Вычисление норменных рядов в формальных модулях Хонды и спаривания Гильберта в формальных модулях Любина-Тейта над многомерным локальным кольцом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Вычисление норменных рядов в формальных модулях Хонды и спаривания Гильберта в формальных модулях Любина-Тейта над многомерным локальным кольцом

01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

На правах рукописи

Афанасьева Софья Сергеевна

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 АПР 2013

005057948

Санкт-Петербург 2013

005057948

Научный руководитель: Официальные огшоненты:

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

доктор физико-математических наук, профессор Востоков Сергей Владимирович Лурье Борис Вениаминович, доктор физико-математических наук, Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН, старший научный сотрудник; Винник Петр Михайлович, кандидат физико-математических наук, Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова, доцент

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена.

-2013 г. в ^Жасов на заседании

Ведущая организация:

Защита состоится

диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете , расположенном по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, Д; 33-35, ауд. 74

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «_» ____ 2013 г

Ученый секретарьдиссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук, профессор ^ Неж„„ск„й В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертационная работа содержит дна раздела. Первый посвящен изучению норменных рядов, возникших н связи с необходимостью обобщения соотношения Стейнберга па спаривания с формальными модулями. Впервые такие ряды были определены В. А. Колывагиным в 1979 г., тогда же был указан способ построения таких рядов для мультипликативного аргумента. Пусть ко - одномерное локальное иоле нулевой характеристики (конечное расширение ноля р-адических чисел *0>р), содержащее группу Д/у корней степени N из 1. Хорошо известно, что символ пормепного вычета Гильберта (•, -)лг '■ ^о х ^о Млг удовлетворяет соотношению Стейнберга

(а, 1 — а)^ = 1, а ¿0,1. (1)

При обобщении спаривания на формальные модули данное соотношение принимает вид:

(а, = 0 (2)

для любого элемента а из формального модуля. Наиболее близкими по структуре к мультипликативной группе являются формальные группы Любина-Тей-та. В 1978 г. С. Ленгом была сделана попытка обобщит!, свойство (1) па формальные группы Любила-Тейта. Но в 1988 г. И. Б. Фесенко и С. В. Восто-ковым было показано, что любое спаривание, которое удовлетворяет соотношению (2) для любой формальной группы Любина-Тейта, является вырожденным, т.е. соотношепиее Стейнберга в виде (2) верно не для всех формальных групп. Таким образом возникает вопрос для каких рядов <р(Х) верно (а,(р(а))р,дг = 0 при всех а из формального модуля. В данной работе такие ряды будем называть норменными степени N. Абсолютно норменными будем называть ряды, которые являются норменными степени N при всех N 1.

Используя явные формулы символа норменного вычета (символа Гильберта), получение раннее, С. В. Востоковым и Р. Перлисом в 2001 г. были получены необходимые и достаточные условия норменности ряда в случае спаривания с формальным модулем Любина-Тейта для одномерного локального ноля, далее в 2003 г. С. В. Востоковым и Г. К. Паком норменные ряды были изучены для спаривания с мультипликативной группой многомерного локального поля. В настоящей работе получены условия норменности ряда для спаривания с формальным модулем Хонды, как для одномерного так и для многомерного локального ноля.

Второй раздел диссертационной работы посвящен построению явных формул спаривания Гильберта с формальным модулем Любина Тейта над многомерным локальным полем. Проблема нахождения явных формул для спаривания Гильберта имеет длинную историю, начавшуюся с работы Арти-на и Хассе 1928 года, в которой были получены явные формулы для символа Гильберта в круговом поле (£„),<£" = 1, для нар (а, С„) и (а, С„ - 1), где а - главная единица. Еще одной фундаментальной работой, связанной с получением явной формулы спаривания Гильберта, стала работа И. Р. Шафаре-вича 1950 г., послужившая толчком к-появлению серии работ, посвященных явным формулам различных спариваний. Явные формулы для нроизвольпо-го(одномерного) локального поля были независимо получены С. В. Востоковым в 1978 г и X. Брюкнером в 1979 г. при р > 2. Чуть позднее явные формулы были получены и для р ----- 2. Далее выработанные методы стали применять и для получения явных формул обобщения спаривания Гильберта для группы точек формального модуля. Так, в частности, С. В. Востоковым и И. Б. Фесепко были получены явные формулы для обобщенного спаривания Гильберта с формальным модулем Любина-Тейта для случая произвольно-то одномерного локального поля (в том числе и для четной характеристики поля вычетов).

В 70-х годах А. Н. Паршин и К. Каго начали изучение многомерных локальных нолей и связали многомерную локальную теорию нолей классов с алгебраической /^-теорией. С этого началось изучение спариваний в многомерных локальных полях. В 1985 г. С. В. Востоконым была получена явная формула для символа Гильберта в многомерном локальном ноле нулевой характеристики с полем вычетов характеристики р > 2 для мультипликативной группы. В 2001 г. в работе А. И. Мадунц хорошо известные результаты теории Любина-Тейта были обобщены на кольца целых многомерных локальных нолей, что позволило рассматривать спаривание /("-группы Милнора локального поля с многомерным формальным модулем Любина-Тейта.

