Произведение степенных вычетов как интеграл Шнирельмана, и обобщения закона взаимности Эйзенштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Иванов Михаил Анатольевич

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ КАК ИНТЕГРАЛ ШНИРЕЛЬМАНА, И ОБОБЩЕНИЯ ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ ЭЙЗЕНШТЕЙНА

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 ош

005017053

Санкт-Петербург - 2012

005017053

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-механического факз'льтета Санкт-Петербз'ргского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ВОСТОКОВ Сергей Владимирович Официальные оппоненты: КУЗЬМИН Леонид Викторович

доктор физико-математических наук. Институт информационных технологий НИЦ "Курчатовский институт", ведущий научный сотрудник

ЛУРЬЕ Борис Вениаминович доктор физико-математических наук, Петербургское отделение Математического института им. В. А.Стеклова РАН, старший научный сотрудник Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова

РАН

Защита состоится « _ 2012 г. в часов на заседании дис

сертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государствен ном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горькс го Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат разослан « » СЬъ Р^Ъб»Цу 9п 19 г. Ученый секретарь

диссертационного совета 1V, Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена классической проблеме в теории чисел — закону взаимности. Как известно, эта проблема имеет своим истоком работы Ферма и квадратичный закон взаимности Эйлера-Гаусса. Практически весь 19-ый век в алгебраической теории чисел был так или иначе посвящён поиску явной формулы для произведения степенных вычетов. Девятая проблема Гильберта связала произведение степенных вычетов с конечным произведением локальных символов Гильберта, что свело задачу к изучению локальных полей.

Проблема получения явных формул для символа Гильберта в произвольном локальном поле имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе, получившими явные формулы для символа Гильберта при некоторых ограничениях в круговом поле <0>Р(£Р)- Следующий шаг был сделан в работе Шафаревича, который нашел алгоритм вычисления символа Гильберта в произвольном локальном поле на так называемом каноническом базисе.

В случае произвольного локального поля К явные формулы для символа Гильберта были независимо получены Востоковым в 1978 году и Брюкнером в 1979 году для случая р ^ 2. В начале 1980-х годов появились явные формулы и для случая р = 2.

Довольно давно возникла идея об аналогии этого раздела теории чисел с теорией функций, но впервые чётко она была сформулирована, вероятно, Кронекером, который говорил, что простые идеалы играют ту же роль, что и точки римановой поверхности в полях алгебраических функций, простым делителям дискриминанта числового поля соответствуют точки ветвления римановой поверхности и т. д. Гильберт первым начал исследовать эти вопросы в числовых полях, проводя аналогию своего закона взаимности произведения

символов нормекного вычета с интегральной теоремой Коши. Шафаревич продолжил эту линию и показал, что с этой точки зрения локальный символ норменного вычета является аналогом вычета абелева дифференци-

ала ас//3 в точке р. Закон взаимности, впервые доказанный Хассе, согласно идеологии Гильберта-Шафаревича, должен быть аналогом интегральной теоремы, утверждающей, что абелев интеграл дифференциальной формы на римановой поверхности равен сумме вычетов этой формы в особых точках.

Первый шаг в получении аналогии классического закона взаимности с интегральной теоремой Коши был сделан Востоковым, разбиравшим классический закон взаимности отношения символов степенных вычетов в круговом поле как произведение конечного числа локальных символов норменных вычетов. Там было показано, что правая часть закона взаимности является полным аналогом суммы вычетов функции в особых точках, которыми являются корни из единицы. Основная цель диссертационной работы — показать в явном виде эту аналогию.

Эти представления произведения символов степенных вычетов удобно применить к изучению закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений.

круговом поле гДе С — первообразный корень простой степени р из 1,

а а и /3 — числа из кольца

Далее этот вопрос изучал Хассе, обобщивший закон взаимности Эйзенштейна на достаточно произвольное круговое поле и получивший достаточное условие равенства символов в достаточно общем случае.

