Методы теории многомерных вычетов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г

лкаде.1ш наук ссср ОРДЕНА ленина СИ1ЙРСКОЕ СТОЯЩИЕ

институт жти.итпки

О

На правах рукописи

V

Цлх Август Карлович

У

Л (V

ЕЩс 517.04+ 513.8а;

МЕТОДУ ТЕОРШ Ы!ЮГОМЕРШ]^ЙжЕТО

01.01.01 - г

еский IV

Авторе^ ерат \ диосЛй-аиии ^соискание гщщой степени ктора , НЭДК

<7 ^

с

Наро^ибир^ / У

1ЬБ9

Рабата выполнена х. секторе тсэрш» йуккций Института физики им. .Я.Ь.Киренекого Спйлрского отделения АН СССР

Оо'ициаш.ные оппонента: цоктор (.язшсо-матеглатических наук

ГЛ.1Депкш

доктор 4изако-!.шемат-ических наук, t'pogeceop С.Л.Крумкал*

до:стор ^изико-матеш'х'кчоских наук, пссй.уссор А« Садуллаев

Ведуща орх'ализацця : Математический институт

ш.р.Л.С-гекяова АН СССР.

Запета состоится ___________,_1980 г. в___ час си

ка заседании опощхглпзироваакого совета Д 002.23=02 по защите диссертаций - ка соисхиашз уче;;ой степени доктора наук при Шституте.штсш'лаи .СО Ш СССР lio адресу: 680090, г.Новосибирск, S0, Угашерситетскл£ проспект, 4.

С- диссертацииъ иошю ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект. 4.

Автореферат разослан "_"__]___ 1990 г.

Ученый секретарь ояецишшзированного совета доктор физико-математических наук, профессор

Bfeutj Б.С.Белоносов

ОЕЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Акуаяьность теш. Теория вычетов известна своими многочисленными применениями в различных разделах математики. Очень часто понятие вычета возникает нч стыке дискретной и непрерывной математики: в рамчах дискретной математики вдчет пояиляот-зя как аппарат того или иного исчисления, и в тех случаях, <огда вичет допускает интегральную интерпретации, значительно расширяются Еозмо:каости его использования, пре.-эде всего, благодаря формуле Стокса, ,

большое влияние на развитие многомерных вычетов оказала •лига Е.Лере, в которой в связи с исследованием дшГференциаль-ш уравнении с' частными производными было введено обобщение ычета Ноши (понятие формы-вычета и класса-вычета) дал замзшу-ой дифференциальной формы со с полюсами на подмногообразии $ коразмерности один. Грубо говоря, <1орма-вычет представля-т собой »Торчу на Л » полученную из и) с помощью одномер-эго Еычета Коши в комплексных прямых,' трансверсалькых к й . работах С.Норгэ и Дд.Кинга теория Лоре била распространена 1Я специальных форм с особенностями на подмногообразиях или ¡алитических подмножествах коразмерности р > 1 , при этом в зансверсальиих сечениях комплексной размерности р вместо пета Кики использовалась корила Мартинелли-Ьохнера. Заметим, 'О такой подход позволяет получить формулу Пуанкаре-Лелона для лных пересечений любой коразмерности, эффективно изучать по-ки аналитических множеств.

Другой подход к изучению полных пересечений коразмерности > 1 осуществили II.Колес}(Г. и М.Ьррера путем рассмотрения в , энсверсадышх слоях локальных (точечных) вычетов, совпадающих вычетами Гротендика в алгебраической геометрии; тем самым, <рлышй вычет является в некотором смысле модельным. Его ал-■раипаскоя интерпретация в виде следа мероморфной функции от-:птелыю конечного расширения кольца степенных рядов служит (равной точкой для алгебраического понятия вычета в более об-уации 'уДЖ.ТэЙт, р.Хартсхорн, А.Н.Паршин и'др.1). Локальный вычет- для простых пересечений впервые был рассмот-в пионерской работе А.Пуанкаре, который применил его для бдения разложения Лагранка. ¿тот вычет является обобщением

логщяДмического вычета, рассмотренного в первых работах по ио-гоморшал вычетам: Ц.^щона и &,Ликара. Исследование логарифмического ьичсх'а оило цродолкено Р.^ачиоподи, Еи&ргинсдля, Г.Со-рани, А.ИЛшкоыш и друх.ш авторами. Наиболее многочисленные применения локальный вычет получил при исследовании нулей векторных полой ь работах РЛотаа, ЯЛ'онга, «.•.ГршЪ?птеа, Л.А.Айзенберга, А. Г. Хованского и в ряде других рас от. Отмети?: такае применения локальных вычетов, в частности, логарифмического вычета в комбинаторике ^Г.П.Егоричев, АЛЛ каков) и в задачах о неявных отображениях (ал1л:::аков,), Наконец, локальный еычст является ог?<! ективншл олгеоранчоским инструментом в теории осооенностен и в асимптотических исследованиях интегралов с гшраметрами ¡,В. П. Арнольд, А.Н,Марченко, С.;,:,Гусейн-оаде, Ь.П.Паланодов).

С точки зрения многомерных вычетов !, теории лере) интегралы с параметрами впервые исследовались в рамках пелнмановских интегралов, встречающихся в теоретической уизшее. Основой такого исследования бил гошлогичсски]'! подход с цомрщыо теории Пикара-ЛегГыеца, ¿тот подход в совокупности с теориоИ особенностей дифференцируемых отображений также весьма элективно применялся к изучению асимптотики и ветвления интегралов метода стационарной (Тазы и.Н.Барченко «др.),

¡Заметим, что перечисленные применения локальных-вычетов были основаны, либо на свойствах отдельного локального вычета, либо на весьма частных проявлениях теоремы о вычетах, а теория Дере бшт наиболее полно развита лишь ддя полярных мноя;еств~ без особенностей. Гместе с тем ряд актуапышх задач комплексного анализа и его прилолсений привел к неооходимости рассмотрения таких.апегл'ов теории многомерних вычетов, как <|ор:лулировка общей теоремы о Еычетах 1в рамках теории локальных вычетов) и построение теории дере ддя полярных множеств с осббенностями.

