные к-алгебры. Кроме того, как мы увидим в параграфе 3.2.2, почти все общие свойства когерентных алгебр переносятся-на эффективно когерентные алгебры. В ластности, любой конечно определенный градуированный модуль М над такой алгеброй также эффективно когерентен, т. е. существует аналогичная функция Dm(cI), ограничивающая степени порождающих в случае линейного уравнения (3) над М. Это означает, что однородные линейные уравнения над такими модулями также эффективно разрешимы.

В параграфе 3.2.3 мы покажем, что один из самых общих классов колец, появляющихся, в некоммутативной проективной алгебраической геометрии, так называемые сильно нетеровы алгебры [35] над алгебраически замкнутыми полями, эффективно когерентны. (Алгебра R называется сильно нетеро-вой (справа), если кольцо R® С нетерово справа для любой коммутативной (неградуированной) нетеровой fc-алгебры С). Класс сильно нетеровых алгебр включает, например, алгебры Склянина, нетеровы PI алгебры (в частности, стандартные нетеровы полугрупповые алгебры полиномиального роста [58, Theorem 3.1]), нетеровы области размерности Гельфанда-Кириллова 2 и трехмерные регулярные по Артину-Шелтеру алгебры [35].

В том же параграфе 3.2.3 вводится еще несколько условий эффективности для связных" градуированных алгебр и модулей над ними. В частности, конечно порожденный градуированный модуль М над связной градуированной алгеброй А называется эффективным для рядов^соответственно, эффективным для порождающих}если для любого натурального d существует лишь конечное число возможностей для рядов Гильберта подмодулей в М, порожденных в степени не выше d (соответственно, для формального степенного ряда h(z) существует такое d > 0,. что каждый конечно порожденный под^-модуль в М, имеющий ряд Гильберта h(z), порождается в степенях не выше d). Алгебра называется эффективной для рядов или порождающих, если любой конечно представимый модуль над ней таков. В этих обозначениях имеет место

Теорема 0.10 (теорема 3.17, следствие 3.19). Пусть А — связная градуированная алгебра. Рассмотрим следующие свойства:

SN) А — сильно нетерова алгебра над алгебраически замкнутым полем;

ES+EG) А когерентна и эффективна как для рядов, так и для порождающих;

ЕС) А эффективно когерентна;

ES) А эффективна для рядов.

Тогда справедливы импликации:

SN) (ES + EG) (ЕС) (ES)

Эффективная когерентность сильно нетеровых алгебр означает, практически, что возможна эффективная (компьютерная) некоммутативная проективная геометрия. По крайней мере, в ней существуют алгоритмы вычисления аннуляторов и базисов решений однородных линейных уравнений, поскольку "кольца проективной некоммутативной алгебраической геометрии" обычно сильно нетеровы, и вычисления проективных резольвент конечно порожденных модулей, поскольку такие кольца имеют часто конечную проективную размерность [73].

Отметим, что наиболее эффективный современный метод решения уравнений вида (3) основаны на теории базисов Гребнера [14, 102, 66, 106]. Пусть / — подмодуль в М, порожденный коэффициентами а\,., ап. В этом методе мы можем вычислить базис Гребнера соотношений алгебры R, соотношений модуля М и-порождающих подмодуля / вплоть до'степени D{d), и найти затем все соотношения до степени D(d) между построенными элементами базиса Гребнера подмодуля I, снова используя теорию базисов Гребнера. При этом построение последнего базиса Гребнера подмодуля / можно представить как обычное вычисление базиса Гребнера идеала в алгебре, поскольку I является идеалом в алгебре тривиального расширения R! = М ® R. Последнее вычисление эквивалентно отысканию двустороннего базиса Гребнера соотношений большего тривиального расширения R'/I ф R' (описанию подобного трюка посвящена работа [71]).

