Комплекс Шафаревича и его применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Комплекс Шафаревича свободной ассоциативной алгебры и его применение к некоторым проблемам бернсай-довского типа.

1.1 Комплекс Шафаревича.

1.2 Применения к некоторым проблемам бернсайдовского типа.

2 Стандартные базисы и гомологии комплекса Шафаревича.

2.1 Стандартные базисы идеалов в фильтрованных алгебрах.

2.2 Критерий стандартности базиса.

2.3 Вычисление первого модуля гомологий комплекса Шафаревича для фильтрованных алгебр.

2.4 Алгебра гомологий комплекса Шафаревича свободной алгебры.

3 Гомологическая характеризация некоммутативных полных пересечений.

3.1 Некоммутативная конструкция Тейта.

3.2 Сильно свободные множества.

3.3 Некоммутативные полные пересечения.

Цитированная литература.

Под комплексом Шафаревича понимается комплекс, построенный И.Р. Шафаревичем в 1963г. [42]. Этот комплекс является некоторой аппроксимацией к резольвенте двустороннего идеала в ассоциативной алгебре и представляет собой некоммутативный аналог имеющего многочисленные приложения комплекса Козюля для коммутативных колец. Напомним сначала определение комплекса Козюля [4]. Пусть Я — коммутативная алгебра над некоторым коммутативным кольцом к (все кольца и алгебры, если не оговорено противное, обладают единицей), и пусть в Я задано семейство элементов х — {xj}. Пусть Е — свободный к-модуль с базисом е = {е.,}, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами семейства х. Тогда комплекс Козюля

К(х, Я) = ф Кр(х, Я) как градуированная к-алгебра есть тензорное про-р изведение (над к) ЯфА(Е) алгебры Я и внешней алгебры А(Е) к-модуля Е. Однородные компоненты Кр(х, Я) = Я®АР(Е) являются свободными /¿-модулями с базисом {е^ А . А е^ }, и на базисных элементах дифференциал в К(х, Я) задается по формуле р ек А . А е,-р) = А . А А . А е,р. к=1

Можно проверить, что ¿2 = 0.

Разумеется, мы приходим к тому же самому комплексу, полагая к = Я (так это обычно и делается). Однако, при рассмотрении градуированной алгебры Я удобно считать, что ее однородные компоненты являются модулями над некоторым основным кольцом к, чаще всего, полем; кроме того, рассмотрение Я как к-алгебры делает более прозрачной аналогию с некоммутативным случаем. Если I обозначает идеал, порожденный семейством х, то легко видеть, что Д-модули гомологий

Нр(К(х,Я)) комплекса К(х,Я) аннулирукгтч я иде<1лом / и 1>-м самым являются модулями над алгеброй Д - И/Г, в частности. К {т. Н)) канонически отождествляется с А

Перейдем теперь к некоммутативному случаю. Пусть Н ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом к и / - {/,} некоторое семейство элементов в Я. Пусть Г свободный к модуль с базисом и = {г^-}, элементы которого находятся в биективном соответствии с элементами семейства /. Тогда комплекс Шафаревича

Я) — ф5/1,,(/, Я) [42] (обозначение было предложено в [45]) как р градуированная к-алгебра есть свободное произведение (над к) Я*Т(11) алгебры Я и тензорной алгебры Т(и) к-модуля Ц. Таким образом,

Я) = А®и®А®.®и®А, где число множителей II равно р (тензорнре произведение над к). Дифференциал в 571(/, Я) задается по формуле: е?(а0 <8> «л <8> «1 <8> ■ ■ ■ <8> Щр ® ар) = V ^(-Т)*-1^ 8>. <8) <8> (8) ® . <8) и,р ® ар. к=1

Легко проверяется, что с?2 = 0. Как и в случае комплекса Козюля, идеал I (двусторонний), порожденный семейством /, аннулирует Я-Я-бимодули гомологий комплекса 67г(/, Я), которые мы будем обозначать через Яр(/, Я); Я) канонически отождествляется с к-алгеброй Я/1.

Комплекс был введен И.Р. Шафаревичем в применении к случаю, когда Я — свободная ассециативная алгебра над полем к с множеством свободных порождающих х = для доказательства того, что алгебра А = Я/1 бесконечномерна, если число соотношений в некотором смысле мало по сравнению с числом ее порождающих {ж,} (х обозначает образ элемента х 6 Я в Я/1).