Ге;ш1зации указанных аспектов, а такие развитию аппарата ■ шогомерных вычетов в целом и расширению области его возможных применении, и посвящена диссертационная работа. Таким образом, нельв работы является:

X) разработка метода разделяющих циклов в теории локальных вычетов, составляющего содержание теоремы о вычетах в рамках отой теории;

2) развитие метода глгг.пого значения вычета, как основы теории Леро для полярных множеств с особенностями;

3) применение разработанных методов многомерных вычетов в комплексном анеитзо, т> алгебраической гоометрш!, к зачислению кратких интегрален, оггисонню асимптотики коэффициентов Теклора (.ункцил нескольких переменных, решению основных задач теории двуморнкх цифровых рекурсив-них (¡ильтров.

Научная новизна исследования заключена в следующих основных результатам: диссертации:

1. Решена задача об описании циклов, разделящих гипорпо -верхности в комплексном аналитическом многообразии. Разработан метод разделящих циклов-в теории локальных вычетов.

2. Доказан вариант бормулы вычета Лере для полярных мно:::е-ств с особенностями, на основе которого развит метод главного значения вычета и найден язык для решения проблемы продолжения голоморфных оункди]! с аналитических множеств.

3. Получены формулы понижения кратности интегрирования дая интегралов по пространству Н'г от рациональных функций, с помощью которых гложет, быть расширен список табличных интегралов.

4. Сведено новое понятие семейства кратностеИ для неизолированного нуля голомор]ного отображения, позволяющее изучать числа шилкора неизолированных особенностей^

С помощью разработанных в диссертации методов- получены следуйте результаты:

5. Доказано обобщение теоремы Ьертини о порядке примерного идеала в кольце Оа , исследованы кратности нулей голоморфных отображений, получены формулы для вычисления ошибки квантования двумерных цифровых рекурсивных фильтров.

6. Дан ответ на вопрос А.Пуанкаре об асимптотике коэффициентов Тейлора мероморфных функций двух переменных.

• 7. Опровергнута гипотеза об абсолютной сходимости ряда из Коэффициентов Тейлора рациональной функции, непрерывной в замкнутом единичном бикруто; доказаны признаки устойчивости двумерных цифровых рекурсивных фильтров.

Основная методика исследования - синтез аппарата алгебраической -геометрии, алгебраической топологии, теории аналитических множеств, современных методов многомерного комплексного анализа.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Ьсесоюз-них конференциях но теории функции (.Новосибирск, I&76, Черноголовка, 1083), Международной конференции по топологии (Москва, 1979), летних математических школах по современным вопросам теории функций и топологии (Кацивели, 1У80, I2B4), школах-семинарах "Комплексной анализ и математическая физика" (Дивногорек, 1987, Ташкент, IS89), а также на семинарах Математического института им.В.Л.Стеклова АН СССР, Института математики СО АН СССР, Московского, Красноярского, Уральского, Ьелорусского университетов»

Некоторые результаты диссертации включены в книги Ь.Б.Набата "Ведение в комплексный анализ" (ч„2) и Е.МЛирки "Комплексные аналитические множества", а также в монографии других авторов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [22] , в том числе,.в монографии [18] .

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, раздела "вспомогательные сведения" и пяти глав, разделенных на 15 параграфов; параграфа разбиты на пункты с самостоятельными названиями. Объем диссертации 265 машинописных страниц, список датированной литературы содержит 218 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАЬОТЫ.

В разделе "вспомогательные сведения" цриведёны некоторые известные понятия и результаты, на которые приходится часто ссылаться в основном тексте диссертации.

В первой главе развивается метод разделяющих циклов в теории локальных вычетов. Речь идет о многомерном аналоге основного приема контурного интегрирования в одномерной теории вычетов, состоящем в замене исходного контура интегрирования на сумму

простейших - малых окружностей вокруг особых точек подынтеграль-ноИ функции (суть указанного приема составляет содержание теоремы о вычетах).

Необходимость в разработке такого приема для многомерной ситуации возникла в первых работах по многомерным вычетам, а именно, в работах Ы.Двдона и Ь.Пикара.в связи с обобщением принципа аргумента и логарифмического вычета на случай пространственных отображения. 1олее общим, чем многомерный логарифмический вычет, и в то же время наиболее точным многомерным аналогом вычета Ковш является локальный вычет (вычет Гротендика) относительно системы"гиперповерхностей ^дивизоров). Локальные вычеты поддаются точному вычислению, поэтому весьма ваздой является задача о возможности представления заданного интеграла ^ виде линелной- комбинации локальных вычетов и практического нахождения этого представления. Ьолее точно, пусть X• - комплексное аналитическое многообразие комплексно!! размерности п , на котором задела мерсморфная- ¿»¿йеренциашеол и.орма степени п. с полярными дивизора:.!!! г ' ^ локальных координа-

тах я = (,..., ) форма и) допускает представление

со = к л ... л ¿гп /Д •.,. • (

где- ^ - определяющие функции для дивизоров ^ , а к -некоторая голоморфяая функция, ¡¿здой изолированной. точке' а пересечения этих дивизоров сопоставляется локальный вычет формы СО , равный интегралу

1е$'о) = ге$}(к] \ ^ ■ ' И)-

а а ' • (гт)

Га

ю локаднто:.'.у фн-'кду " ■

рнентировапному условном d(алу. л ,,, л ¿(а/щ { 0 • Сог-асио формуле Стокса вопрос о представлении через локальные .влеты интеграла $' и) по заданному п. -мерному циклу С

со дулся к представлению этого цикла-через локальные циклы:

г - £ пл Га , п/2, (2)

где гомологическое представление ■ подразумевается в области X 4 р (здесь и далее р = Г^ О... V ), а Ъ - дискретная

часть пересечения Л . . . Л Гп . Решение задачи о представимости цикла Г из X 4 Г в виде (2) частично было получено в работах Е.Мартинелли, Г.Сорани к Л.П.&жакова. Б §1 дается полное решение указанной задачи.