Дальнейшим развитием этого вопроса является перенесение этого результата на формальные группы Любина-Тейта — классического обобщения мультипликативной групы локального поля. Формулы для обобщенного символа норменного вычета в этой ситуации были получены Востоковым в 1979 году, но в них были ограничения, не позволяющие использовать их для этого. В

Готтхольд Эйзенштейн изучал равенство степенных вычетов

настоящей работе мы избавляемся от этого ограничения и получаем закон взаимности Эйзенштейна.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых явных формул, в некотором смысле аналогичных интегральной теореме Коши, для отношения степенных вычетов в круговых полях, а так же в последующем использовании этих формул для доказательства закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений.

Методы исследования. В работе используются подходы к получению явных формул для символа норменного вычета (символа Гильберта), его обобщения на формальные группы и для отношения степенных вычетов в глобальном поле, разработанные С. В. Востоковым и его учениками. Так же мы используем теорию интеграла Шнирельмана. В третьей главе используются методы теории формальных групп, и, в частности, теория формальных групп Любина—Тейта.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Получено представление отношения символов степенных вычетов в виде интеграла Шнирельмана.

• Получено условие равенства символов для любого /3 в

в глобальном круговом поле в случае, если а лежит в Ъ, (а, п) = 1. Более того, указано, что равенство символов для любого /3 равносильно равенству для некоторого фиксированного /3*.

• Построена новая формула для обобщенного символа Гильберта на формальных группах Любина-Тейта.

локальном круговом поле в случае, если а лежит в Ъ*р.

• Получено условие равенства символов

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты второй главы диссертации могут быть использованы в разных задачах, связанных с символом норменного вычета локального поля и строением глобальных полей, в частности, нахождении степенных вычетов. Методы третьей главы диссертации могут быть использованы для исследования относительных групп Любина-Тейта и групп Хонды.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на X Белорусской математической конференции, Минск, 2008 г. ([1]), международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург, 2010 г. ([3]), и международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова, Казань, 2011 г. ([5]).

Публикация результатов. Результаты исследований отражены в шести печатных работах, из них три статьи в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ([2, 4, 6]) и три публикации в тезисах и материалах конференций [1, 3, 5].

В статье [2] соискателю принадлежат результаты параграфа 3: доказательство леммы о следе и основной теоремы об эквивалентности трех условий закона взаимности Эйзенштейна. В статье [4] соискателю принадлежат замечание 1.2 и лемма 1.3 определяющие структуру спаривания, леммы 1.4, 1.5, 1.6 и предложение 1.7, в совокупности дающие независимость спаривания относительно разложения по степеням униформизующей, основная теорема 1.9, и лемма 2.1 и теоремы 2.2 и 2.3, в которых получено обобщение закона взаимности Эйзенштейна. Остальные результаты в статьях [2] и [4] принадлежат соавторам. В работах [1, 3, 5] соавтору принадлежит постановка задачи и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

трех глав (первая глава содержит три раздела, вторая — четыре раздела, и третья — пять разделов) и библиографии. Общий объем диссертации — 47 страниц. Библиография включает 23 наименования.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится формулировка основных результатов, а также кратко излагается структура работы.

В первой главе вводятся основные определения и приводятся вспомогательные утверждения. Напомним некоторые из определений: будем рассматривать локальное поле к (конечное расширение (¡2р) для некоторого нечетного простого р. Пусть Т — его подполе инерции, а о — кольцо целых поля Т. Разложением элемента а из к* в степенной ряд по простому элементу тг с коэффициптами из о, будем называть разложение

где первый коэффициент лежит в о*. Будем обозначать соответственно

Заметим, что этот ряд лежит в о((Х))*.

На кольце о((Х)) можно стандартным образом определить действие оператора Фробениуса А расширения к/<0>р. Тогда на нем определены логарифм и экспонента Артина-Хассе следующим образом:

а = аттгга + ат+1тгт+1 4- ат+2тгт+2 + ...

а>

(X) = атХт + ат+1Хт+1 + ат+2Л'т+2 + ...