В §1 главы I диссертации рассматривается свободная ассоциативная алгебра (с единицей) Я над полем к с множеством свободных порождаюоо щих х = {я,}, которую наделяем градуировкой Я = ф предписывая

71=0 каждому Х{ некоторую положительную целую степень щ. Семейство / состоит из однородных элементов (форм) положительной степени kj, так что идеал I однородный и алгебра А = R/I градуированная оо

А = ф Ап. Степень однородного элемента а градуированной алгебры

71 — 0

А обозначается через |а|. Мы предполагаем, что число элементов Zj и fj каждой фиксированной степени конечно; тогда однородные компоненты алгебр R и А являются конечномерными векторными пространствами над к и можно рассматривать их ряды Гильберта. Ряд Гильоо берта £ (dirrik An)tn алгебры А обозначается через A(t). Для свободной п=0 алгебры R хорошо известно, что i

Как обычно, для градуированного модуля А через А(т) обозначается градуированный модуль с А(т)п = Ап+т. Доказывается

Теорема 1 [42] Имеется точная последовательность градуированных левых А-модулей фЛ(-к,) ЛфЛ(-п,.) —> А —> к —► 0, (3) j 1 в которой отображение ¡3 инъективно в том и только том случае, если Hi(f, R) = 0.

Точная последовательность (3) приводит к неравенству для степенных рядов, понимаемому покоэффициентно:

Следствие 1 [42] Справедливо неравенство

Ait и 1 - ТГ + Y,tk>) > 1, (4) i npu4fM равенство им* ни мы-то в том и только том случае, если П. -j Н) О

Следуя Анику [27], будем называть семейство / (в данном случае это семейство однородных элементов в свободной алгебре) сильно свободным множеством, если оно vл<жлеi н<>[)яет эквивалентным условиям:

1) отображение Я в точной последовательности (3) инъективно;

2) в соотношении (4) имеет место равенство;

3) Я!(/,Д)=0.

В рассматриваемой ситуации легко показать, что этим условиям эквивалентно также

4) #р(/, Я) = О при всех р > 1.

Понятие сильно свободного множества является некоммутативным аналогом регулярных последовательностей / в коммутативных кольцах, которые в случае однородных элементов положительной степени в градуированной алгебре (или, более общо, если для порождаемого / идеала ос

I пересечения П 1п = {0} (см. [4])) могут быть определены эквивалентно ными условиями:

3') Н1(К(/,Я)) = 0;

4') Нр(К(/, Л)) = 0 для всех р > 1.

Однако, основное определение регулярной последовательности / = состоит в том, что каждый ее элемент является неделителем нуля по модулю предыдущих. Это условие, как хорошо известно, равносильно тому, что ассоциированное градуированное кольцо СгГ/(Я) = оо ~ ф /т//т+1 является алгеброй многочленов /?//[{/;}], где -образ в т=О

2, или, иначе говоря, естественное сюръективное отображение

-.А^ЩУ^-ьвг^В) является биективным, где ,4 = И/1 и = !у

Пусть алгебра К градуированная и / = {/¿} состоит из однородных элементов положительных степеней кг Рассматриваем градуировку на Сг[(Н), индуцированную градуировкой на Д, т.е. (7г/(Я)„ = X ф (/'"//'"'1 )„. Тогда ряды Гильберта /?(£) и Сгг(Я)(1) совпадают и наги о личие (юрьективного отображения ц> дает неравенство для рядов Гильберта к;м П(] -^'Г1 > «(0. (4') причем равенство равносильно тому, что последовательность / регулярная. Аник [27] распространил эту характери.»ацин> регулярных последовательностей на сильно свободные множества и » элементов положительной степени в произвольной градуированной ассоциативной алгебре И В этом случае для всякого семейства / элементов из R положительной степени имеется сюръективное отображение ф: А* к({Ъ}) R) где k({Yj}) обозначает свободную ассоциативную алгебру), которое приводит к неравенству для рядов Гильберта (выражение в левой части получается по известной формуле для ряда Гильберта свободного произведения градуированных алгебр): R(t). (4")

1 - A(t) Ej tk Тогда следующие условия эквивалентны [27]:

1) V биективно;

2) в соотношении (4") выполняется равенство;

3) H\(f, R) — 0;

4) Яр(/, R) = 0 для всех р > 1.

