Сходимость последовательностей и рядов в многомерных полных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ;

Ч Г" ^ .-V

1 1 а 1'м

На правах рукоплси МАДУНЦ АЛЕКСАНДРА ИГОРЕВНА

УДК 512.62

Сходимость последовательностей и рядов в многомерных полных полях

01.01.06. — «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

АВТОРЕФЕРАТ диссертацгто на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ — 1995

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -

доктор физико-математических наук, профессор С. В, Востоков. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -

доктор физико-математических наук, профессор II. Л. Гордеев, кандидат физико-математических наук В. М. Беккер.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -

Салкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита состоится "Й" 192Г г. в 43- часов

на заседании диссертационного совета К063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904,, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Защита будет проводиться по адресу: Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМ И).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького СПбГУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослав ^СуглЫ 1921 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. ьаук допезт

Р. А. Шмидт

Общая характеристика работы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТИМЫ. В данной работе рассмагривает-ся круг вопросов, связанных со сходимостью последовательностей элементов многомерного полного поля и рядов над многомерными полными полями.

Теория многомерных локальных и полных полей стала активно развиваться с середины 70-х годов. По определению, «-мерное полное поле представляет собой поле, полное относительно дискретного нормирования, поле вычетов которого — (п — 1)-мерное полное ¡юле. При этом за 0-мерное полное поле принимается произвольное совершенное поле. Понятие многомерного полного поля обобщает понятие многомерного локального поля (отличие в гом, что 0-мерное локальное поле — это произвольное конечное поле). Впервые роль многомерных полных полей была понята А. Н. Паршиным, который рассмотрел их как результат процесса пополнения га-мерной схемы в точке1. Тем самым выявилось их зпачени? с алгебраической геометрии. С другой стороны, большой класс. дискретно нормированных полей может быть "приближен" многомерными локальными и .многомерными полными полями, что делает эти поля хорошим инструментом для исследования различных видов дискретно нормированных полей. Удобство использования многомерных локальных полей в качестве такого инструмента связано с тем, что для этих полей построена теория полей классов, основные теоремы которой были доказаны А. Н. Паршиным2 и К. Като3. В последнее время был состроен вариант теории полей классов много&шрных полных полей с совершенным полем вычетов4. Недавно И. Б. Жуковым получено "чисто локальное" доказательство структурной теоремы А. Н. Паршина для многомерных полных полей5, Теорема

1 Паршин А. Н К арифметике двумерных схем. 1. Распределения и вычеты. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1976, -г. 40, с. 736-773.

'Паршин А. Н. Локальная теория полей классов. — Труды МИАН, 1934, т. 165, с. 143-170.

3Kato К. A generalization of local class field theory by using K-gronps, I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1A. Math., 1979. v. 26, p. 303-376. II. — 1980, v. 27, p. 603-685.

4Fesenko I. B. Abelinn local p-class field theory. — Math.Ann., 1995, v. 301, p. 561-58S.

5Жукоп И. Б. Структурная теорема для похчых пол^й. —- Труды Санкт-Нетерб. Mar. ofnu., 1994, т. 3, с. 215-234.

позволяет классифицировать многомерные полные поля, а также сопоставить любому многомерному полному полю (не всегда канонически) некоторое стандартное многомерное полное поле.

Л. Н. Паршиным на многомерных локальных полях введена топология, отличная от обычной топологии дискретного нормирования и учитывающая топологии полей вычетов. Подобны:! образом топологию можно ввести и на многомерном полном поле. Проверка сходимости последовательностей и рядов в этой топологии является нетривиальной. В то же время вопрос сходимости весьма существенен для решения ряда задач. Даже в случае классического одномерного локального поля нередко требуется обосновать существование некоторых элементов, формально определенных в виде рядов, в которые вместо переменной подставлен заданный элемент поля. Например, примерные элементы классического локального поля нулевой характеристики® представлены именно таким образом. Эти элементы играют важную роль в задании символа Гильберта. В 1981 году Ги Эньяром в статье, посвященной передоказательству явных формул закона взаимности,7 была предпринята попытка обосновать корректность определения примарных элементов. Однако в его работе содержится существенный просчет. В пункте 5 параграфа 5 при доказательстве сходимости суперпозиции рядов одну и ту же величину он рассматривает последовательно как наименьшую из двух фиксированных величин и как наибольшую из тех же величин, что делает неверными все последующие выкладки. Таким образом, его статья не дала ответа на вопрос корректности определения примарных элементов.