Теорема 1.1. Если X - многообразие Штейна} то П -меряый цикл Г в X 4 Г допускает представление (2) тогда и только тогда, когда он разделяет систему дивизоров Т - { Г1Гп } т.е. когда

Г ~ 0 в X N (Г1и..ЛЗ]...иГа), (3).

где' П ] - знак пропуска.

Необходимость условия (.3) дая представимости (2) доказывается просто, оно отмечалось в работе Г.Сорани. Заметим также, что без условия штейновости многообразия X теорема 1.1 не верна (зто отмечалось А.П.Юхаковьил),

В практических исследованиях интегралов от меромор^ных форм в иногда целесообразно переходить к кошактиаикациям про-

странства С"" , поэтому желательно иметь описание разделяющих циклов в многообразиях, не являющихся штейновыш. Для таких ситуаций доказывается

Теорема 1.2. Пусть группа гомологий Нгп.1 (X) тривиальна и для всех ] от I до п дополнения Хч Г- являются многообразиями Штейна, Если пересечение Л ... ^ £ дискретно, то всякий п. -мерный цикл Г в X ^ Г допускает представление (2) тогда и только тогда, когда он разделяет систему Т .

Теоремы 1.1 и 1.2 показывает, что при весьма естественных ограничениях интеграл $ и) представляется в виде линей-

ной комбинации локальных вычетов тогда VI только тогда, когда Г разделяет полярные дивизоры цормы и) . Поэтому развиваемый в главе I метод представления заданного интеграла чороз локальные вычеты называется метолом разделяющих циклов.

Коэффициенты П^ в представлении {'¿) называются ко:кМи~ рентами разделение циклом Г системы в точке а. - . Б тоеддожениях 1,1 и 1.2 указаны способы нахождения коосМодиентов разделения для ваашх в практических применениях случаев. Б пред-южении 1,1 многообразие X - ото относительно компактный по-1иэдр в области С с С11 вида

X » { ге е : (г) е , >

'дв' ^ £ 0 (.0) . а - нокоторио плоские области. Обозна-

шм через ЗГ грань

{г е X : <}*(*)* дЯь , У

сзмерностя п + 1 , и пусть Г - остов полиэдра X , динственная ого грань размерности гь .'

Предложение 1,1,. Если система гиперповерхностей Т -{ ,..., У полиодра А такова, что

о в представления [2) для остова Г коо^йцконтц . П - 4 , .е. Г репдолает систем "Т ■ с коо'Кишецтгили 1 в каадоЛ эчке а £ 2 .

Предложение 1.1 является обобщением результата Л.П.Кракова, зторыиО(л1ективно использовался'шл при обобщении разлоаений хгранжа ;у1я неявных отображении ^вектор-функций многих перемен-:х), а такко Г.П.£горычоЕым при доказательстве большого числа югомерних комбинаторных толдебтв. Предложение 1.1 использует-г в §2 для вычисления полной суммы вычетов (глобального вычета) 'носктелыю полиномиального отображения в (Са .Б п.2.2 расстригается полиномиальное отображение специального вида, главах однородная часть которого имеет "ступенчатый" вид. Глобаль-

ный вычет относительно такого, отображения допускает.прямое вычисление путем разложения в ряд Лорана (предложение.2.2). Полиномиальное отображение со "ступенчатой" главной однородной частью представляет интерес по той причине, что с помощью (Тормулы преобразования для вычета и теории исключения к ней сводится вычисление глобального вычета относительно любого полиномиального отображения (А.П.Южаков)»

Еще одно применение предложения 1.1 дано в §3, где рассматриваются локальные вычеты, зависящие от параметра, и которые определяются интегралами вида (I) с формой о)± , полярной вдоль дивизоров = { ^ (гД) = 0 } . Речь идет о голоморфном продолжении таких вычетов благодаря возможной деформации цикла интегрирования. Применительно к одномерным' вычетам такая идея впервые была реализована Л.Пуанкаре и Ь.Адамаром. Предложение 3.1 утверждает, что локальный вычет относительно голоморфного отображения голоморфно продолжается в любую область параметра

t , над которой аналитическое множество -{ ^ ^=0, является аналитическим накрытием. Отметим, что с помощью результата предложения 3.1 К.Б.Сафонову удалось получить двумерный аналог теоремы Адамара об умножении особенностей.

Следствие 1.2 показывает, что локальный цикл по сути определяется п -1 гиперповерхностями системы . Результат этого следствия используется в п.4.1 при исследовании логарифмического вычета и в п.7.2, где теорема двойственности для локального вычета применяется к оценке показателя примарного идеала кольца 0а .

В предложении 1.2 для двумерного случая дается способ нахождений коэффициентов разделения на языке индекса пересечения цепей. Результат этого предложения-применяется в'§15 для вычисления ошибки квантования двумерного цифрового рекурсивного фильтра.

Вторая глава посвящена применениям локальных вычетов к некоторым задачам алгебраической геометрии, а именуо, к теории пересечений и к вопросу о принадлежности заданного полинома идеалу в кольце полиномов (С £2Х,..., 2П ] или в локальном кольце 0а ростков голоморфных функций в точке ае £а .

Б теории пересечений кратность голоморфной цепи А -

дг Л . . . л &т , полученной пересечением дивизоров Dj , определяется путем сужений этих дивизоров на трансверсшшше сеченая к цели А . Таким образом, Еопрос об определении краткости цепи-пересечения сводится к определению кратности изолированного корня а е С1 системы голоморфных уравнений / = О Эту кратность также называем кратность» нуля а отображения (или системы Функций) / ; она равна числу прообразов точек общего положения из образа некоторой окрестности точ-

ки а , и обозначается .

Наиболее простой и, в то >::е время, богатой по свойствам является классическая кратность , соответствующая опре-

деленной системе (.система уравнений / = 0 определенная, если в ней число уравнений пг равно числу неизвестных гг , и - переопределенная, если т. > п ). Классическая кратность предсташяется логарифмическим вычетом и согласно красивым результатом Л.Г.лушшренко, Д.Н.1 ерпктопна и Л.Г. Хованского, как правило, допускает вычисление через смешанный объем Минков-ского многогранников системы / .