Недавно Д.И. Пионтковский [19] показал, что эти характеризации регулярных последовательностей и сильно свободных множеств можно получить как частные случаи общего результата, относящегося к произвольным многообразиям алгебр (комплекс Шафаревича для многообразия алгебр был введен A.A. Бояркиным [3]). Однако, в случае произвольных многообразий имеется существенное отличие, поскольку, как показано в другой работе Д.И. Пионтковского [20], ни в каких многообразиях ассоциативных алгебр, кроме многообразий всех алгебр, коммутативных алгебр и алгебр с нулевым умножением, ряд Гильберта свободного произведения не выражается через ряды Гильберта сомножителей.

Интересно сопоставить неравенства (4) и (4"). В применении к произвольной (не обязательно свободной) алгебре R неравенство (4) должно было бы иметь вид: > 1 (4"') з

В случае равенства соотношения (4") и (4"') равносильны. Неравенство

4") следует из (4"'), поскольку получается умножением обеих частей

4"') на ряд с неотрицательными коэффициентами ~ £ з

Однако обратная импликация не имеет места и более сильное неравенство (4"') не выполняется для произвольных алгебр Я. Простейший пример: Я = ВД/рО3, А = к[Х]/(Х)2 (\Х\ = 1).

Пусть теперь свободная алгебра Я имеет конечное число й>2 порождающих степени 1. Это означает, что А = Я//, где I — однородный идеал в Я, — стандартная градуированная алгебра, т.е. связная градуированная алгебра с конечным числом порождающих степени 1. Пусть формы в семействе / имеют степень большую или равную двум и г*, обозначает число форм степени к. Тогда соотношение (4) принимает вид оо

А{Ь){ + > 1. (5) к-2

Семейство / сильно свободно в том и только том случае, если в этом соотношении выполняется равенство, т.е. в том и только в том случае, если оо к-2

В этом случае, конечно, все коэффициенты ряда (1 - ¿Ь + £ к=2 неотрицательны, а на самом деле даже положительны, так как легко к видеть, что обратный к ряду вида 1 — Л 4- £ ткЬ (гк — целые неок-2 трицательные) не может быть многочленом с неотрицательными коэффициентами. Таким образом, положительность коэффициентов ряда X

1 ~ Ж + ) : является необходимым условием для существовак > нии сильно свободного семейства форм от (1 некоммутирующих переменных, содержащег о гк форм степени к для всякого к = 2,3,. . Вопрос о том, является ли .»то условие достаточным, остается открытым. Этому вопросу можно придать несколько иную формулировку. Пусть поле к имеет достаточно большую степень трансцендентности над своим простым подполем F, / — такое семейство форм заданных степеней, что множество всех коэффициентов форм fj алгебраически независимо над F, / — идеал в R, порожденный семейством / и А — R/1. Так как при данных степенях форм ранги отображений ф RifjRk —► R„ i,j,k:i+\fj | + k=n принимает наибольшее возможное значение для всех п, то A(t) > A{t) для всякого семейства / форм тех же степеней. Следовательно, если существует сильно свободное семейство форм с заданным набором чисел г к, то семейство общих форм с этим набором чисел также является сильно свободным. Поэтому предыдущий вопрос равносилен вопросу о том, является ли сильно свободным семейство общих некоммутативных форм от d переменных, содержащее г*, форм степени к, к = 2,3,., если оо все коэффициенты ряда (1 — dt + Y, rkt )-1 неотрицательны. к=2

Рассмотрим для примера случай, когда все формы семейства имеют одну и ту же степень т и их число равно г. Все коэффициенты ряда (1 — dt 4- rf71)-1 неотрицательны, если и только если г < тт = dm(rn- 1) m" m-1

Допустим, что d делится на т. Рассмотрим одночлены вида х^ х{2 . х{т, где 1 < ¿1 < £ 4- 1 < гк < к = 2,. ,т. Семейство сильно свободное [27, 45] и содержит в точности гт элементов, т.е. в этом частном случае граница для числа форм в сильно свободном множестве достигается, причем в качестве этих форм можно взять даже одночлены. Однако, например, если с! = 2 и т = 6, то г-т = 4, но сильно свободное множество одночленов в этом случае может содержать не более трех элементов. В то же время сильно свободное множество из четырех форм при d = 2, т = б существует [23].

Наиболее важным для применений является сформулированное ниже следствие 2 теоремы 1. Пусть А — градуированная ассоциативная алгебра над произвольнымполем к, имеющая d порождающих степени 1 и заданная множеством однородных определяющих соотношений степеней к > 2, содержащим для всякого к = 2,3,. гк соотношений степени к.