Цель диссертационной работы состоит в получении необходимых и достаточных условий норменности заданного ряда для спаривания с формальным модулем Хонды над кольцом целых локального поля (как одномерного так и многомерного), а также в получении явных формул спаривания Гильберта с формальным модулем Любина-Тейта для многомерного локального поля.

Общая методика работы. В работе используются подходы к получению явных формул для символа норменпого вычета Гильберта, его обобщению на формальные группы, разработанные С. В. Востоковым и его учениками.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Получены необходимые и достаточные условия норменности ряда для спаривания с формальным модулем Хонды для одномерного локального ноля.

• Получены необходимые и достаточные условия норменности ряда для спаривания с: формальным модулем Хонды для многомерного локаль-

1ІОГО ПОЛЯ.

• Получена явная формула символа Гильберта (•, ■)г : /Ту/,10'' х ^(ЙЛ) -■-> для многомерного локального поля Ь с конечным последним нолем вычетов.

Научная новизна. Все результаты, представленные п диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Методы третьей главы диссертации могут быть использованы для получения явных формул спаривания Гильберта с формальным модулем для относительных групп Любипа-Тейта для многомерного локального поля.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па заседании Санкт-Петербургского алгебраического семинара имени Д.К. Фаддеева.

Публикация результатов. Материал!,I диссертации опубликованы в трех печатных работах, из них все три статьи в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий (|1|,[2],[3|).

В работе [1] диссертантке принадлежат результаты параграфа 4: доказательство предложения 1 и теоремы 2 об условиях норменности ряда. В статье [3| диссертантке принадлежат предложения 5 и 6(параграф 4), а также результаты параграфа б, в котором доказывается теорема о независимости и инвариантности спаривания.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на раздел!»! и подразделы, и библиографии. Общий объем диссертации 75 страниц. Библиография включает 30 наименований на 4-х страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований.

В первой главе вводятся определения основных понятий, используемых в диссертации, а также приводятся известные ранее результаты.

Во всей работе - обозначает поле р-адических чисел, к обозначает одномерное локальное поле(конечпое расширение <0>;)) с нолем вычетов к, состоящего из д = р? элементов, тг -простой элемент поля к. Пусть К обозначает п-мерное локальное ноле нулевой характеристики, т. е. последовательность полных дискретно нормированных нолей К = Кп, Кп-\,..., Ко, где каждое последующее поле является полем вычетов предыдущего, причем /<0-конечное поле из д элементов. Все формальные группы, рассматриваемые в работе,- одномерные. Первая глава разбита па три параграфа. В первом перечислены основные обозначения, используемые в диссертации, определяется понятие многомерного локального ноля, <т - поля и модуля кривых Картье мультипликативной группы локального поля. Напомним, чтоег- полем называется полное дискретно нормированное поле Т с эндоморфизмом а таким, что а(а) г-: ар пюс! р для любого а из кольца целых ноля Т. Второй параграф содержит две части. В первой из них приведены известные результаты теории формальных групп Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля, которые будут использоваться в третьей главе. Во второй части мы напоминаем, используемые во второй главе диссертации, результаты теории Хонды для формальных групп над кольцом целых одномерного локально поля и их обобщение для а - нолей. В третьей части первой главы определяется спаривание Гильберта и его обобщение на формальные группы.

Во второй главе найдены необходимые и достаточные; условия нор-мепности заданного ряда для спаривания с формальным модулем Хонды.

В первом разделе рассматривается случай одномерного локального ноля, во втором - многомерного.

Пусть к' - конечное нсразпетвленное расширение поля к, О' - кольцо целых поля к', а Д - оператор Фробениуса, действующий на кольце <Э'{(Х)). Пусть F(X, Y)- формальная группа Хонды над кольцом О', канонического типа и = тг-аіА-----ahA'' с логарифмом Л. 1Уу будет обозначать группу корней изогении [тг^]. Пусть 1Р{ф) = (шг-')(А о где ф Є 0'{[Х}}о логарифм Артина-Хассе для формальных групп Хонды.

Определение 1. Ряд <pN{X) = Х-\-... е 0'\[Х]\ назовем, норменпым степени N для формальной группы F, если для любого поля К, содержащего Wp , выполнено равенство:

{a,<pN(a))F,N = О

при всех а Є F(ffl>c) П /С*.

Определение 2. Ряд ip{X) = X + ... є 0'[[Х}} назовем абсолютно норменпым для формальной группы F, выи он является норменным степени N при любом, N ^ 1.

Основными результатами первого параграфа второй главы являются следующие утверждения:

Предложение 1. Пусть для ряда ipN[X) ряд

ІгМ = ^Г<ітХт

удовлетворяет условию

v (dm) ^ min (iV, ty (т)) (3)

при всех тп ^ 1. Тогда ряд (рм(Х) является норменным степени N для F.