§4 посЕя;ден дальнейшему исследованию классической кратности. Здесь вводится полезное понятие результанта системы {функции одного переменного, кратность которой в проекции корня а равна кратности /'■^И) (теорема 4.1). Заметим, что введенный результант обобщает результант Сильвестра двух полиномов и элективно использовался в задаче химической кинетики при описании механизма каталитической реакции и!.3.Лазман, Г.С.Яблонский, 1.11.1 шеоь. Химическая физика. 1Ж. .''2. С.23У-248)..

Теорем:; 4.1 применяется к вопросу о том, когда.классическая кратность системы определяется порядками Функций этой системы. Для системы /■ - (fí, . . . , /Л ) голоморфных функций в некоторой окрестности точки а € £л рассмотрим"систему однородных полиномов с центром в точке а.

сл. = ((V. .г-.<и.) >

состоящую из начальных отрезков разложений Те ¡'лора в точке а сункний систе:лц / . Степень полинома (/р* называется порядком функции в точке д. и обозначается ^

Теорема А.2. Кратность р-а(П . системы / рагна произведению порядков П ¿1 тогда я только тогда, когда а

является изолировашшм нулем системы ( / ) * • При этом всегда ^ П ^ .

Ссмотим, что достаточность условия теоремы следует из результатов Л.Г.Кушнирешсо и Д.НЛернштейна, а такие из принципа Руше, Необходимость условия'является более тонким фактом и из них не вытекает.

Е §5 для переопределенной системы строится результант с помощью которого доказывается формула логарифмического вычета (,теорема 5,1), аналогичная известной формуле Г.Сорани для определенных систем.

Б §6 введено новое понятие семейства кратностей неизолированного нуля голоморфного отображения. Пусть £ : (£* а) —<■(£'" о) произвольный росток голоморфного отображения. Для вектора э е 1К+а рассмотрим деформацию / - специального вида / - ís , где

£ * - ( £ ^ ..., ¿5а) , t е (Г .С вектором 5 ассоциируется кратность .и* (}) нуля а отображения . / , показывающая а ' ^

сколько нулей деформации / - I стремится к а при Ь -* 0 . С помощью разрешения особенностей доказывается

Теорема 6Л.- Октант разбивается на конечное число

конусов К0; К1 ,..., К п таких', что кратность уа* ( £) постоянна на кавдом конусе , причем конусы , Кт

открыты и на них < со , а К0 состоит из конечного числа

гиперплоскостей, в каадой точке 5 которых равна

либо 0 , либо сю ,

Если а - изолированный нуль для . / , то указанное в теореме конечное семейство кратностей состоит -из одной - классической.

Кратность ^и £ (] ) , соответствующая вектору 5 с условием » ... » совпадает с кратностью существенного нуля (существенного пересечения последовательности дивизоров ^ = = О У » 3 = 1,..., Л которая бьша введена в работах Колесита-Зрреры и Соломина.

В п.6.1-6.о подробно изучается кратность /^И) существенного нуля в случае, когда одномерны нулевые множества ростков

отображения / = (/,,..., Лг) и /' = (, ..., fn.t) . Кривая {f'=0}- представляется в виде объединения Ко L ДОУ* кривых, для которых fnj ^ = 0 f а f ] ^ * Ü

почти всюду. Соответственно, идеал </'> с C?tt . порожденный системой /' ', представляется в виде пересечения идеалов \.Г) L , где . - пересечение всех примарных кошонепт идеала < /' > , равных нулю на К »а С - пересечение всех примарных компонент этого идеала, равных нули на L Предложение 6 Л представляет собой принцип Руке о постоянство существенных нулей при определенных деформациях отображения. Следующее утверждение является аналогом известно;! теоремы В.П.Паламодова о равенстве классической кратности и рпзмсрн'ости локально!; алгебры 0а / ( f ">■ •

Предложение (-.2. Если идеал -t регулярный, т.е. порожден п - 1 ростками., то

■ jucJf) = dim l/u'. Ю .

? \

Б п,6,3 вводится локальный вычет its (я) относительно

а г

ростка / с одномерным нулевым множеством, как интеграл вида (I) по циклу Гл , в котором ¿L ... - ¿п.1 « I ^ . Для такого вычета доказан следуюж!' аналог- теоремы двойственности Гротендика.

Нрсгуто-топне 6.1:. Если идеал I ■ peryraputiii, то- its /

иевыроэдзл в том смысле, что.для kit вычет its} (6-f)

равен нуля для всех (j. € Ö й. тогда и только тогда, когда ■keif', (■' fn ^ * Если Регулярны оба идеала i и £ . , то билинейное отображение ..•'•>.' , *

..'■■га < 0Л /< К 4 > — С

/ а ' ' -

определенное пормулол tib Л h,<j) = Iii q ) t невырождено,

а ! а 1

Е п.б.4 указываете?! связь между. числом Мшшора

cU m ИП1 | <| = t } ростка голоморфной ö-ункции ^ с линейной

одномерной особенностью L ..= { z4 ..= - 2Я; • - О'} и кратностью

существенного нуля градиента V fy .. Ьта связь,выражается равенством (предложение 6.4) - - 1 (напомним,

что для изолированной особенности число .Милнора равно классической кратности градиента). С помощью предложений 6.2 - g.4 подтверждена гипотеза Д.Сирсмы ^ о том, что б + V -dim. (zt, . , ,,zn.ty/< Vty > , где 6 - число корсовских точек вне L , а г - число точек типа 3)^ на L соответствующей деформации ростка fy с особенностью трансвереаль-ного типа /}t на L , Заметим что другим способом гипотеза Д.Сирсмы была ранее доказана Пеликаном . Заметим также, что с помощью результатов §6 Л.А.Алякринский вычислил базис исчезающих когомологий средней размерности для однородного полинома с одномерной линейной особенностью трансверсального типа Ai