Функция Dr{(1) для коммутативного кольца многочленов ^'растет как двойная экспонента, поэтому нельзя надеяться, что для широкого класса некоммутативных алгебр R рост функции Dr(cI) будет медленным. Тем не менее, оказывается, что существуют все же йнтересныё классы колец с линейным ростом Dr(cI). Они изучаются в разделе 3.3. Назовем алгебру универсально когерентной, если D(d) < 2d для всех d 0. Мы изучаем этот класс алгебр вместе с более широким классом так называемых алгебр с когерентными семействами идеалов. По определению 3.23, множествоF конечно порожденных правых идеалов из конечно порожденной алгебры R называется когерентным, если нулевой идеал и максимальный однородный идеал R принадлежат F, и для любого 0 ф I G F существуют идеал I ф J £ F и однородный элемент х G I такие, что I = J + xR и идеал N = (х : J) := {а е R\xa 6 J} принадлежит F.

Название происходит из следующего несложного утверждения.

Предложение 0.11 (предложение 3.24). Для связной алгебры R следующие два утверждения эквивалентны: г) R проективно когерентна; и) совокупность всех конечно порожденных правых идеалов eR составляет когерентное семейство.

В общем случае когерентное семейство можно рассматривать как своего рода "островок когерентности" в некогерентной алгебре: по крайней мере, каждый идеал из когерентного семейства обладает свободной резольвентой конечного типа (предложение 3.25). Особенно интересны такие когерентные семейства, что степени порождающих принадлежащих им идеалам ограничены в совокупности: такие семейства (мы называем их семействами конечной степени) есть, например, в универсально когерентных алгебрах.

Для градуированного Д-модуля М обозначим через т{М) = гпо(М) наибольшую из степеней его порождающих, а через т*(М) = т(Щ(М)) — наибольшая из степеней г'-го пространства его гомологий Щ(М) = Torf (М, к).

Теорема 0.12 (предложения 3.25 и 3.26, теорема 3.27). Пусть F — когерентное семейство конечной степени d в связной алгебре R. а) Для любых i > 1 и I G F rrii(I) < т{1) + di.

В частности, m,i{R) < mi(R) -F1 + d(i — 1) при г > 2. б) Множество рядов Гильберта идеалов I G F конечно. в) Ряды Гильберта алгебры R и всех идеалов I 6 F — рациональные функции.

Из этой теоремы следует критерий универсально когерентных алгебр: эквивалентное универсальной когерентности условие состоит в том, что для любого d > 0 все идеалы, порожденные в степенях < d, составляют когерентное семейство (следствие 3.29).

Свободные ассоциативные алгебры универсально когерентны, как и конечно определенные мономиальные алгебры и введенные в работе автора [106] алгебры с г-переработкой, рассматриваемые в разделе 3.4: это такие алгебры с конечным базисом Гребнера, что нормальную форму произведения двух нормальных одночленов можно вычислить путем ограниченного, количества редукций их произведения в свободной алгебре. Точное определение звучит так: предположим, что на мономах от порождающих конечно порожденной алгебры А задан нетеров согласованный с умножением порядок, так что элементы алгебры можно отождествлять с их нормальными формами, а умножение в алгебре задавать как полную редукцию произведения соответствующих нормальных форм (обозначим такую операцию звездочкой). Тогда при г > 0 назовем А алгеброй с (правой) г-переработкой, если для любых нормальных одночленов p,q € А таких, что q = qiq2, lengi > R, выполняется равенство р * q =■ (р * qi)q2, где последнее произведение понимается как произведение в свободной алгебре. Отметим, что здесь мы не предполагаем, что алгебра Л градуированная.

Основное комбинаторное свойство алгебры с r-переработкой состоит в том, что любой правый идеал I в ней имеет конечный базис Гребнера: в случае лексикографически-степенного порядка он состоит из элементов степени не выше d + r (теорема 3.38), где d = т(1) — наибольшая из степеней порождающих. Основное алгебраическое свойство таких алгебр дает

Теорема 0.13 (предложение 3.43, теорема 3.44). Пусть идеал правый I в алгебре г-переработкой А относительно лексикографически-степенного порядка на мономах порождается (не обязательно однородными) элементами степени не выше d. Тогда модуль соотношений между этими элементами (т.е. модуль сизигий идеала I) порождается в степени не выше d + 2R-l.

В частности, алгебра А когерентна (в неградуированном смысле), а если она градуированная, то~и универсально когерентна.

В частности, в таких алгебрах существуют алгоритмы решений любых линейных уравнений.