(1)

ЕМ = ехр((1 - |)'ф) = ехр (1 + £ + £ + ... ) (ф). (2)

Эти отображения индуцируют гомоморфизмы между о((Х))* и Хо[[Х]], причем являются изоморфизмами между 1 4- Хо[[Х]] и Хо[[Х]].

В дальнейшем мы предполагаем, что поле к содержит все корни степени рп из 1. Пусть : к* Са1 (каЬ/к) — отображение взаимности. Тогда определен символ норменного вычета (символ Гильберта):

Определение 1. Символом Гильберта будем называть спаривание (•,-) = (-> -)п,к ■■ к* х к* —> цп (а, Р)п,к =

где /Зр = (3, а цп — группа корней степени рп из 1.

Обозначим через о{{Аг}} двумерное локальное кольцо (Т,р), то есть множество рядов вида

¿62

Это кольцо содержит, очевидно, в качестве подкольца кольцо о((Х)). Как известно, элемент этого кольца обратим, если обратим хотя бы один его коэффициент.

В 1978 Востоковым была получена явная формула для символа Гильберта

Ф(а,0) гез-^

(«1Р) — СР" £ , (з)

где (р" — первообразный корень степени рп из 1,

Ф(а, §) = ¿т(а) ¿(¿М) - ет(а)ГЧр + ^(/^а"1^, (4)

Вторая глава посвящена интегралу Шнирельмана и его применению для вывода формул в локальных и глобальных полях.

В первым параграфе определяется Интеграл Шнирельмана и изучаются его свойства.

Определение 2. Последовательность многочленов gi(X), g2(X), .. .из Z[X] будем называть допустимой, если для нес выполняются следующие условия:

1. gj(X) не имеют кратных корней.

2. Если gj(X) = Хп' + сиХп" + • ■ • + cj4iXn>» + cd, то \rij\p = 1, |с0|р = 1 и rij — rij, 1 ->• со, nj,ß оо.

Обозначим корни gj через а\, а^, • ■ ■, апг

Определение 3. Пусть U — некоторое подмножество Qf9, f(x) : U -v Qp9, « 9j — допустимая последовательность. Интегралом Шнирельмана с центром хо и радиусом г называется

fix) = lim У^ — /(zo + ra;),

j-> ОО ¿—S Tlj

если значения f(x) в точках х0 +rai определены и предел существует. Это определение является дискретным аналогом контурного интеграла

i f(z)dz. о

Поэтому естественно называть последовательность gj "контуром'', по которому происходит интегрирование.

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, показывающая, что интеграл Шнирельмана обладает свойствами, аналогичными свойствам комплексного контурного интеграла:

Теорема 4. Пусть Р{Х) е — степенной ряд, сходящийся в круге ра-

диуса |г|р, a Q(X) 6 К[Х] — многочлен не имеющий корней равных по норме |г|р. Тогда значение JTorgç[fy определено и равно сумме вычетов функции ^jij по всем полюсам внутри круга радиуса |г|р. Таким образом, значение интеграла не зависит от выбора последовательности многочленов g у

В дальнейшем мы опускаем индекс д в интеграле и считаем, что последовательность многочленов ("контур") задана формулами:

д3 = Хп*~ 1, (п,-,р) = 1.

Во втором параграфе мы формулируем и доказываем первый основной результат — представление в новой форме отношения символов степенных вычетов.

Теорема 5. Для отношения символов степенных вычетов выполнено

где Ф определено в (4), а деление в интеграле происходит в двумерном локальном кольце о {{Л'}}.

На основе этих формул в третьем параграфе доказывается закон взаимности Эйзенштейна в локальном поле, то есть дается необходимое и достаточное условие равенства единице символа, если один элемент лежит в 2*.

Теорема 6. Пусть К = <0>р (Ср»). Тогда для а €

гпос^.