Следствие 2 Ц2, 44} Пусть гд. < sд. для всех к > 2, где Sk — некоторые вещественные числа. Если все коэффициенты степенного ряда оо

1 -dt+Y,Sktk)~1 к—2 неотрицательны, то алгебра А бесконечномерная. В частности, это так, если гд. < e2[d — 2е)к~2 для всех к > 2 и некоторого е > 0.

Первоначальной мотивировкой для получения этого признака бесконечномерности алгебры послужили исследования И.Р. Шафаревича по проблеме существования бесконечной башни полей классов. Пусть r(d) обозначает минимальное число соотношений, которым может быть задана конечная р-группа (как факторгруппа свободной про-р-группы), имеющая минимальное число порождающих d. И.Р. Шафаревичем [24, 25] было доказано, что если r{d) — d —> оо при d —» со, то существует бесконечная башня полей классов. Из следствия 2 вытекает, что rW > ^

Впоследствии Э.Б. Винберг [5] и Гашуц независимо показали, что r(d) > j

Естественно возникает вопрос о нахождении точного значения функции r(d) или хотя бы о выяснении ее асимптотического поведения при d оо. Первая нетривиальная верхняя граница r(d) < j(d2 — 1) -f d, d = 2", была получена А.И. Кострикиным [11]. Позднее Вислицени [41] доказал, что lim = аналогичный результат справедлив и для нильпотентных алгебр Ли [36].

В §2 главы 1 изучается конструкция контрпримеров к некоторым проблемам бернсайдовского типа в случае "неограниченного" показателя [43, 44]. Все эти примеры либо являются частными случаями формулируемом ниже теоремы, либо непосредственно из нее следуют, либо получаются из аналогичных соображений.

Теорема 2 [441 произвольным полем к для всякого целого d > 2 сущкгчьует V.-алгебра А (без единицы) с d порождающими, которая обладает следующими свойствами:

1) А бесконечномерна как векторное пространство над к.

2) вслк&я подалгебра в А с числом порождающих меньшим, ч(м d, нильпотентна;

3) А градуированная и, в частности, нильпотгнтно аппроксимируоо ема, т.е. П Ап — {0}.

Эта теорема дает, в частности, отрицательный ответ на поставленный А.Г. Курошем [13] вопрос, будет ли локально конечномерной ассоциативная алгебраическая алгебра, имеющий положительный ответ в случае ограниченной степени [33], а также на вопрос Левицкого [37] о локальной нильпотентности ассоциативного ниль-кольца. Следует отметить, что используемая в доказательстве теоремы 2 конструкция приводит к ненильпотентной конечно-порожденной нильалгебре, которая, во-первых, имеет экспоненциальный рост и, во-вторых, не является конечно представимой. Поставленные В.Н. Латышевым вопросы, существуют ли ненильпотентные нилькольца полиномиального роста или конечно пред-ставимые, остаются пока открытыми.

Следствие 1 Существует финитно аппроксимируемая бесконечная р-группа с d порождающими, в которой всякая подгруппа с числом порождающих меньше d конечна.

Другие конструкции периодических групп, не являющихся локально конечными, были предложены C.B. Алешиным [2], В.И. Сущанским [22]. Особенно простой и обладающей другими интересными свойствами является конструкция Р.И. Григорчука [6].

Эти примеры показывают, что для р-групп с неограниченными периодами имеет отрицательное решение даже ослабленная проблемма Вернсайда, положительное решение которой для простого периода было дано А.И. Кострикиным [10, 12], а затем было обобщено Е.И. Зельмано-вым [7, 8, 9] на случай произвольного периода, являющегося степенью простого числа. Отрицательное решение проблемы Вернсайда с ограниченным показателем было дано П.С. Новиковым и С.И. Адяном [1, 16]. Более короткое доказательство теоремы Новикова — Адяна (но при ухудшении оценки показателя) было получено А.Ю. Ольшанским [18].

Отметим также, что как доказал С.П. Струнков [21], если в группе с числом порождающих й > 3 всякая собственная подгруппа конечна, то и сама группа конечна. В то же время А.Ю. Ольшанским [17] были построены бесконечные группы, в которых всякая собственная подгруппа имеет простой порядок р.

Следствие 2 Существует финитно аппроксимируемая ненильпотент-ная группа С с числом порождающих д > 2, которая удовлетворяет условию Энгеля, т.е. для любых х,у € (7 существует п = п(х,у) такое, что У е. п раз

Вопрос о локальной нильпотентности энгелевых групп с ограниченным показателем остается открытым.