В дальнейшем С.' В. Бостоновым8 получена также явная формула для спаривания Гильберта в многомерных полных полях нулевой характеристики с первым полом вычетов положительной характеристики. В этой формуле тоже фигурируют элементы, формально определенные как ряды, в которых вместо переменной подставлен заданный элемент поля. Таким

6Востоков С. В. Явная форма закона взаимности. — Изв. АН СССР, сер мат., 1978, т. 42, с. 1288-1321 .

7 Henciart G. Sur leà loi» de réciprocité explicites. I. — J reine und angew. Math., 1981 v. 329, p. 177-202.

вВосгокоя С. В. Спаривание на if-группах многомерных полных полей. -ïpj^bi Санкт-Петерб. Маг. общ., 1994, т.3, с. 140-184.

образом, вопрос сходимости рядов актуален и в многомерном случае.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является:

- формулировка и доказательство критерия сходимости последовательностей в многомерном полном поле, данного в терминах нормирований;

- формулировка и доказательство признаков сходимости рядов, суперпозиций рядов и бесконечных произведений рядов с коэффициентами из многомерного полного ноля при подстановке вместо переменной элемента этого поля;

- изучение вопроса сходимости сумм, заданных при помощи формального группового закона, над некоторыми кольцами, содержащимися в кольце нормирования многомерного полного поля;

- обоснование с помощью полученных результатов сходимости рядов, определяющих примарные элементы классического локального поля нулевой характеристики и многомерного полного поля нулевой характеристики с первым полем вычетов положительной характеристики.'

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используется структурная теорема для многомерных полных полей, конструкция топологии многомерного полного поля, явная формула для примарных элементов, стандартная техника разложения в степенные ряды.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Критерий сходимости последовательностей в многомерной полном поле сформулирован в терминах нормирований, а не открытых подгрупп поля К. Сформулированы и доказаны признаки сходимости рядов, суперпозипий рядов и бесконечных произведений рядов с коэффициентами из многомерного полного поля при подстановке вместо переменной элемента этого поля. Введены понятия псевдонормирований, обобщающие понятие нормирования многомерного полного поля.

Кроме того, введены кольца, содержащиеся в кольце нормирования многомерного полного поля и обладающие тем свойством, что ряды над этими кольцами, сходятся при подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала ЭЛ. Для формальных групп над этими кольцами сформулирова-

— б —

ны и доказаны признаки сходимости конечных и бесконечных формальных сумм рядов с коэффициентами из многомерного полного полк при подстановке вместо переменной элемента этого поля.

С помощью полученных результатов обоснована сходимость рядов, определяющих примарные элементы классического локального лопя нулевой характеристики и многомерного полною поля нулевой характеристики с первым полем вычетов положительной характеристики.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Она проясняет топологическую структуру многомерного полного поля, доказывает различные признаки сходимости последовательностей и радов над этим полем, позволяет в дальнейшем использовать формальные группы над введенными кольцами, обосновывает возможность рассматривать примарные элементы специального вида классического локального поля и многомерного полного поля, а также предоставляет инструмент для решения задач, подобных последней, в других случаях.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского Государственного университета, на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987) и на научной конференции 4 Инновационная технология для России" (Санкт-Петербург, 1995).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 6 работ, указанных в конце диссертации.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения и двух глав, разделенных на 10 параграфов, се объем 106 страницы машинописного текста. Библиография содержит 46 наименований рабст.