Применения локальных вычетов в теории идеалов даны в §?. Для полиномиального отображения f (D "" —С а с дискретным множеством кулей определяется глобальный Еычет R е s f как сумма всех локальных вычетов. Глобальный вычет является функционалом на кольце £[zl,..,,zn] , где он играет такую же роль, как локальный вычет в кольце 0а. * нег0 распространяется теорема двойственности (предложение 7.1), а в предложении 7.2 указана конструкция полиномов для эффективного использования указанной двойственности, т.е. для решения Вопроса о принадлежности заданного полинома идеалу в CtXls...,zn] , порожденному системой / . С помощью двойственности для локального вычета и сигма-процесса доказана следующая теорема, обобщающая известные теоремы Ьертини и Маколея, и в которой cfj порядок функции fj в точке а

Теорема 7.1. Пусть / = { ft > ... г in ) - система голоморфных функций с изолированны!/, нулем в точке а. б £ ^ и для некоторого j от 1 до п система I .. Ш . . ., (f„ однородных начальных полиномов обращается в нуль лишь на конечном числе лучей. Если порядок d ростка -he Qа удовлетворяет неравенству

_d > /аШ - П dj + Е dj - П ,

Siersrr.a D. // Ргос, of Symposia in Pure Math. 1983. V.40, part 2,

P.485-Л96.

km я G.R. // Thsnis. Utrecht. 1985. 120 p.

- 15 -

то h принадлежит идеалу <} >

Е третьей главе рассматриваются вычеты более обпио, чем локальный вычет (I;, которые ассоциируются с голоморфным отобрсле-нием / : Q —> £? аналитического пространства G . Такие вычеты изучались в работах П.Дольбо, л.Иварца, '.'¡.Ърреры, П.Ко-леффа, ДЛибермана и др., а в последнее время они эффективно применяются к проблеме "деления" функций на идеал и задаче интерполяции в (КЛеренстейн, Х.Герндтссон и др.). Они представляют собой интегралы полумероморфных форм по трубка;.: вокруг не-дискретннх аналитических множеств Z = f~l(0) , и их целесообразно трактовать как потоки с носителя?,га на Z п называть вы-четныш потоками. Если G - область в £л , то шчетнкй лоток (по Колеффу и Оррере;, ассоциированный с отображением / , это предел интегралов

R AV) Üra I , У ■. , t s-~~o j(<S) 1 •••'■гр

по трубкам Т£ = Та5} = {Не G : lfj(z)l-£j(t), .../>},

для которых при £ —<■ 0 каждый из радиусов ¿j (8) стремится к нулю быстрее, чем любач положительная степень последующего радиуса 6 ji {5) этой трубки. Поток R^ имеет биразмерность (п, n-р). Если Z 2 0) - полное пересечение: dimZ- п-р, то определение вычетного потока R^. не зависит от способа стремления к нулю радиусов £j трубки Т£ .

Теорема 8.1. Если elf ; = ¿jtA... л почти всюду на Z = {"1(0) отлично от нуля, то дяя всякой дифференциальной формы у бистепени (П, п.-р J, непрерывной и финитной в Q ,

Rf (У) - (2«i)P|it \ 7f , Н)

где Uf(2)| = max Ж. it) (здесь = lU^Jtl h Если Z не имеет особенностей: d { I ^ 0 , то в 14)

подынтегральная форма ноособая, поэтому гормула {А) переходит в классическую (Тормулу Хере

Р f п ? V 1

R, (V) = (2*0 } Res --- j _

f z ^ .. ■ ;f

Правая часть в ото главное значение интеграла по Z , к ш записываем оту формулу в виде

R4 (у) - {¿xi)r V. р. 7J-

ъ

15)

Способ исполт.зо!'лния о'ормулы Лере в виде (Б), т.е. с поправкой ■ главного значения для полярных множеств с особенностями, мы называем методом ^плк принципом; главного -значения вычета.

Т. С-1 метод главного значения вычета применяется к проблеме про, ..р.гхния слабо голоморйнгх Функ!;пй с' аналитических подмло-зкесть \слабо Г0Д0150р1н0Г; функцией на аналитическом подмножестве Ъ называется такая функция, которая задана и голо:-ор'на в регулярных точках 2 и локально ограничена на 2 ). вначале уточняется результат ¿.Ока о существовании универсального знаменателя для слабо■голоморфных бункниЛ 'на полннх пересечениях, А игленио, теорема £Л утЕеркдает, что если 'размерность $.*ло:хества . 2 = Г®сна п-р , то якобианы Ь2г является

укиьорсельш'ш знаменателя:.!;:,.т.е. для-лксо;; слабо голоморфной фуншдп; {% па 2 произведение к • локально го-

ломорфно иродслмлется с 2 .С помоди: о того факта,, теоремы Ь.Х и одного результата 1.!,'Лассаре доказывается слсдуадих критерий1 продолжимости.

Теотюма .Если (I { * 0 почти всюду на 1 - / ', ,

то всякая слабо голоморфная функция А. на 2 локально голо-кормно продолжается с 2 тогда ;г только тогда, когда <? -замкнут поток Т ,,определенный для у.е <£:а>а~р (д) формулой

. . Т(У) = V. Р. 5 А-4 .

~ а/ •

' Л

- 17 -

Из теореш 9.2 вытекают известные результаты Ьп.^альгран:^-К.Ипаллека (следствие 2.1) о голоморфной продолжимости слабо голоморфной функции, допускающей продолжение достаточно высоко;! гладкости с полного пересечения, ¡г I.Абъянкара вследствие 9.2) э нормальности полного пересечения с тонким множеством особенностей. Среди новых применений отметим следующий результат.

Теорема 10.1. Ьсякая рациональная дифференциальная 2-Форма з Ц2, вне своего полярного множества когомологична мероморфной Шфф'еренци&льной форме с полюсом первого порядка.

Эта теорема дополняет результат |;1.Атьи, Р.Хотта и Л.Гординга ) том, что в проективном пространстве порядок полюса

гажет быть понижен, вообще говоря, лишь до второго'.