Следствие 3 Пусть к — произвольное поле. Существует к-алгебра

Ли Ь с ¿> 2 порождающими, которая бесконечномерна как векторное пространство над к, в которой всякая подалгебра с числом порождало ющих меньшим д нильпотентна и которая такова, что [) Ьп = (0).

Следствие 4 Существует бесконечномерная алгебра Ли с числом порождающих д>2, удовлетворяющая условию Энгеля (так же как и в следствии 2 с показателем п, зависящим от х,у).

Локальная нильпотентность энгелевой алгебры Ли с фиксированным л над полем характеристики больше п или нуль была доказана А.И. Кострикиным [10, 12], а над произвольным полем — Е.И. Зель-мановым [8, 9].

В главе II рассматривается связь гомологий комплекса Шафаревича (н случае коммутативных алгебр — комплекса Козюля) с теорией стандартных базисов в контексте фильтрованных алгебр. Стандартным базисам, или базисам Гребнера, за последние два десятилетия посвящена обширная литература, в том числе ряд монографий. Цель главы II — дать единообразный подход к ряду ситуаций, в которых используются стандартные базисы, посредством интерпретации критериев стандартности базиса и алгоритмов построения стандартных базисов в терминах модулей гомологий комплекса Шафаревича (или комплекса Козюля) [45]. Как следствия получаются некоторые известные результаты, а именно лемма о слиянии (или композиции) А.И. Ширшова — Бергмана [26, 29] и ее аналоги, касающиеся идеалов в кольцах многочленов [15, 31] и в универсальных обертывающих алгебрах алгебр Ли [14]. Близкий подход независимо предложен в работе Т. Моры [39].

Пусть Я — ассоциативная алгебра (с единицей) над коммутативным кольцом к, фильтрованная посредством упорядоченной полугруппы Г, удовлетворяющей условию обрыва убывающих цепей для элементов: Я = и Через Я обозначается ассоциированное Г-градуированное

71Г кольцо Я = ф Я7, где Я7 = |Ь<7 Fy.fi. Пусть с1е§ а = тт{7 € тег

Г : а € РУЯ}, и если с^ а = 7, то через а;(а) обозначается образ а в Я7 ("старший член" элемента а). В §1 главы II введено понятие стандартного базиса идеала в фильтрованной алгебре и изложены основные факты, касающиеся этого понятия. Пусть х = {ха}<*еА — семейство элементов из /2 и / — порожденный этим семейством идеал. Через = ф /7 обозначается его идеал "старших членов", т.е. однородный тег идеал в Я, порожденный семейством {<^(а) : а € /}, а через I = ф /7 тег однородный идеал в Я, порожденный семейством у = {уа}аеА, где уа = ш(ха). Базис х = {ха} идеала I называется стандартным, если 1 — 1. Вводятся определения редуцированного элемента, процедуры редукции и полной редукции элемента из Я относительно семейства х — {х„}аед, и в этих терминах, как обычно, формулируется несколько эквивалентных условий стандартности базиса х идеала / (предложение 1 [45]).

Критерий стандартности базиса идеала в фильтрованной алгебре в терминах гомологий комплекса Шафаревича (или комплекса Козюля) дается в §2. Рассматриваются комплекс Шафаревича 5Л(г, Я) алгебры Я относительно семейства х — и комплекс Шафаревича Зк(х,Я) алгебры Я относительно семейства у = {у„}<»€Д однородных элементов из Я, где у„ = и;(;г„). Первый из них естественным образом наделяется Г-фильтрацией, а второй Г-градуировкой. Если задан элемент й' = степени 7 € Г из вкх (у, Я), то будем говорить, что ю поднимается до элемента гг £ Бк^у, Я), если и) может быть записан в виде т = + и)*, где = а^ ш(Ьч) = 6, и deg -ш* < -). Цикл г

2 € 5/11(2/, Д) называется поднимаемым, если он поднимается до некоторого цикла из Д). Это свойство цикла г зависит только от его класса гомологии в Н\(у, Д), так что можно говорить о поднимаемых классах гомологий. Для поднимаемости цикла 2 = £ а,и,Х1 £>, достаточно, 1 чтобы элемент а = € I (где ш(а,) = а,, и;(£>,) = 6,) редуцировался к нулю относительно х.

Теорема 3 [45] Для базиса х — {ха}аед идеала 1 следующие условия эквивалентны:

1) х — стандартный базис;

2) всякий класс гомологий из Н\(у,К) поднимаем;

3) Я-Я-бимодуль Ях(у, Д) порождается поднимаемыми классами гомологий.