Содержание работы

1°. В первой главе данной работы выводятся критерии сходимости последовательностей элементов многомерного полного поля К и рядов над К.

§1 содержит обзор основных понятий теории многомерных полных полей, а также вводит основные обозначения.

Говорят, что на поле К задача структура n-мерного полного

поля, если К полно относительно заданного дискретного нормирования и на поле вычетов определена структура (п — обмерного полного поля; при этом под 0-мерным подразумевается некоторое совершенное поле. Иными словами, структура п-мерного полного поля на К — это цепочка полей А''") = К, К(п~х1, ..., А'<°>, где — полноз дискретно

нормированное поле с полем вычетов A-'1-1', i = 1,...,п - 1; А"(°' — совершенное поле.

Говорят, что К — равнохарактеристическое, если char А' = char А*, и разнохарактеристическое, если это не так, т. е., char К = О, char К = р > 0.

Пусть tn — простой элемент относительно дискретного нормирования в поле К = in_i — единица в К^К класс вычетов которой является простым элементом в ЛГ'"-1'; ..•. ; <1 — единица в А(п', А'"-1', ... , А'(2), которая при переходе к предпоследнему полю вычетов А"'1' становится простым элементом. Набор (£i ,...,<„) называется системой локальиых параметров поля А". Эта система определяет з К нормирование ранга п

vK = v = (t>(1),..., t'(n)): К Zn U {оо}, где 57(0) = оо, а при аф О

V{i) (О) = vK(t) ^С,("!(а)...СГ"(а)) ДЛЯ 1 с < < П - 1;

i>(n)(a) = ькМ(а).

(Здесь надчеркивг.ние обозначает образ в А"'1'.)

При этом множество Zn = {г = {ri....,rn) : г, е Z} предполагается лексикографически упорядоченным в нестандартном смысле:

г^М".....г^К^М^,...,^)

означает, что Гт\< r^+j = г^,, ... , ri1' = где т ^ п.

Построим примеры n-мерных полных полей. Если F — (п — 1)-мерное полное поле, то поле рядов Лорэпа F((X)} — полное n-мерное поле. Пусть теперь F — произвольное полное поле с дискретным нормированием м>: F -> ZU {оо}. Положим

^{М} - I У^ = с; 6 F, w(ci) 2 с > -ос, w(ci)-->.'оо [.

I ' i—+ —гуз I

Степенные ряды из i"{{<}} можно складывать и перемножать, и

F({i}} превращается в поле. Пусть v(j2<*L_00citl^j -

Тогда I' — дискретное нормирование на F{{t}}, и P{{i}} превращается в полное поле с полем вычетов F((t)). Таким образом, если .F — (п — 1)-мерное полное поле, то F{{<}} — п-мерное полное поле.

Совокупность элементов о 6 К, удовлетворяющих условию v(a) ^ 0, образует не зависящее от выбора локальных параметров кольцо нормирования Оц — О. Единственным максимальным идеалом этого кольца является

= ал = {а € Ок v{a) > 0 }.

Через Ик (или Щ будем обозначать подгруппу в 1С, состоящую 'Из представителей Тейхмюллера ненулевых элементов последнего поля вычетов в К.

Сформулируем структурную теорему для «-мерных полных полей (А. Н. Паршин, И. Б. Жуков).

Теорема. Пусть К = К^ — n-мерное,полное поле, А''"-1',..., 1((°) = F — поля. вычетов. В случае char А" — 0, chatF = р обозначим через к$ <->■ К поле частных W(F).

1. Если char Jv = charf, то К ъ F((ti)) ...•((<„)).

2. Если char К^ = р, char/i(m+1) = 0, 1 т ^ п - 1, то К является конечным вполне разветвленным расширением стандартного поля вида &{{ii}} • •• {[<m}}((<m+2)) • • • (('п})> где k — конечное расширение ко. Кроме того, есть конечное расширение К'/К такое, что К' ■— стандартное и получается присоединением элемента, алгебраического над ко- Более того, можно. считать К1 — KiKi, где K\jK — круговое, а Кг ¡К — полуразветвленное, т.е. [К^.К] — [K"|m^A'<m)]sep.