8

Теорема 1. Ряд ір(Х) = X -f ■ • • Є является абсолютно норм,ємним,

для F тогда и только тогда, когда ряд

If(<P) = $>»<*'"

mj! 1

удовлетворяет условию

v{dm) ^ v(l„(m) (4)

при всех т ^ 1.

Хорошо известно, что любая одномерная формальная группа над иераз-ветпленным расширением <Q>P является группой Хонды. Т.е. если в обозначениях выше k = Qp, k'/Qr- конечное неразиетвлепное расширение, a F(X,Y) - произвольная формальная группа над кольцом целых поля к', то F - формальная группа Хонды. При этом, если F имеет единичную высоту, то теорема 1 приобретает следующий вид:

Предложение 2. Ряд tp(X) = X -|.....є 0'[[Х]} является абсолютно нор-

м.ениым для F тогда и только тогда, когда

X~\lF о 4>)(X)dX Є 0'[{Х}}.

Во втором параграфе результаты предыдущего параграфа обобщены па случай многомерного локального поля К с. нолем вычетов конечной характеристики. Обозначим k\ = Qnot \V(K{I). А также введем следующие обозначения:

• Т = { {' 1} } • • • {{Ai і}} - n-мерное абсолютно пеі)азветвлепное подполе в К.

• а - эндоморфизм поля Т, который действует па поле кі как автоморфизм Фробениуса и, кроме того сг(£,;) = t'¡, 1 < г < п,

• F - формальная группа высоты h над От-

• и(А) = р — щА1 - канонический специальный элемент группы F.

• WP := Ker[;jAV с К.

• Ер, If функции Артина-Хассе.

Предполагаем, что W(F,<) С К. Обобщим определения 1 и 2 па га-мерный случай.

Определение 3. Ряд ірх(Х) = ХОт[\Х}) назовем, норменным степени N для формальной группы F, если, для любого многомерного поля К, содержащего Wp , выполнено равенство:

({аь ..., ап_ь a}, ipN(a))F,N = О

при всех «і,..., а„_і Є К*, а Є F(m/r).

Определение 4. Ряд >р{Х) Є ХОТ[[Х}\ назовем абсолютно нор.менным. для формальной группы F, если он является норменнъш степени N при любом N^ 1.

Основными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

Предложение 3. Пусть для ряда <р(ХГ) Є XOj [[X]] ряд

lF{y{>C)) = YidmXni

т> 1

у до влетворяет усл. ови ю

vT(dm) ^ min(N,vpi,(m)) (5)

при всех т ^ 1. Тогда ряд <р(Х) является норменнъш степени. N для F.

10

Теорема 2. Ряд <р{Х) € является абсолютно порме.нным Оля, Г

тогда и только тогда, когда ряд

Ь(<р) = ^ ¿пХт

удовлетворяет условию

ит(<1т) > ьр1, (т) (0)

при всех т ^ 1.

Результаты второй главы опубликованы 1! работах [1], [2|. В третьей главе получены явные формулы для символа норменного (начета Гильберта для спаривания с формальным модулем Любина-Тейта для многомерного локального поля. Третья глава разбита на четыре части. В первой части строятся необходимые для дальнейших построений объекты, далее определяется спаривание (см. ниже), во второй части разбирается случай нулевой характеристики предпоследнего поля вычетов, в третьей - случай конечной характеристики, в заключительной четвертой части доказывается, что построенное спаривание совпадает со спариванием Гильберта. Напомним некоторые определения. Пусть

• (I = ..., tн) - система локальных параметров ноля К.

• 0/{ кольцо целых поля К относительно /¿-мерного нормирования V.

• Ок\[Х, У]) - формальная группа Любина Тейта над кольцом Ок с логарифмом Х(Х), причем \(Х) - Г1Л(Х^) 6 Ок\[Х]}.

• Ь - конечное расширение ноля К, содержащее группу \Ур := Кег[(Л'] КОрнеЙ изогенпи

• О' \¥(Ьп) - кольцо векторов Витта последнего поля вычетов поля Ь.

• РгоЬ - автоморфизм Фробепиуса Ь П К/К, где К - максимальное чисто неразветвленное расширения поля К.

• Тг - оператор следа а Ы\ К/К.

• (Т'ьТг,... ,Тп) - система локальных параметров поля Ь.

• 9Ль максимальный идеал кольца Оь ноля Ь. - соответствующий формальный Оц - модуль.

• мультипликативная система представителей поля 1А) в \¥{Ьа).

• Н модуль кривых Картье мультипликативной группы ноля Ь.

• гея := геБ^-л-,,-

Пусть К - максимальное чисто неразветвленное расширение поля К и А — К П Оь- Рассмотрим следующий аддитивный Ок- модуль:

9Л*:={а= £ .....

где (¿1,... ,?'„) пробегают допустимый набор Г2а.