Р/рЛа/р» Р

В четвертом параграфе, воспользовавшись теоремой Востокова о глобальном законе взаимности в круговом поле, мы получаем закон взаимности Эйзенштейна в глобальном поле, то есть отвечаем на вопрос, когда отношение символов степенных вычетов равно единице, если один из аргументов целое число, взаимно простое с п. Пусть а — фиксированное целое рациональное число, такое что (а, п) = 1, тогда:

Теорема 7. Следующие условия эквивалентны

1. {а. а}„ = 1 для всех а € (<*,n) = 1.

2. {а, 1 - С((, - 1)}« = 1, 1 ^ t < г. 2. "filial = 0 mod р"\ 1 ^ i < г.

Pi 1

Здесь, положив п = р^1...

, Ci = CP;<, С' = Cp,...pr-

Результаты второй главы опубликованы в работах ['2, 6]. В третьей главе результаты §2.3 обобщаются на случай формальной группы Любина-Тейта.

Пусть F(X, Y) — одномерная коммутативная форматная группа Любина-Тейта, определенная над кольцом целых о локального поля к характеристики 0 с полем вычетов нечетной характеристики р. Пусть к' — конечное расширение к, а ОТ — максимальный идеал поля к'. Тогда формальная группа F(X, Y) определяет о-модуль F(OT). Обозначим ее логарифм

оо

\{Х) = X+ С2Х2+ ^TcjXj, (5)

з

а изогению, соответствующую простому элементу п поля к,

ос

[ТГ]РО = жХ + тгСХ2 + Хч + 7Г ]Г gix\ (6)

;=з

Пусть поле к' содержит все корни изогешш [л-'1], и £ — первообразный корень этой изогении, то есть [7гп](£) = 0, а [7гп_1](0 ^ 0.

Обозначим Т',Т — подполя инерции в расширениях к'/к и к'/Qp соответственно. Таким образом, структура рассматриваемых полей имеет вид

Пусть Л — автоморфизм Фробениуса в расширении Т'/к, тогда на кольце 07-((Х))* действует логарифм Артина-Хассе с нижним полем к, который был определен в (1).

Для формальной группы логарифм и экспонента Артина-Хассе задается формулой:

£г{ф) = (!-#) ЕР(ф) = X'1 О - ^у1 (у). Тогда на поле к' определен обобщенный символ норменного вычета: (•, • )р1П : к" х Е(ЭЯ) -» кег[тг"]г,

(а,/3)г,п = рГ--,р, (7)

где оа — автоморфизм из Са \{к'Ы9/к'), соответствующий элементу а в системе локальной теории полей классов, ар — элемент алгебраического замыкания поля к, получающийся делением точки /3 на изогению [7гп]^, то есть

МИР) = Р-

Введем ряд £(Л") из ог[[Х]] такой, что = Введем обозначение: зт(Х) = [тгт](£(Х)). В обозначении зп(Х) индекс п будем опускать.

В 1979 Востоковым была получена явная формула для обобщенного символа (ос, (3)р, при этом в ней а должен иметь вид

0Хт + ат+1Хт+1 + ат+2Хт+2 + ...,

где в — представитель Тайхмюллера. Это ограничение не позволяет использовать эти формулы для наших целей. В настоящей работе мы избавляемся от этого ограничения.

Итак, разрешим представления элементов к'* произвольными обратимым рядом из от((Х)У сняв требование, чтобы первый коэффициент был представителем Тайхмюллера. Для таких рядов логарифм Артина-Хассе можно определить так же.

Теперь определим спаривание как:

Второе слагаемое в ^определено в (5) и (6). В дальнейшем мы будем использовать то же обозначение для спаривания на рядах:

Для доказательства совпадения этого спаривания с определенным в (7) обобщенным символом Гильберта, нам необходимо доказать независимость от разложения по степеням униформизующей, от выбора униформнзующей, после чего совпадение с символом на паре (тт, /3). Сначала, в параграфе два, доказывается независимость спаривания {•, •) по второму аргументу, то есть, что спаривание (а, Р) не зависит от способа разложения элемента /3 из F(97í) в степенной ряд по униформизующей тт' с коэффициентами из 0т<■ В силу линейности спаривания по второму аргументу нам достаточно доказать

Предложение 8. Если Р{Х) € ог[[Х]], /З(тг') = 0 и а{Х) € от((Х)У, то выполнено равенство (а, Р) = 0.