3. Если char КЫ = о, char К{°> = р, то К =s fc((t2)) •.. ((<„)), где k — — конечное расширение ко-.

Множество мультииндексов I С Z" называется допустимым набором, если для любого фиксированного множества целых t«-f 1,...,г„, 1 ^ s tj л в множестве мультииндексов f = ' (rlt.,r„r,+i,.-.;,rn) из I, ддя которых индексы г,+1,...,г„ совпадают с индексами г,tn соответственно, индекс, г, ограничен снизу;

Введем следующие обозначения : для 1 ^ я < тг пусть г, = {г,,.. ■ ,гп), а для 1 < 5 ^ п пусть г, = (г,,... ,г„_1) . Кроме того, мы будем писать Г7* вместо V,-... и Тг' вместо V,'... £^"1 для заданных переменных <,и мультииндекса г (причем 71 = г;г 1 = г). Для элемента а, формально заданного как

а = ][><?>Г,

г

при фиксированном 7, под будем подразумевать коэффициент при Тг', а для -,

г

при фиксированном г, под а?, будем подразумевать коэффициент при 7"'*. •' .

В §2 рассматривается случай, когда характеристика п-мерного полного поля К совпадает с характеристикой его последнего поля вычетов. В этом случае К = . .((<„)),

где F — совершенное поле (здесь под £((£)) подразумевается поле формальных степенных рядов Лорана над Ь).

Пусть Ь — некоторое поле. Известно, что поле £((£)) рядов Лорана над Ь является дискретно нормированным полем. Если на поле Ь определена топология, то на поле £((<)) можно ввести топологию следующим образом: база окрестностей нуля есть множество всех подгрупп вида

^={Еа{г)<Г!®(г)'€£;"}'

где и,- — открытые подгруппы поля причем иг — Ь при достаточно больших г.

Теорема 2.1. Пусть Ь — поле с заданной топологией, для которой выполнена первая аксиома отделгилостч. Пусть на £((<)) топология задана описанным выше способом. Рассмотрим последовательность {ат}т^1 элементов поля £((£))•

Тогда следующая совокупность условий является необходимой и достаточной для сходимости ат к 0:

1. Мт и(ат) = г0 > -оо; '".''.. •'"... л; л

2. для любого г ^ го имеем -> 0-е топологии поля L.

ni—f+oo

Следствием этого утверждения является теорема 2.2 —■ критерий сходимости последовательности в поле К.

На протяжении третьего параграфа К = k{{t¡}} ■ ■ ■ {{tn-i}} i где к — полное дискретно нормированное поле с нормированием v. Токология поля К вводится рекуррентным способом, а именно ддя поля £{{t}}, где на ноле L определена некоторая топология, база окрестностей нуля есть множество всех подгрупп вида

г

где Ur — открытые подгруппы в L и

1. существует 10, такое, что для любого г имеет место Pl(Iq) С

Ur,

2. любое Pl(0 лежит в Ur при г r(¿), где

Р/ (0 = { а е X : v(a) > I}.

Теорема 3.1. Пусть имеется последовательность {am}m^i элементов поля К.

Тогда следующая совокупность условий является необходимой и достаточной для сходимости ат к 0:

1. i?„ = infmrí")(om)> -¿с;

2. для любого допустимого набора мультииндексов I из "£п~1 имеем

Ri(I,m) = inf v(am,~)---► -i-oo.