соответствующий формальный О к - модуль. На Е(ЭЛх) определим оператор Д и функции Артина-Хассе:

Д(а) = РгоЬ а, для а & А, = Х?, 1 < г < п,

ЕР : Шх —> Р(ЯПХ),

АЛ2 / 00 ,„ДГ\

ЕР(<р) = ^(1 + ^ + ^ + • • • )Ы = Л"1 ,

1Р : Р{ШХ) —► Шх, Ш) = (! - у) А«0-

Функции Ер и 1р корректно определены и задают взаимно обратные изоморфизмы между соответствующими модулями.

Пусть первообразный корень изогении т.е. £ £ . Пусть

+ ..., в € здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка) такой ряд из для которого г(7\, ...,Тп) = Тогда можно определить ряд (X) = г(Х,0,..., 0). Рассмотрим ряды:

вт := С^г), з := вд-, и := —.

Теперь построим базис Шафаревича формального модуля F(£Ш^/). Пусть а 6 О'. Как и в одномерном случае, нетрудно показать, что элемент и>(а) — ^(ав)|х1=Г1 является ¿^-примарным, т.е. расширение поля Ь, полученное делением точки ш(а) на изогению [¿Л], неразветвлено (чисто неразветвлено). Пусть Ср, 0 < р -С. ¡ — \ - формальные группы Любипа-Тейта, построенные по изогениям [г]о = гх + X", = ЬХ + гХР" + Х<>, р^ 1, соответственно. Пусть ¿"р, 0 — 1, - степенные ряды, задающие изоморфизмы групп Ор

в группу Г, соответственно (т.е. Ер = А"1 о Ар, где \р - логарифм формальной группы

Предложение 4. Набор элементов

{£р(вТ1),ш(а)}, в е <Я£, (г,р) = 1, а е 0'[Щ]

составляет систему образующих О к - модуля Е(Шь)/[^\{Р{Ш1));

Далее определим сиаривание

<•,•>: Н" х ^(9ЛХ) —->

Во втором параграфе рассматривается случай нулевой характеристики предпоследнего ноля вычетов. В этом случае иоле К имеет вид К = k((t2))... ((£,г)), где к = К\ -конечное расширение Q„. Спаривание в этом случае определим следующим образом:

<a,/9>=[TVres$(a,/3)-^](0! (7)

где для а = (аг,..., ап) G Пп и 0 G F(mx)

Ф(а, 0) = IF{P)oiiX dai Л • • • Л a^da,,— 1 " 1

~7 Y1 — lm{oi)*TldaiA- ■ -Aa-^dai-iAa-^da^A- ■ -Aa^da^ Ad(X(0)A), 1 i=i q

(8)

a функция lm задана на 7i равенством: lm(a) = | log

Пусть изогения [i] имеет вид [f](X) = tx + a2lX2 -f- YT=:\ fatX' + X"> a> € Ок. В случае конечной характеристики предпоследнего ноля вычетов, рассматриваемом в третьем параграфе, определим спаривание следующим образом:

для а = (qi, ..., ап) е 'Нп и /5 £ Р(Шх) положим

<а,,9>=[гП-ге3Ф((>,я-К](0, (9)

где

s t — 1 Ф = lF(Pi)D,

01 = 0\хп=хп-1=...=х2=о> D = det(Qj"19jQi)i^,j<„..

Ряд i можно рассматривать в кольце Л{Х} = < X^ez diX' : di 6 Л, di-> 0 > .

s ^ di-v—oо j

Ряд Ф(а,0){Х) имеет целые коэффициенты.

14

Для И обычным путем (с помощью образующих и соотношений) определим К-группу Милнора Кп{Т~С).

Далее можно определить спаривание

<•,■>: 1<1орЬ х Г(ПП£) -> IV?, (10)

положив < а, (3 > -< а,§_ >, где а е К„(Н),Р € Р(ШХ) - разложение элементов а и Р в ряды, т.е. а(Тъ...,Тп) = а, §{Ти...,Тп) = Для того, чтобы показать, что спаривание (10) определено корректно, необходимо доказать его независимость от разложения элементов в ряды по локальным параметрам и от выбора локальных параметров. Этому посвящены второй и третий параграфы для случая нулевой и конечной характеристики предпоследнего поля вычетов соответственно.

Далее доказывается совпадение спаривания (10) со спариванием Гильберта на элементах базиса Шафаревича, что в силу линейности обоих спариваний дает нам

Теорема 3. Символ Гильберта

(•, •) : X Г(ЯЛ£) -4 ХУР

совпадает со спариванием < •, • > и тем самым, выражется в явном виде.