Следствие 1 [45] Пусть {гр = Т,ш{а,{р)иа<1)ш(Ь{р)}рев — некоторое г множество однородных циклов из 8к\(у,Я), классы гомологий которых порождают Я-Я-бимодулъ Н^у^Я). Тогда базис х стандартный, если и только если все элементы хр = £сцрха{0Ьф £ I могут быть г редуцированы к нулю относительно х.

Если же для какого-то из хр получается ненулевая полная редукция, то этот (редуцированный) элемент добавляется к семейству х и процедура повторяется. В случае нетеровости Д для двусторонних идеалов она через конечное число шагов приводит к стандартному базису для I.

Следствие 2 Если семейство у = {уа} является сильно свободным в Я, то х — стандартный базис идеала I.

Если алгебра Д и полугруппа Г коммутативны, то вместо комплексов Шафаревича можно использовать комплексы Козюля К(х, Я) и К (у, Я) и для них сформулировать и доказать аналоги теоремы 3 и ее следствий (теорема 3' [45]).

Применение этих результатов зависит от возможности вычисления 1-гомологий комплекса Шафаревича (соответственно комплекса Козюля в коммутативном случае) для однородных семейств элементов Г-градуированного кольца Я. Приводятся примеры таких вычислений в трех классических ситуациях [45]:

1) вычисление порождающих Н\{у, Я), когда Я — свободная ассоциативная алгебра над полем, градуированная посредством свободной полугруппы;

2) вычисление порождающих Н^К^у, Я)), когда Я — алгебра многочленов над полем, градуированная посредством полугруппы коммутативных одночленов;

3) вычисление порождающих Н\{у, Я) в ситуации примера 2 (она возникает, например, при рассмотрении универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли или алгебр Вейля [32]).

Во всех случаях найденные системы порождающих находятся в биективном соответствии с 5-многочленами, используемыми в классической теории базисов Гребнера, и, следовательно, приводят к хорошо известным критериям и алгоритмам построения для базисов Гребнера. Найденные системы порождающих для 1-гомологий не являются минимальными, и исключение очевидных лишних порождающих, скажем, во втором примере, немедленно дает известную лемму о треугольнике в теории полиномиальных базисов Гребнера [30].

В §3 показывается, что вычисление первого модуля гомологий Н\{х, Я) для произвольного семейства элементов х = {а;а}ае,4 в Г-фильтрованной алгебре Я сводится к вычислениям Н\(у,Я) для однородных семейств элементов в ассоциированной Г-градуированной алгебре Я и построению стандартного базиса идеала /, порожденного семейством х (предложение 4 [46]).

В §4 доказывается

Теорема 4 [47, 48] Пусть А — свободная ассоциативная алгебра с единицей над полем к и / = {/<»} — произвольное семейство элементов в Л. Алгебра Я*(/, Л) гомологий комплекса Шафаревича 5/г(/, А) порождается над к одномерными и нульмерными элементами.

В отличие от ряда других результатов, касающихся комплекса Ша-фаревича, эта теорема не имеет аналога в коммутативном случае. А именно, если R — алгебра многочленов над к, то алгебра гомологий комплекса Козюля Ht(K(f,R)) не обязяна порождаться элементами гомологической степени меньшей или равной 1. Соответствующий контрпример приведен в §4.

Отметим применение теоремы 4 к вопросу о жесткости комплексов Шафаревича. Свойство жесткости — это свойство, касающееся какого-либо семейства комплексов, зависящих от некоторых параметров. Комплексы С такого семейства называются г-жесткими (г — неотрицательное целое число), если из условия Щ(С) = 0 следает, что Hj(C) = О для всех j > г. Хорошо известно, что комплексы Козюля являются г-жесткими для всех г > 0. Из гомологической точной последовательности для комплекса Шафаревича (гл. I, §1) следует, что комплексы Шафаревича свободных ассоциативных алгебр для семейств однородных элементов являются г-жесткими для всех г > 0. Как уже отмечалось выше, Аник [27] доказал, что комплексы Шафаревича произвольных градуированных ассоциативных алгебр обладают 1-жесткостью для семейств однородных элементов положительной степени. Из теоремы 4 вытекает, что комплексы Шафаревича свободных ассоциативных алгебр обладают г-жесткостью для всех г > 0 и произвольных семейств элементов.