— rQj СО

В §4 осуществляется переход к общему случаю. Здесь К — многомерное полное поле. С учетом структурной теоремы для многомерных полных полей считаем, что его топология ин.цуцирована топологией некоторого стандартного многомерно i о полного поля. К = fc{{íl}}. . . {{ím}}((ím+2)) ■• • ((<п))- Пусть ¿m+i —~ униформизирующая поля к. В работе вводятся понятия псевдонормиреваний ws(a<>r,+l'1) (некоторых функций элемента поля, обладающих свойствами, схожими со свойствами нормирований), "Лзгда

Е Е ••• Е

где а(?> е и {0}.

Теорема 4.1. Пусть имеется последовательность {ат}т>1 элементов поля К.

Тогда следующая совокупность условии является необходимой п достаточной для сходимости ат к 0:

1. Вл ~ т{тю„(ат) > — оо;

2. для любого « = п,... ,3 при всехга имеем

(г.) = Ы> -оо;

т

3. при всех г2 имеем

Яг(г2,гп) = ®1(а£»>)-—¥ +оо.

т—►-Ьоо

Далее в терминах псевдонормирований выводятся признаки сходимости рядов и суперпозиции рядов над К при подстановке вместо переменной элемента поля К.

В §5 рассматриваются признаки сходимости бесконечного произведения элементов поля К, а также бесконечного произведения рядов над полем К.

§6 посвящен формальным группам над некоторыми кольцами, . содержащимися в кольце нормирования поля К. Заметим, что, в отличие от одномерного случая, в п-мерном полном поле при и ^ 2 кольцо нормирования О, вообще говоря, не обладает' тем свойством, что все ряды п(Л') € 0[[А']] сходятся при подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала ОТ. Поэтому формальные группы над кольцом нормирования оказываются неудобны, и естественно ввести такие кольца, что ряды над этими кольцами сходятся при.подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала 2Н, и рассмотреть формальные гр. ипы над ними. Эти кольца имеют вид

Е ••• Е

г,^,..,^.,!?.) Г&Ыгз)

где о<г> € 7и {0} и <Л»-1(гп), ••• ,Л(?2) — фиксированные целочисленные функции со свойствами Л(ь-н = Л('«+г) +

- 1.....1.

В §7 вповь рассматривается случай, когда

и признаки сходимости суперпозиций рядов, бесконечных произведений рядов и конечных и бесконечных формальных сумм рядов, выведенные в общем случае в терминах псевдонормирований, формулируются в терминах нормирования поля к.

2°. Во второй главе работы с помощью полученных в первой главе результатеч обоснована корректность определения примерных элементов со (а) и Н(а) классического локального поля и многомерного полного поля.

В §1 некоторые теоремы о сходимости из первой главы переформулируются для случая полного дискретно нормированного поля.

В §2 рассматривается к — локальное поле нулевой характеристики (конечное расширение поля 0>р), причем q = — порядок его поля вычетов, Оц — кольцо целых. 7Го — униформи-зиругощая, V — нормирование, ПХ. У) — формальная группа Любина-Тейта над Ос, X+РУ = Р(Х, У).

Известно, что для Г(Х,У) существует' ряд X 6 ¿[И], обладающий тем свойством, что У) = к^ X 4- к^р У

и называемый формальным логарифмом.

Пусть К — конечное расширение поля к, содержащее все корни изогении [тг™°](Х), где тс — фиксированное натуральное число. ■•" , ,

Пусть О — кольцо целых поля К, тг —- униформизирующая

Сто — первообразный корень Д — продолжение на

К автоморфизма Фробениуса Т/К, где Г — поле инерции К/к. Определим действие^ Д на ^[[Х]] следующим образом:

если а(Х) = '^вг^Лто аА = Х"г.

г . г

Мы можем выбрать ряд г(Х) = ^2ТггХТ, гг € О, такой, что ¿0) = Сто- Пусть 8(Х) = К,п°](г(Х)).

Далее, пусть 1р(Х) = (1 — 5~)1оХ, 'Ер(Х) — ряд, обратный к 1р(Х) в смысле суперпозиции, а принадлежит кольцу целых Г, А принадлежит максимальному неразветвленному расширению Т и ДА - А = а.