Результаты третьей главы опубликованы в работе[3] Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Сергею Владимировичу Востокову за постановку задач, терпение и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации

1. С. С. Афанасьева, Г. К. Пак, "Норменные ряды для формальных групп Хонды", Зап. научи, сем. Г10МИ, 388 (2011), 5-10

15

2. С. С. Афанасьева "IIорменныс ряды для многомерных формальных групп Хонды", Зап. научн. сем. Г10МИ, 400(2012),5-19

3. С. С. Афанасьева, Б.М. Беккер, C.B. Востоков, "Символ Гильберта в многомерных локальных полях для формальной группы Любина -Тейта" Зап. научн. сем. ПОМИ, 400(2012),20-49

Подписано в печать 04.04.13. Формат 60х84'/іб. Печать - ризография. Тираж 100 экз. Объем 1 п.л. Бумага офсетная. Заказ № 5720. Отпечатано в типографии «Политехника-сервис»

с оригинала-макета заказчика. 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 18-д.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201357738 Афанасьева Софья Сергеевна

Вычисление норменных рядов в формальных модулях Хонды и спаривания Гильберта в формальных модулях Любина-Тейта над многомерным локальным кольцом

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. С. В. Востоков

Санкт-Петербург - 2013

Содержание

Введение ......................................................................3

Глава 1 Определения и вспомогательные результаты.....10

1.1. Формальные группы.........................13

1 2. Спаривание Гильберта.......................20

Глава 2 Норменные ряды .......................22

2.1. Норменные ряды для формальных групп Хонды над кольцом целых одномерного локального поля ...............22

2.2. Норменные ряды для формальных групп Хонды над кольцом целых многомерного локального поля ..............31

Глава 3 Явная формула спаривания Гильберта для формальных групп Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля ............................42

3 1. Дополнительные обозначения....................45

3.2. Случай нулевой характеристики предпоследнего поля вычетов. 51

3 3. Случай конечной характеристики предпоследнего поля вычетов 64

3.4. Основной результат..........................70

Литература..................................72

Введение

Диссертационная работа содержит два раздела. Первый посвящен изучению норменных рядов, возникших в связи с необходимостью обобщения соотношения Стейнберга на спаривания с формальными модулями. Пусть ко - одномерное локальное поле нулевой характеристики (конечное расширение поля р-адических чисел (фр), содержащее группу /1дг корней степени N из 1. Хорошо известно, что символ норменного вычета Гильберта {•, ■ ^о х ^о ~~^ fлN удовлетворяет соотношению Стейнберга

(см., например,[18]). С помощью отображения взаимности спаривание Гильберта можно обобщить на формальные модули. Для мультипликативной группы соотношение (1) принимает вид

для любого элемента а из формального модуля. Наиболее близкими по структуре к мультипликативной группе являются формальные группы Любина-Тей-та. В 1978 г. С. Ленгом (см. [28]) была сделана попытка обобщить свойство (1) на формальные группы Любина-Тейта. Но, далее, в работе [11] И. Б. Фе-сенко и С. В. Востоковым было показано, что любое спаривание, которое удовлетворяет соотношению (2) для любой формальной группы Любина-Тейта, является вырожденным, т.е. соотношениее Стейнберга в виде (2) верно не для всех формальных групп. Пусть

• F- формальная группа над кольцом целых О^ поля ко.

• 7Го - простой элемент

• [7Го] - соответствующая изогения формальной группы, [7г^]-ее А^-ая сте-

(а, 1 — а)^ — 1, о^ОД

(1)

(а, = О

(2)

пень.

• к - конечное расширение поля /со, содержащее группу Wp корней изо-гении [ttq],

• Шк - максимальный идеал кольца целых поля к.

• F(S.'Як) - соответствующий формальный модуль.

В.А. Колывагиным(см. [19]) был указан метод построения таких рядов г(Х) из XOkQ[[X]], что г'(0) € О*ко и для любого расширения к, содержащего все корни изогении [7^] имеет место:

(r(a), a)pN = О

для всех а из Р(Шк)- Такие ряды г были названы N- норменными. Пусть д(Х) — а\Х + С12Х2 + ... некоторый ряд из и а\ - обратим в

Ок0. Рассмотрим ряд s(X) = П^еКсг^] v)). В [19, Предложение 1.3]

было показано, что ряд s(X) принадлежит C/^ffX]] и имеет вид г9(["Ло^](Х)), где гд(Х) - определен однозначно для ряда д(Х) и является N- норменным. Таким образом был предложен способ построения Д^-норменных рядов, но неизвестно все ли TV-норменные ряды могут быть получены таким образом.

В настоящей работе изучаются норменные ряды для аддитивного формального аргумента, т.е. рассматриваются ряды ip(X), для которых {c¿,(f(a))F,N — О ПРИ всех а из формального модуля. В данной работе норменными степени N будем называть именно такие ряды (а не относительно мультипликативного аргумента, как в работе [19]) . Абсолютно норменными будем называть ряды, которые являются норменными степени N при всех N ^ 1. С. В. Востоковым и Р. Перлисом изучались норменные ряды для формальных групп Любина-Тейта (см. [13]), в их работе были получены необходимые и достаточные условия норменности ряда, а в работе [15] результаты работы [13] обобщаются на случай мультипликативной группы многомерного локального поля. В настоящей работе (см. главу 2) тем же образом, что и в

[13], [15] исследуются норменные ряды для формальных групп Хонды. Найдены необходимые и достаточные условия норменности заданного ряда как в случае одномерного так и в случае многомерного локального поля с полем вычетов характеристики р > 2. Для п -мерного локальное поля К, условия норменности ряда имеют следующий вид:

Теорема 1. Ряд <£>{Х) Е ХС?т[[Х]] является абсолютно норменным для Г тогда и только тогда, когда ряд

удовлетворяет условию при всех т ^ 1.