Примером алгебры с r-переработкой может служить любая конечно определенная мономиальная алгебра: она, таким образом, когерентна и даже универсально когерентна. Отметим, что для мономиальных алгебр (не только конечно определенных, но и автоматных) другой алгоритм распознавания делителей нуля был дан в [2]. Алгебры с О-переработкой — это в точности свободные алгебры. Алгебры с 1-переработкой рассматривались Н. К. Иы-уду [14]. Класс алгебр с r-переработкой включает как градуированные, так и неградуированные алгебры, для которых работают те же методы и оценки для построения базисов Гребнера и вычисления базисов решений уравнений. Приблизительное место градуированных алгебр с r-переработкой как конструктивного варианта универсально когерентных алгебр показано в таблице^

Основной класс алгебр Конструктивный вариант

Козюлевы Конечного рэйта Универсально когерентные PBW (с квадратичным базисом Гребнера) Стандартно конечно определенные С г-переработкой

Глава 4 посвящена козюлевым алгебрам.

В разделе 4.1 мы даем отрицательный ответ на следующий вопрос из [17]: можно ли по рядам Гильберта алгебр А и А1 определить, является ли А козюлевой? А именно, доказывается

Теорема 0.14 (теорема 4.6, предложение 4.8). Над любым полем к существуют две такие квадратичные алгебры А и А', что выполняются равенства

A(z) = A'(z),Aliz) = An(z), причем алгебра А! козюлева (и даже мономиалъная), а алгебра А не козю-лева.

Далее появится еще один класс алгебр — алгебры с козюлевыми фильтрациями — которые имеют рациональный ряд Гильберта. Козюлевы фильтрации — это когерентные семейства, в которых все ненулевые идеалы порождены линейными формами, так что рациональность следует из теоремы 3.27. Это понятие было введено для коммутативных алгебр и изучалось в ряде работ [49, 50, 43, 46, 47]; некоммутативная версия этого понятия введена и изучалась в работе автора [111]. -В частности, любое координатное кольцо алгебраический кривой допускает козюлеву фильтрацию, если только оно квадратично. В разделе 4.2 свойства козюлевых фильтраций обобщаются на некоммутативный случай. В частности, взаимосвязи между различными классами козюлевых алгебр показаны на диаграмме (стрелки означают включения классов, т. е. импликации свойств): алгебры с козюлевыми алгебры с у фильтрациями \ изначально козюлевы козюлевыми " козюлевы алгебры флагами \ PBW- у алгебры алгебры

Здесь козюлевым флагом в алгебре R называется цепочка козюлевых (как модулей) идеалов

О С xiR С xiR + x2R С • • • С xiR Н-----b xsR = R, где {xi,. ,£s} — базис пространства R\: например, каждая козюлева фильтрация содержит козюлев флаг, поскольку каждый идеал в козюлевой фильтрации — козюлев модуль. Тот факт, что каждая PBW-алгебра содержит козюлев флаг, составляет содержание теоремы 4.10. Изначально козюлевыми - называются алгебры, в которых есть козюлев флаг, одновременно являющийся и козюлевой фильтрацией (он называется флагом Гребнера): классификация таких алгебр дана в следующей теореме.

Теорема 0.15 (теорема 4.16). Пусть R — стандартная алгебра, порожденная линейными формами xi,.,xn. Тогда следующие условия эквивалентны: г) R изначально козюлева с флагом Грёбнера (х\,. ,хп); (ii) R является PBW-алгеброй относительно лексикографически-степенного порядка с х 1 < ■ • • < хп, и старшие мономы элементов базиса Грёбнера G идеала соотношений обладают следующим свойством: если XkXj G lm G, то XkXi £ lm G для всех i < j;

Hi) мономиальная алгебра R' = F/ id{lm G) изначально козюлева с тем же флагом Грёбнера.

Коммутативные изначально козюлевы алгебры допускают аналогичное описание в терминах коммутативных квадратичных базисов Гребнера [43].