В я.£.4 приводятся интегральные представления для слабо го-гоморфных Функций, которые являются аналогами интегральных фор-1ул Коти, Еейля и Бишопа и которые подчеркивают стирание разлили между этими (Горалами' на аналитических множествах. Б работа Г.М.Хенкина, Е.Стоута, г.М.Хенккна и И.Лайтерера, А.Пальма таи получены интегральные представления'для Функций на акалитл-:есюа множествах, однако, в этих работах функции либо про долились с аналитических множеств (зачастую интегральные Формулы приводились на предает описания свойств продолжающей Функции), ибо рассматривались на аналитических множествах без особешюс-ей.

. Б четвертой главе речь идет о вычислении интегралов рацио-альных функций

: , \ —-Щ- ¿X, ' (6)

Кп а(1) п

це Р и 0. - полиномы от X € К .с вещественными или комп-зксннми коэффициентами. Интегралы такого вида встречаются во тогих разделах математики и теоретической Физики. Весьма эффектным способом изучения этих интегралов является гомологический юсоб, в частности, теория Пикара-Лефшеца в случае, когда интег-зл зависит от параметра. Наше исследование основано на обобще-1ях классических приемов, применяемых в одномерном случае: ин-}грировзнии с помощью нахождения первообразной и с помощью вы-

чехов ь серхно;! полуплоскости. Указано несколько формул понижения кратности интегрирования. С помощью этих формул моглю вычислить определенный класс интегралов в терминах значений гамма-пункций, который монет пополнить список табличных интегралов. Одна из таких Сор:.:ул касается интегралов, у которых подынтегральная форма СО ' = Р ¿X / 0. имеет алгебраическую первообразную.

Теорема Н.^Г. Пусть (2 - эллиптически;! полином, не обращающийся в нуль на Й п . Если для дифференциальной.формы и) существует первообразная ^ в проективной комлактксикации Ц ]ра , которая в акпинных координатах X записывается в

Ц /L (X) ¿X Г»] , то интеграл (.6) равен нулю пшх п и выражается формулой

f Г 1-п . ( h £¡w Л) d2.,Jxnt

2 ) [Z* К{ z* ' •••> Хо

¡R."'1

ДЛЯ ЧС-THLÍX п

Теорема II.I получается с помощью формулы Стокса, если учесть, что при соответствующей триангуляции пространства fíj?n граница цепи интегрирования равна нулю для нечетных п _ к равна удвоенной бесконечно удаленной гиперплоскости для четных п 1зт;:м объясняется коэффициент 2 при интеграле; знак "-" связан с выбором ориентации). .

_ Пусть V - нулевое ?лю~.ество в £л , знаменателя d и V - его ко!.шакт;::."лка:д!я в проективном пространстве С Рп

Обозначим через { u) ^ j- базис рациональных п. -форм группы

когомологнй* Н п (CFns V) и через { и)^'1^ ]- -базис

рациональных ( fl-1 )-<JopM группы НП'1 (ÍP^S 4 V) .

где -Cf^ = С1РД N €a • u> = Pdz/Q допускает

представление

и) = X а^Ц^ +

OL

и пусть v а - коафг ициентц разложения для Ч ¿.«у» '10 базису г ' «Ь^пч

f . (n-n >

Интеграл dop:.2J

по

rn

(«Л

i

через I

соответственно, интеграл формы сО

<П-1) ß

'р

обозначим через по Rr

Следствие II.I. Если Q. - эллиптический полином, не обращающийся в нуль на Еа , то .для интеграла (6) справедлива формула " . ' ■

i -

Z

L

(П)

Ijs , ß четно,

a.I

(i)

r нечетно.

Таким образом, если V - гладкая гиперповерхность, пере-

секающая трансверсально £JP

n-i

то для нечетных п интег-

рал (6) выражается через (п-1 )-периоды (интегралы-по (П-1 )-циклам на V ), а для четных п - через интегралы по относительны?.! п -циклам и через ( п-2. )-периоды (интегралы по (п-2. }-циклам на V А CIP^ )•

Б общем случае понижение кратности интегрирования основано :ia следующей теореме, которая обобщает известный «акт о том, это интеграл по вещественной оси от рациональной функции выра-тлется через, сумму Еычетов в верхней полуплоскости. Рассмотрел вещественно ( п 1 )-мерную полуплоскость = £ * ¡Я11'1

еде (С - верхняя полуплоскость в С .В предположении, что QJ^rt ^ 0 комплексная гиперповерхность V пересекает

ю (П-1) - мерному вещественному алгебраическому множеству f , адторое ориентируем порядком координат 2п) е Л11'1

Теорема 12.I. Если Q | t 0 и интеграл (6) абсолютно

$

гходится, то для него справедлива формула

I = ZKi • V.p. J Restd ,

Г

да Res и) - класс-вычет формы и> = P(z) dz/Q (z) .

Формула (7) является еще одним вариантом формулы вычета [ере с поправкой главного значения. Она применяется к доказа-

тслзсп:у одного многомерного варианта формулы Сохоцкго о скач-г.е интеграла ^теорема 12.2; и гмостс с теоремой 11.1 позволяет И!].гзит:, через 'засченкя гсг.г:.а-С ункцик интегралы < 5> дат С =

( /(£) + 1) где / - л.чсой пололептелыш;'! на Йа 4 однородный полином.

I п.12.С с использованием метода разделяжих цпгаов для одного класса интегралов по ¡Я2, указана сормулц вычисления через локшшше ьнчот», уточняйся некоторое результаты д.Й. к'ъкоха и С.г!.1п.ыю1.а.