Здесь Т - абсолютно неразветвленное подполе п-мерного поля К, 1р - логарифм Артина-Хассе, Н - высота формальной группы. Более аккуратно эта теорема будет сформулирована и доказана в главе 2.

Как уже упоминалось, исследование норменных рядов производится на основе явных формул для спаривания Гильберта. Проблема нахождения явных формул для спаривания Гильберта имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе [23] 1928 года, в которой были получены явные формулы для символа Гильберта в круговом расширении Кп = (0)р(Сп),СпП = Для паР (а> Сп) и (а, Сп — 1), где а - главная единица. Для (а, Сп) эта формула имеет вид

(„,Сп) = с;^1»-

где Тг = Тг^/х, р > 2. Еще одной фундаментальной работой, связанной с получением явной формулы спаривания Гильберта, стала работа И.Р. Шафа-

1

Ут{с1т) ^ Урк(т)

ревича [22], которая послужила толчком к появлению серии работ, посвященных явным формулам различных спариваний. Явные формулы для произ-вольного(одномерного) локального поля были независимо получены Сергеем Владимировичем Востоковым в 1978 г (см. [б]) и Хельмутом Брюкнерном в 1979 г. (см. [24]) при р > 2. Чуть позднее явные формулы были получены и для р = 2. Далее методы работ [22],[6] стали применять и для получения явных формул обобщения спаривания Гильберта для группы точек формального модуля. В работах [7], [8] и [9] были получены явные формулы для обобщенного спаривания Гильберта с формальным модулем Любина-Тейта для случая произвольного одномерного локального поля (в том числе и для четной характеристики поля вычетов (см. [9])). Пусть

• F- формальная группа Любина-Тейта над кольцом С^, соответствующая элементу Щ).

• £ - первообразный корень изогении [7Г^].

Явная формула для спаривания Гильберта (•, ' к* х F(Шífc) —> IVр имеет следующий вид:

{а,

Тг гее Фа>р ■

(О (3)

Здесь Фа_р - некоторая функция от а и /3, заданная в явном виде, х -некоторый многочлен (при р > 2 он равен 1)(см. [8]), а 2 - ряд, при подстановке униформизующей дающий Далее С. В. Востоковым и О. В. Демченко в работе [12] были получены явные формулы для спаривания с формальным модулем Хонды для одномерного локального поля. Найденные в [12] явные формулы будут использоваться в настоящей работе при изучении норменных рядов в одномерном случае, мы напомним их в главе 2.

В 70-х годах А.Н. Паршин и К.Като начали изучение многомерных локальных полей и связали многомерную локальную теорию полей классов с алгебраической Т^-теорией. Пусть

• К- п-мерное локальное поле.

• К&ъ - его максимальное абелево расширение.

• КпРК - топологический /Г-функтор Милнора.

Согласно многомерной локальной теории полей классов, существует канонический гомоморфизм (отображение взаимности)

ф : КпК ->■ {КлЪ/К).

В случае, если поле К содержит группу корней АГ-й степени из 1, при помощи гомоморфизма ф можно естественным образом определить спаривание КпК х К* —> ддг(см. [10]). В [10] была получена явная формула для символа Гильберта в многомерном локальном поле нулевой характеристики с полем вычетов характеристики р > 0(см. [10]).

Для спаривания Гильберта с формальным модулем Хонды явные формулы были найдены в [14] и обобщены на формальные группы, определенные над кольцом целых а -поля в работе [5]. При изучении норменных рядов в многомерном случае будем пользоваться формулами из [5].

В работе [21] результаты, хорошо развитой для одномерных локальных полей, теории формальных групп Любина-Тейта были обобщены на случай многомерного локального поля. Пусть теперь Т*1- формальная группа Любина-Тейта над кольцом целых О к п-мерного локального поля К с логарифмом А(Х). Пусть

• ¿1,..., ¿п - локальные параметры поля К, причем А(Х) — ¿^^(Х9) £ О к [[А']] (для группы Р элемент ¿1 определяется с точностью до ¿2^а:(см. [21]))-

• Ь - конечное расширение поля К, содержащее группу \Ур корней изо-гении

• F(9Л) - формальный модуль на группе точек максимального идеала кольца целых поля Ь.