Отметим, что PBW-алгебры не всегда обладают козюлевыми фильтрациями (даже если ограничиться рассмотрением коммутативных алгебр): это следует из [49, Section 3]). . —

Последний раздел 4.3 посвящен козюлевым свойствам квадратичных алгебр с общими соотношениями. Пусть количество порождающих равно n, а количество соотношений — г. Такие алгебры исследовались в работе Д. Аника [30]. Там показано, что такая алгебра козюлева тогда и только тогда, когда либо г < п2/4, либо г > Зп2/4 (это, кстати, иллюстрирует нашу классификацию из раздела 0.1). При г < п2/2 всегда Ri = 0 при г > 3, но в общем случае неизвестно даже, при каких n, г такая алгебра будет конечномерной. Имеется, однако, гипотеза о рядах Гильберта таких алгебр R: она состоит в том, что R(z) = |(1 — nz + rz2)~l| (здесь для формального степенного ряда P(z) через \P(z)\ обозначается ряд или многочлен, полученный из P(z) путем обнуления всех его коэффициентов, начиная с первого отрицательного). Оценка снизу верна всегда, а равенство — по крайней мере при г < п2/2 или г > Зп2/4 и при малых значениях п,г.

Результат параграфа 4.3.1 состоит в том, что эту гипотезу можно эквивалентно лереформулировать в терминах козюлевых свойств. По определению, алгебра козюлева, если H{(k)j = 0 при г < j\ следуя [17], назовем алгебру m-козюлевой, если равенство Hi(k)j = 0 выполняется при всех г < j < т. Тогда упомянутая гипотеза Аника эквивалентна следующему утверждению: для любого т > 0 любая общая квадратичная алгебра R либо т-козюлева, либо нулевая в степенях > га. Этот факт опирается на следующее утверждение.

Предложение 0.16 (предложение 4.22). Пусть G — квадратичная алгебра с g порождающими и г соотношениями такая, что = 0. Тогда, следующие два условия эквивалентны: i) G(z) = 1/Сг)"1! при f(z) = 1 -gz + rz2;

И) для любого п > 0 либо Gn = 0, либо G является п-козюлевой.

Таким образом, параграф 4.3.1 посвящен вопросу о том, как можно было бы ослабить свойство козюлевости с тем, чтобы оно выполнялось для всех общих квадратичных алгебр. Напротив, в последнем параграфе 4.3.2 обсуждается вопрос о том, когда свойство козюлевости общих алгебр можно усилить. А именно, мы задаемся следующим вопросом: когда общий полный флаг идеалов, порожденных линейными формами, козюлев, и когда он продолжается до козюлевой фильтрации? Оказывается, ответы на оба эти вопросы одинаковы, так как справедлива

Теорема 0.17 (теорема 4.23). Если либо г < п, либо г > п2 — п, то общий линейный флаг Ф козюлев и, более того, является-подмножеством некоторой козюлевой фильтрации^. Если г < п, то фильтрация F может быть выбрана конечной.

Если же п <г < п2 — п, то Ф не является козюлевым флагом, и пот,ому fie может быть частью никакой козюлевой фильтрации.

Это иллюстрирует тот факт, что развитая здесь теория некоммутативных козюлевых фильтраций одинаково применима как к большим, так и к малым квадратичным алгебрам.

0.4 Основные результаты

Основными результатами диссертации можно считать следующие (напомним, что, если не оговорено противное, алгебры считаются связными, модули и идеалы — градуированными и правосторонними).

1) Показано, что конечно определенные мономиальные алгебры и алгебры с ограниченной переработкой когерентны, и дан алгоритм решений линейных уравнений над ними. В частности, для алгебр с ограниченной переработкой дан положительный ответ на вопрос В. Н. Латышева о том, распознаваемы ли алгоритмически делители нуля в стандартно конечно определенных алгебрах.

2) Установлено, что любая (некоммутативная) алгебра с козюлевой фильтрацией имеет рациональный ряд Гильберта. Тем самым, в классе алгебр с козюлевыми фильтрациями подтверждена гипотеза Посицельского-Полищука о том, что козюлевы алгебры имеют рациональный ряд Гильберта.

3) Показано, что если на нетеровом кольце задана такая убывающая фильтрация, что ассоциированное градуированное кольцо является алгеброй над полем, то эта алгебра имеет субэкспоненциальный рост.

4) Доказано, что количество рядов Гильберта алгебр, у которых некоторыми константами ограничены количество порождающих и степени порождающих, соотношений и третьих гомологий, конечно. Как следствие, обнаружен новый класс алгебр с периодической функцией Гильберта.