Пят^я глава посвящена применениям принципа главного значен;:.*! вычета.;! метода р&зделгпещих никлое в теории двумерных

1<>ы1Х рекурсивных !;;^5Троз;. Л именно, в не.': рспхсо'гся п]юб-ломн устопчньостг таких пильтрад и задача ьнчисле.чия их окпбки квентогглкл. ГсякнМ гильтр указанного типа определяется рационально;'; :7уккщ:С'й Двух переменных

б (н1; г^} » Р.1г11г1)/й121,г1) г а{0,о)4о, кы

которая называется передаточно:5 функцией фильтра. Условие устой-чит ости фильтра состоит в сходимости ряда

1ц. к2чО

из модуле", ко^фпцнентов Тенора в пуле пере сточной пункции (£), а величина о:* иски кк нта ышя С^цтрг. определяется 'суммой

шла ,

/1 I ПККЦ2* . ас;

;ля сходимости ряда \Ы необходимо, чтобы наполнялось условие

поэтому для устойчивого фильтра ряд ТеЗлора потдгЦйточной ^ункцдаг коано отокдеотвкть с ее ряд ом .урье на то]:е Т 2 = { ¡'¿¡_\ - 12г1- 1 }

Хорошо известно, что если функция принадлежит классу С 2 на торе Тг , то ее ряд •✓урье абсолютно сходится, и к то :ко время существует пример Селигера функции класса С 1 на Т с неабсолютно сходящимся радом Сурье. На основании всех известных ранее результатов рб устойчивости с:иьтров Д./..даутоЕым было высказано предположение о том, что для рациональных ?угасцзЗ сйтуация более благоприятная, а тленно, км была сформулирована сле,цующая гипотеза '">:

Исследования пятой главы опровергают гипотезу (.12) в общем случае и выявляют условия, при которых она справедлива. Е целом в этой главе дано полное описание асимптотического поведения коэффициентов ТеИлора ц ( 'к1, для секций, голоморфных

в 11г и меромордлых в V.2- , вскрыта связь медду геометрией полярного множества функций ц поведением последовательности 1 О-1 , ) } па подмножествах двумерного массива Цк1,к2)\ =

Указанное описание основано на вычетной формуле для асимптотики последовательности { » являющейся многомерным аналогом известного факта о том, что асимптотика последовательности { а ("к)} коэффициентов Тейлора в нуле мероморф-ной функции (з (2) одного переменного 2 определяется вычетами дроби в ближайших полюсах функции (?(2) .А именно, пусть функция (8} мероморфна в Цг , т.е. Р} 0. е &(йг), причем ее полярная комплексная кривая

V = { (2,, 2г) : 0{21(22) = 0.}

л7 2 —р а

пересекает У. лишь в конечном числе точек 2 в I (последнее условие автоматически выполняется, если дробь (8) несократимая и ряд (9) сходится). Роль блигайших полюсов в двумерной ситуации играют не отдельные точки , а ростки У^ в этих

1)Ш.А.Даутов // ДАН СССР. 1981. Т.257. Я6. С.1302-1005.

точках Естественной кривой |f = V П j IZJ « В указанных условиях относительно V справедлива

Теорема К Л. Последовательность коэо([ици-

енто.ь ТеЯлора в нуле ддя. коромогйко; в U1 функции (8) асимптотически эквивалентна последо! ате;:ы:ости

G Jz. AJZ,

{ilK.K)) - - jj-Yl и и R

......_es

ZZl

" 'Г

2 ? V

При отсм йсимптотичекая эквивалентность увезенных последовательностей тг.коьа, что их разность убывает при tj' кг —<• 00 но медленнее экспснен^алз.но-мало;: ее личины:

uavm - fc^m* <onit > 0<%<l-

С иомоаьа теоремы ISЛ ьначале пока; од: с: я, что рациональная йунпцпя -

= иг1)'/(52г-it rUz^Hif.-u?-) аз)

непрерывно продолжается на 11 i я дпже удоыю 'юряет условию Липшица), однако ред кЬ).}Ж нес расходится; тем самым, <;ункцкя US.) представляет контрпример к r;:;mt>3v (12).Iатем исследуется характер с-скмптотическогб поведения ло«.;лдоьйтел1>кости '•

в заь-исгшосгн от - теокетрш: полярной кривоЛ/ V

1е°Р.£1:'Г:.Д.1,Л,> Если "луч" I (h., t fe.) } t cfi1 тисов, что

1 1 1 ' V м

для каждой точки V П Т* гипербола

{ г. гг - г, ' (Хг ) }

не касается ни одной прямой из касательного конуса криво;! 1/ в точке zl>>) , то "диагональная" последователшость

{^^I'^tH;, ti| экспоненциально убывает при 1il бо ■

Для всех остальных "лучей" убывание степенное. •

Эта теорема дает ответ на Еопрос А.Луенкарс оС асимптотике

- -

коэффициентов Teitnopa и об истишшх особенностях производящей функции "диагональной" последовательности iA.Пуанкаре. НоЕые методы нобеснол механики // Избр. труди: L 3 Т. I.!. I87I. Т.П.

Численные характеристики поведения последовательности { (j, ( k1, kz) } , в частности, скорость ухудшения убывания коэффициентов ^ (t "kt) по мере приближения к указанным в теореме 14.I "критическим лучам", описаны в предложениях 14.I, 14.2 и 14.5. Отн характеристики зависят от следующих величин:

(vf)

- порядков кссания в точках 2 мезду J -ой ветвь» кривоii V и тора - Т 2 ;

- порядков касания в точках 2 меэду j -он ветвью кривой V и гиперболой { = (zz'JI) *} имеющей с этой ветвью об'лую касательную в i <1,J ; '

.4» ' .у) р,

jf3j - порядков нуля в точках Я сужений числителя г на ветви кривой V

На основе результатов предложений 14.I, 14.2 и 14.5 получены ледующие признаки сходимости ряда (5).

Предложение 14.2. Если в точках 2*1" € v ft j1 градиент 3. отличен от нуля (.т.е. V - гладкая кривая в точках Zli>> ) выполняются неравенства ^

) ряд (9) для мероморфной функции (8) сходится.

Заметим, что для функции (13) множество V П Т состо-1 из одной точки z (i) = (i> 1) , в которой yiad Q ^ о >

тем в этой точке = 6 r jUa) г Jia)7 ,

Другой признак сходимости ряда (9) одновременно выявляет мки справедливости гипотезы (12).

Теорема 14.2. Если в каздой точке 2 (l" имеет место ра-

3 силу гладкости кривая V имеет в точках по одной

зетви, поэтому в обозначениях порядков индекс ] опускается.

- 24 -

Л (ьО (И) -

еснство порядков 0} = у^-- , то ряд (У) для мсромороной фун'лкш \С) сводится тогда а только тогда, когда выполняется условно VII).