В настоящей работе получена явная формула для символа Гильберта (•, : х F(ШÍ) —>■ 1Ур для многомерного локального поля Ь с послед-

ним полем вычетов нечетной характеристики, имеющая вид (3). Эта формула является обобщением формулы, полученной в [7]. В работе используется, неоднократно примененный раннее в работах, посвященных норменному спариванию, способ получения явных формул. Напомним кратко его суть. Сначала в формальном модуле группы точек формальной группы строится так называемый базис Шафаревича, который играет очень важную роль в арифметике локального поля. Он определяет разложение элемента из формального модуля с точностью до корней выделенной изогении формальной группы. Впервые этот базис был построен Шафаревичем в 1950г для мультипликативной группы с использованием функции Артина-Хассе (см. [22]) и в дальнейшем использовался для получения явных формул закона взаимности С. В. Востоковым в [6]. При переходе к формальным модулям необходимо обобщение базиса Шафаревича. Для одномерных формальных групп Любина-Тейта такой базис был построен С. В. Востоковым в 1979, для групп Хонды базис был построен О.В. Демченко (см. [17]). Затем в явном виде строится спаривание. Для этого сначала определяется вспомогательное спаривание на модуле кривых Картье, для которого проверяются основные свойства (аддитивность, независимость, инвариантность). После чего, при помощи вспомогательного спаривания, на том же множестве, на котором определен символ Гильберта (КмК х ^(9Л)), в явном виде можно определить спаривание, которое не зависит от выбора локальных параметров и от способа разложения в ряды по

локальным параметрам. Затем проверяется совпадение построенного спаривания с символом Гильберта на элементах базиса Шафаревича. Далее, используя уже проверенные свойства построенного спаривания, нетрудно показать, что построенное спаривание совпадает с символом Гильберта на всех элементах и, тем самым, дает для него явную формулу. Подробную библиографию по явным формулам для символа Гильберта можно найти в [25] или [30].

Глава 1

Определения и вспомогательные результаты.

Здесь будут изложены определения и известные раннее результаты, которые будут активно использоваться в работе.

Во всей работе п, 1г, е,т, N - натуральные числа, р -нечетное простое число. - обозначает поле р-адических чисел. Для поля К, будем обозначать Ка1д - алгебраическое замыкание поля К, КаЬ- максимальное абелево расширение поля К. Все формальные группы, рассматриваемые в работе одномерные. Множество Zn предполагается лексикографически упорядоченным.

Определение 1. С Р называется допустимым набором, если для любого 1 ^ I ^ п при каждом наборе целых jl+l,... существует целое г = i(jl+ь ..., ')п) такое, что

(гь ..., гп) <Е г/+1 = л+г,..., гп = ]п => ц ^ г.

Во всей работе к обозначает одномерное локальное поле(конечное расширение <0>р) с полем вычетов к, состоящего из ц = р^ элементов. Пусть О - кольцо целых поля к, а п - его простой элемент.

• К-п-мерное локальное поле нулевой характеристики, т. е. последовательность полных дискретно нормированных полей К — Кп, Кп-1,..., Ко, где каждое последующее поле является полем вычетов предыдущего, причем Хо-конечно, р - характеристика поля Ко, ад- число элементов К0.

• V = . .., : /С —- нормирование ранга п.

• v — : к* ъ - дискретное нормирование ранга 1.

• (¿1,..., £д) - система локальных параметров поля К, соответствующая

чать просто £ и называть простым элементом.

• Ок - кольцо целых поля К относительно п-мерного нормирования у.

• ЭЯк- максимальный идеал кольца О к.

• оа'-кольцо целых поля К относительно у.

• тк~ максимальный идеал кольца ок-

• о := IV(Ко) -кольцо векторов Витта последнего поля вычетов Ко. Будем считать, что задано вложение (^ио! \¥(Ко) > К.

• ОК - мультипликативная система представителей поля Ко в IV(Ко).

• Т-полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с полем вычетов характеристики р. Абсолютный индекс ветвления поля Т равен 1.

• ут - дискретное нормирование поля Т.

• От - кольцо целых поля Т.

Определение 2. Пусть а - эндоморфизм поля Т, который удовлетворяет

для любого а из кольца От- В этом случае пару (Т, а) будем называть

элемент будем обозна-

т[К) = {а еОк: (у%\а),уР(а),у^(а)) ^ (1,0_____0)}.

условию:

а (а) = ар тос1 р

а-полем.

В [5] было показано, что поле Т обладает, по крайней мере , одним таким автоморфизмом о. Пусть

• Cß - р-адическое пополнение кольца

\f = y drxr :dreT; v(drXr) ^ 0, lim v{drXr) = oo 1 ,

I 1' r—>+00 J

где fi> 0- рациональное число, v(drXr) := 'ит^г)+цг - ^-нормирование, (см. [5]).

• Lß '■- Umez ХтСц.

Модуль кривых Картье мультипликативной группы.

Пусть ki = QuotW(Ko)- поле частных кольца векторов Витта последнего поля вычетов Ко поля К. Любой элемент a 6 К* можно представить в виде

а = ^а4г11 ...Q, arEW{K0),

reí

где f = (ri,... ,гп) пробегает некоторый допустимый набор индексов из Zn. Пусть

. M = М{К) := fci{{Xi}} ... {{Xn_!}}((Xn)).