5) Установлено, что градуированные сильно нетеровы алгебры над алгебраически замкнутым полем эффективно когерентны, т. е. что для таких алгебр всегда существуют эффективные алгоритмы решений линейных уравнений с однородными коэффициентами.

6) Построены примеры, показывающие, что козюлеву алгебру нельзя распознать по рядам Гильберта ее самой и ее квадратично двойственной алгебры. Тем самым-дан ответ на вопрос JL Е. Посицельского [17].

0.5 Апробация

Результаты работы прошли апробацию на семинарах по общей алгебре, по теории колец и компьютерной алгебре, а также по коммутативной алгебре кафедры Высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на семинарах в МИРАН, ИТЭФ, Институте Миттаг-Леффлера (Стокгольм), Лундском университете, университете г. Бильбао (Испания), а также на международных алгебраических конференциях по алгебре в МГУ (1998, 1999, 2000, 2004), на 3-й международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1996) и на Европейском математическом конгрессе (Барселона, 2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [101]-[111], причем из совместной работы [109] в диссертацию включены только те из них, которые получены автором.

0.6 Благодарность

Я рад выразить свою признательность профессору Евгению Соломоновичу Голоду, чьи со.веты на протяжении многих лет помогали мне в работе. Кроме того, я хотел бы поблагодарить А. Я. Канеля-Белова, В. Н. Латышева,

A. В. Михалева, Л. Е. Посицельского, Д. Рогальского, Дж. Т. Стаффорда,

B. А. Уфнаровского, А. Хайкина-Запирайна за полезные обсуждения и замечания.

Обозначения и соглашения

Мы будем называть векторное пространство над основным полем к, ассоциативную fc-алгебру или модуль над ней градуированными, если они Z+-градуированы и конечномерны в каждой компоненте (т. е. градуировка локально конечна). Для такого пространства V (в частности, алгебры или модуля) через V(x) обозначим его ряд Гильберта dim V^o;1; для множества г>0 однородных элементов a 6 V через а(х) обозначим производящую функция множества а: если а содержит di элементов степени i, то а(х) = ^ diX1. г>0

Градуированная алгебра А — Ао ф А\ ф . называется связно градуированной, если ее нулевая компонента Ао одномерна; связная алгебра называется стандартной, если она порождена компонентой А\. Если не оговорено противное, все алгебры ниже предполагаются связными и конечно порожденными, а модули и идеалы — правосторонними и градуированными.

Для модуля М над к-алгеброй А, мы обозначаем через Н{(М) градуированное векторное пространство Torf(M,k). Через Щ{А) обозначается векторное пространство Torf(k,k) = Hi{kA). Зафиксируем еще несколько обозначений:

А* В — свободное произведение ассоциативных алгебр А, В с общей единицей deg а — степень однородного элемента а из градуированного векторного пространства, градуированной алгебры или модуля т(М) — наибольшая из степеней порождающих модуля М т(А) — наибольшая из степеней порождающих алгебры А ггц(М) :=т(Н{М),тщ(А) \=т(ЩА) х — свободная переменная той же степени, что и однородный элемент х некоторого градуированного пространства {xi} := {£<}

1. А.Я. Белов, О рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр, Успехи мат. наук, 52 (1997), 2, с. 153-154

2. А.Я. Белов, В. В. Борисенко, В. Н. Латышев, Мономиальные алгебры, Итоги н. и т., совр. мат. и прил., тематические обзоры, том 26 (Алгебра-4) (1995), с. 35-214

3. Н. Бурбаки. Гомологическая алгебра. М., Наука, 1987

4. В.Е. Говоров, О градуированных алгебрах, Мат. заметки, 12 (1972), 2, с. 197-204

5. В.Е. Говоров, О размерности градуированных алгебр, Мат. заметки, 14, 2, 209-216 (1973)

6. Е.С. Голод, О кольце когомологий конечнойр-группы, Докл. АН СССР, 125 (1959), 4, с. 703-706

7. Е.С. Голод, О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемыхр-группах, Изв. АН СССР, сер. мат., 28 (1964), 2, с. 479-482

8. Е.С. Голод, Стандартные базисы и когомологии 2, Труды МИАН, 208 (1995), с. 106-110