В параграфе три доказывается инвариантность спаривания относительно замены переменной. Пусть имеется замена переменной X = д(У) = гУе(У),

К* х F(OTt) кег[7гп^,

(а, р) = [ГгтевФ(а,§)У]р(0,

где

(8)

5 " й 7Г — 1

(а, р) = (ТггеэФ(а, Р)У) тос1 тгп.

где г € о*т, e{Y) = 1 mod Y. Заметим, что так как = EF(lF{l3)), то из формальной аддитивности функции Ер и линейности спаривания по второму аргументу следует, что инвариантность достаточно доказать для пары X, EF(aXm), m ^ 1, где а — представитель системы Тайхмюллера 9ч.

Поскольку функции if и Ef так же, как и Д, зависят от выбора переменной, то будем писать iF,x, EfX, Ах- Кроме того, для удобства обозначим

[а(Х), 0(Х)]х := те5хФх(а, §)V(X).

Тогда это свойсто сводится к

Предложение 9. Пусть р ф 2, X = g(Y) = rYs(Y). Тогда

[X, Efx(aXm)}x = \g(Y), EfX(agm(Y))}Y mod тг".

Все это в совокупности дает нам

Теорема 10. Для любого а € к'* и /3 € F(ffl) и рядов а(Х) € оТ((Х))*, Р{Х) е от-[[Х]] таких, что а(п') = а, Р(тт') = /3 имеем равенство

(a, Q = (а, P)f.

Тем самым,

(а, /?)F = [Tires* Ф(а,/3)1/](£), где ряды Ф и V определены в (8).

Последний параграф посвящен закону взаимности Эйзенштейна. Основными результатами параграфа являются две следующие теоремы:

Теорема 11. Пусть к' = &(£), [я-](£) = 0, £ 0 — поле деления круга для формальной группы Любина-Тейта F(X,Y). Тогда для а 6 о*, /3 е F(Wl) гш.еем

ач~1 — 1

(а, Р)гл = 0 ^-/?'(0) = 0 mod тг.

7Г —

где [3(Х) — произвольный ряд из кольца о[[Х]], такой что /3(£) = /3.

14

Теорема 12. Пусть к' = к {О, ИИО = °> К'ЧИО + Тогда для а е о*

пп- 1

(а, ß)Kn = 0 Mß -=- ее 0 mod пп.

л

Результаты третьей главы опубликованы в работе [dj.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Сергею Владимировичу Востокову за постановку задач, терпение

и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации

1. Востоков С. В., Иванов М. А. К одной работе Hasse о законе взаимности Эйзенштейна // Тезисы докладов X Белорусской математической конференции, Минск, 3-7 ноября 2008г. : Под ред. С. Г. Красовского, А. А. Ленина. Минск: Институт математики HAH Беларуси, 2008. С. 18-19.

2. Востоков С. В., Иванов М. А., Пак Г. К. К одной работе Хассе о законе взаимности Эйзенштейна // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2009. Т. 365. С. 122-129.

3. Vostokov S. V., Ivanov М. A. Product of p"-power residues as an Smrel'mann's integral // Материалы международной алгебраической конференции, посвященной 70-летию проф. А. В. Яковлева. Санкт-Петербург: 2011. С. 164-165.

4. Востоков С. В., Иванов М. А. Закон взаимности Эйзенштейна для формальных групп Любина-Тейта // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2011. Т. 386. С. 129-143.

5. Востоков С. В., Иванов М. А. Произведение символов рп-ых степенных вычетов как интеграл Шнирельмана //. Алгебра и математическая логика,

Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дь. рождения В. В. Морозова. Казань: КФУ, 2011. С. 71-73.

6. Иванов М. А. Произведение символов р" степенных вычето) как абелев интеграл // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 2 С. 120-129.

Подписано к печати 10.04.12. Формат60x84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,16. _Тираж 100 экз. Заказ 5427.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-4043,428-6919