• О'м = {Еге1,г>о ■ ■ ■ : аг в W(K0)}.

• Um = 1 + 0'м.

• А:= W(K0){{Xl}}...{{Xn^l}}.

• 0(р) := Л{{Хп)).

• H =< Xi > х < Хч > X • • • X < Хп > х9Г X Um с ojpj.

Ti будем называть модулем кривых Картье для мультипликативной группы Кх. Имеется следующий (неканонический) эпиморфизм:

77 : Н —> К* a(Xi,... ,Хп) a(ti,.. .,£„).

Для каждого a Е К* выберем прообраз а относительно эпиморфизма rj\

а Е ..., tn) = a.

Пусть дт := Далее будем часто использовать следующую лемму, доказанную в [5]

Лемма 1. Пусть fki{X... ,Хп), 1 ^ k,l ^ п - заданные ряды поля М = М(К). Предположим, что для всех 1 ^ k.l./m ^ п выполнены следующие условия:

d,nfk i = difk m-

Пусть Дг, 1 ^ г ^ п обозначает определитель матрицы, полученной из матрицы (fki)i^k,Kn вычеркиванием г-го столбца и п-ой строки. Тогда для любого (f> Е М выполнено равенство:

¿(-^ддр = ¿(-1 Г1дг{\^р).

г=1 г=1

1.1. Формальные группы

Далее будем придерживаться следующих обозначений. Пусть F- формальный групповой закон (далее формальная группа) с коэффициентами из кольца А. И пусть В - подкольцо А такое, что EndF С В, т.е. каждому элементу а из В соответствует единственный ряд [а]^(Х) Е Л[[Х]], который является эндоморфизмом F, причем [а]р(Х) = аХ mod deg2. В тех случаях, когда это не будет приводить к путанице, вместо [a]f будем писать просто

[а]. Пусть С - кольцо, такое, что для всех х,у 6 С, a Е В корректно определены F(x,y) и [а](ж). На С определим структуру Б-модуля следующим образом:

a+FP := F(a, /3), a, fie С, аа = [а](а), а € В, a G С.

Полученный формальный 5-модуль будем обозначать F(C). Вместо F(x,y) часто будем писать х +f У-

1.1.1. Формальные группы Любина-Тейта.

Понятия, определяемые в этом параграфе будут использованы только в главе 3. Рассмотрим множество степенных рядов из кольца 0[[Х]], удовлетворяющих следующим условиям:

f(X) = тгХ mod deg 2, f{X) = Xq mod тт.

Пусть / ряд из J-n. Тогда существутет единственная формальная группа высоты 1, для которой ряд / является эндоморфизмом. Такая группа называется формальной группой Любина-Тейта. Формальные группы F и С, соответствующие рядам / и д из изоморфны.

Формальные группы Любина-Тейта над кольцом целых многомерного локального поля

В работе [21] было определено понятие формальной группы Любина-Тей-та над кольцом целых многомерного локального поля К. Рассмотрим множество

Et = {1{Х) £ Ок[[Х}} : l(X) = tX mod deg 2, l(X) = Xq mod Шк}.

Как и в одномерном случае можно получить, что для любого 1(Х) Е ^ существует единственная формальная группа /^(Х, У) над О к такая, что 1(Х) -ее эндоморфизм. Такие формальные группы называют формальными группами Любина-Тейта, соответствующими эндоморфизму 1{Х). Пусть F(X, У) е Ок[[Х,У]] - формальная группа Любина-Тейта над кольцом О к и А(Х) - ее логарифм. Нетрудно убедиться в том, что, как и в одномерном случае, Епс1(.Р) ~ О к, [а](Х) = А_1(аА(Х)). В работе [21] были получены следующие утверждения:

Предложение 1. Пусть А(Х) — 1Х(ХЯ) € Сд'[[Х]]. Тогда для простого элемента £' выполнено условие \{Х) — £/_1А(Х9) € С?а-[[Х]] в том и только в том случае, когда £ — £ .

Таким образом, по любой формальной группе Любина-Тейта с точностью до определяется простой элемент t(F) и однозначно определяется элемент 6 Ок/ш[К). При этом легко видеть, что Ок/*т[к) « 0Кх (см. [21], предложение 3), где Оку - кольцо целых поля К\. В работе [21] также была доказана:

Теорема 2. Формальные группы Любина-Тейта F(X, У) и У) изоморфны над Ок тогда и только тогда, когда = £(С)7 причем в этом случае они строго изоморфны.

В классе изоморфных групп Любина-Тейта содержится формальная группа Га с логарифмом Артина-Хассе:

Хч Xе? \а{Х) = X + — + + ...

Лемма 2. Пусть Р- формальная группа Любина-Тейта над О к с логарифмом А. Тогда А можно пре