9. Е.С. Голод, Комплекс Шафаревича и его применения, диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук, М., МГУ, 1999

10. Е.С. Голод, Гомологии комплекса Шафаревича и некоммутативные полные пересечения, Фундаментальная и прикладная математика, 5 (1999), 1, с. 85-95

11. Е.С. Голод, Об алгебре гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры, Фундаментальная и прикладная математика, 5 (1999), 1, с. 97-100

12. Е.С. Голод, И.Р. Шафаревич, О башне полей классов, Изв. АН СССР, сер. мат., 28 (1964), 2,"с. 261-272

13. Д.И. Гуревич, Симметрия Гекке и квантовые детерминанты, Доклады АН СССР, 303 (1988), 3, с. 542-546

14. Н.К. Иыуду, Проблема распознавания делителей нуля в одном классе алгебр, Фундаментальная и прикладная математика, 1 (1995), 2, с. 541— 544

15. П. Кон, Свободные кольца и их связи, М., Мир, 1975

16. В.Н. Латышев, Компьютерная алгебра. Стандартные базисы, М., МГУ, 1988

17. Л.Е. Посицельский, Соотношения между рядами Гильберта квадратично двойственных алгебр не влечет их кошулевостц Функциональный анализ и его прил., 29, 3, 83-87 (1995)

18. У.У. Умирбаев, Проблема вхождения для алгебр Ли, Алгебра и логика, 32 (1993), 3, с. 326-340

19. В.А. Уфнаровский, Алгебры, заданные двумя квадратичными соотношениями, Исследования по теории колец, алгебр и модулей, Математические исследования, Кишинев, 76 (1984), с. 148-172

20. В.А. Уфнаровский, О росте алгебр, Вестник МГУ, сер. мат., мех., 4 (1978), с. 59-65

21. В.А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Современная математика и её приложения, 57 (1990), с. 5-177

22. БЛ. Фейгин, Д.Б. Фукс, Когомологии групп и алгебр Ли, Современная математика и её приложения, 21 (1988), с. 121-209

23. Н. Aberg, Coherence of amalgamations, J. Algebra, 78 (1982), 2, p. 372-385

24. W.W. Adams and P. toustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Graduate Studies in Math., 3 (1994)

25. D. Anick, N on-commutative graded algebras and their Hilbert series, J. Algebra, 78 (1982), p. 120-140

26. D. Anick, The smallest singularity of a Hilbert series, Math. Scand., 51 (1982), p. 35-44

27. D. Anick, Diophantine equations, Hilbert series, and undecidable spaces, Ann. Math., 122 (1985), p. 87-112 "

28. D. Anick, On the homology of associative algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 296 (1986), 2, p. 641-659

29. D. Anick, Inert sets and the Lie algebra associated to a group, J. Algebra, 111 (1987), p. 154-165

30. D. Anick, Generic algebras and CW-complexes, Proc. of 1983 Conf. on algebra, topol. and K-theory in honor of John Moore. Princeton Univ., 1988, p. 247-331

31. M. Artin, W. Shelter, Graded algebras of global dimension 3, Adv. Math., 66 (1987), p. 171-216

32. M. Artin, J.T. Stafford, Noncommutative graded domains with quadratic growth, Inv. Math., 122 (1995), 2, p. 231-276

33. M. Artin, J. Tate, M. van den Bergh, Some algebras related to automorphisms of elliptic curves, The Grothendieck Festschrift, v. 1, p. 3385, Birkhauser, Boston,1990

34. M. Artin, J. Tate, M. van den Bergh, Modules over regular algebras of dimension 3, 106 (1991), p. 335-388

35. M. Artin, L. W. Small, J. J. Zhang, Generic flatness for strongly Noetherian algebras, J. Algebra, 221 (1999), 2, p. 579-610

36. M. Artin, J. T. Stafford, Semiprime graded algebras of dimension two, J. Algebra, 227 (2000), 1, p. 68-123

37. M. Artin and J. J. Zhang, Abstract Hilbert schemes, Algebr. Represent. Theory, 4 (2001), p. 305-394

38. J. Backelin, A distributiveness property of augmented algebras, and some related homological results, Ph. D. thesis, Stockholm (1982)