Тогда

и{а) = ЕРЫХ))|х=., Я(а) - ЕР(*?>ЬА1Р(г{Х)))\х=* ~

7г"° -примарные элементы, играющие важную роль в задании символа Гильберта.

Напомним, что элемент а € к называется тг™°—примаряим, если расширение, полученное присоединением корней уравнения = а, неразветвлено.

Цель этого параграфа — доказать следующее утверждение.

Теорема 2.1. со (а) и Н(а) — корректно определенные элементы поля К, причем

Н(а) = «(«) +, К»] (£,2, ■ехр,

(здесь с1Г._ — коэффициенты при Хт в разложении логарифма в ряд Тейлора).

В §3 схожее утверждение доказывается для случая мяоК>* . мерного полного поля нулевой характеристики с полем вычетов' ; положительной характеристики.

Пусть К — п-мерное полное поле нулевой характеристики; Р — первое поле вычетов К, к — простой элемент из К относительно дискретного нормирования ранга 1; Ст„— ■ фиксированный корень степени рто° из 1, содержащийся в К\ Ро — максимальное совершенное подполе в поло вычетов . Р поля К, которое предполагается ив р-зодкнусым; е>о —■ кольцо векторов Витта над Ро; ко •— поле частных оо! О — ■ оо{{<1}} • • • {{¿т>—1}} ; Д — автоморфизм Фробениуса в /¿о; р(а) = ол — а — оператор Картье на пополнении максимального неразветвленного расширения кольца Со.

Оператор Фробениуса Д в кольце 0[[.Х]] рядов Лорана яад О'•'•> действует следующим образом:

Легко видеть, что для любого элемента а из поля К ■ существует ряд а(Х) е О[[.VI] такой, что о(А')|х=* — а. - V

• Пусть в(Х) « £(Х)>,т' - 1, х(Х) = СЙ), ■>''"также пусть 1(Х) — (1 - Е(Х) — ряд, обратный к 1(Х) в смысле

суперпозиции.

Пусть К — максимальное абелево чисто неразветвлеыное р-рнсширение поля К, Оо = ТУ(Ро) — кольцо векторов Витта поля ^ и о™ — кольцо целых, пополнения максимального неразиетвленного расширения ¿о-

Пусть а € о0) Л 6 о§г и р(А) = АА - А = а. Известно, что

ы(а) = Я(а) = Е(рт°АА1(г{Х))]х~ ~

пркмарные элементы (элемеит называется р'п°-примарным, если расширение, полученное присоединением' корней степени рт° из этого элемента, чисто неразветвленное).

Цель этого параграфа — доказать, что и>(а) и Н(а) — корректно определенные элементы поля К, причем

Н{а) — и;(а) ( || Д ехР-—+5-)

(здесь ст — коэффициенты при Хт в разложении логарифма в ряд Тейлора).'

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

-1 Жуков И.Б., Мадунц А.И. Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия. — Труды Санкт-Петерб. Мат. общ., 1094, т. 3, с. 4-46.

2.Мадунц А.И. О сходимости рядов над локальными полями.

— Зап. научных семинаров ЛОМИ. 1991, т. 193, с. 28-30.

5..Мадунц А.И. О сходимости'рядов над локальными полями.

— Труды Санкт-Петерб. Мат. общ., 1994, т. 3, с. 200-282.

'1 Мадунц А.И. О сходимости формальных сумм рядов над двумернмми полными полями. — Зап. научных семинаров ПОМИ, 1995, т. 227, с. 89-92.

5.Мадунц А.И. О топологии многомерных полных полей.

— Тезисы сообщений научвой конференции "Инновационная технология для России", СПб.: СПбГТУ, 1995, с. 231.

£, Мадунц А.И. Теория ветвления и построение нормального Г зиса для кольца целых в расширении без высшего ветвления многомерного локального поля — Тезисы собщений XIX Всес. алг. конф., 1987, с. 170.