всех расс:,:отрпн :!.!Х другими авторами знаменателен (2 выполнялись равенства * = 2. , что, по-видгало-

г.гу, и привело к < ормулировке неверноЛ -гшютозн (12).

Ь зиклдчгтолнюм §1£ рои,сыа задача о вычислении ошибки квантования фильтра, определяемой сушои ряда (.10). Например, если перодаточная функция (Ь) имеет действительные коэффициенты , Те.'игора, то с учетом равенства Парсеваля имеем

'■] = 5 и> ■ 44)

Ш1)1 I, Т*

с дифференциальной формой

е

ег

вторая представляется в виде и) « к ¿г.л ¿г, // , где

^ - 0. , а . fz и п. - но'которш полинош . Множество полисов йормы (д в проективном пространстве СРг состоит из кривых { = 0 } , =1,2. и, возможно, бесконечно-удаленной пр.ъмой Г^ '.Пусть • { ^ = о > + Г« , Гг = 1 ^ =«} . .С помощью метода разделяющих циклов, примененного к интегралу (14) доказана

Теорема 15.1. Если коэффициенты Тейлора для рациональной функции (8) действительные и ряд (10) для этой функции сходится, °то его суша выражается через локальные внчетн формы и) относительно дивизоров Г^ и по формуле

аь® а

где Ф « з&шканив в €Рг, области { 12^ <1, |£г|>1},

ID'IJUE&üK :ю TEJE д:ссьтт№

1. Цих А.К. О циклах, разделяющих нули аналитических с'ункцпл в

Сп // Сиб. тт. жури. 1075. T.I6. .',>5. С.ШЬ-Ш1.

2. Цих А.К. Кратность нуля голоморф ного отоора-иегшя в " // 0 голокорлшх «уищзмх многих ко; ¡плексннх перемошшх. Красноярск, 1076. C.I2I-I20 ио.научн.тр./Ц,- СС АН СССР).

3. Цих А.К. Двумерные гомологии дополнения алгоср: ичеакой кривой в (CFi // Изв. вузов. .Математика. ГЛ7. йБ. С,11:2-124.

4. Ижаков А.Я., Цих А.К. 0 кратности нуля системы голоморф них функций // Сиб. мат. журн. 1078. Т. £0. С.С1С-С07.

5. Цих А.К. О гсмологиях дополнений аналитических множесть, многомерных вычетах л их применения^ к свстогям уравнений // Автореферат канд. диссерт. Свердловск. i07i'. ií; с.

6. Айзенберг А.А., Цих А.К. 0 применении многомерного логарифмического вычета к системам нелинейных алгебраических уравнений // Сиб. мат. журн. II70. Т.20. .'М. C.G0Í-7G7.

7. Цих А.К. Теорема о полной сумме шчотоп в нроектиыюм пространстве // УШ, ÍS70. Т.£4. .ГС). 0.207-210.

8. Айзенберг Л.А., Болотов Б.А., Цих А.К. К решению систем нелинейных алгебраических уравнений с помощью' многомерного логарифмического вычета. О разрешимости в радикалах // ДАН СССР. 1080. Т.252. Н. С,II-I4.

9. Цих А.К., кжаков А.П. Свойства полной суши вычетос отнреи-

тельно полиномиального отображения и их приложения // Сиб.

мат. журн. I0S4. Т.25. j>"4. С,207-212.

10. Цих А.К. Критерий представимости интечт-алоь по циклим через вычеты Гротендика. Некоторые применения // ¿.'/Л СССР. 1084. Т.277. .'"5. C.I0G3-ÍG87.

11. Цих А.К. Локалтне вычеты в £ ^ . Адгебраическио применения // Мат. сб. КОБ. ТД23, Г?2. С.220-242.

12. Цих А.К. Обобщение теореш 1ертшш о показателе прииариого идеала в кольце Qa // УШ, 1085. Т.40. J'2, C.205-20G.

ЕС. Цих А.К. 0 применении двойных вычетов к вычислению несобственных интегралов от функций двух переменных //' материалы Ш ¡/.ежцунар. конф). по комплексному анализу и его лрплож. Барна, 1985, С.22.

14. Цнх A.K. Применение вычетов к вычислению суммы квадратов ко-э</шшеитоь "tci'uiора рандонг-дшоЯ <]ункшш двух переменных // Многомерны;'! комплексны;; анализ. Красноярск. Ш>5. C.Ibb-209. сб. науч. тр./1л СС А'; аа i

JD. ¡¿к;; А.51. Г.ичет Г}-степдкка и ого игшлснения к алгебраической геометрии // Итоги науки и техники. Современные щюолемы ма— тематики ^гунапленталышо направления), i.i. 1185. T.i.-. С.45 -64,

1С. Цих А.К. 1ычоты относительно голоморфных отобрагений и их применения. Красноярск; Крас. ун-т. КСС. 124 с.

17. Цих А.К. Слабо голомор...нпе пункции на полных пересечениях, их голоморфно^ продолжение // j/фт. сб. 1967. Т. 130. JM.

С.429-445.

18. Цих А.К. многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, i960. 240 с.

19. Цих А.К. О кратностях голоморфного отображения в неизолированных нулях и числах Уллнора одномерной особенности. Красноярск. IS£b. C.II3-I24 VСб.науч.тр./Iii' СО АН СССР).

20. Цих Л.¡С, Интегралы рациональных Оорм по пространству Д. // ДАН СССР. ШЬ. T.G07. .VC. С.1325-1329.

21. Цих AVK. Еичпсленио кратности нуля системы голоморфных функций по их рядам Тойлора // §22 в кн.: Айзенберг Л.Д., ¡¡.жаков А»П. "¡Интегральные представления к вычеты в многомерном кош-лексном анализе". Новосибирск; Наука, Сибирское отд-ие. 1979.

22. Цих А.К. Оценки коэффициентов Тейлора меромор:них функций двух переменных и условия устойчивости двумерных ровых рекурсивных фильтров. Препринт И& СО АН СССР. Красноярск, 1989.

J-