39. J. Backelin, On the rates of growth of homologies of Veronese subrings, Lecture Notes Math., 1183 (1986), p. 75-100

40. J. Backelin, La series de Poincare-Betti d'wie algebre graduee de type fini a une relation est rationelle, C. R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 287 (1978), -p. 843-846

41. Evens, The cohomology ring-of a finite group, -Trans. Amer. Math. Soc., .101 (1961), p. 224-239

42. К. Faith, Algebra: rings, modules, and categories. V. I, Corrected reprint. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 190. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981

43. Y. Felix, S. Halperin, J.-C. Thomas, Rational homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics, 205. Springer-Verlag, New York, 2001

44. T. Gateva-Ivanova, E. Jespers, J. Okninski, Quadratic algebras of skew type and the underlying semigroups, J. Algebra, 270 (2003), 2, p. 635-659

45. T. Gateva-Ivanova, M. van den Bergh, Semigroups of I-type, J. Algebra, 206 (1998), p. 97-112

46. A. Giambruno, M. Zaicev, On codimension growth of finitely generated associative algebras, Adv. Math., 140 (1998), p. 145-155

47. A. Giambruno, M. Zaicev, Exponential codimension growth of Pi-algebras: an exact estimate, Adv. Math., 142"(1999), p. 221-243

48. A. Giambruno, M. Zaicev, Codimension growth and minimal superalgebras , Trans. AMS, 355 (2003), p. 5091-5117

49. V. Ginzburg, M. M. Kapranov, Koszul duality for operads, Duke J. Math, 76 (1994), 1, p. 203-272

50. E.S. Golod, Standard bases and homology, Lect. Notes Math, 1352 (1988), p. 88-96

51. S. Goto, Every Noetherian uniformly coherent ring has dimension at most 2, J. Math. Kyoto Univ., 23 (1983), 2, p. 269-279

52. E.L. Green, Multiplicative bases, Groebner bases, and right Groebner bases, Symbolic computation in algebra, analysis, and geometry (Berkeley, CA, 1998), J. Symbolic Comput., 29 (2000), 4-5, p. 601-623

53. Т.Н. Gulliksen, Massey operations and the Poincare series of certain local rings, J. Algebra, 22 (1972), p. 223-232

54. S. Halperin, J.-M. Lemaire, Suites inertes dans les algebres de Lie graduees, Math. Scand., 61 (1987), 1, p. 39-67

55. G. Hemiann, Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale, Math. Ann., 95 (1926), p. 736-788

56. J. Herzog, Т. Hibi, G. Restuccia, Strongly Koszul algebras, Math. Scand., 86 (2000), 2, p. 161-178

57. A. Heyworth, One-sided noncommutative Groebner bases with applications to computing Green's relations, J. Algebra, 242 (2001), 2, p. 401-416

58. D.A. Jordan, The graded algebra generated by two Eulerian derivatives, Algebr. Represent. Theory, 4 (2001), 3, p. 249-275

59. D.S. Keeler, The rings of noncommutative projective geometry, Advances in algebra and geometry (Hyderabad, 2001), p. 195-207, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2003

60. G.R. Krause, Т.Н. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension, Pitman pub.: London, 2000.

61. P. Lambrechts, On the ranks of homotopy groups of two-cones, preprint, 2000

62. M. Lorenz, On Gelfand-Kirillov dimension and related topics, J. Algebra, 118 (1988), 2, p. 423-437

63. C. Lofwall, On the subagebra generated by the one-dimensional elements in the Yoneda Ext-algebra, Lect. Notes Math., 1352, 291-338 (1988)

64. F.S. Macaulay, Some properties of enumeration in the theory of mod-ular systems, Proceedings L. M. S., 26, (1927), 2, 531-555.

65. Yu.I. Manin, Some remarks on Koszul algebras and quantum groups, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 37, 4, 191-205 (1987)-2Q. M. Markl, S. Shnider, J. Stasheff, Operads in algebra, topology and physics, Math, surveys and monographs, 96, AMS, 2002

66. M.F. Newman, C. Schneider, A. Shalev, The entropy of graded algebras, J. Algebra, 223 (2000), p. 85-100

67. S.B. Priddy, Koszul resolutions, Trans. AMS, 152 (1970), 1, p. 39-60

68. A. Polishchuk, Noncommutative Proj and coherent algebras, preprint arXiv:math.RA/0212182 (2002)

69. A. Polishchuk and L. Positselski, Quadratic algebras, preprint (1994-2000)

70. С. Procesi, Rings with polynomial identities, Pure and Applied Mathematics, 17. Marcel Dekker, Inc., New York, 1973.

71. D. Quillen, Rational homotopy theory, Ann. Math., Ser. 2, 90 (1969), 2, p. 205-295

72. R. Resco, L.W. Small, Affine Noetherian algebras and extensions of the base field, Bull. London Math. Soc. 1993, 25, 549-542.

73. D. Rogalski, Generic noncommutative surfaces, preprint arXiv:math.RA/0203180 (2002)

74. J.-E. Roos, On the characterization of Koszul algebras. Four counterexamples., Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Ser. I, 321, 1, 15-20 (1995)

75. J. Shearer, A graded algebra with non-rational Hilbert series, J. Algebra, 62 1980, 1, p. 228-231

76. J.-P. Soublin, Anneaux et modules coherents, J. Algebra, 15 1970, p. 455472

77. L.W. Small, J.T. Stafford, R.B. Warfield (Jr), Affine algebras of Gelfand-Kirillov dimension one are PI, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 97 (1985), 3, p. 407-414

78. J.T. Stafford, Noncommutative projective geometry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II. (Beijing, 2002), p. 93103, Higher Ed. Press, Beijing, 2002

79. J.T. Stafford, J.J. Zhang, Algebras without Noetherian filtrations, preprint, arXiv:math.RA/0007035

80. R. P. Stanley, Hilbert functions of graded algebras, Adv. in Math., 28 (1978), p. 57-83

81. D. R. Stephenson, Artin-Shelter regular algebras of global dimension three, J. Algebra, 183 (1996), 1, p. 55-73

82. D.R. Stephenson, J.J. Zhang, Growth of graded noetherian rings, Proc. AMS 125 (1997), p. 1593-1605

83. M. Wambst, Complexes deKoszul quantiques, Ann. Inst.Fourier, Grenoble, 43 (1993), 4, p. 1089-1156

84. J. Wisliceny, Zur Darstellung von pro-p-Gruppen und Lieschen Algebren durch Erzegende und Relationen, Math. Nachr., 102 (1981), p. 57-78.

85. J.J. Zhang, Non-Noetherian regular rings of dimension 2, Proc. AMS, 126 (1998), 6, 1645-1653Публикации по теме диссертации

86. Д.И. Пионтковский, О росте градуированных алгебр с небольшим числом определяющих соотношений, Успехи математических наук, 48 (1993), 3, с. 189-190

87. Д.И. Пионтковский, Базисы Гребнера и когерентность монолшалъной ассоциативной алгебры, Фундаментальная и прикладная математика, 2 (1996), 2, с. 501-509

88. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта и соотношениях в алгебрах, Успехи математических наук, 53 (1998), 6, с. 257-258

89. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта и гомологиях PI-алгебр, Математический сборник, 189 (1998), И, с. 103-120

90. Д.И. Пионтковский, Ряды Гильберта и соотношения в алгебрах, Известия РАН, серия математическая, 64 (2000), 6, с. 1297-1311

91. Д.И. Пионтковский, Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах, Фундаментальная и прикладная математика, 7 (2001), 2, с. 495-513

92. Д.И. Пионтковский, О градуированных алгебрах глобальной размерности 3, Известия РАН, серия математическая, 65 (2001), 3, с. 557-568

93. Д.И. Пионтковский, О рядах Гильберта козюлевых алгебр, Функциональный анализ и его приложения, 35 (2001), 2, с. 64-69

94. A. Jaikin-Zapirain, D. Piontkovski, On the growth of Noetherian filtered rings, Communications in algebra, 31 (2003), 1, p. 505-512

95. Д.И. Пионтковский, Множества рядов Гильберта и их приложения, Фундаментальная и прикладная математика, 10 (2004), 3, с. 143-156

96. Д.И. Пионтковский, Козюлевы алгебры и их идеалы, Функциональный анализ и его приложения, 39 (2005), 2, с. 47-60